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AGRADECIMIENTOS
Gracias a Dios por permitir que viva este bello momento, sabiendo que es una de tantas maravillas que tienen preparadas para mí.
Agradezco a compañeros, amigos, maestros y sinodales que colaboraron en la realización de este trabajo, en especial al Dr. Fernando Barrera Mora y al Dr. Aarón Reyes Rodríguez por su orientación, paciencia y experiencia.
A mi esposa por darle sentido a vida y motivarme a seguir siempre adelante, eres lo más valioso en mi vida y agradezco a Dios la alegría de tu existencia.
RESUMEN
El descubrimiento y generalización de patrones son partes esenciales de la actividad matemática, y el estudio de los patrones es importante en el aprendizaje de la disciplina. Los estudiantes pueden describir regularidades de un patrón verbalmente y posteriormente utilizar símbolos matemáticos para poder representarlo. Los procesos de identificación y generalización de patrones pueden ayudar al desarrollo de un sentido numérico y pensamiento algebraico.
Esta investigación es de tipo cualitativo debido a que el foco del análisis son las características, relaciones y conexiones entre conceptos y procesos matemáticos que se realizan al abordar actividades de reconocimiento y generalización de patrones. El objetivo del trabajo es documentar y analizar las estrategias más comunes que utilizan un grupo de estudiantes de Ingeniería Metal Mecánica, de la Universidad Tecnológica de la Sierra Hidalguense para reconocer y generalizar patrones lineales en secuencias figurales. El trabajo parte del supuesto de que el proceso de observación de estudiantes durante la resolución de problemas de generalización de patrones, pudiera permitir la identificación de estrategias no reportadas en la literatura.
ABSTRACT
The discovery and generalization of patterns are essential elements of the mathematic activity and the study of the patterns is important in the learning of the subject. The students can describe the regularity of oral pattern and after that to use mathematic symbols to be represented. The generalization an identification process of patterns can help the development in a numerical sense and algebraic thought.
The research is qualitative for the importance to the characteristics, relationships and connections between concepts and mathematic processes that are made in the recognizing and generalization of patterns. The objective of the research is to document and to analyze the most common strategies that the students of Mechanics from the Universidad Tecnologica de la Sierra Hidalguense use; to recognize and to generate lineal patterns in figural sequences. The research starts with the dilemma that the observation process of the students during problem solves of the generalization patterns could permit the identification of strategies not found in literature.
ÍNDICE
1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN ...
1.1. Introducción ... 1
1.2. Revisión de la literatura ... 3
1.3. Planteamiento del problema ... 5
1.3.1 Objetivo general ... 6
1.3.2 Objetivos particulares ... 6
1.4. Pregunta de investigación ... 6
2. MARCO CONCEPTUAL ... 2.1. Introducción ... 7
2.2. Una visión de las matemáticas, el aprendizaje y la enseñanza... 8
2.3. Marco de resolución de problemas ... 9
2.3.1 El trabajo de Polya ... 10
2.3.1.1 Primera parte del trabajo de Polya ... 10
2.3.1.2 Las cuatro fases de Polya ... 11
2.3.2 El trabajo de Schoenfeld ... 12
2.3.2.1 Aportaciones ... 13
2.3.2.2 Las cuatro dimensiones de Schoenfeld ... 13
2.4. Representaciones semióticas en el aprendizaje de las matemáticas ... 15
2.4.1 Generalización de un patrón ... 17
3. METODOLOGÍA ... 3.1 Introducción ... 18
3.2 Participantes ... 19
3.3.2 Elección de las hojas de trabajo ... 25
3.3.3 Videograbaciones ... 26
3.3.4 Transcripción de videos ... 27
3.4. Recopilación de la información ... 27
3.5. Procesamiento y análisis de la información ... 28
3.5.1 Tablas para el análisis de la información ... 29
4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS ... 4.1 Introducción ... 31
4.2 Análisis de resultados: problema cuenta el número de cerillos ... 31
4.3 Análisis de resultados: problema cuenta el número de cuadros ... 42
4.4 Análisis de resultados: problema calcula el perímetro ... 49
4.5 Análisis de resultados: problema cuenta el número de bolas de billar ... 54
5. CONCLUSIONES ... 62
REFERENCIAS ... 68
APÉNDICE A Transcripción de las videograbaciones... 75
CAPÍTULO 1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
1.1. Introducción
En la década de los 80 del siglo pasado surgió una concepción de las matemáticas como la ciencia de los patrones (Steen, 1988). Los matemáticos buscan patrones en los números, las formas, el movimiento, el cambio, en el espacio. Las teorías matemáticas explican relaciones entre patrones y la forma en que se organizan éstos para conformar estructuras. En este sentido, el quehacer matemático se puede caracterizar como la actividad de encontrar y examinar diversos tipos de patrones: (1) patrones numéricos que implican el reconocimiento de propiedades de colecciones de números; (2) patrones de razonamiento y comunicación que incluyen procesos de argumentación y prueba; (3) patrones de movimiento y cambio donde las matemáticas proveen los objetos (números, puntos, líneas, ecuaciones, gráficas, etc.) para estudiar fenómenos en movimiento; (4) patrones entre figuras o formas geométricas que permiten identificar y examinar propiedades de colecciones de esas figuras; (5) patrones de simetría y regularidad que permiten capturar relaciones profundas o abstractas de las figuras u objetos; y (6) patrones de posición donde interesa analizar y describir patrones de acuerdo con su posición y no bajo la consideración de sus propiedades geométricas (Devlin, 2000). A su vez, estos patrones se emplean para “explicar” y predecir algunos fenómenos naturales o sociales.
Para continuar el desarrollo del pensamiento algebraico iniciado en la primaria con la construcción de fórmulas geométricas, se sugiere utilizar sucesiones numéricas y figurativas sencillas para encontrar la expresión general que define un elemento cualquiera de la sucesión... es importante alentar a los alumnos a buscar regularidades, a formularlas y a producir argumentos para validarlas. No se trata de que el maestro enseñe las fórmulas o reglas para que los alumnos las apliquen, sino de que éstos tengan la oportunidad de ensayar, corregir y validar sus propuestas (SEP, 2006, pp. 28, 85).
El descubrimiento y generalización de patrones son esenciales de la actividad matemática y el estudio de los patrones es importante en el aprendizaje de la disciplina, pero ¿qué es un patrón? De acuerdo con el Diccionario de la Lengua Española1, un patrón es un “modelo que sirve de muestra para sacar otra cosa igual”. Sin embargo, esta idea no aporta información sobre los patrones matemáticos que son de nuestro interés. En matemáticas un patrón “es la regla o principio que determina de forma unívoca una familia finita o infinita de objetos” (Guerrero, Sepúlveda y Rivera, 2006). De acuerdo con Portan y Costa (1996), un patrón “es una sucesión de signos (orales, gestuales, gráficos, etc.) que se construye con base en una regla (algoritmo), ya sea de repetición donde los elementos son presentados periódicamente o de recurrencia, en aquellos donde el núcleo cambia con regularidad”.
Un patrón numérico es la regla o principio que permite calcular los números de una sucesión a partir de un número previo o de su posición en la sucesión, mientras que un patrón numérico-geométrico (Bishop, 2000) es la regla que permite calcular los números que se refieren a una sucesión de figuras geométricas en la cual cada figura se deriva de las figuras previas.
