Funciones trigonométricas. Un tratado elemental en el cálculo - MATERIALES EDUCATIVOS DE LA BIBLIOTECA DEL ESTUDIANTE UACM

FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS

Un tratado elemental en el cálculo

ADVERTENCIA

La presente versión del material educativo no

es la versión final o definitiva del mismo. Se

trata de una versión de prueba, en formato

electrónico, correspondiente al 12 de

noviembre de 2013.

Se agradecerá escribir al autor y/o a la editora

para hacer cualquier comentario relativo a esta

versión:

rafatos@yahoo.com.mx

anabe.alonso@gmail.com

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

UN TRATADO ELEMENTAL EN EL CÁLCULO

Figura de la portada: Representación gráfica de un hipotrocoide, que es una ruleta

trazada por un punto conectado a un círculo de radio

r

, rodando alrededor del interior

de un círculo fijo de radio

R

, donde el punto está a una distancia

d

desde el centro del

círculo interior. Su expresión matemática es una ecuación paramétrica.

A los patrones geométricos resultantes se les conoce como

guilloches

y, por su belleza,

han sido utilizados ampliamente en las artes decorativas durante siglos.

U

NIvERSIDAD

A

UTóNOMA

DE

LA

C

IUDAD

DE

M

ÉxICO

E

D

A

R

E

A

C

S

G

M

R

R

F

C

A

R

S

P

Funciones trigonométricas.

Un tratado elemental en el cálculo

primera edición, 2013 © Rafael Torres Simón

D.R. Universidad Autónoma de la Ciudad de México Dr. García Diego 168, Col. Doctores,

Delegación Cuauhtémoc, C.P. 06720, México, D.F. ISBN

Academia de Matemáticas, Colegio de Ciencia y Tecnología, Ciclo Básico,

Colección Materiales Educativos de la Biblioteca del Estudiante, Coordinación Académica, UACM • Biblioteca del Estudiante: biblioteca.del.estudiante@uacm.edu.mx

http://www.uacm.edu.mx/Estudiantes/BibliotecadelEstudiante/tabid/276/Default.aspx • Materiales Educativos: materiales.educativos@uacm.edu.mx

https://sites.google.com/site/materialeseducativosuacm • Responsable de la edición: Ana Beatriz Alonso Osorio

anabe.alonso@gmail.com

• Diseño de la portada: Amaranta Márquez Villanueva • Compilación y diagramas del texto elaborados por el autor

Material educativo universitario de distribución gratuita para estudiantes de la UACM Prohibida su venta

La Ley de la Universidad Autónoma de la Ciudad de México, en su Exposición de

motivos, establece:

“7. Contribuir al desarrollo cultural, profesional y personal de los estudiantes:

(...) El empeño de la Universidad Autónoma de la Ciudad de México deberá ser

que todos los estudiantes que a ella ingresen concluyan con éxito sus estudios. Para

ello deberá construir los sistemas y servicios que éstos necesiten para alcanzar este

propósito de acuerdo con su condición de vida y preparación previa. (...).”

De igual manera, en su Título I, Capítulo II, Artículo 6, Fracción IV, dice:

“Concebida como una institución de servicio, la Universidad brindará a los

estudiantes los apoyos académicos necesarios para que tengan éxito en sus estudios.

(...).”

Atendiendo a este mandato, los profesores - investigadores de la UACM preparan

materiales educativos como herramienta de aprendizaje para los estudiantes de los

cursos correspondientes, respondiendo así al principio de nuestra casa de estudios de

proporcionarles los soportes necesarios para su avance a lo largo de la licenciatura.

Universidad Autónoma de la Ciudad de México

Nada humano me es ajeno

__________________

1_{Ley de la Universidad Autónoma de la Ciudad de México, publicada en la Gaceta Oficial del Distrito} Fede-ral el 5 de enero de 2005, reproducida en el Taller de Impresión de la UACM, p. 14.

´

_{Indice general}

Introducci´on 5

1. Geometr´ıa Plana 9

1.1. Las nociones b´asicas . . . 9

1.2. Tri´angulos . . . 20

1.3. Congruencia de tri´angulos . . . 29

1.4. Teoremas de Thales . . . 33

1.5. Semejanza de tri´angulos . . . 38

1.6. Teorema de Pit´agoras . . . 48

1.7. Rec´ıproco del teorema de Pit´agoras . . . 50

2. Trigonometr´ıa 55 2.1. ´Angulos . . . 55

2.2. Relaciones trigonom´etricas de ´angulos . . . 61

2.3. Razones trigonom´etricas en un tri´angulo rect´angulo . . . 71

2.4. Ley de senos y cosenos . . . 86

2.5. Funciones trigonom´etricas de n´umeros reales . . . 91

2.6. Funciones trascendentes . . . 111

2.7. Funciones hiperb´olicas b´asicas . . . 123

3. Aplicaciones de la trigonometr´ıa en el c´alculo 135 3.1. Introducci´on a los l´ımites de funciones . . . 135

3.2. L´ımites trigonom´etricos . . . 150

3.3. Derivadas trigonom´etricas . . . 160

3.4. Regla de L’Hˆopital . . . 183

3.5. Introducci´on a la integral definida . . . 192

3.6. La integral indefinida . . . 213

3.7. Integrales impropias . . . 233

3.8. Longitud de arco . . . 244 3.9. Ecuaciones param´etricas . . . 248 3.10. Coordenadas polares . . . 269

Ap´endice 295

A. Principio de Inducci´on 295

Referencias 301

5

Introducci´

on

La motivaci´on de escribir este libro ha sido en base a la experiencia de los cursos de matem´aticas del ciclo b´asico que he impartido en la Universidad Aut´onoma de la Ciudad de M´exico, y darme cuenta de las principales necesidades que han requerido los estudiantes de esta universidad, sobre todo, de aquellos que cursan alguna de las carreras de ingenier´ıa. Los temas que se abordan cubren nociones elementales de geometr´ıa y trigonometr´ıa, temas fundamentales del C´alculo Diferencial e Integral, haciendo un an´alisis b´asico en el estudio de las funciones trigonom´etricas, exponen-ciales, logar´ıtmicas e hiperb´olicas. De acuerdo a esto, el libro contiene un cap´ıtulo de geometr´ıa plana, uno de trigonometr´ıa y uno de aplicaciones de la trigonometr´ıa al c´alculo.

El origen de la geometr´ıa se remonta al Medio Oriente (Antiguo Egipto), a par-tir de la necesidad de medir predios agrarios y en la construcci´on de pir´amides y monumentos. Estos conocimientos se extendieron a los griegos y fue Thales de Mileto quien inici´o la geometr´ıa desde un punto vista formal. Las propiedades se demostra-ban por medio de razonamientos l´ogicos. Posteriormente, el gran matem´atico griego Euclides quien en su famosa obra titulada Elementos, recopila, ordena y sistemati-za todos los conocimientos de la geometr´ıa. Una limitaci´on del trabajo de Euclides fue no reconocer la posibilidad de sistemas geom´etricos perfectamente consistentes, donde el quinto postulado no era v´alido (por un punto exterior a una recta, se puede trazar una ´unica paralela a la recta dada). De esta forma, para Euclides y los ge´ ome-tras posteriores hasta el siglo XVIII pas´o inadvertida la posibilidad de geometr´ıas no euclidianas, hasta los trabajos de Lobatschevsky, Gauss y Riemann.

En cuanto a la trigonometr´ıa, fueron los babilonios y egipcios los primeros en uti-lizar los ´angulos de un tri´angulo y las razones trigonom´etricas. Con el estudio de la astronom´ıa, la trigonometr´ıa tuvo un desarrollo sustancial mediante sus numerables aplicaciones como: la predicci´on de los movimientos y posiciones de los cuerpos celestes; otras aplicaciones fueron el mejoramiento a la exactitud en las rutas de navegaci´on; en el c´alculo del tiempo y en los calendarios, etc´etera.

en ´Algebra y Geometr´ıa Anal´ıtica se da una introducci´on a la trigonometr´ıa y se estudia el teorema de Pit´agoras, las razones trigonom´etricas del tri´angulo rect´angulo y la ley de senos y cosenos. En el contexto del C´alculo Diferencial se estudian las propiedades de las funciones trigonom´etricas y de la funci´on exponencial y logarit-mo. Las coordenadas y gr´aficas polares en C´alculo Integral, etc´etera.

Regularmente, estos temas se encuentran dispersados en diferentes bibliograf´ıas, de acuerdo a las necesidades que tiene cada autor para su exposici´on o de acuerdo a la materia referente. La intenci´on de este libro, es integrar los temas fundamentales relacionados con la trigonometr´ıa en un s´olo ejemplar.

Antes de entrar al estudio de la trigonometr´ıa, es importante estudiar con dete-nimiento algunos temas relacionados con la geometr´ıa plana, como son: razones y proporciones, semejanza y congruencia de tri´angulos. Estos explican el porqu´e del uso de las razones trigonom´etricas en los tri´angulos rect´angulos y de aqu´ı tambi´en la deducci´on de las leyes de seno y cosenos. Por esta raz´on, el libro comienza su primer cap´ıtulo con geometr´ıa plana.

