FÍSICA 2º BACHILLERATO
UNIDAD DIDÁCTICA 3. ONDAS
PARTE I VIBRACIONES Y ONDAS
“El mundo es mi país, y la ciencia mi religión.” Christiaan Huygens (1629 - 1695)1. Movimiento oscilatorio o vibratorio
• Concepto de oscilación: movimiento periódico que describe cualquier sistema o cuerpo alrededor de
su posición de equilibrio por tendencia a recuperar dicha posición cuando es apartado de la misma. Ejemplos: vibraciones de los átomos en una red cristalina o en una molécula, una bola en una copa, un péndulo, un cuerpo sujeto a un muelle,...
− Movimiento periódico: En general es aquel se repite cada cierto tiempo, es decir, en el que se llega repetidamente a la misma posición en el mismo tiempo. En el caso particular del movimiento oscilatorio se repiten las oscilaciones en el tiempo.
→ Período (T): tiempo que tarda en repetirse una posición dada (una oscilación completa). Se mide en unidades de tiempo.
→ Frecuencia (f o ): número de veces que se repite la misma posición (oscilaciones) en la unidad de tiempo. Unidad en el S.I.: hertzio (hertz), Hz (ciclos por segundo, oscilaciones por segundo, vibraciones por segundo).
→ Relación: T =1 f
− Características del movimiento oscilatorio
→ Dinámicas. El sistema o cuerpo tiende a recuperar la posición de equilibrio fuerza restauradora o recuperadora. La velocidad y la aceleración del cuerpo son variables. La primera es máxima en la posición de equilibrio y cero en los extremos, y la segunda es máxima en los extremos y cero en el punto de equilibrio.
→ Energéticas.
❖
Oscilaciones libres: no hay fuerzas disipativas ni de otro tipo (sólo las restauradoras) y el cuerpo oscilará indefinidamente. En este caso la energía mecánica del cuerpo se mantiene constante: transformaciones sucesivas de energía potencial en energía cinética y viceversa.❖
Oscilaciones amortiguadas: sí hay fuerzas disipativas (aunque no de otro tipo) y el sistema acabará retornando a la posición de equilibrio. En esta caso la energía mecánica no se conserva, aunque sí la energía total ya que dicha energía mecánica se irá transformando generalmente en calor.❖
Oscilaciones forzadas: hay una fuerza externa sobre el sistema que ayuda a mantener las oscilaciones (realiza trabajo positivo) cuando existe amortiguación. En este caso tampoco se conserva la energía mecánica, en general, y lo que se mantiene constante es la energía total (incluyendo calor y trabajo).1.1. Movimiento armónico simple (M.A.S.)
• Concepto de movimiento armónico simple. Es un movimiento oscilatorio en el que la partícula o cuerpo oscila bajo la acción de fuerzas restauradoras o recuperadoras que son proporcionales a la distancia a la posición de equilibrio. Dicho de otro modo la aceleración del movimiento es proporcional a dicha distancia. También se define como el movimiento oscilatorio en el que la posición de la partícula es una función sinusoidal del tiempo.
− Oscilador armónico. Cualquier partícula o sistema con movimiento armónico simple. • Magnitudes características
− Elongación (x): posición del móvil que oscila. Unidad S.I.: m. − Amplitud (A): elongación máxima. Unidad S.I.: m.
− Frecuencia angular (): velocidad angular del movimiento circular uniforme que se relaciona con el m.a.s. También se puede definir como el número de oscilaciones completas que se producen en un tiempo 2 π.
→ Está relacionada con la frecuencia y el período: ω = 2 · π · f ω =2·π T → Unidad S.I.: rad·s-1
− Fase del movimiento (·t + φ = ϕ): magnitud angular que mide el estado de movimiento en que se encuentra el móvil (oscilación). Se relaciona con el ángulo descrito en el MCU que representa el MAS. Unidad S.I.: rad.
− Constante de fase o fase inicial (φ): magnitud angular que indica el estado inicial (t = 0) del MAS. Es el ángulo inicial del MCU. Unidad S.I.: rad.
• Características cinemáticas
− Ecuación del m.a.s. (posición). Si el movimiento tiene lugar en el eje X se puede escribir:
x = A cos(ωt + φ) (3.1) x = A sen(ωt + φ) (3.2)
→ La expresión final de la ecuación depende del origen de tiempo elegido. → Representación gráfica x-t:
− Velocidad. Si x = A cos (·t + φ)
v(t) =dx
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v(x) = ω√A2− x2 (3.4) → Dos valores para cada elongación: ida y vuelta.
→ v = 0 en extremos (x = A) y v máximo en punto equilibrio (x = 0). − Aceleración:
a(t) =dv dt = −ω
2· A cos(𝜔𝑡 + 𝜑) (3.5)
a(x) = −ω2· x (3.6) → a = 0 en punto equilibrio (x = 0) y a máxima en extremos (x = A).
→ Gráficas x – t, v – t y a – t: dibujo derecha.
− Condiciones iniciales. Conociendo las condiciones iniciales, xo y vo, de un MAS
expresado como x(t) = A sen (·t + φ), xo = A sen y vo = A cos , podemos determinar la amplitud
y la fase inicial del movimiento:
A = √xo2+ vo2
ω2 (3.7)
tg φ =xo· ω vo
(3.8)
• Características dinámicas. Consideremos un oscilador formado por un muelle horizontal (k) con un extremo fijo y el otro sujeto a un cuerpo (m): la fuerza restauradora es:
∑ F = −k · x = m · a a = −k
m· x. El cuerpo describirá un MAS, donde ω
2= k
m
ω = √k
m (3.9)
− A partir de a = −k
m· x se puede deducir la ecuación del MAS: a = d2x dt2 = −
k m· x. Al resolver esta ecuación diferencial se hallan, como soluciones, las ecuaciones propuestas para el MAS (x = A cos (·t + φ); x = A sen (·t + φ)).
• Características energéticas
− Energía potencial. Las fuerzas restauradoras que obedecen la ley de Hooke (elásticas) son conservativas:
WCAB= −∆EpAB⇒ WC0x= ∫ −k · x dx = − [k · x 2
2 ]0 x
= −k · x 2
2 = −∆Ep0 x x
0
= −[Ep(x) − Ep(0)]
Si hacemos Ep(0) = 0
Ep(x) = 1 2 k · x
2 (3.10)
También se puede escribir
Ep(t) = 1 2 k · A
2 cos2(ωt + φ) (3.11)
La energía potencial de un oscilador armónico varía de forma periódica con el tiempo. − Energía cinética.
Ec=1 2 m · v
2⇒
Ec(x) = 1 2 m · ω
2· (A2− x2) =1 2 k · (A
2− x2) (3.12)
Ec(t) = 1
2 m · ω2· A2 sen2(ωt + φ) = 1
2 k · A2 sen2(ωt + φ) (3.13) La energía cinética de un oscilador armónico varía de forma periódica con el tiempo.
− Energía mecánica. Si sólo actúan las fuerzas recuperadoras la energía mecánica de un oscilador permanece constante
Em= Ec+ Ep= 1 2 k · A
2 sen2(ωt + φ) +1 2 k · A
2 cos2(ωt + φ) =1 2 k · A
2⇒
Em= 1 2 k · A
2 (3.14)
− Gráficas: derecha.
