TEMA 6.- Equacions i sistemes d’equacions

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Departament de Matemàtiques

MATEMÀTIQUES 4t ESO Tema 6. EQUACIONS I SISTEMES D’EQUACIONS

TEMA 6.- Equacions i sistemes d’equacions

6.1. Conceptos:

6.1.1. Igualdades algebraicas. 6.1.2. Ecuaciones equivalentes.

6.2. Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. 6.2.1. Tipos de soluciones.

6.3. Resolución de ecuaciones de segundo grado: 6.3.1. Tipo ax2+c=0

6.3.2. Tipo ax2+bx=0

6.3.3. Tipo general ax2+bx+c=0 6.3.4. Tipos de soluciones.

6.4. Resolución de ecuaciones de grado superior: • Ecuaciones bicuadradas.

• Método general

6.5. Resolución de ecuaciones irracionales.

6.6 Resolución de ecuaciones con fracciones algebraicas.

6.7. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas: • Métodos algebraicos:

Sustitución. Igualación. Reducción.

6.8. Resolución de sistemas de ecuaciones no lineales 6.9 Resolución de problemas

APUNTS COMPLEMENTARIS

Resolució d’equacions polinómiques de qualsevol grau

(MÉTODE GENERAL)

Exemple 1: Resol l’equació:

0 x 6 x 31 x 49 x

24 4− 3+ 2− =

(2)

Traent factor comú:

(

24x 49x 31x 6

)

0 x 3− 2+ − =

Buscant divisors del tipus (x-a)

24 -49 31 -6

1 24 -25 6 24 -25 6 0

(

x 1

)

(

24x 25x 6

)

0

x − 2 − + =

Encara podriem intentar factoritzar més, però com ja hem arrivat a segón grau, parem i

apliquem el següent pas:

2on pas: desglossar l’equació en diverses equacions de primer i segón grau

Tenim que

x

(

x−1

)

(

24x2 −25x+6

)

=0

.

Amb el mateix raonament que feiem per a resoldre les equacions de segón grau incompletes

sense terme independent, podem dir:

Si tenim un producte de diversos factors igualat a cero (3 factors en aquest cas),

obligatòriament algú del factors ha de donar cero. Per tant en tenim en aquest cas les

tres següents opcions:

(

x 1

)

(

24x 25x 6

)

0

x − 2 − + =

0 6 x 25 x 24

0 1 x

0 x

2 − + = = −

=

Es a dir que hem passat d’una equació de quart grau, a tres equacions de graus 1 i 2, i

aquestes ja les savíem resoldre.

3er pas: resoldre les equacions resultants: • x=0→x₁ =0

• x−1=0→x₂ =1

•

(

)

8 3 48

7 25 x

3 2 48

7 25 x

24 2

6 24 4 25 25

x 0 6 x 25 x 24

4 3 2

2

= − =

= + = = ⋅

⋅ ⋅ − −

± = → = + −

I per tant l’equació

24x4 −49x3 +31x2 −6x =0

té quatre solucions:

8 3 x 3 2 x 1 x 0

(3)

Exemple 2: Resol l’equació: 2x4−5x3−14x2+23x+30=0

2 -5 -14 23 30

-1 -2 7 7 -30

(

x+1

)(

x−3

)

(

2x2 −x−10

)

=0

⇒

2 -7 -7 30 0

3 6 -3 -30

2 -1 -10 0

⇒      ⇒ = − − = ⇒ = − − = ⇒ = + 0 10 x x 2 3 x 0 3 x 1 x 0 1 x 2 2 1 = ⋅ − ⋅ ⋅ − ± = 2 2 ) 10 ( 2 4 1 1 x       − = = = 2 x 2 5 x 4 3

Resolució d’equacions algebràiques

Exemple 3: Resol l’equació:

2 2 x 1 x x 3 x x 3 3 x

2 ₌ −

− + −

Per a resoldre una equació amb fraccions algebraiques, el que hem de fer és llevar els

denominadors, i aleshores transformar-la en una equació polinómica.

Per a llevar el denominadors, hem de reduïr totes les fraccions a un mateix denominador,

que serà el mínim comú multiple dels denominadors:

⇒      − = − − 2 2 x ) 3 x ( x x 3 x ) 3 x (

m.c.m. = _x2₍_x−₃₎

Completem els numeradors:

(

)

(

)

(

x

(

) (

x 3

)

3 x 1 x 3 x x x x 3 3 x x x 2 2 2 2 2 − − ⋅ − = − ⋅ + − ⋅

Ara que totes les fraccions tenen el mateix denominador podem llevar-los, operar i

resoldre la equació polinómica resultant:

3 x x 3 x x 3 x

2 2 + 2 = 2 − − + 0 3 x x 3 x x 3 x

2 2 + 2 − 2 + + − = 0 3 x 4 x

4 2 + − = ⇒

(4)