El segundo cap´ıtulo de este libro aborda el estudio de la trigonometr´ıa. Aqu´ı se definen las funciones trigonom´etricas, la ley de senos y cosenos, las inversas de las funciones trigonom´etricas, las funciones hiperb´olicas y las funciones trascendentes (logaritmo y exponencial).

En el tercer cap´ıtulo se aplica lo aprendido de los dos primeros cap´ıtulos a l´ımites, derivadas e integrales. Tambi´en se incluye una secci´on a las coordenadas polares y como ´estas se relacionan con las coordenadas rectangulares, as´ı como las versiones en forma polar de algunas f´ormulas conocidas en el c´alculo.

En cada una de las secciones se expone un amplio n´umero de ejemplos, y para poner en pr´actica los temas que se vayan estudiando, se proponen una serie de actividades a resolver antes de una lista de ejercicios propuestos al final de cada secci´on. Es-tas actividades tienen la finalidad de comprender, retener y madurar los conceptos fundamentales estudiados en ese momento antes de avanzar con el estudio de otros temas.

7

Por ´ultimo, queda por agradecer a todas aquellas personas que contribuyeron a la mejora de esta obra y de manera muy especial a Catalina Trevilla, Claudia Am´erica Serrano Liceaga y Fausto Jarqu´ın por ser ellos quienes revisaron minuciosamente cada detalle de este libro. Tambi´en debo agradecer a Ana Beatriz Alonso por todo el apoyo editorial brindado.

Espero que este libro tenga la utilidad que se requiere para el aprovechamiento de un mejor aprendizaje en los temas que se exponen, sobre todo para los estudian-tes de ingenier´ıa y de modelaci´on matem´atica de la UACM en quienes con mucho cari˜no se escribi´o la presente obra.

Cap´ıtulo 1

Geometr´ıa Plana

1.1.

Las nociones b´

asicas

La geometr´ıa plana es una rama de la geometr´ıa que estudia las figuras cuyos puntos est´an contenidos en un plano, como la recta, el tri´angulo o el c´ırculo. Es-ta parte de la geometr´ıa Es-tambi´en se conoce como geometr´ıa eucl´ıdea, en honor al matem´atico griego Euclides, el primero en estudiarla en el siglo IV a.C. Su extenso tratado Elementos de Geometr´ıa se mantuvo como texto autorizado de geometr´ıa hasta la aparici´on de las llamadas Geometr´ıas no eucl´ıdeas en el siglo XIX.

Se comenzar´a explicando algunos conceptos b´asicos de la geometr´ıa.

◦ Por punto se entiende a aquel ente que no se divide en partes, es decir, el punto no posee magnitud ni tama˜no. Para representar puntos se emplear´an letras may´usculas:A, B,C, etc´etera.

u

A

◦ Porl´ınea1 se entiende a aquel ente que tiene longitud pero carece de ancho y se extiende de manera indefinida en dos direcciones. En lo sucesivo, se emplear´a la letra lpara representar a una l´ınea recta.

l

1_{Una l´ınea no necesariamente es recta.}

◦ Por plano se entiende a aquel ente que tiene una superficie uniformemente distribuida con l´ıneas que se cruzan sobre ´el. Un plano tiene ´area pero carece de volumen.

Nota: Se debe tener presente que ninguno de los enunciados anteriores de punto, recta y plano constituyen una definici´on, son secillamente explicaciones o ideas de lo que nos imaginamos acerca de estos conceptos.

Actividad 1. Considera A yB dos puntos.

(a) ¿Cu´antas l´ıneas pasan por los dos puntos?

(b) ¿Cu´antas de estas l´ıneas son rectas?

r

r

A

B

Seguramente, habr´as contestado que por A y B pasa una ´unica l´ınea recta. De esta manera, se puede decir que una l´ınea recta o simplemente recta, es la que est´a determinada por cualquiera dos de sus puntos.

Observemos la figura:

b

b b

b b

b

A

B l

LAS NOCIONES B ´ASICAS ₁₁

Nota: Una recta divide al plano en tres partes: la recta y dos semiplanos.

Por segmento, se entiende como la porci´on de una recta. Es decir, si A y B son dos puntos sobre una recta, al pedazo de recta comprendido entre estos puntos, incluyendo los puntos, es el segmento AB.

r r

A B

En general, el segmentoAB es igual que al segmentoBA. En algunos casos, se consideransegmentos dirigidos, es decir, dado un segmentoAB, se le puede aso-ciar un sentido, por ejemplo deAaB. En este caso, el segmento ABes un segmento dirigido y BAtendr´a el sentido opuesto. As´ı, se tendr´ıa la igualdadBA=−AB.

De igual manera, se entender´a porrayoa una porci´on de recta que tiene un punto inicial y se extiende de manera indefinida hacia una direcci´on. De esta manera, cada punto O de una recta, divide a esta en dos rayos.

O

B A

r

r r

De esta figura se tienen dos rayos: −→OAy −−→OB.

Nota: Un segmento tiene dos extremos, mientras que un rayo s´olo tiene un punto inicial.

A

B

O

r

A

r

r

r

Cuando dos rayos tienen un punto inicial en com´un, se dice que forman un ´angulo entre ellos. De esta manera, un ´angulo, se puede definir como la parte com´un de dos semiplanos. El borde del ´angulo, tambi´en llamado lados del ´angulo, lo forman los dos rayos, mientras que el punto inicial com´un de los rayos es elv´erticedel ´angulo.

O

A

B

r

r

r

En esta figura se puede apreciar el ´angulo AOB o BOA, donde −→OA y −−→OB son los lados del ´angulo y O es el v´ertice. Es indiferente qu´e lado se nombra primero, mas a´un, no importa qu´e punto se nombra en cada uno de los dos lados.

Para representar al ´angulo AOB oBOA, se indicar´a mediante la notaci´on:

^AOB y ^BOA respectivamente.

O

A

B D

E

r

r

r r r

En esta figura, el ´angulo correspondiente se puede designar por:^AOB,^DOB,

^AOE, etc´etera, o sencillamente como^O, cuando se conocen los lados en referen-cia.

M´as adelante, en el estudio de la trigonometr´ıa, la definici´on de ´angulo aparecer´a de manera diferente puesto que importar´a qu´e lado del ´angulo se nombre primero. Esto es, se distinguir´a entre el^AOBy^BOA. En el ´angulo^AOB,−→OAes el lado inicial y −−→OB el lado terminal, mientras que en el ´angulo ^BOA, −−→OB es el lado inicial y −→

LAS NOCIONES B ´ASICAS ₁₃

Para entender m´as el concepto de ´angulo, veamos como se puede asociar con una cantidad de rotaci´on entre dos rayos:

1. El rayo −→OAcoincide con el rayo −−→OB.

O

A B

r r

2. Se hace girar el rayo −→OA para formar el ´angulo AOB.

O B

A

r r r

3. Se tiene finalmente el ´angulo AOB.

r r r

O B

A

La cantidad de rotaci´on que asocia un ´angulo, se mide en el intervalo de 0 a 360. Para entender este hecho, recordemos que con la ayuda de un transportador, podemos medir el valor de cierto ´angulo. Para distinguir la cantidad de rotaci´on de un ´angulo con un n´umero real, se usa el s´ımbolo:a◦_{, dondeaes un n´umero entre 0} y 360. De esta forma, un ´angulo se medir´a de 0◦ a 360◦. Si hayagrados en el ´angulo AOB, se escribir´a:

^AOB=a◦.

Dos rectas l1 yl2 sonsecanteso seintersectan si ´estas se cortan en alg´un punto.

En la siguiente figura se muestran dos rectas cuyo punto de intersecci´on es el punto O.

O

l1

l2

Cuandol1 yl2 se intersectan para formar cuatro ´angulos iguales, se dice que las

rectas sonperpendiculares y los cuatro ´angulos son ´angulos rectos.

l1

l2

90◦

Un ´angulo menor a un ´angulo recto se llama´angulo agudo y uno mayor a un ´

angulo recto se llama´angulo obtuso.

Actividad 2. Clasifica los siguientes ´angulos en: ´angulo recto, agudo u obtuso, seg´un corresponda.

90◦

´ angulo

45◦ 135

◦

´

angulo ´angulo

r

´ angulo

180◦ 360◦

r

´ angulo

Si la suma de dos ´angulos es 90◦, los ´angulos soncomplementarios y cada ´angulo es el complemento del otro; mientras que si la suma es 180◦_{, se dice que los ´angulos} sonsuplementariosy cada ´angulo es el suplemento del otro.

Actividad 3. completa las siguientes frases:

1. El complemento de 22◦ _{es porque 22}◦_{+ =}

2. Six <90◦_{, el complemento de x es porquex+ =}

3. El suplemento de 45◦ _{es porque 45}◦_{+ =}

LAS NOCIONES B ´ASICAS ₁₅

1.1.1. Definici´on. Si tres rayos −→OA,−−→OB y−−→OC tienen el v´ertice O en com´un, y el rayo −−→OB est´a dentro del ´angulo AOC entonces los ´angulos AOB y BOC se llaman ´

angulos adyacentes.

