PROBLEMARIO DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA PRIMER EXAMEN PARCIAL
PROFRA. ROSA MARIA AGUILAR RIVERA
Estadística Descriptiva
1. Las investigaciones sobre resistencia de materiales representan un área rica en aplicaciones de métodos estadísticos. El artículo “Effects of Aggregates and Microfillers on the Flexural Properties of Concrete” (Magazine of Concrete Research, 1997, pp. 81-89) reseñan un estudio de las propiedades de resistencia del concreto de alta resistencia obtenido usando superplastificantes y ciertos aglutinantes. La resistencia a la compresión de este concreto se había investigado con anterioridad, pero no se conocía mucho acerca de la resistencia a la fricción (medida de la capacidad de resistencia a la falla por flexión). Loa datos siguientes sobre resistencia a la compresión están en mega pascales (MPa) (donde 1 Pa = 1.45 10-4 psi) y aparecieron en el
artículo citado:
5.9 7.2 7.3 6.3 8.1 6.8 7.0 7.6 6.8 6.5 7.0 6.3 7.9 9.0 8.2 8.7 7.8 9.7 7.4 7.7 9.7 7.8 7.7 11.6 11.3 11.8 10.7
a. Trace un diagrama de tallo y hojas de los datos. ¿Cuál parece ser un valor representativo de la resistencia? Las observaciones, ¿parecen estar muy concentradas cerca del valor representativo, o solo están dispersas? b. El diagrama, ¿parece ser razonablemente simétrico respecto a su valor representativo, o describiría su forma
de otra manera?
c. ¿Parece haber algún valor extraño o atípico?
d. ¿Qué proporción de las observaciones de resistencia fueron mayores de 10 MPa en esta muestra?
2. El artículo citado en el problema anterior también presenta las siguientes observaciones de resistencia en cilindros:
6.1 5.8 7.8 7.1 7.2 9.2 6.6 8.3 7.0 8.3 7.8 8.1 7.4 8.5 8.9 9.8 9.7 14.1 12.6 11.2
a. Trace un diagrama comparativo de tallo y hojas, de los datos para vigas y cilindros y a continuación conteste las preguntas de los incisos (b), (c), y (d) del problema anterior para las observaciones con cilindros.
b. ¿En qué aspectos se parecen los dos lados del diagrama? ¿Hay diferencias obvias entre las observaciones para vigas y para cilindros?
c. Construya una gráfica de puntos de los datos del cilindro.
3. La distribución de frecuencias adjunta en energía depositada (mJ) fue extraída del artículo “Experimental Analysis of Laser-Induced Spark Ignition of Lean Turbulent Premixed Flames” (Combustion and Flame, 2013: 1414-1427).
Intervalo Frecuencia Intervalo Frecuencia
1.0 ≤ x < 2.0 5 3.4 ≤ x < 3.6 141
2.0 ≤ x < 2.4 11 3.6 ≤ x < 3.8 126
2.4 ≤ x < 2.6 13 3.8 ≤ x < 4.0 92
2.6 ≤ x < 2.8 30 4.0 ≤ x < 4.2 73
2.8 ≤ x < 3.0 46 4.2 ≤ x < 4.4 38
3.0 ≤ x < 3.2 66 4.4 ≤ x < 4.6 19
3.2 ≤ x < 3.4 133 4.6 ≤ x < 5.0 11
a.
¿Qué proporción de estos ensayos de ignición da como resultado una energía depositada de menos de 3 mJ?c.
Aproximadamente, ¿qué proporción de ensayos resulta en una energía depositada de al menos 3.5 mJ?d.
Construya un histograma y comente acerca de su forma.4. El artículo “Finding Occupational Accident Patterns in the Extractive Industry Using a Systematic Data Mining Approach” (Reliability Engr. And System Safety, 2012; 108 – 122) se presentaron las siguientes categorías por tipo de actividad física, cuando ocurrió un accidente industrial:
A. Trabajo con herramientas manuales B. Movimiento
C. Portar a mano
D. Manipulación de objetos E. Operación de una Máquina F. Otros
Construya una distribución de frecuencias, incluyendo frecuencias relativas y un histograma para los datos adjuntos de 100 accidentes (los porcentajes concuerdan con los del artículo citado):
A B D A A F C A C B E B A C F D B C D A A C B E B C E A B A A A B C C D F D B B A F C B A C B E E D A B C E A A F C B D D D B D C A F A A B D E A E D B C A F A C D D A A B A F D C A C B F D A E A C D
5. Los siguientes datos corresponden al número de ciclos para producir la falla de una muestra de ensayo de aluminio sometida a un esfuerzo alternado repetido de 21000 psi, 18 ciclos por segundo:
1115 1567 1223 1782 1055 1310 1883 375 1522 1764 1540 1203 2265 1792 1330 1502 1270 1910 1000 1608 1258 1015 1018 1820 1535 1315 845 1452 1940 1781 1085 1674 1890 1120 1750 798 1016 2100 910 1501 1020 1102 1594 1730 1238 865 1605 2023 1102 990 2130 706 1315 1578 1468 1421 2215 1269 758 1512 1109 785 1260 1419 1750 1481 885 1888 1560 1462
a.
Trace un diagrama de tallo y hojas para estos datos. ¿Por qué es relativamente fácil identificar un valor representativo? ¿Revela el diagrama algunas propiedades importantes de los datos?b.
Elabore una distribución de frecuencias y un histograma.c. Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de la muestra. d. Determine la mediana de la muestra.
6. Los siguientes valores de densidad relativa para diversos tipos de madera usados en la construcción aparecieron en el artículo “Bolted Connection Design Values Based on European Yield Model” (J. of Structural Engr.,1993: 2169 – 2186):
.31 .35 .36 .37 .38 .40 .40 .40 .41 .41 .42 .42 .42 .42 .42 .43 .44 .45 .46 .46 .47 .48 .48 .48 .51 .54 .54 .55 .58 .62 .66 .66 .67 .68 .75
Trace un diagrama de tallo y hojas que use tallos repetidos y haga comentarios sobre las características interesantes que aprecie.
7. Las propiedades mecánicas permisibles para diseño estructural de vehículos aeroespaciales metálicos, requiere un método aprobado para analizar estadísticamente los datos de prueba empíricos. En el artículo “Establishing Mechanical Property Allowables for Metals” (J. of Testing and Evaluation, 1998: 293 – 299), se emplearon los datos adjuntos de resistencia última a la tensión (ksi) como base para superar dificultades en el desarrollo del método.