Reconocer un patrón consiste en identificar una regla o procedimiento que permite obtener los números de la sucesión a partir de los números previos o de su posición en la sucesión; es decir, descubrir el comportamiento de los elementos de la sucesión. Generalizar un patrón significa derivar o inducir, a partir de casos particulares, la regla general que permite obtener cada número en la sucesión a partir de su posición en ésta, y expresar dicha regla de alguna manera. Es importante señalar que autores como Radford (2006) hacen una
1
CAPÍTULO 1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
distinción entre inducir y generalizar, ya que en el primer caso el estudiante encuentra la regla general mediante ensayo y error, mientras que en el segundo caso el aspecto esencial consiste en identificar algo común (commonality) en los casos particulares y ser consciente de que ese algo se puede aplicar a todos los elementos de la sucesión.
El trabajo con patrones numéricos y numérico-geométricos puede permitir a los estudiantes poner en práctica procesos del pensamiento matemático tales como el razonamiento, la comunicación y la resolución de problemas. Así, la generalización de patrones se considera una de las formas más importantes de iniciar el estudio del álgebra pues estos procesos permiten desarrollar formas de razonamiento en las que el estudiante enfoca su atención en relaciones, procesos y estructuras.
1.2. Revisión de la literatura
El estudio de los patrones se encuentra ligado estrechamente con otras ideas importantes en matemáticas como son la generalización, abstracción, inducción, sucesión, inducción matemática, pensamiento algebraico, etcétera, por lo que ha recibido la atención de diversos investigadores y se ha estudiado desde diferentes perspectivas. Por ejemplo, se ha analizado el entendimiento de patrones lineales en contextos geométricos con el objetivo de caracterizar niveles de entendimiento (Bishop, 2000), se han identificado el tipo de representaciones que los estudiantes utilizan durante el proceso de generalizar patrones numérico-geométricos (Cañadas, Castro y Castro, 2008) o las limitaciones del uso de tablas en el proceso de identificar patrones lineales y representarlos algebraicamente (MacGregor y Stacey, 1992). También se ha estudiado la relación de los patrones con el pensamiento algebraico emergente y la variedad de modos en los que profesores en formación generalizan y simbolizan esas características distintivas (Zazkis y Liljedahl, 2002) o la relación entre el pensamiento algebraico y la representación de patrones desde un punto de vista semiótico (Radford, 2006).
algebraico (Radford, 2010), ya que algunas formas de tratar con lo general no hacen uso de un simbolismo alfanumérico para expresar esa generalidad o consideran solamente algunos elementos comunes en forma local, por lo cual no se consideran formas algebraicas de pensar. Los resultados relativos al desarrollo del pensamiento algebraico a partir de actividades con patrones, presentan conclusiones diversas. Por ejemplo, en algunas investigaciones se establece que no hay evidencia suficiente para afirmar que una aproximación basada en el uso de patrones (como se implementa en aulas australianas en los grados 7 a 10) equipe mejor a los estudiantes para identificar relaciones entre variables y expresarlas algebraicamente respecto de una aproximación tradicional (MacGregor y Stacey, 1992); mientras que en otras indagaciones se concluye que el estudio de patrones puede promover diversas formas de pensamiento matemático (Guerrero, Sepúlveda y Rivera, 2005).
Algunos investigadores se han interesado en analizar la relación entre la instrucción en resolución de problemas y la habilidad para generalizar patrones lineales (Stacey, 1989); entre las conclusiones destaca el hecho que los estudiantes que han participado en un curso de resolución de problemas parecen entender la relación entre los datos y las reglas de generalización de una forma más completa que estudiantes sin una instrucción previa relacionada con esta actividad.
En relación con el tipo de estrategias que estudiantes (entre 9 y 11 años) utilizan para generalizar patrones (entendiendo el término como extender una regularidad observada en un conjunto de casos particulares a todos los elementos de una sucesión), particularmente en sucesiones lineales y cuadráticas, Hargreaves et al., (1999) concluyen que las más usuales se encuentra el calcular la diferencia sucesivas entre pares de términos hasta obtener una diferencia constante y, en segundo lugar, considerar la paridad de los términos de la sucesión.
CAPÍTULO 1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
generalización de patrones numéricos, como medio para iniciar el estudio del álgebra, no elimina todas las dificultades de aprendizaje. En lo que respecta a la dificultad de las tareas, los estudiantes presentaron mayores niveles de éxito al generalizar patrones lineales que patrones cuadráticos, siendo la técnica de obtener diferencias la más ampliamente usada. Además, fue posible establecer que la habilidad para generalizar patrones se desarrolla en diferentes niveles y que la fijación en aspectos recursivos de la sucesión puede limitar el que los estudiantes puedan encontrar la regla para obtener el término general.
En relación a trabajos locales realizados con estudiantes mexicanos se encuentra Téllez (2006) siendo un estudio que pretende destacar la importancia del reconocimiento e identificación de patrones como un elemento articulador de saberes matemáticos por otra parte Gómez (2016) realizó un trabajo donde se analiza el nivel entendimiento que desarrollan los estudiantes de nivel secundaria, utilizando tareas relacionadas con la identificación y generalización de patrones lineales proponiendo documentar y analizar el tipo de razonamiento utilizado.
1.3. Planteamiento del problema
Con base en la revisión de la literatura, se ha podido constatar que una gran cantidad de trabajos de investigación se han interesado en el análisis de los procesos de identificación y generalización de patrones. Sin embargo, a pesar de que este tema se ha investigado extensamente, existen muchas preguntas que son tema de estudio; por ejemplo, conocer bajo qué condiciones o circunstancias los diferentes contextos en que se presentan las tareas simplifican o complican el proceso de generalización (Orton, Orton y Roper, 1999).
patrones pueden ser útiles para que los estudiantes desarrollen un aprendizaje con entendimiento (Hiebert, et al., 1997) y en qué circunstancias o bajo qué condiciones pueden implementar dichas tareas para favorecer el desarrollo de un pensamiento algebraico.
1.3.1 Objetivo general
El objetivo general de este trabajo es documentar y analizar las estrategias más comunes que utilizan estudiantes de Ingeniería Metal Mecánica, de una universidad tecnológica pública de México, para reconocer y generalizar patrones lineales o cuadráticos en secuencias figurales. Los objetivos particulares son:
1.3.2 Objetivos particulares
1. Identificar las estrategias que utilizan estudiantes para reconocer un patrón y analizar los procesos cognitivos involucrados en la identificación de patrones.
2. Identificar las estrategias que utilizan estudiantes para generalizar un patrón y analizar los procesos cognitivos que desarrollan, así como los recursos particulares empleados al representarlo.
1.4 Pregunta de investigación
1.- ¿Qué estrategias utilizan los estudiantes de Ingeniería en Metal Mecánica para la identificación y generalización de un patrón lineal o cuadrático en secuencias figurales?
CAPÍTULO 2. MARCO CONCEPTUAL
2. MARCO CONCEPTUAL
2.1. Introducción
El marco de investigación está formado por una estructura de ideas y conceptos que orientan la observación y análisis de un fenómeno desde una perspectiva u óptica particular. De lo anterior se desprende que un problema de investigación puede abordarse utilizando diferentes marcos. En los trabajos en educación matemática, el marco de investigación generalmente incluye una concepción sobre la naturaleza de las matemáticas y, en consecuencia, una visión de lo que significa enseñar y aprender la disciplina. Así, resulta importante explicitar el marco con base en el cual se realizará la recolección de la información y el análisis de la misma; ya que esto permitirá comprender las acciones llevadas a cabo por el investigador, así como dar sentido a la interpretación de las características obtenidas.