O r

B

r

A

r

C

Nota:Si los dos ´angulos adyacentes son iguales, se dice que el rayo−−→OB bisecta al ´anguloAOC, y−−→OB se llama la bisectriz del ´angulo.

Actividad 4. Escribe los pasos a seguir para trazar la bisectriz de un ´angulo dado, utilizando una regla y comp´as sin graduar.

Si dos rectas se intersectan en un puntoO, quedan determinados cuatro ´angulos, de ellos, cuatro pares son adyacentes. En este caso, cualesquiera dos pares de ´angulos adyacentes suman 180◦_{. Los ´angulos no consecutivos: ^AOB y ^COD se llaman} ´

angulos opuestos.

r

B

r

A

O

r

C

r

D

l2

l2

r

Actividad 5. En la figura anterior, los ´angulos: ^AOB y ^AOC son adyacentes. Hay tres pares m´as de ´angulos adyacentes. ¿Cu´ales son?

1. ^ y^

2. ^ y^

Actividad 6. Si el suplemento del ´angulo α es 153◦ y el complemento del ´angulo β es 56◦, determina:

(a) (α₋2β)2 (b) (β+α)(β₋α).

1.1.2. Proposici´on. (Propiedad de los ´angulos opuestos por el v´ertice) Los ´angulos opuestos por el v´ertice tienen medidas iguales.

Demostraci´on:

Se consideran los ´angulos opuestos^AOBy^COD. Se comprobar´a que estos ´ angu-los son iguales.

r

B

r

A

O

r

C

r

D

1. ^COD+^COA= 180◦ por ser ´angulos adyacentes. Despejando el ´angulo^COD:

^COD = 180◦−^COA . . . (I)

2. ^AOB+^COA= 180◦ _{por ser ´angulos adyacentes.} Despejando el ´angulo^AOB:

^AOB= 180◦₋^COA . . . (II)

Comparando2 las igualdades (I) y (II), se tiene que

^COD=^AOB.

Actividad 7. Considerando la figura anterior de la proposici´on 1.1.2, comprueba que los ´angulos opuestos ^AOC y ^DOB son iguales. Completa lo siguiente para tal fin.

2

Para la comprobaci´on de este resultado, se hizo uso de una propiedad de igualdad: Sia=by

LAS NOCIONES B ´ASICAS ₁₇

1. ^AOC+^COD = 180◦ por ser ´angulos adyacentes.

Despejando el ´angulo ,

se tiene : . . . (I)

2. ^DOB+ = por ser ´angulos adyacentes.

Despejando el ´angulo ^DOB,

se tiene : . . . (II)

Comparando las igualdades (I) y (II), se concluye que

1.1.3. Ejemplo. Encuentra la medida de los ´angulos de las siguientes figuras.

6x₋5 4x+ 19

4x 3x₋30

(a) (b)

Soluci´on:

(a) Por ser ´angulos opuestos, se tiene que 4x+ 19 = 6x₋5. Se resuelve esta ecuaci´on para encontrar el valor dex.

4x₋6x=₋5₋19 −2x=₋24

x= −24

−2 = 12.

Se sustituye el valor de x en los dos ´angulos: 4(12) + 19 = 48 + 19 = 67 y 6(12)−5 = 72−5 = 67. As´ı que el valor de los ´angulos opuestos mide 67◦.

(b) Por ser ´angulos suplementarios se tiene que 3x₋30 + 4x = 180. Resolviendo esta ecuaci´on se tiene:

7x₋30 = 180

7x= 180 + 30 = 210

x= 210

7 = 30.

Actividad 8. Encuentra la medida de los siguientes ´angulos complementarios, dondeα= 12x yβ = 2x+ 20.

α β

Una recta l estransversalcuando corta a dos rectas.

l2

l1

l

6 5

7 ₈

2 3

1

4

En esta figura,l es una transversal porque corta a las rectas l1 yl2.

Los ´angulos: ^3,^4, ^5 y^6 se llaman´angulos internos. Los ´angulos: ^1,^2, ^7 y^8 se llaman´angulos externos.

Dos ´angulos no opuestos (interno y externo) en lados opuestos por la transversal l se llaman´angulos alternos, por ejemplo: ^8 y ^3 o^2 y^5.

Dos ´angulos internos no consecutivos y opuestos por la transversallse llaman´ angu-los alternos internos, por ejemplo:^6 y ^3.

Dos ´angulos externos no consecutivos y opuestos por la transversallse llaman´ angu-los alternos externos, por ejemplo: ^8 y^1.

Los ´angulos que est´an en la posici´on correspondiente respecto a la transversal como por ejemplo:^8 y ^4 o^6 y^2 se llaman´angulos correspondientes.

Actividad 9. Apoy´andote en la figura anterior,

1. Enlista todos los pares de ´angulos alternos.

2. Enlista todos los pares de ´angulos alternos internos.

3. Enlista todos los pares de ´angulos alternos externos.

LAS NOCIONES B ´ASICAS ₁₉

Actividad 10. Dadosl1,l2 dos rectas paralelas3,l una transversal y los 8 ´angulos

que se forman como en la siguiente figura:

l

l1

l2

2 1

3 ₄

6 5 7

8

(a) Enlista todos los pares de ´angulos iguales (en total son 8).

(b) Enlista todos los pares de ´angulos que suman 180◦ que no sean suplementarios (en total son 8).

Observaci´on: Los pares de ´angulos alternos internos son iguales. De manera simi-lar, los pares de ´angulos alternos externos coinciden.

LISTA DE EJERCICIOS. SECCI ´ON 1.1

1. Encuentra la medida de los ´angulos en las siguientes figuras:

10x+ 15 12x₋3

4x₋56

x+ 1

(a) (b)

2. Sil1es paralela al2, determina el valor de los ´angulos de las siguientes figuras.

2x₋5

x+ 22 _l

1

l2

(a)

2x+ 6

6x₋51 l1

l2

(b)

3_{Se dice que dos rectas}

3. Siα= 110◦, ¿cu´ales son los valores deβ,γ y δ?

α

γ δ

β

4. Si l1 y l2 son paralelas, determina la medida de los ´angulos a, b y c, donde

a= 180−y,b= 90 +x yc= 2x.

c a b

l2

l1

5. Sia= 85◦ ye= 30◦, hallar las medidas de los ´angulosb,c,dy f.

b a f

e

d c

1.2.

Tri´

angulos

TRI ´ANGULOS ₂₁

A

B C

r r r

A B C

A,B y C son colineales A, B yC forman el tri´angulo ABC

En la figura de la derecha se forma el tri´angulo ABC. Los segmentos AB, AC y BC son los lados del tri´angulo; A, B y C son sus v´ertices y ^ABC, ^BCA y

^CAB, sus ´angulos (interiores).

A

B BC C

AC AB

β

α

γ

En esta figura se puede apreciar el tri´anguloABC, dondeα,β yγ son sus ´ angu-los interiores.

Si se prolongan los lados de un tri´angulo, quedan determinados todos sus ´angulos: interiores y exteriores.

A

B C

β

α

γ b

c a

En esta figura, los ´angulos a, b y c son ´angulos exteriores del tri´angulo ABC. De esta manera se tiene que un ´angulo exterior de un tri´angulo, es aquel ´angulo que es adyacente a un ´angulo interior del mismo tri´angulo, es decir, son suplementarios.

Para la clasificaci´on de los tri´angulos, se toman en cuenta dos hechos fundamen-tales:´angulos y lados.

CLASIFICACI ´ON DE ACUERDO A SUS ´ANGULOS

Tri´angulo rect´angulo: el que tiene un ´angulo recto.

Tri´angulo acut´angulo: el que tiene todos sus ´angulos agudos.

Tri´angulo obtus´angulo: el que tiene un ´angulo obtuso.

CLASIFICACI ´ON DE ACUERDO A SUS LADOS

Tri´angulo equil´atero:el que tiene todos sus lados iguales.

Tri´angulo is´osceles: el que tiene dos lados iguales.

Tri´angulo escaleno:el que no tiene lados iguales.

1.2.1. Teorema. La suma de los ´angulos interiores de un tri´angulo ABC es180◦_. A

B C

β

α

γ

β0 γ0

Demostraci´on:

1. Se traza una recta paralela al ladoBC, pasando por el v´erticeAdel tri´angulo

ABC.

2. El ´angulo β es igual al ´angulo β0 y el ´angulo γ es igual al ´angulo γ0, por ser ´

angulos alternos internos.

3. Por lo tanto,α+β+γ =α+β0+γ0 = 180◦.

TRI ´ANGULOS ₂₃

β

α

γ

Soluci´on:Se sabe quex+ 20 +x+ 210₋3x= 180. Al resolver esta ecuaci´on se obtiene x= 50. Por lo tanto, la medida de los ´angulos son:

α=x+ 20 = 50 + 20 = 70◦

β=x= 50◦

γ = 210₋3x= 210₋3(50) = 210₋150 = 60◦.

