Límites con funciones trigonométricas

Texto completo

(1)Sergio Yansen Núñez En el cálculo de los límtes se utilizarán los siguientes resultados: I). sinx =1 x. lim x→0. II). sinax = 1 , siendo a una constante real distinta de cero. ax. lim x→0. III). lim. sinx − a =1 x−a. IV). lim. sinkx − a = 1, siendo k una constante real distinta de cero. kx − a. x→a. x→a. Cálcule, en caso de existir, los siguientes límites: 1.. tan3x x. lim x→0. 2.. sin2x + sin3x sin4x + sin5x. lim x→0. 3.. x + sin 2 2x x + sin 2 3x. lim x→0. 4.. 1 − cosax , siendo a una constante real distinta de cero. x. lim x→0. 5.. 1 − cosax , siendo a una constante real distinta de cero. x2. lim x→0. sinx − sina x−a. 6.. lim. 7.. sinx lim x − π x→π. 8.. lim. x→a. sin2x − 1 4x 2 − 1. x→ 12. 9.. x→. 10.. π 2. lim x→. 11.. cosx 2x − π. lim. π 4. lim x→. π 4. tan4x 4x − π sin2x − 1 4x − π. Límites con funciones trigonométricas.

(2) Sergio Yansen Núñez. 12.. lim x→0. 13.. lim x→. 14.. π 2. lim x→0. 1 − cos5x x sinx − 1 cos2x + 1 1 + sin2x − 1 − sin3x x. Límites con funciones trigonométricas.

(3) Sergio Yansen Núñez Resolución:. 1.. sin3x tan3x cos3x sin3x lim =lim =lim x x x→0 x→0 x→0 x cos3x =lim x→0. sin3x sin3x 1 1 ⋅ =lim 3 ⋅ ⋅ x 3x cos3x x→0 cos3x límite II. = 3⋅1⋅ 1 = 3 1. 2.. sin2x sin3x 1 + sin2x + sin3x sin2x + sin3x x x x lim =lim ⋅ =lim 1 sin4x sin5x x→0 sin4x + sin5x x→0 sin4x + sin5x x→0 + x x x 2⋅ =lim x→0. sin2x sin3x +3⋅ 2x 3x. sin4x sin5x 4⋅ +5⋅ 5x 4x. = 2⋅1+3⋅1 = 5 4⋅1+5⋅1 9. límite II. 3.. sin 2 2x 1 1+ x + sin 2 2x x + sin 2 2x x x lim =lim ⋅ =lim 2 2 2 1 sin 3x x→0 x + sin 3x x→0 x + sin 3x x→0 1+ x x sin2x 1+2⋅ ⋅ sin2x sin2x 2x 1+ ⋅ sin2x x =lim =lim = 1+2⋅1⋅0 = 1 1+3⋅1⋅0 sin3x sin3x x→0 1 + ⋅ sin3x x→0 1 + 3 ⋅ ⋅ sin3x x 3x límite II. Límites con funciones trigonométricas.

(4) Sergio Yansen Núñez 1 − cosax 1 − cosax 1 + cosax =lim ⋅ x x 1 + cosax x→0. lim. 4.. x→0. =lim. 1 − cos 2 ax sin 2 ax 1 1 ⋅ = lim ⋅ x x 1 + cosax x→0 1 + cosax. =lim. sinax sinax sinax sinax ⋅ =lim a ⋅ ax ⋅ = a⋅1⋅ 0 = 0 x 1+1 1 + cosax 1 + cosax x→0. x→0. x→0. límite II. En algunos textos, aparece lim. OJO:. x→0. 5.. lim x→0. =lim x→0. 1 − cosax 1 − cosax 1 + cosax 1 − cos 2 ax 1 =lim ⋅ =lim ⋅ 2 2 2 1 + cosax 1 + cosax x x x x→0 x→0 sin 2 ax sinax sinax 1 1 ⋅ =lim ⋅ ⋅ x x 2 1 + cosax x→0 1 + cosax x. =lim a ⋅ x→0. 1 − cosax = 0 como un límite fundamental. x. 2 sinax sinax 1 ⋅a ⋅ ax ⋅ = a⋅1⋅a⋅1⋅ 1 = a ax 2 1+1 1 + cosax límite II. límite II. Límites con funciones trigonométricas.

