Estudio del
n
−ésimo
hiperespacio de un continuo
Tesis escrita por
Levent Arturo Chaves Moreno
Dirigida por
Dr. David Herrera Carrasco
Dr. Fernando Macías Romero
Como requerimiento para obtener el título de
Licenciado en Matemáticas
BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA Puebla, Puebla
AGRADECIMIENTOS
Una lección que me parece fundamental en Matemáticas1, es aquella que reza que uno no puede hacerlo todo solo. Sin problemas se puede extender dicha lección a todo el complejo que es la vida misma. En esta sección me dedico a agradecer a todas aquellas personas que me ayudaron en este viaje, o que por lo menos, me lo hicieron más llevadero.
Primero, a mi mamá. Es cliché darte las gracias por darme la vida. Quiero ir más lejos y darte las gracias por más cosas. Quiero darte las gracias por acompañarme durante todo este trayecto. Por enseñarme a ser una persona con principios. Por enseñarme que rendirse nunca es una opción. Por enseñarme a trabajar contra la corriente. Recuerdo incluso que tu me enseñaste el concepto del infinito mientras me llevabas cocadas cuando yo era niño. Eres la piedra angular de todo este trabajo, y sin todo el esfuerzo y sacrificio que hiciste a lo largo de estos años, esto no hubiera sido posible. Te quiero mucho mamá, y no tienes idea de lo agradecido que estoy por todo lo que hiciste por mí. Gracias por estar siempre a mi lado. Gracias por apoyarme todos estos años.
que vivamos siempre ahí. Regalarte muchos chocolates, y cantarte canciones para hacerte feliz. Yo te puedo decir que me has hecho muy feliz, y le has hecho la vida colorida al desgraciado que escribe esto. Me haces sentir que no camino solo, y en particular por eso te doy las gracias. Yo nunca había vivido algo así y espero poder compensártelo de alguna manera. Soy tan feliz que creo que siempre voy a estar en deuda contigo. Te amo mucho, Brenda.
Cuarto, a mis amigos y compañeros de relajo. Al Papu, Dios, Ferras, Cacalina, Brayan y Erikita. A Mire, Luis y Migue. A Aldo, Jerga, Yoko, y Talía. Al Gordo y a Armando. A Laurita. Al Doctor Raspados y al Popocatépetl. A Mario. A los Cobras de biología. A mis queridísimos Liga y Cuep. Me la pasé a todo dars con ustedes dudes y les aprendí un montón. Gracias por tantos momentos y comentarios inapropiados.
Quinto, a mis profesores. A Paty Domínguez, a Carlos Guillén, a Manuel Ibarra, a Iván Martínez, a Angel Contreras, a Francisco Estrada. Gente comprometida que pone el ejemplo. Matemáticos en toda la extensión de la palabra. Verdaderos ejemplos a seguir. Gracias por sus clases, por su apoyo, por sus consejos y puntos de vista. También quiero darle las gracias a Pedro Tolentino y a Gilberto Silva por todos sus consejos. Su visión me ha resultado invaluable y les estoy profundamente agradecidos.
Sexto, a David Carrasco y Fernando Macías. Le agradezco al profesor Carrasco haber aceptado que yo fuera su alumno, le agradezco su paciencia y apoyo a lo largo de todos estos años. Usted me enseño que las cosas se hacen con paciencia y trabajo. Francamente creo que las enseñanzas de matemáticas más importantes me las enseñó usted. Espero no haber dado tanta lata. Mil gracias por su dirección y su amistad durante todos estos años. También le doy las gracias al profesor Macías. Aunque no tuve el gusto de tratarlo tanto, siempre me ha apoyado en las circunstancias que han sido surgiendo. También le agradezco su revisión de esta tesis. Usted tiene un verdadero ojo de águila para detectar errores y la tesis no hubiera sido lo mismo sin su dirección. Gracias por todo.
Séptimo, a mis sinodales Raúl Escobedo, Alexander Bykov y Paty Domínguez, quienes a pesar de sus múltiples ocupaciones, se tomaron el tiempo de revisar esta tesis y de mejorarla sustancialmente.
RESUMEN
Este trabajo está basado en la sección 6.1 del libro Topics on Continua de Sergio Macías ([8]). En dicha sección se recolectan algunos resultados que se encuentran en dos artículos de Sergio Macías llamadosOn the hyperspacesCn(X)of continua
([6]) y On n-fold hyperspaces of continua II ([7]). El objetivo es desarrollar las
demostraciones encontradas en dicha sección. La razón de ello obedece a que los resultados enunciados en dicha sección se pueden entender como propiedades generales deln−ésimo hiperespaciode un continuo.
Este texto está organizado del siguiente modo:
(i) En el Capítulo 1, se exponen los resultados necesarios para poder comprender las demostraciones del Capítulo 2. Se exploran los conceptos de hiperespacios, convergencia de sucesiones, topología de Vietoris, conexidad local, continuos descomponibles e indescomponibles, funciones de Whitney, arcos ordenados, homotopía y contractibilidad. Se dan demostraciones distintas de algunos re-sultados. Además, se hacen explícitos algunos resultados que no se encuentran en la literatura, pero que se considera, son lo suficientemente interesantes como para ser enunciados y demostrados.
ÍNDICE GENERAL
Agradecimientos . . . iii
Resumen . . . v
Índice general . . . vi
Capítulo I: Conceptos asociados a la teoría de los continuos y sus hiperespacios 1 1.1. Hiperespacios de continuos y convergencia de sucesiones . . . 1
1.2. Topología de Vietoris y propiedades métricas destacables de los continuos . . . 8
1.3. Conexidad local en continuos . . . 16
1.4. Continuos descomponibles . . . 19
1.5. Funciones de Whitney y arcos ordenados . . . 22
1.6. Homotopía y contractibilidad . . . 28
1.7. Algunos resultados sobre Teoría de la dimensión . . . 32
Capítulo II: Algunos resultados sobre hiperespaciosn−ésimos . . . 34
2.1. Propiedades generales de los hiperespaciosn-ésimos . . . 34
Índice alfabético . . . 55
C a p í t u l o 1
CONCEPTOS ASOCIADOS A LA TEORÍA DE LOS
CONTINUOS Y SUS HIPERESPACIOS
1.1. Hiperespacios de continuos y convergencia de sucesiones
Definición 1.1.1. Uncontinuoes un espacio métrico no vacío, compacto y conexo. Unsubcontinuoes un continuo contenido en un espacio métrico.
Definición 1.1.2. SeaX un espacio métrico compacto no vacío . Sean ∈N. Se definen los siguientes conjuntos:
(i) 2X = {A: Aes un conjunto cerrado no vacío de X}; (ii) C(X)= {A∈2X: Aes conexo};
(iii) Cn(X)= {A∈2X: Atiene a lo másncomponentes conexas};
(iv) Fn(X)= {A∈2X: Atiene a lo másnpuntos}; (v) F(X)= Ð
n∈NFn(X).
A los conjuntos definidos anteriormente les llamaremoshiperespacios.
Teorema 1.1.3. Si X es un continuo yn ∈N, entoncesFn(X)es un continuo.
La prueba del Teorema 1.1.3 está en [8, pp. 60-62].
Definición 1.1.4. Sea Xun espacio métrico compacto no vacío con métricad. Para cada > 0 y cada A∈2X defínase
Nd(,A)= {x ∈ X :d(a,x)< para algúna ∈ A}.
Lema 1.1.5. SeaXun espacio métrico compacto no vacío con métricad. Para cada
A∈2X,Nd(,A)= Ða∈ABd(a, ).
Demostración. Sea x ∈ Nd(,A). Entonces d(x,a0) < para algún a0 ∈ A. Así,
Ahora, si x ∈ Ð
a∈ABd(a, ), entonces x ∈ Bd(a0, ) para algún a0 ∈ A. Así,
x ∈ Nd(,A)y tenemos queÐa∈ABd(a, ) ⊂ Nd(,A).
Por tantoNd(,A)=Ða∈ABd(a, ).
Lema 1.1.6. Sea X un continuo y A ⊂ X un cerrado de X. Suponga que A ⊂ G,
dondeGes un abierto de X. Entonces existe > 0tal que N(A, ) ⊂G.
Demostración. Como Aes cerrado de X y X es un espacio métrico compacto, se
sigue queAes compacto. ComoA⊂ G, yGes abierto enX, se sigue que para cada a ∈ A, existe a > 0 tal que Bd(a, a) ⊂ G. Así, A ⊂ Ða∈ABd(a,2a). Pero como A
es compacto, se sigue que existena1, . . . ,am ∈ Atales que A⊂ Ðmi=1Bd(ai,
ai
2 ).
Ahora, definamos =mín{ai
2 : i ∈ {1, . . . ,m}}. Note que > 0.
Veamos ahora queN(A, ) ⊂ G. Si tomamosx ∈N(A, )=Ð
a∈ABd(a, )entonces
existea∈ Atal quex ∈ Bd(a, ). Pero tenemos que
Bd(a, ) ⊂ Bd(a, ai
2 ) ⊂ Bd(a, a) ⊂ G.
Por tanto, x ∈Gy ya podemos concluir queN(A, ) ⊂G.
Teorema 1.1.7. Sea X un espacio métrico compacto y no vacío. Sean > 0 y
A,B ∈2X. Entonces
(i) Si0 < δ ≤ y A⊂ B, entoncesN(δ,A) ⊂ N(,B); (ii) clXN(,A) ⊂ N(2,A);
(iii) N(,A) ∪N(,B)= N(,A∪B);
(iv) N(,A)= Ð{N(δ,A): δ ∈ (0, )}.
Demostración. Sean >0 y A,B∈2X. Denotemos porda la métrica de X.
Verifiquemos la propiedad (i).
Sean 0 < δ ≤ y A ⊂ B. Tomemos x ∈ N(δ,A). Entonces existe a ∈ A tal que d(x,a) < δ. ComoA⊂ B, se sigue quea∈ B. Comoδ ≤ , se sique qued(x,a)< . Por tanto, x ∈ N(,B).