1.- Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

Soluciones:

a) 3x2 −75=0 x1 =5 x2 =−5

b) 5x2 +6x=0 x 0

5 6

x₁ =− ₂ =

c) x(x−5)+3x2 =2x(x+3) x 0 2

11

x₁ = ₂ =

d) (2x+1)(3x−2)−x2 =x(x−3) _x ₁ 2

1

x₁ = ₂ =−

e) 3x−2(x−4)+(x2−1)=3x−(x−2) No tiene solución real

2.- Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo bicuadradas: Soluciones:

a) x4 −9x2 +20=0 x₁ = 5 x₂ =− 5 x₃ =2 x₄ =−2

b) x4 −6x2 −27=0 _x ₃ _x ₃

2 1 = =−

c) 9x4 −13x2 +4=0 x 1 x 1

3 2 x

3 2

x₁ = ₂ =− ₃ = ₄ =−

3.- Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas de grado superior: Soluciones:

a) 10x4 −3x3 −36x2 +23x+6=0 x 2 x 2

3 x 5 1

x₁ =− ₂ = ₃ =− ₄ =

b) 2x3 +x2 −25x+12=0 x 4 x 3 2

1

x₁ = ₂ =− ₃ =

c) 6x4 −15x3 −27x2 +15x+21=0 _x ₁ _x ₁ 2

7

x₁ = ₂ =− ₃ =

(5)

4.- Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:

Soluciones:

a) ₂ ₂

x 1 x x 3 x x 3 3 x

2 ₌ −

− + − 2 1 x 2 3

x₁ =− ₂ =

b) x 2 x 2 x 3 2 x x x 2 x x 1 x 2 2 2 − + = − − − + − 2 x=−

c) x 3 x ) 1 x 3 ( 4 4 x 1 x

3 ₂ ₂

+ − −

=

− x₁ =−1 x₂ =1

d) 4 x 4 x 1 x 2 4 x 1 4 x 4 x 1 x 2 2

2 ₊ ₊

− − = − + + − − 1 x=

5.- Resuelve las siguientes ecuaciones iracionales:

Soluciones:

a) x+4+3x =5x−2

4 9 x=

b) 3x−2+5x2 =3x2 −2x _{No tiene solución real}

c) 3x−2+x2 =4x2 −2x x 1

3 2

x1 = 2 =

d) 3x−2 =4+ x+2 x=34

6.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

Soluciones: a)    − = − = + 1 y 2 x 13 y x2 2

(6)

Resol les següents equacions i sistemes:

1.- 3x2 −75=0 2.- 4x2 +17=0

3.- 2x(3x−1)−5(x+1)=6x−3(x−x2)−8 4.- 2x4 −24x2 −128=0

5.- 3x3 +7x2 −2x−8=0 6.- 8x4 +2x3 −89x2 −62x+21=0

7.- 3 4

2 3

= +

+ x

x x

8.-

x 5 x 3 x

1 x 3 x

1 3 x 4 x

x 2

2

2 ₋ −

− = − − + −

9.- 2−x +3x= x−2 10.- 3x(x−1)+ 2x+3 =3(x2 −4x)+30

11.-

  

= +

= −

9 y x 4

13 y 3 x

4 2 2

12.-

  

− = −

= +

2 y 3 x

3 xy 2 x

2

Soluciones:

1.- x₁ =5 x₂ = −5 2.- No tiene solución real.

3.-

3 1 x 3

x₁ = ₂ = 4.- x₁ =4 x₂ =−4

5.- x 1

3 4 x

2

x₁ =− ₂ =− ₃ = 6.-

2 7 x 1 x 4 1 x 3

x₁ =− ₂ = ₃ =− ₄ =

7.-

3 8 x

1

x1 = 2 =− 8.-

5 7 x 2

x1 = 2 =

9.- x =−2 10.- x=3

11.-

   

− = =

= =

11 29 y

11 32 x

1 y 2 x

2 2

1 1

12.- x=1 y=1

Solucions als problemes del llibre:

26. el nombre que demanen es 82

27. els tres costats mesuren 12 cm, 16 cm i 20 cm 28. El fill té 15 anys i el pare té 42 anys

29. les dimensions del rectangle són 20 cm i 12 cm 53. hi ha 46 gallines i 14 conills

54 els costats del rectangle mesuren 4cm i 2 cm 55 en Joan recorre 1,25 km i l’Oriol 1,5 km 56. es necesita com a mínim respondre 55

preguntes correctament per a aprovar l’examen 57. el grup de 4t A te 30 alumnes i el de 4t B 25

58. el nombre natural és 12 59. el nombre és 8

60 el nombre pot ser 24 o 42

61. els costats del triangle mesuren 3, 4 i 5 cm 62. el costat del quadrat gran mesura 80 cm i el

de cada quadrat petit 10 cm 63. els catets mesuren 4 cm 64. els radis són de 6 i 3 cm.