1 de 10
4 POLÍGONOS
4.1 POLÍGONOS REGULARES
Polígono regular es todo aquél que tiene sus lados y sus ángulos iguales.
Los polígonos regulares tienen un Centro, que es el punto que equidista de todos sus vértices y sus lados. Es por tanto, centro de las circunferencias circunscrita e inscrita al polígono.
Se llama Apotema a la recta que va desde el centro del polígono al punto medio de uno cualquiera de sus lados. Es el radio de la circunferencia inscrita.
Un polígono regular tiene tantos ejes de simetría como lados.
En el caso de los polígonos de número par de lados, la mitad de los ejes pasan por cada pareja de vértices opuestos, y la otra mitad por los puntos medios de lados opuestos.
En los polígonos de número impar de lados, cada eje de simetría pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto.
Suma de ángulos interiores de un polígono = (n-2)180 Ángulo exterior de un polígono regular = 360/n Ángulo interior de un polígono = 180 – 360/n
4.2 POLIGONOS ESTRELLADOS
Dividida una circunferencia en n partes iguales, si unimos puntos consecutivos, obtenemos un polígono regular. Si unimos vértices no consecutivos, obtendremos un polígono estrellado en determinados casos.
Paso de un polígono estrellado: Número de vértices del polígono regular que se ha de saltar par obtener dicho polígono estrellado. El paso 1 será el polígono regular.
Siendo n el número de lados del polígono el paso ha de ser menor que la mitad de n y primo (ningún divisor común) con n.
Así, existirán un pentágono estrellado de paso 2, ningún hexágono estrellado, dos heptágonos estrellados de paso 2 y 3, un octógono estrellado de paso 3, dos nonágonos estrellados de paso 2 y 4, un decágono estrellado de paso 3, cuatro endecágonos de pasos 2, 3, 4 y 5, un
dodecágono estrellado de paso 5, etc
2 de 10
4.3 PARTE AUREA DE UN SEGMENTO
Llamamos Parte Áurea de un segmento a la parte del segmento que es media proporcional entre la totalidad del segmento y el resto al eliminar dicha parte áurea.
Analíticamente,
x
a
x
x
a
−
=
, siendoa
el segmento yx
su parte áurea.Como es un cuestión de proporcionalidad, si x es la parte áurea de a, a-x será la parte áurea de x, ya que están en la misma proporción.
Por el teorema de Tales, vemos que
)
(
a
x
x
x
a
x
a
x
x
a
−
−
−
=
−
=
,comprobando que
a
−
x
es, a su vez, parte áurea dex
.De igual manera,
x
a
x
x
a
a
x
a
−
=
=
+
,es decir, el segmento
a
es parte áurea dea
+
x
.Por lo que vemos que:
el resto (a-x) al quitar a un segmento (a) su parte áurea (x), es la parte áurea de la parte áurea, y que si a un segmento (a) le sumamos su parte áurea (x), obtenemos el segmento
(a+x) cuya parte áurea es el propio segmento
(a).
Semejante complicación se ve más claramente en el siguiente esquema:
a+x
a
x
x a-x
a-x
x-(a-x)
Analíticamente, podemos determinar el valor de la parte áurea de un segmento, resolviendo la ecuación planteada en el primer párrafo del punto:
x
a
x
x
a
−
=
;a
(
a
−
x
)
=
x
2 ;a
2−
ax
=
x
2;x
2+
ax
−
a
2=
0
, y resolviendo la ecuación desegundo grado,
2
1
5
2
5
2
5
2
4
2 22
−
=
+
−
=
+
−
=
+
+
−
=
a
a
a
a
a
a
a
a
x
a
x
≈
0
,
6180
2
1
5
−
3 de 10
• Construcción de la parte áurea de un segmento
Tomamos el segmento a, trazamos en un extremo el mismo segmento a perpendicularmente. Unimos el punto medio del primer segmento con el extremo del segundo, y lo giramos usando como centro el punto medio, hasta dejarlo en prolongación del segmento primero.
La parte en prolongación será el segmento buscado x.