(5) Sergio Yansen Núñez 6.. lim x→a. sinx − sina x−a. Forma 1: 2 sin x − a cos x + a sinx − sina 2 2 lim =lim x − a x − a x→a x→a. sin x − a 2 =lim x − a x→a 2. ⋅ cos x + a 2. límite IV. = 1. cos a + a 2. = cosa. Forma 2: lim x→a. sinx − sina x−a sea u = x − a. Realizando un cambio de variable: cuando lim x→a. x→a. entonces. u→a. sinu cosa + cosu sina − sina sinx − sina sinu + a − sina =lim =lim u u x−a u→0. u→0. =lim. sinu cosa cosu sina − sina + u u. =lim. cosa. sinu cosu − 1 + sina u u. =lim. cosa. sinu 1 − cosu − sina u u. lim. sinu =1 u. u→0. u→0. u→0. u→0. lim u→0. y. 1 − cosu 1 − cosax = 0 (en la actividad 3 se obtuvo lim = 0) u x x→0. Por lo tanto, lim u→0. cosa. sinu 1 − cosu − sina u u. Límites con funciones trigonométricas. = cosa ⋅ 1 − sina ⋅ 0 = cosa.

(6) Sergio Yansen Núñez 7.. sinx lim x − π x→π. Forma 1: sinx − π sinx − sinx − π lim x − π =lim =lim−1 ⋅ x − π = −1 ⋅ 1 = −1 x−π x→π x→π x→π límite III. Forma 2: sinx lim x − π x→π sea u = x − π. Realizando un cambio de variable: cuando. x→π. u→0. entonces. sinx sinu + π u =lim −1 ⋅ sin u = −1 ⋅ 1 = −1 lim x − π =lim =lim − sin u u u x→π u→0. u→0. u→0. límite II. 8.. lim x→ 12. sin2x − 1 4x 2 − 1. Forma 1: sin 2 x − 1 sin 2 x − 1 sin2x − 1 2 2 lim =lim =lim 2 − 12x + 1 1 2x − 1 4x 1 1 1 x→ 2 x→ 2 x→ 2 2 x − 2x + 1 2 sin 2 x − 1 2 =lim 1 x→ 12 2 x− 2. ⋅. 1 = 1⋅ 1 = 1 2x + 1 1+1 2. límite IV. Límites con funciones trigonométricas.

(7) Sergio Yansen Núñez Forma 2: sea u = x − 1 2. Realizando un cambio de variable: cuando. x→ 1 2. u→0. entonces. sin 2 u + 1 − 1 sin2x − 1 2 lim =lim 2 2 − 1 4x u→0 x→ 12 4 u+ 1 −1 2 =lim u→0. =lim u→0. sin2u + 1 − 1 4 u 2 + u + 14 − 1. sin2u sin2u sin2u 1 1 =lim =lim ⋅ = 1⋅ = 1 2 2u + 1 20 + 1 4u 2 + 4u u→0 4uu + 1 u→0 2u límite II. 9.. lim. x→ π2. cosx 2x − π sea u = x − π 2. Realizando un cambio de variable: cuando. x→ π 2. entonces. u→0. cosu + π  cosu cos π − sinu sin π cosx 2 2 2 lim =lim =lim 2u x→ π2 2x − π u→0 2 u + π u→0 −π 2 =lim u→0. sinu − sinu =lim − 1 ⋅ u = − 1 ⋅ 1 = − 1 2 2 2 2u u→0 límite I. Límites con funciones trigonométricas.

(8) Sergio Yansen Núñez lim. 10.. x→. π 4. tan4x 4x − π. sin4x tan4x cos4x sin4x 1 lim = lim = lim ⋅ 4x − π 4x − π 4x − π π π π cos4x x→ x→ x→ 4. 4. Como lim x→. π 4. 4. sin4x 1 1 = = −1, entonces se analizará lim 4x − π π cos4x cosπ x→ 4. sea u = x − π 4. Realizando un cambio de variable: x→ π 4. cuando. sin 4 u + π 4 lim π u→0 4 u+ −π 4 lim u→0. entonces. =lim u→0. u→0. sin4u + π sin4u cosπ + cos4u sinπ =lim 4u 4u u→0. − sin4u sin4u =lim −1 ⋅ = −1 ⋅ 1 = −1 4u 4u u→0 límite II. Luego, lim x→. π 4. sin4x sin4x 1 1 ⋅ = lim ⋅ lim = −1 ⋅ −1 = 1 4x − π cos4x x→ π 4x − π x→ π cos4x 4. Límites con funciones trigonométricas. 4.

