INDICE Contenido Página UNIDAD Nº1 : Integral Indefinida Conceptos y propiedades

CÁLCULO II

VIRGINIO GOMEZ

INDICE

Contenido

Página

UNIDAD Nº1 : Integral Indefinida

Conceptos y propiedades

1

-

Reglas

de

integración 5

Integración inmediata:

- Fórmulas comunes

5

-

Para

funciones

trigonométricas

6

-

Para

funciones

trigonométricas

inversas

6

Métodos de integración:

Integracion por cambio de variables (sustitución simple):

- Definición

8

-

Caso

de

función

exponencial 8

-

Caso

de

logaritmo

natural

9

- Caso de funciones trigonométricas con argumento

10

- Caso de la regla de la cadena

11

Integracion por partes:

- Definición

18

- Resumen de algunas Integrales Por Partes Comunes.

24

Integración de Potencias de funciones trigonométricas:

27

Tipo A: Integración de Monomios Senos y Cosenos:

37

- Caso 1:Sí ó o ambos son enteros positivos impares

27

- Caso 2: Si y (ambos) son enteros pares y positivos

30

(o uno de ellos es ceros).

Tipo B: Integración de Monomios Secante y Tangente:

33

- Caso1:Si es un entero positivo par (La potencia de la

!

es par)

33

- Caso2: es un entero positivo impar (La potencia de la tangente es impar)

34

Tipo C: Integración de Monomios Cosecante y Cotangente.

38

Sustitución Trigonométrica:

- Para el integrado de la forma:

l

c "

42

- Para el integrado de la forma:

l

b "

42

-Para el integrado de la forma:

l

" c

47

Funciones Racionales:

57

- Caso 1: Los factores de

8 %

!

son todos lineales y ninguno se repite.

57

- Caso 2: Los factores de

8 %

!

son todos lineales y algunos están repetidos.

59

- Caso3: Los factores de

8 %

!

son lineales y cuadráticos de la forma

61

% b % b

. Ninguno de los factores cuadráticos se repite.

- Caso 4: Los factores de

8 %

!

son lineales y cuadráticos, y algunos

63

de los factores cuadráticos se repiten.

VIRGINIO GOMEZ

UNIDAD N°2 : Integral definida

Interpretación

de

la

integral

definida

71

Propiedades

generales

de

la

integral

definida

74

Areas

en

Coordenadas

Cartesianas

80

Areas

positivas

y

negativas

89

Areas

simples

entre

curvas

90

Volumen

de

Sólidos

en

Revolución:

103

- Método de los disco.

104

- Método de las arandelas (sólido de revolución con agujero)

106

Caso 1: Rotación en torno al eje .

%

Caso 2: Rotación en torno a un eje paralelo al

eje

%

.

-

Método de los anillos cilíndricos

114

Longitud de Arco en Coordenadas Cartesianas.

121

Area

de

superficie

en

revolución

128

Autoevaluación

132

Unidad N°3 : Ecuaciones Parámetricas y Coordenadas Polares

- Conceptos

142

-

Gráficos

y

transformaciones

142

-

Primera

y

segunda

derivada

144

-

Areas

en

coordenadas

parámetricas

154

- Longitud de arco en coordenadas paramétricas

156

Coordenadas Polares:

-

Sistema

de

Coordenadas

Polares

159

- Relación entre Coordenadas Polares y Rectangulares.

161

-

Gráfico

en

coordenadas

polares

165

-

Areas

en

coordenadas

polares 175

- Longitud de arco en coordenadas polares

183

Autoevaluación

187

Unidad N 4 : Integrales impropias

Definición

192

Caso 1: El límite de integración se hace infinito

192

-

El

limite

superior

es

infinito. 192

-

El

límite

inferior

es

infinito.

192

- El límite inferior y superior son infinitos.

193

Caso 2: El integrado se torna infinito o discontinuo ya sea en los

194

mismos limites de integración o en algún punto del intervalo entre ellos.

VIRGINIO GOMEZ

UNIDAD N°1: INTEGRAL INDEFINIDA

Conceptos y propiedades

En la misma forma en que hay funciones inversas también existen operaciones inversas. Por ejemplo en matemáticas la sustracción es la inversa de la adición, y la división es la inversa de la multiplicación.. Así el proceso inverso de la diferenciación es la integración

La integración la vamos a definir como el proceso inverso de la diferenciación. En otras palabras, si tenemos la derivada de una función, el objetivo es: "Determinar que función ha sido diferenciada para llegar a esa derivada". Por lo que el proceso de integración radica en la comprensión del proceso de la diferenciación.

Supongamos que dado un función % !, deseamos obtener su derivada, por lo que procedemos del siguiente modo:

dado

f(x)

Función Origen Función Primitiva

Función Inicial

f '(x)

Obtiene

>

@

dx f x _{Función Derivada}

% ~ % ª % ª % ~ % ~ % ~ %

% % %

! " !# Z ! ! < =

% ~ % ª % ~ % ~ % ~ %

% %

! ! ! @ A

Z

% ~ % ª % ~ % ~ % ~ %

% %

! Z ! ! " #

1

% ~ c % ª % ~ % ~ c % ~ c

b % % % b % c %

! _{@ A} Z ! ! _{@ 8 9A}

Ahora si nuestro problema es el inverso, es decir, dado una función derivada %Z _! de una cierta función, encontrar dicha función. El objetivo es determinar la función % !, la cual fue derivada (diferenciada).

VIRGINIO GOMEZ

f(x)

Función Derivada Función Primitiva Función Inicial

f '(x)

f x dx' f x

³

Función Derivada

Aplicando el

Operador Antiderivada Así por ejemplo: Dado:

Aplicando el operador antiderivada , donde

% ~ % ¦ % ~ %

Z _{! !}

%

%89~ % ¬ % !

Z

Aplicando el operador antiderivada , donde

% ~ %Z _! ¦ % ~ % _!

%4 5% ~ % ¬ % !

Z

Aplicando el operador antiderivada ,

% ~ %Z _! ¦ % ~ % _!

donde

%4 5% ~ % ¬ % !

Z

Intuitivamente podemos pensar que dado una función derivada %Z _!, podemos aplicar un proceso inverso a la derivada o mejor dicho el operador antiderivada para encontrar la función origen o primitiva que fue diferenciada.

