Algebra Lineal Unidad 1 Ferman López Juan Jezreel 13210381

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Algebra Lineal Página 1

Instituto Tecnológico de Tijuana

Subdirección Académica

Departamento de Sistemas y Computación

Semestre Agosto-Diciembre 2013

Ingeniería en Sistemas Computacionales

Algebra Lineal

Unidad 1

Ferman López Juan Jezreel

#13210381

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Índice

Portada---

1 Índice

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2 1. Números complejos

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3 1.1. Definición de números complejos

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3 1.1.2. Origen de los números complejos

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3 Aplicación de los números complejos en la vida real

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4 1.2 Operaciones fundamentales de números complejos

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5 1.2.1 Suma de Complejos

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5 1.2.2 Resta de Complejos

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6 1.2.3 Multiplicación de Complejos

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6 1.2.4 División de Complejos

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6 Conjugado de un número complejo

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7 1.3 Potencias de i, modulo de complejos

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8 1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo

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9 Convertir a Polar

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10 Polar a Rectangular

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11 Forma Exponencial

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12 1.5 Teorema de Moivre, potencia y raíces de complejos

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13 Potencia de números complejos

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13 Extracción de raíces de los números complejos

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14 1.6 Ecuaciones Polinómicas

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15 Raíces de números complejos

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16 Bibliografía ---

16

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1. Números complejos

1.1 Definición de números complejos

Es un número de la forma a+bi donde a y b son números reales llamados parte real y parte imaginaria respectivamente, e i es la unidad imaginaria que se define como:

Los números complejos con parte imaginaria no nula , es decir de la forma a+ bi con , se llaman números imaginarios y si además la parte real es nula, es decir son de la forma bi se llaman números imaginarios puros. Si la parte imaginaria del número complejo a+bi es nula, entonces se tiene el número real

(Jarne & Minguillo)

1.2 Origen de los números complejos

La primera referencia escrita de la raíz cuadrada la encontramos en la obra de

Stereometria de Herón de Alejandría (Grecia aprox 10-75) alredededor de la mitad del siglo I.

La siguiente referencia se data en el año 275 en la obra de Diophantus(aprox 200-284) Arithmetica.

Los matemáticos hindúes fueron los que dieron primeramente las explicaciones a este tipo de problemas Mahavira, en el año 850 comentan en su tratado que

“como en la naturaleza de las cosas una cantidad negativa no es un cuadrado, por tanto no puede tener raíz cuadrada”. En el año 1150 Bhaskara lo describe de la siguiente forma: “El cuadrado de un número positivo o negativo, es

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positivo; la raíz cuadrada de un numero positivo tiene 2 valores, uno positivo y otro negativo; no existe raíz cuadrada de un número negativo ya que un numero negativo no es un cuadrado”.

René Descartes (Francia 1596-1650) fue quien bautizo con el nombre de imaginarios a los nuevos números, también que toda ecuación debía tener tantas raíces como indica su grado.

Los números complejos fueron muy utilizados en el siglo XVIII, Leibniz y

Johan Bernoulli usaron números complejos en la resolución de integrales. Ejemplos:

(Analisis Matemático, 2006/2007)

Aplicación de los números complejos en la vida real

Se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódica variables. En una expresión del tipo: podemos pensar en r como la amplitud, como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia sinusoidal, como la parte real de una función compleja de la forma:

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1.2 Operaciones fundamentales de los números

complejos

Suma y resta de números complejos

Suma:

Es simple; se suman sus partes reales y se suma sus partes imaginarias. Por tanto:

El conjunto de los números complejos es cerrado con respecto a la suma; esto es, la suma de 2 números complejos es un número complejo. Más aun las propiedades conmutativa y asociativa de la suma son válidas para todos los números complejos. El elemento identidad de la suma es 0 + 0i. El inverso aditivo de:

Formula:

Ejercicios:

(Kaufmann & Schwitters)

Resta números complejos

C + di de a + bi, sume el inverso aditivo de c+di. Por tanto:

Formula:

En otras palabras se restan las partes reales y también las partes imaginarias, como en los siguientes ejemplos.

Ejercicios:

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Productos y cociente de números complejos

Puesto que , i es una raíz cuadrada de -1, así que se hace . También debe ser evidente que es una raíz cuadrada de -1, porque.

Ejemplo:

Por tanto, en el conjunto de los números complejos, -1 tiene 2 raíces cuadradas. i y –i. Esto se expresa simbólicamente como:

Ejercicios

Divisiones de números complejos

Notemos que:

Ejercicios

(Del Valle Sotelo, 2012 )

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Si se define y denota el conjugado de z como . El conjugado de z se obtiene geométricamente, reflejando este punto sobre el eje real. (Del Valle Sotelo, 2012 )

Propiedades del conjugado

Ejercicios:

1.3 Potencias de i, módulos de un número complejo

“El módulo de un complejo es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la parte real y la parte imaginaria”

Si se define el módulo de z, también llamado valor absoluto de z, como:

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Encontrar el modulo de z

Propiedades del modulo

Si z1, z2…. Zn pertenecen a los complejos.