1.2. Otros ejemplos de osciladores mecánicos
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− En equilibrio con alargamiento o elongación “l” hacia abajo (origen de coordenadas x = 0 y sentido positivo hacia abajo, l > 0):
∑ F⃗ = m · a⃗ → Felástica+ P = 0 → −k · l + m · g = 0 → m · g = k · l → k = m · g
l − Desplazado verticalmente “x” respecto del equilibrio (origen de coordenadas x = 0 y sentido positivo hacia abajo):
∑ F⃗ = m · a⃗ → Felástica+ P = m · a ⇒ −k(l + x) + m · g = m · a ⇒ −k · l − k · x + m · g = m · a ⇒ −k · x = m · a ⇒
a = −k
m· x = −ω2· x ⇒ ω = √ k m⇒ f =
1 2 · π√
k m⇒
T = 2 · π√m
k (3.15) • Péndulo simple: masa sin dimensiones (puntual) “m” que puede oscilar colgada de un hilo
inextensible de masa despreciable y longitud “l” en un campo gravitatorio de intensidad “g”:
∑ F⃗ = m · a⃗ → T⃗⃗ + P⃗⃗ = m · a⃗ → {Eje X: Px= m · a ⇒ −|P⃗⃗ | · sen θ = m · a ⇒ −m · g · sen θ = m · a Eje Y: Py+ T = 0 ⇒ |P⃗⃗ | · cos θ = T → m · g · cos θ = T Para ángulos muy pequeños (muy pequeñas amplitudes u oscilaciones) sen y así:
sen θ ≈ θ =x
l → −g · θ = a ⇒ a = − g
l· x = −ω
2· x ⇒ ω = √g l⇒ f =
1 2 · π√
g l ⇒
T = 2 · π√l
g (3.16)
Ejercicio resuelto 1. Considera un resorte ideal (masa despreciable) y un cuerpo que cuelga de él. Haciendo uso de un cronómetro y una balanza, explica razonadamente cómo se puede obtener experimentalmente la constante elástica del muelle. Si es necesario apóyate en un ejemplo.
Para obtener experimentalmente la constante elástica del muelle utilizando un cronómetro y una balanza debemos tratar de relacionar dicha constante con la masa del cuerpo, medible mediante la balanza, y con un intervalo de tiempo que podamos medir con el cronómetro. Esta relación buscada se puede alcanzar haciendo que la masa colgada del muelle se separe de su posición de equilibrio para que oscile libremente con movimiento armónico simple. En tal circunstancia la constante elástica del resorte, la masa del cuerpo colgado de él y la frecuencia angular (periodo y frecuencia) con la que suceden las oscilaciones estarán relacionadas. Podemos recordar o deducir cómo se relaciona la frecuencia de oscilación de un objeto colgado de un muelle con las características dinámicas del movimiento, constante recuperadora del muelle, k, y masa del objeto, m:
∑ 𝐹 = −𝑘 · 𝑥 = 𝑚 · 𝑎 ⇒ 𝑎 = −𝑘 𝑚· 𝑥
El cuerpo describirá un MAS, donde
𝜔2= 𝑘
𝑚⇒ 𝜔 = √ 𝑘 𝑚
Por tanto, la constante del resorte es:
𝑘 = 𝑚 · 𝜔2= 𝑚 · (2𝜋 𝑇)
2
= 𝑚 ·4 𝜋 2
𝑇2
Si medimos la masa m del cuerpo con la balanza y el período T de oscilación del mismo colgado del muelle con el cronómetro, podremos determinar la constante del resorte. Para medir el período de oscilación es recomendable contabilizar el tiempo que tardan en producirse un determinado número de oscilaciones completas: el período se halla dividiendo el tiempo total entre dicho número de oscilaciones.
Ejercicio resuelto 2. a) Una partícula de 20 g está unida a un resorte y comienza a oscilar horizontalmente hacia la “derecha” desde su posición de equilibrio. Si efectúa 3,0 oscilaciones en un segundo y se le transmite una energía de 0,0089 J, escribe la ecuación del movimiento de la partícula y halla la constante elástica del muelle. b) Obtén los valores de la velocidad, la energía cinética y la energía potencial de la partícula en el punto x = – 2,0 cm.
a) Estrategia de resolución.- La ecuación del movimiento de una partícula que oscila unida a un resorte corresponde a un movimiento armónico simple, que se escribe en general como:
𝑥(𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔 𝑡 + 𝜑) 𝑥(𝑡) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝜔 𝑡 + 𝜑)
De este modo, para escribir completa la ecuación debemos obtener A, y φ:
- La frecuencia angular, , se obtiene a partir de la frecuencia f (3,0 oscilaciones por segundo = 3,0 Hz):
𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 · 3,0 𝐻𝑧 = 6,0𝜋 𝑟𝑎𝑑 · 𝑠−1= 18,8 𝑟𝑎𝑑 · 𝑠−1
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𝐸𝑚= 1
2 𝑘 · 𝐴2= 1
2 𝑚 · 𝜔2· 𝐴2= 1
2 𝑚 · (2𝜋 · 𝑓)2· 𝐴2= 1
2 𝑚 · 4 · 𝜋2· 𝑓2· 𝐴2
De esta manera podemos hallar la amplitud, recordando que previamente debemos expresar las unidades en el SI, 20 g = 0,020 kg:
𝐴 = √ 2 𝐸𝑚
𝑚 · 4 · 𝜋2· 𝑓2= √
2 · 0,0089 𝐽
0,020 𝑘𝑔 · 4 · 𝜋2· (3,0 𝐻𝑧)2= 0,050 𝑚
- La constante de fase, φ, se obtiene a partir de las condiciones iniciales. Consideraremos que para t = 0, x = 0 y se mueve hacia la “derecha” (v > 0). Por tanto:
- para la función seno: 𝑥(𝑡) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)
𝑥(0) = 0 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜑 ⇒ 𝑠𝑒𝑛 𝜑 = 0 ⇒ 𝜑 = { 0 𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑣(0) = 𝐴 𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜑 ⇒ 𝜑 = { 0 ⇒ 𝑣(0) = 𝐴 𝜔 𝑐𝑜𝑠 0 = 𝐴 𝜔 > 0
𝜋 𝑟𝑎𝑑 ⇒ 𝑣(0) = 𝐴 𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜋 = −𝐴 𝜔 < 0
Luego debemos quedarnos con φ = 0 rad. - para la función coseno: 𝑥(𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)
𝑥(0) = 0 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜑 ⇒ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 0 ⇒ 𝜑 = { 𝜋 2 𝑟𝑎𝑑 3𝜋
2 𝑟𝑎𝑑 ó − 𝜋 2 𝑟𝑎𝑑
𝑣(0) = −𝐴 𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝜑 ⇒ 𝜑 = {
𝜋
2 𝑟𝑎𝑑 ⇒ 𝑣(0) = −𝐴 𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜋
2= −𝐴 𝜔 < 0 3𝜋
2 𝑟𝑎𝑑 ó − 𝜋
2 𝑟𝑎𝑑 ⇒ 𝑣(0) = −𝐴 𝜔 𝑐𝑜𝑠 ( 3𝜋
2 𝑟𝑎𝑑 ó − 𝜋
2 𝑟𝑎𝑑) = 𝐴 𝜔 > 0
Luego debemos quedarnos con 𝜑 =3𝜋
2 𝑟𝑎𝑑 = − 𝜋 2 𝑟𝑎𝑑.
Así la ecuación del movimiento se puede expresar como:
𝒙(𝒕) = 𝟎, 𝟎𝟓𝟎 𝒄𝒐𝒔 (𝟔𝝅 𝒕 −𝝅
𝟐) (𝑺𝑰) = 𝟎, 𝟎𝟓𝟎 𝒄𝒐𝒔 (𝟔𝝅 𝒕 + 𝟑𝝅
𝟐) (𝑺𝑰) 𝒙(𝒕) = 𝟎, 𝟎𝟓𝟎 𝒔𝒆𝒏(𝟔𝟎𝝅 𝒕) (𝑺𝑰)
También podríamos llegar a las mismas conclusiones a partir de las gráficas de la elongación en función del tiempo o del conocimiento de la circunferencia del movimiento circular uniforme que se relaciona con el movimiento armónico simple. La constante elástica del resorte, k, la podemos determinar a partir de la masa que oscila y la frecuencia angular, 𝑘 = 𝑚 · 𝜔2: 𝑘 = 𝑚 · 𝜔2= 0,020 𝑘𝑔 · (6𝜋 𝑟𝑎𝑑 · 𝑠−1)2= 7,1 𝑁 · 𝑚−1.