Por lo tanto, podemos decir que:

f(x)

f'(x)

f' x dx f x

³

F un ció n D erivad a

A plica nd o el O pera dor A n tid erivad a

(IN T E G R AL ) A plica nd o el O pera dor

D E R IV A D A

VIRGINIO GOMEZ

% % ~ % ! ! Z

Utilizando la interpretación de infinitesimal podemos escribir lo anterior como:

% ~ % %" !# Z !

Definiendo la operación antiderivada de ahora en adelante como Integral, con el símbolo "operador integral" y aplicándolo a nuestra expresión anterior tenemos:

% ~" !# % %ÂZ !

Donde: % ~ ! %" !#

Luego la función primitiva u origen se puede determinar como:

; "la integral de la derivada es la función origen" % ~ ! % %Z !

A esta expresión se le conoce como la INTEGRAL INDEFINIDA. Debemos notar lo siguiente:

f x x

3

3 Función Derivada Función Primitiva Función Inicial

f x

x

f x dx' f x

³

Función Derivada

Aplicando el Operador

Antiderivada

Operador DERIVADA

d dx x x 3 2 3 ª ¬ « º ¼ » d dx x x d dx x x d dx

x _{C x}

VIRGINIO GOMEZ

Conclusión:

- Una función derivable tiene una única función derivada el reciproco tiene infinitas soluciones. - La derivada de una función tiene una familia de funciones primitivas.

-Todas las funciones que difieren entre si por una constante tienen la misma derivada.

Definición:

Si % ! es una función primitiva de %Z !. La expresión % b * ! define a la integral indefinida y representa todas las funciones primitivas que fueron diferenciadas y dan como resultado a %Z _! (única derivada). La cual se escribe como:

% % ~ % b *Z ! ! ; donde es la constante de integración (puede ser positiva o negativa)*

A esta expresión, que representa el proceso inverso de derivar, se le llama Integral Indefinida de % !.

Observación

(1) La constante de integración surge del hecho de que cualquier función de la forma % b * ! tiene derivada % ÀZ _!

(2) La constante de integración se determinará por las condiciones especificas de cada problema particular.

(3) A la cantidad % b * ! se llama integral indefinida, el nombre sugiere que no se puede asignar valor particular para la integral hasta que no se determine y se asigna un valor a * % !.

(4) La integral indefinida aun cuando se halla determinado , es una función de alguna variable y* entonces permanece indefinida.

VIRGINIO GOMEZ

Métodos de Integración

Regla de Integración.

La obtención de las reglas para integrar formas comunes consiste en determinar la función cuya derivada es una de las formas normales.

Para facilitar el trabajo damos una lista de referencia de Integrales Inmediatas que deben ser memorizadas. Pero antes veremos algunas propiedades básicas de la integración.

Propiedades:

1.La integral de una Constante: Sea la función % ~ !

% % ~ ! % ~ % b *

2.La integral de una función y una constante. Sea la función % ~ % ! !

% % ~ ! % % ~ % % ! !

3.Sea - % ~ % f % ! ! !

- % % ~ ! " % f % % ~ ! !# % % f ! % % !

Integrales Inmediatas

Formas comunes: Sean las siguientes integrales donde es una constante de integración.*

1. % ~ % b *

2. % ~ % ~ % b *

3. % % ~ % b b *; con £ c b

4. %

% ~ % % ~ O%O b *

c

5. % ~% % b *

VIRGINIO GOMEZ

7. % % ~ c % b *

8. % % ~ % b *

9. % % ~ ! % b *

10. % % ~ c ! % b *

11. % ! % % ~ % b *

12. % ! % % ~ c % b *

13. ! % % ~ c O %O b * ~ O %O b *

14. ! % % ~ O %O b *

15. % % ~ O % b ! %O b *

16. % % ~ O % c ! %O b *

17. % % ~ c % b *

18. % % ~ % b *

Para funciones trigonométricas inversas

19. _l % 6 7% 20. % 6 7%

c % ~ ( b * b % ~(! b *

Otras integrales

21. _{% b} % ~O% b O b * 22. _{% b} %% ~ O% b O b *

23. _l 8 n 9 24. ! !

!

% % b

% b ~ (! % b * % b % ~ b b *

VIRGINIO GOMEZ

1. 4% c % % 5 ~ % % c % %

~ % c% b *

2. 8c_&9& ~ & c & &c

~ & c & b *

c

c

~ & b b *

&

3. _l! ! l

! ~ ! ! ~ b * ~ ! b *

c

4. ~ ~ c !b * ~ c b *

Ejemplos propuestos.

1. 4% b % % 5 2. 4& b & b & b & 5

3. 6 b! l! c ! cc ! ! 7 4. 8 b ! 9

5. 4 c % %% l 5

Solución

1. 4% b % % ~ % b % b * 5

2. 4& b & b & b & ~5 & b& c & b & b *

3. 6 b! l ! c ! cc ! ! ~ b ! c O!O c ! ! b * 7 !

4. ₈ b ! 9 ~ c b *

VIRGINIO GOMEZ

Integración Por Cambio De Variables (Integración por sustitución)

Definición:

Este método consiste en transformar una integral dada en una integral inmediata. Para ello se utiliza una variable auxiliar y su correspondiente derivada.

¿Cuándo se utiliza?

Sea % ! una función, la cual no puede ser integrada directamente debido a su complejidad, es decir, no puede ser descompuesta en varias funciones para ser integradas en forma directa.

Para resolver este problema se utiliza una variable auxiliar y la función cambia de variable, para posteriormente ser integrada en forma directa.

x

dx

x

³

₂

Cambio de Variable: Sea

xdx

du

x

u

2

2

Ÿ

Por lo tanto: %% ~ ", redefiniendo la integral en términos de la nueva variable tenemos:"

!

%

% b % ~ " "

~ " "

~ O"O b *

Ejemplos resueltos: Integración por cambio de variables Caso de la función exponencial:

1. % Donde: " ~ c%¬ " ~ c %¬ % ~ c "

c%

c%% ~ " c "!

~ c " "

Para la variable inicial

~ c b *Â " ~ c%

"

VIRGINIO GOMEZ

Sea:" ~ &Â Entonces " ~ & ¬ " ~ &

& ~ " & "

Para la variable inicial

~ b *Â " ~ &

"

~ b *

&

Nota: Cada vez que aparezca una función exponencial como en los casos anteriores, el candidato a variable auxiliar es el exponente

3.

Sea: " ~ ¬ " ~ ¬ " ~

~ "

"

~ "

"

Para la variable inicial

~ b *Â " ~

"

~ b *

Caso del logaritmo natural:

1.

