Funciones de Variable Compleja pdf

Tema 10

Funciones de variable compleja

10.1

Funciones complejas de variable compleja

Definici´on 10.1 – Una funci´on compleja de variable compleja es una aplicaci´on f:A −→ C

donde A⊆C.

Para cada z∈A, f(z)∈ C, luego

f(z) =Re(f(z)) +iIm(f(z)) =u(z) +iv(z).

Las funciones reales u, v:A−→ IR as´ı construidas se denominan partes real e imaginaria de la funci´on f y suele escribirse f =u+iv para indicar que u y v son las partes real e imaginaria de la funci´on f.

Como C = IR2_{, una funci´on compleja lleva asociada una funci´on f:A ⊆IR}2 _−→IR2 _donde

f(x, y) =f(x+iy) y que tiene por componentes, f = (u, v), las funciones u(x, y) =u(x+iy) y v(x, y) =v(x+iy). As´ı pues, toda funci´on compleja de variable compleja equivale a un par de funciones reales de dos variables reales.

Ejemplo 10.2 – Para obtener las partes real e imaginaria de la funci´on f(z) = z2_{, ponemos}

z=x+iy y resulta

f(x+iy) = (x+iy)2=x2−y2+i2xy

con lo que u(x, y) =x2_−y2 _{y v(x, y) = 2xy.}

10.1.1 L´ımites y continuidad

Los conceptos de l´ımite y de continuidad para funciones complejas de variable compleja se definen como en el caso real:

Definici´on 10.3 – Se dice que una funci´on compleja de variable compleja f tiene por l´ımite

l∈ C, cuando z tiende hacia z0, y se escribe

lim

z→z0f(z) =l,

cuando para cada n´umero real ε >0 existe un n´umero real δ >0 tal que si 0 <|z−z0|< δ,

entonces |f(z)−l|< ε.

Proposici´on 10.4 – Sea f =u+iv una funci´on compleja y l=l1+il2, entonces

lim

z→z0f(z) =l ⇐⇒ z→zlim0u(z) =l1 y z→zlim0v(z) =l2.

Es decir, se tiene que lim

z→z0f(z) = limz→z0u(z) +iz→zlim0v(z).

Demostraci´on:

10.1 Funciones complejas de variable compleja

y la propiedad (c) de 9.6.

De esta proposici´on y de que los resultados an´alogos son ciertos para funciones reales, se establece la validez de las proposiciones siguientes:

Proposici´on 10.5 – Sean f y g funciones complejas tales que lim

z→z0f(z) =l1 y z→zlim0f(z) =l2.

Entonces:

a) lim

z→z0(f(z) +g(z)) =l1+l2.

b) lim

z→z0f(z)g(z) =l1l2.

c) lim z→z0

f(z)

g(z) = ll12, si l26= 0.

Proposici´on 10.6 – Si lim

z→z0f(z) =l∈ C, entonces f est´a acotada en alg´un E

∗_(z 0, r).

Si l6= 0, entonces f(z)6= 0, para todo z de alg´un E∗(z0, r).

Proposici´on 10.7 – Si f es una funci´on compleja, se tiene que

a) lim

z→z0|f(z)|= 0 ⇐⇒ z→zlim0f(z) = 0.

b) lim

z→z0f(z) =l ⇐⇒ z→zlim0

³

f(z)−l´= 0.

Definici´on 10.8 – Se dice que una funci´on compleja f tiene por l´ımite l∈ C cuando z tiende a ∞ (en el sentido de |z| → ∞), y se escribe

lim

z→∞f(z) = lim_|z|→∞f(z) =l,

cuando para cada ε >0 existe un K >0 tal que si |z|> K, entonces |f(z)−l|< ε.

Ejemplo 10.9 – Veamos que lim z→∞

1 z = 0. En efecto, lim

z→∞ 1

z = lim_|z|→∞1z y, para cada ε >0, sea K >0 tal que K1 < ε. Entonces, para todo z tal que |z|> K, se tiene que |f(z)−0|=|_z1|= _|z|1 < _K1 < ε. ₄

Definici´on 10.10 – Se dice que una funci´on compleja de variable compleja f es continua en un punto z0 ∈C cuando

lim

z→z0f(z) =f(z0).

Se dice continua en un conjunto A, si es continua en cada punto de A.

Proposici´on 10.11 – Sea f =u+iv una funci´on compleja, entonces f es continua en z0 s´ı, y

s´olo si, u y v son continuas en z₀.

Demostraci´on:

Basta tener en cuenta que

lim

z→z0f(z) =f(z0)⇐⇒z→zlim0u(z) +iz→zlim0v(z) =u(z0) +iv(z0).