b) Estrategia de resolución. Para hallar los valores de la velocidad, la energía cinética y la energía potencial de la partícula en el punto x = – 2,0 cm = – 0,020 m, haremos uso de las relaciones de estas magnitudes con la posición del objeto que oscila:
𝒗(𝒙) = 𝝎 √𝑨𝟐− 𝒙𝟐= 𝟔𝝅 𝒓𝒂𝒅 · 𝒔−𝟏· √(𝟎, 𝟎𝟓𝟎 𝒎)𝟐− (𝟎, 𝟎𝟐𝟎 𝒎)𝟐= ±𝟎, 𝟖𝟔 𝒎 · 𝒔−𝟏 𝑬𝒄(𝒙) = 𝟏 𝟐 𝒎 · 𝒗(𝒙)𝟐= 𝟏 𝟐 𝒎 · 𝝎𝟐· (𝑨𝟐− 𝒙𝟐) = 𝟏 𝟐 𝟎, 𝟎𝟐𝟎 𝒌𝒈 · (𝟔𝝅 𝒓𝒂𝒅 · 𝒔−𝟏)𝟐· ((𝟎, 𝟎𝟓𝟎 𝒎)𝟐− (𝟎, 𝟎𝟐𝟎 𝒎)𝟐) = 𝟎, 𝟎𝟎𝟕𝟒𝟔 𝑱 𝑬𝒑(𝒙) =𝟏 𝟐 𝒌 · 𝒙 𝟐=𝟏 𝟐 𝒌 · 𝒙 𝟐=𝟏 𝟐 𝒎 · 𝝎 𝟐· 𝒙𝟐=𝟏 𝟐 𝟎, 𝟎𝟐𝟎 𝒌𝒈 · (𝟔𝝅 𝒓𝒂𝒅 · 𝒔 −𝟏)𝟐· (𝟎, 𝟎𝟐𝟎 𝒎)𝟐= 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟒 𝑱
De este modo, la constante elástica del muelle es 𝟕, 𝟏 𝑵 · 𝒎−𝟏.
Ejercicio resuelto 3. Explica cómo cambiaría el período de un péndulo de longitud l en la superficie lunar (g = 1,63 m·s-2)
sabiendo que en la Tierra (g = 9,8 m·s-2) es de 1,0 s.
Para razonar cómo cambiaría el período de un péndulo en la superficie lunar sabiendo lo que sucede en la superficie de la Tierra, contaremos con los datos de las aceleraciones de la gravedad en la Luna y en la Tierra, y la expresión que permite
obtener el periodo de un péndulo a partir de la longitud del mismo y de la aceleración de la gravedad local, 𝑇 = 2𝜋√𝑔𝑙:
𝑇𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎= 2𝜋 √ 𝑙
𝑔𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎
𝑇𝐿𝑢𝑛𝑎= 2𝜋 √ 𝑙 𝑔𝐿𝑢𝑛𝑎
Dividamos la expresión del periodo en la Luna entre la del periodo en la Tierra para obtener su relación:
𝑇𝐿𝑢𝑛𝑎 𝑇𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎=
2𝜋 √𝑔 𝑙
𝐿𝑢𝑛𝑎
2𝜋 √𝑔 𝑙
𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎
=√𝑔𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 √𝑔𝐿𝑢𝑛𝑎 = √
9,8 𝑚 · 𝑠−2
1,63 𝑚 · 𝑠−2= 2,45 ⇒ 𝑇𝐿𝑢𝑛𝑎= 2,45 · 𝑇𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎= 2,45 · 1 𝑠 = 2,45 𝑠
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2. Movimiento ondulatorio
• Fenómenos ondulatorios: fichas de dominó, cuerda, muelle, sonido, superficie del agua,...
• Concepto de movimiento ondulatorio: propagación de una perturbación local de cualquier naturaleza a través de un medio material o incluso el vacío, sin que exista transporte neto de materia.
− Pulso: MO en el que la perturbación local es única, instantánea o discontinua (cada cierto intervalo tiempo). Ejemplos: cuerda, onda choque explosión.
− Onda: MO en el que la perturbación local es continua o mantenida. También se denomina tren de ondas u onda viajera.
• Periodicidad espacial y temporal de las ondas. El MO puede ser periódico o no. Cuando es periódico (la perturbación local se repite cada cierto tiempo) presenta una doble periodicidad: espacial y temporal, que son interdependientes o están relacionadas a través de la velocidad de propagación del MO.
− Periodicidad espacial. La perturbación se repite cada cierta distancia para cada instante de tiempo.
− Periodicidad temporal. La perturbación se repite cada cierto tiempo para cada punto del espacio. (Cada punto describe un MAS si la onda es armónica.)
• Rasgos diferenciadores entre ondas y partículas. − Deslocalización espacial.
− Transporte de cantidad de movimiento y energía sin transporte de materia.
− Fenómenos exclusivos del MO: interferencia, difracción, polarización, reflexión, refracción,... • Clasificación de los movimientos ondulatorios
− Según el medio de propagación:
→ Ondas mecánicas: MO que necesita de un medio material para propagarse. Ejemplos: sonido, cuerda, muelle,...
→ Ondas electromagnéticas: MO que no necesita de ningún medio material para propagarse, se propagan incluso en el vacío. Ejemplos: luz, ondas de radio, rayos X, radiación gamma,...
− Según la dirección de propagación frente a la de la perturbación
→ Ondas longitudinales: MO en el que la dirección de propagación coincide con la dirección de la perturbación. Ejemplos: sonido, muelle. Se producen en cualquier medio y dependen de la compresibilidad del mismo.
→ Ondas transversales: MO en el que la dirección de la propagación es perpendicular a la dirección de la perturbación. Ejemplos: cuerda, superficie del agua, electromagnéticas. Sólo se producen en medios
cuyas partículas están “fuertemente” ligadas: en sólidos o en la superficie de los líquidos (tensión superficial).
o Polarización. Fenómeno ondulatorio característico y exclusivo de las ondas transversales que consiste en una “selección” de la dirección de la perturbación.
▪ Onda polarizada. La perturbación (vibración) está confinada o restringida a un plano, denominado plano de polarización formado por la dirección de la perturbación (vibración) y la dirección de propagación.
▪ Tipos de polarización:
Lineal o plana: las direcciones de perturbación (vibración) sucesivas se encuentran en el mismo plano (muelle o cuerda).
Circular: el plano de polarización gira con el tiempo, es decir, las direcciones de la perturbación (vibración) describen una circunferencia (vista desde la dirección de propagación).
Elíptica: es el caso más general, en el que las direcciones de la perturbación describen una elipse.2.1 Velocidad de propagación
• Velocidad de propagación o velocidad de fase: velocidad con la que se desplaza la perturbación.
− Diferente de la velocidad con que se produce la oscilación o vibración (de las partículas o los campos) en cada punto por el paso de la perturbación.
− En el caso de las ondas mecánicas depende de la rapidez con que cada partícula sea capaz de transmitir la perturbación. Esta rapidez se relaciona con la elasticidad (fuerza de interacción o restauración) y la inercia del medio (oposición al cambio de movimiento) en general
v = √propiedad elástica propiedad inercial= √
factor de fuerza recuperadora
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v = √E ρ= √
J ρ
ρ es la densidad del medio, E o J es el módulo de Young que mide la elasticidad del medio.
→ Para las ondas transversales en las cuerdas depende de la tensión y de la densidad lineal:
v = √T λ = √
T η
T o F es la tensión de la cuerda, λ o η es la densidad lineal de la cuerda.
2.2. Magnitudes características del movimiento ondulatorio
• Magnitudes características de las ondas periódicas
− Amplitud (A): perturbación máxima que pasa por cualquier punto. Unidades: las de la magnitud que define la perturbación (elongación, presión, densidad, campo eléctrico, campo magnético, ...).
− Período (T): intervalo de tiempo que transcurre entre dos perturbaciones iguales y sucesivas que pasan por un punto genérico. Unidades S.I.: s.
− Longitud de onda (): distancia comprendida entre dos puntos sucesivos que se encuentran en el mismo estado de perturbación (misma ase) en un instante determinado. Unidad S.I.: m.
→ Relación:
v(velocidad de propagación) = λ
T (3.18)
− Frecuencia (f o ): número de perturbaciones iguales que pasan por un punto genérico en la unidad de tiempo. Unidad S.I.: Hz (ciclos·s-1).