Actividad 12. Determina la medida de los ´angulosα y β del siguiente tri´angulo:

115◦

β

α

70◦

1.2.3. Corolario. En cualquier tri´angulo ABC se tiene que el ´angulo exterior γ0 es igual a la suma de los ´angulos internos no adyacentes a γ0.

B C

A

γ0

Demostraci´on:

1. Sea γ0 el ´angulo exterior al v´ertice C (la argumentaci´on es la misma si es considerado otro v´ertice).

2. Se tiene que γ0 +^BCA= 180◦, por ser ´angulos suplementarios.

3. Por el teorema 1.2.1, ^ABC+^BCA+^CAB = 180◦_{. As´ı que se tiene la} igualdad:

4. De dondeγ0 =^ABC+^CAB.

1.2.4. Teorema. La suma de los ´angulos exteriores de todo tri´anguloABC es igual a 360◦_.

A

B C

β

α

γ b

c a

Demostraci´on:

1. Utilizando el corolario 1.2.3, se tiene quea=β+γ,b=α+γ yc=α+β.

2. Sumando los tres ´angulos anteriores, se tiene que

a+b+c=β+γ+α+γ+α+β

=α+β+γ+α+β+γ = 180◦+ 180◦

= 360◦.

3. Se tiene as´ı quea+b+c= 360◦.

Antes de continuar con m´as ejemplos, notemos que en todo tri´angulo is´oscelesABC, donde AB = AC se tiene que ^ABC = ^ACB. Para comprobar este hecho, ob-servemos la siguiente figura:

B C

A

A

B C

TRI ´ANGULOS ₂₅

1.2.5. Teorema. Si A es un punto de la circunferencia de di´ametro BC distinto de B y C, entonces el tri´angulo ABC es un tri´angulo rect´angulo.

A

B C

O

α β

β α

Demostraci´on:

1. Si O el centro de la circunferencia entonces los segmentosOB,OC yOA son iguales.

2. Los tri´angulosABO yAOC son is´osceles.

3. La suma de los ´angulos del tri´anguloABC cumple 2α+ 2β = 180◦_{.De aqu´ı se} deduce queα+β = 90◦.

1.2.6. Ejemplo. Considera el tri´angulo ABC, de manera queAB=BC. Calcula la medida de ^y.

B C

A

y 4x x+ 10

Soluci´on:

1. Sea β = ^BAC. Como AB = BC, el tri´angulo es is´osceles, por lo tanto,

^BAC =^BCA.

2. Por el corolario 1.2.3 se tiene que 4x= 2β que es equivalente a tener 2x=β.

3. Por otra parte, 4x+x+10 = 180◦. Resolviendo esta ecuaci´on se obtienex= 34.

4. Sustituyendo el valor de x en el ´angulo β, se obtiene 2(34) = 68◦ _=β.

1.2.7. Ejemplo. En la siguiente figura se tiene que^DBC =^DCB y^ABD=

^ACD. Comprueba que^ABC =^ACB.

B

A

D

C

Soluci´on:

1. Como dato se tiene que^DBC=^DCB y^ABD=^ACD.

2. Sumando estas dos igualdades se tiene^DBC+^ABD=^DCB+^ACD. 3. Por lo tanto,^ABC =^ACB.

1.2.8. Ejemplo. Considera los siguientes tri´angulos, dondeAD=CB. Comprueba queAC =DB.

A C D B

Soluci´on:

1. Se sabe queAC+CD=AD yCD+DB =CB.

2. Como dato se tiene queAD=CB, por lo queAC+CD =CD+DB.

3. Cancelando t´erminos en la igualdad anterior se concluye queAC =DB.

1.2.9. Ejemplo. En el tri´anguloP QR, el ´angulo en el v´erticeRes un ´angulo recto, QT =QV yP S=P V. Comprueba que x= 45◦_.

P S

R T

Q V

TRI ´ANGULOS ₂₇

Soluci´on:

1. Sean ^RP Q=α,^P QR=β,^P V S=y y^T V Q=z.

2. Se sabe queα+β = 90◦, porque el tri´anguloP QRes un tri´angulo rect´angulo.

3. Como QT =QV yP S =P V, los tri´angulos P SV y V T Q son is´osceles. As´ı, se tiene que 2y+α= 180◦ y 2z+β = 180◦.

4. Sumando las dos igualdades anteriores se tiene, 2y+ 2z+α+β= 360◦.

5. Sustituyendo el valor deα+β obtenido en el paso (2) en la igualdad del paso anterior y simplificando, se tiene que y+z= 135◦.

6. Finalmente, como y+x+z= 180◦_{, entonces x= 45}◦_.

LISTA DE EJERCICIOS. SECCI ´ON 2.1

1. Nombra todos los tri´angulos de la figura siguiente (hay m´as de cuatro).

A B

C

D E

2. Nombra todos los tri´angulos de la siguiente figura. Una manera de abordar el problema es escribir SRT M U N y, luego, escribir todas las combinaciones de tres letras y cotejar cada combinaci´on con la figura.

S T

M

N R

3. Determina la medida de los ´angulo a,b,cydde la figura:

28◦

47◦

45◦

82◦ a b c

d

4. SiP Q=RS, comprueba queP R=QS.

P Q R S

5. Si^ABC =^ACBy^DBC =^DCB, comprueba que ^ABD=^ACD.

B

A

D

C

6. Si^a=^by^c=^d, comprueba que el ´angulox es recto.

a x b

c

CONGRUENCIA DE TRI ´ANGULOS ₂₉

1.3.

Congruencia de tri´

angulos

El concepto de congruencia est´a emparentado con el de igualdad. En geo-metr´ıa es com´un que se hable de congruencia en vez de igualdad. Por ejemplo, dos segmentos son congruentes si y s´olo si tienen la misma medida, y lo mismo es cierto para ´angulos, pero en el caso de dos tri´angulos, la definici´on es m´as complicada puesto que no hay una medida (n´umero) que defina a un tri´angulo.

Se ha visto que hay diversas clasificaciones de tri´angulos que dan cuenta de su diversidad de formas, es por eso que una noci´on previa a la definici´on de congruencia de tri´angulos es la de correspondencia; y esto, porque un tri´angulo (y cualquier pol´ıgono) es una configuraci´on que consiste de puntos y segmentos de recta (lados) que unen pares de esos puntos. Decir que el tri´angulo ABC est´a en correspondencia con el tri´anguloA0B0C0, significa que la correspondencia entre sus v´ertices es:A−A0, B₋B0,C₋C0; y en esta correspondencia, queda impl´ıcita la correspondencia entre sus lados:AB−A0B0,BC−B0C0 yCA−C0A0, y entre sus ´angulos: el ´angulo^ABC es congruente con el ´angulo ^A0B0C0, etc´etera.

B

A

C B0

A0

C0

De hecho, dos tri´angulos son congruentes cuando se hacen coincidir uno sobre el otro mediante alg´un giro, translaci´on y/o reflexi´on. Sin embargo, este hecho no se emplear´a para decidir si dos tri´angulos son congruentes, en vez de esto, se emplean criterios sobre sus ´angulos y lados.

La definici´on formal utilizada en geometr´ıa es como sigue: dos tri´angulos son con-gruentes si, en la correspondencia entre sus v´ertices, resultan iguales los lados co-rrespondientes y los ´angulos correspondientes. Esto es, los tri´angulosABCyA0B0C0 son congruentes si AB =A0

B0

,BC =B0

C0

yAC =A0

C0

; y los ´angulos enA,B y C son iguales a los ´angulos enA0,B0 yC0.

entre ellos son iguales a sus correspondientes elementos en el otro, entonces los dos tri´angulos son congruentes.

Algunos textos de geometr´ıa, los m´as formales en el sentido l´ogico, toman este crite-rio como axioma y demuestran los dos restantes, elALA (´angulo-lado-´angulo) y el LLL (lado-lado-lado). Otros textos, la mayor´ıa, postulan como verdaderos los tres criterios. Es recomendable entonces tomar los tres como postulados ya que, si de cualquier manera se va a tomar uno como postulado.

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRI ´ANGULOS

1. Lado- ´Angulo-Lado (LAL). Dos tri´angulos son congruentes si tienen dos lados iguales y el ´angulo comprendido entre ellos, respectivamente iguales.

B

A

C B0

A0

C0

Por ejemplo: AB=A0B0, BC=B0C0 y ^ABC =^A0B0C0

2. Angulo-Lado- ´´ Angulo (ALA). Dos tri´angulos son congruentes si tienen dos ´

angulos y el lado entre ellos respectivamente iguales.

B

A

C

A0

B0

C0

Por ejemplo: ^ABC =^A0B0C0, ^BCA=^B0C0A0 y BC =B0C0 3. Lado-Lado-Lado (LLL). Dos tri´angulos son congruentes si tienen sus tres

lados respectivamente iguales.

B

A

C

A0

B0

C0

CONGRUENCIA DE TRI ´ANGULOS ₃₁

Estos criterios que se acaban de enunciar, ayudan a decidir si dos tri´angulos son congruentes sin necesidad de verificar las seis igualdades que dan raz´on a una con-gruencia.