135.9 135.9 135.9 136.0 136.0 136.1 136.2 136.2 136.3 136.4 136.4 136.6 136.8 136.9 136.9 137.0 137.1 137.2 137.6 137.6 137.8 137.8 137.8 137.9 137.9 138.2 138.2 138.3 138.3 138.4 138.4 138.4 138.5 138.5 138.6 138.7 138.7 139.0 139.1 139.5 139.6 139.8 139.8 140.0 140.0 140.7 140.7 140.9 140.9 141.2 141.4 141.5 141.6 142.9 143.4 143.5 143.6 143.8 143.8 143.9 144.1 144.5 144.5 147.7 147.7
a. Construya un diagrama de tallo y hojas de los datos eliminando (truncando) primero el dígito de las decenas y luego repitiendo cada valor del tallo cinco veces (una vez para las hojas 1 y 2, una segunda vez para las hojas 3 y 4, etc.) ¿Por qué es relativamente fácil identificar un valor de resistencia representativo? b. Construya un histograma usando las clases de igual amplitud con la primera clase con un límite inferior de
122 y un límite superior de 124. Luego comente acerca de cualquier característica interesante del histograma.
8. En el artículo “Study on the life Distribution of Microdrills” (J. of Engr. Manufacture, 2002: 301- 305) aparecen las observaciones siguientes, listadas en orden creciente, del tiempo de vida de un taladro (número de agujeros que maquina un taladro antes de romperse) cuando se hacen agujeros en cierta aleación de latón.
11 14 20 23 31 36 39 44 47 50 59 61 65 67 68 71 74 76 78 79 81 84 85 89 91 93 96 99 101 104 105 105 112 118 123 136 139 141 148 158 161 168 184 206 248 263 289 322 388 513
a. ¿Por qué no se puede basar una distribución de frecuencias en los intervalos de clase 0 -50, 50 – 100, 100 – 150, etc.?
b. Construya una distribución de frecuencias y un histograma con los datos usando los límites de clase 0, 50, 100, …, y comente acerca de las características interesantes.
c. Construya una distribución de frecuencias e histograma de logaritmos naturales de las observaciones de tiempo de vida media y comente acerca de las características interesantes.
d. ¿Qué proporción de las observaciones de tiempo de vida de la muestra son menores que 100? ¿Qué proporción de las observaciones son por lo menos 200?
9. En la actualidad se está utilizando la difracción retrodispersada de electrones en el estudio de fenómenos de fractura. La siguiente información sobre ángulo de desorientación (grados) se extrajo del artículo “Observations on the Faceted Initiation Site in the Dwell - Fatigue Tested Ti-6242 Alloy: Crystallographic Orientation and Size Effects” (Metallurgical and Materials Trans., 2006: 1507 – 1518).
Clase: 0 - <5 5 - < 10 10 - < 15 15 - < 20 20 - < 30 Frecuencia relativa: 0.177 0.166 0.175 0.136 0.194
Clase: 30 - < 40 40- < 60 60 - < 90 Frecuencia relativa: 0.078 0.044 0.030
a. ¿Es verdad que más del 50% de los ángulos muestreados son más pequeños que 15°, como se afirma en el artículo?
b. ¿Qué proporción de los ángulos muestreados son por lo menos de 30°? c. Aproximadamente que proporción de los ángulos son de entre 10° y 25°? d. Construya un histograma y comente sobre cualquier característica interesante?
10. Los datos adjuntos de granulometrías (nm) de CeO2 bajo ciertas condiciones experimentales fueron leídos de
una gráfica en el artículo “Nanoceria - Energetics of surfaces, Interfaces and Water Adsorption” (J. of the Amer. Ceramic Soc., 2011:3992-3999):
3.0 − < 3.5 3.5 − < 4.0 4.0 − < 4.5 4.5 − < 5.0 5.0 − < 5.5 5.5 − < 6.0 6.0 − < 6.5 5 15 27 34 22 14 7
6.5 − < 7.0 7.0 − < 7.5 7.5 − < 8.0 2 4 1
b. ¿Qué proporción de las observaciones son al menos 6?
c. Construya un histograma con la frecuencia relativa en el eje vertical y comente las características interesantes. En particular, la distribución de tamaños de partícula ¿parece razonablemente simétrica o algo sesgada? [Nota: Los investigadores ajustan los datos a la distribución logarítmica-normal; esto se analiza más adelante.]
d. Construya un histograma con la densidad en el eje vertical y compárelo con el histograma del inciso c).
11. Un artículo publicado en Electrical Manufacturing & Coil Winding Conference Proceedings (1995, pág. 829) presenta los resultados del número de embarques devueltos, según los registros de cierta empresa. La compañía está interesada en saber por qué fueron regresados los embarques. A continuación se muestran resultados. Construya un diagrama de Pareto e interprete los datos.
Causa Número de clientes
Rechazados 195 000
Selección equivocada 50 000 Respuesta equivocada 68 000
Cancelación 5 000
Otra 15 000
12. Los datos siguientes son mensuales y se obtuvieron durante el período de 1985 a 1989. Cada valor es la radiación solar promedio en la banda de 385 a 530 nm como porcentaje de la radiación total (“Global Energy in the Different Spectral Bands at Dhahran, Saudi Arabia”, J. Solar Energy Engr. 1991: 290 294). Comente acerca de las características de los datos.
20.9 19.6 20.4 20.3 20.8 20.6 20.5 20.4 19.9 19.8 19.5 20.2 16.5 18.3 18.7 19.6 20.0 20.0 19.5 19.6 19.1 18.8 18.3 17.6 17.2 17.8 18.7 19.0 19.0 18.6 18.8 19.0 18.5 18.3 17.5 16.9 17.0 17.8 18.1 18.8 18.9 18.9 19.1 18.8 18.4 17.8 17.0 16.8 17.9 18.4 19.0 19.4 19.7 19.5 19.5 19.5 19.0 18.7 18.1 17.9
a. Construya un diagrama de puntos y dígitos para la serie de tiempo adjunta. b. Comente acerca de las características importantes que observa.
c. Construya una gráfica de series de tiempo y comente sobre observaciones que no se percibieron en el diagrama del inciso (a).
13. La concentración de sólidos en agua de río es una característica ambiental importante. Un artículo científico reportó sobre la concentración (en partes por millón, o ppm) en varios ríos diferentes. Supongamos que se obtuvieron las siguientes 50 observaciones para un río en particular:
55.8 60.9 37.0 91.3 65.8 42.3 33.8 60.6 76.0 69.0 45.9 39.1 35.5 56.0 44.6 71.7 61.2 61.5 47.2 74.5 83.2 40.0 31.7 36.7 62.3 47.3 94.6 56.3 30.0 68.2 75.3 71.4 65.2 52.6 58.2 48.0 61.8 78.8 39.8 65.0 60.7 77.1 59.1 49.5 69.3 69.8 64.9 27.1 87.1 66.3
a.
Construya un diagrama de tallo y hojab.
¿Por qué una distribución de frecuencias no puede basarse en los intervalos de clase 0 – 10, 10 – 20, 20- 30,…, 90 – 100?c.
Construya una distribución de frecuencias con intervalos de clase 20 - <30, 30 - <40,…, 90 - < 100.d.