Sea x ∈ clXN(,A). Entonces existe y ∈ N(,A) tal que d(x,y) < . Además,
existea ∈ Atal qued(y,a) < . En consecuencia, de la desigualdad del triángulo, obtenemos qued(x,a)< 2. Por tanto, x ∈ N(2,A).
Verifiquemos la propiedad (iii).
Por (i), tenemos queN(,A),N(,B) ⊂ N(,A∪B). EntoncesN(,A) ∪N(,B) ⊂ N(,A∪ B). Por otro lado, si x ∈ N(,A∪ B), entonces existe c ∈ A ∪B tal que d(x,c) < . Como c ∈ A o bien, c ∈ B, se sigue en cualquier caso que x ∈ N(,A) ∪N(,B).
Finalmente, verifiquemos la propiedad (iv).
Dado δ > 0 tal que δ < , tenemos por (i) que N(δ,A) ⊂ N(,A). Entonces Ð{
N(δ,A): δ ∈ (0, )} ⊂ N(,A). Por otro lado, tomemos x ∈ N(,A). Entonces, existe a ∈ A tal que d(x,a) < . Podemos tomarδ0 > 0 tal qued(x,a) < δ0 < . En consecuencia, x ∈N(δ0,A), pero claramenteN(δ0,A) ⊂ Ð{
N(δ,A): δ ∈ (0, )}. Por tanto,N(,A) ⊂Ð{
N(δ,A): δ ∈ (0, )}y se concluye la igualdad deseada.
Definición 1.1.8. Sea Xun espacio métrico compacto no vacío con métricad. Para cada A,B∈2X sea
M(A,B)= { > 0 : A⊂ Nd(,B)y B⊂ Nd(,A)}
y defínase
Hd(A,B)=ínfM(A,B).
AHdle llamaremos lamétrica de Hausdorff.
Lema 1.1.9. SeaXun espacio métrico compacto no vacío con métricad. La función Hd : 2X ×2X →R≥0está bien definida.
Demostración. Sean A,B ∈ 2X. Note primero que A,B son no vacíos por la
defi-nición de 2X. Luego Nd(,A) y Nd(,B) son no vacíos. Ahora, como el conjunto
{ > 0 : A ⊂ Nd(,B)yB ⊂ Nd(,A)} está acotado inferiormente por 0, lo único
que resta verificar es que dicho conjunto es no vacío. ComoX es compacto, se sigue que X es precompacto1, esto es, existena1, . . . ,aM ∈ Xtales que
X ⊂
M
Ø
i=1
Bd(ai,1).
Así,Xes acotado. Luego, el diámetro deX, denotado por diám(X)existe y es finito. Ahora, definamos 0 = diám(X)+1 > 0. Note que para cada x,y ∈ X, se cumple
qued(x,y) ≤diám(X)< diám(X)+1= 0,en particular para todo x ∈ Ayy ∈ B.
Entonces es inmediato queA ⊂ Nd(0,B)y B⊂ Nd(0,A).
Por tanto, 0 ∈ { > 0 : A ⊂ Nd(,B)yB ⊂ Nd(,A)} y así, Hd está bien
definida.
Teorema 1.1.10. Sea(X,d)un espacio métrico no vacío yK ⊂ Xun compacto tal
quex0<K. Entonces existey0 ∈K tal qued(y0,x0) ≤ d(x,x0)para cadax ∈ K.
Demostración. Considere la función f : K →R≥0dada por f(x)= d(x,x0). Como
f es continua (la función distancia es continua), y K es un compacto, se sigue que f alcanza su mínimo, esto es, existe y0 ∈ K tal qued(y0,x0) ≤ d(x0,x)para cada
x ∈K.
Lema 1.1.11. Sea X un espacio métrico compacto no vacío con métrica d. Si K,L ∈2X y x ∈K, entonces existe y ∈ Ltal qued(x,y) ≤ Hd(K,L).
Demostración. ComoK,L ∈2X, se sigue queK,Lson cerrados no vacíos. Notando
que son subconjuntos cerrados del compactoX, se sigue queK yLson compactos. Ahora, seax ∈ K.Si x ∈ L, entoncesd(x,x)= 0≤ Hd(H,K).
Suponga quex <L. Entonces, comoLes compacto, se sigue por el Teorema 1.1.10
que existe y ∈L tal qued(x,y) ≤d(x,z)para cada z∈ L. Ahora, solo resta verificar qued(x,y) ≤ Hd(K,L).
Si no fuera así, tendríamos queHd(K,L) < d(x,y). Note qued(x,y)es fijo. Entonces
por propiedades del ínfimo, existe 0 ∈ M(A,B)tal que0 < d(x,y). Se sigue que
K ⊂ Nd(0,L) y L ⊂ Nd(0,K). En particular, K ⊂ Nd(0,L) y así, para x ∈ K,
existeθ ∈ Ltal que
d(x, θ)< 0 < d(x,y),
pero esto es una contradicción, ya qued(x,y) ≤ d(x,z)para todoz ∈ L,yθ ∈L Por tantod(x,y) ≤Hd(K,L).
Teorema 1.1.12. Sea X un espacio métrico compacto no vacío con métrica d. La
Demostración. Verifiquemos las siguientes proposiciones:
(i) Hd(A,B)=0 si y solo si A= B.
Suponga que Hd(A,B) = 0. Entonces 0 = ínfM(A,B). Así, A ⊂ Nd
1
n,B
para todo n ∈ N. Sea a ∈ A. Entonces para cada n ∈ N, existe bn en B tal
que d(a,bn) < 1n. Como B es compacto, para la sucesión {bn} existe una
subsucesión convergente digamos{bns}con límite b∈ Bcuandos→ ∞.De
ahí qued(a,b) ≤ d(a,bns)+d(bns,b). Entonces para todo > 0 existes ∈N
suficientemente grande tal qued(a,b) ≤2. Entoncesd(a,b)= 0 y asía= b. Por tantoa ∈ By se concluye que A ⊂ B.
Para probar queB ⊂ Ase usa un método análogo. Así, se concluye queA= B. Ahora, si A = B, entonces para todo > 0 se tiene que A ⊂ Nd(,B) y
B⊂ Nd(,A). Así, ínfM(A,B)= 0 y por tantoHd(A,B)= 0.
(ii) Hd(A,B)=Hd(B,A).
Se sigue de la definición.
(iii) Hd(A,C) ≤ Hd(A,B)+Hd(B,C).
Sean δ > 0 y a ∈ A. Entonces por el Lema 1.1.11, existe b ∈ B tal que d(a,b) ≤ Hd(A,B). Usando otra vez el Lema 1.1.11 y el mismob∈ B, existe
c ∈C tal qued(b,c) ≤ Hd(B,C). Así,
d(a,c) ≤ Hd(A,B)+Hd(B,C) < Hd(A,B)+Hd(B,C)+δ.
Entonces, para todoa ∈ A,se tiene queA ⊂ Nd(Hd(A,B)+Hd(B,C)+δ,C).
Mediante un proceso análogo, se obtiene queC ⊂ Nd(Hd(A,B)+Hd(B,C)+ δ,A).De aquí se sigue que Hd(A,C) < Hd(A,B)+Hd(B,C)+δ. Finalmente,
comoδ es arbitrario, se concluye queHd(A,C) ≤ Hd(A,B)+Hd(B,C).
Por tanto,Hd es una métrica.
Teorema 1.1.13. Sea > 0. Entonces H(A,B) < si y solo si A ⊂ N(,B) y B ⊂ N(,A).
Demostración. Es inmediato de la definición de la métrica de Hausdorff que
H(A,B) < implica que A ⊂ N(,B) y B ⊂ N(,A). Supongamos ahora que A⊂ N(,B)yB ⊂ N(,A). Por el Teorema 1.1.7, inciso (iv), se sigue que
B ⊂ N(,A)= Ø{N(δ,A): 0< δ < }.
Como A es compacto, existen δ1, . . . , δn ∈ (0, ] tales que A ⊂ Ðni=1N(δi,B).
Denotemos por δ0 = máx{δi: i = 1, . . . ,n}. Note que 0 < δ0 < . Entonces A ⊂ N(δ0,B). Análogamente, de la compacidad de B, existe δ00 > 0 con δ00 < tal que B ⊂ N(δ00,A). Si r = máx{δ0, δ00}, se sigue que 0 < r < y además A ⊂ N(r,B)y B ⊂ N(r,A). Por la definición de la métrica de Hausdorff, se sigue queH(A,B) ≤r < y se sigue el resultado.
Ahora, demostraremos y/o enunciaremos algunos teoremas de convergencia que son necesarios para demostrar algunos teoremas relacionados con los hiperespacios n-ésimos.
Definición 1.1.14. Si {An}n∈N es una sucesión en 2X, decimos que An tiende a A
y lo denotamos por An → Acon A ∈2X, si para cada > 0, existe N ∈Ntal que
n ≥ N implica queHd(An,A)< .
Note que la Definición 1.1.14 de convergencia está definida en términos de la métrica de Hausdorff. Nosotros queremos mostrar una equivalencia de convergencia en términos de conjuntos.
Definición 1.1.15. SeaX un compacto no vacío y sea{An}n∈N una sucesión en 2X. Se define el límite inferior de An como limínf(An) = {x ∈ X: para todo >
0,B(x, ) ∩An ,para todon∈Nsalvo un número finito}.
Se define el límite superior de An como límsup(An) = {x ∈ X: para todo >
0,B(x, ) ∩An ,,para una infinidad den∈N}.
Observación. Note que six ∈limínf(An), entonces para cada > 0 existeN ∈Ntal
queB(x, ) ∩An ,; y six ∈ límsup(An), entonces para cada > 0 existeJ ⊂ N
infinito tal que B(x, ) ∩An,paran∈ J.
Así, una consecuencia inmediata es que limínf(An) ⊂ límsup(An).
Definición 1.1.16. Decimos que una sucesión{An}n∈Nen 2X converge a A∈2X si
líminf(An)= límsup(An)= Ay lo denotamos por límAn= A.