Para poder ver la congruencia es necesario buscarla, es decir, en el enunciado de un problema (una frase, un dato,...) debe sugerir impl´ıcitamente qu´e criterio se puede usar para su soluci´on.

Si ABC es cualquier tri´angulo, se usar´a de aqu´ı en adelante y cuando se necesite, el s´ımbolo ₄ABC, para denotar dicho tri´angulo. Si ₄A0B0C0 denota el tri´angulo A0B0C0, el s´ımbolo ∼= denotar´a la congruencia entre los dos tri´angulos:

4ABC ∼=4A0B0C0

1.3.1. Ejemplo. Dada la siguiente figura, si AE = EB, CE =ED, comprueba que ₄AEC ∼=4EDB.

C B

D E

A

Soluci´on:

1. ^AEC =^BED por ser ´angulos opuestos.

2. De los datos se sabe que AE=EB yCE =ED.

3. Entonces, por el criterio LALse tiene que 4AEC ∼=4EDB.

1.3.2. Ejemplo. Si en el paralelogramo ABCD se tiene que ^ADB =^DBC y

^ABD=^BDC, comprueba que ₄ABD∼=4BCD.

A

D C

Soluci´on:

1. ComoDB es com´un en los dos tri´angulos, se tiene que DB=DB.

2. De los datos se sabe que^ADB =^DBC y^ABD=^BDC.

3. Entonces se cumple el criterio ALA, y por lo tanto, ₄ABD ∼=4BCD.

1.3.3. Ejemplo. Si en el tri´angulo is´oscelesABC se tiene queAC =BC yAD= DB, es decir, Des el punto medio deAB, comprueba que4ADC∼=4DBC.

C

B D

A

Soluci´on:

1. ComoDC es lado com´un de los dos tri´angulos, se tiene DC =DC.

2. De los datos se sabe queAC=BC yAD=DB.

3. Por lo tanto se cumple el criterioLLL y4ADC∼=4DBC.

Actividad 13. Si en los tri´angulo rect´angulos: ₄ABC y ₄A0B0C0, se tiene que

^ABC =^A0B0C0 yBC=B0C0, comprueba que₄ABC ∼=4A0B0C0.

A

C C0

TEOREMAS DE THALES ₃₃

1.4.

Teoremas de Thales

Los teoremas de Thales tienen diversas aplicaciones en la geometr´ıa, en especial para la semejanza de tri´angulos. Antes de enunciar estos teoremas se dar´an algunas definiciones y resultados.

Dado un tri´angulo ABC, la altura4 desde el v´ertice A, es la perpendicular AD al lado BC que pasa porA. En este caso, el punto de intersecci´on D, de la altura con BC, se llamapie de la altura, y en este caso, BC es la basedel tri´anguloABC.

A

B D C

Se observa que el pie de la altura D, se encuentra dentro del segmento BC o bien en la prolongaci´on de BC.

D A

B C

El ´area de un tri´angulo ABC, es la mitad del producto de su base por la altura correspondiente. Por ejemplo, siBC es la base y ADla altura, entonces el ´area del tri´angulo ABC denotado por a(4ABC) es:

a(4ABC) = BC·AD

2

1.4.1. Proposici´on. Si dos tri´angulos ABC y A0B0C0 tienen una misma altura, entonces, la raz´on5 entre sus ´areas es igual a la raz´on de sus bases donde se levanta la altura.

4_{La altura de un tri´angulo}

ABCse puede definir desde cualesquiera de sus tres v´ertices:A,B o

C.

5

Al cociente a

b, dondeaybson n´umeros positivos se le llamaraz´on. Cuando dos razones son

B

A

C B0

A0

C0

h h

Demostraci´on:

1. Seah la altura com´un de los tri´angulos. Entonces,

a(4ABC) =BC·h

2

a(₄A0B0C0) =B

0

C0 _·h 2

2. Por lo tanto,

a(4ABC)

a(₄A0_B0_C0₎ =

(BC·h)/2 (B0_C0

·h)/2 = BC

B0_C0.

1.4.2. Proposici´on. Si los tri´angulos ABC y A0B0C0 tienen una base igual, en-tonces la raz´on de sus ´areas es igual a la raz´on entre las alturas que se levantan sobre la base igual.

B

A

C B0

A0

C0

h1 h2

b b

Demostraci´on:

1. Sean b la base com´un de los tri´angulos, h1 la altura del tri´angulo ABC yh2

la altura del tri´anguloA0

B0

C0

. Entonces,

a(₄ABC) = b·h1 2

a(₄A0B0C0) = b·h2 2

2. Por lo tanto,

a(4ABC)

a(₄A0_B0_C0₎ =

(b·h1)/2

(b_·h2)/2

= h1 h2

TEOREMAS DE THALES ₃₅

1.4.3. Teorema. (Primer teorema de Thales) En el tri´angulo ABC, sean Dy E puntos deAB y AC respectivamente y tales queDE es paralelo aBC. Entonces,

AB

AD =

AC

AE.

B

A

C

D h E

Demostraci´on:

1. Se observa que los tri´angulos ADE y ABE tienen la misma altura desde el v´ertice E. Luego, usando la proposici´on 1.4.1 se tiene que la raz´on de sus ´areas es igual a la raz´on de sus bases:

a(₄ABE)

a(4ADE) =

AB

AD.

2. Tambi´en los tri´angulosADE y ADC tienen la misma altura desde el v´ertice D, por lo que

a(₄ADC)

a(₄ADE) =

AC

AE.

3. Los tri´angulosDBE yDCE tienen a DE como base com´un, y como DE es paralelo aBC, las alturas de estos tri´angulos son iguales sobre la base com´un. Por lo tanto,

a(₄DBE)

a(4DCE) = 1.

De aqu´ı se deduce que a(₄DBE) =a(₄DCE).

4. De esto se tiene la siguiente igualdad:

a(₄ABE) = a(₄ADE) +a(₄DBE)

= a(₄ADE) +a(₄DCE) = a(₄ADC).

5. Sustituyendo esto ´ultimo en el paso (1) y comparando con la igualdad del paso (2), se concluye que

AB

AD =

AC

El rec´ıproco de este teorema tambi´en es cierto.

1.4.4. Teorema. Si en el tri´anguloABC,DyE son puntos sobreAB yAC, tales que AB_AD = AC_AE, entonces DE es paralelo a BC.

B

A

C

D E

C0

Demostraci´on:

1. Supongamos que DE no es paralelo a BC. Sea C0 sobre AC tal que DE es paralelo a BC0.

2. Por el teorema 1.4.3 se tiene que AB_AD = AC_AE0.

3. Por otra parte, se sabe que AB_AD = AC_AE.

4. Comparando los resultados de los pasos (3) y (4) se tiene la igualdad:

AC0

AE =

AC AE

De aqu´ı se deduce que AC =AC0

yDE es paralelo aBC.

En el primer teorema de Thales se ha visto que se cumple la relaci´on AB_AD = AC_AE, dondeDE es paralelo a BC en el tri´angulo ABC.

B

A

C

D E

ComoAB=AD+DB yAC =AE+EC, la relaci´on anterior, se puede reducir a

DB

AD =

EC

TEOREMAS DE THALES ₃₇

Esta ´ultima igualdad, tambi´en es equivalente a AD_DB = AE_EC. As´ı que en el primer teorema de Thales, en el tri´angulo ABC, si DE es paralelo a BC, se cumplen cualesquiera de las relaciones:

AB

AD =

AC

AE o

DB

AD =

AE

EC o

AD

DB =

AE

EC.

1.4.5. Ejemplo. Encuentra el valor de x en el siguiente tri´angulo, dondeM N es paralelo a BC.

A

M

B C

N x

4 3

2

Soluci´on:

Aplicando el primer teorema de Thales, se tiene 4_x = 3₂. Despejando x se obtiene

x= 8₃.

1.4.6. Teorema. (Segundo teorema de Thales) Si se tienen tres rectas y dos transversales a ´estas, de tal forma que AD, BE y CF son paralelas, entonces

AB

BC = DEEF. Rec´ıprocamente, si ABBC = DEEF y dos de las rectas AD, BE o CF son

paralelas, entonces las tres rectas son paralelas.

A D

B E

C F

G

Demostraci´on:

2. Debido a que AD, BE y CF son paralelas, se puede aplicar el teorema de Thales a los tri´angulosACF yF DA, para tener

AB

BC =

AG

GF y

F E

ED =

F G

GA.

La ´ultima igualdad tambi´en se puede escribir como: AG_GF = DE_EF.

3. Comparando la primera y tercera igualdad, se concluye finalmente que AB

BC =

DE

EF .

Para comprobar el rec´ıproco, se procede como sigue:

1. Supongamos queBE yCF son paralelas. Entonces, _BCAB = AG_GF.

2. Por hip´otesis, AB_BC = DE_EF.

3. Comparando las dos igualdades anteriores se concluye que DE_EF = AG_GF.

4. De esta igualdad se tiene por el rec´ıproco del primer teorema de Thales que GE es paralelo a AD, es decir, BE es paralelo a AD y las tres rectas son paralelas.