¿Qué proporción de las observaciones de concentración fue menor de 50?, y ¿por lo menos 60? e. Calcule la mediana muestral,f. La media recortada al 25% y al 10%
14. En el artículo “The Pedaling Technique of Elite Endurance Cyclists” (Int. J. of Sport Biomechanics, 1991: 29 – 53) aparecen los siguientes datos de energía en una sola pierna con una alta carga de trabajo:
244 191 160 187 180 176 174 205 211 183 211 180 194 200
a. Calcule e interprete la media y la mediana de la muestra.
b. Suponga que la primera observación fue 204 y no 244 ¿Cómo cambiarían la media y la mediana?
c. Calcule la media recortada eliminando las observaciones mínima y máxima de la muestra. ¿Cuál es el porcentaje correspondiente de corte?
d. En el artículo también se proporcionan los valores de la energía de una sola pierna para poca carga de trabajo. La media muestral para n = 13 observaciones fue
x
= 119.8 (en realidad, 119.7962) y la observación décimo cuarta, algo apartada fue 159. ¿Cuál es el valor dex
para la muestra total?15. El mercurio es un contaminante del ambiente persistente y dispersivo en muchos ecosistemas alrededor del mundo. Cuando se libera como un subproducto industrial a menudo encuentra su camino en los sistemas acuáticos donde puede tener efectos deletéreos sobre diferentes especies acuáticas y en aves. Los datos adjuntos en la concentración de mercurio en la sangre (µg/g) para las hembras adultas cerca de ríos contaminados en Virginia se obtuvieron de un gráfico en el artículo “Mercury Exposure Effects the Reproductive Success of a Free-Living Terrestrial Songbird, the Carolina Wren” (The Auk , 2011: 759 – 769; esta es una publicación de la American Ornithologist’ Union).
0.20 0.22 .025 0.30 0.34 0.41 0.55 0.56 1.42 1.70 1.83 2.20 2.25 3.07 3.25
a. Determine los valores de la media y la mediana muestrales y explique porqué son diferentes. b. Determine el valor de la media recortada 10% y compare con la media y la mediana. c. ¿Cuánto podría aumentar la observación 0.20 sin afectar el valor de la mediana?
16. Se obtuvieron quince muestras de aire de determinada región y se determinó la concentración de monóxido de carbono en cada una. Los resultados, en ppm fueron los siguientes:
9.3 10.7 8.5 9.6 12.2 15.6 9.2 10.5 9.0 13.2 11.0 8.8 13.7 12.1 9.8
a.
Construya un diagrama de tallo y hojas con los datosb.
Comente sus observaciones sobre los dados (simetría, dispersión, valores representativos y atípicos, etc.)c.
Trace un histograma con la frecuencia relativa en el eje verticald.
¿Cómo describiría la forma del histograma? e. Halle el intervalo de la muestraf. La varianza muestral s2 de la definición (es decir calcular primeramente las desviaciones con respecto a la
media y luego elevarlas al cuadrado, etc.) g. La desviación estándar muestral
h. s2 usando el método breve
17. La exposición a productos microbianos, especialmente endotoxina, puede tener un impacto en la vulnerabilidad respecto a enfermedades alérgicas. El artículo “Dust Sampling Methods for Endotoxin-An Essential, But Underestimated Issue” (Indoor Air, 2006; 20 – 27) consideró temas asociados con la determinación de la concentración de endotoxina. Los siguientes datos sobre concentración (EU/mg) en polvo asentada en una muestra de hogares urbanos y otra de casas campestres fueron proporcionados por los autores del artículo citado:
U: 6.0 5.0 11.0 33.0 4.0 5.0 80.0 18.0 35.0 17.0 23.0
F: 4.0 14.0 11.0 9.0 9.0 8.0 4.0 20.0 5.0 8.9 21.0 9.2 3.0 2.0 0.3
a. Determine la media muestral de cada muestra. ¿Cómo se comparan?
b. Determine la mediana muestral de cada muestra. ¿Cómo se comparan? ¿Por qué la mediana de la muestra urbana es tan diferente de la media de dicha muestra?
18. Los datos siguientes corresponden a las temperaturas (°F) de los anillos sellos (O-rings) para cada encendido de prueba o lanzamiento real del motor del transbordador espacial (Presidential Commission on the Space Shuttle Challenger Accident, vol.1, pp. 129 – 131):
84 49 61 40 83 67 45 66 70 69 80 58 68 60 67 72 73 70 57 63 70 78 52 67 53 67 75 61 70 81 76 79 75 76 58 31
a. Construya un diagrama de puntos de los datos de la temperatura.
b. Calcule e interprete los valores de la media y la desviación estándar muestrales.
c. Omita la observación más pequeña y la mayor y calcule de nuevo las cantidades del inciso (b). Comente los resultados y compárelos con los del inciso (b). Calcule ¿qué porcentaje se recortó?
19. Se determinó el valor del módulo de elasticidad, en GPa de placas coladas, formadas por varios sustratos intermetálicos y se obtuvieron las siguientes observaciones muestrales (“Strength and Modulus of a Molybdenum-Coated Ti-25 Al-10 Nb-3 U-1Mo Intermetallic”, Journal of Material Engineering and Performance, 1997, pp. 46-50):
116.4 115.9 114.6 115.2 115.8
a. Calcule
x
y las desviaciones respecto a la mediab. Use las desviaciones que calculó en el inciso a para obtener la varianza y la desviación estándar muestrales. c. Calcule s 2 con el método breve
d. Reste 100 de cada observación para obtener una muestra de valores transformados. Ahora calcule la varianza muestral de esos valores trasformados y compárela con s2 para datos originales.
20. Los valores de presión sanguínea se reportan a veces a los 5 mm Hg más cercanos (100, 105, 110, etc.). Suponga que los valores reales de presión sanguínea para nueve individuos seleccionados al azar son:
118.6 127.4 138.4 130.0 113.7 122.0 108.3 131.5 133.2
a. ¿Cuál es la mediana de los valores reportados de presión sanguínea?
b. Suponga que la presión del segundo individuo es 127.6 en lugar de 127.4 (un pequeño cambio en un solo valor). ¿Cómo afecta esto a la mediana de los valores reportados? ¿Qué dice esto sobre la sensibilidad de la mediana para redondear o agrupara los datos?
21. El polihidroxibutirato (PHB), un polímero semicristalino completamente biodegradable y biocompatible, se obtiene a partir de recursos renovables. Desde una perspectiva de sostenibilidad, el PHB ofrece muchas características atractivas, aunque es más caro de producir que los plásticos estándar. El artículo “Melting Behaviour of Poly (3- Hydroxybutytate) for DSC. Reproductibility Study” (Polymer Testing, 2013: 215 – 220) aparecen adjuntos los datos de fusión (°C) para cada uno de 12 ejemplares del polímero usando un calorímetro de barrido diferencial.
