Un modelo simple, el ejemplo de la moneda

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(2) Máxima Verosimilitud Fisher (1922). Verosimilitud: Probabilidad de observar un conjunto de datos, dado un modelo particular L = Pr (D|H).

(3) Máxima Verosimilitud. Un modelo simple, el ejemplo de la moneda Distribución binomial. n h nh Ph p, n     p (1  p) h h= caras p=0.5 si la moneda es honesta n= número de veces que tiro. n n!     h  h!(n  h)!.

(4) Máxima Verosimilitud. Supongamos una moneda cargada Probabilidad de cara es: 1/3. Probabilidad de seca es: 2/3.

(5) Máxima Verosimilitud Si tiro 3 veces en cada experimento, la probabilidad de obtener los distintos resultados va a estar dado por.

(6) Máxima Verosimilitud. p=0,3 y n=3. Probabilidad de que de las tres veces que tiro, salga 1 vez cara es 0,45.

(7) Máxima Verosimilitud.




(11) Máxima Verosimilitud. Tres componentes de esta aproximación:.  los datos,.  un modelo que describa la probabilidad. de observar los datos,  y un criterio de máxima verosimilitud.

(12) Estadística Bayesiana vs. Estadística clásica.

(13) Estadística Clásica o paradigma frecuentista Fisher (1920) y Neyman y Pearson (1930) Prueba de significación: p= índice que mide la fuerza de la evidencia Prueba de hipótesis: Procedimiento de elección entre hipótesis..

(14) Estadística Clásica o paradigma frecuentista La probabilidad se interpreta desde un marco hipotético en el que se pudiera repetir un experimento muchas veces en idénticas circunstancias.

(15) -Se estudia la herencia de un carácter mediante pruebas de cruzamiento. -Se comparan los resultados observados con los esperados por “bondad de ajuste”. -Si el experimento se repitiera varias veces, un X2 ≥4.25 se obtendría 39 de cada 1000 veces (p=0.039), asumiendo que la hipótesis nula de “no diferencia entre lo observado y lo esperado” fuera cierta..

(16) Críticas al paradigma clásico  Se debe tomar una decisión dicotómica  Esta decisión depende mucho del. tamaño de la muestra..

(17)  Ho: La mezcla para la reacción de PCR. da amplificación positiva con la misma tasa de éxito cuando se agrega Magnesio que cuando no se agrega.  Ha: La mezcla para la reacción de PCR no da amplificación positiva con la misma tasa de éxito cuando se agrega Magnesio que cuando no se le agrega..

(18) 2. Χ = 2,06. p=0,15.

(19) Estadística Bayesiana No sufre las críticas hechas a las pruebas de significación. Incorpora las evidencias aportadas. por experiencias previas dentro del proceso analítico y las contempla, por ende, en las conclusiones..

(20) Probabilidad Objetiva vs. Probabilidad subjetiva Objetiva: la probabilidad es el límite de frecuencias relativas (o proporciones) de eventos observables. Subjetiva: resulta de una construcción mental del investigador acerca del grado de “certeza racional” que tenga acerca de una afirmación.

(21) Estadística Bayesiana La probabilidad es una medida directa de la incertidumbre. Puede o no puede representar una frecuencia a largo plazo. La pieza fundamental de esta. metodología es el “Teorema de Bayes”.

(22) Estadística Bayesiana Pensamiento clásico: se pronuncia probabilísticamente sobre los datos a partir de supuestos. Pensamiento bayesiano: se pronuncia probabilísticamente sobre los supuestos partiendo de los datos..

(23) Estadística Bayesiana Teorema de Bayes Procedimiento para determinar cuál de varias hipótesis es más probable sobre la base de los datos.. Thomas Bayes (17011761).

(24) Estadística Bayesiana El teorema de Bayes es el puente para pasar de una probabilidad a priori o inicial, P(H), de una hipótesis H a una probabilidad a posteriori o actualizada, P(H|D), basado en una nueva observación D.. Pb a posteriori= Likelihood * Pb. a priori.

(25) Estadística Bayesiana:. Probabilidades condicionadas y deducción del Teorema de Bayes. Análogamente. (1). sustituyendo en [1]. Se llega a la expresión de la Regla de Bayes.