De acuerdo con Eisenhart (1991) un marco conceptual es una estructura de explicaciones y argumentos de por qué se eligen determinados conceptos, relaciones, ideas o puntos de vista y no otros, para sustentar una investigación. En el marco conceptual se argumenta por qué los conceptos elegidos, así como las relaciones entre ellos son apropiados y útiles para analizar e interpretar un problema de investigación. Una ventaja de un marco conceptual, respecto de otro tipo de marcos de investigación (teóricos o prácticos) es que puede estructurarse a partir de diferentes posiciones teóricas compatibles, así como de conocimientos prácticos del investigador, en la medida en que este pueda ofrecer argumentos sobre la relevancia de los mismos para la investigación.
generalidad, en este trabajo se consideran algunas ideas relativas a las representaciones semióticas (Radford, 2006).
2.2. Una visión de las matemáticas, el aprendizaje y la enseñanza
Existen diferentes visiones de lo que son las matemáticas, algunos la aprecian como una ciencia acabada y estática, en la que no hay lugar para la creatividad, ya que todo el conocimiento se encuentra establecido y estructurado. En esta perspectiva las matemáticas se consideran una ciencia deductiva en la que no hay lugar para la exploración y la experimentación. En contraste existe una visión dinámica de la disciplina, como una ciencia en constante crecimiento y evolución que, al igual que el resto de las ciencias, es una actividad humana sujeta a mejoras constantes. En esta perspectiva se reflexiona que en el desarrollo de entendimiento matemático interviene la experimentación, la exploración, la creatividad; asimismo hacer matemáticas implica observar regularidades, formular conjeturas, y justificarlas, así como proponer ejemplos y contraejemplos.
CAPÍTULO 2. MARCO CONCEPTUAL
Los estudiantes tienen intereses, vida familiar, cultural y valores diferentes. No importa que estén estudiando, siempre intenté ampliar sus definiciones de la realidad para incluir las matemáticas. Esta tarea es, a veces, difícil pero estoy convencido de que el poder de los que utilizarán las matemáticas en la próxima centuria será, más que ver éstas aumentando con lupa la realidad, verlas como una parte de la realidad (Cuoco, 1995, citado en Chamoso y Rawson, 2012, pp. 2, 3).
Este trabajo adopta la postura que la mejor forma de aprender matemáticas es resolviendo problemas, y que aprender a pensar matemáticamente significa ser flexible e ingenioso al resolver problemas, usar nuestro conocimiento de forma eficiente y entender las formas de argumentación y justificación válidas en la disciplina. Para ser ingenioso se necesita estar familiarizado con una amplia variedad de heurísticas y para ser flexible es fundamental conocer cómo manejar los recursos matemáticos de los que se disponen (Schoenfeld, 1985). Además, pensar algebraicamente tiene que ver con dar sentido a las literales y a las expresiones simbólicas, ser capaz de generalizar regularidades y expresarlas de forma simbólica.
2.3. Marco de resolución de problemas
2.3.1 El trabajo de Polya
En 1945 se publicó un libro de Polya titulado “How to solve it”, en el que se considera a las preguntas como el medio que puede ayudar a un estudiante a avanzar en el diseño e implementación de estrategias de solución para un problema.
En este libro se señala la importancia del entendimiento del problema al identificar la información relevante para posteriormente buscar conexiones que ayuden a encontrar problemas análogos al original, pero que sean más fáciles de resolver. Se describen cuatro fases por las que se transita al resolver un problema: la comprensión del problema, formulación de un plan, ejecución del plan y una visión retrospectiva. Se menciona que se puede desarrollar preguntas asociadas a dichas faces para una mejor apreciación de la información que se dispone o se sugiere al resolver problemas análogos más sencillos que el planteado originalmente.
Por otra parte, Schoenfeld (1985) retomó las ideas de Polya considerando que no solamente es importante el uso de las estrategias heurísticas identificadas por Polya, sino también subestrategias que es necesario ejemplificar con diversos casos particulares en las cuales tienen aplicación, enfatizando en que el problema tiene que verse como un todo y no solo como la suma de sus partes.
2.3.1.1 Primera parte del trabajo de Polya
CAPÍTULO 2. MARCO CONCEPTUAL
2.3.1.2 Las cuatro fases de Polya
1. Comprensión del problema: en esta fase deben quedar claros los datos, las incógnitas y
las condiciones del problema, algunas preguntas que nos pueden ayudar son: ¿Qué debo encontrar?, ¿cuál es la incógnita?, ¿cuáles son los datos?, ¿cuál es la condición? La respuesta adecuada a tales interrogantes ayudará en la compresión del problema que se está tratando de resolver, aunque Polya agrega que aparte del entendimiento del problema debe haber un deseo por querer resolverlo, planteando desde esta fase posibles soluciones consideras conjeturas. La orientación del maestro es esencial al fomentar un interés en el estudiante no solo en identificar la información necesaria si no establecer vínculos en la información y con ello provocar el deseo de querer resolver el problema.
2. Formulación de un plan: es la segunda fase y en ella se deben de identificar las
relaciones que existen entre los diversos elementos del problema, los cual nos ayudaran a conjeturar posibles soluciones, para lo cual se podría auxiliar de heurísticas o estrategias. Polya sugiere la búsqueda de algún patrón, o auxiliarse de alguna estrategia o diagrama, por medio de dibujos, uso de un razonamiento inductivo, en esta fase se plantean ecuaciones, supuestos, se utiliza el sentido común, buenos hábitos de pensamiento, concentración. Teniendo como herramientas conocimientos previamente adquiridos como problemas resueltos o teoremas demostrados. Planteándose interrogantes como: ¿Conoce algún problema relacionado?, ¿puede hacer uso de él?, ¿puede enunciarse el problema de forma diferente?, ¿ha empleado todos los datos?, ¿ha hecho uso de toda la condición? Entre otras, es posible orientar al estudiante en la formulación de plan de solución. Los estudiantes por lo regular no toman en consideración esta fase y se van directo a la resolución del problema debido a que no están acostumbrados a planear alguna estrategia o heurística que les ayude a poder abordar el problema, lo que desean es hallar la solución lo más rápido posible evitando diseñar un plan debido a que lo consideran hacer doble trabajo.
3. En la ejecución del plan: una vez que se ha elaborado un plan para la resolución de un
plantearon en la formulación del plan, con el fin de encontrar la solución. Para lo cual Polya sugiere que se tenga mucha paciencia, siendo esencial que el estudiante esté completamente seguro de la exactitud de los pasos realizados, respondiendo a la pregunta ¿Pueden apreciar claramente que el paso es correcto? Lo cual resulta complicado para el estudiante, ya que están acostumbrados a obtener una respuesta, y el responsable de determinar si ésta es correcto o no es el profesor. Por otra parte al preguntarles si ¿Pueden realizar la demostración? uno de los argumentos más usados es que es más complicado comprobar la solución que hallarla, por ello evitan hacerlo y solo verifican con los demás compañeros que tengan la misma respuesta.
4. La visión retrospectiva: hallar la solución del problema no es el final del proceso, los
estudiantes suponen que al haber encontrado una respuesta correcta al problema ya acabó el proceso de solución. Sin embargo, hace falta comprobar que la respuesta es razonable, se debe reconsiderar la solución, reexaminado su resultado y el plan. Al llevar a cabo una visión retrospectiva, los estudiantes pueden consolidar sus conocimientos, desarrollando aptitudes para resolver problemas así como mejorar sus respuestas. Algunas preguntas útiles para orientar el desarrollo de esta fase son: ¿Puede verificar el resultado?, ¿Puede obtener el resultado de una manera diferente?; ¿Puede ver el resultado de golpe?, ¿Puede emplear el resultado o método empleado en algún otro problema?