180.5 181.7 180.9 181.6 182.6 181.6 181.3 182.1 182.1 180.3 181.7 180.5 Calcule lo siguiente:
a. El rango de la muestra.
b. La varianza de la muestra s2 de la definición [Sugerencia: primero reste 180 de cada observación.]
c. La desviación estándar de la muestra. d. s2 utilizando el método directo.
22. Calcule la media, la desviación estándar, la varianza y la mediana aproximadas para los datos de la siguiente distribución de frecuencias:
- 10 ≤ x < 0 0 ≤ x < 10 10 ≤ x < 20 20 ≤ x < 30 30 ≤ x < 40 40 ≤ x < 50 50 ≤ x < 60
3 8 12 16 9 4 2
23. El artículo “Oxygen Consumption During Fire Suppresión: Error of Heart Rate Estimation” (Ergonomics, 1991) presentó los datos siguientes sobre el consumo de oxígeno en ml/ kg/min, para una muestra de 10 bomberos que hicieron una simulación de combate de incendio:
29.5 49.3 30.6 28.2 28.0 26.3 33.9 29.4 23.5 31.6
a. ¿Cuáles son los valores de los cuartiles, y cuál es el valor de fs?
b. Trace un diagrama de caja basado en el resumen de cinco números y comente sus características? c. ¿Cuánto debe valer una observación para considerarse como inusual? ¿Cómo valor extremo? d. ¿Cuánto podría disminuir la observación más grande sin que afecte a fs?
24. Se determinó la cantidad de contaminación de aluminio, en ppm, en determinado plástico, con una muestra de 26 especímenes y se obtuvieron los siguientes datos (“The Lognormal Distribution for Modeling Quality Data when the Means Is Near Zero”, J. of Quality Technology, 1990, pp. 105 – 110):
30 30 60 63 70 79 87 90 101 102 115 118 119 119 120 125 140 145 172 182 183 191 222 244 291 511
Trace un diagrama de caja que muestre los valores atípicos y comente sus particularidades.
25. A continuación vemos el diagrama de tallo y hojas de los datos del tiempo de evacuación mostrados en el ejercicio 3 del texto.
32 55 33 49 34
35 6699 36 34469 37 03345 38 9 39 2347 40 23 41 42 4
a. Determine el valor de la cuarta dispersión.
b. ¿Hay algunos valores atípicos en la muestra? ¿y algunos puntos atípicos extremos? c. Trace un diagrama de caja y comente sus particularidades.
d. ¿Cuánto habría de disminuir la observación más grande, que por el momento es 424, sin que afecte el valor de la cuarta dispersión?
26. Se seleccionaron muestras de tres tipos distintos de cable de acero y se determinó el límite de fatiga, en MPa, para cada muestra con los resultados siguientes:
Tipo 1 350 350 350 358 370 370 370 371 371 372 372 384 391 391 392
383 388 392
Tipo 3 350 361 362 364 364 365 366 371 377 377 377 379 380 380 392
a. Trace un diagrama de caja comparativo y comente acerca de semejanzas y diferencias.
b. Trace un diagrama de caja comparativo (un diagrama de caja para cada muestra con una escala común). Comente acerca de semejanzas y diferencias.
c. ¿El diagrama de caja comparativo del inciso (a) proporciona una información evaluativa de las semejanzas y diferencias? Explique por qué.
27. La corrosión por fricción es un proceso de desgaste que resulta de los movimientos oscilatorios tangenciales de pequeña amplitud en las piezas de una máquina. El artículo “Grease Effect on Fretting Wear of Mild Steel” (Industrial Lubrication and Tribology, 2008: 67 – 78) incluye los siguientes datos sobre el desgaste de volumen (10-4mm3) para los aceites base que tienen cuatro diferentes viscosidades.
Viscosidad Desgaste
20.4 55.8 30.8 27.3 29.9 17.7 76.5
30.2 44.5 47.2 48.7 41.6 32.8 18.3
89.4 73.3 57.1 66.0 93.8 133.2 81.1
252.6 30.6 24.2 16.6 38.9 28.7 23.6
a. El coeficiente de variación muestral ( ) evalúa el grado de variabilidad con respecto a la media (específicamente, la desviación estándar como porcentaje de la media). Calcule el coeficiente de variación para la muestra en cada viscosidad. Después, compare los resultados y coméntelos.
b. Construya una gráfica de caja comparativa de los datos y comente las características interesantes.
28. Los siguientes datos sobre el contenido de alcohol destilado (%) para una muestra de 35 vinos de Oporto fueron extraídos del artículo “A Method for the Estimation of Alcohol in Fortified Wines Using Hydrometer Baumé and Refractometer Brix” (Amer. J. Enol. Vitic., 2006; 486 – 490). Cada valor es un promedio de dos medidas por duplicado.
16.35 18.85 16.20 17.75 19.58 17.73 22.75 23.78 23.25 19.08 19.62 19.20 20.05 17.85 19.17 19.48 20.00 19.97 17.48 17.15 19.07 19.90 18.68 18.82 19.03 19.45 19.37 19.20 18.00 19.60 19.33 21.22 19.50 15.30 22.25
Utilice los métodos estudiados incluyendo un diagrama de caja que muestre los valores atípicos para describir y resumir los datos.
29. Los autores del artículo “Predictive Model for Pitting Corrosion in Buried Oil and Gas Pipelines” (Corrosion 2009: 332 – 342) proporcionan los datos en los cuales basaron sus investigaciones.
a. Considere la muestra siguiente de 61 mediciones de la profundidad máxima a la cual se corroen los pozos (nm) del tipo de tubería enterrada en suelo de arcilla limo.
0.41 0.41 0.41 0.41 0.43 0.43 0.43 0.48 0.48 0.58 0.79 0.79 0.81 0.81 0.81 0.91 0.94 0.94 1.02 1.04 1.04 1.17 1.17 1.17 1.17 1.17 1.17 1.17
1.19 1.19 1.27 1.40 1.40 1.59 1.59 1.60 1.68 1.91 1.96 1.96 1.96 2.10 2.21 2.31 2.46 2.49 2.57 2.74 3.10 3.18 3.30 3.58 3.58 4.15 4.75 5.33 7.65 7.70 8.13 10.41 13.44
Construya una gráfica de tallo y hojas en la que los dos valores más grandes se muestran en la última fila HI.
b. Remítase de nuevo al inciso a) y construya un histograma basado en las ocho clases con 0 en el límite inferior de la primera clase y con anchos de clase de 0.5, 0.5, 0.5, 1, 2, y 5 respectivamente.
c. Construya un diagrama de caja y describa las características importantes y explique si los 3 gráficos muestran la misma información, si no es así ¿por qué?
Cortex in Combat-Related Postraumatic Stress Disorder” (Amer. J. of Psychiatric, 2000: 1120 – 1126) describe el primer estudio de ligadura del receptor de benzodiacepina en individuos que sufren trastorno por estrés postraumático (PTSD), por sus siglas en inglés. Los datos anexos sobre una medición de ligadura al receptor (volumen de distribución ajustado) se tomaron de una gráfica que aparece en el artículo.