10.2 Derivabilidad de las funciones complejas

Proposici´on 10.12 – Sean f y g dos funciones complejas de variable compleja continuas en un punto z0 ∈ C. Entonces las funciones f+g y f g son continuas en z0. Si, adem´as, es g(z0)6= 0,

entonces la funci´on f /g es tambi´en continua en z0.

Proposici´on 10.13 – Sean f y g dos funciones complejas de variable compleja. Si f es continua en z0 y g es continua en f(z0), entonces la funci´on compuesta g◦f es continua en z0.

Teorema de Weierstrass 10.14 – Sean A ⊆ C cerrado y acotado, y f:A −→ IR una funci´on continua real. Entonces f tiene un m´ınimo y un m´aximo enA, es decir, existen z1, z2 ∈A tales

que f(z1)≤f(z)≤f(z2), para todo z∈A.

10.2

Derivabilidad de las funciones complejas

Definici´on 10.15 – Sea A ⊆ C un conjunto abierto. Se dice que una funci´on f:A −→ C es derivable en un punto z₀ ∈A cuando existe el l´ımite

lim z→z0

f(z)−f(z0)

z−z0 .

En ese caso, dicho l´ımite se designa por f0_(z

0) y se llama derivada de f en el punto z0.

Poniendo z−z₀=h∈C, la definici´on de derivada se escribe tambi´en como

f0(z0) = lim h→0

f(z0+h)−f(z0)

h .

Proposici´on 10.16 – Si f es derivable en z0, entonces f es continua en z0.

Demostraci´on: Como lim

z→z0f(z) =f(z0)⇐⇒z→zlim0

³

f(z)−f(z0)

´

= 0, se tiene que

lim z→z0

³

f(z)−f(z0)

´ = lim

z→z0

f(z)−f(z0)

z−z0 (z−z0) =f 0_(z

0)·0 = 0.

Proposici´on 10.17 – Seanf yg dos funciones derivables en un puntoz0. Entonces las funciones

f +g y f g son tambi´en derivables en z0 y

(f +g)0(z0) =f0(z0) +g0(z0) y (f g)0(z0) =f0(z0)g(z0) +f(z0)g0(z0).

Si adem´as es g(z0)6= 0, entonces la funci´on f /g es tambi´en derivable en z0 y

µ

f g

¶₀

(z0) = f 0_(z

0)g(z0)−f(z0)g0(z0) (g(z0))2

.

Demostraci´on:

La demostraci´on es id´entica a la del resultado para funciones reales de variable real.

Regla de la cadena 10.18 – Si f es derivable en z0 y g es derivable en f(z0), entonces la

funci´on compuesta h=g◦f es derivable en z0 y se verifica que

10.2 Derivabilidad de las funciones complejas

Demostraci´on:

La demostraci´on es id´entica a la del caso de funciones reales de variable real.

Ejemplo 10.19 – a) f(z) =k es derivable en todo C y f0_{(z) = 0, para todo z∈ C.}

f0(z) = lim h→0

f(z+h)−f(z)

h = limh→0

k−k h = 0.

b) f(z) =z es derivable en todo C y f0(z) = 1, para todo z∈ C.

f0(z) = lim h→0

f(z+h)−f(z)

h = limh→0

(z+h)−z h = limh→0

h h = 1.

c) f(z) =zn es derivable en todo C y f0(z) =nzn−1.

f0(z) = lim h→0

f(z+h)−f(z)

h = limh→0

(z+h)n_−zn

h = limh→0

(zn₊ Pn i=1

¡_n i ¢

hi_zn−i_)−zn

h

= lim h→0

n X

i=1

Ã

n i

!

hi−1zn−i = n X

i=1 lim h→0

Ã

n i

!

hi−1zn−i = Ã

n

1 !

zn−1=nzn−1.

d) Si f(z) =a0+a1z+a2z2+· · ·+anzn entonces f0(z) =a1+ 2a2z1+· · ·+nanzn−1, para todo z∈ C.

e) Las funciones racionales f(z) = a0+a1z+· · ·+anzn

b₀+b₁z+· · ·+b_mzm son derivables en cualquier z∈ C que no anule el denominador y su derivada se encuentra usando las reglas dadas en las proposiciones anteriores.

f) La funci´on f: C−→ C dada por f(z) =z no es derivable en ning´un punto.

En efecto, se tiene que lim h→0

f(z+h)−f(z)

h = lim_h→0z+h−zh = lim_h→0z+h−zh = lim_h→0hh, luego

¦ si tomamos h=h1 ∈IR, como h=h se tiene lim h→0

h

h = 1; y

¦ si tomamos h=ih2∈iIR, como h=−h es lim h→0

−h

h =−1.

En consecuencia, el l´ımite no existe en ning´un punto. ₄

10.2.1 Condiciones de Cauchy-Riemann [C-R]

Proposici´on 10.20 – Sif =u+iv es derivable en un puntoz0=x0+iy0, entonces las funciones

u y v tienen derivadas parciales en z0 = (x0, y0) y verifican las condiciones de Cauchy-Riemann

siguientes:

D₁u(z₀) =D₂v(z₀)

D2u(z0) =−D1v(z0)

)

[C-R].