→ Relaciones: f = υ =1 T
v = λ · υ = λ · f (3.19)
− Pulsación o frecuencia angular (): velocidad angular del MCU representativo del movimiento oscilatorio de los puntos perturbados por la onda. También se puede definir como el número de perturbaciones iguales que pasan por un punto genérico en un tiempo 2·. Unidad S.I.: rad·s-1.
→ Relaciones: ω = 2 · π · f = 2 · π · ν ω =2 π T
− Número de onda (k): número de perturbaciones iguales que se encuentran en una longitud 2· (es una magnitud análoga a para la longitud de onda). Unidad S.I.: m-1.
→ Relaciones:
k =2 π
λ (3.20) v =ω
k (3.21) − Vector de onda (k⃗ ): vector de módulo el número de onda y dirección y sentido de la propagación.
2.3. Ondas armónicas o sinusoidales
• Función de onda: expresión matemática (función) que representa la propagación de un movimiento ondulatorio. En general, depende del tiempo y la posición.
− Consideremos una onda que se propaga a lo largo del eje X hacia el sentido positivo (“derecha”): Ψ(x, t) = Ψ(x′)
x′= x − v · t } ⇒
Ψ(x, t) = Ψ(x − v · t) (3.22) − Si la propagación se produce hacia el sentido negativo (“izquierda”)
Ψ(x, t) = Ψ(x + v · t) (3.23) De este modo la función que representa un MO cualquiera que se desplaza a lo largo del eje X es
Ψ(x, t) = Ψ(x ± v · t) (3.24) − representa la magnitud física objeto de la perturbación que se propaga: elongación, presión, campo electromagnético, ...
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− Expresión matemática de la función de onda. Para una onda armónica que se propaga hacia el sentido positivo del eje X (“derecha”) es
Ψ(x, t) = A cos[k(x − vt)] = A cos(kx − kvt) = A cos(kx − ωt) − Para el sentido negativo del eje X:
Ψ(x, t) = A cos(kx + ωt)
− También se puede utilizar la función “seno”: son equivalentes y su utilización depende de la selección del instante inicial.
Ψ(x, t) = A sen(kx ± ωt) = A cos (kx ± ωt −π 2) − Expresiones más generales (incluyendo la fase inicial ):
Ψ(x, t) = A cos(kx ± ωt + φ) (3.25) Ψ(x, t) = A sen(kx ± ωt + φ) (3.26) Gráficas derecha.
− Características de la función de onda:
→
Depende de las variables posición y tiempo.→
Proporciona toda la información sobre el estado de perturbación de cualquier punto en cualquier instante.→
Indica la dirección y sentido de propagación de la onda.→
Presenta la doble periodicidad: las funciones seno y coseno son periódicas.→
Incluye las magnitudes características del movimiento ondulatorio.→
Indica que el valor de la perturbación está acotado: -A +A.Ejercicio resuelto 4. La función de onda para un movimiento ondulatorio sinusoidal en una cuerda tensa es: y(x, t) = 0,75 sen (10π t − 3π x) (SI)
Indica cuáles son su dirección y sentido de propagación, período, velocidad de propagación y longitud de onda.
Estrategia de resolución. La onda se propaga en la dirección del eje X (3𝜋 𝑥) sentido positivo (“derecha”, diferencia de términos en la fase, (10𝜋 𝑡 − 3𝜋 𝑥). El cálculo del periodo, la velocidad de propagación y la longitud de onda del movimiento ondulatorio se realiza a partir de la frecuencia angular 𝜔 = 10𝜋 𝑟𝑎𝑑 · 𝑠−1, y el número de onda 𝑘 = 3𝜋 𝑚−1. Así:
𝑻 =𝟐𝝅 𝝎 =
𝟐𝝅
𝟏𝟎𝝅 𝒓𝒂𝒅 · 𝒔−𝟏= 𝟎, 𝟐 𝒔
𝒗 =𝝎 𝒌 =
𝟏𝟎𝝅 𝒓𝒂𝒅 · 𝒔−𝟏 𝟑𝝅 𝒎−𝟏 =
𝟏𝟎 𝟑 𝒎 · 𝒔
−𝟏
𝝀 =𝟐𝝅 𝒌 =
𝟐𝝅 𝟑𝝅 𝒎−𝟏=
𝟐 𝟑 𝒎
Ejercicio resuelto 5. Una onda armónica de amplitud 0,50 m se propaga por una cuerda en el sentido negativo del eje OX con una velocidad de 4,0 m s-1 y un periodo de 0,25 s. Determina la función de la onda correspondiente sabiendo que el punto x = 0
m de la cuerda se encuentra a la máxima altura para el instante inicial, justificando las respuestas. Calcula la velocidad de vibración del punto x = 6 m en el instante t = 10 s.
Estrategia de resolución. La expresión de la función de onda que se propaga por la cuerda sería:
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝜔 𝑡 + 𝑘 𝑥 + 𝜑) 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝜔 𝑡 + 𝑘 𝑥 + 𝜑)
Hemos escrito + porque nos indican que el sentido de propagación del movimiento ondulatorio es el del eje OX negativo. La amplitud es A = 0,50 m.
La frecuencia angular es 𝜔 =2𝜋
𝑇; donde el periodo T es de 0,25 s. Así: 𝜔 =2𝜋
𝑇 = 2𝜋
0,25 𝑠= 8 𝜋 𝑟𝑎𝑑 · 𝑠−1
El número de onda k se puede hallar a partir de la velocidad de propagación v = 4,0 m·s-1. Teniendo en cuenta que 𝑣 =𝜔 𝑘: 𝑘 =𝜔
𝑣 =
8 𝜋 𝑟𝑎𝑑 · 𝑠−1
4,0 𝑚 · 𝑠−1 = 2 𝜋 𝑚−1
La fase inicial se obtiene considerando que el valor de la perturbación para x = 0 y t = 0 es máximo e igual a A = 0,50 m:
𝑦(0,0) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 𝐴 → 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 1 → 𝜑 = 0 𝑦(0,0) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜑 = 𝐴 → 𝑠𝑒𝑛 𝜑 = 1 → 𝜑 =𝜋
2 𝑟𝑎𝑑
Por tanto, la función de la onda es:
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𝒚(𝒙, 𝒕) = 𝟎, 𝟓𝟎 𝒔𝒆𝒏 (𝟖 𝝅 𝒕 + 𝟐 𝝅 𝒙 +𝝅 𝟐) (𝑺𝑰)
La velocidad de vibración del punto x = 6 m en el instante t = 10 s la hallaremos derivando la función de onda respecto del tiempo y sustituyendo en dicha derivada los valores indicados:
𝑣𝑃(𝑥, 𝑡) =
𝑑𝑦(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑡 =
𝑑
𝑑𝑡[0,50 𝑐𝑜𝑠 (8 𝜋 𝑡 + 2 𝜋 𝑥)] = 0,50 · [−𝑠𝑒𝑛 (8 𝜋 𝑡 + 2 𝜋 𝑥)] · 8 𝜋 (𝑆𝐼)
𝑣𝑃(𝑥, 𝑡) = −4 𝜋 · 𝑠𝑒𝑛 (8 𝜋 𝑡 + 2 𝜋 𝑥) (𝑆𝐼)
𝑣𝑃(𝑥 = 6 𝑚; 𝑡 = 10 𝑠) = −4 𝜋 · 𝑠𝑒𝑛 (8 𝜋 · 10 𝑠 + 2 𝜋 · 6 𝑚) = 0
De este modo, la velocidad de oscilación del punto solicitado, x = 6 m, en el instante t = 10 s es nula.
2.4. Energía e intensidad de las ondas
• Energía de las ondas unidimensionales
− Estudiando el comportamiento de una onda sencilla, como lo es aquella que se propaga en una dimensión, podemos llegar a una conclusión importante: la energía E transmitida por una onda es directamente proporcional al cuadrado de la frecuencia f y al cuadrado de la amplitud A según: E = cte · f2· A2.
− Para comprobar la afirmación anterior particularizaremos para el caso de una cuerda unida en uno de sus extremos a un oscilador armónico como el de la figura.