El segmento cuya parte áurea es a será a+x
Explicación: Al unir el punto medio con el extremo del segmento perpendicular, queda formado un triángulo rectángulo cuya hipotenusa
medirá
2
5
a
por Pitágoras. Al girarlo, elsegmento en prolongación medirá:
2
1
5
2
2
5
−
=
−
a
a
a
, que es el valor analítico de la parte áurea.
4.4 DECAGONO REGULAR
Consideramos el triángulo OAB formado por el centro O y el lado AB de un decágono.
Dicho triángulo será isósceles por ser OA = OB Ô = 360º/10 = 36º
Por tanto, Â = B = (180-36)/2 = 72º
Tomemos la bisectriz del ángulo B que intercepta al lado OA en el punto M.
El triángulo formado BAM tendrá de ángulos 36º, 72º, 72º, y es, por tanto, semejante al triángulo OAB, luego sus lados serán proporcionales.
Estableciendo dicha proporcionalidad,
AM
AB
AB
OA
=
4.4.1.1AM = OA-OM
Pero OM = MB por ser ∆OMB isósceles Y MB = AB por ser ∆ABH isósceles, luego
4.4.1.2AM = OA – AB
Sustituyendo en la primera igualdad,
AB
OA
AB
AB
OA
−
=
Lo que implica que AB es parte áurea de OA.
Es decir: el lado del decágono es parte áurea del radio de la circunferencia circunscrita
4 de 10
4.5 DECÁGONO ESTRELLADO
Si consideramos en un decágono estrellado (paso 3) el triángulo formado por el centro y un lado, el ángulo central será 36 x 3 = 108º.
Como dicho triángulo será isósceles, ya que los dos segmentos que unen el centro con los dos vértices son iguales, los dos ángulos restantes medirán (180 – 108)/2 = 36º
Por tanto el triángulo será áureo, con lo que se puede afirmar:
El radio de la circunferencia circunscrita es parte áurea del lado del decágono
estrellado.
4.6 CONSTRUCCIÓN DE DECÁGONOS
4.6.1 Construcción de un decágono regular conocido el radio de la
circunferencia circunscrita.
Se halla la parte áurea del radio, que será el lado del decágono.
5 de 10
4.6.2 Construcción de un decágono regular conocido el lado
Hallamos el radio de la circunferencia circunscrita, que es el segmento cuya parte áurea es el lado conocido.
Se procede como en la anterior construcción.
4.6.3 Construcción de un decágono estrellado conocido su lado
6 de 10
4.7 PENTAGONO REGULAR
Dado que el ángulo central BOC = 360º/5 = 72º, el valor del ángulo inscrito BAC, formado por el lado AB de un pentágono regular y AC, que será tanto la diagonal como el lado del pentágono estrellado será de 72 / 2 = 36º.
Igualmente, ACB = 36º Y ABC = 72º x 3 / 2 = 108º
Por tanto, el triángulo ABC es áureo, con lo que vemos que:
El lado del pentágono regular es la parte áurea del lado del pentágono estrellado
4.8 CONSTRUCCIÓN DE PENTÁGONOS
4.8.1 Construcción de un pentágono regular conocido el lado
Dado el lado AB del pentágono, y con objeto de dibujar el triángulo ABC, hallamos la diagonal, que será el segmento cuya parte áurea es AB.
Para ello:
1. Hallamos el segmento cuya parte áurea es AB
a. Tomamos centro en B y trazamos la circunferencia de radio BA
b. Trazamos la perpendicular a AB en B, obteniendo en el corte con la circunferencia anterior el punto 1
c. Usando el punto medio de AB (0) como centro, trazamos el arco de circunferencia de radio 01 hasta la horizontal, donde encontramos el punto 2 en su intersección con la prolongación de AB. La distancia A2 es la medida de la diagonal del pentágono.
2. Hallamos el punto C en el corte de la primera circunferencia (punto 1a) con la circunferencia de centro A y radio A2.
3. Hallamos el centro del pentágono con las mediatrices de AB y BC, trazando la circunferencia circunscrita.
7 de 10
4.8.2 Construcción de un pentágono conocido el radio de la
circunferencia circunscrita
Hallamos los 10 vértices de un decágono inscrito en la circunferencia y los unimos con paso 2.