% b %

Donde " ~ % b ¬ " ~ %

% b % ~ ""

Para la variable inicial

~ O"O b *Â " ~ % b

VIRGINIO GOMEZ

Donde: " ~ & b & b " ~ & b &!

_{& b & b} & b & ~ _""

~ O"O b *Â Para la variable inicial " ~ & b & b

~ O& b & b O b *

Nota: en el caso del logaritmo natural la variable auxiliar será el denominador siempre que se cumpla con la condición "

"

Caso de funciones trigonométricas con argumento:

1. b !

Sea: " ~ b

" ~

" ~

b ! ~ ""

~ " "

~ c " b *Â Para la variable inicial " ~ b

!

~ c b b *

!

2. 4 c 5

Sea: " ~ c

" ~ "

VIRGINIO GOMEZ

4 c ~5 "" ~ ""

~ " b *Â Para la variable inicial " ~ c

~ c b *

4 5

Nota: en las funciones trigonométricas el candidato a variable auxiliar es el ángulo siempre que su derivada sea consistente con los otros términos.

Caso de la regla de la cadena:

1. 4% b % b 5 4 % b % %5

Sea: " ~ % b % b " ~ % b % %!

Entonces:

Para la variable inicial 4% b % b 5 4 % b % % ~5 !" " ~ " b *Â

" ~ % b % b

~ % b % b ! b *

2. !

!

& b

& b & &

Donde: " ~ & b &

/ Factorizando por

" ~ & b &Â!

" ~ & b &!

"

~ & b &!

!

!

& b

& b & & ~ " ~ " " "

c

~ " b *Â Para la variable inicial " ~ & b &

B C

~ & b & b *

4 5

VIRGINIO GOMEZ

1. 2. 4 b %5 % %

3. _l 4. !!

c && ! !

5. ' b 6.

' b ' b ' % % %

7. & 8. !

b && ! b !

Solución

1. ~ b *

2. 4 b % 5 % % ~ b % ! b *

3. _l

c && ~ ( & b *

4. !! !

! ! ~ ! b *

5. _{' b ' b} ' b ' ~ O' b ' b O b *

6. % % % ~ c % b *

7. &

b && ~ (! & b *

8. !

VIRGINIO GOMEZ

1. 4% c % %5 2. 8c 9&

&

3. _l! 4.

!

5. 4 ! b ! ! 5 6. 4 c ! ! !5

7. !l 8.

l

c " " " %

%

9. ! ! b !4 5 10. 4 c % b % %5

11. 12. c & &!

13. 8 % c% b % b %9 14. c ' b ' '! !

15. % b % c 16.

% %

17. ! 18. !!

19. ! 20. 4' c % b % 5

21. 22.

23. 6% cl% b c % %7 24. &

& b

25. 26.

!

l

' b

' b ' ' c ! !!

27. l% c % % 28. % %%

29. % 30. !!

% b % ! !

31. c8 9 32. & b &!

33. % b % % 34. ! b !!

VIRGINIO GOMEZ

35. 4% b % %5 36. 8& c 9&

37. % 38. _l! !

! b

39. l c % %% 40. b '_l ! '

'

41. ! 42.

! l

! b !

! b ! % b %

43. 6 %c % b %% 7 44. !

45. 46.

b ! !

!

!

47. 48. 4 5

b ' ' c !

VIRGINIO GOMEZ

³ ²% c % ³% ~ % c % b *

³ c % ~ & b b *

& &

8 9

³ ! ~ ! b *

!

l l

³ ~ c b *

³ 4 ! b ! % 5 ~ ! b ! % b *4 5

³ c ! !! ~ ! c ! b *

4 5

³ c "!l" " ~ " c "!b * °

³ % ~ % b *

%

l l

°

³ ! ! b ! ~ ! b ! b *

4 5

³ c % b % % ~ % c % b % b *

4 5

³ ~ c b *

³ c & & ~ & c & b & b *

!

³ % c % b % b % ~ % c % b % b % b *

8 9

³ c ' b ' ' ~ ' b ' c ' b *

! !

³ % b % c % ~ % b % b b *

% %

VIRGINIO GOMEZ

³ ! ~ b *

³ !! ~ b *!

³ ! ~ d db *

³ 4' c % b % 5 ~ ' % b % b % b *

³ ~ b *

³ ~ c b *

³ % c % b c % % ~ % c % b % c % b *

6 l 7 l °

³ & ~ & b b *

& b

d d

³ ' b ' ~ ' b ' b *

' b '

!

4 5

°

°

³ c ! !! ~ c c ! b *

l 4 °5

³ % c % % ~ c c % b *

l 4 °5

³ % % ~ b *

% %

³ % % ~ % c % b b *

% b

d d

³ ! ! ~ ! b *

!

! !

³ c ~ c b *

8 9 8 9

³ & b & ~ & b b *

! !

VIRGINIO GOMEZ

³ % b % % ~ % b % b b *

% b % b

l 4 5

°

³ ! b ! ~ ! b b *

!° !

°

³ % b % % ~ % b % b % b % b *

4 5

³ & c % ~ ! & c b *

8 9 8 9

³ ~ b *

³ ! ! ~ ! b b *

! b

l 4 5

°

³ c % % % ~ c c % b *

l 4 °5

³ b ' ' ~ ' b ' b ' b *

'

_l ! l

° °

³ ! b !! ~ ! b b *

! b ! b

!

³ % ~ % b b *

% b

l l

³ 6 %c % b %% 7 ~ %c b % b *%

³ ~ c b *

³ ! ~ b b *

b d d ! ! !

³ ! ~ b *

³ ' ~ c b b *

b

_' d c' d

³ c ! ~ c b *

VIRGINIO GOMEZ

Integración Por Partes.

¿Cuándo se usa?

Cuando una función % ! que no puede ser integrada por cambio de variables, la podemos resolver por partes a través de otra integra. Antes veremos una fórmula fundamental para este tipo de integración.

La regla para determinar la derivada del producto de dos funciones " % ! y # % ! es:

"# ~ "# b #"! Reordenando los términos:

"# ~ "# c #"! Aplicando el operador integral:

"# ~ "# c! #"

Tenemos:

"# ~ "# c

#"

Esta es la fórmula fundamental para la integración por parte. Esta fórmula sugiere el hecho de que cuando deseamos calcular la integral del tipo "#, podrá realizarse en función de una integral diferente del tipo: #".