PTSD: 10 20 25 28 31 35 37 38 38 39 39 42 46 Saludables: 23 39 40 41 43 47 51 58 63 66 67 69 72 Use varios métodos de este capítulo para resumir y describir los datos.
Probabilidad
1. Cada muestra de cuatro hipotecas para vivienda está clasificada como de tasa fija (F) o tasa variable (V).
a. ¿Cuáles son los 16 resultados en S?
b. ¿Cuáles resultados están en el evento donde exactamente tres de las hipotecas seleccionadas son de tasa fija? c. ¿Cuáles resultados están en el evento donde las cuatro hipotecas son del mismo tipo?
d. ¿Cuáles resultados están en el evento donde a lo sumo, una de las cuatro hipotecas es de tasa variable? e. ¿Cuál es la unión de los eventos del inciso (c) y (d) y cuál es la intersección de estos eventos?
f. ¿Cuáles son la unión e intersección de los eventos de los incisos (b) y (c)?
2. Una biblioteca en una universidad tiene cinco ejemplares de un cierto texto en reserva. Dos ejemplares (1,2) son primeras impresiones y los otros tres (3, 4,5) son segundas impresiones. Un estudiante examina estos libros en orden aleatorio, deteniéndose solo cuando selecciona una segunda impresión. Dos posibles resultados son 5, 2, 1,3.
a. Haga una lista de los resultados en S.
b.Si A simboliza el evento cuando exactamente un libro es examinado, ¿cuáles resultados están es A? c. Si B es el evento cuando el libro 5 es seleccionado, ¿cuáles resultados están en B?
d.Si C es el evento cuando el libro 1 no se examina, ¿cuáles resultados están en C?
3. Una compañía de ingenieros constructores está actualmente trabajando en plantas eléctricas en tres lugares diferentes. Señalemos como A, el evento en que la planta del lugar i se termina para la fecha del contrato. Utilice las operaciones de unión, intersección y complemento para describir cada uno de los siguientes eventos, en términos de A1, A2 y A3, dibuje un diagrama de Venn e ilumine la región correspondiente a cada uno.
a. Por lo menos una planta se termina para la fecha del contrato. b.Todas las plantas se terminan para la fecha del contrato. c. Solo se termina la planta del lugar 1 para la fecha del contrato. d.Exactamente una planta se termina para la fecha del contrato.
e. La planta del lugar 1, o cualquiera de las otras dos plantas, se terminan para la fecha del contrato.
4. Suponga que 55% de todos los adultos consumen regularmente café, 45% consumen regularmente refrescos con gas y 70% consumen con frecuencia al menos uno de estos dos productos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto al azar regularmente consuma café y soda?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto al azar no consuma regularmente al menos uno de estos dos productos?
5. Una empresa de consultoría de computadoras ha licitado en tres proyectos. Supongamos que Ai = {proyecto i otorgado}, para i = 1, 2, 3, y P(A1) = 0.22, P(A2) = 0.25, P(A3) = 0.28, P(A1 ∩ A2) = 0.11, P(A1 ∩ A3) = 0.05,
P(A2 ∩ A3) = 0.07, P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = 0.01. Exprese con palabras cada uno de los siguientes eventos y calcule
la probabilidad. a. A1 ⋃ A2
b. A1’∩ A2’
c. A1 ⋃ A2 ⋃ A3
d. A’1 ∩ A’2 ∩ A’3
e. A’1 ∩ A’2 ∩ A3
f. (A’1 ∩ A’2) ⋃ A3
a. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos ejemplares seleccionados sean primeras impresiones? b. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos ejemplares seleccionados sean segundas impresiones?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos uno de los ejemplares seleccionados sea una primera impresión? d. ¿Cuál es la probabilidad de que los ejemplares seleccionados sean de diferentes impresiones?
7. Un sistema puede tener tres tipos de defectos: Ai ( i = 1,2,3) es cuando este sistema puede tener un defecto del tipo i. Suponga que
P(A1) = 0.12, P(A2) = 0.07, P(A3) = 0.05, P(A1 A2) = 0.13, P(A1 A3) = 0.14,
P(A2 A3) = 0.10 y P(A1 A2 A3) = 0.01.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema no tenga el defecto tipo 1?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema tenga defectos tipo 1 y 2 al mismo tiempo?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema tenga defectos tipo 1 y tipo 2 al mismo tiempo pero no tenga defectos tipo 3?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema tenga dos de esos defectos?
8. La inspección visual humana de uniones estañadas en tarjetas de circuito impreso puede ser muy subjetiva. Parte del problema se debe a los numerosos tipos de defectos de soldadura (por ejemplo, falta de mojado, visibilidad en picos y huecos), incluso, una unión puede tener uno o más de esos defectos. En consecuencia, aún los inspectores más experimentados pueden no estar de acuerdo en la calidad de determinada unión. En un lote de 10 000 uniones, el inspector A encontró 724 que juzgó defectuosas, el inspector B encontró 751 y 1159 fueron juzgadas como defectuosas por, al menos uno de los inspectores. Suponga que se selecciona al azar una de las 10 000 uniones,
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la unión seleccionada no sea juzgada defectuosa por alguno de los inspectores?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el inspector A, pero no el B, juzgue defectuosa la unión elegida?
9. Fallas de teclado de computadoras pueden ser atribuidas a defectos eléctricos o mecánicos. Un taller de reparación actualmente cuenta con 25 teclados averiados, de los cuales 6 tienen defectos eléctricos y 19 tienen defectos mecánicos.
a. ¿Cuántas maneras hay de seleccionar la azar cinco de estos teclados para una inspección completa (sin tener en cuenta el orden)?
b. ¿De cuántas maneras puede seleccionarse una muestra de cinco teclados de manera que solo dos tengan un defecto eléctrico?
c. Si la muestra de cinco teclados se selecciona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos cuatro de estos tengan defecto mecánico?
10. Con fecha de abril de 2006, aproximadamente 50 millones de nombres de dominio web.com fueron registrados (p. ej., yahoo.com)
a. ¿Cuántos nombres de dominio compuestos de exactamente dos letras en sucesión pueden ser formados? ¿Cuántos nombres de dominio de dos letras existen si como caracteres se permiten letras y dígitos? [Nota: una longitud de carácter de tres o más es ahora obligatoria.]
b. ¿Cuántos nombres de dominio existen compuestos de tres letras en secuencia? ¿Cuántos de ésta longitud existen si se permiten letras y dígitos? [Nota: en la actualidad todos están utilizados.]
c. Responda las preguntas hechas en (b) para secuencia de cuatro caracteres.
d. Con fecha de abril de 2006, 97 786 de las secuencias de cuatro caracteres utilizando letras o dígitos aún no habían sido reclamadas. Si se elige un nombre de cuatro caracteres al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ya tenga dueño?