4.8.3 Construcción de un pentágono estrellado conocido el radio de
la circunferencia circunscrita
Igual que en el caso anterior, se hallan los 10 vértices del decágono inscrito, y se unen con paso 4
4.8.4 Construcción de un pentágono estrellado conocido el lado
Se halla el lado del pentágono regular, que es la parte áurea del lado del estrellado. Se dibuja el triángulo ABC, ya que sus tres lados son conocidos.
Se procede como en el pentágono regular, hallando las mediatrices de AB y AC, que nos dan el centro de la circunferencia circunscrita, y sobre ella, los vértices D y E.
8 de 10
4.9 HEXÁGONO
El ángulo central de un hexágono regular será de 360/6 = 60º.
Si consideramos el triángulo AOB formado por el centro O de la circunferencia circunscrita al hexágono y el lado AB, los ángulos A y B serán iguales, ya que OA=OB. Por tanto A = B = (180-60)/2 = 60º, es decir, el triángulo OAB es equilátero, por lo que
OA = AB. Es decir:
El radio de la circunferencia circunscrita es igual al lado del hexágono regular.
4.9.1 Construcción de un hexágono dada la circunferencia
circunscrita
Se toma un diámetro de la circunferencia, obteniéndose los vértices A y D.
Con centro en A y D se trazan dos circunferencias del mismo radio, obteniéndose los restantes vértices.
4.9.2 Construcción de un hexágono dado el lado
Dado el lado AB, se trazan dos arcos de circunferencia de igual radio AB con centros en A y B. El punto de corte O será el centro de la circunferencia circunscrita.
Se traza la circunferencia circunscrita, obteniéndose los vértices C y F en los cortes con los dos arcos trazados anteriormente.
9 de 10
4.10 OCTÓGONO
El ángulo central de un octógono regular será de 360º / 8 = 45º.
Al ser dicho ángulo fácil de determinar (mitad de 90º), la construcción de octógonos será siempre sencilla.
4.10.1 Construcción de un octógono dada la circunferencia
circunscrita.
Se trazan dos diámetros perpendiculares, y sus bisectrices, obteniéndose los ocho vértices del octógono.
Si pidiesen el octógono estrellado, se unirían los vértices con paso 3.
4.10.2 Construcción de un octógono dado el lado.
Dado el lado AB, se determina la posición del vértice C, trazando una recta a 45º y llevando con el compás la misma longitud AB.
Trazando las mediatrices de AB y BC hallamos el centro O de la circunferencia circunscrita.
Se procede como en el caso anterior.
4.10.3 Construcción de un octógono estrellado dado el lado.
Analíticamente podemos averiguar el lado del octógono estrellado en función del lado del octógono regular l8: l8* = AD = AB’ + B’C’ + C’D
AB' = ABcos45
AB 2
2
=
B' C' = BC = AB
C' D = AB' = ABcos45
AB 2
2
=
por tanto:
AD =
AB 2
2
AB
AB 2
2
AB
AB 2
AB(1
2 )
10 de 10
Gráficamente, dado que todos los polígonos regulares son semejantes, podemos dibujar un octógono estrellado cualquiera, y por Tales, hallar bien el lado, bien el radio de la circunferencia circunscrita, y proceder como uno de los casos anteriores.
4.11 OTROS POLÍGONOS
Solamente se pueden realizar gráficamente por métodos geométricos exactos los polígonos regulares vistos anteriormente, y los que tienen doble, cuádruple, óctuple.. número de lados (mediante bisectrices).
Los polígonos regulares de 7, 9, 11, 13.... lados solamente tienen construcciones gráficas aproximadas. Dado que los instrumentos actuales de dibujo (transportadores de ángulos y especialmente programas de CAD) son suficientemente exactos, dichas construcciones aproximadas han quedado totalmente obsoletas.
Si se ha de dibujar un polígono de n lados conocida la circunferencia circunscrita, se divide la circunferencia en n partes con transportador, obteniéndose los vértices.