Definición:

Sea " % ! una función que no puede ser integrada por cambio de variable. Para integrar esta función se puede utilizar la siguiente formula:

"# ~ "# c #"

Ejemplo aclaratorio:

La formula es

Primero se debe elegir u y dv.

La idea es dejar en la integral la más directo o

menos complicado que la integral original

dx du x

u Ÿ

³

³

³

>

_³

@

Ÿ v x v xdx xdx

dv sen cos sen

x

xd

x

VIRGINIO GOMEZ

Por fórmula tenemos:

³

udv

uv

³

vdu

_³

³

x

sen

xd

x

x

cos

x

(

cos

x

)

dx

c

x

x

x

xdx

xcox

_³

sen

cos

cos

C

x

xdx

³

cos

sen

Algunos de los casos más usuales son¢

a) En la integral aparece un factor que no tiene integral inmediata, sólo se conoce de él su derivada. Para resolverla se asigna a este factor y a lo restante" #

Ejemplos

³ % %

" ~ % # ~ %

" ~ % # ~ %

%

% % ~ % % c % %

%

~ % % c % b *

³ ( & &

" ~ ( & # ~ &

" ~ & # ~ &

c &

l

( & & ~ & ( & c &_l & c &

c & & " ~ c & ¬ " ~ c & & c &

l

VIRGINIO GOMEZ

c & & ~ " "

c &

_l c°

~ " b *

l

~l c & b *

Por lo tanto, ( & & ~ & ( & bl c & b *

³ ! ! !

" ~ ! # ~ ! !

" ~ ! # ~ !

!

! ! ! ~ ! ! c ! h !

!

~ ! !c ! !

~ ! !c ! b *

b) En la integral aparecen dos factores ambos integrables en forma inmediata o por sustitución simple y uno de ellos es una potencia de . Para esta situación es la potencia y lo restante.% " #

Ejemplos

³ % %%

" ~ % # ~ %%

" ~ % # ~

%

% % ~ % c %

% % %

~ % c b *

% %

³ ! ! !

" ~ ! # ~ ! !

" ~ ! ! # ~ c !

VIRGINIO GOMEZ

! ! ! ~ c! ! b ! ! !

" ~ ! # ~ ! !

" ~ ! # ~ !

! ! ! ~ c! ! b8! ! c ! !9

~ c! ! b! ! c ! !

~ c! ! b! ! b ! b *

³ c !

" ~ # ~ c _!

" ~ # ~ c

_!

c ! ~ c c ! c !

c ! ~ c c ! c !

" ~ # ~ c _!

" ~ # ~ c c

!

c !

~ c c c c b c

_{! ! !}

8 9

~ c b c c c

_{! ! !}

" ~ # ~ c !

" ~ # ~ c

!

c !

~ c b c c c c c

_{! ! ! !}

VIRGINIO GOMEZ

~ c b c c c b c

_{! ! ! !}

~ c b c c c c c b *

_{! ! ! !}

c) En la integral aparecen dos factores ambos integrables en forma inmediata o por sustitución simple, pero ninguno de ellos es una potencia de . Para este caso la elección de es arbitraria, pero debe% " conservarse la característica de la función elegida para en todas las integrales que deban desarrollarse por" parte en el ejercicio.

Ejemplos¢

³ % % %

Se resolverá primero considerando " ~ %

" ~ % # ~ % %

" ~ % # ~ c %

%

% % ~ c % b % %

% % %

" ~ % # ~ % %

" ~ % # ~ %

%

% % % ~ c % b% 8 % c% % %% 9

% % ~ c % b % c % %

% % % %

% % ~ c % b % ° 8 9

% % %

% % % ~ c % b% % b *%

% % % ~ %4c % b % b *% 5

Se resolverá ahora considerando " ~ %

" ~ % # ~ %%

" ~ %% # ~

%

% % ~ % c % %

VIRGINIO GOMEZ

" ~ % # ~ %%

" ~ c %% # ~

%

% % ~ % c 8 % b % %9

% % % %

% % ~ % c % c % %

% % % %

% % ~ % c % °8 9

% % %

% % % ~ % c% % b *%

% % % ~ %4c % b % b *% 5

Este ejemplo muestra que la elección de es absolutamente arbitraria."

³

" ~ # ~

" ~ c # ~ c

~ c c

~ c c

" ~ # ~

" ~ # ~

~ c c c 8 9

~ c c b

c ~ c c ° c

~ b b *

³ ~

" ~ # ~

VIRGINIO GOMEZ

~ ! c !

~ ! c 4 c 5

% ~ ! c b

~ ! b d b !d

~ 4 ! b d b ! d5b *

Resumen De Algunas Integrales Por Partes Comunes.

Si las integrales a resolver son del tipo:

Si la integral , es:

"# " #

% % % %

% % % % % %

% % % % % %

% % % % % %

% ( % % ( % % %

% (!

% %

_{% % (! % % %}

% % % %

% % % %

% % % %

% % % %

% %

% %

% %

% %

VIRGINIO GOMEZ

1. 2.

!

% % % & &

& b

&

3. ! ! ! 4. % % %

5. & && 6. ! ! !

7. ' '' 8. !

9. 10.

! 4 5

%

% b % & b &

%

&

11. ! ! c !l 12. _l ' '

b '

13. 14.

15. ( % % 16. (! % %

VIRGINIO GOMEZ

1. % % % ~ % % b% % c % % c % b *

2.

!

&

& b & ~ & b b *

& &

3. ! ! ! ~ c ! ! b ! ! b ! b *

4. % % % ~ % % c b *4 5

5. & & ~ & c b *!

& &

6. ! ! ~ ! c ! b ! c b * ! !4 5

7. ' '' ~ ' ' c b *!

8. ~! !b !b *

9.

! !

%

% b % ~ % b b *

% %

10. 4& b & ~ & c b * 5 & ! &

11. l! ! c ! ~ ! c ! ! b b *!

12. _l ' 4 5l

b '' ~ ' c ' b b ' b *

13. ~ b b *

14. ~!b O O b *

15. ( % % ~ % ( % bl c % b *

16. (! % % ~ % (! % c O b % O b *

VIRGINIO GOMEZ

Integración de Potencias de funciones trigonométricas.

¿Cuándo se usa?