Teorema 1.1.17. Toda sucesión {An}n∈N de subconjuntos cerrados de un espacio
métrico separableXtiene una subsucesión convergente en el sentido de la Definición
La prueba del Teorema 1.1.17 se puede encontrar en [8, Teorema 1.2.28] Además, se tiene la siguiente equivalencia entre convergencias.
Teorema 1.1.18. Sea X un continuo, y sea {An}n∈N una sucesión de elementos de
2X. EntoncesYn→Y si y solo si límYn=Y.
La prueba del Teorema 1.1.18 se puede encontrar en [10].
Una consecuencia importante del Teorema 1.1.18 es la siguiente.
Teorema 1.1.19. Si X es un compacto no vacío, entonces2X es compacto.
Demostración. Note que si {An}n∈N es una sucesión en 2X, entonces como cada An es un conjunto cerrado y X es compacto -y por tanto separable-, se sigue por
el Teorema 1.1.17 que{An}n∈N tiene una subsucesión convergente en el sentido de la Definición 1.1.16. Pero por el Teorema 1.1.18 esto es equivalente a que{An}n∈N tenga una subsucesión convergente en el sentido de la Definición 1.1.14.
Así, 2X es compacto.
Teorema 1.1.20. Sea X un compacto no vacío. Supongamos que A,B ∈ 2X y
{An}n∈N,{Bn}n∈N dos sucesiones en2X tales que An → Ay Bn → B. Entonces,
(i) si An ⊂ Bnpara cadan∈N, entoncesA ⊂ B;
(ii) si An∩Bn, para cadan∈N, entonces A∩B,;
(iii) An∪Bn → A∪B.
La demostración de este resultado se puede encontrar en [1, Teorema 20]
Teorema 1.1.21. Sea X un compacto no vacío. Suponga queU ⊂ X y
V ={A∈2X: A⊂ U} W={A∈2X: A∩U ,}.
Demostración. Suponga queU es abierto. Veamos queT = 2X\ V es cerrado, es
decir, queT0 ⊂ T. Sea{An}n∈N una sucesión deT convergente, es decir, An → A.
Veamos que A∈ T.
Como para cadan ∈Nse tiene queAn∩ (X\U), (pues cada An ∈ T), y como
X\U es cerrado, se sigue por el Teorema 1.1.20 queA∩ (X\U),. Así, A∈ T yT es cerrado en 2X.
Por tantoV es abierto en 2X.
La prueba de los demás casos es análoga.
1.2. Topología de Vietoris y propiedades métricas destacables de los continuos
Primero definiremos y enunciaremos algunas propiedades de una topología sobre 2X que se llamaTopología de Vietoris.
Definición 1.2.1. SeaX un espacio métrico compacto con topologíaτ. Para cadaU ∈τ, se define:
Γ(U)= {A∈2X : A⊂U};
∆(U)= {A∈2X : A∩U, }.
Y paraU1,U2, . . . ,Un ∈τ,n ∈N, sea
hU1,U2, . . . ,Uni = {A ∈ 2X : A ⊂ Ðin=1Ui, y A∩Ui , para cadai ∈
{1, . . . ,n}}.
Lema 1.2.2. Se verifican las siguientes relaciones.
(i) Γ(U)= hUiy∆(U)= hX,Ui;
(ii) hU1,U2, . . . ,Uni=
Γ Ðn
i=1Ui ∩
Ñn
i=1∆(Ui)
;
(iii) y siU0= Ðni=1UiyV0 =Ðmi=1Vi, entonces
hU1,U2, . . . ,Uni∩hV1,V2, . . . ,Vmi= hV0∩U1,U2, . . . ,V0∩Un,U0∩V1, . . . ,U0∩Vmi.
Demostración. Para ver que Γ(U) = hUi basta observar que cada A ∈ 2X es no
Y para ver que∆(U)= hX,Ui, basta observar queU∪X = X y cada A∈ 2X es no vacío.
Ahora verifiquemos quehU1,U2, . . . ,Uni=
Γ Ðn
i=1Ui ∩
Ñn
i=1∆(Ui)
. En efecto. Note queΓ Ðn
i=1Ui
=
{A∈2X : A⊂ Ðn
i=1Ui}y por otro lado, tenemos
queÑn
i=1∆(Ui)= {A∈2X : A∈∆(Ui), } ={A∈2X : A∩Ui , para cadai ∈
{1, . . . ,n}}y se sigue el resultado.
Finalmente veamos que siU0 =Ðni=1UiyV0= Ðmi=1Vi, entonceshU1,U2, . . . ,Uni ∩
hV1,V2, . . . ,Vmi= hV0∩U1,U2, . . . ,V0∩Un,U0∩V1, . . . ,U0∩Vmi.
En efecto. Tenemos las siguientes igualdades:
hV0∩U1,U2, . . . ,V0∩Un,U0∩V1, . . . ,U0∩Vmi= {A∈2X: A⊂ Ðni=1(V0∩Ui) ∪
Ðm
i=1(U0∩Vi), yA∩V0∩Ui ,,A∩U0∩Vi ,para cadai ∈ {1, . . . ,n}}.
Y también tenemos que
hU1,U2, . . . ,Uni ∩ hV1,V2, . . . ,Vmi = {A ∈ 2X: A ⊂ Ðni=1Uiy A∩Ui , yA ⊂
Ðm
i=1Viy A∩Vi ,para cadai ∈ {1, . . . ,n}}.
Así, la igualdad se sigue.
Teorema 1.2.3. Sea X un espacio métrico compacto con métricady topologíaτ.
Se definen
(i) C = {hU1,U2, . . . ,Uni:Ui ∈τpara cadai ∈ {1, . . . ,n}}; (ii) P = {Γ(U): U ∈τ} ∪ {∆(U): U ∈τ}.
EntoncesCes una base para la topología obtenida de la métrica de HausdorffHd para2X yPes una subbase para dicha topología.
Demostración. Del Lema 1.2.2 y observando que hXi=2X, tenemos queCes una
base para alguna topologíaτV para 2X ya queCes cerrado bajo intersección finita. Ahora, sea[P]= {ÑL
: L es un subconjunto finito deP }. De (ii) del Lema 1.2.2, se sigue que C ⊂ [P]ya que si hU1,U2, . . . ,Uni ∈ C entonces hU1,U2, . . . ,Uni =
Γ Ðn
i=1Ui ∩
Ñn
i=1∆(Ui)
y pues{Γ Ðn
i=1Ui
,
∆(U1),∆(U2), . . . ,∆(Un)} ⊂ P.
Así, efectivamente hU1,U2, . . . ,Uni ∈ [P].
Además, usando que C es cerrado bajo intersecciones finitas, y de (i) del Lema 1.2.2 se sigue queP ⊂ C. Entonces[P] ⊂ C pues siÑL ∈ [P]
, donde L es un subconjunto finito de P, entonces ÑL
es una intersección finita de elementos de P, pero cada elemento dePes un elemento deC. Así,Ñ
L ∈ C. Así, efectivamente concluimos que[P] ⊂ C.
Por tanto,C =[P]. De aquí queP es una subbase paraτV
Ahora, sea τH la topología inducida por la métrica de HausdorffHd para 2X. Para
concluir la prueba, bastará mostrar queτV = τH.
Verifiquemos primero queτV ⊂ τH.
SeaU ∈τtal queU , X. Sea A∈Γ(U). Entonces, para = d(A,X\U), tenemos que > 0, ya queA ⊂U,U , X,A∩(X\U)=y tantoAcomoX\Uson cerrados. Veamos queBH(A, ) ⊂ Γ(U). SiR ∈ BH(A, )entoncesR∈2X yHd(A,R)< , de
ahí que R⊂ Nd(,A)y así R∩ (X\U)=. Así, R ⊂U, y se sique que R∈ Γ(U).
Por tanto se verifica que BH(A, ) ⊂Γ(U). Así,Γ(U) ∈ τH.
Ahora, suponga que A ∈ ∆(U). Como A∩U , , existe p0 ∈ A∩U. Sea 0 =
d({p0},X \U). Luego0 > 0. Veamos que BH(A, 0) ⊂ ∆(U). Si R ∈ BH(A, 0)y
R∩U =, entoncesR ⊂ X\U, luegoR ⊂ Nd(0,A)y dado queR∈2X, se sigue que
R, , luego exister ∈ R. Lo anterior implica qued(r,p) < 0= d({p0},X \U)y
r ∈ X\U, lo cual es una contradicción. Así,R∩U ,y se concluye queR ∈∆(U). Por tanto, tenemos queBH(A, 0) ⊂∆(U).
Así,∆(U) ∈τH.
Y notando queΓ(X)= ∆(X)=2X, se sigue queP ⊂ τH. Recordando quePes una subbase paraτV, se sigue queτV ⊂ τH dado que cada elemento de la base deτV es
intersección finita de elementos deP ⊂τH.
Ahora, resta verificar que τH ⊂ τV. Para ello, bastará mostrar que para cada bola
abiertaBH(A, )en 2X, existenU1,U2, . . . ,Un∈ τtales queA∈ hU1,U2, . . . ,Uni ⊂
BH(A, ).
Sea A ∈ 2X y > 0. Note que Aes un compacto no vacío por ser un subconjunto cerrado del compacto X. Así, tenemos queAes precompacto y esto nos garantiza que para/2 > 0 existen abiertos de X, digamosU1,U2, . . . ,Un tales que diam(Ui) < /2, A⊂ ∪n
i=1Ui, y A∩Ui, para cadai ∈ {1,2, . . . ,n}.
Veamos ahora quehU1,U2, . . . ,Uni ⊂ BH(A, ).
Sea R ∈ hU1,U2, . . . ,Uni. Entonces R ⊂ ∪in=1Ui y R∩Ui , para cada i ∈
{1,2, . . . ,n}. Note además que R ∈ 2X. Veamos entonces que R ∈ BH(A, ), es
decir,Hd(R,A)< .