Actividad 14. Con la ayuda de una regla sin medida y un comp´as, divide un segmento de recta AB en cuatro partes iguales. C´omo generalizar´ıas lo anterior para dividir el segmentoAB en npartes iguales?

1.5.

Semejanza de tri´

angulos

En t´erminos generales, dos figuras geom´etricas son semejantes, si tienen exac-tamente la misma forma, pero no necesariamente el mismo tama˜no. Otra manera de expresar que dos figuras son semejantes es, si una de ellas es un modelo de escala de la otra. Por ejemplo, dos circunferencias cualesquiera son semejantes; dos cuadrados cualesquiera son semejantes; dos tri´angulos equilateros cualesquiera son semejantes; dos segmentos cualesquiera son semejantes, etc´etera.

A B C D

SEMEJANZA DE TRI ´ANGULOS ₃₉

El siguiente es un ejemplo de dos tri´angulos semejantes:

A

B C B0

A0

C0

2 3

4 8

4 6

El tri´angulo ABC es semejante al tri´angulo A0B0C0, debido a que la longitud de cada lado del segundo tri´angulo es dos veces la del lado correspondiente del primero. Nombremos a = 2, b = 4 y c = 3 la longitud de los lados del tri´angulo ABC y a0 = 4, b0 = 8 yc0 = 6 para el tri´angulo A0B0C0. De esta forma,

a0 = 2a, b0 = 2b y c0 = 2c,

o dicho a la inversa, cada n´umero de la primera terna es exactamente la mitad del n´umero correspondiente de la segunda terna:

a= 1

2a

0

, b= 1

2b

0

y c= 1 2c

0

.

De esta forma, se tiene:

a0

a =

b0

b =

c0 c, porque cada una de las fracciones es igual a 2; y

a

a0 =

b b0 =

c c0,

porque cada una de estas fracciones es igual a 1₂. En este caso, se dice que las ternas a,b,c ya0

,b0

,c0

, sonproporcionales.

Finalmente, para que dos tri´angulos sean semejantes, es necesario que los ´angulos correspondientes sean congruentes.

1.5.1. Definici´on. Se dice que dos tri´angulos ABC y A0B0C0 son semejantes; en s´ımbolos: ₄ABC _{∼ 4}A0

B0

C0

, si sus ´angulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

A

B C B0

A0

C0 Los tri´angulosABC yA0

B0

C0

son semejantes, si y s´olo si

^ABC =^A0B0C0, ^BCA=^B0C0A0, ^CAB=^C0A0B0,

y AB

A0_B0 =

BC B0_C0 =

AC A0_C0.

As´ı que para que dos tri´angulos sean semejantes, se deben verificar dos condiciones:

Sus ´angulos correspondientes deben ser iguales. En este caso, se escribe ´ angulo-´

angulo-´angulo o simplemente como AAA.

Sus lados correspondientes deben ser proporcionales. En este caso, se escribe lado-lado-lado o simplemente LLL.

De hecho, si alguna de las condiciones es verdadera, se cumple autom´aticamente la otra, es decir, si los ´angulos correspondientes son iguales AAA, entonces sus lados correspondientes son proporcionalesLLLy viceversa. Se prueba este resultado en el siguiente teorema.

1.5.2. Teorema. (Teorema de semejanzaAAA)Si dos tri´angulosABC yDEF tienen sus ´angulos correspondientes iguales, entonces sus lados correspondientes son proporcionales.

A

B C

E0

F0

D

E F

Demostraci´on:

Se debe comprobar que los lados correspondientes son proporcionales, es decir:

AB

DE =

AC

DF =

BC

SEMEJANZA DE TRI ´ANGULOS ₄₁

1. Sean E0 yF0 puntos sobreAB yAC respectivamente, tales queAE0 =DE y

AF0 =DF.

2. Por el criterio de congruencia LAL, se tiene que los tri´angulosAE0F0 yDEF son congruentes.

3. Por lo tanto, E0F0 es paralelo aBC, y aplicando el primer teorema de Thales se tiene:

AB

AE0 =

AC AF0.

4. Como AE0 =DE yAF0 =DF, la igualdad anterior se transforma en AB

DE =

AC

DF.

5. De la misma forma, se puede comprobar que BC_EF = AB_DE. Finalmente, se con-cluye que

AB

DE =

AC

DF =

BC

EF.

Actividad 15. Comprueba el paso (5) de la demostraci´on del teorema anterior, es decir:

BC

EF =

AB

DE.

El teorema que se acaba de comprobar, tiene una consecuencia importante que dice que si dos pares de ´angulos correspondientes de los tri´angulos ABC y DEF son iguales, entonces los tri´angulos son semejantes, es decir, basta con que dos pares de ´

angulos sean iguales para que dos tri´angulos sean semejantes. Se enuncia formal-mente este resultado en el siguiente corolario.

1.5.3. Corolario. ( Criterio de semejanza AA) Si dos pares de ´angulos corres-pondientes de los tri´angulos ABC y DEF son iguales, entonces los tri´angulos son semejantes.

A

B C

D

Demostraci´on:

1. Supongamos que ^ABC = ^DEF y ^BCA= ^EF D son los dos pares de ´

angulos correspondientes iguales.

2. Por otro lado, se sabe que

^ABC+^BCA+^CAB= 180◦

^DEF +^EF D+^F DE = 180◦.

3. Por lo tanto, de los pasos (1) y (2), se concluye que^CAB =^F DE, y por el teorema de semejanza AAA, los tri´angulos son semejantes.

1.5.4. Teorema. (Teorema de semejanzaLAL)Si los tri´angulos ABC yDEF tienen dos lados correspondientes proporcionales y el ´angulo comprendido entre estos es igual, entonces los tri´angulos son semejantes.

A

B C

E0

F0

D

E F

Demostraci´on:

1. Sean AB_DE = _DFAC y ^BAC =^EDF los lados correspondientes proporcionales y el ´angulo comprendido iguales.

2. Sean E0 yF0 sobreAB yAC, tales que AE0 =DE yAF0 =DF.

3. Por el criterio de congruencia LAL, los tri´angulos AE0F0 y DEF son con-gruentes. Por lo tanto, AB

AE0 = _AFAC0.

4. Por el rec´ıproco del primer teorema de Thales, se tiene queE0F0 es paralelo a

BC.

SEMEJANZA DE TRI ´ANGULOS ₄₃

6. Finalmente, como los tri´angulosAE0F0 yDEF son congruentes, v´ease el paso (3), entonces los tri´angulos ABC yDEF son semejantes.6

1.5.5. Teorema. (Teorema de semejanza LLL) Si los tri´angulosABC yDEF tienen sus lados correspondientes proporcionales, entonces los tri´angulos son seme-jantes.

A

B C

E0 F0

D

E F

Demostraci´on:

1. Por hip´otesis se tiene que _DEAB = BC_EF = AC_DF.

2. Sean E0

yF0

los puntos en AB y AC respectivamente, tales queDE =AE0

y DF =AF0. Sustituyendo estas igualdades en el paso (1) se tiene:

AB

AE0 =

AC AF0.

3. Como los tri´angulos ABC y AE0F0 comparten el ´angulo en el v´ertice A, se sigue del teorema de semejanza LAL que los tri´angulos ABC y AE0F0 son semejantes.

4. Ahora, por definici´on de semejanza, se tiene que E_BC0F0 = AE_AB0, de donde

E0F0 =BCAE

0

AB =BC

DE

AB.

5. Por otro lado, en el paso (1) se tiene

EF =BCDE

AB.

Por lo tanto, de los pasos (4) y (5) se concluye que E0F0 =EF.

6. Entonces, por el criterio de congruencia LLL, los tri´angulos AE0F0 y DEF son congruentes.

6

7. Finalmente, los tri´angulosABC yDEF son semejantes; v´ease los pasos (3) y

(6).

1.5.6. Ejemplo. Si los tri´angulos ABC yDEF son tales que AB,BC yCA son perpendiculares a las rectasDE,EF yF Drespectivamente, entonces los tri´angulos son semejantes.

G

H

B

A

C I J O

F D E

Soluci´on:

En la figura se tiene que los tri´angulos rect´angulosBGI yEOI, son semejantes por tener el ´angulo com´un en el v´erticeI, y un ´angulo recto (Criterio de semejanzaAA). Por consiguiente,^ABC =^IEO.

Por otra parte, los tri´angulos OJF y HJC son semejantes, puesto que ^OJF =

^HJC, por ser ´angulos opuestos por el v´ertice. De aqu´ı se deduce que

^OF J =^HCJ =^ACB.

De esta forma se tiene que los tri´angulos ABC yDEF tienen dos pares de ´angu-los iguales, y por el criterio de semejanza AA se concluye que los tri´angulos son semejantes.

1.5.7. Ejemplo. Determina la medida de los lados faltantes de los siguientes tri´angulos semejantes, donde AB= 8, BC = 12, AC = 11, EF = 4 y el segmento AB es paralelo aF E.