(9) Sergio Yansen Núñez lim. 11.. x→. π 4. sin2x − 1 4x − π sea u = x − π 4. Realizando un cambio de variable: x→ π 4. cuando. entonces. u→0. −1 sin 2 u + π sin 2u + π sin2x − 1 4 2 lim =lim =lim 4u 4x − π π π x→ 4 u→0 u→0 −π 4 u+ 4 sin2u cos π 2 =lim u→0. =lim − 1 ⋅ 4 u→0. + cos2u sin π 2 4u. 1 − cos2u = −1 ⋅ u 4. −1. =lim u→0. lim u→0. x→0. lim x→0. =lim. = −1 ⋅0 = 0 4. 1 − cosax =0 x. 1 − cos5x 1 − cos5x 1 + cos5x =lim ⋅ x x x→0 1 + cos5x. 12 −. x→0. =. cos2u − 1 4u. 1 − cos2u u. en la actividad 3 se obtuvo lim. 12.. −1. lim x→0. cos5x x. 2. ⋅. 1 1 + cos5x. 1 − cos5x x. en la actividad 3 se obtuvo lim x→0. 1 − cosax =0 x. Límites con funciones trigonométricas. ⋅ lim x→0. 1 = 0⋅ 1 = 0 1+1 1 + cos5x.

(10) Sergio Yansen Núñez sinx − 1 cos2x + 1. lim. 13.. x→. π 2. sea u = x − π 2. Realizando un cambio de variable: cuando. x→ π 2. entonces. u→0. sin u + π − 1 sinu cos π + cosu sin π 2 2 2 lim =lim cos2u + π + 1 π u→0 cos 2 u + + 1 u→0 2 =lim. cosu − 1 cosu − 1 =lim cos2u cosπ − sin2u sinπ + 1 u→0 − cos2u + 1. =lim. cosu − 1 cosu + 1 1 + cos2u ⋅ ⋅ 1 − cos2u cosu + 1 1 + cos2u. =lim. 1 + cos2u cosu − 1cosu + 1 ⋅ − cos2u1 + cos2u cosu + 1 1. =lim. cos 2 u − 1 1 + cos2u ⋅ cosu + 1 1 − cos 2 2u. =lim. − sin 2 u 1 + cos2u ⋅ cosu + 1 sin 2 2u. =lim. sin 2 u −1 − cos2u ⋅ 2 cosu + 1 sin 2u. u→0. u→0. u→0. u→0. u→0. u→0. Como lim u→0. −1 − cos2u sin 2 u = −1 − 1 = −1, entonces se analizará lim 2 1+1 cosu + 1 u→0 sin 2u. sin 2 u sinu sinu lim =lim ⋅ ⋅ 2 sin2u u→0 sin 2u u→0 sin2u. 1 u2 1 u2. sinu sinu u u =lim ⋅ sin2u sin2u u→0 u u. sinu sinu u u =lim ⋅ = 1 ⋅ 1 = 1 2⋅1 2⋅1 4 sin2u sin2u u→0 2 ⋅ 2⋅ 2u 2u Por lo tanto, lim u→0. −1. sin 2 u −1 − cos2u ⋅ = 1 ⋅ −1 = − 1 2 4 4 cosu + 1 sin 2u. Límites con funciones trigonométricas.

(11) Sergio Yansen Núñez. 14.. 1 + sin2x − 1 − sin3x x. lim x→0. =lim x→0. =lim. 1 + sin2x − 1 − sin3x ⋅ x 1 + sin2x. x→0. 2. − x. 1 + sin2x − 1 − sin3x ⋅ x. =lim. 1 + sin2x − 1 + sin3x ⋅ x. =lim. sin2x + sin3x ⋅ x. x→0. x→0. sin2x sin3x + x x. =lim. 2⋅. x→0. ⋅. sin2x sin3x +3 ⋅ 2x 3x límite II. = 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 ⋅. 2. ⋅. 1 1 + sin2x + 1 − sin3x. 1 1 + sin2x + 1 − sin3x 1 1 + sin2x + 1 − sin3x. 1 1 + sin2x + 1 − sin3x. =lim x→0. 1 + sin2x + 1 − sin2x. 1 − sin3x. =lim x→0. 1 + sin2x + 1 − sin3x. límite II. 1 = 5 1+1 2. Límites con funciones trigonométricas. 1 1 + sin2x + 1 − sin3x. ⋅. 1 1 + sin2x + 1 − sin3x.

(12)