− El oscilador armónico de la figura (página anterior), atado a una cuerda, hace que cada partícula de la misma oscile siguiendo un movimiento armónico simple de características similares a las del foco, pero con cierto retraso respecto a este, según la velocidad de propagación que tenga la onda sobre la cuerda.
La energía que tiene el oscilador que actúa de foco viene dada por: Eosc=12 kosc· A2osc=12 mosc· ωosc2 · A2osc.
− Por otro lado, dado que una porción cualquiera de la cuerda, de masa ∆m y que abarque una longitud ∆x, también oscila según un movimiento armónico simple, podemos escribir que la energía que tendrá dicha porción será
∆E =1
2 ∆m · ω2· A2 (3.27) − Ahora bien, podemos definir μ como la densidad lineal, es decir, la masa por unidad de longitud, quedando entonces: μ =∆m
∆x (en general μ = dm dx).
− La energía de una porción de cuerda ∆x queda, reescribiendo la expresión anterior: ∆E =1
2 μ · ∆x · ω 2· A2
− Podemos elegir como longitud la longitud de onda λ, quedando la energía contenida en una longitud de onda:
E =1
2 μ · λ · ω
2· A2= 2 · π2· μ · λ · f2· A2 (3.28)
En una onda lineal sin amortiguación (la onda que se propaga en una cuerda sin rozamiento con el aire) la amplitud se mantiene constante.
• Energía de las ondas en dos dimensiones
− Para abordar el estudio de las ondas bidimensionales nos centraremos en el caso de una onda con un frente de ondas circular que se propaga en un medio homogéneo e isótropo. La energía transmitida en una onda circular por el foco al medio se reparte a lo largo de los frentes de onda. Por ello, a medida que la onda se propaga, su amplitud A decrece de manera proporcional a la distancia r al foco según: A ∝ 1
√r.
− Para comprobar la afirmación anterior recurriremos al clásico ejemplo de propagación de una onda sobre la superficie de un estanque en calma. En esta ocasión, sin embargo, en lugar de considerar una piedra que cae, consideraremos que hay un oscilador armónico como fuente del movimiento.
− Una onda propagándose en la superficie de un estanque es un ejemplo de frente circular propagándose en un medio isótropo. La energía del oscilador, como ocurría antes, será la que se transmita al medio y viene dada por:
Eosc=1
2 mosc· ωosc
2 · A
osc 2
− Sin embargo, en esta ocasión, la conservación de la energía exige que esta se transmita, no linealmente, de partícula en partícula adyacente, como ocurría antes, sino circularmente, a través de las muchas partículas que constituyen los sucesivos frentes de ondas que se van formando. Dicho de otro modo, la energía de dos frentes de ondas cualesquiera es la misma.
− La energía de los frentes de onda a, situado a una distancia ra del foco,
y b situado a rb es la misma ya que la energía "que suministra" el foco se distribuye por
todo el frente.
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de la densidad lineal del medio μ =m
l (masa por unidad de longitud, en general μ = dm
dl) según μ = m
l =
m
2·π·r→ m = μ · 2 · π · r.
− Para el frente a: Efrentea =1
2 mfrentea· ω
2· A a
2 =1
2 μ · 2 · π · ra· ω 2· A
a 2.
− Para el frente b: Efrenteb=1
2 mfrenteb· ω
2· A b
2 =1
2 μ · 2 · π · rb· ω 2· A
b 2.
− En general: Efrente= 1
2 mfrente· ω
2· A2= μ · π · r · ω2· A2= 4 · π3· μ · r · f2· A2
− Donde hemos tenido en cuenta que la frecuencia angular ω de ambos frentes es la misma, ya que esta queda fijada por la frecuencia del foco. Finalmente, dado que la energía debe conservarse, podemos escribir:
Efrentea = Efrenteb= cte →1
2 μ · 2 · π · ra· ω 2· A
a
2=1
2 μ · 2 · π · rb· ω 2· A
b
2 = cte → r
a· A2a= rb· A2b= cte − Podemos generalizar la expresión anterior escribiendo:
r · A2= cte → A =cte √r → A ∝
1
√r (3.29) − El desarrollo anterior también guarda otra expresión de gran utilidad: conocida la amplitud Aa de una onda circular a
una determinada distancia ra del foco, podemos determinar la amplitud Ab a cualquier otra distancia rb según la relación: ra· A2a= rb· A2b →
A2b A2a=
ra
rb (3.30) • Energía de las ondas en tres dimensiones
− Para abordar el estudio de las ondas tridimensionales nos centraremos en el caso de una onda esférica que se propaga de nuevo en un medio homogéneo e isótropo.
− La energía transmitida en una onda esférica por el foco al medio se reparte a lo largo de los frentes de onda. Por ello, a medida que la onda se propaga, su amplitud A decrece de manera proporcional a la distancia r al foco según: A =1
r. − Para comprobar la afirmación procederemos de manera análoga al ejemplo de ondas en dos dimensiones, pero en este caso tendremos en cuenta que los frentes de onda no son líneas circulares sino superficies esféricas.
La masa de un frente de ondas, en este caso, se determina a partir de la densidad superficial σ =m
S (masa por unidad de superficie, en general σ = dm
dS) y la superficie de la esfera viene dada por S = 4 · π · r2 por lo que m = σ · S = σ · 4 · π · r2.
La energía de dos frentes de onda cualesquiera de una onda esférica situados a distancias ra y rb del origen permanece constante. La energía de cada
uno de los frentes anteriores viene dada por:
Efrentea =1
2 mfrentea· ω
2· A a
2=1
2 σ · 4 · π · ra 2· ω2· A
a 2 E
frenteb =
1
2 mfrenteb· ω
2· A b
2 =1
2 σ · 4 · π · rb 2· ω2· A
b 2
En general la energía de un frente es: Efrente=12 mfrente· ω2· A2=21 σ · 4 · π · r2· ω2· A2= 2 · σ · π · r2· ω2· A2 Y dado que por la conservación de la energía
Efrentea= Efrenteb= cte →
1
2 σ · 4 · π · ra2· ω2· A2a= 1
2 σ · 4 · π · rb2· ω2· A2b= cte → r2a· A2a= rb2· A2b= cte
r2· A2= cte → A =cte r → A ∝
1
r (3.31) De nuevo, el desarrollo anterior nos regala una expresión para el cálculo de la amplitud Ab de una onda esférica a una determinada
distancia rb del foco, conocida la amplitud Aa a una distancia ra: ra2· Aa2= rb2· Ab2 → A2b
A2a= ra2
rb2 (3.32) • Potencia de las ondas
− La potencia P de una onda es la energía que transmite por unidad de tiempo, y su valor es proporcional al cuadrado de la amplitud A y al cuadrado de la frecuencia f: para la potencia media P =∆E
∆t = cte · f
2· A2 (en general P =dE dt) La unidad de medida de la potencia en el Sistema Internacional es el vatio (W).
− Para comprobar la expresión anterior podríamos centrarnos en cualquiera de los ejemplos anteriores usados para los casos de ondas unidimensionales, bidimensionales o tridimensionales.
− Nos centraremos en el caso de la onda transmitiéndose en una dimensión y partiremos de la expresión de su energía y de la definición de potencia como energía por unidad de tiempo. Así, se puede escribir:
P =∆E ∆t =
1
2 μ · ∆x · ω 2· A2
∆t →
P =1
2 μ · v · ω
2· A2 (3.33)
O bien
P =∆E ∆t =
2 · π2· μ · ∆x · f2· A2
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P = 2 · π2· μ · v · f2· A2 (3.34) Donde v es la velocidad de propagación de la onda.
− Para las ondas bidimensionales:
P =1
2 σ · 2 · π · r · v · ω
2· A2= 4 · π3· r · σ · v · f2· A2 (3.35)
− Para ondas tridimensionales:
P =1
2 ρ · 4 · π · r
2· v · ω2· A2= 8 · π3· r2· ρ · v · f2· A2 (3.36)
Donde ρ es la densidad volumétrica del medio, cuyo valor es ρ =∆m∆V =m
V (en general ρ = dm dV). • Intensidad de las ondas
− Una magnitud muy relevante para el estudio energético del movimiento ondulatorio de las ondas que se propagan en el espacio es su intensidad.
