Antes de empezar a realizar operaciones con números naturales recuerda las siguientes nor- mas que debes seguir para hacer estas operaciones:

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NÚMEROS NATURALES

Los números naturales son los que sirven para contar.

Los números naturales se representan de menor a mayor en la recta real del siguiente modo:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Antes de empezar a realizar operaciones con números naturales recuerda las siguientes

nor-mas que debes seguir para hacer estas operaciones

:

1.- SI NO HAY PARENTESIS, EL ORDEN DE PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES ES:

1.- Potencias

2.- Productos y cocientes 3.- Sumas y restas

2.- LAS OPERACIONES CON LA MISMA PRIORIDAD SE REALIZAN EN EL MISMO ORDEN EN QUE APARECEN

3.- SI HAY PARENTESIS, SE REALIZAN PRIMERO LAS OPERACIONES CONTENIDAS EN ELLOS SIGUIENDO LAS REGLAS ANTERIORES, EMPEZANDO SIEMPRE POR EL MÁS INTERNO.

(3)

EJERCICIOS NIVEL 1

Efectuar las siguientes operaciones: 1.- 3 · 5 - 7 =

2.- 16 : 4 + 7 =

3.- 25 : 5 + 2 =

4.- 2 · 5 - 3 =

5.- 14 : 2 + 5 =

6.- 12 - 4 : 4 =

8.- 4 + 3 · 2 =

9.- 3 · 5 + 4 =

10.- 18 - 15 : 3 =

11.- 5 · 3 - 5 =

12.- 12 + 4 : 2 =

(4)

15.- 3 · 8 - 4 =

16.- 12 - 2 · 4 =

17.- 6 + 3 : 3 =

18.- 14 - 4 · 2 =

19.- 2 · 9 - 8 =

20.- 15 - 6 : 3 =

23.- 24 - 8 : 2 =

24.- 10 : 2 + 3 =

25.- 23 - 3 · 2 =

26.- 18 : 9 + 3 =

27.- 12 - 6 : 3 =

(5)

EJERCICIOS NIVEL2

Efectuar las siguientes operaciones:

1.- 3 · (7 - 4) · 2 =

2.- 16 : 4 + 7 · 3 =

3.- 25 : 5 - 2 · 2 =

4.- ( 2 · 5 - 3 ) + 4 =

5.- 34 : 2 - 5 · 3 =

6.- ( 12 - 4 ) : 4 + 3 =

8.- ( 6 · 3 - 8 · 2 ) · 5 =

9.- 3 · 5 + 4 · 8 - 18 : 3 =

10.- ( 15 - 6 ) : 3 + 5 · 2 =

11.- 5 · 3 + 2 - 7 · 2 =

12.- 12 – 4 : 4 + 3 =

(6)

15.- 3 · 8 - 4 + 21 : 3 =

16.- ( 8 - 2 ) : 3 + 2 · 5 =

17.- 5 · ( 9 - 6 ) - 4 =

18.- 2 · 15 - 3 · 8 =

19.- 14 : (2 + 5) + 6 =

20.- 12 - 4 : 4 + 6 : 3 =

22.- (4 + 3) · 2 - 3 · 4=

23.- 3 · (5 + 4) : 9 =

24.- 18 - 15 : 3 - 3 · 2 =

25.- 5 · 3 - 5 · 2 + 4 =

26.- 3 + 5 · 5 - 2 · 8 =

(7)

EJERCICIOS NIVEL3

Efectuar las siguientes operaciones: 1.- 5 · ( 9 - 6 ) - ( 2 · 5 - 4 ) =

2.- ( 5 - 3 )·( 2 · 3 - 4 ) + 8 =

3.- ( 18 – 4 ) : 7 + 9 – 3 · 2 =

5.- ( 8 - 2 ) : 3 + 2 · ( 5 - 3 ) =

6.- ( 54 : 6 + 7 ) : 8 + 2 · 5 =

(8)

10.- 3 + 3 · 2 + ( 6 · 2 - 8 ) : 4 =

11.- 3 · 2 + ( 3 · 4 + 4 ) : 8 - 2 =

12.- 10 · 3 - 4 · 5 + ( 16 - 2 · 3 ) : 5 =

13.- [( 12 - 4) : 4 + 3 · 4 ] : 7 - 1 =

15.- [3 + (6 · 5 - 3 · 7)] : 6 + 8 : 4 + 6 =

16.- 20 - [ 3 + 3 · 2 + ( 6 · 2 - 8) : 4] =

17.- [4 + 5 · ( 4 - 2)] : 7 + 3 · (2 + 2 · 3) =

(9)

20.- 17 - (12 - 45 : ( 6 · 2 + 3))

21.- 32 - 4 · 7 + 2 · ( 1 + 3 ) =

22.- 25 + 3 · ( 1 + 2 ) - ( 10 - 3 · 2 ) · 3 =

23.- [ 5 + ( 3 · 4 - 6) ]· 3 - 3 ·9 =

24.- 50 - 4 · ( 5 · 5 - 3 · 5 ) + 2 · 4 =

(10)

PROBLEMAS

Para resolver un problema correctamente debes seguir siempre una

serie de pasos que te ayuden a no cometer errores:

1.-

Lee con detenimiento el enunciado hasta que comprendas

perfectamente lo que se te pide en el problema.

2.-

Escribe los datos que nos de el enunciado del problema

(recuerda que siempre que escribas un número, debes poner las

uni-dades en que se mide)

3.-

Escribe cuáles son las operaciones que debes realizar para su

resolución.

4.-

Resuelve

el

problema.

EJEMPLO:

Se reparten 150 cromos en 5 álbumes. ¿Cuántos cromos caben en

cada

álbum?

DATOS:

150

cromos

se reparten en 5 álbumes

(11)

PROBLEMAS NIVEL 1

1.- Se reparten 260 bombones en 13 bolsas. ¿Cuántos bombones caben en cada bolsa?

2.- Antonio ha estado haciendo ejercicio durante una semana. Si ha corrido en total 35 km, ¿cuántos kilóme-tros ha corrido diariamente?

(12)

4.- Alfonso ha comprado 15 bolsas de cromos, cada bolsa tiene 6 cromos.¿Cuántos cromos ha comprado en total?

5.- A Laura le dan 32 € de asignación mensual para sus gastos. Si sale 8 días al mes, ¿Cuánto dinero se puede gastar cada día que sale?

(13)

8.- Un alumno de 1º de ESO debe dedicar al estudio una media de 10 horas semanales de estudio como míni-mo para poder sacar buenos resultados. Si descansa los fines de semana, ¿cuántas horas diarias dedica al estudio?

9.- Durante la época de exámenes, Victoria ha dedicado 4 horas de estudio diarias en 1º de Eso. ¿Cuántas horas ha estudiado en los últimos 12 días?

(14)

PROBLEMAS NIVEL 2

1.- Una furgoneta transporta 25 cajas de naranjas. En 12 de las cajas lleva 12 kg en cada una, y en el resto lle-va 15 Kg en cada una. ¿Cuántos kilos de naranjas llelle-va en total la furgoneta?

2.- María y Antonio trabajan en una granja. Hoy María ha recogido 45 bandejas de huevos y Antonio 42. Si en una bandeja caben 30 huevos. ¿Cuántos huevos ha recogido cada uno? Y ¿entre los dos?

3.- Un alumno de 1º de eso compra los siguientes materiales escolares para cinco compañeros: 10 cuadernos a 2€ cada uno

5 estuches a 4 € cada uno 5 carpetas a 2€ cada uno

(15)

4.- Seis amigos salen un viernes por la tarde. Entre los seis se gastan 30 € en ir al cine, 30 € en comer y 6€ en chucherías. ¿Cuánto dinero han gastado en total? ¿Cuánto se ha gastado cada uno?