Note que si w ∈ R, entonces w ∈ Ui0 para algún i0 ∈ {1,2, . . . ,n} y dado que
A∩Ui0 , , se sigue que existe a0 ∈ A tal que a0 ∈ Ui0. Luego tenemos que
d(w,a) < /2. Así, R ⊂ Nd(A, /2). Mediante un argumento análogo obtenemos
que A⊂ Nd(R, /2). Por tanto Hd(R,A) ≤ /2 < . Así, efectivamente ya tenemos
queR∈ BH(A, ).
Entonces ya podemos concluir que A∈ hU1,U2, . . . ,Uni ⊂ BH(A, ).
Y entonces ya podemos decir quetH ⊂ tV pues siY ∈ BH(A, ), por propiedades de
espacio métrico exister >0 tal queY ∈BH(Y,r) ⊂ BH(A, )y de lo anterior existe
hV1,V2, . . . ,Vni ∈ τV tal queY ∈ hV1,V2, . . . ,Vni ⊂ BH(Y,r) ⊂ BH(A, ).
Así cadaBH(A, )se puede ver como unión arbitraria de abiertos deτV.
Por tanto,τV = τH
Corolario 1.2.4. Sea X un espacio métrico compacto. Entonces la topología
obte-nida de la métrica de Hausdorff para2X depende solo de la topología en X.
Demostración. Basta observar que la topologíatV del Teorema 1.2.3 solo depende
de la topologíaτdeX yτV = τH.
A la topologíaτV se le conoce a veces comoTopología de Vietoris.
Observación. SeaXun continuo. EscribiremoshU1,U2, . . . ,Uminpara denotar a la
intersecciónhU1,U2, . . . ,Uni ∩Cn(X), es decir, los abiertos relativos deCn(X).
La demostración del siguiente teorema muestra la utilidad de los abiertos vietóricos. Compare con la demostración aquí expuesta con la de [12, 0.8 THEOREM].
Teorema 1.2.5. Si X es un compacto, entoncesC(X)es compacto.
Demostración. Sea {An}n∈N una sucesión enC(X) tal que An → A. Veamos que
A∈C(X), es decir, que Aes conexo. Suponga queAes disconexo. Entonces existen U,V abiertos deX ajenos, no vacíos y tales que A ⊂ U∪V; además, A∩U ,
entonces An ∈ hU,Vi. En particular, AN ∈ hU,Vi. Esto implica que AN ⊂ U∪V,
AN ∩U ,y AN ∩V , , lo cual es falso debido a que AN ∈C(X)yU∩V =.
Así, sin pérdida de generalidad, podemos concluir que A ⊂ U y A∩V = . En consecuencia, Aes conexo.
Por tanto,C(X)es cerrado en 2X.
A continuación enunciamos y demostramos algunas propiedades que si bien son de espacios métricos, toman un significado especial al situarlas en el contexto de la teoría de continuos.
Teorema 1.2.6. En cualquier espacio topológico, la compacidad y la conexidad son
propiedades independientes del espacio ambiente. Dicho de manera más formal,
si (X, τX) es un espacio topológico, y (A, τA) es un subespacio topológico de X, entonces, dadoK ⊂ A⊂ X:
(i) K es compacto en X si y solo siK es compacto en A;
(ii) K es conexo enX si y solo siK es conexo enA.
Demostración. Verifiquemos (i).
Suponga queKes compacto en X. Sea{Vα: α ∈I}una cubierta abierta de K en A. Entonces, cadaVα = Gα∩A, para ciertoGαabierto deX yK ⊂ Ðα∈IVα. Entonces
K ⊂ [Ð
α∈IGα] ∩ A ⊂
Ð
α∈IGα. De la hipótesis se sigue que existe F ⊂ I finito
tal que K ⊂ Ð
α∈FGα. Como K ⊂ A, esto implica que K ⊂ [Ðα∈FGα] ∩ A =
Ð
α∈F[Gα∩A]=Ðα∈FVα. Así,K es compacto en A.
Ahora, suponga queK es compacto en A. Sea{Vα: α ∈ I} una cubierta abierta de K en X. Entonces K ⊂ Ð
α∈IVα, y comoK ⊂ A, se sique queK ⊂
Ð
α∈I[Vα ∩A].
Note que cadaVα∩Aes un abierto deA, y comoK es compacto en A, se sigue que existeF ⊂ I finito, tal queK ⊂ Ð
α∈F[Vα∩ A] ⊂
Ð
α∈FVα. Así,K es compacto en
X.
Ahora verifiquemos (ii).
Suponga que K es conexo en X. Esto quiere decir que (K, τK) es conexo, donde τK es la topología del subespacio relativa a X. Veamos que (K, τK0) es conexo,
U = K ∩G = K ∩F, dondeG es abierto de AyF es cerrado de A. En particular, G = A∩G0, F = A∩F0, dondeG0 es abierto de X y F0es cerrado de X. Como K ⊂ A, tenemos que K ∩ A = K, en consecuencia, lo anterior se puede escribir comoU = K∩G0=K ∩F0. Así,Ues un abierto y cerrado respecto a la topología
τK. Como(K, τK)es conexo, se sigue queU = K.
Por tanto,(K, τK0)es conexo.
Ahora, supongamos queK es conexo enA. Esto quiere decir que(K, τK0)es conexo, dondeτK0 es la topología del subespacio relativa a A. Verifiquemos que (K, τK)es
conexo, dondeτKes la topología del subespacio relativa aX. En efecto. Supongamos
que existeU ,tal queUes abierto y cerrado respecto a la topologíaτK. Entonces
U = K∩G= K ∩F, dondeGes abierto de X y Fes cerrado de X. ComoK ⊂ A, se sigue que K∩ A= K, entoncesU = K ∩ (A∩G) = K ∩ (A∩F). Así,U es un abierto y cerrado respecto aτK0. Como(K, τK0)es conexo, se sigue queU =K.
Por tanto,(K, τK)es conexo.
Uno de los fines del Teorema 1.2.6 es mostrar que no necesitamos indicar el espacio ambiente de un continuo. Es decir, siY ⊂ X, entonces todo continuo deYes continuo deX.
A continuación, enunciamos un teorema que nos garantiza que podemos separar continuos ajenos.
Teorema 1.2.7. Sea X un espacio métrico. Sean K1, . . . ,Kn cerrados propios y ajenos dos a dos de X. Entonces existen abiertos ajenosG1, . . . ,GndeX, tales que
Ki ⊂ Gi parai =1, . . . ,n.
Demostración. Hagamos una demostración por inducción. El caso n = 2 es
in-mediato pues X es un espacio métrico. Suponga que el enunciado se verifica para n compactos propios y ajenos cualesquiera. Veamos que el enunciado se cumple paran+1 cerrados propios y ajenos cualesquiera. SeanK1, . . . ,Kn,Kn+1 cerrados
propios y ajenos de X. Por hipótesis inductiva, existen A1, . . . ,An abiertos ajenos
dos a dos de X tales que Ki ⊂ Ai parai = 1, . . . ,n. Ahora, comoK = Ðni=1Ki es
cerrado por ser unión finita de cerrados, y K ∩Kn+1 = , existen dos abiertos de
X, digamos U,V, tales que K ⊂ U, Kn+1 ⊂ V y U ∩V = . De aquí, se sigue
queKi ⊂ Ai∩U, parai = 1, . . . ,n. Entonces, si denotamos porGi = Ai∩U, para
i= 1, . . . ,nyGn+1=V, se sigue queKi ⊂ Giparai= 1, . . . ,n,n+1, y los abiertos
Por inducción, se sigue el resultado.
Corolario 1.2.8. SeaX un continuo. SeanK1, . . . ,Kn compactos propios y ajenos dos a dos deX. Entonces existen abiertos ajenos dos a dos,G1, . . . ,Gnde X, tales queKi ⊂ Giparai = 1, . . . ,n.
Demostración. Basta observar que como X es un espacio métrico, en particular es
Hausdorff. Entonces todo compacto es cerrado enX. Así, por el Teorema 1.2.7, se
sigue el resultado.
Observe el lector que este teorema nos permite separar cualquier cantidad finita de continuos.
Corolario 1.2.9. Sea X un continuo y n ∈ N. Sean K1, . . . ,Kn continuos propios ajenos dos a dos deX tales queÐni=1Ki ⊂U, dondeUes un abierto deX. Entonces
Ðn
i=1Kn (U. En particular,Ðin=1Kn ( X.
Demostración. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que cada Ki , .
Hagamos un argumento por contradicción. Suponga que U = Ðn
i=1Kn. Note que
cadaKi es compacto, en consecuencia cadaKi es cerrado en X. Entonces Ðni=1Kn
es cerrado en X por ser unión finita de cerrados de X. Así,U es abierto y cerrado de X, y además U , . Como X es un conexo, se sigue que U = X. Entonces
X = Ðn
i=1Ki. Pero por el Corolario 1.2.8, existenG1, . . . ,Gnabiertos ajenos dos a
dos de X tales queKi ⊂ Gi, parai =1, . . . ,n. En consecuencia,
X =
n
Ø
i=1
Ki ⊂ n
Ø
i=1
Gi ⊂ X.
Se sigue que X = Ðn
i=1Gi, lo cual contradice queX es conexo.
Por tanto,U , Ðn
i=1Kn.
Recuerdelo bien: un abierto deXnunca va a ser igual a la unión finita de cualesquiera de sus subcontinuos propios.
Teorema 1.2.10. Sea X un continuo yn ∈ N. SeaY un subcontinuo propio de X
Demostración. Por inducción. Paran=1, note que siY = A, entoncesY es abierto,
cerrado y no vacío enX, y comoXes conexo, se sigue queY = X, lo cual es falso. Por tanto,Y ( A, es decir, existex1 ∈ A\Y. Ahora, suponga que la proposición se verifica
paran∈Ndado. Tenemos queY ( Ay existenx1, . . . ,xn ∈ Adistintos y tales que
xi <Y parai =1, . . . ,n. Si A=Y∪ {x1, . . . ,xn}, entoncesAes abierto, cerrado y no
vacío de X, y como X es conexo, pues A = X, es decir, Y ∪ {x1, . . . ,xn} = X.
