1 1
VALOR ABSOLUTO
EN LA
2
CONTENIDO
1. Distancia entre dos puntos.
2. Punto medio.
3. Valor Absoluto.
3 3 Antes de dar la definición formal de Valor Absoluto
vamos a analizar la siguiente situación.
Oscar, Alberto y Betty se reúnen, en la casa de Oscar, para realizar un trabajo de la Universidad.
La casa de Betty está ubicada a tres cuadras a la izquierda de la casa de Oscar.
La casa de Alberto, por el contrario está ubicada a 5 cuadras a la derecha de la casa de Oscar.
Concepto de distancia entre dos puntos en la
recta numérica
5 cuadras 3 cuadras
Casa de Betty
4 4 Donde:
Punto B: ubicación casa de Betty Punto A: ubicación casa de Alberto Punto O: ubicación casa de Oscar
Representemos la anterior situación en la siguiente recta numérica:
Concepto de distancia entre dos puntos en la
recta numérica
O A
B
5 5 Ahora el punto de reunión es donde Alberto.
Cuántas cuadras deben recorrer Oscar y Betty?
Betty: 8 cuadras.
Concepto de distancia entre dos puntos en la
recta numéric
a
Distancia de la casa de Betty a la de Alberto
Distancia de la casa de Oscar a la Alberto
Casa de Alberto
6 6
Concepto de distancia entre dos puntos en la
recta numérica
La distancia entre dos puntos es siempre positiva y se define como la longitud del segmento de recta que tiene como extremos dichos puntos.
La distancia entre los puntos A y B, que denotamos
d(A,B) , es la misma que la distancia entre los puntos B
y A, esto es: d(A,B) = d(B, A)
d(A,B)
d(B,A) I I
A <---B A --->B
7 7
Concepto de punto medio entre dos puntos
en la recta numérica
El punto medio entre dos puntos en la recta numérica, es aquel que divide al segmento comprendido entre ellos en dos partes iguales.
8
8
Concepto de punto medio entre dos puntos
en la recta numérica
Ejemplo 1:
Determinar el punto medio del segmentocorrespondiente a la distancia recorrida del punto -2 al punto 6
Se recorren 8 unidades
El punto medio es
2.
9 9
VALOR ABSOLUTO
Definición:
El valor absoluto de un número real x, denotado por
x , se puede interpretar en la recta numérica como
la distancia entre el origen y el punto cuya coordenada es x.
IMPORTANTE! Como es una distancia su valor es siempre positivo o cero. En otras palabras, x 0
I I 0<--- x
d(x,0)= I x - 0 I = I x I
0--->x
d(0,x)= I 0 - x I = I –x I = I x I
10 10
VALOR ABSOLUTO
Si el punto de referencia no es el origen, sino un punto x1 , la distancia desde este punto de referencia hasta otro cualquiera x2 se representa como
d(x1,x2)=lx1- x2l=lx2-x1l
l l <---> l l l l
<--->
d(x1,x2)=lx1- x2l=lx2-x1l
d(x1,x2)=lx1- x2l
d(x2,x1)=lx2- x1l
11
2 3 4 5 6
Ejemplo 2:
(2, 6) 6 2 4
d
( 7, 1) 1 ( 7) 8 d
2 0
-2 -4
- 6 - 8
( 7, 10) 7 ( 10) 3
d
12 12
VALOR ABSOLUTO
Distancia mayor que cero
Determinar la distancia de -3 a 15
Ahora calculemos la distancia de 15 a -3
Ejemplo 3:
d(-3,15)=I-3 -15I=I-18I=18
d(15,-3)=I15-(-3)I=I15+3I=I18I=18
13 13
VALOR ABSOLUTO
Exprese en términos de distancia las siguientes expresiones:
8 2
2 5
2 4 1
5
x
3
x
1
La distancia de 2 a 5
La distancia de 8 a -2
La distancia de un número real
x
a 5El triple de la distancia de un número real x a -1
El doble de la distancia de 4 a 1
14 14
Ecuaciones e
15 15
Recordemos el principio de tricotomía: Para dos números reales “a” y “b” cualquiera, se cumple una y solo una de las siguientes situaciones:
a es menor que b;
a es igual a b a es mayor que b
I I
a b
b a a = b
I
I I Por tanto:
Para dos puntos
x
1 yx
2 sobre la recta numérica sucederá una y solo una de las situaciones:1.- Que x2 esté a la derecha de x1
2.- Que x2 esté a la izquierda de x1
16 16
VALOR ABSOLUTO
Ejemplo 5:
Expresado como valor absoluto es:
x - 0 = 3 x 3
Por lo tanto, el conjunto solución es
- 3, 3
x
d ,0 = 3
En términos de distancia
Observando sobre la recta tenemos que hay únicamente dos puntos que cumplen: el 3 y el -3.
Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que están a una distancia de 3 unidades del origen.