5.- Reflexiona y contesta:

a) ¿Cuántas monedas de 20 céntimos hacen 5 euros?

b) ¿Cuántas monedas de 5 céntimos te cambian por una de 2 euros?

c) ¿Cuántas monedas de 50 céntimos te cambian por un billete de 10 euros?

(16)

8.- Nerea gastó el mes pasado 24 € saliendo 8 días, si en este va a salir 5 días y gasta diariamente lo mismo que el mes pasado. ¿Cuánto gastará en total durante este mes?

9.- Un almacenista de fruta compra las manzanas a 22 € la caja y las vende a 2 €/kg. Sabiendo que una caja contiene 15 kg, ¿cuántas cajas ha de vender para ganar 600 €?

(17)

PROBLEMAS NIVEL 3

1.- Los 25 alumnos de 1º de ESO D realizan una excursión a Mérida para ver los monumentos romanos. El autobús cuesta 150 €. Cada alumno se gasta 2€ en un bocadillo y una lata de refresco. La entrada a los monumentos cuesta 9€. Si el Instituto ayuda con 125€.¿Cuánto se gasta cada alumno? ¿Cuánto ha costado la excursión sin la ayuda del instituto?

(18)

3.- En una urbanización viven 4500 personas y hay un árbol por cada 90 habitantes. ¿Cuántos árboles hay en la urbanización? ¿Cuántos árboles habrá que plantar para tener un árbol por cada 12 personas?

(19)
(20)

JUEGO DEL MATGRAM

Recorta las piezas, resuelve los ejercicios que hay en ellas, únelas con las soluciones e intenta conseguir la figura:

(21)

POTENCIAS DE NÚMEROS NATURALES

Definición de potencia :

a

n =

a·a·a· ··· a

n veces

an se lee a elevado a n

n es un número que se llama :

a es un número que se llama : EXPONENTE BASE

Una potencia es una multiplicación en la que todos los factores son

igua-les. La base es el factor que se repite y el exponente es el número de veces

que se repite.

5

3

= 5 · 5 · 5 = 125

5 es la base

3 es el exponente

Se lee:

cinco elevado a 3

El producto de potencias de la misma base es otra potencia que tiene la misma base y por exponente la suma de los exponentes:

a

n

· a

m

= a

n + m

(22)

El resultado de elevar una potencia a otro exponente es otra potencia cuya base esla misma y su expo-nente es el producto de los expoexpo-nentes:

El producto de potencias con distinta base e igual exponente es otra potencia cuya base es el producto de las bases y su exponente es el mismo.

2

3

· 3

3

= ( 2 · 3 )

3

= 6

3

= 6 · 6 · 6 = 216

El cociente de potencias con distinta base e igual exponente es otra potencia cuya base es el cociente de las bases y su exponente es el mismo.

( )

2

3 2

=

2

3·2

=

2

6

=

2

·

2

·

2

·

2

·

2

·

2

=

64

( )

m

n

m

·

n

a

a

=

( )

n

n

n

b

·

a

b

·

(23)

1.-

Calcular las siguientes potencias:

a) 2

3

=

b)

3

2

=

c)

5

2

=

d)

4

3

=

e)

2

5

=

f)

3

4

=

POTENCIAS NIVEL 1

2.-

Calcula los siguientes productos de potencias de números naturales:

a)

2

2

· 2

4

=

b)

7

8

· 7

6

=

c)

5

9

· 5

2

=

d)

4

6

· 4

3

=

(24)

3.-

Calcula las siguientes divisiones de potencias de números naturales:

a)

4

7

: 4

2

=

b)

5

5

: 5

2

=

c)

6

8

: 6

6

=

d)

2

9

: 2

4

=

e)

3

6

: 3

3

=

f)

7

12

: 7

9

g)

2

7

: 2

2

=

h)

5

9

: 5

5

4.-

Calcula las siguientes potencias de potencias de números naturales:

a)

( )

=

b)

4 3

3

( )

25 4 =

(25)

5.-

Calcula:

a)

2

6

· 3

6

=

d)

4

5

· 5

5

=

b)

6

7

· 5

7

=

e)

9

3

· 2

3

=

c)

6

7

· 3

7

=

f)

8

6

· 3

6

=

6.- Calcula:

a)

10

6

: 2

6

d)

12

5

: 4

5

(26)

POTENCIAS NIVEL 2

1.- Resolver los siguientes ejercicios combinados:

a) 38 : 33 · 32 b) 43 · 44 · 42

c) 27 : 25 · 24 d) 53 · 54 : 52

e) 97 : 95 · 93 f) 105 · 104 : 103

2.- Resolver los siguientes ejercicios combinados:

a) 68 : 38 · 22 b) 43 · 44 : 27

(27)

3.- Resolver los siguientes ejercicios combinados:

a) (35 : 33 )2 · 32 b) 43 · 23 : 82

c) (23 )7 : 215 d) (53 · 54 )2 : 512

e) 35 · (32 ) 3 f) (103 ) 5 : 515

4.- Resolver los siguientes ejercicios combinados:

a) (53 · 43 ) : 23 b) 43 · 44 : 48

(28)

POTENCIAS NIVEL 3

1.- Resolver los siguientes ejercicios combinados:

a) (38 : 33 ) · (37 : 35 ) b) 43 · 44 · 27

c) (67 : 27 ) · (94 : 34) d) (53 · 23 : 53) · 24

(29)

2.- Resolver los siguientes ejercicios combinados:

a) (53 · 43 ) : ( 25 : 22) b) (43 · 44 )2 : 214

c) (27 : 25 · 32) : 62 d) 153 : (53 · 33)

(30)

RAÍCES CUADRADAS DE NÚMEROS NATURALES

D

EFINICIÓN :

Que se lee: Raíz cadrada de a es igual a b si b elevado al cuadrado es igual a a

* a es el radicando

* es el radical

* b es la raíz

¿Qué número al elevarlo al cuadrado da 4?

( .... )2 = 4

Entonces escribimos que La raíz cuadrada de 4 es 2 .

a

b

si

b

a

=

2

=

(31)
(32)

2.- Busca el valor de a en cada caso:

a) a2 = 64 b) a2 = 100

c) a2 = 144 d) a2 = 400

e) a2 = 225 f) a2 = 10000

g) a2 = 625 h) a2 = 900

i) a2 = 25 j) a2 = 1600

3.- Calcula, en cada caso, el valor de m:

a) b)

c) d)

5

m = m = 8

9

m = m = 7

(33)
(34)

Divisibilidad

Divisores de un número:

Un número a es divisor de otro número b si al dividir este último por el primero resulta división exacta, es decir, con resto cero.

Múltiplos de un número:

Un número a es múltiplo de otro b si al dividir a entre b resulta una división exacta.

Criterios de divisibilidad:

Vamos a ver a continuación unos criterios para saber cuando un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división.

1.− Un número es divisible por 2 si termina en 0 o en cifra par

2.− Un número es divisible por 3 si la suma de los valores de sus cifras es múltiplo de 3

3.− Un número es divisible por 4 si las dos últimas cifras son 0 o múltiplos de 4

4.− Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5

(35)

EJERCICIOS PARA TODOS LOS NIVELES

1.- Escribe los 10 primeros múltiplos de 2

2.- Escribe los 10 primeros múltiplos de 3

3.- Escribe los 10 primeros múltiplos de 4

4.- Escribe los 10 primeros múltiplos de 5

5.- Escribe los 10 primeros múltiplos de 6

6.- Escribe los 10 primeros múltiplos de 7

(36)

¿ ES DIVISIBLE POR:?