2.3.2 El trabajo de Schoenfeld
CAPÍTULO 2. MARCO CONCEPTUAL
2.3.2.1 Aportaciones
Entre las aportaciones de Schoenfeld se resalta la consideración de que hallar la solución de un problema matemático no significa el final del trabajo, sino el punto de partida de la búsqueda de otras posibles soluciones. Es decir, resalta la importancia de la creación, formulación o diseño de nuevos problemas matemáticos. Para este autor, entender un problema matemático constituye un proceso activo en el cual se debe estar abierto a la discusión de las conjeturas y a la justificación de las ideas así como al desarrollo de una actitud inquisitiva, en donde el planteamiento de preguntas es esencial, así como, encontrar las respuestas y justificaciones de las actividades matemáticas.
Para Schoenfeld es importante que se trabajen las actividades en el salón de clases de tal forma que se permita a los estudiantes realizar conexiones entre conceptos y procedimientos matemáticos a través de la reflexión y comunicación de ideas. De esta manera, el estudiante construirá herramientas conceptuales y desarrollará entendimiento matemático y formas matemáticas de pensar.
2.3.2.2 Las cuatro dimensiones de Schoenfeld
Schoenfeld (1987), sugiere que para entender cómo piensan los estudiantes al resolver problemas matemáticos y proponer actividades que puedan ayudarlos influyen cuatro dimensiones:
Recursos: es todo lo que el estudiante sabe incluye información tal como hechos,
Heurísticas: son estrategias generales que ayudan a la resolución de problemas. El usar alguna heurística no asegura llegar a una solución pero pueden ayudar a avanzar en este proceso. Polya (1945) proporciona un gran número de heurísticas como lo son: dibujar esquemas, razonando a la inversa, elegir un problema más simple, entre otras, para resolver problemas de diferentes tipos. Por su parte Schoenfeld (1992) menciona que cada problema necesita un tratamiento especial y que pueden ayudar a la resolución de un problema en cuestión, no limitándose a la observación de heurísticas en un libro sino a la utilidad y aplicabilidad.
Estrategias metacognitivas: se refieren al conocimiento y reflexión acerca de nuestros
propios procesos cognitivos, ¿cómo un estudiante controla su trabajo?, Es decir, cuando los estudiantes se enfrentan a la resolución de problemas hay que ser capases de evaluar y verificar si vamos por el camino correcto. Si no es así, es trascendental desarrollar habilidades para determinar si es necesario cambiar de ruta o procedimiento. Es importante que el estudiante tenga una habilidad para monitorear y evaluar el uso de la información con la que cuenta al resolver el problema, el proceso involucra la toma de decisiones en la elección del plan, en el tipo de heurísticas o estrategias a emplear, el logro de las metas o submetas, así como el monitoreo y evaluación de los avances, con lo cual se decidirá si se sigue adelante con el plan propuesto en un inicio o se abandona y se construye un nuevo plan o estrategia de solución. Algunas acciones donde se involucra el control son las siguientes: (a) entender con claridad lo que se está planteando en el problema antes de empezar a resolverlo, (b) considerar que existen varias formas de solución siendo importante a la hora de seleccionar un método en particular, (c) monitorear el proceso y estar dispuesto a modificarlo o cambiarlo en el momento que no sea útil, (d) revisar el proceso de resolución y evaluar los resultados obtenidos, lo que significa un mayor conocimiento sobre el problema.
Sistemas de creencias, en esta categoría se ubica la concepción que tienen el estudiante
CAPÍTULO 2. MARCO CONCEPTUAL
matemáticas afectan notablemente en la forma en que los estudiantes abordar una resolución de algún problema, así como la manera de seleccionar el tipo de estrategias usadas para resolver un problema. Algunas creencias3 que muestran los estudiantes hacia la matemática son: (a) los problemas matemáticos solo tienen una única solución correcta, (b) existe solo una manera correcta de resolver cualquier problema, siendo la que el docente proporciona en la hora de clase, (c) todos los problemas matemáticos se resuelven en 10 minutos o menos si se entiende el problema, (d) solo los genios pueden realizar matemáticas, los estudiantes comunes solo memorizan y aplican lo entendido de forma mecánica, (e) las matemáticas se deben realizar en aislamiento no en grupos y (f) lo aprendido en clase no se relaciona con el mundo real.
2.4. Representaciones semióticas en el aprendizaje de las matemáticas
La investigación sobre visualización e imágenes mentales ha mostrado la importancia de las representaciones semióticas en el aprendizaje de las matemáticas. Dado que el objeto de estudio de las matemáticas en la mayoría de las ocasiones solo existe en nuestra mente, el conocimiento acerca de los objetos matemáticos solamente se puede obtener mediante sus representaciones semióticas, es decir, mediante signos, palabras, símbolos o dibujos; a diferencia de otras ciencias como la biología o la astronomía en que los objetos de estudios se pueden percibir directamente con los sentidos o indirectamente mediante el uso de instrumentos como el microscopio o el telescopio.
Radford, Edwars y Arzarello (2009) mencionan situaciones donde el estudiante hace uso del lenguaje o gestos al momento de explicar sus procedimientos o conjeturas, apoyándose de recursos particulares donde están inmersos diferentes medios semióticos de expresión, orales, dibujos, gestos, movimiento corporal, entre otros. Enfocado a brindarle un sentido a los signos utilizados por los estudiantes y entender la forma en que piensan.
3
Por su parte D´Amore y Godino (2007) mencionan que los objetos matemáticos deben ser considerados como símbolos los cuales deben estar íntimamente ligados con la resolución de problemas.
Es importante señalar que Radford (2006) considera que no todas las formas de generalizar un patrón son en forma algebraica, debido a que es posible realizar una generalización de forma aritmética, es decir, el estudiante puede encontrar el valor del término que se desea encontrar dentro de una sucesión sin utilizar símbolos alfa numéricos. Por otra parte el uso de signos y letras no necesariamente tienen que relacionarse con el álgebra. En la siguiente tabla se muestran las estrategias que usan los estudiantes al hacer frente a una actividad donde se ve inmerso el uso de patrones, así como la subdivisión de generalizaciones algebraicas, de acuerdo con su nivel de generalidad.
Tabla 1.- Estrategias utilizadas por los estudiantes al abortar problemas con patrones
Inducción
ingenua
Generalización
Ensayo y error Aritmética
Algebraica
Factual Contextual Simbólica
Fuente: Radford, L. (2006). Algebraic thinking and the generalization of patterns: A semiotic perspective
CAPÍTULO 2. MARCO CONCEPTUAL
2.4.1 Generalización de un patrón
Radford (2006) considera a la generalización de patrones como una forma de introducir el pensamiento algebraico, debido que al identificar y generalizar patrones los estudiantes se ven obligados en la mayoría de las ocasiones a desarrollar una expresión algebraica que capture ese comportamiento general. Para ello Radford destaca que para la generalización algebraica de patrones deben existir las siguientes ideas:
Identificar una característica en común, la cual destaca una observación sobre algunos términos particulares de alguna sucesión.
El patrón observado en la sucesión debe estar ordenado y aplica a todos los términos siguientes.
Usando el patrón se puede realizar una generalización o expresión matemática la cual permita calcula cualquiera de los términos que se encuentran en la sucesión.
