Subdirección académica Departamento de sistemas y computación Septiembre 2013

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Instituto Tecnológico de Tijuana

Subdirección académica

Departamento de sistemas y computación

Septiembre 2013

Tecnologías de la Información y Comunicaciones

Álgebra Lineal

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Índice

2.1 Definición de matriz………..…….3-4

2.2 Operaciones con matrices………...4-6

2.3 Clasificación de matrices……….………6-9

2.4 Transformaciones elementales por renglón…………9-10

2.5 Cálculo de la matriz inversa………..10-11

2.6 Definición de determinante de una matriz………12

2.7 Propiedades de los determinantes….………….……...13-14

2.8 Inversa de una matriz cuadrada a

través de la adjunta………...15

2.9 Aplicación de matrices………..………..16

Conclusiones………...……….…..17

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2.1 Definición de Matriz

Introducción

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...

La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos,...

Definición de matriz

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna

(j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

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Algunos tipos de matrices

Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.

Atendiendo a la forma

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1×n.

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m ×1.

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n × n.

2.2 Operaciones con matrices

Las matrices son objetos matemáticos que no se interrelacionan como los números o las funciones, ya que carecen de algunas de la propiedades usuales de éstos objetos anteriores. Sin embargo, poseen otras muy interesantes, que veremos en el siguiente punto: la aritmética de matrices.

Suma y resta de matrices

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Producto entre Matrices y Escalares

Sea una matriz y un escalar . Definimos el producto entre A y α como la matriz

y lo denotamos por .

Propiedades del producto entre matrices y escalares

A continuación detallamos las propiedades del producto entre matrices y escalares:

1. Distributiva con respecto a la suma de escalares: (α + β) A = αA + βA para cualesquiera , .

2. Distributiva con respecto a la suma de matrices: α(A + B) = αA + αB para cualesquiera , .

3. Pseudoasociatividad: ( αβ ) A = α ( βA ) para cualesquiera

, .

4. Elemento neutro: para cualquier , se verifica 1A = A.

Elemento neutro

Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A. Elemento opuesto.

A +(-A) = 0

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

Escalar de una matriz

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Propiedades

a · (b · A) = (a · b) · A A a · (A + B) = a · A + a · BA,B (a + b) · A = a · A + b · A A (a + b) · A = a · A + b · A A 1 · A = A A €

2.3 Clasificación de las matrices

Triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Escalar

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Identidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Potencia

Se llama potencia k-ésima de una matriz cuadrada A, donde k OE Õ, un entero positivo, al producto de A por sí misma, repetido k veces.

Ak =A⋅A⋅A⋅...k veces ... ⋅A

Se conviene en que:

A- k = (A- 1) k " k OE Õ

A0 = I

Traspuesta

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(At)t = A

(A + B)t = At + Bt (α ·A)t = α· At (A · B)t = Bt · At

Simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At. Antisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At.

Compleja

Sus elementos son números complejos aij e ¬ Conjugada

Matriz conjugada de una matriz A Aquella que se obtiene sustituyendo cada elemento por su complejo conjugado (igual parte real, pero la parte imaginaria cambiada de signo).

Hermitiana o hermitica

Una matriz hermitiana (o hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta

conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j:

o, escrita con la traspuesta conjugada A*: Por ejemplo,

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Antihermitiana

Una Matriz antihermitiana es una matriz cuadrada cuya traspuesta conjugada es menos la matriz. Esto es si satisface a la relación:

A * = -A

o en su forma componente, si (A = ai,j):

Para todas las i y las j.

Ortogonal

Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible : A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.

2.4 Transformaciones elementales por renglón

La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. En concreto, siempre será posible conseguir una matriz escalonada, en el sentido que definimos a continuación.

Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los números de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer número distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.

Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes propiedades: Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.

El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima.

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A no es escalonada, mientras que B y C si lo son.

Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg (E), como el numero de filas no nulas de E.

En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg (In) = n.

La siguiente cuestión que abordaremos es la definición de rango para una matriz cualquiera que no esté escalonada. La idea será la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante las llamadas transformaciones elementales por filas que describimos a continuación.

Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son tres:

Intercambiar la posición de dos filas.

Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.

Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera.

2.5 Cálculo de la matriz inversa

Se dice que una matriz cuadrada A es inversible, si existe una matriz B con la propiedad de que

A·B = B·A = I

siendo I la matriz identidad.

Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1

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El problema de encontrar elementos inversos para el producto de matrices tiene como primer inconveniente que, para empezar, no siempre dadas dos matrices A y B, que podamos hacer el producto A·B significa que podamos hacer el producto B·A

Además, que dos matrices sean inversas una de la otra significa, en particular, que el producto ha de dar como resultado la matriz identidad. Si recordamos la definición, la matriz identidad es aquélla cuyos elementos son nulos salvo los de la diagonal, que son 1, y, además, esto es importante, dicha matriz es cuadrada. El hecho de que la matriz identidad sea cuadrada nos va a restringir mucho el conjunto de matrices para las que podremos hablar de inversión.

Vamos a ver qué primera condición han de cumplir dos matrices A y B para que sean la una inversa de la otra. Esto, como sabemos, significa que A·B = B·A = I, donde I denota a la matriz identidad. Las matrices serán, en principio, A de orden mxn y B de orden pxq.

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2.6 Definición de determinante de una matriz

El determinante de una matriz cuadrada es un número real cuya definición exacta es bastante complicada. Por ello, definiremos primero el determinante de matrices pequeñas, y estudiaremos métodos y técnicas para calcular determinantes en general. Solamente se puede calcular el determinante a matrices cuadradas. El determinante de una matriz A(n,n) es una escalar o plinomio, que resulta de obtener todos los productos posibles de una matriz de acuerdo a una serie de restricciones, siendo denotado como: |A|. El valor numérico es conocido también como modulo de la matriz.

Siendo n igual al número de columnas y Aij es el resultado de eliminar la fila i y la columna j de la matriz original.

El determinante de una matriz determina si los sistemas son singulares o mal condicionados. En otras palabras, sirve para determinar la existencia y la unicidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales.

• El determinante de una matriz es un número.

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2.7 Propiedades de los determinantes

1. Para cualquier matriz A, A y su transpuesta tienen el mismo determinante: |A|^T = |A|

a1 a2 a3 a1 b1 c1 b1 b2 b3 = a2 b2 c2 c1 c2 c3 a3 b3 c3

2. Si B se obtiene de A multiplicando uno de sus renglones (o columnas) por una constante distinta de

cero, entonces |B| = k |A|

3. Si B se obtiene de A intercambiando dos renglones (o columnas) cualesquiera |B| = |A|.

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5. Si la matriz A es triangular (superior o inferior), su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.

6. Si A tiene un renglón (o columna) de ceros, entonces |A| = 0.

7. Si A tiene dos renglones (o columnas) que son iguales, entonces |A| = 0.

8. Si A tiene dos renglones (o columnas) que son múltiplos entre sí, entonces |A| = 0.

9. Si A es cualquier matriz de n x n y k es cualquier escalar, entonces

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2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la

adjunta

Sea A una matriz de n x n. Entonces A es invertible si y solo si detA≠0. Si detA≠0, entonces.

Si detA≠0, entonces se demuestra que (1/detA)(adjA) es la inversa de A multiplicándola por A y obteniendo la matriz identidad:

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2.9 Aplicación de matrices

Las matrices son una herramienta muy importante para expresar y discutir problemas

que surgen normalmente en la vida. En los negocios a menudo es necesario calcular

y combinar ciertas cantidades. Las tablas son una forma de representar datos.

Agrupar datos en un rectángulo o una tabla nos muestra una representación clara de

los datos. Tal representación de los datos se denomina matriz.

A continuación se pondrá un ejemplo de una aplicación de matrices.

Una empresa que fabrica televisores produce tres modelos con distintas

características en tres tamaños diferentes. La capacidad de producción en su planta

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Conclusión

El uso de las matrices en el trabajo es muy importante ya que nos

facilita el trabajo y nos hace trabajar de una forma más fluida y

ordenada.

Es de mucha importancia comprender el uso de una matriz y sus

distintas formas de aplicaciones.

Es por ello que es importante aprender a solucionar cualquier tipo de

operación con matriz.

Bibliografía

http://www.recursosmatematicos.com/aula/bac/2bac/2bac_ccss/resumen.pdf -http://www.uco.es/~ma1rimoa/material/matrices.pdf

http://es.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra_Lineal/Operaciones_con_matrices http://itsavbasicas.blogspot.mx

http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Matriz_Inversa.pdf

Figure

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