Número 2 3 4 5 6 7 8 9 10

25 no no no si no no no no no

120

135

49

154

330

180

432

525

342

1000

1008

(37)

Números Primos

UN NÚMERO ES PRIMO SI SÓLO TIENE DOS DIVISORES : EL PROPIO NÚMERO Y EL 1. EN CA-SO CONTRARIO, EL NÚMERO SE LLAMA COMPUESTO.

UN NÚMERO COMPUESTO SE PUEDE EXPRESAR COMO UN PRODUCTO DE DOS O MÁS NÚME-ROS PRIMOS

Ejemplo: el 17 es un número primo, porque sus divisores son el 1 y el 17

el 31 es un número primo, porque sus divisores son el 1 y el 31

el 15 es un número compuesto, prque sus divisores son el 1, el 3, el 5 y el 15 además se puede expresar como 15 = 3 · 5

OBTENCIÓN DE LOS NÚMEROS PRIMOS

CRIBA DE ERATÓSTENES:

(38)

1.- Construye la tabla de los números primos menores que 200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160

La criba de Eratóstenes : 1.- Tacha todos los múltiplos de 2

2.- Tacha todos los múltiplos de 3

3.- Tacha todos los múltiplos de 5

4.- Tacha todos los múltiplos de 7

5.- Tacha todos los múltiplos de 11

6.- Tacha todos los múltiplos de 13

7.- Tacha todos los múltiplos de 17

8.- Tacha todos los múltiplos de 19

(39)

2.- Indica si los siguientes números son primos o compuestos. Indica todos sus divisores

2 3 4

5 6 7

8 9 10

12 13 15

17 22 25

27 29 30

31 33 35

37 38 40

(40)

Descomposición en factores primos

La descomposición de un número en factores primos consiste en transformarlo

en un producto de forma que los factores que lo componen sean números primos

.

El método consiste en dividir el número por el primer número primo que sea divisor suyo, haremos lo mis-mo con los sucesivos restos de las divisiones hasta que el últimis-mo resto sea cero.

por ejemplo:

60

30

15

5

1

2

2

3

5

(41)

Ejercicios

NIVEL 1

1.- Halla las descomposiciones en factores primos de los siguientes números:

18

18 = ...

14 = ...

24

24 = ...

27

27 = ...

14

30

30 = ...

15 = ...

50

50 = ...

20

20 = ...

15

(42)

Ejercicios

NIVEL 2

1.- Halla las descomposiciones en factores primos de los siguientes números:

189

189 = ...

270 = ...

144

144 = ...

400

400 = ...

270

252

252 = ...

140 = ...

540

540 = ...

750

750 = ...

140

(43)

Ejercicios

NIVEL 3

1.- Halla las descomposiciones en factores primos de los siguientes números:

498

498 = ...

2052 = ...

3196

3196 = ...

1404

1404 = ...

2052

6050

6050 = ...

1480 = ...

1400

1400 = ...

2700

2700 = ...

1480

(44)

Máximo común divisor (m.c.d. )

Para

hallar

el

máximo común divisor ( m.c.d. )

de dos o más números se descomponen en

facto-res primos los números dados y, a continuación, se toma el producto de los factofacto-res primos comunes con

su menor exponente.

Ejemplo: Calcular el

m.c.d

. de 1225 y 490.

1225 = 5

2

· 7

2

; 490 = 2 · 5 · 7

2

m.c.d. (1225 y 490 )

= 5 · 7

2

= 5 · 49 = 245

Mínimo común múltiplo (m.c.m. )

Para

hallar

el

mínimo común múltiplo ( m.c.m. )

de dos o más números se descomponen en

fac-tores primos los números dados y, a continuación, se toma el producto de los facfac-tores primos comunes y

no comunes con su mayor exponente.

(45)

EJERCICIOS NIVEL 1

1.- Busca los 8 primeros múltiplos de cada pareja de números y después selecciona el múltiplo común más pequeño de ambos.

a) 5 y 10 b) 4 y 6 c) 6 y 9

d) 3 y 8 e) 5 y 8 f) 2 y 8

g) 8 y 10 h) 6 y 8 i) 5 y 6

2.- Busca todos los divisores de las siguientes parejas de números y después selecciona el mayor de los divisores comunes.

(46)

EJERCICIOS NIVEL 2

1.- Hallar el mínimo común múltiplo de los siguientes números: a) 36 y 80

3 6 8 0 36 = ... 80 ...

b) 42 y 70

42 = ... 70 = ...

m.c.m. ( 42 y 70 ) = ...

4 2 7 0

c) 120 y 48

120 = ... 48 = ...

m.c.m. ( 120 y 48 ) = ...

(47)

e) 40 y 60

40 = ...

60 = ...

m.c.m. ( 40 y 60 ) = ...

4 0

6 0

f) 50 y 70

50 = ...

70 = ...

m.c.m. ( 50 y 70 ) = ...

5 0

7 0

g) 18 y 28

18 = ... 28 = ...

m.c.m. ( 18 y 28 ) = ...

(48)

EJERCICIOS NIVEL 3

1.- Hallar el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los siguientes números: a) 250 y 650

250 = ...

650 ...

m.c.m. ( 250 y 650 ) = ...

m.c.d. ( 250 y 650 ) = ...

2 5 0

6 5 0

b) 426 y 750

426 = ...

750 = ...

m.c.m. ( 426 y 750 ) = ...

m.c.d. ( 426 y 750 ) = ...

4 2 6

7 5 0

c) 540 y 620

540 = ...

620 = ...

m.c.m. ( 540 y 620 ) = ... m.c.d. ( 540 y 620 ) = ...

(49)

e) 400 y 600

400 = ... 600 = ...

m.c.m. ( 400 y 600 ) = ... m.c.d. ( 400 y 600 ) = ...

4 0 0

6 0 0

f) 500 y 700

500 = ... 700 = ...

m.c.m. ( 500 y 700 ) = ... m.c.d. (500 y 700 ) = ...

5 0 0

7 0 0

g) 186 y 288

1750 = ... 2205 = ...

m.c.m. ( 1750 y 2205 ) = ... m.c.d. (1750 y 2205 ) = ...

1 7 5 0

2 2 0 5

(50)

PROBLEMAS NIVEL 1

Problema 1.- Si tengo 240€, ¿cuánto dinero puedo pagar con sólo billetes de 50€, sin que me den vuelta? Explica la respuesta

Problema 2.- En una huevería se venden los huevos en cajas de medias docenas. ¿Se podrían comprar exactamente 35 huevos? ¿Y 42 huevos? Explica la respuesta.

(51)

Problema 4.- Virginia tiene 105 monedas. ¿Podría repartir el mismo número de monedas en 2 huchas? ¿ Y en 3? ¿Y en 4? ¿Y en 5? Explica la respuesta.

Problema 5.- Si Alberto puede repartir sus canicas sin que le sobre ninguna en bolsas de 6 y en bolsas de 9. ¿cuántas canicas tiene si el número es menor de 50?

(52)

PROBLEMAS NIVEL 2

Problema 1.- Juan tarda 20 minutos en dar una vuelta en bicicleta a su barrio y Pedro tarad 25 minutos. Si salen a la vez. ¿Cuánto tiempo tardarán en encontrarse?

Problema 2.- María va al cine cada 9 días y su hermana Elena cada 15 días. Si hoy van juntas. ¿cuándo volverán a coincidir?