Entonces la generalización algebraica de acuerdo con Radford (2006) consiste en la capacidad de identificar aspectos comunes en los elementos de una sucesión, teniendo en consideración que debe ser un aspecto común para todos los términos de la misma y posteriormente poder relacionar la información y llegar a una extrusión simbólica.
Por otra parte la generación algebraica factual es aquella donde se evidencia acciones en forma de esquema opcional al nivel concreto de simbolos numéricos. Desarrollando esta generalidad a partir de movimientos ritmicos, gestos y palabras.
Las generalizaciones algebraica contextuales excluyen el uso de movimientos ritmicos o gestos, suponen un nivel más avanzado pero menor a una generación algebraica incluyendo algo más que solo un dominio de figuras u objetos. Utilizando frases cortas para poder expresar la generalidad.
. METODOLOGÍA
3.1 Introducción
Este trabajo tiene un enfoque cualitativo debido a que se le brinda importancia a las características, relaciones y conexiones que realizan los estudiantes en el reconocimiento y generalización de problemas donde está implícito el uso de patrones, tratando sea de forma natural, espontánea y con amplitud en las respuestas. Tomando en consideración que el enfoque cualitativo puede definirse como:
Un conjunto de prácticas interpretativas que hacen al mundo visible, lo transforman y convierten en una serie de representaciones en forma de observaciones, anotaciones, grabaciones y documentos. Es naturalista por que estudia a los objetos y seres vivos en sus contextos o ambientes naturales e interpretativo pues intenta dar sentido a los fenómenos en términos de los significados que las personas les otorguen (Hernández, Fernández y Baptista, 2006).
Las personas piensan diferente y por ende visualizan un problema en varias perspectivas, es decir, los estudiantes tienen diversas formas de identificar lo que es constante y variable en una actividad con patrones y de relacionarlo con el número o tipo de figura que se les presente al trabajar con un patrón geométrico.
Para poder analizar y discutir las preguntas de investigación se utilizaron hojas de trabajo en las cuales los estudiantes pudieran adoptar el uso de tablas, gráficas, palabras o el uso de una regla semiótica si así lo desearan, las cuales fueron propuestas por los directores de la presente investigación. Mencionando que los contenidos temáticos de las actividades también incluyen aspectos relacionados con el pensamiento numérico, algebraico, geométrico y manejo de características (NCTM, 2000).
CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA
puede que no progrese” por ello se tomó la decisión de que los estudiantes trabajen en equipo. Claro está que el docente a cargo de la actividad podía apoyarlos sin afectar, es decir, una ayuda sutil en la obtención de la información para que los estudiantes identifiquen características y relaciones de tal forma que puedan construir un plan y lo pudieran ejecutar. Puesto que resulta importante valorar las estrategias usadas por los estudiantes, se pidió expusieran sus conjeturas para tener un mayor conocimiento sobre las bondades y limitaciones de su propuesta. A continuación se describe la metodología utilizada en el presente trabajo.
3.2 Participantes
El grupo donde se implementaron las actividades estuvo formado por 30 estudiantes de octavo cuatrimestre del programa educativo de Ingeniería en Metal Mecánica de la Dirección de Ciencias Exactas de la Universidad Tecnológica de la Sierra Hidalguense, donde la mayoría son hombres a excepción de una estudiante mujer, con la finalidad de poder documentar alguna estrategia utilizada por parte de los equipos que no se haya documentado anteriormente al realizar actividades donde se ve implícito el uso de patrones lineales o cuadráticos.
La elección de este grupo de estudiantes se basó en su programa de estudios, debido a que ya habían estudiado en anteriores cuatrimestres bases para abordar actividades relacionadas con la identificación y generalización de patrones, tomando en consideración que las actividades propuestas abordan temas relacionados con el conocimiento de números, figuras geométricas y perímetro. Donde por ejemplo en su primer cuatrimestre abordaron temas relacionados con conceptos fundamentales de geometría, fundamentos del álgebra y razones trigonométricas.
la perspectiva que tiene cada uno de los integrante del equipo y acrecentar la seguridad en ellos mismos al justificar sus conjeturas.
3.3 Instrumentos para la recolección de la información
Para la recolección de información se utilizaron varios instrumentos con la finalidad de tener una visión más amplia del tipo de relaciones o conexiones que realizan los estudiantes al tratar de generalizar problemas donde se ven implícitos el uso de patrones. Permitiendo documentar las estrategias que más usan a la hora de resolverlos. Se considera que mediante la observación se puede determinar que está haciendo el estudiante, como lo está realizando, como lo lleva a cabo o por qué lo hace. Existiendo una interacción entre el docente responsable de la actividad y los estudiantes en forma de preguntas o pidiendo explicaciones de lo que se está exponiendo.
Por lo anterior se planteó como objetivo de la actividad llegar a una generalización del patrón pero también que los estudiantes justificaran sus conjeturas mediante exposiciones frente a grupo, con la finalidad de intercambiar información, facilitar la participación, buscar diferentes soluciones y ayudar a la toma de decisiones.
3.3.1 Hojas de trabajo
CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA
CUENTA EL NÚMERO DE CERILLITOS
FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3
Instrucciones: Contesta las siguientes preguntas 1.- ¿Cuántos cerillitos ves en la figura 1?
2.- ¿Cuántos cerillitos ves en la figura 2?
3.- ¿Cuántos cerillitos ves en la figura 3?
4.- ¿Cuántos cerillitos habrá en la figura 10?
5.- ¿Cómo calculaste el número de cerillitos de la pregunta 4?
CUENTA EL NÚMERO DE CUADRITOS
FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3 FIGURA 4
Instrucciones: Contesta las siguientes preguntas 1.- ¿Cuántos cuadritos ves en la figura 1?
2.- ¿Cuántos cuadritos ves en la figura 2?
3.- ¿Cuántos cuadritos ves en la figura 3?
4.- ¿Cuántos cuadritos habrá en la figura 15?
5.- ¿Cómo calculaste el número de cuadritos de la pregunta 4?
CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA
CALCULA EL PERÍMETRO
En las siguientes figuras se muestran cuadrados y triángulos equiláteros. Sabiendo que el largo de los lados de las figuras es la unidad calcule sus perímetros.
FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3 FIGURA 4
Instrucciones: Contesta las siguientes preguntas
1.- ¿Cuál es el perímetro con un cuadrado y un triángulo equilátero? (figura 1)
2.- ¿Cuál es el perímetro con dos cuadrados y dos triángulos equiláteros? (figura 2)
3.- ¿Cuál es el perímetro con tres cuadrados y tres triángulos equiláteros? (figura 3)
4.- ¿Cuál es el perímetro con 20 cuadrados y 20 triángulos equiláteros?
5.- ¿Cómo calculaste el perímetro de la pregunta 4?
CUENTA EL NÚMERO DE BOLAS DE BILLAR
FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3 FIGURA 4 FIGURA 5
Instrucciones: Contesta las siguientes preguntas 1.- ¿Cuántas bolas de billar ves en la figura 3?
2.- ¿Cuántas bolas de billar ves en la figura 4?
3.- ¿Cuántas bolas de billar ves en la figura 5?
4.- ¿Cuántas bolas de billar habrá en la siguiente figura?
5.- ¿Cómo calculaste el número de bolas de billar de la pregunta 4?
CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA
3.3.2 Elección de las hojas de trabajo
Las hojas de trabajo utilizadas en la investigación fueron elegidas pensando en que los estudiantes serían capaces de obtener una generalización del patrón a partir de sus conocimientos previos, donde interesa observar los tipos de relaciones y conexiones que utilizan en el proceso de solución. Es importante hacer mención que la actividad planteada ofreció la oportunidad de ser explorada de diferentes maneras y por lo tanto identificar o examinar diversas relaciones matemáticas. En este sentido, se les indicó a los estudiantes que en un problema está la posibilidad de conjeturar la solución a partir de varios tipos de análisis.
La estructura de las hojas de trabajo es la siguiente: en primer lugar aparecía el nombre de la actividad seguida de tres a cinco imágenes que ayudaran a visualizar el problema y concluir con un pequeño cuestionario que serviría de guía para el estudiante. Teniendo en consideración que el cuestionario tal vez (Hernández Sampieri, 2006) sea el instrumento más utilizado en la recolección de información se planteó un conjunto de seis preguntas dirigidas a lograr alcanzar los objetivos del trabajo. Siendo interrogantes breves y sencillas, fáciles de contestar, de tipo abiertas y usando lenguaje simple con el propósito de evitar confusiones.
Las primeras cinco preguntas de las hojas de trabajo están enfocadas a que los participantes se familiarizaran con la actividad y puedan interesarse en el problema siendo la etapa de comprensión. En la sexta pregunta se sugiere utilizar las etapas restantes del trabajo realizado por Polya, es decir, a que los estudiantes puedan trazar un plan que les ayude a la resolución del problema, poder ejecutarlo y obtener una retroalimentación con la ayuda de todos los compañeros de clase al pasar al pizarrón y explicar sus conjeturas.
En la actividad dos titulada cuenta el número de cuadritos, se tenía la posibilidad de que los estudiantes llegarán a la generalización de 2n-1, en la cual existe una parte invariante que es el cuadro que se encuentra en la esquina de la figura y las figuras van variando de 2 cuadritos, uno en la dirección horizontal y otro en vertical.
En la tercera actividad titulada calcula el perímetro, se presentan dos figuras geométricas siendo un triángulo y un cuadrado así como el concepto de perímetro5. Una de las posibles soluciones es la expresión matemática 3n+2. Donde se toma al triángulo como parte variante y se le suma los lados de la figura.
En la actividad cuatro titulada cuenta el número de bolas de billar, tiene inmerso el concepto de números triangulares o también denominados números sagrados (Ouaknin, 2006) en donde la forma general de calcular el valor de la figura n es de acuerdo a la regla siguiente: si n es el número de la base su número triangular se calcula con la expresión matemática n(n+1)/2.
3.3.3 Videograbaciones
Se realizaron las videograbación de la etapa de retroalimentación, es decir, del momento cuando los estudiantes pasaban al pizarrón y exponían sus conjeturas ante sus compañeros, con el objetivo de que explicaran el procedimiento que emplearon para llegar a la solución del problema propuesto y con ello identificar las estrategias o heurísticas usadas en la solución del problema, así como su destreza y habilidades en la explicación de sus conjeturas.
En esta etapa el docente fungió como moderador planteando junto a los demás estudiantes preguntas que ayudarán a la reflexión sobre lo que se estaba exteriorizando, motivando al expositor a realizar su participación en completa libertad. Por otra parte, estas videograbaciones podrían verificarse las veces que fueran necesarias para su análisis dando una muestra del lenguaje, representaciones semióticas o recursos utilizados.
3
CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA
3.3.4 Transcripción de videos
Una vez que se contaba con las videograbaciones se realizó la transcripción de las mismas con el objeto de poder contar con la información escrita y aclarar las ideas que fueron presentadas por los estudiantes, de manera que se pueda identificar el pensamiento y la mecánica involucrada. Al transcribir todo el material de las grabaciones en video es posible contrastar los tipos de relaciones que se utilizaron, si identificaron alguna variable, constante o característica relevante en que se apoyaron los estudiantes para la resolución de los problemas. Debido a que no basta una sola lectura se realizó la impresión de las mismas usándolas para anotaciones y poder realizar el análisis de la información.
3.4. Recopilación de la información
Para la solución de los problemas, los estudiantes dispusieron de un tiempo aproximado de dos horas donde el maestro responsable de la actividad dió a conocer la forma en que se trabajaría a lo largo de la sesión con el objeto de encontrar alguna estrategia original o fuera de lo común en la búsqueda y generalización de patrones. Mencionando a los estudiantes que ninguna idea se descartaría, sino que al contrario enriquecería la investigación, animándolos a realizar las actividades de la mejor manera, ya que el éxito o fracaso de la misma no afectaría la calificación de su actual cuatrimestre si no despertar un interés por el gusto a las matemáticas, considerando que (Alonso, 1998) existe la posibilidad de que algunos estudiantes pudieran tener un nivel de rendimiento satisfactorio en matemáticas y pese a lograrlo tienen una actitud desfavorable en cuanto a la materia o podrían (Valdez, 1998) enfocarse a la utilidad más que un gusto por la asignatura.
problema era de diez minutos, donde los estudiantes podían intercambiar opiniones con los integrantes de su equipo en la búsqueda de la solución.
Una vez que los estudiantes hallaban la solución del problema alzaban su mano en señal de que ya se había obtenido alguna expresión algebraica para representar el patrón. Posteriormente con el objetivo de intercambiar ideas y poder comparar las estrategias de solución, los estudiantes pasaron al pizarrón y explicaron los pasos que siguieron en la elaboración de sus conjeturas ante los equipos participantes, donde se exhortó a realizarla en forma honesta y que expresaran realmente la manera en que llegaron a la generalización del patrón, tomándose en consideración que el lugar de su intervención estaba relacionada con el orden en que alzaban su mano. Cabe señalar que al inicio de esta etapa de la actividad nadie podía realizar algún cambio a su conjetura todos tenían que estar atentos a la exposición de sus compañeros y no debían desarrollar alguna otra actividad para evitar el plagio de ideas
En la exposición de las conjeturas, los estudiantes tenían que defender su postura ya que el resto de los equipos plantearon preguntas sobre la forma en cómo generalizaron el patrón geométrico propuesto en la hoja de trabajo. Cabe resaltar que todos los equipos estaban empeñados en que la mejor propuesta era la suya, desarrollando una aptitud leal para ser los mejores, lo cual ayudó a tener una mejor apreciación de las estrategias realizadas en la actividad y poder verificar si identificaban una variable o alguna constante en el problema y si relacionaban dicha información con las figuras mostradas.
3.5. Procedimiento para el análisis de la información
CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA
Así como el número de renglón para poder referenciarlo en la tabla de análisis de información.
Las transcripciones fueron impresas con el objetivo de no perder detalles sobre las estrategias de solución empleados por los estudiantes al tratar de generalizar el patrón propuesto en los problemas ayudando a clasificar la información y llenar las tablas del análisis de la información. Usando plumones de color verde para subrayar lo que los estudiantes identificaron como constante, naranja para marcar lo que visualizaron como elemento variable y azul para señalar la generalización del patrón geométrico si es que existía en cada uno de los casos.
3.5.1 Tablas para el análisis de la información
La información recabada en el análisis de la información se visualiza en la siguiente tabla6 donde:
En la primera columna aparece el número del equipo participante, siendo de seis equipos en total.
En la segunda columna se maneja la primer fase de Polya (1945) al preguntar si entendieron el problema propuesto, manejando totalmente si el equipo logro obtener correctamente alguna generalización. Parcialmente si utilizaron alguna heurística pero no llegaron a una representación algebraica, identificando y relacionando información y por último insuficiente si es que el equipo participante se quedo en la etapa de identificación de información.