− Definimos la intensidad de una onda como la cantidad de energía que se propaga por unidad de tiempo a través de una unidad de superficie colocada perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda.
También se puede definir como la potencia por unidad de superficie.
Su valor, que también es proporcional al cuadrado de la frecuencia y al cuadrado de la amplitud, viene dado por: para la intensidad media
I = ∆E ∆t · ∆S=
∆P
∆S= cte · f
2· A2 (3.37)
Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el J·s-1·m-2 o el W·m-2.
En general la intensidad de las ondas es:
I =1
2 ρ · v · ω2· A2= 2 · π2· ρ · v · f2· A2 (3.38) − En el caso de ondas esféricas (tridimensionales) hemos visto que la amplitud decrece a medida que nos alejamos del foco emisor, por lo que igualmente la intensidad de la onda disminuye a medida que nos alejamos del foco, concretamente con el cuadrado de la distancia a él (es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a él).
De este modo: A ∝1
r→ I ∝ A
2→ I ∝ 1 r2→
I2 I1=
r12
r22 (3.39) A esta amortiguación de la onda debida al reparto de energía entre frente de ondas cada vez mayores se le denomina formalmente atenuación y es responsable, por ejemplo, de que si pegas tu oreja al altavoz de tu móvil puedas oír claramente la conversación que serías incapaz de oír, digamos, a 2 metros de este.
− En el caso de ondas bidimensionales hemos visto que la amplitud decrece con la raíz cuadrada de la distancia al foco emisor, por lo que igualmente la intensidad de la onda disminuye a medida que nos alejamos del foco, concretamente es inversamente proporcional a la distancia a dicho foco.
En este caso: A ∝ 1
√r→ I ∝ A
2→ I ∝1 r→ I2 I1
=r1 r2
(3.40)
− Finalmente para ondas unidimensionales la amplitud no cambia y, por tanto, tampoco lo hace la intensidad: A = cte → I = cte →
I1= I2 (3.41) En una onda lineal sin amortiguación (la onda que se propaga en una cuerda sin rozamiento con el aire) la amplitud y la intensidad se mantienen constantes. Por lo tanto no se atenúa.
La onda de una cuerda se atenúa por rozamiento con el aire que la rodea, pero no tiene una atenuación propia de la propagación, como las superficiales y espaciales, que al extenderse a más partículas de medio reparten entre ellas su energía.
− Absorción de ondas planas. Se comprueba experimentalmente que una onda plana experimenta una variación de su intensidad al atravesar un medio de cierto espesor.
Esta variación es proporcional a la intensidad de la onda y a la distancia, y depende de las características del medio (rozamiento, viscosidad, …). Estas características se recogen en el denominado coeficiente de absorción, k, del medio. Se mide en m-1 en el SI.
La intensidad decrece exponencialmente con la distancia debido a la absorción y decrece con al cuadrado de la distancia.
Matemáticamente: I = Io· e−k·r.
3. Propiedades de las ondas
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− Frente de onda: lugar geométrico de los puntos (superficie, en general) que se encuentran en el mismo estado de perturbación (en la misma fase). Ejemplo: ondas en la superficie del agua.
− Rayo: línea tangente al vector de onda (k⃗ ), que define la dirección de propagación del MO.
→
Los rayos son perpendiculares a los frentes de onda en cada punto.− En 1690, en la obra Tratado sobre la luz, el físico, matemático y astrónomo holandés Cristian Huygens (1629-1695) describe las características de la propagación de las ondas de forma sencilla.
→
Principio de Huygens: cada uno de los puntos de un frente de onda puede ser considerado como un nuevo foco emisor de ondas secundarias que avanzan en el sentido de avance de la perturbación (sentido de propagación), y cuya envolvente constituye el nuevo frente. Dibujos derecha.3.1. Reflexión y refracción
• La reflexión y la refracción aparecen siempre que una onda alcanza la superficie de separación de dos medios distintos (interfase).
• Reflexión
− Aparece cuando frente de onda llega a interfase (límite de medios).
− Consiste en una inversión parcial de la dirección de propagación de una onda y regreso al medio inicial: onda reflejada. Ejemplos: espejos, muelles, cuerdas,...
− Explicación mediante el principio de Huygens: leyes de la reflexión.
o El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal a la interfase en el punto de incidencia se encuentran en el mismo plano.
o El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión
î = r̂ (3.42)
o Magnitudes de la onda reflejada:
▪ La frecuencia no cambia respecto a la onda incidente.
▪ La longitud de onda tampoco cambia debido a que la velocidad de propagación es la misma. ▪ La amplitud varía dependiendo de las características de cada caso.
▪ La energía se conserva en el proceso global de la reflexión y la refracción (transmisión). • Refracción
− Aparece cuando frente de onda llega a interfase (límite de medios), generalmente en medios transparentes.
− La onda traspasa la superficie límite transmitiéndose de un medio al otro cambiando la dirección de propagación: onda refractada. Ejemplos: cuchara en agua, piscina,...
− Explicación mediante el principio de Huygens: leyes de la refracción.
o El rayo incidente, el rayo refractado y la normal a la interfase en el punto de incidencia se encuentran en el mismo plano.
→En 1621 el geómetra holandés Willebrord Snell (1580-1626) había
obtenido, de forma empírica, la ley que relaciona los ángulos de incidencia y refracción y que es explicada mediante el principio de Huygens ley de Snell:
sen î sen r̂=
v
v′ (3.43) →Magnitudes de la onda refractada
▪ La frecuencia no cambia respecto a la onda incidente.
▪ La longitud de onda sí cambia puesto que la velocidad de propagación es diferente en ambos medios
f = f′⇒v λ=
v′ λ′⇒
λ λ′=
v
v′ (3.44) ▪ La amplitud varía dependiendo de las características de cada caso.
▪ La energía se conserva en el proceso global de la reflexión y la refracción (transmisión). • Reflexión total
− Aparece cuando la v < v’ y, por tanto, según la ley de Snell î < r̂.
− Para cierto ángulo incidente, î, el ángulo refractado, r̂, es igual a 90º: el rayo refractado sale paralelo a la superficie de separación ángulo límite; îlímite:
sen îlímite = v
FÍSICA 2º BACHILLERATO − Aplicaciones: fibras ópticas.
3.2. Difracción
• Concepto de difracción: fenómeno ondulatorio que consiste en que un MO modifica su dirección de propagación (se distorsiona) cuando alcanza una superficie que no le permite propagarse (obstáculo) en la que se encuentra un orificio, abertura o rendija cuyo tamaño es del orden de su longitud de onda.
− Explica el hecho de que las ondas puedan “doblar” esquinas y salvar obstáculos. Ejemplos: la luz y el sonido.
− Es un fenómeno exclusivo de las ondas (no las partículas).
− Se puede explicar mediante el principio de Huygens y los fenómenos de interferencia: cada punto de la porción del frente no interceptado por el obstáculo es un foco de ondas secundarias que se superponen figuras de difracción.
− El fenómeno de la difracción depende la longitud de onda del MO: sólo adquiere importancia cuando la longitud de onda es comparable con el tamaño de la abertura.
→ Diferentes longitudes de onda de OEM (luz) y sonido diferentes fenómenos de difracción por distintos tamaños de obstáculos y rendija que son significativos.
→ Luz y orificio circular: anillos brillantes y oscuros. → Luz y orifico rectangular: bandas brillantes y oscuras. → Luz y conjunto de rendijas: red de difracción.
→ Podemos oír detrás de las esquinas, sin embargo no vemos.
→ Recepción de ondas de televisión (longitud de onda del orden de los metros) en ciudades (antenas en la parte superior de los edificios).
→ Recepción de ondas de radio (buena para AM, 300 m, y mala para FM, 3 m) en zonas montañosas.
→ Aplicaciones: estructura atómica mediante difracción de rayos X y mediciones de longitudes de onda.
3.3. Superposición de ondas: interferencia
• Principio de superposición de ondas. La perturbación producida en un punto por dos o más MO es igual a la suma algebraica de las perturbaciones producidas en dicho punto por cada una de las ondas consideradas de modo aislado.