Esto contradice al Corolario 1.2.9. Por tanto, Y ∪ {x1, . . . ,xn} ( A. Entonces
existe xn+1 ∈ A\ [Y ∪ {x1, . . . ,xn}], es decir x1, . . . ,xn,xn+1son puntos distintos,
x1, . . . ,xn,xn+1∈ A\Y.
Por inducción, se sigue el resultado.
Corolario 1.2.11. SeaXun continuo yn ∈N. SeaY un subcontinuo propio deXno
vacío y Aun abierto en X tal queY ⊂ A. Entonces existennsubcontinuos propios deX no degenerados y ajenos dos a dos,C1, . . . ,Cntales queCi ⊂ AyCi∩Y =, parai= 1, . . . ,n.
Demostración. Por el Teorema 1.2.10, tenemos que existenx1, . . . ,xn∈ Adistintos
y tales que xi <Y parai = 1, . . . ,n. Por el Teorema 1.2.8, existenG1, . . . ,Gn,Gn+1
abiertos de X ajenos dos a dos, tales que xi ∈ Gi, parai = 1, . . . ,n yY ⊂ Gn+1.
Más aún, xi ∈ Gi∩ A, parai = 1, . . . ,n . Por el Teorema 1.4.8, existenC1, . . . ,Cn
subcontinuos propios no degenerados tales que xi ∈Ci ⊂ Gi∩ Aparai = 1, . . . ,n.
Como losGison ajenos dos a dos, se sigue que losCitambién son ajenos dos a dos.
Por un argumento similar,Ci∩Y =parai =1, . . . ,n.
Teorema 1.2.12. SeaXun continuo yY1,Y2subcontinuos propios deX. SiY1∩Y2 ,
, entoncesY1∪Y2es un continuo.
Demostración. ComoY1∩Y2 ,, se sigue queY1∪Y2es conexo. AdemásY1∪Y2
es unión finita de compactos y X es métrico, luego Y1 ∪Y2 es compacto y en
consecuencia un continuo.
Teorema 1.2.13. Sean∈Ntal quen≥ 2y A⊂ X, donde Xes un espacio métrico.
Suponga queAtiene al menosncomponentes y A,. Entonces existenC1, . . . ,Cn conjuntos no vacíos y separados dos a dos tales que A= Ðni=1Ci.
Demostración. Haremos una prueba por inducción sobre n. Para el caso n = 2,
Supongamos ahora que el resultado se cumple para algún n ∈ N. Veamos a con-tinuación que el resultado se cumple para n+1. Suponga que A tiene al menos n+1 componentes y A , . En particular, Atiene al menosn componentes.
En-tonces por hipótesis inductiva, existenC1, . . . ,Cnconjuntos no vacíos y separados
dos a dos tales que A= Ðn
i=1Ci. Supongamos que losC1, . . . ,Cnson conexos; por
ser separados dos a dos, en particular son disjuntos dos a dos. En consecuencia, C1, . . . ,Cnson las componentes de A, lo cual es falso pues Atiene al menos(n+1)
componentes. Entonces, al menos uno de losC1, . . . ,Cnes disconexo; digamosCn.
Así, existen R,T subconjuntos separados y no vacíos de X tales queCn = R∪T.
En consecuencia, A = Ðn−1
i=1Ci ∪ (R∪T). Ahora, para terminar la prueba, solo
resta verificar que R y T están separados de los C1, . . . ,Cn−1. Como R ⊂ Cn y
[clXCn] ∩Cj =, para j =1, . . . ,n−1, se sigue que[clxR] ∩Cj =;
análogamen-te, comoCn∩ [clXCj] = , para j = 1, . . . ,n−1, se sigue que R∩ [clXCj] = ,
para j =1, . . . ,n−1. Así,Restá separado de losC1, . . . ,Cn−1. AnálogamenteTestá
separado de losC1, . . . ,Cn−1.
Por inducción, se sigue el resultado.
1.3. Conexidad local en continuos
El objetivo de esta sección es probar que los conceptos de conexidadim kleinenen
cada punto y conexidad local son equivalentes.
Definición 1.3.1. Un espacio topológico eslocalmente conexosi para cadax ∈ Xy cada vecindadV de x, existe un abierto conexoAx ⊂V tal que x ∈ Ax.
Se puede decir de modo equivalente que un espacio topológico es localmente conexo si la familia de subconjuntos abiertos y conexos forma una base para la topología dada.
Definición 1.3.2. SeaXun continuo y x ∈ X. Diremos que X es conexo im kleinen enX si para cada cerrado Fde X tal queF ⊂ X \ {x}, existe un subcontinuoW de
X tal quex ∈intX(W) ⊂W ⊂ X \F.
Teorema 1.3.3. Si X es un continuo y x ∈ X, las siguientes proposiciones son
equivalentes:
(ii) Para cada abierto U de X tal que x ∈ U, existe un abiertoV de X tal que
x ∈ V ⊂ U y dondeV tiene la propiedad de que para caday ∈ V, existe un
subconjunto conexoCy deX tal que{x,y} ⊂Cy ⊂ U;
(iii) Para cada abiertoUdeXtal quex ∈U, existe un subcontinuoW deXdonde se verifica quex ∈intx(W) ⊂W ⊂U.
Demostración. Sea Xun continuo y x ∈ X.
Verifiquemos que (i) implica (ii).
Suponga que X es conexo im kleinen en x. SeaU un abierto en X tal que x ∈ U. Entonces X \U es un cerrado que no contiene a x. De ahí, tenemos que existe un subcontinuoW de X tal que x ∈ intx(W) ⊂ W ⊂ X \ (X \U) = U. Definiendo
V =intX(W)se cumple lo requerido.
Verifiquemos que (ii) implica (iii).
Suponga (ii). SeaU un abierto de X tal que x ∈U. Elíjase algúnU0 un abierto de
X tal queU0 ⊂ clX(U0) ⊂U yx ∈U0. Por hipótesis, se sique que existe un abierto
V de X tal que x ∈ V ⊂ U0 y con la propiedad de que para cada y ∈V, existe un
subconjunto conexoCy deX tal que{x,y} ⊂Cy ⊂U0.
Ahora, defínaseW = clX(Ðy∈VCy). Note queW es un subcontinuo pues la
cone-xidad deW se verifica ya que cadaCy contiene al punto x y es bien sabido que la
clausura de un conexo es conexo, ademásW es cerrado en X y X es compacto por ser un continuo, luegoW es compacto. Así, efectivamenteW es un subcontinuo. Además, x ∈ V ⊂ W ⊂ clX(U0) ⊂ U. Como V es abierto en X, se sigue que
V ⊂intX(W). Así, x ∈intX(W) ⊂W ⊂ U.
Finalmente verifiquemos que (iii) implica (i).
Suponga (iii). Sea F un cerrado de X tal queF ⊂ X \ {x}. Entonces X \F es un abierto de X y x ∈ X \ F. Por hipótesis, existe un subcontinuo W de X tal que x ∈intX(W) ⊂W ⊂ X\F.
Por tanto, X es conexo im kleinen.
Lema 1.3.4. Un continuo X es localmente conexo si y solo si las componentes de
los subconjuntos abiertos deX son abiertos.
Demostración. Suponga que X es localmente conexo. SeaU un abierto en X y sea
Para cada x ∈ C, existe (por hipótesis) un abierto conexoVx tal que x ∈ Vx ⊂ U.
Entonces C ∪Vx es un conjunto conexo de X y C ∪Vx ⊂ U. Así, Vx ⊂ C por
propiedades de las componentes conexas. Por tantoCes un abierto en X.
Ahora suponga que las componentes de abiertos de X son abiertos en X. Veamos que X es localmente conexo. Sea x ∈ X y U un abierto de X tal que x ∈ U. Sea C una componente deU tal quex ∈C ⊂ U. Estas siempre existen en los espacios métricos, por ejemplo{x}es un conexo deU. De la hipótesis se sigue queCes un abierto de X. Así,Ces un abierto conexo de X tal quex ∈C ⊂ U.
Por tanto, X es localmente conexo.
Teorema 1.3.5. Un continuo X es conexo im kleinen en cada uno de sus puntos si
y solo siX es localmente conexo en cada uno de sus puntos.
Demostración. Sea Xun continuo.
Suponga queXes localmente conexo. Seax ∈ XyUun abierto deXtal quex ∈U. Elíjase un abiertoV tal quex ∈ V ⊂ clX(V) ⊂U. Como X es localmente conexo,
existe un abierto conexoW tal que x ∈ W ⊂ V ⊂ clX(V) ⊂ U. Luego clX(W) es
conexo y como Xes un continuo, en particular X es compacto.
Así clX(W) es compacto por ser un cerrado de X y se tiene que clX(W) es un
subcontinuo de X. Notando que x ∈ W = intX(W) ⊂ clX(W) ⊂ clX(V) ⊂ U,
obtenemos quex ∈intX(clX(W)) ⊂ clX(W) ⊂U.
Por tanto, X es conexo im kleinen enxpor el Teorema 1.3.3.
Comox fue arbitrario, se concluye queX es conexo im kleinen en cada uno de sus puntos.
Ahora suponga queX es conexo im kleinen en cada uno de sus puntos.
SeaU un abierto de X yC una componente deU. Bastará probar queC es abierto para poder usar el Lema 1.3.4. Six ∈C, entonces existe un subcontinuoWde Xtal quex ∈intX(W) ⊂W ⊂U. ComoC∩W , yW es conexo, se sigue queC∪W
es conexo. Por propiedades de componentes, dado quex ∈C, se sique queW ⊂ C. Asíx ∈intX(W) ⊂W ⊂ Cy concluimos queCes abierto.
1.4. Continuos descomponibles
Definición 1.4.1. Un continuoX esdescomponiblesi puede ser escrito como unión de dos de sus subcontinuos propios. Diremos que X es indescomponiblesi no es
descomponible. Diremos queXeshereditariamente descomponible
(respectivamen-te, indescomponible), si cada subcontinuo no degenerado de X es descomponible
(indescomponible).