Adem´as, f0_(z

0) =D1u(x0, y0) +iD1v(x0, y0) =D2v(x0, y0)−iD2u(x0, y0).

10.2 Derivabilidad de las funciones complejas

Sea h=h1+ih2 ∈C. Por hip´otesis, existe

f0(z0) = lim h→0

f(z0+h)−f(z0)

h = limh→0

³

u(z0+h) +iv(z0+h)

´

−³u(z0) +iv(z0)

´

h

= lim h→0

³

u(z0+h)−u(z0)

´

+i³v(z0+h)−v(z0)

´

h

= lim h→0

u(z0+h)−u(z0)

h +ih→lim0

v(z0+h)−v(z0)

h .

Entonces:

¦ Si h=h1∈IR es

f0(z0) = lim h1→0

u(x0+h1, y0)−u(x0, y0)

h1 +ihlim1→0

v(x0+h1, y0)−v(x0, y0)

h1 =D1u(x0, y0) +iD1v(x0, y0).

¦ Si h=ih2 ∈iIR, es

f0(z0) = lim h2→0

u(x0, y0+h2)−u(x0, y0)

ih₂ +ihlim2→0

v(x0, y0+h2)−v(x0, y0)

ih₂

=1

iD2u(x0, y0) +D2v(x0, y0) =D2v(x0, y0)−iD2u(x0, y0).

Luego f0_(z

0) =D1u(z0) +iD1v(z0) =D2v(z0)−iD2u(z0), de donde se deducen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Teorema de Cauchy-Riemann 10.21 – La funci´on f =u+iv es derivable en un punto z0 =

x0+iy0 s´ı, y s´olo si la funci´on f = (u, v) es diferenciable en z0 = (x0, y0) y sus funciones

componentes verifican las condiciones de Cauchy-Riemann en el punto.

Demostraci´on:

Como, por la proposici´on anterior, si f es derivable en z0 tambi´en las funciones u y v verifican las condiciones [C-R], para h= (h1, h2) =h1+ih2 =h, se tiene en ambos casos que (no ponemos el punto por comodidad)

³

f0(z0)ht

´_t =

ÃÃ

D1u D2u

D1v D2v

! Ã

h1

h2

!!_t =

Ã

h1D1u+h2D2u

h1D1v+h2D2v

!_t =

Ã

h1D1u−h2D1v

h1D1v+h2D1u

!_t

= (h₁D₁u−h₂D₁v, h₁D₁v+h₂D₁u) =h₁D₁u−h₂D₁v+i(h₁D₁v+h₂D₁u) = (D1u(z0) +iD1v(z0))(h1+ih2) =f0(z0)h

Entonces,

f(z0+h)−f(z0)−f0(z0)h=f(z0+h)−f(z0)−(f0(z0)ht)t

y, en consecuencia,

lim h→0

|f(z0+h)−f(z0)−f0(z0)h|

|h| = lim_h→0

kf(z0+h)−f(z0)−(f0(z0)ht)tk

khk

10.3 Algunas funciones complejas

Ejemplo 10.22 – La funci´on f: C −→ C dada por f(z) = |z|2 _{es derivable ´unicamente en el} punto 0.

Soluci´on:

En efecto, si z = x+iy, f(z) = |z|2 _{= x}2 _+y2 _{luego u(x, y) = x}2 _+y2 _{y v(x, y) = 0.} Entonces

D1u(x, y) = 2x = 0 =D2v(x, y) ⇐⇒ x= 0

D2u(x, y) = 2y = 0 =−D1v(x, y) ⇐⇒ y= 0

luego las condiciones [C-R] no se verifican en ning´un punto z6= 0.

En z = 0, se tiene que u y v son diferenciables en (0,0) y verifican las condiciones [C-R] en el punto, luego f es derivable en 0 y f0_{(0) =D}

1u(0,0) +iD1v(0,0) = 0. ₄

Corolario 10.23 – Sea f =u+iv. Si las funciones u yv son de clase 1 en (x0, y0) y se verifican

las condiciones [C-R] en el punto, entonces f es derivable en z0=x0+iy0.

10.2.2 Funciones anal´ıticas

Definici´on 10.24 – Sea A subconjunto abierto de C. Se dice que una funci´on f:A −→ C es

anal´ıtica en un punto z0 ∈A, si f es derivable en alg´un entorno E(z0, r)⊆A.

Se dice que f es anal´ıtica en A cuando es anal´ıtica en todo punto de A. Una funci´on enteraes una funci´on anal´ıtica en todo C.

Ejemplo.- Toda funci´on polin´omica es una funci´on entera.