11. Una planta de producción emplea 20 trabajadores de turno de día y 15 en el segundo turno y 10 en el de la noche, Un consultor de control de calidad selecciona 6 de estos trabajadores para hacerles una entrevista. Supongamos que la selección se hace en tal forma que cualquier grupo de 6 trabajadores tiene la misma probabilidad de ser seleccionado, del mismo modo que cualquier otro grupo (seleccionar 6 sin sustitución de entre 45).
a. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar 6 trabajadores que provengan del turno de día? ¿Cuál es la probabilidad de que los 6 trabajadores seleccionados sean del turno de día?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que los 6 trabajadores seleccionados sean del mismo turno?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos dos turnos diferentes sean representados entre los trabajadores seleccionados?
12. Un investigador estudia los efectos de la temperatura y el tipo de catalizador de cierta reacción química. Considera tres diferentes temperaturas, cuatro diferentes presiones y cinco diferentes catalizadores.
a. Si en cualquier corrida experimental interviene el uso de una sola temperatura, presión y catalizador, ¿cuántas corridas experimentales son posibles?
b. ¿En cuántas corridas experimentales interviene el uso de la temperatura y las dos presiones más bajas?
13. En el problema anterior suponga que se hacen cinco corridas experimentales diferentes el primer día de experimentación. Si las cinco se seleccionan al azar de entre todas las posibilidades, de tal modo que cualquier grupo de cinco tiene la misma probabilidad de selección, ¿Cuál es la probabilidad de que se utilice un catalizador diferente en cada corrida?
14. Considere un equipo de ligas pequeñas que tiene 15 jugadores en su plantel. a. ¿Cuántas formas existen de seleccionar 9 jugadores para la alineación inicial?
b. ¿Cuántas formas existen de seleccionar 9 jugadores para la alineación inicial y el orden al bat de los 9 inicialistas?
c. Suponga que 5 de los 15 jugadores son zurdos. ¿Cuántas formas existen de seleccionar 3 jardineros zurdos y tener las otras 6 posiciones ocupadas por jugadores derechos?
15. Se tiene programado lanzar un satélite desde Cabo Cañaveral Florida y otro desde una base de la Fuerza Aérea en Vandenberg, California. Considere el evento A para marcar que el lanzamiento de Vandenberg fue según lo programado y B para representar que el evento en Cabo Cañaveral también fue a tiempo. Si A y B son eventos independientes con P(A) > P(B) y
P A B
(
) 0.626,
P A B
(
) 0.144
, determine los valores de P(A) y P(B).Probabilidad Condicional
16. La población de determinado país consiste en tres grupos étnicos. Cada individuo pertenece a uno de los cuatro grupos sanguíneos principales. En la tabla siguiente de probabilidad conjunta se dan las proporciones de individuos de las distintas combinaciones de grupo étnico y grupo sanguíneo.
Grupo sanguíneo
O A B AB
1 0.082 0.106 0.008 0.004
Grupo étnico 2 0.135 0.141 0.018 0.006
3 0.215 0.200 0.065 0.020
Suponga que se elige al azar un individuo de la población y defina los eventos con A = {se eligió el tipo A}, B = {se seleccionó el tipo B} y C = {se eligió el grupo étnico 3}
a. Calcule P(A), P(C) y P(A C).
b. Calcule P(A/C) y P(C/A) y explique lo que representa cada una de estas probabilidades.
c. Si el individuo elegido no tiene sangre tipo B, ¿cuál es la probabilidad de que sea del grupo étnico 1?
17. Suponga que se selecciona al azar un individuo de la población de todos los adultos hombres que viven en Estados Unidos. A será el evento cuando el individuo tenga una estatura de más de 6 pies, y B cuando el individuo seleccionado sea un jugador profesional de baloncesto. ¿Cuál considera que es mayor, P(A/B) o P(B/A), y por qué?
18. La siguiente tabla proporciona información sobre el tipo de café seleccionado por alguien que compra una taza de café en un kiosco del aeropuerto en particular
Pequeño Mediano Grande
Regular 14% 20% 26%
Descafeinado 20% 10% 10%
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona adquiera una taza pequeña? ¿Y una taza de café descafeinado? b. Si nos enteramos de que la persona seleccionada compra una taza de café pequeña, ¿cuál es ahora la
probabilidad de que escoja el café descafeinado?
c. Si nos enteramos de que el individuo seleccionado compra un café descafeinado, ¿cuál es ahora la probabilidad de que haya escogido un tamaño pequeño y como se compara esta con la probabilidad incondicional correspondiente de a)?
19. Un sistema puede tener tres tipos de defectos: Ai (i = 1, 2, 3) es cuando este sistema puede tener un defecto del tipo i. Suponga que:
P (A1) = 0.12, P (A2) = 0.07, P (A3) = 0.05, P (A1⋃ A2) = 0.13, P (A1 ⋃ A3) = 0.14
P (A2 ⋃ A3) = 0.10, P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = 0.01
a. Si el sistema tiene defecto tipo 1, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un defecto tipo 2?
b. Si el sistema tiene un defecto tipo 1, ¿cuál es la probabilidad de que tenga los tres tipos de defectos?
c. Si el sistema tiene al menos un tipo de defecto, ¿cuál es la probabilidad de que tenga al menos un tipo de defecto?
d. Si el sistema tiene los dos primeros tipos de defectos a la vez, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga el tercer tipo de defecto?
20. Para los clientes que compran un refrigerador en una tienda de aparatos domésticos, sea A el evento en el que el refrigerador fue fabricado en Estados Unidos, B el evento en el que el refrigerador contaba con una máquina de hacer hielos y C el evento en que el cliente adquirió una garantía ampliada. Las probabilidades que tenemos son:
P (A) = 0.75 P(B / A) = 0.9 P(B / A’) = 0.8 P( C / A ∩ B) = 0.8 P(C / A ∩ B’) = 0.6 P( C / A’ ∩ B) = 0.7 P(C / A’ ∩ B’) = 0.3
Junto con A’, B’ y C’, probabilidades incondicionales y condicionales: a. Calcule P(A ∩ B ∩C)
b. Calcule P(B ∩ C) c. Calcule P(C )
d. Calcule P(A / B ∩ C), como la probabilidad de una compra de un refrigerador fabricado en Estados Unidos, dado que se adquirieron una máquina de hacer hielos y una garantía ampliada.
21. En cierta gasolinería, 40% de los clientes utilizan gasolina regular sin plomo (A1), 35% gasolina extra sin
plomo (A2) y 25% gasolina Premium sin plomo (A3). De los clientes que consumen gasolina regular, sólo 30%
llenan sus tanques (evento B). De los que consumen gasolina extra, 60% llenan sus tanques, mientras que de los que usan Premium, 50% llenan sus tanques.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente pida gasolina extra sin plomo y llene su tanque (A2 ∩
B)?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llene su tanque?
c. Si el siguiente cliente llena su tanque, ¿cuál es la probabilidad de que pida gasolina regular?, ¿extra? Y ¿Premium?