- 3 -2 - 1 0 1 3
- 4 2
3 unidades 3 unidades
17 17
Ejemplo 6:
Expresado como valor absoluto es:
x 0 3 x 3
Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo
x d ,0 3
En términos de distancia
Observando sobre la recta tenemos que todos los
puntos entre el -3 y el 3 cumplen
3 3,Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que están a una distancia menor de 3 unidades del
origen.
con conjunto solución:
3 3,3 Unidades 3 Unidades
18 18
Ejemplo 7:
Expresado como valor absoluto es:
x - 0 > 3 x 3
Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo
xd , 0 > 3
En términos de distancia
Observando sobre la recta se tiene que todos los puntos a la izquierda del -3 y a la derecha del 3 cumplen
-∞,-3 ∪ 3,∞
Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que están a una distancia mayor de 3 unidades del origen.3 unidades 3 unidades
con solución:
-∞,-3 ∪ 3,∞
19
Ejemplo 8:
Solución:
Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica
cuya
distancia a -3
es de 7 unidades
Escrito lo anterior en términos de valor absoluto
3 3 7
( )
x x
Los valores que cumplen esta condición son:
10
x ó x 4
El conjunto solución es:
10, 4
Observe que ya no es al origen
20 20
INECUACIONES LINEALES CON VALOR
ABSOLUTO
Ejemplo 9
Encontrar el conjunto solución de x 5 7
Gráficamente corresponde a:
Los puntos se encuentran en el intervalo
2, 12
Solución
5 12
0 -2
21 21
Ejemplo 10
Encontrar el conjunto solución de: x 1 4 Solución
Puesto que x 1 x ( 1) Punto de referencia (-1)
El problema consiste en encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que están a 4 unidades de - 1
Los valores que cumplen esta condición son x 5 y x 3
Por lo tanto el conjunto solución es:
- 5, 3
Ecuaciones Lineales con valor absoluto
-4 -1 0 1 2 3
-5 -3 -2
22 22
Ecuaciones Lineales con valor absoluto
Ejemplo 11:
Encontrar el conjunto solución de x 4 6
Expresión verbal: Todos los puntos sobre la recta numérica cuya distancia a - 4 es igual a – 6
OJO!!!:
distancia = – 6 ?La distancia es una longitud, por lo tanto no puede ser negativa
Conclusión: El conjunto solución de la expresión
4 6
x es
23
VALOR ABSOLUTO
Ejemplo 12:
Encontrar la expresión correspondiente, en términos de:
Los puntos cuya distancia a – 2 es menor o igual a 4 unidades
Para el conjunto de puntos representados en la recta numérica
- 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4
Distancia:
24
VALOR ABSOLUTO
Ejemplo 13:
Comparar las distancias entre un número real cualquiera en el intervalo
6, 4
con -6 y 4a.)Si x es igual a -1
4 6
4 )
6
(
x x x
x
0 -1
-2 -3
-4 1 2 3 4
-5 -6
x equidista tanto de -6 como de 4, lo que puede
25
VALOR ABSOLUTO
Ejemplo 13 (continuación)
Comparar las distancias entre un número real cualquiera en el intervalo
6, 4
con -6 y 4b.) Si x está más cerca de -6 que de 4, se tiene:
4 6
4 )
6
(
x x x
x
0 -1
-2 -3
-4 1 2 3 4
26
VALOR ABSOLUTO
Comparar las distancias entre un número real cualquiera en el intervalo
6, 4
con -6 y 40 -1
-2 -3
-4 1 2 3 4
-5 -6
c.) Si x está más lejos de -6 que de 4, se tiene:
4 6
4 )
6
(
x x x
x
27 27
Ecuaciones lineales con valor absoluto
Ejemplo 14
Encontrar el conjunto solución de x 4 x 3 Solución:
Esta expresión, se puede interpretar como los puntos x
que equidistan tanto de – 4 como de 3.
Solo hay un punto x que equidista tanto de – 4 como
de 3 y es el punto -0,5 = -½.
El conjunto solución será por lo tanto {-½}
-4 -½ 3
-4 3
28
VALOR ABSOLUTO
Ejemplo 15:
Solución:
Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que estén a más de 4 unidades de 2.
Los puntos que satisfacen son aquellos que están a la izquierda de -2 y a la derecha de 6 (sin incluirlos)
, 2
6,
El conjunto solución es:
2 4
x
29
VALOR ABSOLUTO
Expresar en lenguaje corriente
x
2 3 4
4 3
x
x 2 5
x 1 5
x 2 x 3
Los números reales cuya distancia a 3 es mayor a 4 unidades
Los números reales cuya distancia a 2 es menor ó igual a 5 unidades
Los números reales cuya distancia a -1 es igual a 5 unidades
Los números reales cuya doble distancia a 3 es mayor a 4 unidades
Los números reales cuya distancia a 2 es mayor que su distancia a -3