Una funci´on racional es anal´ıtica en todo punto que no anule al denominador.

Proposici´on 10.25 – Sea A ⊆ C. Si f:A −→ C es anal´ıtica en un punto z₀ ∈A, entonces f es anal´ıtica en alg´un entorno E(z0, r)⊆A.

Demostraci´on:

Es claro, pues si f es anal´ıtica en z0 ∈A, f es derivable en alg´un entorno E(z0, r)⊆A y, para cada z ∈E(z0, r), existe un E(z, δ) ⊆ E(z0, r). Luego f es derivable en E(z, δ) ⊆A y, en consecuencia, f es anal´ıtica en cada z∈E(z0, r).

10.3

Algunas funciones complejas

10.3.1 La exponencial compleja

Definici´on 10.26 – La funci´on f: C−→ C definida, si z=x+iy, por

f(z) =f(x+iy) =ex(cosy+iseny)

se llama exponencial compleja y se representa por f(z) =ez_. Proposici´on 10.27 – Se verifican las siguientes propiedades:

a) Si z=x∈IR entonces la exponencial compleja coincide con la exponencial real.

b) ez+w_=ez_ew_{, para todo z, w ∈C.}

c) Si z=iy∈iIR, entonces |eiy|= 1.

10.3 Algunas funciones complejas

e) ez _{6= 0, para todo z∈ C.}

f) ez _=ez _{y (e}z₎−1 _=e−z_.

g) La funci´on f(z) =ez _{es entera y f}0_{(z) =e}z_{, para todo z∈C.}

h) La funci´on f(z) = ez _{es peri´odica de per´ıodo 2πi y si e}z _=ew_{, entonces z−w= 2kπi,}

con k∈ZZ.

i) ez _{= 1 si, y s´olo si, z= 2kπi, con k∈ZZ.}

Demostraci´on:

a) Si z=x∈IR, ez_=ex+i0_=ex_{(cos 0 +isen 0) =e}x_{(1 +i0) =e}x_.

b) Si z=x1+iy1 y w=x2+iy2 se tiene

ezew=ex1_(cosy

1+iseny1)ex2(cosy2+iseny2) =ex1+x2

³

cos(y1+y2) +isen(y1+y2)

´

=e(x1+x2)+i(y1+y2)_=ez+w_.

c) Si y∈IR,

|eiy|=|e0+iy|=|e0(cosy+iseny)|=|cosy+iseny|= q

cos2_{y+ sen}2_{y= 1.}

d) Si z=x+iy entonces |ez_|=|ex_||eiy_|=ex_{1 =e}x_.

e) Si z =x+iy, por la propiedad anterior, |ez_{| =e}x _{6= 0 para todo x ∈ IR, luego e}z _{6= 0} para todo z∈C.

f) Si z=x+iy,

ez_=ex_cosy+iex_{seny =e}x_cosy−iex_seny=ex_{cos(−y) +ie}x_{sen(−y) =e}x−iy _=ez

y, tambi´en,

(ez)−1= 1

ez =

ez |ez_|2 =

ez (ex₎2 =

ex−iy

e2x =

ex_e−iy

e2x =e−xe−iy =e−x−iy =e−z.

g) La parte real u(x, y) =ex_{cosy y la parte imaginaria v(x, y) =e}x_{seny de f son de clase} 1 en todo punto (x, y) y se verifican las condiciones de [C-R]

D1u(x, y) =excosy = excosy=D2v(x, y)

D2u(x, y) =−exseny = −exseny=−D1v(x, y)

en todo punto. Luego f es derivable en todo punto y

f0(z) =D1u(x, y) +iD1v(x, y) =excosy+iexseny=ez,

10.3 Algunas funciones complejas

h) Para cada z∈C se verifica

ez+2πi =eze2πi=ez(cos 2π+isen 2π) =ez1 =ez.

Por otra parte, z=x₁+iy₁ y w=x₂+iy₂, entonces si ez_=ew _{se tiene que |e}z_|=|ew_| de donde ex1 _{= e}x2 _{y, por tanto, que x}

1 = x2. De la igualdad ex1eiy1 = ex2eiy2, como

x1=x2, se tiene que eiy1 =eiy2 y, por consiguiente,

1 = e

iy1

eiy2 =e

i(y1−y2) _{= cos(y}

1−y2) +isen(y1−y2)

luego cos(y1−y2) = 1 y sen(y1 −y2) = 0, de donde se deduce que y1−y2 = 2kπ, con

k∈ZZ. En consecuencia, z−w=x1−x2+i(y1−y2) = 2kπi, con k∈ZZ.

i) Si ez _{= 1, entonces e}z _=e0 _{y, por la propiedad anterior, e}z _{= 1 s´ı, y s´olo si, z = 2kπi,} con k∈ZZ.