Problema 3.- Se dispone de una varilla recta de 8 cm y una varilla recta de 12 cm. ¿Cuál es la menor longitud que se puede medir con ambas varillas?

(53)

Problema 4.- En un camino de 50 metros se instalaron postes de luz cada 10 metros, y postes de teléfono cada 5 metros. ¿En el camino en cuestión, existen postes que puedan ser usados para ambas cosas? Explica la respuesta.

Problema 5.- Juan tiene menos de 35 años, y su edad es divisible por 2, por 3 y por 8. ¿Cuál es la edad de Juan?

(54)

PROBLEMAS NIVEL 3

Problema 1.- Se tienen 12 bombones y 18 pasteles. ¿Cuál es el mayor número de cajas con pasteles y bombones que se pueden rellenar, si todas las cajas deben tener el mismo número de bombones y el mismo número de pasteles y se empaquetan todos los dulces?

Problema 2.- ¿Cuántos conejos tengo que añadir a los 123 que ya tengo para poder distribuirlos en jaulas de 9 co-nejos cada una?

(55)

Problema 4.- En una granja hay 512 cerdos, y en otra 379. Se han vendido todos y se quieren utilizar para el transporte camiones iguales. ¿Podemos utilizar 9 camiones? ¿ y 11?

Problema 5.- Se desea dividir un terreno rectangular, de 120 m de ancho por 180 m de largo, en parcelas cuadradas que sean lo más grandes posible. ¿Cuánto debe medir el lado de cada parcela?

(56)
(57)
(58)

Números Enteros

Los números -1, -2, -3, ... se llaman números enteros negativos y los números 1, 2, 3, .... son los números enteros positivos

Los números enteros surgen de la necesidad de definir nuevas situaciones que con los números naturales no se pueden describir, como bajar al segundo sótano de un edificio, deber una cantidad de dinero, etc.

Los números enteros se representan de menor a mayor en la recta real del siguiente modo:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Antes de empezar a trabajar con números enteros debes tener en cuenta todo lo siguiente:

Valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta si prescindimos del signo del número entero. El valor absoluto nos da la cantidad que representa el número, independientemente de su signo.

Ejemplo: valor absoluto de + 7 = | + 7 | = 7

valor absoluto de - 7 = | - 7 | = 7

Para hacer operaciones con números enteros, aprenderemos a quitar los paréntesis que acompañan a estos números:

Si un número entero tiene delante un signo +, se quita el paréntesis y se mantiene su signo:

+ ( + 3) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + 3

(59)

Suma de números enteros:

Si los sumandos tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

( + 5 ) + ( + 2 ) = + 7 5 + 2 = 7

( - 6 ) + ( - 2 ) = - 8 - 6 - 2 = - 8

Si los sumandos tienen distinto signo, se restan sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo del que tiene mayor valor absoluto:

( + 16 ) + ( - 12 ) = + 4 16 - 12 = 4

( + 17 ) + ( - 25 ) = - 8 17 - 25 = - 8

Resta de números enteros:

Para restar números enteros, se suma al minuendo el opuesto (el número cambiado de signo) al sustraendo:

( + 26 ) - ( + 14 ) = ( + 26 ) + ( - 14 ) = + 12

26 - 14 = 12

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ →

⎯siquitamoslosparéntesisesequivalentea

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ →

⎯siquitamoslosparéntesisesequivalentea

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ →

⎯siquitamoslosparéntesisesequivalentea

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ →

⎯siquitamoslosparéntesisesequivalentea

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ →

(60)

Multiplicación de números enteros:

Si los dos números tienen el mismo signo, se multiplican sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo positivo.

( + 5 ) · ( + 6 ) = + 30

( - 4 ) · ( - 7 ) = + 28

Teniendo en cuenta lo anterior podemos dar unas reglas de operaciones con signos, denominada regla de los signos:

En general podemos decir que el producto de dos números enteros es otro número entero, cuyo valor

absoluto es el producto de los valores absolutos y su signo es el que resulta de la aplicación de la regla de los

signos.

( + ) · ( + ) = + ( + ) · ( ) = ( ) · ( + ) = ( - ) · ( - ) = +

(61)

Ejercicios NIVEL 1: Realiza las siguientes operaciones:

1.- Asigna un número entero con su signo a las situaciones descritas a continuación:

He cogido 6€ de mi hucha

Nos encontramos a una temperatura de 5º bajo cero

Mi padre me ha dado 7€

Le debo a mi hermano 8€

Un buceador ha bajado a 9 metros de profundidad

(62)

2.- Reprenda en la recta real los siguientes números enteros: - 9, + 5, - 3, + 8, - 1, + 3, + 7, - 4 y - 6

0

3.- Ordena de menor a mayor los siguientes números enteros: - 3, - 9, + 5, - 4, + 8, - 6, - 5, 0 y + 1

RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS 4.- 13 + ( - 9 ) =

5.- ( - 8 ) · ( - 7 ) =

6.- 5 · ( - 8 ) =

7.- 3 + ( - 7) =

10.- 5 - 8 =

11.- - 7 + 3 =

12.- ( + 5 ) · ( - 7 ) =

(63)

16.- ( - 2) + ( - 3 ) =

17.- - 5 - ( - 2) =

18.- 4 - 8 =

19.- ( - 25 ) : ( + 5) =

20.- - 9 + 8 =

21.- - 4 - 4 =

24.- - 9 - 9 =

25.- ( - 9 ) : ( - 9 ) =

26.- 3 - ( - 3 ) =

27.- ( - 7 ) · ( - 7 ) =

28.- 72 : ( - 8 ) =

(64)

EJERCICIOS NIVEL 2

1.- 7 · ( - 2 ) - 3 =

2.- ( - 3 ) · ( - 5 ) + 2 =

3.- 2 · ( - 3) + 5 =

4.- ( - 6 ) · 8 - 5 =

5.- 4 - 2 · 5 =

6.- 20 : ( - 4 ) - 5 =

9.- - 4 + 8 · 2 =

10.- 5 · 2 - 16 =

11.- ( - 3) - 5 · ( - 2) =

12.- 16 : 8 - 5 =

13.- 22 - 4 · 6 =

(65)

17.- 4 - 36 : 4 =

18.- 12 - 4 · ( - 4) =

19.- 15 : ( - 3 ) - 12 =

20.- 6 - 3 · 5 =

21.- ( - 42 ) : ( - 7 ) - 9 =

22.- 18 - 4 · 5 =

24.- (- 16 ) : ( 9 - 5) =

25.- 24 : (- 6 ) + 2 =

26.- 13 - 4 · 24 =

27.- (- 35 ) : 7 + 2 =

28.- 3 - 2 · 5 =

(66)

Ejercicios nivel 3

1.- 8 : 2 - 5 - 3 · 3 =

2.- ( 2 · 3 - 9 ) + 4 =

3.- ( 16 - 4 ) : 4 - 8 =

4.- 15 : 5 - 8 · 2 + 6 =

6.- 3 · ( - 5 ) + 4 · 3 - 18 : 3 =

7.- ( 6 - 15 ) : 3 - 9 + 2 · 4 =

8.- ( - 2 ) · 3 + ( - 5 ) · ( - 2 ) =

(67)

11.- ( 4 - 2 · 5 ) : 2 =

12.- ( 12 : 3 - 6 ) - 8 =

13.- ( - 6 ) · 8 - 5 · ( - 7 ) =

14.- 24 : 3 - 2 · 8 =

15.- 2 · ( - 3 ) + 5 · ( - 4 ) =

17.- 22 – 4 · ( 9 – 3 · 2 ) =

18.- 5 + ( 1 - 9 ) + 6 : 2 =

19.- 4 · ( 10 – 2 · 3 ) - 9 =

20.- - 5 + 2 · 5 - ( 4 + 3 ) =

(68)

23.- 35 - 4 · (2 + 2 · (-3) ) =

24.- - 2 · (3 - 7) + ( - 8 ) =

25.- [ (-5) · (-4 ) - 12 ] : ( - 3 - 5) =

26.- (8 - 24) : (-4) - 10 =

27.- 5 · ( 3 – 6 ) - 6 : 3 =

(69)

Problema 1 Expresa matemáticamente, con operaciones de enteros, los siguientes enunciados:

Me dan 5 € de paga.