La tercer columna se enfoca al sentido si encontraron alguna característica en común (Radford, 2004) para poder generalizar el patrón, como lo son alguna variable o constante.
En la cuarta columna (Schoenfeld, 1985) se registra si se auxiliaron de una estrategia o heurística que ayude a la resolución del problema como dibujos, gráficas, tablas, problemas más sencillos, entre otros.
6
En la quinta columna se muestra la generalización que hallaron (Radford) relacionando la información que identificaron como importante.
En la columna 6 y 7 se visualiza la fase cuatro de Polya al realizar una retrospectiva del problema propuesto.
Tabla de análisis del problema cuenta el número de cerillos
¿Lograron entender el problema? ¿Qué información lograron identificar? ¿De cuál estrategia o heurística se auxiliaron? ¿Relacionaron las variables para lograr alguna generalización? ¿Pudieron justificar su conjetura? ¿Realizaron una reflexión sobre su solución? Equipo
1 Totalmente
-Una constante con
valor de 1 -Un aumento en las figuras de 3 cerillos
-dibujo
Si, la diferencia entre figuras con la posición y le sumaron la parte constante obteniendo 3n +1 Totalmente usando lenguaje y números Plantaron que existe una variación en el
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
4.1 Introducción
Una vez que se registró la información se comenzó a realizar el análisis de la misma, con el objetivo de acercarnos y tener una visión más amplia de la forma en que los estudiantes relacionan la información del problema y hacen conexiones.
Durante el análisis de los datos se prestó particular atención a las estrategias desarrolladas por los estudiantes, si utilizaron las fases de Polya para la comprensión del mismo, si diseñaron un plan y lo pudieron ejecutar, así como la obtención de una retrospectiva del problema. También se analizó la posibilidad de que tuvieran que hacer uso de alguna heurística (Schoenfeld, 1985) como un dibujo, conocimientos previos, ejercicios o problemas más simples, diagramas, entre otras. Para poder lograr una generalización del patrón (Radford, 2006).
4.2 Análisis de los resultados: problema cuenta el número de cerillos
La actividad resultó ser la más fructífera y exitosa de la sesión, donde todos los equipos desarrollaron una forma diferente de generalizar la figura “n”, siendo los estudiantes quienes construyeran sin ayuda alguna dichas expresiones algebraicas, externando que fue una actividad muy sencilla para ellos. Los participantes comprendieron completamente lo que se tenía que realizar, identificando claramente el número de cerillos de cada figura y contestando el cuestionario planteado, no tuvieron dudas al momento de comprobar sus respuestas concluyendo satisfactoriamente la primera actividad planteada, donde se tenía calculado proporcionarles diez minutos para la resolución del mismo pero se llevaron un promedio de cinco minutos.
La actitud tomada por los estudiantes ayudó a crear un ambiente positivo aplicando un trabajo cooperativo, fomentando el interés en la actividad al querer resolver el problema planteado. Apoyándose entre los integrantes de su equipo al intercambiar ideas, observaciones, información, procedimientos y recursos para abordar la actividad. Donde las discusiones y debates ayudaron a los estudiantes a interpretar y relacionar sus puntos de vista.
El ambiente de instrucción favoreció a la participación de los estudiantes al realizar su intervención en el pizarrón y defender sus conjeturas, donde explicaron sus ideas, justificaron sus posturas y durante la discusión grupal brindaban sus respuestas en forma convincente al ser cuestionados por los demás grupos participantes.
En la explicación de sus conjeturas, los participantes se apoyaron de gran manera por las figuras presentadas en la hoja de trabajo, utilizaron una forma alfanumérica para la generalización del patrón identificado. Usando tablas como método heurístico y forma de comprobación de la solución.
Todos los participantes generalizaron con éxito el patrón de acuerdo a lo que identificaron como constante y como variable. Distinguiéndose el caso seis el cual despertó mayor polémica entre los participantes usando una estrategia por sentido común.
1.- ¿Qué información lograron identificar?, ¿de cuál estrategia o heurística se auxiliaron?
Lo que identificaron como variable
En los seis casos presentados en el problema cuenta el número de cerillos los estudiantes encontraron un dato como variable y en cuatro casos se dieron cuenta que la diferencia entre las figuras es de tres.
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
“Entonces de allí va a partir el número de cuadros este multiplicado por tres” (renglón 37,38).
En el Caso 2 calcularon la diferencia existente entre cada figura, iniciaron contando los cerillos que formaba cada figura y realizaron conexiones entre la información obtenida auxiliándose de la construcción de una tabla.
“Bueno el método de nosotros fue contar los cerillos que tiene cada figura, la figura uno tiene cuatro, la que sigue siete y la otra tiene diez entonces se ve la diferencia que hay entre cada figura son tres cerillos de diferencia y se puso lo que es la diferencia la posición que es la figura uno” (renglón 3-7).
Para hallar lo variable en el Caso 3 utilizaron el dibujo brindado en las hojas de trabajo auxiliándose de líneas. Al ir relacionando los cuadros se percataron que solo se utilizan tres cerillos en la siguiente figura y así sucesivamente.
“Aquí en estas figuritas podemos ver que siempre vamos a tener tres cerillos en común en este caso va a ser este, este y este” (renglón 3-4).
“A ver nosotros lo que encontramos fue que por ejemplo si se dan cuenta dos cerillos apuntan para un mismo lado entonces tomamos esto” (renglón 3-5). “Si se dan cuenta es el valor de “n” que va en las figuras entonces colocamos “n” pero como van dos cerillos casi siempre en la misma pusimos el dos (renglón 6 y 7) y el de arriba va igual conforme a “n” que sería el número de la figura que sería uno, dos, tres y así se va entonces eso le sumamos más “n” de nuevo” (renglón 10 y 11).
En el caso 5 se basaron en el dibujo para realizar su conjetura sustituyendo a los cerillos por líneas, relacionando las líneas superior e inferior y una lateral.
“Nosotros lo hicimos por el número de líneas, las líneas son dos es esta y esta son dos entonces lo pusimos como una constante dos. Después según el cómo constante “n” bueno como literal “n” para la figura, por ejemplo aquí podemos ver que ya son tres nos queda una libre entonces “n” para cualquier figura ya sea dos o tres a esto le vamos a sumar lo que es lo sobrante” (renglón 2-9).
El caso 6 fue el equipo que más levanto polémica en su conjetura, se auxiliaron del dibujo presentado en las hojas de trabajo y construyeron una tabla, tomaron como base a la figura original la cual omitían en las siguientes figuras y lo que sobraba lo sumaron, suponiendo que utilizar la raíz cuadrada sería una buena opción, siendo el único equipo en utilizar esta herramienta.
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
Lo que identificaron los estudiantes como constante
En los seis casos presentados en este ejercicio los estudiantes relacionaron un dato como elemento constante o invariante, en cinco casos lo relacionan como la parte faltante haciendo suposiciones en sus operaciones ya que de esta forma completaban el número de cerillos de la figura y en un caso utilizan la diferencia entre figuras.
En el caso 1 se auxiliaron del dibujo para encontrar lo constante, relacionando las figuras mostradas en la hoja de trabajo, mencionando que la figura uno la forman cuatro cerillos pero en la siguiente figura un cerillo funciona como la base.
“Porque al ver que, nosotros en un cuadro tenemos cuatro cerillitos, en el segundo cuadro un cerillo ya nos sirve de base para hacer el siguiente cuadro, ósea que ya no ocupamos cuatro cuadros, cuatro cerillos, perdón. Ocupamos tres, entonces nuestra base la tomamos como uno” (renglón 34-39).