E F A

B x C

SEMEJANZA DE TRI ´ANGULOS ₄₅

Soluci´on:

Como los tri´angulos son semejantes, sus lados correspondientes son proporcionales, por lo que

11

y =

8

4, entonces y= 11

2 . Tambi´en se tiene que

12

x =

8

4, entonces x= 6.

1.5.8. Ejemplo. En la siguiente figura, AB = BC = 12, ^BDC = ^CDE, BD= 16 yCE = 8. Halla la longitud deDE.

B

A C D

E

Soluci´on:

ComoAB=BC, el tri´anguloABC es is´osceles. Luego,^BAC =^BCA=^DCE. Por hip´otesis, ^BDC = ^CDE, por lo tanto, los tri´angulos ABD y CDE son semejantes puesto que tienen dos ´angulos iguales. As´ı, se tiene que

DE 16 =

8 12.

Despejando se concluye que DE= 32₃ .

LISTA DE EJERCICIOS. SECCI ´ON 1.3, 1.4 y 1.5

1. En cada una de las siguientes proporciones, determina el valor de x:

(a) x 2 =

3

4 (b) 5

x =

4

7 (c) 5 4 =

2x

13 (d) 2 3 =

11

x+ 3

3. Si _p3 = 5_q = ₂₆r = ₂₀q , ¿cu´ales son los valores dep,q yr?

4. Considera el tri´angulo ABC, donde AB = 12, AC = 15 y BC = 15. Si M N es paralelo a BC, determina la longitud de N C.

A

B C

M N

5. Sea ABC el tri´angulo, cuyo segmento M N es paralelo a AB. Determina el valor de x.

M N A

B 4 C

x

2x+ 1

x+ 1

6. Considera el tri´angulo ABC, donde BD = 2, EC = ₂3, EF = 1₂, ^ADF =

^AEF = 90◦. Halla la longitud del segmentoDF. A

B C

D

E F

7. En el tri´angulo ABC, AS es la altura correspondiente al lado BC, BT la altura correspondiente al lado AC,BC= 8, AS = 9 y BT = 6. Determina la longitud del segmento AC.

A

B C

T

S

SEMEJANZA DE TRI ´ANGULOS ₄₇

B

C

A E

D

F

9. En el tri´anguloABC,AD=DByAE =EC. Comprueba queDEes paralelo a BC.

B

A

C

D E

10. En el trapecio ABCD, AB es paralelo aDC y los tri´angulos AED y BEC, son semejantes. Comprueba queAD=BC. [Sugerencia:¿Qu´e otros tri´angulos son semejantes?].

A B

C D

E

11. En el tri´anguloABC,AB= 16,AC= 30,AE = 11,AF = 25. EsEF paralelo a BC? Justifica tu respuesta.

A

B C

E F

A

B C

E 4 F

x−4

3x₋19

x₋3

1.6.

Teorema de Pit´

agoras

En un tri´angulo rect´angulo, el lado opuesto al ´angulo recto se conoce como la hipotenusa, y a los lados adyacentes al ´angulo recto como loscatetosdel tri´angulo.

Hipotenusa

Cateto Cateto

A

B C

El teorema de Pit´agoras establece que en todo tri´angulo rect´angulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Para la demostraci´on7

de este teorema se emplear´a la semejanza de tri´angulos.

1.6.1. Proposici´on. En un tri´angulo rect´anguloABC, la altura sobre la hipotenusa lo divide en dos tri´angulos semejantes a ´el.

D A

B C

Demostraci´on:

1. SeaAD la altura del tri´angulo ABC sobre la hipotenusaBC.

2. El tri´angulo ABC es semejante al tri´angulo DBA puesto que ambos son tri´angulos rect´angulos y tienen un ´angulo com´un en el v´ertice B.

7

TEOREMA DE PIT ´AGORAS ₄₉

3. Tambi´en los tri´angulos rect´angulos ABC y DCA, son semejantes puesto que el ´angulo en el v´erticeCes com´un. Por lo tanto, los dos tri´angulos rect´angulos que dividen al tri´angulo ABC son semejantes a ´el.

OBSERVACIONES:

De la semejanza entre los tri´angulos ABC y DBA, se sigue que _DBAB = CB_AB. Por lo tanto, AB2=DB_·CB.

De la semejanza entre los tri´angulosABC yDAC, se tiene que CA_CD = CB_CA. Por lo tanto, CA2=CD·CB.

Sumando las dos igualdades anteriores, se tiene:

AB2+CA2 =DB_·CB+CD_·CB = (CD+DB)CB =CB2.

Esto se puede resumir en el siguiente teorema:

1.6.2. Teorema. (Teorema de Pit´agoras) En un tri´angulo rect´angulo ABC, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

1.6.3. Ejemplo. La diagonal de un rect´angulo de lados 5cm y 12cm es igual al lado de un cuadrado. ¿Cu´anto mide la diagonal de ese cuadrado?

12cm

5cm d

D

Soluci´on:

Primero se determina la longitud de la diagonal d del rect´angulo. Por el teorema de Pit´agoras se tiene d2 _{= 12}2 _{+ 5}2 _{= 169. Por lo que d=} √_{169 = 13cm. Ahora,}

se puede obtener la longitud de la diagonal D del cuadrado al emplear otra vez el teorema de Pit´agoras. Esto es,D2 =d2+d2= 2d2 = 2(13)2 = 338. Se tiene as´ı que

Actividad 16. Una escalera de 10m de longitud est´a apoyada sobre una pared. El pie de la escalera dista 6m de esa pared. ¿Qu´e altura alcanza la escalera sobre esa pared?

Actividad 17. Calcula la longitud de la diagonalD del ortoedro como se muestra en la figura.

4 3

d

2 D

1.7.

Rec´ıproco del teorema de Pit´

agoras

1.7.1. Definici´on. Si a, b y c son n´umeros positivos y a_b = b_c, entonces b es la media geom´etrica o media proporcional de a yc, es decir, b=√ac.

1.7.2. Proposici´on. En un tri´angulo rect´anguloABC, la altura sobre la hipotenusa, es la media proporcional de los dos segmentos en que se divide la hipotenusa por el pie de la altura.

D A

B C

Demostraci´on:

1. Se sabe que el tri´angulo ABC, es semejante tanto deDBAcomo de DCA.

2. Por lo tanto, los tri´angulos rect´angulosDBAyDAC tambi´en son semejantes. As´ı, se tiene que

AD

CD =

DB

REC´IPROCO DEL TEOREMA DE PIT ´AGORAS ₅₁

3. DespejandoADde la igualdad anterior, se tiene queAD2 =DB·CD, es decir,

AD=√DB_·CD.

1.7.3. Lema. Sea ABC un tri´angulo, donde los ´angulos en los v´erticesB yC son menores a 90◦_{, y sea D el pie de la altura de A sobre BC. Si AD}2 _{= BD·DC,}

entonces el tri´angulo ABC es rect´angulo.

D A

B C C0

Demostraci´on:

1. Se traza la perpendicular a AB que pasa por A. ´Esta, corta a la recta BC en un punto C0 (si no fuera el caso, entonces tal recta ser´ıa paralela a BC, resultando que B =D, por lo queAD2_{=BD·DC ser´ıa falso).}

2. Se tiene entonces que el tri´angulo ABC0

es rect´angulo, con ´angulo recto en el v´ertice A.

3. Por la proporcici´on 1.7.2 se tiene queAD2=BD_·DC0.

4. Por otro lado, por hip´otesis se tiene queAD2_=BD·DC.

5. Se sigue de las dos igualdades anteriores que DC0 = DC y C0 = C. Lo que demuestra que el tri´angulo ABC es rect´angulo.

1.7.4. Teorema. (Rec´ıproco del teorema de Pit´agoras) Si en un tri´angulo rect´angulo ABC, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el tri´angulo es rect´angulo.

D A

Demostraci´on:

1. Supongamos que en el tri´angulo ABC, se tieneBC2=AB2+CA2.

2. ComoBC > AB yBC > CA, entonces los ´angulos en B yC son menores a 90◦_.

3. SeaDel pie de la perpendicular deAsobreBC. Entonces, los tri´angulosABD yADC son rect´angulos, con ´angulo recto en el v´erticeD, y por el teorema de Pit´agoras se tiene que

AB2 =BD2+AD2 y CA2=AD2+DC2.

4. Sumando las dos igualdades anteriores se tiene lo siguiente:

AB2+CA2 = BD2+ 2AD2+DC2

= BC2

= (BD+DC)2

= BD2+ 2BD·DC+DC2.

5. De esta serie de igualdades, se tiene

BD2+ 2AD2+DC2 =BD2+ 2BD_·DC+DC2.

6. Eliminando t´erminos se tiene queAD2 _{=BD·DC, y por el lema anterior se}

tiene el resultado.

1.7.5. Ejemplo. En la siguiente figura, comprueba queb−a= 4, dondea+b=x. A

B a b C

x₋1 x+ 1

x D

Soluci´on:

Seah=AD. Entonces, por el teorema de Pit´agoras se tiene

REC´IPROCO DEL TEOREMA DE PIT ´AGORAS ₅₃

Despejandoh2 e igualando, se tiene (x+ 1)2−b2 = (x−1)2−a2. Desarrollando los binomios y simplificando se tiene que 4x₋b2 = ₋a2. Cambiando de signo ambos lados y tomando en cuenta que a+b=x, la igualdad anterior se transforma en

b2₋4(a+b) =a2.