(26) Estadística Bayesiana:. Probabilidades condicionadas y deducción del Teorema de Bayes. Supóngase que A1, A2, ..., Ak son k sucesos mutuamente excluyentes. Por la ley de probabilidades totales se desprende que:.

(27) Estadística Bayesiana:. Probabilidades condicionadas y deducción del Teorema de Bayes. De modo que, tomando el suceso Aj en lugar de A en la fórmula [2] y aplicando al denominador la mencionada ley, se tiene:.

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(29) Estadística Bayesiana:. Ejemplo comparativo de enfoque clásico y Bayesiano θ= tasa de prevalencia de asmáticos en una población. Cual es? Enfoque clásico: intervalo de confianza N=200 11 = 0, 055 200 Z a = 1, 96 p= 1-. 2. Intervalo de confianza al 95%: I=0,023 y S=0,087..

(30) Estadística Bayesiana:. Ejemplo comparativo de enfoque clásico y Bayesiano Enfoque Bayesiano:.  Primer paso: fijar probabilidades a priori para k. valores de θ.

(31) Estadística Bayesiana:. Ejemplo comparativo de enfoque clásico y Bayesiano  La esperanza de θ será:. E(θ)=(0,05)(0,10)+(0,07)(0,20)+(0,09)(0,40)+(0,11)(0,20)+(0,13)(0,10)=0,09.

(32) Estadística Bayesiana:. Ejemplo comparativo de enfoque clásico y Bayesiano 2º paso: los datos empíricos : Sabemos que e=11 individuos de n=200 padecen de asma. 3º paso: aplicamos el teorema de Bayes:.

(33) Estadística Bayesiana:. Ejemplo comparativo de enfoque clásico y Bayesiano  Calculamos los likelihoods:.

(34) Estadística Bayesiana:. Ejemplo comparativo de enfoque clásico y Bayesiano  Para θ=0.05, el likelihood es.

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(36) Estadística Bayesiana:. Ejemplo comparativo de enfoque clásico y Bayesiano Obtuvimos una nueva esperanza para las probabilidades:. Que tiene además un menor grado de incertidumbre.

(37) Estadística Bayesiana:. Ejemplo genético-forense. ¿A cuál de los tres grupos étnicos (Caucasianos, Maorí o Polinesia occidental) pertenece el individuo cuya mancha de sangre se encontró en la escena de un crimen?.

(38) Estadística Bayesiana:. datos. Ejemplo genético-forense.  Genotipo multilocus (i.e. varios loci. microsatélite) (X1)  Frecuencias poblacionales para los alelos de los distintos loci microsatélite, para cada grupo étnico.  Porcentaje de cada grupo étnico en Nueva Zelanda.

(39) Estadística Bayesiana:. Ejemplo genético-forense. Likelihoods (P(X1|θi))  p(XI|θ1)= 3.96 x 10–9 (Causcasianos)  p(XI|θ2)= 1.18 x 10–8 (Maoríes)  y p(XI|θ3)= 1.91 x 10–7. (Polinesios occidentales). ¿Como se calcularon?.

(40) Estadística Bayesiana:. Ejemplo genético-forense. PRIORS  Θ1= 0.819  Θ2= 0.137  Θ3= 0.044. ¿DE DONDE SURGEN?.

(41) Estadística Bayesiana:. Ejemplo genético-forense. PROBABILIDADES POSTERIORES. ¿Conclusión?.

(42) Estadística Bayesiana. El paso a la continuidad  Las probabilidades a priori no son. discretas, ya que son infinitos los valores que puede tomar la variable.  Se deben usar funciones de densidad de probabilidaes (p.ej. La función beta que depende de dos parámetros, a y b).

(43) Estadística Bayesiana.

(44) Estadística Bayesiana.

(45) Estadística Bayesiana  Cuando el tamaño de la muestra es grande,. las probabilidades a posteriori o actualizadas se parecen mucho a las del likelihood, es decir que la distribución a priori tiende a ser irrelevante.  la máxima utilidad del “bayesianismo” se produce cuando los tamaños muestrales no son muy grandes..