− Matemáticamente:
Ψ = Ψ1+ Ψ2+ Ψ3+ ⋯ + Ψn= ∑ Ψi n
i=1
(3.46)
(Sólo aplicable rigurosamente a las ondas electromagnéticas y las ondas mecánicas de amplitud muy pequeña)
− La contribución de cada onda no se ve afectada por las demás.
− Las funciones de onda son aditivas, pero los efectos físicos (medibles) no (luz+luz = oscuridad; sonido+sonido = silencio): fenómenos de interferencia.
• Interferencia: fenómeno ondulatorio que consiste en la superposición de varios MO que se propagan en el mismo medio produciendo efectos físicos medibles.
− Los fenómenos de interferencia se pueden estudiar mediante el principio de superposición y son exclusivos de los MO (no partículas).
− Estudio sencillo: consideremos dos focos, O1 y O2, que producen, al mismo tiempo, ondas armónicas de igual
período (frecuencia) y longitud de onda (número de onda); en el punto P: Con las funciones seno
Ψ1(x1, t) = A1 sen(kx1− ωt)
Ψ2(x2, t) = A2 sen(kx2− ωt)} ⇒
Ψ = Ψ1+ Ψ2= A1 sen(kx1− ωt) + A2 sen(kx2− ωt) = A1senkx1cosωt − A1coskx1senωt + A2senkx2cosωt − A2coskx2senωt
Ψ = Ψ1+ Ψ2= (A1senkx1+ A2senkx2) · cosωt − (A1coskx1+ A2coskx2) · senωt = A senϕ cosωt − A cosϕ senωt ⇒
Ψ = A sen(ϕ − ωt)
A senϕ = A1senkx1+ A2senkx2
A cosϕ = A1coskx1+ A2coskx2} ⇒ {
A2= A 1 2+ A
2 2+ 2 · A
1· A2· cos[k · (x1− x2)]
tgϕ =A1senkx1+ A2senkx2 A1coskx1+ A2coskx2 Con las funciones coseno:
Ψ1(x1, t) = A1 cos(kx1− ωt)
Ψ2(x2, t) = A2 cos(kx2− ωt)} ⇒
Ψ = Ψ1+ Ψ2= A1 cos(kx1− ωt) + A2 cos(kx2− ωt) = A1coskx1cosωt + A1senkx1senωt + A2coskx2cosωt + A2senkx2senωt
Ψ = Ψ1+ Ψ2= (A1coskx1+ A2coskx2) · cosωt + (A1senkx1+ A2senkx2) · senωt = A cosϕ cosωt + A senϕ senωt ⇒
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A senϕ = A1senkx1+ A2senkx2
A cosϕ = A1coskx1+ A2coskx2} ⇒ {
A2= A21+ A22+ 2 · A1· A2· cos[k · (x1− x2)]
tgϕ =A1senkx1+ A2senkx2 A1coskx1+ A2coskx2
δ = kx1− kx2≡ diferencia de fase
∆= x1− x2≡ diferencia de camino} ⇒ δ = k · Δ
→
Análisis de máximos y mínimos:
Máximos de amplitud o interferencia constructiva cos[k(x1 – x2)] = +1 k(x1 – x2) = n·2(n Z)
x1− x2= ∆= n2 π
k = n · λ (n ∈ Z) (3.47) La amplitud será en este caso: A = A1 + A2.
Mínimos de amplitud o interferencia destructiva cos[k(x1 – x2)] = – 1 k(x1 – x2) = (2n +1)· (n Z)
x1− x2= ∆=(2n + 1) π
k = (2n + 1) · λ
2 (n ∈ Z) (3.48) La amplitud será en este caso: A = |A1 - A2|.
3.4. Ondas estacionarias
• Concepto de onda estacionaria: fenómeno de superposición de ondas idénticas que se propagan en el mismo medio en sentido contrario.
− Diferentes de las ondas viajeras: no implican avance de la perturbación. • Consideremos dos ondas idénticas que se propagan en sentidos contrarios: Ψ1(x, t) = A sen (kx + ωt)
Ψ2(x, t) = A sen (kx − ωt)
} Ψ = Ψ1+ Ψ2= A sen (kx + ωt) + A sen (kx − ωt)
Ψ = 2 A sen kx cos ωt (3.49) Con las funciones coseno:
Ψ1(x, t) = A cos (kx + ωt) Ψ2(x, t) = A cos (kx − ωt)
} Ψ = Ψ1+ Ψ2= A cos(kx + ωt) + A cos(kx − ωt)
Ψ = 2 A cos kx cos ωt (3.50) − Forma de MAS con amplitud 2A sen (kx) (o 2A cos (kx)), es decir, dependiente de la posición.
− No onda progresiva o viajera: no depende de x, sólo de t onda estacionaria.
− En cada punto hay una oscilación de amplitud constante: conjunto de osciladores armónicos contiguos que vibran sincrónicamente cuyas amplitudes varían de un punto a otro.
− Análisis de máximos y mínimos de amplitud
→
Máximos, 2A, (vientres o antinodos): 2A sen (kx) es máximo cuando sen (kx) = 1 k · xvientres= (2n + 1) ·π
2 (n ∈ ℤ) ⇒ xvientres= (2n + 1) · π
2 k= (2n + 1) · λ
4 (n ∈ ℤ) ⇒ xvientres=
λ 4,
3 λ 4 ,
5 λ 4 ,
7 λ 4 , …
→
Mínimos, 0, (nodos o antivientres): 2A sen (kx) es mínimo cuando sen (kx) = 0 k · xnodos= n · π (n ∈ ℤ) ⇒ xnodos= n ·πk= n · λ
2 (n ∈ ℤ) ⇒ xnodos= 0,λ
2, λ, 3 λ
2 , …
→
Distancia entre dos nodos o dos vientres consecutivos:λ2. En general, nλ
2, donde n = 1, 2, 3, 4, ...
→
Distancia entre nodos y vientres consecutivos: λ 4. En general, (2n − 1)λ4, donde n = 1, 2, 3, 4, ....
• Ondas estacionarias en cuerdas. En medios unidimensionales limitados por dos extremos las ondas estacionarias se producen por reflexiones sucesivas.
− Tres casos (medio de longitud L):
→
Límites fijos: condición xnodos = L L = nλ2⇒
λn= 2 L
n donde; n = 1, 2, 3, 4, ... λn= 2L, L,2L
3 , L 2, …
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Para las frecuencias, f =v λ⇒ fn=
nv
2L; donde n = 1, 2, 3,...
Esas frecuencias reciben el nombre de armónicos (serie armónica): n = 1 es el armónico fundamental o primer armónico (f1= v
2L); segundo armónico es n = 2 (f2=v
L),...
→
Límites libres: condición xvientres = L L = nλ 2⇒
λn=2 L n donde n = 1, 2, 3, ... λn= 2L, L,2L
3 , L
2, … (dibujos) Para las frecuencias, f =v
λ⇒ fn= nv
2L; donde n = 1, 2, 3, ...(dibujos)
→
Límite fijo – límite libre: condición |xnodo – xvientre| = L L =(2n − 1)λ 4⇒
λn= 4L 2n − 1 donde n = 1, 2, 3, 4, ... λn= 4L,4L
3 , 4L
5 , …
Para las frecuencias, f =v λ⇒ fn=
(2n−1) v
4L ; donde n = 1, 2, 3, ... (dibujos)
− Estudio aplicable a ondas estacionarias en muelles, al sonido en tubos (instrumentos de viento), cuerdas (instrumentos de cuerda).
•
Diferencias entre ondas estacionarias y ondas viajeras − No hay transporte de energía de un punto a otro.− No hay avance de la perturbación: no hay sentido de la propagación. − La amplitud varía de un punto a otro: en los nodos es cero.
− No depende de la posición, x, sólo del tiempo, t: osciladores contiguos.