Lema 1.4.2. Sea X un continuo y sea A un subcontinuo de X tal que X \ A es
disconexo. Si U,V ∈ τX son disjuntos y no vacíos, y además X \ A = U ∪V, entoncesA∪U y A∪V son subcontinuos de X.
Demostración. Note queX\ (A∪U)=(X \A) ∩ (X\U)=V. EntoncesA∪Ues
cerrado, y como X es continuo, pues A∪Ues compacto. Análogamente A∪V es compacto.
Veamos que A∪U es conexo. Suponga que A∪U es disconexo. Note que A∪U es cerrado enXya que X es Hausdorff por ser un espacio métrico, entonces existen K y L cerrados de X, ajenos y no vacíos, tales que A∪U = K ∪L. Como A es conexo, sin pérdida de generalidad podemos suponer que A⊂ K. Note entonces que L∩A= , luegoL ⊂U. Así, L∩clX(V)= .
Por otro lado, note que si x ∈ X, entonces x ∈ A∪U o bien x ∈ V, entonces x ∈ K ∪ L o bien x ∈ clX(V). Así, X = L ∪ (K ∪clX(V)). Pero tanto L como
(K∪clX(V))son cerrados no vacíos deX, y de lo anterior sabemos que son ajenos.
Así, X es disconexo, lo cual es falso.
Entonces, A∪U es conexo. Análogamente, A∪V es conexo. Por tanto, A∪U y
A∪V son continuos.
Lema 1.4.3. Un continuoX es descomponible si, y solo si,Xcontinene un
subcon-tinuo propio con interior no vacío.
Demostración. Sea X un continuo descomponible. Entonces existen dos
Si X\ Aes conexo, entoncesclX(X \ A)es conexo, y por ser cerrado, se sigue que
es compacto. Así, clX(X \ A)es un continuo de X y, además, dicho subcontinuo
es propio, ya que si X = clX(X \ A), entonces intX(A) ⊂ clX(X \ A), lo cual es
una contradicción. Así, efectivamenteclX(X\ A)es un subcontinuo propio de X y
entonces podemos concluir queX = A∪clX(X\A)y por tanto,Xes descomponible.
Si X\ Aes disconexo, y dado queX\ Aes abierto, tenemos que existenU,V ∈τX ajenos y no vacíos, tales que X \ A = U ∪V. Por el Lema 1.4.2, tenemos que X = (A∪U) ∪ (A∪V). Además, A∪U es subcontinuo propio de X, ya que de lo contrario, tendríamos que A∪V ⊂ A∪U, luegoV ⊂ A, pero ya teníamos que V ⊂ X\AyV ,.
Así,A∪Ues subcontinuo propio deX. Análogamente,A∪Ves subcontinuo propio deX.
Por tanto, X es descomponible.
Corolario 1.4.4. Un continuoX es indescomponible si, y solo si, cada subcontinuo
propio deX tiene interior vacío.
Definición 1.4.5. Diremos que un continuoX es unarcosi es homeomorfo a[0,1].
Teorema 1.4.6. Sea X un arco. EntoncesX es hereditariamente descomponible.
Demostración. Como X es un arco, entonces X es homeomorfo al intervalo[0,1].
Claramente[0, 12]es un continuo con interior no vacío en[0,1]. Por el Lema 1.4.3, se sigue que [0,1] es descomponible. Más, aún, note que todos los subconjuntos conexos de[0,1]son los intervalos abiertos y todos los compactos de[0,1]son los intervalos cerrados y acotados en[0,1]. Entonces todos los subcontinuos de [0,1] son sus subintervalos cerrados. Repitiendo el argumento anterior, se verifica que todos los intervalos cerrados son descomponibles. Así, [0,1] es hereditariamente descomponible. Además, comoXes homeomorfo al[0,1]y claramente la propiedad de ser descomponible es topológica -pues está enunciada en términos de conexos, compactos y abiertos según el Lema 1.4.3-, se sigue que X es hereditariamente
descomponible.
Teorema 1.4.7. SeaXun continuo y seaUun abierto no vacío y propio deX. SiK
es una componente declX(U), entoncesK∩ f rX(U),.
Corolario 1.4.8. SeaXun continuo no degenerado. Si Aes un subcontinuo propio
de X y U es un abierto de X tal que A ⊂ U, entonces existe un subcontinuo B de X tal que A ( B ⊂ U. En particular, todo continuo no degenerado tiene un subconjunto propio no degenerado.
Una prueba del Corolario 1.4.8 puede encontrarse en [12, Teorema 5.5].
Teorema 1.4.9. SiX es un continuo tal que cada uno de sus subcontinuos propios
es indescomponible, entonces X es indescomponible. Así, X es hereditariamente
indescomponible.
Demostración. Hagamos un argumento por contradicción. Suponga que X es
des-componible, entonces existen dos subcontinuos propios A y B de X tales que X = A∪B. Note que X \ B es un abierto de X y X \ B ⊂ A. Así, A tiene in-terior no vacío. Por otro lado, como X es un espacio métrico, y Aes un compacto propio de X, existeG ∈ τX tal queG , X y A⊂ G. Por el Teorema 1.4.8, tenemos que existe un subcontinuo H de X tal que A ( H ⊂ G. Así, H es un subcontinuo
propio de X y, por hipótesis, tenemos que H es indescomponible, entonces por el Corolario 1.4.4, tenemos que Htiene interior vacío. Pero A ⊂ H y Atiene interior no vacío, luegoHtiene interior no vacío y obtenemos una contradicción.
Por tanto, X es indescomponible, y como además cada uno de sus subcontinuos propios también es indescomponible, podemos concluir queX es hereditariamente
indescomponible.
Definición 1.4.10. Unn-odo(n ≥ 2) es un continuoMque contiene a un subcontinuo N de tal modo que M \ N es la unión de n conjuntos no vacíos y mutuamente separados.
Teorema 1.4.11. SiXes un continuo descomponible, entoncesXcontiene un2-odo
Y. Además, Y = P∪Q, donde P,Q son continuos propios deY y P ∩Q es un
continuo.
Demostración. Sean AyBsubcontinuos propios deXtal queX = A∪B. Suponga
que A∩Bes disconexo. Luego, existen al menos dos componentes de A∩B. Sean K1,K2 componentes de A∩ B. Como A es un espacio métrico, existen abiertos
de A, digamosW1,W2 tales que Ki ⊂ Wi y clAW1∩clAW2 = . Denotemos por
Fi = f rAWi. EntoncesFi= clAWi\Wi, debido a queWies abierto deA. Denotemos
frontera, tenemos que Mi∩Fi , . De lo anterior se sigue que Mi ( Ki, debido a
que Fi ∩Ki ⊂ Fi ∩Wi = , dicho de otro modo, debido a que Ki no puede tener
elementos deFiyMi∩Fi ,. Ahora, comoMi es componente declAWi, se sigue
que Mi es un conexo. Además, Mi es, por la misma razón, un cerrado de clAWi,
en consecuencia es un cerrado de X y por tanto, Mi es compacto. Así, Mi es un
continuo de A. Como ya tenemos queMi ( Kiy Ki es una componente de A∩B,
tenemos queMi\B , , ya que de lo contrario,Ki ⊂ A∩ByKi ⊂ Mi. Además,
comoMi ⊂ clAWi, yclAW1∩clAW2= , se sigue que M1∩M2= .
Ahora, definamosM = B∪M1∪M2yN = B.
Mostraremos queMes el 2-odo requerido. Note queB∪M1es conexo ya que como
K1 ⊂ A∩ByK1 ⊂ M1, puesB∩M1, . Asimismo,B∪M1es compacto ya queB
yM1son cerrados, luegoByM1son compactos. Por tanto,B∪M1es un continuo.
Análogamente,B∪M2es un continuo.
Por otro lado, se tiene que(B∪M1) ∩ (B∪M2)= Bya queM1∩M2 =.
Así, M = (B∪M1) ∪ (B∪M2). De lo anterior tenemos que M \N = M1∪M2y
M1,M2son separados, ya que comoMies una componente de clAWi, se sigue que
Mies un cerrado declAWi, luegoMies un cerrado deA. ComoAes un subcontinuo
de X, se sigue que Aes cerrado en X, luego Mi es cerrado en X. Como Ki ,
debido a que son componentes de A∩B, se sigue queMi ,.
Por tanto,M es un 2−odo. Además, si denotamos por P = B∪M1yQ = B∪M2,
se sigue que P ∩Q = B es conexo y P,Q son subcontinuos propios de M pues M1∩M2=y M1,M2⊂ M.
Así,Y = P∪Qcumple lo requerido.
1.5. Funciones de Whitney y arcos ordenados
En esta sección definimos las funciones de Whitney y demostramos que todo arco ordenado se puede parametrizar. Además, enunciamos algunas propiedades útiles de los arcos ordenados. Por otro lado, mostramos la utilidad de los arcos ordenados en el estudio de los hiperespacios.
Definición 1.5.1. SeaXun continuo. Unafunción de Whitneypara 2Xes una función continuaµ: 2X → [0,∞)tal que:
(ii) para cada A,B∈2X, si A( B, entoncesµ(A)< µ(B).
Teorema 1.5.2. Las funciones de Whitney para2X existen.
La prueba de este teorema puede encontrarse en [12, pp. 19-20].
Observación. Considere una función de Whitneyµ: 2X → [0,∞)y un continuo X
no degenerado (con más de un punto). Note que como 2Xes compacto, se sigue que
µ(2X)es un compacto en[0,∞]. En particular,µ(2X)es acotado y asíµ(2X) ∈ [0,∞]. Como 2X es un compacto no degenerado, pues por ejemplo, F(X) ⊂ 2X, entonces 0 = µ({X}) < µ(2X), es decir, µ(2X) > 0. Entonces, podemos normalizar a µ definiendo
µ0(
A)= µ(A)
µ(2X),
para cadaA∈2X. Note queµ0: 2X → [0,1]yµ0también es una función de Whitney.