Cuando las integrales son del tipo trigonométricas de la siguiente forma:

% % % ! % % % ! % % %

La integración de potencias de funciones trigonométricas requiere de técnicas especiales. Para lo cual se consideran los siguientes casos:

Tipo A: Integración de Monomios Senos y Cosenos.

% % %

En este caso se separa el factor de la potencia impar, teniendo presente la equivalencia trigonométrica de ambas funciones: % b % ~ . Se tiene dos casos:

Caso 1: Sí ó o ambos son enteros positivos impares.

Si es impar, factorizamos % % y expresamos la potencia par restante del , en potencias del usando la identidad:

% ~ c %

Si es impar, factorizamos % % y expresamos la restante potencia par de en potencias de , utilizando la identidad:

% ~ c %

Ejemplo para impar:

Para y ~ ~

Resolver:

~

Expresando la potencia del en términos del , usando la identidad trigonométrica

b ~ ¬ ~ c À

_Entonces:

~

VIRGINIO GOMEZ

~ 4 c 5

~ c

Resolviendo ambas integrales por el método de variables auxiliar.

Sea: " ~

" ~ c ¬ c " ~

Por lo tanto:

c ~ " c " c ! " c " !

~ c " " b " "

Para la variable

~ c " b " b *Â " ~

~ c b b *

Ejemplo para impar:

Resolver

En este caso la potencia impar es el , por lo tanto se debe factorizar el y expresarlo en términos del usando la identidad trigonométrica.

b ~ ¬ ~ c

Tenemos:

~

~ 4 5

~ 4 c 5

~ 4 c b 5

~ 4 c b 5

VIRGINIO GOMEZ

~ " " c " " b " "

. En términos de la variable

~ " c " b " b * " ~

~ c b b *

Ejemplo para y impares:

Resolver

En este caso se elige la menor potencia impar par transformar, es decir, se expresa la potencia del

en términos del y se usa la identidad trigonométrica

b ~ ¬ ~ c À

_Entonces:

~

~ 4 c 5

~ 4 c 5

Resolviendo ambas integrales por el método de variables auxiliar.

Sea: " ~

" ~ c ¬ c " ~

Por lo tanto:

c ~ " c " c ! " c " !

~ c " " b " "

Para la variable

~ c " b " b *Â " ~

~ c b b *

VIRGINIO GOMEZ

Caso 2: Si y (ambos) son enteros pares y positivos (o uno de ellos es ceros).

En este caso debe reducirse a potencia de primer grado, haciendo uso de las fórmulas del ángulo medio:

~ c ~ b ~

Ejemplo para par:

Resolver

~ c

~ c ~ c b *

8 9

~ c b *

Ejemplo para par:

Resolver

~ 4 5

~ b

8 9

~ b b

8 9

Usando la identidad trigonométrica: ~ b . Entonces:

_!

~ b

_!

~ b b b

~ b b b

8 9

~ b b b b *

8 9

~ b b b *

VIRGINIO GOMEZ

Resolver

~ !%

Usando la identidad trigonométrica: ~

~ !

~

8 9

~

@ A

~

Usando la identidad trigonométrica: ~ c . Entonces:

_!

~ c

_!

Por lo tanto:

% ~ c !

~ c

!

~ c

@ A

~ c b *

@ A

~ c b *

VIRGINIO GOMEZ

~ c ; ~ b

~ 8 c 98 b 9

~ c

8 9

~ c

~ c b

8 9

~ c c

~ c c b *

8 9

~ c b *

Resumen:

Sea una variable auxiliar, entonces:"

Si: " ~ ¬ " ~

Si: " ~ ¬ " ~ c

Transformación Trigonométrica: b ~

m o n Impares

Potencia del Potencia de

Seno Coseno

m:Impar n:Impar

Factorizar por: Factorizar por:

Cambiando las Cambiand potencias de:

ª

o las potencias de:

Usando: Usando

ª

~ c ~ c

VIRGINIO GOMEZ

Potencia del Seno Coseno son pares

m y n

bien m o n cero

Si m n :Par Para U

~

¢

Reducir a potencia haciendo uso de

~ sar TT:

Si m n:Par

Para

Usar TT:

~ c

~ c

~ b

~ b

£ Idem usar:

TT: Transformación trigonométrica

Para integrales del tipo: ! %!

Usar la transformación: ~ c b b

! ! ! !

Tipo B: Integración de Monomios Secante y Tangente.

!

Se tienen dos casos:

Caso1: Si es un entero positivo par (La potencia de la ! es par)

Se debe factorizar por y cambiamos las ! a !! , utilizando la identidad trigonométrica.

~ b !

Ejemplo resuelto: es par:

VIRGINIO GOMEZ

! ~ !

~ !4 5

Transformando las potencias restantes de la secante a tangente, usando la transformación trigonométrica: ~ b !

~ !4 b !5

~ !4 b !b !5

~ 4!b !b !5

Sea la variable auxiliar: " ~ !¬ " ~ . Entonces

= 4" b " b " " 5

. En términos de la variable

~ " b " b " b * " ~ !

~ ! b ! b ! b *

Caso2: es un entero positivo impar (La potencia de la tangente es impar)

En este caso se debe factorizar por ! y cambiamos las restantes potencia par de la !! !a , utilizando la identidad trigonométrica.

!~ c

Ejemplo resuelto: La potencia de la tangente es impar ( es impar).

1. !

Factorizando por !

! ~ ! !

Cambiando las restantes potencia de la tangente a secante, usando la transformación trigonométrica.

c ! ~ ¬ ! ~ c

VIRGINIO GOMEZ

! ~ ! !

~ 4 c ! %5

~ 4 c 5 !

Usando variable auxiliar: " ~ ¬ " ~ ! , en consecuencia:

~ 4" c " " 5

; en términos de la variable

~ " c " b * " ~

~ c b *

¿Qué sucede si la potencia de la secante es par ( es par) y la potencia de la tangente es

impar ( es impar)?

Ejemplo resuelto: cuando es par y es impar

Sea la siguiente integral: !

1. Resolviendo por el lado de la potencia par de la secante, se debe factorizar por , transformando las restantes potencias de la secante a tangente usando la transformación trigonometría:

c ! ~ ¬ ~ b !

! ~ !

~ !4 b !5

~ 4!b ! 5

Sea la variable auxiliar: " ~ ! ¬ " ~

~ 4" b " " 5

; en términos de la variable

~ " b " b * " ~ !