Quitando par´entesis e igualando a cero lo anterior, se tiene b2₋a2₋4a₋4b = 0. Factorizando la expresi´on del lado izquierdo, se tiene

(b₋a)(b+a)₋4(a+b) = (b+a)(b₋a₋4) = 0.

De aqu´ı se deduce que b+a= 0 ob₋a₋4 = 0. Luego, b+a= 0 no puede suceder, por lo tanto, b₋a₋4 = 0 yb₋a= 4.

LISTA DE EJERCICIOS. SECCI ´ON 1.6 y 1.7

1. En la siguiente figura se representa un tri´angulo equil´atero, en el que la longitud del lado L, supera 2cm a la longitud de su altura h. Calcula el per´ımetro del tri´angulo.

L

L L

h

2. En la siguiente figura, la diferencia entre las ´areas del cuadrado ABCD y del tri´angulo equilatero DEC, es de 13cm2_{. Calcula el per´ımetro del tri´angulo.}

D

A B

3. El rect´angulo ABCD, tiene per´ımetro de 24cm, y el largo supera al ancho en 5cm. Calcula el ´area del rect´angulo.

B

A D

C

4. Una escuadra de carpintero con ancho constante, tiene un ´area de 111cm2. Calcula el ancho de la escuadra.

20cm2

20cm2

5. Calcula el ´area de un tri´angulo is´osceles ABC, donde la baseBC mide 3cmy la altura h mide 4cm.

Cap´ıtulo 2

Trigonometr´ıa

2.1.

Angulos

´

La trigonometr´ıa se remonta a la antigua ciudad de Babilonia. Es una rama de las matem´aticas que estudia las relaciones entre los lados y ´angulos de los tri´angulos. Las primeras aplicaciones de la trigonometr´ıa se hicieron en los campos de la nave-gaci´on, la geodesia y la astronom´ıa, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no pod´ıa ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna.

Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonom´etricas1 _{en la f´ısica}

y en casi todas las ramas de la ingenier´ıa, sobre todo, en el estudio de fen´omenos peri´odicos, como en el flujo de corriente alterno, etc´etera.

En geometr´ıa, un ´angulo se defini´o como la parte com´un de dos semiplanos for-mados por dos rayos−→OA y−−→OB (lados del ´angulo), que tienen un punto inicial en com´un en O, llamadov´ertice. El ´angulo en este caso es ^AOB o^BOA. De esta forma, no importa qu´e lado del ´angulo se nombra primero.

r r

O

A

B

Sin embargo, para el estudio de la trigonometr´ıa, s´ı importa qu´e lado del ´angulo se nombra primero, es decir, hay distinci´on entre los ´angulos ^AOB y ^BOA. En el

1

Son seis las funciones trigonom´etricas b´asicas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Las ´ultimas cuatro est´an en funci´on de las dos primeras.

´

angulo ^AOB,−→OA es el lado inicial y−−→OB el lado terminal, mientras que en el ´

angulo^BOA,−−→OB es el lado inicial y−→OAel lado terminal.

r r

O

A

B

A

B O

r r

^AOB ^BOA

Los ´angulos^AOB y^BOAas´ı definidos, se llaman´angulos orientados.

Aqu´ı, se va a considerar un sistema de coordenadas cartesianas para ubicar a un ´

angulo, donde la posici´on est´andar para el v´ertice del ´angulo, ser´a el origen. Si el lado inicial de un ´angulo coincide con el eje x positivo, y ´este gira en direcci´on contraria a las manecillas del reloj hasta la posici´on del lado terminal del ´angulo, entonces tal ´angulo se considera positivo. Si el lado inicial gira en direcci´on a las manecillas del reloj hasta la posici´on del lado terminal del ´angulo, entonces dicho ´

angulo se consideranegativo.

Com´unmente, la notaci´on que se usa para los ´angulos, son las letras griegas: α, β, γ, etc´etera.

x y

x y

α

β

En esta figura, el ´angulo α es positivo, mientras que el ´angulo β es negativo.

Una unidad de medida para los ´angulos es el grado. Para la medida de ´angulos en grados, se utiliza el sistemasexagesimal, donde grado sexagesimal se entiende como la amplitud del ´angulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales.

Un grado tiene 60 minutos (0_{) y un minuto tiene 60 segundos (}00_).

´

ANGULOS ₅₇

De la misma forma,

10 =

1 60

_◦

y 100=

1 60

0

=

1 3600

_◦

.

Ejemplos:

y

x

y

x

y

x 45◦

135◦

−90◦

La medida en grados para los ´angulos, se usa en actividades aplicadas como agri-mensura, navegaci´on y dise˜no de equipo m´ecanico. En aplicaciones cient´ıficas que requieren c´alculo, se aconstumbra utilizar radianes.

r r

A B

θ r

En esta figura se tiene un c´ırculo de radio r, con un ´angulo central θ, cuyo v´ertice es el centro del c´ırculo. La porci´on de c´ırculo del puntoAal puntoB se llamaarco AB, denotado porABd. Tambi´en se dice que el arcodABsubtiendeel ´angulo central θ. Si la longitud de ABd es igual al radio r del c´ırculo, entonces se dice que θ mide un radian.

r r

A B

θ r

r

Se puede ver que en cualquier c´ırculo de radio r, caben aproximadamente 6.28 ra-dianes, es decir, el radio en el c´ırculo2 cabe exactamente 6 veces y sobra aproxi-madamente 0.28. Con lo cual, se tiene la relaci´on

360◦ = 2π≈6.28 radianes.

Si se divide entre dos en ambos miembros de la igualdad anterior, se tiene

180◦ =π_≈3.14 radianes.

Ahora, si se divide ambos miembros entreπ, se concluye que

180◦

π = 1 radian≈57.2958 ◦_.

Entonces, hay una relaci´on entre grados y radianes de un ´angulo. Para convertir un ´

anguloθ medido en grados a radianes se usa la f´ormula:

θ=θ π

180◦

.

Analogamente, si se tienexπradianes, dondex_∈R, para convertir a grados, se usa la f´ormula:

xπ=xπ

180◦ π

=x_·180◦.

Por ejemplo,

1. 45◦ a radianes corresponde a:

45◦ = 45◦ π 180◦

=π 4.

2. 5₆π radianes a grados corresponde a:

5π

6 =

5π 6

180◦ π

= 150◦.

Esta t´ecnica se puede usar siempre que se quiera hacer una conversi´on de grados a radianes o viceversa.

La siguiente tabla muestra algunos ´angulos con los valores correspondientes a grados y radianes.

2

´

ANGULOS ₅₉

Radianes 0 π₆ π₄ π₃ π₂ 2₃π 3₄π 5₆π π 7₆π 2π

Grados 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦ 210◦ 360◦

Geom´etricamente, tambi´en se puede mostrar la posici´on de un ´angulo en radianes. y

x

π

4

y

x

π

2

y

x π

Se ha visto que un ´angulo se puede expresar de dos formas:grados yradianes. Si se require convertir un ´angulo de radianes a grados junto con los minutos y segundos, se aplican las conversiones antes mencionadas.

2.1.2. Ejemplo. Realiza las siguientes conversiones.

1. Expresa el ´angulo θ= 2 en grados, minutos y segundos. Soluci´on:

θ = 2

180◦ π

≈ 114.5915◦

= 114 + (.5915)(600) = 114 + 35.490

= 114 + 350 + (.49)(6000) = 114 + 350 + 29.400 ≈ 114◦3502900.

2. Expresa el ´angulo 110◦₂₅0

2400 como decimal, al diezmil´esimo de grado m´as cercano.

Soluci´on:

110◦2502400 = 110◦+

25 60

_◦

+

24 3600

_◦

Las calculadoras graficadoras cuentan con funciones que facilitan las conversiones de grados a radianes y viceversa; la conversi´on de un ´angulo que est´a en radianes, a grados minutos y segundos, y convierte una medida decimal que est´a en grados, a grados, minutos y segundos. Es importante saber utilizar estas calculadoras para aplicar estos tipos de conversiones.

2.1.3. Teorema.

(a) Si un arco de longituds de una circunferencia de radio r subtiende un ´angulo central de θ radianes, entonces s=rθ.

(b) Si A es el ´area del sector circular determinado por θ, entonces A= 1₂r2θ.

Demostraci´on: Consideremos la figura:

r r

θ r

s

(a) Como la longitud de arco es proporcional a su ´angulo central, entonces

s

r =

θ 1.

De aqu´ı se desprende ques=rθ.

(b) Como el ´area del sector circular es proporcional a su ´angulo central, entonces

A

πr2 =

θ 2π.

Por lo tanto,A= 1₂r2θ .

2.1.4. Ejemplo. Si un arco de circunferencia de longituds= 7.5cm, subtiende un ´

angulo central θde una circunferencia de 3cm de radio, determina:

(a) La medida deθ en grados.