Definición 1.5.3. SeaAun conjunto con una relación de orden parcial≤0. Diremos que A es una red respecto a ≤0, si para cada a,b ∈ A sucede que a ≤0 b o bien b ≤0a.
Definición 1.5.4. Unarco ordenadoen 2X es un arcoA ⊂ 2X que además es una red respecto a⊂.
Lema 1.5.5. Si A ⊂ 2X es compacto y es una red respecto a ⊂, entonces toda función de Whitney es inyectiva enA, y si además,Aes compacto, se sigue que la restricción de toda función de Whitney es un homeomorfismo.
Demostración. Sea µ: 2X → [0,1]una función de Whitney.
Veamos que µes inyectiva. Sean A,B ∈ A tales que A, B. Por hipótesis, se tiene que A ( B o bien B ( A. En cualquiera de los dos casos, por propiedades de las
funciones de Whitney, se sigue queµ(A), µ(B). Así, µes inyectiva. Si además,A es un compacto, dado que µ|A es continua e inyectiva por ser la restricción de una función continua e inyectiva, tenemos que µ|A es un homeomorfismo.
Demostración. Suponga que A es una red. Por el Teorema 1.5.2, existe µ: 2X →
[0,1] una función de Whitney. Definamos µ0 = µ|A. Entonces µ0 es un homeo-morfismo ya que 2X es compacto. Como A es un subcontinuo no degenerado, se tiene que A es un compacto, conexo con más de un punto. Entonces, como µ0es homeomorfismo, se sigue que µ0(A) ⊂ [0,1]es un compacto, conexo, con más de un punto, es decir, µ0(A) es un intervalo cerrado con más de un punto, digamos
µ0(A)=
[a,b], paraa,b∈ [0,1].
Así,Aes un arco. Además, dado queAes una red, entoncesAes un arco ordenado.
La otra implicación es inmediata.
Lema 1.5.7. SiAes un arco ordenado en2X, entoncesÑA ∈ A
yÐA ∈ A.
Demostración. Note queA ' [0,1]. EntoncesAes compacto. Seaµ: 2X → [0,1]
una función de Whitney. De la compacidad deA, se sigue que µ(A) ⊂ [0,1]es un compacto, y como µes continua, existe A0 ∈ Atal que µ(A0)=min µ(A).
Veamos que A0 ⊂ A para cada A ∈ A. Suponga que no es así. Entonces existe
A ∈ A tal que A01 A. ComoA es arco ordenado, se sigue que A( A0. Entonces
µ(A)< µ(A0), lo cual es falso puesµ(A0)= minµ(A).
Ahora, como A0 ⊂ Apara cada A ∈ A, se sigue que A0 = ÑA. Como teníamos
que A0 ∈ A, entoncesÑA ∈ A.
Análogamente se obtiene queÐ
A ∈ A.
Teorema 1.5.8. SiAes un arco ordenado en2X, entonces los dos puntos extremos
deAsonÑAyÐA.
Demostración. Sea µ: 2X → [0,1] una función de Whitney. Consideremos µ0 = µ|A. Note que µ0es continua e inyectiva, y como A es un compacto -es un arco-, se sigue que µ0 es un homeomorfismo. Además, para cada A ∈ A, tenemos que ÑA ⊂
A⊂ Ð
A. En consecuencia,
µ0(∩A) ≤ µ0(
A) ≤ µ0(∪A)
para cada A∈ A.
Así,µ0(A) ⊂ [µ0(ÑA), µ0(ÐA)]
. Y si tomamost ∈ [µ0(ÑA), µ0(ÐA)]
son los puntos extremos deµ0(A), y µ0es un homeomorfismo, se sigue queÑA y ÐA
son los puntos extremos deA.
De lo anterior, podemos decir que la siguiente definición tiene sentido.
Definición 1.5.9. Si A es un arco ordenado en 2X, diremos que A es un arco
ordenado deÑAaÐA.
El siguiente teorema nos permite parametrizar arcos. Sirve además como una re-conciliación entre dos definiciones dearco ordenado de Aa B que se encuentran en la literatura; una definición es la que decidimos usar en este escrito -a saber la Definición 1.5.9-, y la otra, la cual define un arco ordenado como una función continua e inyectiva del intervalo en 2X que cumple queα(0)= A, α(1)= B, y para cadas,t ∈ [0,1]cons <t se cumple queα(S)( α(t).
Veremos a continuación que dichas definiciones son equivalentes.
Teorema 1.5.10. SeaX un compacto yA,B ∈2X. Entonces un arco ordenado deA a Bes exactamente la imagen de una función continua e inyectivaα: [0,1] →2X tal que α(0) = A, α(1) = B, y para cada s,t ∈ [0,1] con s < t se cumple que α(S) ( α(t).
Demostración. SeaA ⊂2X un arco ordenado de AaB. Note que A=ÑAyB =
Ð
B. Sin perdida de generalidad podemos suponer que A, B. Considereµ: 2x → [0,1] una función de Whitney. Definamos µ0 = µ|A. Note que µ0 es continua e inyectiva. ComoAes un arco, en particular es compacto. En consecuencia,µ0es un homeomorfismo. También, de la prueba del Teorema 1.5.8 podemos observar que
µ0(A)= [µ0(
A), µ0(B)].
Ahora vamos a construir la funciónα: [0,1] → 2X que necesitamos.
Definamosγ =(µ0)−1. Notemos queγ: [µ0(A), µ0(B)] → Aes un homeomorfismo. Consideremos también a β: [0,1] → [µ0(A), µ0(B)]dada por
β(t)= t(µ0(B) − µ0(A))+µ0(A)
Tenemos queα(0)=(γ◦β)(0)= γ(β(0)= γ(µ0(A))= A. Análogamente,α(1)= (γ◦β)(1)= γ(β(1)=γ(µ0(B))= B.
Ahora, seans,t ∈ [0,1]tales ques <t. Comoβes estrictamente creciente, tenemos que β(s) < β(t). Como β(s), β(t) ∈ [µ0(A), µ0(B)] = µ0(A), existenY,Z ∈ Atales que β(s) = µ0(Y) y β(t) = µ0(Z). Dado que µ0(Y) < µ0(Z), se sigue que Y ( Z.
Pero Y = γ(µ0(Y)) = γ(β(s)) = (γ ◦ β)(s) = α(s) y análogamente tenemos que Z = γ(µ0(Z))=γ(β(t))=(γ◦ β)(t)=α(t).
Por tanto,α(s)( α(t).
Finalmente, como β, γson homeomorfismos, se sigue queαes un homemorfismo, en particular,αes continua e inyectiva. Así queda demostrada la necesidad.
Para demostrar la suficiencia, consideremosα: [0,1] → 2Xtal queα(0)= A, α(1)= B, y para cadas,t ∈ [0,1]cons <tse cumple queα(S)( α(t). Comoαes continua
e inyectiva y[0,1] es compacto, se sigue queα es un homeomorfismo. Más aún, tenemos el homeomorfismo[0,1] 'α([0,1]). Es inmediato queα([0,1])es un arco. Y si A,B ∈ α([0,1]), entonces existen s,t ∈ [0,1] tales que A = α(s) y B = α(t). Como tenemos que s ≤ t o bien t ≤ s, nuestra suposición sobre α implica que A ⊂ Bo bien, B ⊂ A. Así, α([0,1]) es una red, y como ya teníamos que α([0,1]) es homeomorfo al intervalo[0,1], entonces podemos decir queα([0,1])es un arco
ordenado.
Teorema 1.5.11. SeaXun compacto yA,B ∈2X. Entonces existe un arco ordenado
de AaBsi, y solo siA ⊂ By cada componente deBintersecta aA.
La prueba del Teorema 1.5.11 puede encontrarse en [5, 15.3 Theorem].
Teorema 1.5.12. Sea X un continuo. Entonces2X es arcoconexo.
Demostración. Sea A ∈ 2X tal que A , X. Como X es conexo, se sigue que la
única componente deX esX. Note que A⊂ X implica que cada componente de X intersecta aA. ComoXes compacto, por el Teorema 1.5.11, existe un arco ordenado en 2X de Aa X. Entonces, dado que cada elemento de 2X \X puede conectarse con X mediante un arco, se sigue que 2X es arcoconexo.
En la prueba del Teorema 1.5.12, nótese que el arco debía estar contenido en 2X.
Demostración. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que Aes no
degene-rado, esto es, queAtiene más de un punto. Note que Aes conexo por pertenecer a C(X). SeaB ∈ A tal queB , A. Por el Teorema 1.5.10, existeα: [0,1] → 2X tal
queαes continua e inyectiva, y paras,t ∈ [0,1]cons <t se tiene queα(s)( α(t); ademásα([0,1]) = Ayα(0)= ApuesAempieza en A. Entonces existet ∈ [0,1] cont , 0 tal queα(t) = B. Se sigue que A ( B. Además, α0 = α|[0,t] hereda todas las propiedades enunciadas de α. En particular, α0([0,t])es un arco ordenado que empieza en Ay termina en B. Entonces por el Teorema 1.5.11, tenemos que cada componente de B intersecta a A. Esto implica que, si K es una componente de B, entonces A∪K es conexo debido a que K ∩ A , y A es conexo. Además, si recordamos que A ⊂ B, es inmediato queB = Ð{
A∪K: K es componente deB}; basta notar que, si b ∈ B entonces existe una componente de B, digamos Kb tal
que b ∈ Kb, luego b ∈ A∪Kb. Además, A ⊂ Ñ{A∪K: K es componente deB}
y A, . Por tanto, B es la unión de conexos que tienen intersección no vacía; en
consecuenciaBes conexo. Como ya teníamos queB∈2X, entoncesB∈C(X). ComoB ∈ Aera arbitrario, se sigue queA ⊂C(X).
Teorema 1.5.14. Sea X un continuo. EntoncesC(X)es arcoconexo.