VIRGINIO GOMEZ

2. Resolviendo por el lado de la potencia impar de la tangente, se debe factorizar por ! , transformando las restantes potencias de la tangente a secante, usando la transformación trigonométrica:

c ! ~ ¦ ! ~ c

! % ~ ! !

~ 4 c 5 !

~ 4 c 5 !

Sea la variable auxiliar: " ~ ¬ " ~ !

~ 4" c " "5

; en términos de la variable

~ " c " b * " ~

~ c b *

VIRGINIO GOMEZ

Resumen:

Sea la variable auxiliar, entonces:" Si: " ~ !¬ " ~

Si: " ~ ¬ " ~ !

Transformación trigonométrica: c !~

!

Potencia de Potencia de

Tangente Secante m:impar n:par Factorizar por: Cambiando las potencias de: Usando: Fact ! ! ª

! ~ c

orizar por: Cambiando las potencias de: Usando: ª !

~ b !

Potencia de Tangente m:par y potencia de Secante

n: impar

Cambiar la Cambiar la potencia par: potencia impar

Usando: Usando:

Resolver Resolver

! ª ª !

! ~ c ~ b !

! !

! ~ ! c !

!

m n

entero positivo entero positivo

Usar TT:

~ c _c

~ c ! b Si n:par Usar TT: Si n:impar

~ !4c 5

VIRGINIO GOMEZ

Tipo C: Integración de Monomios Cosecante y Cotangente.

!

Se trabaja en forma análoga al caso anterior. Tenemos: Sea la variable auxiliar, entonces:"

Si " ~ !¦ " ~ c

Si " ~ ¦ " ~ c !

Transformación trigonométrica: c !~

!

Potencia de Potencia de

Cotangente Cosecante

m: Impar n:Par

Factorizar por: Cambiando las potencias de

Usando: !

! ª

!

~ c

ª !

~ b ! Factorizando por:

Cambiando las potencias de

Usando:

Ejemplo resuelto.

1. !

Factorizando por:

! ~ !

Cambiando las restantes potencias de ¦ !, usando la transformación trigonométrica

c ! ~ ¦ ~ b !

~ 4 b !5!

~ 4!b !5

Usando variable auxiliar: " ~ ! ¬ " ~ c

VIRGINIO GOMEZ

~ c 4" b " " 5

; en términos de

~ c " b " b * " ~ !

8 9

~ c ! c ! b *

2. !

Factorizando por: !

! ~ ! !

Cambiando las restantes potencias de !¦ , usando la transformación trigonométrica:

c ! ~ ¦ ! ~ c

~ 4 c ! 5

~ 4 c b ! 5

~ 4 c b 5 !

Usando variable auxiliar: " ~ ¬ " ~ c !

c " ~ !

~ 4" c " b " 5 c "!

~ c 4" c " b " " 5

; en términos de

~ c " c " b " b * " ~

8 9

~ c b c b *

VIRGINIO GOMEZ

1. 2.

3. _l 4.

5. _l! 6. !

7. ! 8.

9. 10.

11. 12.

VIRGINIO GOMEZ

1. ~ c b b *

2. ~ c b b *

3. _l ~ c ! b ! b *

4. ~ c b b *

5. _l! ~ ! b ! b *

c

6. ! ~ ! b! b *

7. ! ~ ! c ! b b *

8. ~ c b b *

9. ~ c b *

10. ~ c %b %c % b *

11. ~ b !b *

12. ~ b b c b *

13. % ~ c b b *

VIRGINIO GOMEZ

Sustitución Trigonométrica.

¿Cuándo se usa?

Este tipo de sustitución se usa cuando en el integrado aparecen expresiones de la forma:

l

_{c "}

l

_{b "}

l

_{" c}

Donde: y" ~ " % ! €

Generalmente se podrá simplificar la integral por sustitución trigonométrica. En la mayoría de los casos la sustitución apropiada sugerida elimina el radical y deja en condiciones de integrar.

El método de sustitución trigonométrica para resolver la integrales se simplifica si se acompaña la sustitución con un triángulo rectángulo.

Analizando cada uno de los casos tenemos los siguientes cambios de variable:

Resumen Por Sustitución Trigonométrica.

Sea: " ~ % ! y € :

Para el integrado de la forma:

Caso 1: l _{c "}

Si en el integrado aparece la expresión radical de la forma: l _{c "}

a

u

2 2 _u

a

T

c " ~ c "

~ c"

8 9

~ c "

VIRGINIO GOMEZ

Luego ~ " ¬ " ~ ¬ " ~

Al reemplazar en el radical se obtiene:

o 8 c6 7" 9 ~l c !

~l

~

Ejemplos:

À c l c % %

c % ~ c%

_{8 9}

~ c %

: 8 9 ;

~ % ¬ % ~

¬ % ~

Obs.: Si existiera más términos en función de la sustitución también tendrá que hacerse.% El triángulo que acompaña a esta expresión es el siguiente:

2 3x

2

9 4 x

T

Por lo tanto, la integral dada se resuelve de la siguiente forma:

l

q q q

p : 8 9 ;

c % % ~ c % %

VIRGINIO GOMEZ

~ c

l 8 9

~

8 9

~ Como ~ b , entonces

!

~ b

8 !9

~ b

@ A

~ b b *

8 9

Luego, de la figura podemos ver: ~ % ¬ ~ ( %

_{8 9}

~ c %

l

De la identidad tenemos: ~

l c % % ~ b b *

En consecuencia, del análisis anterior, podemos concluir que:

l 8 9 8 _9: ;

l

c % % ~ ( % b % c % b *

~ ( % b % c % b *

8 9

l

À c c % %

%

l

c % ~ c%

8 9

~ c %

8 6 79

~ % ¬ % ~

VIRGINIO GOMEZ

Por lo tanto, la integral dada se resuelve de la siguiente forma:

l _{c %} o 8 6 7 9

% % ~ % %

c %

~ c

l

!

~

~ c

~ c

~ c

~ c !d db b *

Luego, de la figura podemos ver: ~ %¬ ~

%

~ c %

l

! ~ c %

%

l

En consecuencia, del análisis anterior, podemos concluir que:

l l l

f f _{: ;}

c % c % c %

% % ~ %c % b b *

VIRGINIO GOMEZ

À c % %

c %

l

c % ~ c%

8 9

~ c %

: 8 9 ;

~ % ¬ % ~ ¬ % ~

El triángulo que acompaña a esta expresión es el siguiente:

2 3x

2

9 4 x

T

Por lo tanto, la integral dada se resuelve de la siguiente forma:

_l q

q q

p : 8 9 ;

% %

c % % ~ %

c % ~ c 8 9

l !8 9

~

8 98 9

; como

~ ~ c

!