Me gasto 12 € en un disco.

Me llega una factura de 20 €.

Mi hermana me perdona una deuda de 25 €.

Acabo de perder los 10 € que me ha dado mi tío Nicolás.

Mi madre no me va a dar la paga de 5 € del domingo.

Problema 2.- Si pierdes 15 cromos en un juego y ganas 23 en otro. ¿Cuántos cromos tienes en total?

(70)

Problema 4 Un objeto metálico está a 12ºC sobre cero, y pasa a 8ºC bajo cero. ¿Cuál ha sido la variación de temperatura? (Resuélvelo utilizando números enteros).

Problema 5 ¿Cuántos metros separan a un avión que vuela a una altura de 5000m de un submarino que va a 400m bajo el nivel del mar?

(71)

Problema 8 Completa el siguiente cuadro correspondiente a un extracto bancario:

MOVIMIENTOS BANCARIOS DEL MES DE FEBRERO

FECHA CONCEPTO INGRESOS GASTOS SALDO

31/01/07 Saldo anterior 55 €

03/02/07 Recibo teléfono 80 €

05/02/07 Transferencia 20 €

24/02/07 Recibo agua 50 €

(72)

Problema 9.- Escribe la expresión correspondiente y resuelve las siguientes situaciones:

a) Un día de invierno amaneció con una temperatura de 2º bajo cero, a mediodía la tempera-tura había subido 8º, al anochecer había bajado 4º y de madrugada bajó otros 3º. ¿A qué temperatura estábamos de madrugada?

b) Julián entró en un ascensor y se quiso dar un paseo. Primero subió 3 pisos, después bajó 5, a continuación subió 8 y por último bajó 7. ¿En qué piso se encontraba después de su pa-seo en ascensor?

c) Un buceador se encuentra en la plataforma base a 6 m sobre el nivel del mar y realiza los desplazamientos siguientes:

a) Baja 25 metros para dejar material.

(73)

Problema 10.- Escribe la expresión correspondiente y resuelve las siguientes situaciones:

a) En una industria de congelados, la temperatura en la nave de envasado es de 10°C, y en el interior del almacén frigorífico, de 18°C bajo cero. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre la nave y la cámara?

b) Andrés está participando en un juego de avance y retroceso. Obtiene los siguientes resulta dos:

• Avanza 5 metros.

• Retrocede 2 metros

• Avanza 1 metro

• Retrocede 6 m.

¿En qué posición se encuentra ahora?

(74)

Problema 11.- El nivel del agua de una presa ha disminuido 8 cm diarios durante 6 días. A causa de las intensas lluvias caídas los 3 días siguientes ha subido el nivel 7 cm diarios. ¿Cuál ha sido el desnivel total del agua de la presa?

Problema 12.- Un concursante televisivo responde bien a 4 preguntas de las 10 que le han planteado. Si por cada acierto le dan 3 puntos y por cada fallo le quitan 2 puntos. ¿Cuántos puntos ha conseguido en to tal?

(75)
(76)

Números Racionales

Los números racionales son los números que pueden expresarse como cociente de números enteros. Los números enteros son también racionales, pues pueden ser expresados en forma de fracción.

Ejemplo:

Cuando el numerador es menor que el denominador la fracción representa parte de un objeto, diremos entonces que la fracción es propia. Si ocurre al revés, la fracción representa más de un objeto, decimos entonces que la fracción es impropia. ( cuando el numerador es mayor que el denominador )

4

2

8

2

2

4

=

+

+

=

+

+

Fracciones equivalentes:

Si tomamos como unidad una figura cualquiera, por ejemplo un cuadrado, y representamos las fracciones

(77)

Dos fracciones son equivalentes cuando una de ellas resulta de multiplicar o dividir los dos términos de la otra por un mismo número.

Si se multiplican o dividen los dos términos de una fracción por un mismo número, la fracción no varía.

Ejemplos:

...

4

3

4

2

3

3

3

2

2

3

2

2

=

=

=

=

=

=

=

12

8

9

6

6

4

3

2

...

5

:

140

5

:

120

4

:

140

4

:

120

2

:

140

2

:

120

=

=

=

=

=

=

=

28

24

35

30

70

60

140

120

Representación de los números racionale

Si la fracción que queremos representar es una fracción propia ( el numerador es menor que el denomina-dor ), su representación estará siempre entre 0 y 1 si la fracción es positiva, y entre 0 y - 1 si la fracción es negati-va. A la hora de representarla, dividiremos la unidad en tantas partes como nos indique el denominador, y tomaremos tantas como nos indique el numerador. Siempre representaremos la fracción irreducible de la fracción dada.

Ejemplo:

Representar gráficamente las fracciones siguientes:

3

2

,

6

4

,

5

3

(78)

- 1

0

1

3

5

3

5

- 1

0

1

2

3

2

3

- 1

0

1

2

3

2

3

-Si queremos representar fracciones impropias ( el numerador es mayor que el denominador), tendremos que averi-guar a partir de qué unidad debemos representarlas, para ello la transformaremos en suma de un número entero más una fracción propia, representando ésta como ya hemos explicado a partir del número entero que obtengamos.

Ejemplo:

Representar gráficamente las siguientes fracciones:

Transformamos ahora las fracciones en suma de un número entero más una fracción impropia:

7

2

11

3

23

5

,

y

(79)
(80)

Simplificación de fracciones

Simplificar una fracción es obtener otra fracción equivalente cuyos términos sean lo más pequeño posible. Esto se puede hacer cuando el numerador y el denominador se pueden dividir por el mismo número. Cuando una fracción no se puede simplificar más, se dice que es Irreducible.

(81)

EJERCICIOS NIVEL 1

Simplificar las siguientes fracciones usando los dos métodos de simplificación:

(82)

EJERCICIOS NIVEL 2

Simplificar las siguientes fracciones usando los dos métodos de simplificación:

(83)

EJERCICIOS NIVEL 3

Simplificar las siguientes fracciones usando los dos métodos de simplificación:

(84)

Reducción de fracciones a común denominador

Reducir varias fracciones a común denominador consiste en convertirlas en otras fracciones equiva-lentes a las dadas, todas con el mismo denominador.

Para ello, se comienza por determinar el denominador común, que puede ser cualquier múltiplo común de todos los denominadores, siendo aconsejable tomar siempre el mínimo común múltiplo de los denominadores. A continuación, este denominador común se divide por cada uno de los denominadores y se multiplican los cocientes obtenidos por los numeradores correspondientes.