En el caso 2 utilizaron el sentido común al interpretar que falta la unidad para hallar el número de cerillos de la figura, es decir, la cantidad que se necesita para llegar al número de cerillos que tiene en total cada figura .
En el caso 3, 4 y 5 se auxiliaron del dibujo visualizando que siempre sobra un cerillo al realizar la construcción de los cuadros.
“Y nos sobra uno… se usan estos esté este y este y nos sigue sobrando uno” (renglón 4 y 6).
“Bueno después tomamos en cuenta siempre un cerillo termina aquí entonces pusimos más uno” (renglón 7 y 8).
“Siempre queda libre una y se le van a ir sumando las otras tres…igual es uno, dos y este queda libre, porque se ocupan estos dos, se puede decir que este y este y este es el que queda libre, siempre queda una libre” (renglón 22-23).
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
En el caso 6 utilizaron la diferencia entre figuras, relacionando esta información con la parte constante, auxiliándose de una tabla.
“Después nos dimos cuenta que aquí hay un intervalo de uno, entonces más uno” (renglón 11).
2.- Forma de generalizar y relacionar la información obtenida
De los seis casos expuestos tres presentaron la misma forma de generalizar el ejercicio siendo la expresión 3n+1, En dos casos se presentó una forma similar de generalizar el problema solo que la asociación de sus términos fue diferente, (2n + 1) + n, y 2n + (n + 1) y se obtuvo un caso original donde se ve implícito el uso de diferencias y de raíz cuadrada aplicando una técnica de sentido común que en este caso se ve relacionado a un método por tanteo.
En los casos 1, 2 y 3 la generalización que desarrollaron fue 3n+1, donde visualizaron que la secuencia de las figuras varía de tres en tres, multiplicando esta información con el número de figura que desean hallar y le suman lo que identificaron como constante siendo la cantidad de un cerillo.
“Por ejemplo tres por uno más uno, esto son tres más uno son cuatro y este es el resultado que nos da de la primera y así lo mismo en el segundo tres por dos más uno es igual a siete en la tercera igual y eso fue el método que ocupamos” (renglón 8-11).
“En este como les dije formamos dos cuadros entonces el valor de “x” va a ser dos, igual aquí tenemos un cerillo, dos cerillos, tres cerillos en un cuadro, en este tenemos uno dos tres pero nos sobra este cerillo por eso le seguimos sumando uno, tres por dos son seis más uno siete, en este es lo mismo aquí tenemos un cerillo, otro cerillo son tres cerillos en común, tenemos este, este, este para formar dos, aquí también tenemos tres y nos sigue sobrando este, entonces por eso pusimos como constante tres, el valor de “x” va a variar de acuerdo a la cantidad de cuadros que queramos usar y la unidad porque siempre nos sobra un cerillo por eso fue que lo ajustamos así” (renglón 13-20).
En los casos 4 y 5 se presentó una forma similar de generalizar el problema solo que la asociación de sus términos fue diferente siendo: (2n + 1) + n, y 2n + (n + 1). Donde se multiplica por dos el número de la figura que se desea encontrar y sumando la posición de la figura más la parte constante que en este problema la identificaron como de un cerillo.
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
“Entonces dos por “n” se le suma lo que sigue siendo la misma literal más uno que es lo que siempre va a quedar libre que será este, en cualquiera que queramos va a quedar libre un cerillo entonces por eso decimos dos por “n” el número de líneas por la figura que se va a representar más “n” más uno más el cerillo que siempre queda libre” (renglón 11-15).
El caso 6 resulto ser fuera de lo común, el cual la generalización que lograron obtener fue la de √9 n +1. Donde se ve implícito el uso de diferencias entre figuras y de la raíz cuadrada, aplicando una técnica de sentido común.
“Después propusimos hacer una raíz cuadrada casi sería lo mismo que lo que habían propuesto anteriormente, después fue lógico poner lo que era “n”, después nos dimos cuenta que aquí hay un intervalo de uno, entonces más uno” (renglón 8-12).
3.- ¿Pudieron justificar su conjetura?
4.- ¿Realizaron alguna reflexión sobre su solución?
La aportación que se realizó en el caso 1 es relacionada con la forma en que van ubicados los cerillos, mencionando que el orden de las figuras tiene mucho que ver ya que si cambiaran de posición la expresión algebraica a la cual llegaron carecería de sentido y tendría que adecuarse otra. Mencionando que en cada problema se aplicaría una estrategia en particular.
“Encontramos una pequeña variante en cuestión de cómo acomodar los cuadros porque si nosotros seguimos, pusimos un ejemplo de que si poníamos trescientos cuadros, la fórmula iba a hacer tres por trescientos más uno nos tenía que dar novecientos un cuadro, si se llevaban la secuencia de cuadros así (horizontalmente), el problema cambiaba cuando tu ponías un cuadro aquí porque ya no ocupabas el mismo número de cerillos, a partir de la segunda fila en el segundo cuadro a la derecha de aquí ya nos cambia porque nada más ocupamos dos cerillos, entonces de ahí toda la fórmula este cambiaria, si se aplica la fórmula en línea pero ya en secuencia hacia abajo encima uno de otro ya cambia” (renglón 18-27).
En el caso 2 hicieron uso de conocimientos previos al calcula la diferencia entre figuras para identificar lo variable, percatándose que en este tipo de problemas les fue de gran utilidad.
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
El caso 4 resalta la importancia del uso de figuras ya que basaron su conjetura en la unión de dos cerillos y esa observación permitió llegar a una generalización. La cual esta forma de razonamiento no se tenía contemplada en un inicio.
En el caso 5 realizaron algo similar al caso 3 al cambiar los cerillos por líneas, debido a que lo consideraban más sencillo.
En comparación con el trabajo de Gómez (2016) donde plasma tres diferentes estrategias para la resolución de un problema similar a la titulada cuenta el número de cerillos solo coincide en una de las tres estrategias presentadas. En la cual los estudiantes visualizaron que la figura varía en tres unidades y se le suma un cerillo obteniendo la expresión 3n+1.
4.3 Análisis de resultados: problema cuenta el número de cuadros
Todos los estudiantes comprendieron lo que se tenía que realizar en la segunda actividad, identifican claramente el número de cuadros de cada figura, no tuvieron dudas de lo que tenían que hacer y realizaron con éxito la actividad planteada a excepción de un equipo participante que realizo erróneamente su generalización. El tiempo esperado que se tenía planeado para la realización de esta actividad fue de proporcionarles diez minutos para la resolución del mismo pero se llevaron un promedio de cinco minutos. En contraste con la actividad anterior en esta solo se obtuvo la propuesta de tres estrategias diferentes.
La organización en equipos ayudó mucho a poder expresar mejor sus ideas, en esta actividad se pudo percibir mayor entusiasmo por parte de los estudiantes pues el realizar con éxito la actividad anterior sirvió como trampolín para realizar esta actividad de la mejor manera. Se destaca que realizaron mayor ruido que en la actividad anterior ya que las diferentes estrategias las transmitían de forma oral a sus compañeros de equipo.
El ambiente de instrucción favoreció a la participación de los estudiantes al pasar al pizarrón a defender sus conjeturas, inclusive un equipo planteo mal su conjetura en dicha etapa de la actividad y los demás participantes ayudaron a que se realizara de manera correcta dando apertura a una lluvia de ideas.