22. Considere la información adicional acerca de las tarjetas de crédito: 70% de los clientes que llenan su tanque con gasolina regular usan tarjeta de crédito, 50% de los clientes que consumen gasolina regular y no llenan su tanque pagan con tarjeta de crédito, 60% de los clientes que llenan su tanque con gasolina extra , usan tarjeta de crédito, 50% de los clientes que consumen gasolina extra pero no llenan su tanque, usan tarjeta de crédito, 50% de los clientes que llenan su tanque con gasolina premium, usan tarjeta de crédito y 40% de los clientes que consumen gasolina premium pero no llenan su tanque, usan tarjeta de crédito.
Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos para el cliente que llegue (un diagrama de árbol puede ayudar).
a. {extra, tanque lleno, tarjeta de crédito}
b. {premium, no llena el tanque y usa tarjeta de crédito} c. {premium y tarjeta de crédito}
d. {tanque lleno y tarjeta de crédito} e. {tarjeta de crédito}
f. {Si el siguiente cliente usa una tarjeta de crédito, ¿cuál es la probabilidad de que pida gasolina premium}
1 2
3
4
1. La probabilidad de que un calificador cometa un error de marcación en una pregunta de opción múltiple, es 0.1. Si hay diez preguntas marcadas independientemente, ¿cuál es la probabilidad de que no cometa errores? y ¿de qué cometa la menos un error? Si hay n preguntas y la probabilidad de cometer un error es p sugiera expresiones para estas probabilidades.
2. Una compañía de prospección petrolera tiene dos proyectos activos, uno en Asia y otro en Europa. Sea A el evento donde el proyecto asiático tiene éxito y B el evento donde el proyecto europeo sea exitoso. Suponga que A y B son independientes con P(A) = 0.4 y P(B) = 0.7.
a. Si fracasa el proyecto asiático, ¿cuál es la probabilidad de que también fracase el proyecto europeo? Explique su razonamiento.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los proyectos tenga éxito?
c. Dado que por lo menos uno de los dos proyectos es exitoso, ¿cuál es la probabilidad de que sólo el proyecto asiático tenga éxito?
3. Un sistema para detectar humo utiliza dos dispositivos, A y B, que trabajan de manera independiente. Si hay humo, la probabilidad de que sea detectado por el dispositivo A es de 0.90 y por el dispositivo B, es de 0.95. Si hay humo, encuentre la probabilidad de que sea detectado por cualquiera de los dos dispositivos A o B, o ambos.
4. Suponga que las proporciones de fenotipos sanguíneos en determinada población son las siguientes: A B AB O
0.42 0.10 0.04 0.44
Si los fenotipos de dos individuos seleccionados al azar son independientes entre sí, ¿cuál es la probabilidad de que ambos fenotipos sean O? ¿Cuál es la probabilidad de que sean iguales?
5. Una costura hecha en un avión necesita 25 remaches. La costura tendrá que volver a realizarse si cualquiera de los remaches está defectuoso. Suponga que los remaches están defectuosos independientemente unos de otros, cada uno con la misma probabilidad.
a. Si 14% de todas las costuras necesitan volver a efectuarse, ¿Cuál es la probabilidad de que un remache esté defectuoso?
b. ¿Qué tan pequeña debe ser la probabilidad de un remache defectuoso para asegurar que solo 10% de todas las costuras necesiten volver a ejecutarse?
6. Un calentador tiene cinco válvulas de liberación idénticas. La probabilidad de que una válvula en particular se abra cuando se requiere es de 0.95. Si la operación de las válvulas es independiente, calcule P(al menos una válvula se abre) y P(al menos una válvula no se abre).
7. Considere el sistema de componentes conectados de la figura siguiente. Los componentes funcionan de manera independiente uno de otro y P(el componente1, 2, y 3 funcionen) = 0.9, P( el componente 4 funcione es 0.95), calcule P(el sistema funciona).
8. Calcule la probabilidad de que circule corriente del extremo I al D, en el circuito que se representa a continuación. Considere que la probabilidad de que un revelador funcione y permita el paso de la corriente es 0.95. Si los componentes funcionan de manera independiente uno de otro.
1 2
3 4
probabilidad P(Ai) para que el coeficiente de confiabilidad del tiempo de vida media del sistema sea 0.99? (Sugerencia: sea P(Ai) = p, exprese la confiabilidad del sistema en términos de p y luego sea x = p2.)
10. En el proceso de producción de válvulas de motor, éstas se someten a un primer rectificado. Las válvulas cuyos espesores están dentro de la especificación se encuentran listas para la instalación. Las válvulas cuyos espesores están arriba de la especificación se rectifican, mientras que aquellas que están por debajo se desechan. Suponga que después del primer rectificado, 70% de las válvulas satisfacen la especificación, 20% es nuevamente rectificado y 10% se desecha. Además, suponga que de las válvulas que son nuevamente rectificas, 90% satisface la especificación y 10% se desecha.
a. Determine la probabilidad de que una válvula se rectifique una sola vez.
b. Dado que una válvula se hace una sola vez, ¿Cuál es la probabilidad de que se deseche? c. Determine la probabilidad de que se deseche una válvula.
d. Dado que la válvula se desecha, ¿cuál es la probabilidad de que se rectifique dos veces?
e. Determine la probabilidad de que la válvula satisfaga la especificación (después de la primera o segunda rectificación).
11. a. Una compañía maderera acaba de recibir un lote de 10 000 tablas de 2 × 4. Suponga que 20% de esas tablas (2000) están demasiado verdes para ser utilizadas en construcción de primera calidad. Se eligen al azar dos tablas, una después de otra. Sea A = {la primera está verde} y B = {la segunda tabla está verde}. Calcule P(A), P(B) y P(A B) (un diagrama de árbol podría ser útil). ¿Son independientes A y B?
b. Con A y B independientes y P(A) = P(B) = 0.2, ¿cuál es P(A B)? ¿Cuánta diferencia hay entre ésta respuesta y P(A B) del inciso (a)? Para calcular P(A B) ¿se puede suponer que A y B del inciso (a) son independientes para obtener en esencia la probabilidad correcta?
c. Supóngase que el lote consta de 10 tablas, de las cuales dos están verdes. ¿La suposición de independencia produce ahora más o menos la respuesta correcta para P(A B)? ¿Cuál es la diferencia crítica entre la situación aquí y la del inciso (a)? ¿Cuándo se considera que una suposición de independencia es válida para obtener una respuesta más o menos correcta para P(A B)?