Demostración. Sea A ∈ C(X) tal que A , X. Por el Teorema 1.5.11, existe un
arco ordenado de A a X en 2X, digamos A ⊂ 2X. Dado que A ∈ C(X), se sigue por el Lema 1.5.13, tenemos que A ⊂ C(X). Así, cada punto de C(X) \ {X} puede ser conectado a Xpor un arco contenido enC(X). En consecuencia,C(X)es
arcoconexo.
Teorema 1.5.15. SeaXun continuo. Entonces2XyC(X)son continuos arcoconexos
no degenerados.
Demostración. Por el Teorema 1.1.19, sabemos que 2X es compacto. También, por
el Teorema 1.5.12, tenemos que 2Xes arcoconexo, lo cual implica que 2X es conexo. ComoF(X) ⊂ 2X, se sigue que 2X es no vacío y con más de un punto. Así, 2X es un continuo no degenerado.
Por otro lado, ya sabemos queC(X) es arcoconexo, en particularC(X)es conexo. Por el Teorema 1.2.5, tenemos que C(X) es compacto. Como F(X) ⊂ C(X), se sigue que C(X)es no vacío y con más de un punto. Así, C(X)es un continuo no degenerado.
1.6. Homotopía y contractibilidad
Definición 1.6.1. Sean X,Y espacios topológicos. Una homotopía es una función continuah: X× [0,1] →Y. Si f: X →Y yg: X →Y son dos funciones continuas y si h: X× [0,1] →Y es una homotopía tal que, para cadax ∈ Xse cumple que
h(x,0)= f(x)
h(x,1)= g(x), entonces se dice quehes una homotopía de f ag.
Además, si existe una homotopía de f agdiremos que f ygsonhomotópicas.
Definición 1.6.2. Un espacio topológico X se dice contráctil en si mismo, o sim-plemente contráctil, si la función identidad de X, es homotópica a una función
constante deX en X.
Definición 1.6.3. Sea f: X → Y una función continua entre espacios métricos compactos. Entonces 2f: 2X → 2Y dada por 2f(A) = f(A) se llama la función
inducida entre2X y2Y.
Observe que 2f está bien definida pues la imagen continua de un compacto es compacto y los compactos en espacios métricos son, en particular, cerrados.
Teorema 1.6.4. Sea f: X → Y una función continua entre espacios métricos compactos. Entonces2f es continua.
Demostración. Sea > 0 y A ∈ 2X. Como X es un compacto, se sigue que f
es uniformemente continua. Entonces existe δ > 0 tal que, para todo x,x0 ∈ X tal que dX(x,x0) < δ, se cumple que dY(f(x), f(x0)) < . Sea A0 ∈ 2X tal que
hd(A,A0) < δ. Entonces existeδ0 < δ, conδ0 > 0 tal que A ⊂ Ða0∈A0 BdX(a0, δ0)y
A0 ⊂ Ð
a∈ABdx(a, δ
0).
Ahora, sea f(a0) ∈ f(A0). Entonces a0 ∈ A0. De lo anterior tenemos que existea ∈ Atal que dX(a0,a) < δ0< δ. EntoncesdY(f(a0), f(a)) < .
En consecuencia, tenemos la contención f(A0) ⊂ Ð
a∈ABdY(f(a), ) = N(, f(A)).
Análogamente, obtenemos que f(A) ⊂Ð
a∈A0 BdY(, f(a))= N(, f(A0)).
Por el Teorema 1.1.13, se concluye queHdY(f(A), f(A
0))< .
Por tanto 2f es continua en A. Como A ∈ 2X era arbitrario, podemos concluir que
Lema 1.6.5. Sea f: 2X× [0,1] →22 x×[0,1]
dada por f(A,t)= {A} × [0,t]. Entonces
f es continua.
Demostración. Note primero que 2X× [0,1]es compacto por ser producto de
com-pactos. Además, tenemos el homeomorfismo{A}×[0,t] ' [0,t], para cadat ∈ [0,1]. Entonces {A} × [0,t] es un compacto en 2X × [0,1], y en particular es cerrado en 2X× [0,1]. Así, f está bien definida.
Cabe recalcar que estamos considerando a 2X × [0,1]con la métrica d∗((A,t),(A0,t0))=pHd(A,A0)2+|t−t0|2.
Observe queHd(A,A0) ≤ d∗((A,t),(A0,t0))y que|t−t0| ≤ d∗((A,t),(A0,t0)). También
es importante notar que d∗((A,t),(A0,t0)) ≤ Hd(A,A0)2+|t −t0|2, para todot,t0 ∈
[0,1].
Sea ahora > 0 y(A,t) ∈ 2X× [0,1]. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que < 1.
Definamosδ = 4. Note queδ >0. Sid∗((A,t),(A0,t0))< δ =
4, entonces|t−t
0|<
4 yHd(A,A
0)<
4. Ahora
observe-mos lo siguiente: sin pérdida de generalidad, podeobserve-mos suponer quet < t0. Entonces [0,t0]=[0,t] ∪ [t,t0]. En consecuencia, tenemos que:
(i) para cada x ∈ [0,t], existex0∈ [0,t0]tal que|x− x0|<
2, y además
(ii) para caday0∈ [0,t0], existey ∈ [0,t]tal que |y−y0| <
2.
Para convencerse de esto último, note que, en el caso de (i), si tomamos x ∈ [0,t], podemos elegir x0 = x ∈ [0,t] ⊂ [0,t0] y pues |x− x0| = 0 < 2; en el caso de (ii), si tomamos y0 ∈ [0,t0], hay dos casos, que y0 ∈ [0,t]o bien que y0 ∈ [t,t0], el primer caso es análogo al anterior, y si y0 ∈ [t,t0], podemos tomar y = t ∈ [0,t]y claramente|y0− y| <
2.
Así, si además notamos queHd(A,A0) < 2, se obtiene que:
(i) para cada x ∈ [0,t], existex0∈ [0,t0]tal que
d∗((A,x),(A0,x0)) ≤ Hd(A,A0)2+|x− x0|2 < 2
2 <
2 < ,
(ii) para caday0∈ [0,t0], existey ∈ [0,t]tal que
d∗((A0,y0),(A,y)) ≤ Hd(A,A0)2+|y−y0|2< 2
2 <
2< ,
y donde, análogamente, la última desigualdad se verifica ya que <1.
De aquí se sigue que:
(i) {A} × [0,t] ⊂ Ð
x0∈[0,t0]Bd∗((A0,x0), )= Nd∗({A0} × [0,t0], );
(ii) {A0} × [0,t0] ⊂Ð
y∈[0,t]Bd∗((A,y), )= Nd∗({A} × [0,t], ).
Así, obtenemos que,Hd∗({A} × [0,t],{A0} × [0,t0]) ≤, es decir,
Hd∗(f(A,t), f(A0,t0)) ≤.
Por tanto f es continua en(A,t). Como (A,t) es arbitrario, se concluye que f es
continua.
Lema 1.6.6. Seah: 2X×[0,1] → 2X
una función continua, es decir, una homotopía.
Sig: 2X×[0,1] →22 X
está dada porg(A,t)= h({A}×[0,t]), entoncesges continua.
Demostración. Sea f: 2X× [0,1] → 22 x×[0,1]
dada por f(A,t)= {A} × [0,t]. Note que(2h◦ f)(A,t) = 2h(f(A,t)) = 2h({A} × [0,t]) = h({A} × [0,t])= g(A,t), para todo A ∈ 2X y t ∈ [0,1]. Entonces, g = 2h◦ f. Ahora, como h va de 2X × [0,1] -que es compacto- en 2X -que también es compacto-, se sigue que 2h es continua. Además, por el Lema 1.6.5, se sigue que f también es continua. Por tanto, g es continua por ser composición de funciones continuas.
Definición 1.6.7. Sea∆⊂ 2X. Seah: ∆× [0,1] →2Xuna homotopía. A la función h0: ∆× [0,1] → 2X dada por h0(A,t) = Ð{
h(A,s): 0 ≤ s ≤ t} se le llama el
segmento homotópico asociado ah.
Lema 1.6.8. Sea X un compacto. Sea σ: 22 X
→ 2X dada por σ(A) = ÐA
.
Entoncesσ está bien definida y satisface la desigualdad
Hd(σ(A1), σ(A2)) ≤ H2(A1,A2),
dondeH2es la métrica de Hausdorff para22 X
. Note además queσes continua.
Teorema 1.6.9. El segmento homotópico asociado a una homotopía es una función
continua.
Demostración. Sea∆ ⊂ 2X. Seah: ∆× [0,1] → 2X una homotopía. Sea g: 2X ×
[0,1] → 22X dada porg(A,t)= h({A} × [0,t]). Consideremos ah0: ∆× [0,1] →2X dada por h0(A,t) = Ð{
h(A,s): 0 ≤ s ≤ t} el segmento homotópico asociado ah. Observe queh({A} × [0,t])= {h(A,s): 0 ≤ s ≤ t}. De aquí, se sigue que
(σ◦g)(A,t)= σ(g(A,t)) = (σ◦g)(A,t) = Ø
g(A,t)
= Ø
h({A} × [0,t]) = Ø
{h(A,s): 0≤ s ≤t} = h0(A,t),
para cada A∈2X yt ∈ [0,1]. En consecuencia,h0=σ◦g. Pero por el Lema 1.6.8, se sabe queσ es continua, y por el Lema 1.6.6, sabemos queges continua.
Así, podemos concluir queh0, el segmento homotópico asociado ahes una función
continua.
Definición 1.6.10. Un continuo X dice que tiene la propiedad de Kelleysi ocurre que, dado > 0, existe δ > 0 tal que, si a,b ∈ X son tales que d(a,b) < δ y a ∈ A∈C(X), entonces existeB ∈C(X)tal queb∈ ByH(A,B) < .
Aδse le llama elnúmero de Kelley asociado a.
Teorema 1.6.11. Si X es un continuo con la propiedad de Kelley, entonces 2X y C(X)son contráctiles.
La demostración de este teorema puede encontrarse en [10, 16.15 THEOREM].
Teorema 1.6.12. Todo continuo hereditariamente indescomponible tiene la
propie-dad de Kelley.