La funci´on exponencial compleja transforma rectas paralelas al eje real en semirectas dirigidas al origen y las rectas paralelas al eje imaginario en circunferencias de centro el origen (como

ez _{tiene periodo 2πi, cada segmento de longitud 2π de estas rectas se transforma en una} circunferencia completa). Obs´ervese la figura 10.1 siguiente.

π

2π

3

π

3

0

−π

3

−2π

3

−π _{−3 0 3}

R

f(z) =ez

ex+i23π ex+iπ3

ex+iπ _ex

ex−iπ3

ex−i23π

e3+iy

eiy

Fig.10.1. La funci´on exponencial.

10.3.2 Funciones trigonom´etricas complejas

Definici´on 10.28 – Las funciones seno, senz, y coseno, cosz, complejas se definen para cada z∈ C por

senz= e

iz_−e−iz

2i y cosz=

eiz+e−iz

2 .

Proposici´on 10.29 – Se verifican las siguientes propiedades:

a) sen2_{z+ cos}2_{z= 1, para todo z∈C.}

b) sen(z+w) = senzcosw+ coszsenw, para todo z, w ∈C.

10.3 Algunas funciones complejas

d) senz= 0 si, y s´olo si, z=kπ, con k∈ZZ.

e) cosz= 0 si, y s´olo si, z= π₂ +kπ, con k∈ZZ.

f) Las funciones f(z) = senz y g(z) = cosz son enteras y f0_{(z) = cosz y g}0_{(z) =−senz,}

para todo z∈C.

g) Para todo z∈ C, sen(z+ 2kπ) = senz y cos(z+ 2kπ) = cosz, con k∈ZZ.

Demostraci´on:

a)

sen2_{z+ cos}2_z=(eiz−e−iz)2

−4 +

(eiz_+e−iz₎2

4 =

(eiz_+e−iz₎2_−(eiz_−e−iz₎2 4

= ³

(eiz+e−iz)+(eiz−e−iz)´³(eiz+e−iz)−(eiz−e−iz)´

4 =

2eiz_2e−iz 4 = 1.

b)

senzcosw+ coszsenw=e

iz_−e−iz

2i ·

eiw+e−iw

2 +

eiz+e−iz

2 ·

eiw−e−iw

2i

=2e

i(z+w)_−2e−i(z+w)

4i = sen(z+w).

c) An´alogo a b).

d) senz= 0 ⇐⇒ eiz _=e−iz _{⇐⇒ 2iz= 2kπi, con k∈ZZ, ⇐⇒ z=kπ, con k∈ZZ.}

e) cosz= 0 ⇐⇒ eiz _=−e−iz _{⇐⇒ e}iz _=eiπ_e−iz _{⇐⇒ 2iz−iπ = 2kπi ⇐⇒ z=} π 2+kπ.

f) (senz)0 = ie

iz_+ie−iz

2i =

eiz+e−iz

2 = cosz.

(cosz)0 ₌ ieiz−ie−iz

2 =

−eiz_+e−iz

2i =−senz.

g) Como ez _{es peri´odica de per´ıodo 2πi, se tiene que}

sen(z+ 2kπ) = eiz+2kπi−e−iz−2kπi

2i =

eiz_−e−iz

2i = sen(z).

An´alogamente, para el cosz.

Definici´on 10.30 – Las funciones tangente, tgz, ycotangente, cotgz, complejas se definen por

tgz=senz

cosz, siz6= π

2 +kπ, conk∈ZZ

cotgz=cosz

senz, siz6=kπ, conk∈ZZ.

10.3.3 Funciones hiperb´olicas complejas

Definici´on 10.31 – Las funcionesseno hiperb´olico,shz, ycoseno hiperb´olico,chz, est´an definidas para cada z∈ C por

shz= e z_−e−z

2 y chz=

ez+e−z

2 .

10.3 Algunas funciones complejas

a) shz=−isen(iz) y chz= cos(iz), para todo z∈C.

b) sen(z+iw) = senzchw+icoszshw, para todo z, w∈ C.

c) cos(z+iw) = coszchw−isenzshw, para todo z, w∈ C.

d) Las funciones senz y cosz no est´an acotadas en C.

Demostraci´on:

a) isen(iz) = e−z_−ez

2 =−shz; cos(iz) = e

−z_+ez

2 = chz.

b) sen(z+w) = senzcos(iw) + coszsen(iw) = senzchw−1icoszshw

= senzchw+icoszshw.

c) cos(z+w) = coszcos(iw)−senzsen(iw) = coszchw+1isenzshw

= coszchw−isenzshw.

d) No est´an acotados pues, de b) y c) se tiene senz= sen(x+iy) = senxchy+icosxshy y cosz= cos(x+iy) = cosxchy−isenxshy, y las funciones shy y chy no est´an acotadas en IR.