12. Un sistema consiste de dos componentes. La probabilidad de que el segundo componente funcione de manera satisfactoria durante su vida de diseño es 0.9, la probabilidad de que esto suceda por lo menos con uno de los dos componentes es 0.96 y la probabilidad de que los dos componentes funcionen del mismo modo es 0.75. Dado que el primer componente funciona de manera satisfactoria toda su vida de diseño, ¿cuál es la probabilidad de que pase lo mismo con el segundo componente?
Teorema de Bayes
1. Una compañía telefónica regional opera tres estaciones relevadoras idénticas en diferentes sitios. Durante un período de un año, el número de desperfectos reportados por cada estación y las causas se muestran abajo.
Estaciones A B C
Problemas con el suministro de electricidad 2 1 1
Desperfecto de la computadora 4 3 2
Fallas del equipo eléctrico 5 4 2
Fallas ocasionadas por errores humanos 7 7 5
Suponga que se reporta una falla y se encuentra que fue ocasionada por errores humanos. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la estación C?
2. Tres imprentas realizan trabajos para una oficina de publicaciones de un Tecnológico. La oficina de publicaciones no negocia una multa contractual por trabajos atrasados y los datos siguientes reflejan una gran experiencia con estas imprentas.
Imprenta Fracción de contratos con la imprenta Fracción de tiempo de entrega con más de un mes de retraso
1 0.2 0.2
2 0.3 0.5
3 0.5 0.3
Un
departamento observa que su folleto de reclutamiento tiene más de un mes de retraso ¿Cuál es la probabilidad de que el contrato se halla otorgado a la imprenta 3?
3. De los artículos producidos diariamente en una fábrica, 30% provienen de la línea I, 40% de la línea II y 30% de la línea III; del total de estos, el porcentaje de artículos buenos producidos por la línea I es 80%; de la línea II también 80% y de la línea III 90% de los artículos son buenos.
a. Se escoge un artículo al azar de la producción diaria. Calcule la probabilidad de que sea bueno.
b. Se escoge un artículo al azar de la producción diaria y resultó ser bueno. Calcule la probabilidad de que el artículo escogido se haya elaborado en la línea II.
4. Sesenta por ciento de los aviones que desaparecen en vuelo, en cierto país, son descubiertos posteriormente. De las naves descubiertas, 60% tienen localizador de emergencia, mientras que 90% de los no descubiertos no tienen ese localizador. Suponga que desaparece un avión ligero.
a.Si tiene localizador de emergencia, ¿cuál es la probabilidad de que no sea localizado? b. Si no tiene localizador de emergencia, ¿cuál es la probabilidad de que sea localizado?
5. Se envían componentes de cierto tipo a un proveedor en lotes de 10. Suponga que 50% de estos lotes no tienen componentes defectuosos, 30% un componente defectuoso y 20% dos componentes defectuosos. Dos componentes de un lote se seleccionan al azar y se prueban. ¿Cuáles son las probabilidades asociadas de que haya 0,1 y 2 componentes defectuosos en el lote, bajo cada una de las siguientes condiciones?
a.Ningún componente probado está defectuoso.
b. Uno de los componentes probados está defectuoso. (Sugerencia: dibuje un diagrama de árbol de tres ramas de primera generación para los tres tipos diferentes de lotes).
6. En una fábrica los obreros trabajan tres turnos distintos. En el último año ocurrieron 200 accidentes. Algunos de estos pueden atribuir por lo menos en parte a las condiciones inseguras de trabajo, en tanto que otros se relacionan con las condiciones de trabajo. En la tabla siguiente se proporciona el porcentaje de accidentes que caen en cada tipo de categoría accidente - turno.
Condiciones
inseguras Condiciones no relacionadas
Diurno 10% 35%
Turno Vespertino 8% 20%
Nocturno 5% 22%
Suponga que se elige al azar uno de los 200 informes de accidentes de un archivo y redetermina el turno y tipo de accidente.
a. ¿Cuáles son los eventos simples?
b.¿Cuál es la probabilidad de que el evento seleccionado se atribuya a condiciones inseguras? c. ¿Cuál es la probabilidad de que no ocurra en el turno diurno?
7. Los datos recopilados por el departamento de justicia, acerca del número de personas arrestadas por diversos crímenes en 1998, revelaron que 89% eran hombres y 11% mujeres. De ellos, 30% contaban con menos de 18 años, mientras que 27% de ellas tenían menos de 18 años.
b. Si una persona arrestada por un crimen tenía menos de 18 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?
8. Una compañía de seguros ha recopilado los siguientes datos relativos a la edad de los conductores y la tasa de accidentes dentro de cada grupo.
Grupo de edad % de conductores asegurados accidentesTasa de
Menos de 25 0.16 0.055
25- 44 0.40 0.025
45 - 64 0.30 0.02
65 o más 0.14 0.40
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un conductor asegurado esté involucrado en un accidente?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que un conductor asegurado que esté involucrado en un accidente tenga menos de 25 años?
9. Los sujetadores que se utilizan en la fabricación de aviones tienen unas cuantas estrías para que queden seguros y no se aflojen con la vibración. Suponga que 95% de los sujetadores pasan la inspección inicial. Del 5% que falla, 20% están tan defectuosos, que se deben desechar. Los demás sujetadores se mandan a estriar de nuevo, donde 40% no se pueden salvar y se eliminan. El otro 60% de estos sujetadores se corrige al hacerles nuevas estrías y después pasa la inspección.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un sujetador entrante seleccionado al azar pase la inspección, ya sea al inicio o después de volverlo a estriar?
b.Dado que un sujetador pasó la inspección, ¿cuál es la probabilidad de que pasó la inspección inicial y no requiere un nuevo estriado?
10. Suponga que los candidatos a ingresar a la maestría en administración en una prestigiosa universidad están distribuidos de la siguiente forma: 20% son administradores, 45% son ingenieros y el restante de otras carreras. Si las posibilidades de aceptación son 0.60 para los administradores, 0.38 para los ingenieros y 0.32 para los de otras áreas.
a. Calcule la probabilidad de aceptación de los candidatos a la maestría en administración.
b. Se elige al azar un candidato y se le pregunta si fue aceptado, si responde de manera afirmativa, ¿cuál es la probabilidad de que dicho candidato sea ingeniero?
11. Según las estadísticas sobre los candidatos a la maestría en administración, 30% se prepara más de 90 horas para el examen de admisión de probabilidad, 25% entre 40 y 90, y el restante 45% menos de 40 horas. Además se ha observado que 80% de los estudiantes que se preparan más de 90 horas pasan el examen, 30% de los que se preparan entre 40 y 90 horas pasan el examen y al final solo el 5% de los alumnos que se preparan menos de 40 horas pasa el examen.
a. Calcule la probabilidad de que un candidato pase el examen.
b. Se entreviste a un candidato y pasa el examen. ¿Cuál es la probabilidad para cada uno de los tres rangos de estudio mencionados (estudió más de 90 horas, entre 40 y 90 o menos de 40 horas, para este examen)?