~ c ~ c

! !

~ c ~ c b *

@ A @ A

~ c b *

VIRGINIO GOMEZ

~ % ¬ ~ ( %

_{8 9}

~ c %

l

De la identidad trigonométrica: ~ . Entonces:

l _{c %}% % ~ c b *

~ ( % c % c % b *

8 9 8 9: ;

l

~ ( % c % c % b *

8 9 l

Caso 2: Si tenemos radical de la forma l _{b "}

2 2

u

a

u

a

T

b " ~ b "

~ b" ~ b "

8 9 8 6 7 9

Por identidad trigonométrica b !~

Luego ! ~ "¬ " ~ ! ¬ " ~

Al reemplazar en el radical se obtiene:

o 8 b6 7" 9 ~l b ! !

VIRGINIO GOMEZ

À c l b % %

b % ~ b%

8 9

~ b %

r u

s :l ; v

! ~ % ¬ % ~ ! ¬ % ~

l

l l

El triángulo asociado es:

Por lo tanto:

l

q q q q p

r u

s :l ; v

b % % ~ b % %

~ b !

l _{!: ;}

l

; pero

~ b ! b ! ~

l l _{: ;}

l

~

Integral que se resuelve por partes, cuya solución es:

~ ! b O b ! O b *

VIRGINIO GOMEZ

Por lo tanto:

~ ! b O b ! O b *

Del triángulo asociado, tenemos que:

~ ¬ ~ b %

b %

l

l l

l

! ~ %

l

Por lo tanto:

l b % % ~ ! b O b ! O b *

~ b % % b b % b % b *

: ;: ;

l l

l l f l l f

~ % b % b b % b % b *

l f f

l l

À c %

b %

l

b % ~ b %

8 9

~ b %

: 8 9 ;

! ~ % ¬ % ~ ! ¬ % ~

VIRGINIO GOMEZ

_l q

q q

p : 8 9 ;

b % % ~ %

b %

pero

~ Â b ! ~

b !

l !8 9

~

~

La integral inmediata de: ~ O b ! O b * . Entonces:

_l

b %% ~

~ O b ! O b *

Del triángulo determinamos que:

~ b %

l

! ~ %

Finalmente:

l g g

l

b % %

b %% ~ b b *

~ b % b % b *

g g

VIRGINIO GOMEZ

Caso 3: l_{" c}

2 2

_a

u

u

a

" c ~ " c

~ " c

8 9

~ " c

86 7 9

Por iedentidad trigonométrica c !~ ¬ !~ c

Luego ~ "¬ " ~ ¬ " ~ !

Al reemplazar en el radical se obtiene:

o 8 6 7" c 9 ~l c !

~l !

VIRGINIO GOMEZ

À c l% c %

% c ~ % c

_{8 9}

~ % c

:8 9 ;

~% ¬ % ~ ¬ % ~ !

El triángulo que acompaña a esta expresión es el siguiente:

2 2

_a

u

a

u

4x

3

9

16

_x

T

Por lo tanto:

l

q q q

p :8 9 ;

% c % ~ % c %

~ c !

l ! 8 9

; como

~ ! c ! ~ c

l

; usando

~ ! ! ~ c

~ c

4 5

~ c

4 5

~ ! b O b ! O c O b ! O b *

8 9

~ ! c O b ! O b *

VIRGINIO GOMEZ

~ % Â ! ~ % c

l

Por lo tanto:

l% c % ~ ! c O b ! O b *

~ % % c c % b % c b *

8 9: ;

l l

g g

~ % % c c % b % c b *

l g g

l

2À c %

% c

l

% c ~ % c

8 9

~ % c

:8 9 ;

~% ¬ % ~ ¬ % ~ !

El triángulo que acompaña a esta expresión:

Por lo tanto:

_l q

q q

p :8 9 ;

% %

% c ~

% c

VIRGINIO GOMEZ

!

c

l !

como:

~ Â ! ~ c

!

c

_l

~ !

!

~

~ O b ! O b *

Del triángulo asociado, se tiene: ~ % y ! ~ % c

l

En consecuencia: _l % _g% l% c _g

% c ~ b b *

~ % b % c b *

g g

VIRGINIO GOMEZ

1. 2.

l

l

c %

% % % b %

3. _l% 4. _l %

% % c % c

5. 6.

! l

% %

c % % b %

7. _l 8.

l

% c %

% c % % %

9. _l% 10. c % !

% b % % %

11. _l 12.

!

% %

% c % % % c % b

13. 14.

!

l

% c %

c % % %

15. _l 16.

!

% %

VIRGINIO GOMEZ

1.

l _{c %} l _{c % %}

% % ~ c % c ( b *

2. l l _{g g}

l l

% b % ~ % % b b % b b % b *

3. _l

l

% % % c

% % c ~ ( b % b *

4. _l % _g% l% c _g

% c ~ b b *

5.

! l

% %

c % ~ c % b *

6. _l

l

% b %

% b % ~ c % b *

7. _l % l l

% c % ~ % % c b O% b % c O b *

8.

l l

g g l

c % c c %

% % ~ % b c % b *

9. _{l g g}

l

% b % c

% b % ~ % b *

10. c % ! c % !

% % ~ c % b *

11. _l % ! !l

% c % % ~ ( % c c % b % c % b *

12.

! l

% % c

% c % b ~ c % c % b b *

13.

! l

% %

c % ~ c % b *

14.

l l

g g l

c % c c %

% % ~ % b c % b *

15. _l % e l e

% c % b ~ % c b % c % b b *

16.

! l

% % c

VIRGINIO GOMEZ

Funciones Racionales

¿Cuándo se utiliza?

Para integrar cualquier función racional del tipo 7 % , cuando y son polinomios de

8 % 7 % 8 %

!

! ! !

grado y respectivamente.

Sea la siguiente integral formada por la función racional 7 % (El cuociente de dos polinomios 8 %

! ! en la variable )%

_{8 %}7 % ! _!% ~ _{% b} % b % c_% b h h h b % b _{b h h h b % b} %

c

c

c

Donde:

es el grado de

7 % !

es el grado de

8 % !