Propiedades 10.33 – Las funciones hiperb´olicas verifican las siguientes propiedades:

a) ch2z−sh2z= 1, para todo z∈ C.

b) sh(z+w) = shzchw+ chzshw, para todos z, w∈ C.

c) ch(z+w) = chzchw+ shzshw, para todos z, w ∈C.

d) shz= 0 si, y s´olo si, z=kπi, con k∈ZZ.

e) chz= 0 si, y s´olo si, z= (2k+ 1)π₂i, con k∈ZZ.

f) shz y chz son funciones enteras y sh0z= chz y ch0z= shz, para todo z∈C.

g) Para todo z∈ C, sh(z+ 2kπi) = shz y ch(z+ 2kπi) = chz, con k∈ZZ.

Demostraci´on:

a) ch2z−sh2 = cos2(iz)−(−isen(iz))2 = cos2(iz) + sen2(iz) = 1.

b) sh(z+w) =−isen(iz+iw) =−isen(iz) cos(iw)−icos(iz) sen(iw) = shzchw+ chzshw.

c) ch(z+w) = cos(iz+iw) = cos(iz) cos(iw)−sen(iz) sen(iw) = chzchw−(ishz)(ishw) = chzchw+ shzshw).

d) shz= 0 ⇐⇒ ez _=e−z _{⇐⇒ 2z= 2kπi ⇐⇒ z=kπi.}

e) chz= 0 ⇐⇒ ez_=−e−z _{⇐⇒ e}z_=e−z+iπ _{⇐⇒ 2z−iπ= 2kπi ⇐⇒ z= (2k+ 1)}π 2i.

f) (shz)0 ₌ ez+e−z

2 = chz; (chz)

0 ₌ ez−e−z

2 = shz.

g) sh(z+ 2kπi) =−isen(i(z+ 2kπi)) =−isen(iz−2kπ) =−isen(iz) = shz.

10.3 Algunas funciones complejas

Definici´on 10.34 – Las funciones tangente hiperb´olica, thz, y cotangente hiperb´olica, cothz, complejas se definen por

thz=shz

chz siz6= (2k+ 1) π

2i, conk∈ZZ;

cothz=chz

shz siz6=kπi, conk∈ZZ.

10.3.4 Logaritmo complejo

Definici´on 10.35 – Sea z un n´umero complejo no nulo. Se dice que un n´umero complejo w es un logaritmode z, y se escribe w= logz, cuando ew _=z.

Proposici´on 10.36 – Sea z un n´umero complejo no nulo. El n´umero complejo

Log(z) = ln|z|+iArg(z)

es un logaritmo de z, que se llama logaritmo principal de z. Cualquier otro logaritmo de z verifica

log(z) = Log(z) + 2kπi, conk∈ZZ.

Demostraci´on:

Como eLogz _{= e}ln|z|_eiArg(z) _{= |z|e}iArg(z) _{= z, Logz es una soluci´on de la ecuaci´on}

ew _{=z y, si w es otra soluci´on, se tiene e}w _=eLogz _{y, por tanto,}

w−Logz= 2kπi, conk∈ZZ.

Proposici´on 10.37 – Sea A0 = {z∈C :z=x+ 0i, x≤0}. La funci´on Logz es anal´ıtica en C−A₀ y (Log(z))0 ₌ 1

z para cada z∈C−A0.

Demostraci´on:

La parte real de Logz es la funci´on

u(x, y) = ln|z|= ln q

x2_+y2 ₌ 1 2ln(x

2_+y2₎

de clase 1 en IR2− {(0,0)} y, para cada z= (x, y)∈C−A0, se tiene que

D1u(x, y) = _x2+x _y2; D2u(x, y) = _x2+y _y2.

Para cada z= (x, y)∈ C−A0, la parte imaginaria de Logz es la funci´on

v(x, y) = Arg(z) = 2 arctg y

x+|z|= 2 arctg

y x+px2_+y2

de clase 1 en IR2_−A

0 (en A0 no es continua) y se tiene que

D1v(x, y) = 2 −y

³

1+_√ x x2+y2

´

(x+√x2_+y2₎2

1 +³ y x+√x2_+y2

´₂ = 2

−y³

√

x2_+y2_+x

√ x2_+y2

´

(x+px2_+y2₎2_+y2 = 2

−y(√x2_+y2_+x)

√ x2_+y2

2px2_+y2_(x+p_x2_+y2₎

= −y( p

x2_+y2_+x)

10.4 Series de potencias complejas

D2v(x, y) = 2

x+√x2_+y2_−y√ y x2+y2

(x+√x2_+y2₎2

1 +³ y x+√x2_+y2

´₂ = 2 √

x2_+y2_(x+√_x2_+y2_)−y2

√ x2_+y2

(x+px2_+y2₎2_+y2 = 2

x√x2_+y2_+x2

√ x2_+y2

2px2_+y2_(x+p_x2_+y2₎

= x( p

x2_+y2_+x) (x2_+y2_)(x+p_x2_+y2₎ =

x

x2_+y2 =D1u(x, y).