Potencias de un imaginario unitario

i1₌_i₌

i2_{= −1}

i3 _{= −}_i

i4_{= 1}

i5_{= i}₌

i6_{= -1}

i7₌_-i

Encuentra el modulo de z

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1.4 Forma polar y exponencial de un número

complejo

Forma Polar:

Al número complejo z= x + iy lo podemos describir también por medio de coordenadas polares , tomando r= , Es decir:

Un número complejo en forma polar consta de 2 componentes: modulo y argumento.

El modulo del numero complejo es el modulo del vector determinado por el origen de coordenadas, se designa

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se le designa por arg(z).

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Convertir a Polar

Polar convertir a rectangular

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Realizar z1* z2

Forma Exponencial

Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como

“formula de Euler”

Donde se mide en Radianes .

La formula de Euler permite expresar un número complejo no nulo que se conoce como en la forma exponencial

(Madrid)

Ejercicios

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Z1*Z2

Z1/Z2

1.5 Teorema de Moivre, potencias y extracción de

raíces de un número complejo

Teorema de Moivre

Para calcular la potencia de un complejo en forma trigonométrica utilizamos la

formula de Moivre:

Es muy útil en trigonometría ya que permite hallar el Cos n y el Sen n en función de Seno del ángulo y Coseno del ángulo. Esta igualdad recibe el nombre formula de Moivre, en honor del matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754)

(Salmoran, 2012)

Potencias de números complejos

Las potencias enteras de un número complejo no nulo vienen dadas por:

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exponencial. La ecuación es válida también para n = 0 con el convenio de que z0_{= 1. Si n = -1, -2..., por otro lado, definimos} _{en términos del inverso}

multiplicativo de z escribiendo , donde m = -n = 1, 2,... Entonces, como la ecuación es válida para potencias enteras positivas, se sigue de la forma exponencial de z-1_que:

Por tanto, la ecuación es válida para toda potencia entera Notese que si r=1, se convierte en:

Cuando se expresa en la forma “formula de Moivre la cual vimos anteriormente. (Gomez & Miller)

Ejercicios

Calcule la potencia de orden 5 de este número, es decir z5

Ejercicios

Sea

Calcular , donde

En primer lugar llevamos Z a la forma polar. Para hallar el modulo hacemos

Por otro lado, el ángulo viene dado por:

Por lo tanto, tenemos a Z en forma polar

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Finalmente llevamos este resultado a la forma cartesiana

Extracción de las raíces de un número complejo

Si Z es un número entero positivo

Donde W es otro número complejo, entonces se dice que W es una raíz enésima de Z. Esto se denota por:

En los números reales todos los números poseen raíz de orden impar y 2 raíces de orden par. En los complejos hay una mayor abundancia de raíces. Concretamente se tiene la sig propiedad:

“Todo número complejo tiene exactamente n raíces n- esimas” (2012)

Problema: Encontrar la raíz cúbica de z= -2+2i

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1.6 Ecuaciones Polinómicas

Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones polinómicas de tipo:

Los números complejos permiten ampliar aun más el concepto de “número” , definiendo la unidad imaginaria o i como i= raíz de -1 lo que significaría que la ecuación anterior si tendría 2 soluciones que serian x1= i y x2= -i.

La introducción de los números complejos permite probar el teorema fundamental del álgebra, que dice que en cualquier ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

(Morales, 2012)

Ejercicios

Resolver para z la ecuación:

a= 1

b= (2i-3)

c= 5-i

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Convertimos de polar a rectangular

Raíces de números complejos

1.

2.

Bibliografía

(s.f.). Obtenido de www.ditutor.com/numeros_complejos/complejos_polar.html

(13 de Diciembre de 2012). Obtenido de http://algebralinealichan.blogspot.mx/2012/12/3-5-teorema-de-de-moivre-potencias-y.html

Analisis Matemático. (2006/2007). Obtenido de http://rotrujil.webs.ull.es

Del Valle Sotelo, J. C. (2012 ). En Algebra Lineal para estudiantes de Ingenieria . Caceres McGrawHill .

Gomez, M., & Miller, M. (s.f.). Algebra Líneal . Obtenido de

https://sites.google.com/site/tecalgebralineal/unidad-1-numeros-complejos/1-5-teorema-de-demoiver-potencias-y-extraccion-de-raices-ecuaciones-plolinomicas

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Algebra Lineal Página 17 Kaufmann, J., & Schwitters, K. En Algebra 8va edición.

Madrid, U. P. (s.f.). Analisis Matematico para Ingenieria . Obtenido de

http://www2.caminos.upm.es/departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Analisis%20mate matico/Temas/C01_Los_Numeros_Complejos.pdf

Morales, J. (26 de Mayo de 2012). Obtenido de http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/16-ecuaciones-polinomicas.html

Salmoran, G. (08 de Febrero de 2012). Obtenido de