Ejemplo:

Reducir a común denominador las siguientes fracciones:

En principio, se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores

m.c.m ( 5, 6, 4, 18 ) = 180

El valor que resulta se toma como denominador común. A continuación, para hallar los numeradores de las fracciones, se divide el denominador común por cada uno de los denominadores y se multiplican los cocientes por los numeradores correspondientes:

Numerador de la primera fracción = ( 180 : 5 )·4 = 36·4 = 144

Numerador de la segunda fracción = ( 180 : 6 )·5 = 30·5 = 150

4

5

5

6

1

4

5

(85)

Ejercicios NIVEL 1

1.- Reduce a común denominador las siguientes fracciones:

(86)

Ejercicios NIVEL 2

1.- Reduce a común denominador las siguientes fracciones:

(87)

Ejercicios NIVEL 3

1.- Reduce a común denominador las siguientes fracciones:

(88)

Comparación de fracciones

Hay tres caso de comparación de fracciones:

1.- Si las fracciones tienen el mismo denominador, será mayor la fracción cuyo numerador sea mayor.

2.- Si las fracciones tienen el mismo numerador, será mayor la fracción cuyo denominador sea menor.

3.- Si las fracciones tienen numeradores y denominadores distintos, se reducen a denominador común y se aplica el caso 1.

Ejemplo:

Ordenar, de menor a mayor las siguientes fracciones:

m.c.m (2, 8 y 12 ) = 24

Las fracciones equivalentes a las dadas son:

Y, a continuación, tomando como base de comparación los numeradores, se procede a ordenar las fracciones

(89)

Ejercicios NIVEL 1

1.- Compara las siguientes fracciones:

(90)

Ejercicios NIVEL 2

1.- Compara las siguientes fracciones:

(91)

Ejercicios NIVEL 3

1.- Compara las siguientes fracciones:

(92)

Suma de números racionales:

Para poder sumar números racionales debemos seguir las siguientes reglas:

* Si los sumandos tienen el mismo denominador, el resultado tiene el mismo denominador y como nu-merador la suma de los nunu-meradores.

Ejemplos: 1.- 2.-

* Si los sumandos tienen distinto denominador, se reducen a común denominador y, a continuación, se procede como en el apartado anterior.

Ejemplos: 1.- 2.- 5 13 4 13

+ = 9

13

11 25

7 25

+ = 18

25 3 8 7 20 15 40 14 40

+ = + = 29

40 5 4 7 5 1 4 7 35 7 4 7

+ = + = + = 39

7

Resta de números racionales:

(93)

Multiplicación de números racionales:

El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores.

Ejemplos:

1.-

2.-

División de números racionales:

Para dividir dos números racionales, se multiplica la fracción dividendo por la inversa de la fracción divisor.

O también:

El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto del numerador de la pri-mera por el denominador de la segunda y por denominador el producto del denominador de la pripri-mera por el numerador de la segunda.

Ejemplos: 1.- 5 8 3 7 5 3 8 7 • • •

= = 15

56 4 15 5 12 4 5 15 12 20 180 • • •

= = = 1

(94)

FRACCIÓN DE UNA CANTIDAD

Para obtener la fracción de un número entero de unidades, multiplicaremos la fracción que queremos obtener por dicho número.

Tendremos en cuenta que cualquier número puede ser expresado como fracción: 25 =

Ejemplo:

Obtener los de 120: 80 son los de 120

EJERCICIOS

Obtener los de 84:

Obtener los de 112:

Obtener los de 91:

Obtener los de135:

Obtener los de 242:

1 25

3

2 = = = 80

(95)

Ejercicios NIVEL 1

Resolver los siguientes ejercicios:

(96)
(97)
(98)
(99)
(100)
(101)

PROBLEMAS NIVEL 1

1.- De una caja de 50 bombones Celia comido la quinta parte. ¿Cuántos bombones le quedan?

2.- Manuel tiene 98 € y se gasta los dos séptimos en un juego de la play. ¿Cuánto dinero le queda?

(102)

4.- Si en la compra de una camiseta que cuesta 20€ te descuentan los dos quintos de su precio. ¿Cuánto tienes que pagar por la camiseta?

5.- Si Lucía se come dos quintos de una tarta y Antonio se come un cuarto. ¿Qué fracción de tarta se han comido entre los dos?

(103)

7.- Si Andrea se come tres octavos de pizza y Marta se come un cuarto. ¿Qué fracción de pizza queda para Pau-la?

8.- Si Samuel tiene una paga de 25€ y ya se ha gastado los tres quintos. ¿Cuánto dinero le queda?

(104)

PROBLEMAS NIVEL 2

1.- Una huerta tiene una extensión de 8 000 m2 de los que 3/5 están sembrados de maíz, y el resto, de alfalfa. ¿Cuántos metros cuadrados se han dedicado a cada cultivo?

2.- Un agricultor riega por la mañana 2/5 de un campo. ¿Qué fracción riega por la tarde? Si el terreno mide 6600 m2. ¿Cuántos m2 riega por la mañana? ¿Y por la tarde?

(105)

4.- Luis invita a sus amigos a comer una tarta. Pedro come 1/5, Ana 1/6 y Tomás 1/3. Luis se come el resto. ¿Cuánto come Luis?

5.- En la calle donde vive Alberto hay 20 tiendas, de las que 3/5 son papelerías. ¿Cuántas papelerías hay?

(106)

7.- ¿Qué fracción del libro ha estudiado Sara, si está en la página 64 de un libro que tiene 256 páginas?

(107)

PROBLEMAS NIVEL 3

1.- Jorge emprende un viaje de 30 Km. En la primera hora recorre 1/4 del trayecto, y en la segunda, 1/3. ¿Qué parte del camino ha recorrido en las dos primeras horas del viaje? ¿Cuántos kilómetros le faltan para llegar al final del trayecto?

(108)
(109)
(110)

NÚMEROS DECIMALES

Los números decimales son el resultado de hacer la división entre el numerador y el denominador de una fracción. Cuando escribimos un número racional como el resultado de la división, estamos utilizando la forma deci-mal del número racional.

es la forma fraccionaria del número racional

= 0,75 es la forma decimal del número racional

Representación de números decimales

Si dividimos la unidad en 10 partes, cada una de ellas se denomina décima. 1Unidad = 10 décimas 1 U = 10 d

4 3

4 3

Si dividimos la décima en 10 partes, cada una de ellas se denomina centésima. 1décima = 10 centésimas 1 d = 10 c

Si dividimos la centésima en 10 partes, cada una de ellas se denomina milésima. 1centésima = 10 milésimas 1 c = 10 m

De esta forma podemos deducir que 1U = 10 d = 100 c = 1000 m

Ejemplo: Representa el número 2,4

(111)

Unidades decimales:

Se llaman unidades decimales a las fracciones que tienen por numerador la unidad y por denominador una potencia de 10.

Para leer un número decimal se dice primero la parte entera seguida de la palabra unidades, luego el número que forman sus cifras decimales dándole el nombre que corresponde a la unidad decimal del mismo orden que el que ocupa la última cifra decimal de la derecha.

ejemplo: 6,274 seis unidades y 274 milésimas 0,07 cero unidades y 7 centésimas

unidades decimales denominación

= 0,1 ... 1 décima

= 0,01 ... 1 centésima

= 0,001 ... 1 milésima

= 0,0001 ... 1 diezmilésima

10000 1 1000

1 100

(112)

Suma y diferencia de números decimales

Para hacer estas operaciones con números decimales se escriben unos debajo de otros de forma que todas las co-mas queden situadas en la misma columna, coincidiendo todas las unidades decimales del mismo orden.