Por consiguiente, en todo punto del abierto C−A0, se verifican las condiciones [C-R] y las partes real e imaginaria de Logz tienen derivadas parciales continuas, luego Logz es anal´ıtica en C−A₀ y

(Logz)0 =D1u(x, y) +iD1v(x, y) =

x−iy x2_+y2 =

z

|z|2 =

z zz =

1

z.

Observaci´on 10.38 – Las propiedades del logaritmo real no se verifican, en general, para el Log(z). Por ejemplo, 3 Logi= 3(π₂i)6= Log(i3_{) = Log(−i) =−}π

2i.

Definici´on 10.39 – Dados dos n´umeros complejos z y w, con z 6= 0, se designa por zw

cualquiera de los n´umeros complejos

ewlogz =ew(Logz+2kπi)=ew(ln|z|+iArg(z)+2kπi)

y al n´umero complejo

ewLogz =ew(ln|z|+iArg(z)) se le llama valor principal de zw_.

10.4

Series de potencias complejas

10.4.1 Sucesiones y series de n´umeros complejos

Definici´on 10.40 – Se dice que una sucesi´on {zn}∞n=1 de n´umeros complejos tiene por l´ımite

z0, y se escribe _n→∞lim zn=z0 cuando para cada ε > 0 existe un n0 ∈IN tal que |zn−z0|< ε,

para todo n≥n0.

El c´alculo de l´ımites de sucesiones complejas se reduce al de sucesiones reales gracias al siguiente resultado:

Proposici´on 10.41 – Si zn=xn+iyn y z0=x0+iy0, entonces

lim

n→∞zn=z0 ⇐⇒ n→∞lim xn=x0 y n→∞lim yn=y0.

Es decir, lim

n→∞zn= limn→∞xn+in→∞lim yn.

Demostraci´on:

Cierto por serlo para funciones, ya que una sucesi´on es una funci´on de IN−→ C.

Definici´on 10.42 – Se dice que una serie de n´umeros complejos P∞

n=1zn es convergente cuando la

sucesi´on de sumas parciales {wn}∞_n=1, definida por

wn=z1+z2+· · ·+zn= n X

k=1

10.4 Series de potencias complejas

converge. En este caso, si lim

n→∞wn=w∈C, se escribe ∞ P

n=1zn=w, y se dice que w es la suma

de la serie P∞

n=1

z_n.

Proposici´on 10.43 – Sea {zn}∞_n=1, con zn=xn+iyn. Entonces, la serie ∞ P

n=1zn converge si, y

s´olo si, las dos series reales P∞

n=1xn y ∞ P

n=1yn convergen. En este caso, ∞

X

n=1

zn= ∞ X

n=1

xn+i ∞ X

n=1

yn.

Demostraci´on:

Basta tener en cuenta que

lim

n→∞wn= limn→∞ n X

k=1

zk = lim_n→∞ ³_Xn

k=1

xk+i n X k=1 yk ´ = lim n→∞ n X k=1

xk+i_n→∞lim n X

k=1

yk.

Definici´on 10.44 – Se dice que una serie de n´umeros complejos P∞

n=1

z_n es absolutamente

con-vergente cuando la serie P∞

n=1

|zn| es convergente.

Proposici´on 10.45 – P∞

n=1|zn| converge ⇐⇒ las series ∞ P

n=1|xn| y ∞ P

n=1|yn| convergen.

Demostraci´on:

Usando que |xn| ≤ |zn| e |yn| ≤ |zn| se tiene una implicaci´on, y usando que |zn| ≤ |xn|+|yn| se tiene la otra.

Proposici´on 10.46 – Si P∞

n=1|zn| es convergente, entonces la serie ∞ P

n=1zn es convergente.

Demostraci´on: ∞

P

n=1|zn| converge =⇒ ∞ P

n=1|xn| y ∞ P

n=1|yn| convergen =⇒ ∞ P

n=1xn y ∞ P

n=1yn convergen =⇒ la serie P∞

n=1zn es convergente.

10.4.2 Series de potencias

Definici´on 10.47 – Una serie de la forma P∞

n=0an(z−z0)

n _{donde z}

0 y los an son n´umeros

com-plejos, se llama serie de potenciascentrada en z0.

Para simplificar la escritura, consideramos series de potencias centradas en 0, es decir, series de la forma P∞

n=0anz n_.