(46) Estadística Bayesiana y MCMC ´Como se calculan las pb posteriores? En algunos casos es imposible calcularlas analíticamente. Se deben usar aproximaciones:. MCMC (Markov Chain Monte Carlo).

(47) Estadística Bayesiana y MCMC Start at an arbitrary point Make a small random move Calculate height ratio (r) of new state to old state:. 1. 2. 3.. 1. 2.. 4.. r > 1 -> new state accepted r < 1 -> new state accepted with probability r. If new state not accepted, stay in the old state. Go to step 2 2a. always accept. 1 2b. 20 %. tree 1. accept sometimes. 48 %. 32 %. tree 2. tree 3.

(48) Estadística Bayesiana y MCMC. El mecanismo por el que se llega a un nuevo estado en cada movimiento de la cadena debe cumplir con ciertos requisitos:  debe ser estocástico (dado un estado viejo, la probabilidad de llegar a un estado nuevo debe ser similar a la probabilidad de que dado un estado nuevo se llegue al viejo)  Cualquier estado debe ser accesible, si se repite infinitas veces el mecanismo.  Debe ser aperiódica (no puede repetir un determinado mecanismo cada tanto).

(49) Estadística Bayesiana y MCMC  Esta cadena se repite miles y millones de. veces.  Los movimientos pueden ser grandes o pequeños, dependiendo esto de lo establecido por el usuario (“tunning” de la cadena).  La fracción de tiempo que la cadena visita un estado particular (p.ej. un árbol particular) es una aproximación válida de la probabilidad posterior de ese estado..

(50) Estadística Bayesiana y MCMC. La cadena empieza típicamente de un punto en el espacio de parámetros que puede estar muy lejos de las probabilidades posteriores, y tomará cierto tiempo (BURN IN) hasta que la cadena alcance los probables parámetros y produzca una aproximación razonable de la distribución a posteriori (PERIODO ESTACIONARIO)..

(51) Estadística Bayesiana y MCMC stationary phase sampled with thinning (rapid mixing essential). burn-in.

(52) Glosario. Parametro  Cantidad no observable de interés. Puede incluir parámteros poblacionales, tales como frecuencias alélicas, o ubicación de un QTL, o datos faltantes, o tasa de sustitución. Parametros “ruido”  Un parámetro que es necesario para definir un problema pero que no es de interés primario. Por ejemplo, en el caso del desvío a HWE, las frecuencias alélicas son “parámetros ruido”. Espacio del parámetro.  El conjunto de todos los valores posibles de la cantidad de interés. El espacio de parámetros para las frecuencias alélicas de una población incluye todos los valores entre 0 y uno, inclusive..

(53) Glosario Dimensionalidad  Es el número de ejes en el espacio de parámetros. Por ejemplo, si estamos interesados en medir el desvió de las frecuencias del equilibrio de Hardy–Weinberg en una población con dos alelos en el locus de interés, existen dos parámetros a considerar. Uno es el de las frecuencias alélicas, y otro es el parámetro que describe el desvió del equilibrio HWE. Entonces el espacio de parámetros tiene dos dimensiones. Distribución Posterior  La distribución de las probabilidades condicionadas de las cantidades de interés no observadas (parámetros), dado los datos observados..

(54) Glosario p(u|X)  Símbolo que se refiere a la distribución posterior. Debe ser leído como “distribución condicional de mu dado los datos”, o simplemente la distribución posterior. Distribución “a priori” vaga (dispersa)  La distribución se esparce difusamente sobre el espacio del parámetro. Un ejemplo es cuando todos los posibles valores del parámetro tienen igual peso..

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(56) ¿Que es ser un bayesiano? “Un bayesiano es aquel que, tiene una vaga esperanza de que venga un caballo, y echando un vistazo a un burro, cree firmemente que ha visto una mula” “Sólo un estadístico bayesiano es capaz de explicar coherentemente la declaración: Si hay una posibilidad de 50-50 de que algo puede ir mal, entonces 9 de cada diez veces lo hará” “No se convierta en un artista, sea un Bayesiano, mucho más espacio para la imaginación!”.

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