Ejemplo:

Calcular : 2,875 + 3,42 + 0,0049

2,875 3,42

+ 0,0049

6,2999

Calcular : 6,874 - 4,96

6,874

- 4,96

1,914

Producto de números decimales

Para multiplicar números decimales se prescinde de la coma, multiplicándolos como si fuesen naturales, y separan-do del producto obteniseparan-do tantas cifras decimales como las que tengan entre los separan-dos números que se están multipli-cando.

ejemplo: Calcular : 3,14 · 2,8

(113)

División de números decimales:

Para dividir números decimales se igualan las partes decimales del dividendo y el divisor, poniendo tantos ceros a la derecha de la parte decimal como sea necesario, después se hace la división prescindiendo de las comas.

ejemplo: 164,5 : 3,45 = 164,50 : 3,45

EJERCICIOS DE NÚMEROS DECIMALES

1.- Obtener los números decimales correspondientes a las siguientes fracciones nombrándolos adecuadamente:

8 4 ) b 10

1 )

a

16450

345

2650

47,68

2350

2800

(114)

2.- Escribir los siguientes decimales:

a) Treinta y dos milésimas

b) Ciento diez milésimas

c) Dos unidades y cinco centésimas

d) Seis unidades y doscientas setenta y cuatro milésimas

3.- Realizar las siguientes operaciones:

a) 4,37 · 1000

(115)

c) 3,1416 + 74 + 2,3 + 148,84

d) 6,348 · 0,43

e) 2,76 · 0,0025

f) 5,48 + 25,36 - 16,122

(116)

4.- Aproximar hasta las centésimas los siguientes cocientes:

a) 4 : 9

b) 75,45 : 25,5

(117)

e) 6,38 : 9,2

f) 0,5 : 4,237

6.- Convertir en decimales las siguientes fracciones (dos cifras decimales)

40 10 )

(118)

7.- Un paquete que contiene 12 llaves iguales pesa 1,5 Kg. ¿Cuánto pesan 7 llaves?

(119)

9.- Calcula los números que faltan en el siguiente cuadrado mágico( un cuadrado mágico es aquel que da los mismos resultados al sumar los elementos de cualquier fila, columna o de las diagonales)

2,25 6 1,25 3,75

1,25 3,5

1,5 5,25 5,5

2,5 3 4,75 0,75

(120)

UNIDADES DE LONGITUD

El metro es la unidad principal de longitud. Se escribe m

Los múltiplos y submúltiplos del metro son:

Para transformar una unidad de longitud en otra utilizamos la escalera

Actividades

1.- Expresa en la unidad que se indica:

2,2 dam = 2,2 x 10 = 22 m g ) 1678,5 mm = cm

26hm = km h ) 456 km = dam

Múltiplos del metro Unidad principal

Submúltiplos del metro Miriámetro Mm 10.000 m Kilómetro Km. 1.000 m Hectómetro Hm. 100 m Decímetro Dm 10 m

Metro m

(121)

Distintos modos de expresar una medida: forma compleja e incompleja

Ana le dice a María: Mi hermano mide 125 cm, y María le responde: Pues el mío mide 1m y 25 cm. Ambas han expresado la misma medida pero e distinta forma:

Expresión incompleja Expresión compleja ( una sola unidad) ( varias unidades )

135 cm 1m y 35 cm

Paso de complejo a incomplejo

1.- Expresa en la unidad que se indica: a) 15 km, 75 hm, 21 dam en metros b) 7 km , 67 dam, 678 cm en hm Paso de incomplejo a complejo

Cuando expresamos una cantidad con una sola unidad, hablamos de número incomplejo. Ejemplo: Un ciclista recorre 20 km.

Expresa de forma compleja

INCOMPLEJA Mm km Hm dam m dm cm mm

988 m 9 8 8

52 dm 2

105,63hm 5

176cm 6

13506mm 6

532,63dam 2

(122)

PROBLEMAS

1. Mario y Rafa corren una maratón. Mario ya ha recorrido 14 km y 670m .Rafael ha recorrido 139 hm y 800 m . ¿Quién va en premier lugar?

2- Voy andando desde mi casa al parque que está a 8km. Ya llevo recorrido la mitad del camino más 4 hm. ¿Cuántos hm me faltan para llegar al parque?

(123)

UNIDADES DE MASA

El kilogramo y el gramo son las unidades principales de masa. Abreviadamente se escriben kg y g

Los múltiplos y submúltiplos del gramo son :

Para pasar de una unidad a otra, colocamos las unidades en una escalera y procedemos del mismo modo que con las unidades de longitud: para subir dividir, para bajar multiplicar por la unidad seguida de tantos ceros como pel-daños subidos o bajados.

nombre símbolo equivalencia

Tonelada T 1.000.000 g

Quintal Q 100.000 g

Miriagramo Mg 10.000 g

Kilogramo Kg 1.000 g

Hectogramo Hg 100 g

decagramo dag 10g

gramo g Unidad principal

decigramo dg 0,1 g

centigramo cg 0,01

(124)

1.- Expresa en la unidad que se indica:

a) 100 0g = kg

b) 9,7 T = hg

c) 1,2 Q = dag

d ) 8 kg = g

e ) 340 dg = cg

(125)

2.- Expresa en forma compleja

T Q Mg kg hg dag g dg cg mg

590 Mg

5 9 0

956 hg 12335dg 3479kg

590 Mg = 956 hg = 12335dg = 3479kg =

3.- Expresa en la unidad que se indica:

a) 3 T y 35Q en kilogramos b) 7T g y 78 Q en kilogramos

3 T= 3 x 1000 = 3000 kg 35 Q = 35 x 10 0= 3500 kg TOTAL 6500 kg

(126)

PROBLEMAS

1.- Un tractor lleva un remolque con 3T 9 Q y 23 Mg de melones. Expresa la carga en kg

2.- Se carga el remolque de un tractor con 897600 kg de patatas cada día. Expresa la carga en toneladas. ¿ Cuantas toneladas de patatas transportará a la semana?

(127)

UNIDADES DE CAPACIDAD

El litro es la unidad principal de capacidad. Abreviadamente se escribe l. Los múltiplos y submúltiplos del litro son:

Para pasar de una unidad a otra utilizamos la escalera.

Múltiplos del litro Unidad principal

Submútiplos del litro

Mirialitro Ml 10.000 l

Kilolitro Kl 1.000 l

Hectolitro Hl 100 l

Decalitro Dl 10 l

Litro l

Decilitro dl 0,1 l

Centilitro cl 0,01 l

Mililitro ml 0,001 l

EJERCICIOS

1.- Expresa en la unidad que se indica:

a ) 9 dal = l e) 797,4 Ml = Hl

(128)

2.- Expresa en forma compleja

kl hl dal l dl cl ml

786 dal 6

97 dl 345 cl 9876 ml 786 dal = 97 dl = 345 cl = 9876 ml =

3.- Expresa la unidad que se indica

a) 8 kl, 6 dal en litros

(129)

PROBLEMAS

1.- En una estantería de un supermercado hay 45 botellas de zumo de naranja de 1,5 l y el doble de botellas de zumo de limón . ¿Cuántos litros hay de zumo de limón?

2.- Un agricultor ha producido 67kl 9 hl y 89 dal de vino. Ha vendido 59 kl 5 hl y 76 dal. ¿ Cuántos litros le quedan por vender?

(130)

UNIDADES DE SUPERFICIE

El metro cuadrado es la unidad principal de superficie. Se escribe m2. Un metro cuadrado es la superficie de un cuadrado que tiene de lado 1 metro.