Como en el caso real se demuestran las siguientes proposiciones:

Lema de Abel. 10.48 – Si una serie de potencias P∞

n=0

a_nzn _{converge para un z}

1 6= 0, entonces

la serie converge absolutamente para todo z∈ C con |z|<|z₁|. Si una serie de potencias P∞

n=0anz

n _{no converge para un z}

10.5 Ejercicios

Demostraci´on:

Es id´entica a la demostraci´on del Lema de Abel para series reales (ver 8.14).

Al verificarse el lema de Abel, el comportamiento de las series de potencias complejas en m´odulo es identico al de las series de potencias reales, por lo que podemos asegurar la existencia del radio de convergencia y de propiedades an´alogas a las que cumplen las series de potencias reales:

Definici´on 10.49 – Al valor ρ = sup ½

|z|: P∞ n=0anz

n_converge ¾

lo llamaremos radio de con-vergencia de la serie.

Si P∞

n=0anz

n _{converge ´unicamente en{0}, diremos que el radio de convergencia es cero,ρ= 0,}

y si P∞

n=0anz

n _{converge en todo C, diremos que tiene radio de convergencia infinito y escribiremos}

ρ= +∞.

Si ρ >0, al entorno E(0, ρ) lo llamaremos c´ırculo de convergenciade la serie.

Proposici´on 10.50 – Si lim n→∞

n

p

|an|=L ´o _n→∞lim |a_|an+1_n|| =L, entonces el radio de convergencia ρ

de la serie de potencias P∞

n=0anz

n _{viene dado por ρ=}   

 

+∞, siL= 0 1

L, siL∈(0,∞) 0, siL=∞.

Proposici´on 10.51 – La serie P∞

n=0anz

n _{converge uniformemente en cualquier cerrado contenido}

en el c´ırculo de convergencia.

Proposici´on 10.52 – Si f(z) = P∞ n=0anz

n _{en E(0, ρ), entonces f es continua en E(0, ρ).}

Proposici´on 10.53 – Si ρ > 0 es el radio de convergencia de la serie de potencias P∞

n=0

anzn,

entonces la serie P∞

n=1nanz

n−1 _{converge absolutamente en E(0, ρ), la funci´on f(z) =} P∞ n=0anz

n

es derivable en E(0, ρ) y f0_{(z) =} P∞ n=1nanz

n−1_{, para todo z∈E(0, ρ).}

Corolario 10.54 – Si f(z) = P∞

n=0an(z−z0)

n _{en E(z}

0, ρ), entonces

a) f es an´alitica en E(z0, ρ).

b) f es infinitamente derivable en E(z0, ρ).

c) an= f

n)_(z0)

n! , para n= 0,1,2, . . ..

10.5

Ejercicios

10.1 Sea f una funci´on anal´ıtica en una regi´on A (conjunto abierto y conexo). Probar que:

a) Si f0_{(z) = 0 en A, entonces f es constante en A.}

10.5 Ejercicios

c) Si |f(z)| es constante en A, entonces f es constante en A.

10.2 Expresa en forma bin´omica los valores de ei_{, seni, sh(}π

2i) y ch(πi).

10.3 Probar, que para todo x∈IR se verifican las igualdades siguientes:

cosx+ Ã

n

1 !

cos 2x+ Ã

n

2 !

cos 3x+· · ·+ Ã

n n

!

cos(n+ 1)x= 2ncosn x₂ cosn+2₂ x.

senx+ Ã

n

1 !

sen 2x+ Ã

n

2 !

sen 3x+· · ·+ Ã

n n

!

sen(n+ 1)x= 2ncosn x₂ senn+2₂ x.

10.4 Probar, que para todo x∈(0,2π) se verifica que

1 + cosθ+ cos 2θ+ cos 3θ+· · ·+ cosnθ= sen ³

(n+ 1)θ₂´cos(nθ₂) senθ₂ .

10.5 Determinar las partes real e imaginaria de la funci´on f(z) = tg(z).

10.6 Determinar las partes real e imaginaria de las funciones sh(z), ch(z) y th(z).

10.7 Determinar una funci´on f =u+iv anal´ıtica en C, sabiendo que f(0) = 0 y que su parte real es la funci´on u(x, y) =−x+ 2 senxchy.

10.8 Estudiar la derivabilidad y la analiticidad de las funciones:

a) f(z) =ez_. b) f(z) = cos(|z|2_). c) f(z) = sh(z+_z1). d) f(z) = Log(ez_{+ 1).}

10.9 Resolver la ecuaci´on 4 cosz+ 5 = 0.

10.10 Probar que de la f´ormula zn1 =e 1

n(Logz+2kπi), se obtienen las n raices n-´esimas de z, al

tomar k= 0,1, . . . , n−1.

10.11 Hallar los radios de convergencia de las siguientes series de potencias:

a) P∞ n=0i

n_(z+i)n_{; b)} P∞ n=0

³ z 1−i

´_n

; c) P∞ n=1

³ z Log(−in)

´_n

; d) P∞ n=1

(z−2πi)n