Si el grado de 7 % ‚ 8 % ! !, es decir ‚ , entonces debe realizarse la división de polinomios (división sintética) cuyo cuociente * % ! es de integración inmediata y cuyo resto R !% se descompone mediante .Fracciones Parciales

! !

! ! !

7 % 9 %

8 % % ~ * % % b 8 % %

Por lo tanto va a interesar la integración de funciones de la forma: 9 %_{8 %} ! _!%. Para lo cual debemos descomponer la función de la forma en fracciones parciales.

Después de que 8 % ! ha sido factorizado en productos de factores lineales y cuadráticos, el método para determinar fracciones parciales depende de la naturaleza de dichos factores.

Considerando varios casos por separado, tenemos:

Caso 1:

Los factores de 8 % ! son todos lineales y ninguno se repite.

7 % 7 %

8 % ~ % b % b h h h % b

! !

! ! ! !

En este caso la fracción parcial a escribir es:

7 % ( ( ( (

8 % ~ % b b % b b % b b h h h b % b

!

! ! ! ! !

VIRGINIO GOMEZ

_{% b % c} % b %

Factorizando el denominador:

% b % c ~ % b % c _{! !}

% b % b

% b % c ~ % b % c _{! !}

Planteando la fracción parcial correspondiente:

% b ( )

% b % c ! ! ~ % b b% c

Donde los valores de y han de calcularse de forma tal que la igualdad sea valida para todo ( ) % sacando factor comun,

% b ( ) ( % c b ) % b

% b % c ! ! ~ % b b% c ~ % b % c ! !

! !

llegamos a la ecuación básica siguiente:

% b ~ ( % c b ) % b ! !

% b ~ ( b ) % b c ( b )! !

Podemos determinar las constantes de dos maneras:

Consiste en igual los coeficientes de potencias identicas de y resolver

1. Método general: %

Sea: % b ~ ( b ) % b c ( b )! !

  ( b ) ~

c ( b ) ~

Resolviendo: ( ~ Â ) ~

Dado que la identidad es valida para todo , tenemos:

2. Método Abreviado: %

% b ~ ( % c b ) % b ! !

Evaluando para:

% ~ ¬ b ~ ( c b ) b ! ! !

~ )

VIRGINIO GOMEZ

% ~ c ¬ c b ~ ( c c b ) c b ! ! !

c ~ c (

( ~

Por lo tanto: ( ~ y ) ~

Por cualquiera de los métodos tenemos:

% b

% b % c ! ! ~ % b !b % c !

Entonces:

_{% b % c} % b _{! !}% ~ _{% b !}% b _{% c !}%

~ % b %

% b % c

! !

~ O% b O b O% c O b *

:

Caso 2

Los factores de 8 % ! son todos lineales y algunos están repetidos. Supongamos que el factor b ! es un factor que se repite veces.

7 % 7 %

8 % ~ _{% b}

! !

! _!

a este factor le corresponde la suma de fracciones parciales dada por:

7 % ( ( ( (

8 % ~ % b b % b b % b b h h h b % b

!

! ! ! ! !

Donde: ( Á ( Á ÀÀÀÀÀÁ ( son constantes que se van a determinar.

Ejemplos resueltos

!

% b % b

% c %

% b % b ( ) *

~ b b

VIRGINIO GOMEZ

~ ( % c b ) % c b *

% c

! !

!

% b % b ~ ( % c b ) % c b * ÀÀÀ ! ! !

Desarrollando:

% b % b ~ ( % c % b b ) % c b * _{! !}

% b % b ~ ( % b c ( b ) % b ( c ) b * _{! ! !} ÀÀÀ _!

1. Método abreviado:

Sea: % b % b ~ ( % c b ) % c b * ! !

Para % ~ ¬ b b ~ ( c b ) c b * ! ! ! !

b b ~ b b *

* ~

Para % ~ ¬ ! b b ~ ( c b ) c b ! ! !

~ ( c ) b

( c ) ~ c

Para % ~ ¬ b b ~ ( c b ) c b ! ! ! !

b b ~ ( c ) b

( c ) ~ c

  ( c ) ~ c

( c ) ~ c

Resolviendo: ( ~ Â ) ~ Â * ~

2. Método General:

Sea: % b % b ~ ( % b c ( b ) % b ( c ) b * _{! ! !} Igualando los coeficientes de potencias identicas, tenemos:

( ~

c ( b ) ~ ( c ) b * ~

VIRGINIO GOMEZ

% b % b

% c ~ % c b % c b % c

! ! !

Entonces:

! ! !

% b % b

% c % ~ % c % b % c % b % c %

~ % c c c b *

% c % c

d d

!

Caso 3:

Los factores de 8 % ! son lineales y cuadráticos de la forma % b % b . Ninguno de los factores cuadráticos se repite.

Por cada factor cuadrático no factorizable y que no se repite, le corresponde la fracción parcial dada por:

(% b ) % b % b

Ejemplo resuelto:

_{% b % b % b !} % b _!%

% b ( )% b *

% b % b % b ! ! ~ % b b% b % b

~( % b % b b )% b * % b

% b % b % b

! ! !

! !

La ecuación básica es:

% b ~ ( % b % b b )% b * % b ! ! ! ÀÀÀ !

% b ~ ( b ) % b ( b ) b * % b ( b *! ! ! ÀÀÀ !

1. Método general:

Sea: % b ~ ( b ) % b ( b ) b * % b ( b *! ! !

  ( b ) ~

VIRGINIO GOMEZ

( ~ c ) ~  * ~

2. Método abreviado:

Sea: % b ~ ( % b % b b )% b * % b ! ! !

Para: % ~ c ¬ c b ~ (! 4 c b c b b ) c b *! ! 5 ! ! c b !

c ~ ( ¦ ( ~ c

Para: % ~ ¬ b ~ ( b b b ) b * b ! 4 ! ! 5 ! ! !

~ ( b *

~ cb * ¦ * ~

Para: % ~ ¬ b ~ ( b b b ) b * b ! 4 ! ! 5 ! ! !

~ ( b ) b *

~ c b ) b ¦ ) ~

8 9 8 9

Por lo tanto: ( ~ c ) ~  * ~

Tenemos: % b

% b % b % b ~ % b b% b % b

c % b

! !

% b % b

% b % b % b ! ! ~ c % b !b % b % b !

Luego:

! !

% b % b

% b % b % b ~ c % b % b % b % b %

~ c O% b O b % b %

% b % b

~ c % b b (! % b b % b % b b *

d d l : l ; 4 5