Los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado son:

Para transformar una unidad de superficie a otra utilizamos la escalera ,pero ¡CUIDADO!, cada escalón subido o bajado equivale a multiplicar o dividir por la unidad seguida de dos ceros

nombre símbolo equivalencia

Kilómetro cuadrado hm2 1.000.000 m2

Hectómetro cuadrado hm2 10.000 m2

Decámetro cuadrado dam2 100 m2

Metro cuadrado m2 Unidad principal

Decímetro cuadrado dm2 0,01 m2

Centímetro cuadrado cm2 0,0001 m2

Milímetro cuadrado mm2 0,000001 m2

Ejercicios.

1.- Expresa en la unidad que se indica:

(131)

2.- Expresa en la unidad que se indica:

a) 9,8 km2 , 100 hm2 en m2

b) 5 hm2,7 dam2 500 m2 en dm2

(132)

Paso de incomplejo a complejo

1.- Expresa de forma compleja las siguientes unidades :

Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2

4510 dm2 45 10

39378 m2

235 km2

4789 dm2

4510 dm2 =

39378 m2 =

235 km2 =

4789 dm2 =

Problemas

(133)

2.- Un solar mide 12dam2. Se construye una casa de 20m de largo y 9 m de ancho. ¿ Qué superficie queda de jardín?

3.- Un padre reparte como herencia una finca de 8,4 hm2 entre sus tres hijos. ¿ Qué cantidad de terreno le corresponde a cada uno?. Expresa la solución en m2

(134)

Unidades agrarias

Para medir campos o superficies se emplean otras unidades de superficie llamadas unidades agrarias. Estas unidades son: el área ( a ), la hectárea ( ha ) y centiárea ( ca ). La siguiente tabla muestra la equivalencia con las unidades de superficie:

Ejercicios

1.- Expresa en la unidad que se indica:

2 km2 = ha

3 ha = km2

170 a = ha

97 0 ca = a

2.- Expresa en la unidad que se indica:

a ) 78 km2 5 áreas en áreas

b) 76 dam2, 6 ha en áreas

Unidades Hectárea ( ha ) Área ( a ) Centiárea (ca )

(135)

Problemas

1.- Una finca de 9000 áreas se divide en tres partes ¿ Cuántos metros cuadrados mide cada trozo ?.

(136)

UNIDADES DE VOLUMEN

El metro cúbico es la unidad de volumen principal. Se escribe m3. Un metro cúbico es el volumen de un cubo que tiene 1 m de arista.

Los múltiplos y submúltiplos del metros cúbico son:

Para transformar de una unidad a otra utilizamos la escalera, pero ¡CUIDADO!, cada escalón subido o bajado equi-vale a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tres ceros.

Múltiplos del metro cúbico Unid. principal Submútiplos del metro cúbico

Kilómetro cúbico Km3

= 1.000.000.000m3

Hectómetro cúbico Hm3

= 1.000.0000m3

Decámetro cúbico Dm3

= 1.000m3

Metro cúbico m3

decímetro cúbico dm3

= 0,001 m3

Centímetro cúbico cm3

= 0,000001 m3

Milímetro cúbico 1mm3

= 0,000000001 m3

EJERCICIOS.

1.- Sabiendo que 1m3 es el volumen de un cubo de 1m3 de arista, indica que será: a) 1 dam3

b) 1 hm3

(137)

2.- Expresa en la unidad que se indique:

4 m3 = dm3

1000 dm3 = m3

340 dam3 = hm3

2 km3 = dam3

56000 mm3 = cm3

8 0 hm3 = km3

3.- Expresa en la unidad que se indica a) 8,9 hm3, 78 dam3 en m3

(138)

4.- Expresa las siguientes cantidades en forma compleja:

Km3 Hm3 Dm3 m3 dm3 cm3 mm3

5678 m3 005 678

67854,Dm3

46 km3

76543 dm3

5678 m3 =

67854,Dm3 =

46 km3 =

76543 dm3 =

Relación entre las unidades de volumen, capacidad y masa

(139)

Vamos a aprender a encontrar la equivalencia entre unidades EJEMPLO Expresa en la unidad que se indica

7000 mm3= l

Fíjate: litro es una unidad de capacidad y mm3 es una unidad de volumen . Las escaleras son distintas, no podemos convertir directamente

Buscamos en la tabla de equivalencia y observamos que litro es lo mismo que dm3. Por tanto, podemos es-cribir que queremos pasar a dm3

7000 mm3 = l = dm3 Ya estamos en la misma escalera. Para pasar de mm3 a dm3 hay que subir dos peldaños, por tanto dividimos por la unidad seguida de 6 ceros

7000 mm3 = 7000 : 1.000.000 = 0,007000 dm3 = 0,007000 l

Ejecicios

1.- Expresa en litros: 5 m3 =

67 dm3 =

9875 mm3 =

(140)

2.- Expresa en ml:

29 m3 =

0,001 hm3 =

9 dm3 =

4567 Dm3 =

456 cm3 =

8000 mm3 =

3.- Expresa en kg:

98 l =

9 m3 =

(141)

Problemas

1.- Una piscina mide 45m de largo, 25m de ancho y 4 m de profundidad. ¿Cuántos m3 tiene la piscina ?. ¿ Cuántos litros de agua caben en ella ?.

2.- En una bodega se guardan 785000 litros de vino. Expresa en dm3 y en m3 el volumen que ocupan

(142)
(143)
(144)

PROPORCIONALIDAD

RAZÓN ENTRE DOS CANTIDADES:

La razón entre dos cantidades es la relación existente entre ellas expresada en forma de cociente.. La razón entre las cantidades a y b se expresa:

a : b o

Ejemplo: Expresa como razón la relación que existe entre los 20 chicos y 10 chicas que hay en una clase. Esto significa que hay el doble de chicos que de chicas.

La expresión decimal ( resultado de la división) de una razón se llama tanto por uno, y expresa las veces que se repite una cantidad respecto a la unidad.

Ejemplo: Una persona recorre 14 km en 2 horas.

La razón entre el espacio recorrido y el tiempo empleado es:

El tanto por uno es =

7

que indica que en una hora la persona recorre 7 km.

PROPORCIÓN

Se llama proporción a la igualdad de dos razones

En una proporción, los términos a y d (primero y cuarto) se denominan EXTREMOS y los términos b y c ( segun-do y tercero) se denominan MEDIOS.

4 · 10 = 5 · 8

d c b a = 2 14 2 14 b a 2 10 20 =

En todas las proporciones se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

a · d = b · c

(145)

EJERCICIOS DE APLICACIÓN:

Calcula el término que falta en las siguientes proporciones:

(146)
(147)

MAGNITUDES

Una magnitud es una cualidad de los cuerpos que se puede medir. ( masa, longitud, capacidad, ...)

Dos magnitudes son DIRECTAMENTE PROPORCIONALES si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra aumenta o disminuye en la misma proporción. Si la primera aumenta el doble, el triple, .. la segunda aumentará el doble, el triple, ..

Dos magnitudes son INVERSAMENTE PROPORCIONALES si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra disminuye o aumenta en la misma proporción. Si la primera aumenta el doble, el triple, .. la segunda disminuirá a la mitad, la tercera parte, ..

Indica si las siguientes magnitudes se encuentran en proporción directa, inversa o en ninguna de ellas:

1.- Talla de pantalones y precio de los pantalones

2.- Velocidad a la que circula un coche y espacio que recorre

3.- Dinero que tienes para gastar y bolsas de chuches que puedes comprar

4.- Números de grifos que llenan una piscina y tiempo que esta tarda en llenarse

5.- Cantidad de garbanzos en un cocido y número de raciones que se pueden cocinar

6.- Número de trabajadores y tiempo que tardan en hacer un muro

7.- Número de miembros de una familia y litros de leche que consumen

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Referencias

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