Ejercicio resuelto 6. Una cuerda vibra según la ecuación: y(x, t) = 5,0 sen (π
3x) cos(40π t) (SI)
Calcula razonadamente: (i) La velocidad de vibración en un punto que dista 1,5 m del origen en el instante t = 1,25 s; (ii) la distancia entre dos nodos consecutivos y (iii) los nodos que contendrá una cuerda de 6 m de longitud con los extremos fijos que oscile con dicha vibración.
Estrategia de resolución. (i) La velocidad de vibración en un punto que dista 1,5 m del origen en el instante t = 1,25 s la obtendremos derivando la función de la onda para después sustituir los valores de x y t.
De este modo:
𝑣𝑝(𝑥, 𝑡) =
𝑑𝑦(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑡 =
𝑑
𝑑𝑡[5,0 𝑠𝑒𝑛 ( 𝜋
3𝑥) 𝑐𝑜𝑠(40𝜋 𝑡)]
𝑣𝑝(𝑥, 𝑡) = 5,0 · [𝑠𝑒𝑛 (𝜋
3𝑥)] · [−𝑠𝑒𝑛(40𝜋 𝑡)] · 40𝜋 (𝑆𝐼) = −200 𝜋 𝑠𝑒𝑛 ( 𝜋
3𝑥) 𝑠𝑒𝑛(40𝜋 𝑡) (𝑆𝐼)
𝑣𝑝(𝑥 = 1,5 𝑚; 𝑡 = 1,25 𝑠) = −200 𝜋 𝑠𝑒𝑛 ( 𝜋
31,5 𝑚) 𝑠𝑒𝑛(40𝜋 1,25) (𝑆𝐼) = 0
Es decir, la velocidad de vibración del punto x = 1,5 m en el instante t = 1,25 s es cero.
(ii) La distancia que separa dos nodos consecutivos es 𝜆
2. De este modo, debemos hallar la longitud de onda y dividirla entre 2.
Recordemos que la longitud de onda se relaciona con el número de onda k:
𝑘 =2 𝜋 𝜆 ⇒ 𝜆 =
2 𝜋 𝑘 =
2 𝜋 𝜋 3 𝑚
−1= 6 𝑚
Así la distancia solicitada es:
𝑑𝑁−𝑁= 𝜆 2=
6 𝑚 2 = 3 𝑚
La distancia entre dos nodos consecutivos es de 3 m.
(iii) Para hallar los nodos que contendrá una cuerda de 6 m con los extremos fijos que oscile con la vibración indicada tendremos en cuenta su longitud, L = 6 m, la longitud de onda, 𝜆 = 6 m, y la situación de los extremos del tubo, que al estar fijos suponen dos nodos. En este caso:
𝐿 = 𝑛 ·𝜆 2⇒ 𝑛 =
2 · 𝐿 𝜆 =
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Por tanto, en la cuerda se pueden observar 3 nodos puesto que caben dos semilongitudes de onda en la cuerda y los extremos son nodos.
Esto quiere decir que oscila en el segundo modo normal de vibración y que posee tres nodos y dos vientres.
Esto quiere decir que el sistema, cuerda de 6 m de longitud con los extremos fijos, se encontrará en el segundo modo normal de vibración, es decir “ha seleccionado” una onda estacionaria que posee 3 nodos (hay que tener en cuenta que los dos extremos lo son).
También podemos determinar todos estos detalles si representamos o dibujamos la onda estacionaria:
Podemos observar perfectamente los 3 nodos indicados (segundo modo normal de vibración).
Ejercicio resuelto 7. En una cuerda de una guitarra se genera una perturbación de una amplitud de 5,5 · 10-3 m, con una frecuencia
de oscilación de uno de sus puntos de 440 Hz y con una velocidad de propagación antes de reflejarse de 110 m·s-1. ¿Qué tipo de
onda se ha producido en la cuerda de 0,50 m de longitud y extremos fijos? Calcula (i) el número de vientres que presentaba y el modo normal en el que vibraba la cuerda, y (ii) la amplitud y la velocidad máxima de un punto de la misma que está a 0,35 m de uno de los extremos.
Estrategia de resolución. La onda que se produce en la cuerda es una onda estacionaria, debida a la interferencia de dos movimientos ondulatorios idénticos (onda viajera y su onda reflejada en el extremo de la cuerda) que se propagan en sentidos contrarios.
(i) Para determinar el número de vientres que presentaba y el modo normal en el que vibraba la cuerda, teniendo en cuenta que tiene los extremos fijos (nodos) en la que se genere una onda estacionaria se cumplirá que su longitud equivaldrá a:
𝐿 = 𝑛 ·𝜆
2 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 = 1, 2, 3, …
Teniendo en cuenta que la longitud de onda con la que vibra la cuerda es
𝜆 =𝑣 𝑓=
110 𝑚 · 𝑠−1
440 𝐻𝑧 = 0,25 𝑚
Hallaremos n,
𝑛 = 2𝐿 𝜆= 2
0,5 𝑚 0,25 𝑚= 4
Esto quiere decir que oscila en el cuarto modo normal de vibración y que posee cuatro vientres (caben dos longitudes de onda completas en la cuerda).
Esto quiere decir que el sistema, cuerda de 0,50 m de longitud con los extremos fijos, se encontrará en el cuarto modo normal
de vibración, es decir “ha seleccionado” una onda estacionaria que posee 5 nodos (hay que tener en cuenta que los dos extremos
lo son) y cuatro vientres.
También podemos determinar todos estos detalles si representamos o dibujamos la onda estacionaria:
Podemos observar perfectamente los 4 vientres indicados.
-5,00 -4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00
0 1 2 3 4 5 6
y (
m
)
x (m)
-0,0110 -0,0088 -0,0066 -0,0044 -0,0022 0,0000 0,0022 0,0044 0,0066 0,0088 0,0110
0 0,125 0,25 0,375 0,5
y (m)
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(ii) La amplitud y la velocidad máxima de un punto de la cuerda que está a 0,35 m de uno de los extremos los determinaremos escribiendo la amplitud de vibración de los puntos de la cuerda en función de su posición respecto a uno de sus extremos:
𝐴(𝑥) = 2 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝑘 · 𝑥)
Sabiendo que:
𝐴 = 0,0055 𝑚
𝜆 =2𝜋 𝑘 ⇒ 𝑘 =
2𝜋 𝜆 =
2𝜋
0,25 𝑚= 8 𝜋 𝑚 −1
Así:
𝐴(𝑥) = 2 · 0,0055 𝑠𝑒𝑛 (8 𝜋 · 𝑥) (𝑆𝐼)
En el punto x = 0,35 m:
𝐴(𝑥 = 0,35 𝑚) = 2 · 0,0055 𝑠𝑒𝑛 (8 𝜋 · 0,35 𝑚) = 2 · 0,0055 𝑠𝑒𝑛 (8 𝜋 · 0,35 𝑚) = 0,0065 𝑚
La velocidad máxima de vibración del movimiento de los puntos de la cuerda (movimiento armónico simple) es 𝑣𝑃𝑚á𝑥= 𝐴 · 𝜔:
𝑣𝑃𝑚á𝑥(𝑥) = 𝐴(𝑥) · 𝜔 = 𝐴(𝑥) · 2𝜋 · 𝑓
𝑣𝑃𝑚á𝑥(𝑥 = 0,35 𝑚) = 𝐴(𝑥 = 0,35 𝑚) · 2𝜋 · 𝑓 = 0,0065 𝑚 · 2𝜋 · 440 𝐻𝑧 = 18 𝑚 · 𝑠−1
Por tanto, la amplitud del punto de la cuerda a 0,35 m de uno de sus extremos es de 0,0065 m y su velocidad máxima de vibración es de 18 m·s-1.
3.5. Efecto Doppler en el sonido
• Concepto de efecto Doppler en el sonido: fenómeno que se produce como consecuencia del movimiento relativo de la fuente sonora y el observador por el que cambia la frecuencia que se percibe de un sonido.
− Explica el cambio, de más agudo a más grave, en el pitido de un tren o el sonido del claxon de un coche que se acerca, pasa a nuestro lado y luego se aleja.
− Llamado así en honor al físico austriaco Christian Doppler (1803 – 1853) que estableció las bases de este fenómeno en el año 1842 en un trabajo monográfico llamado "Sobre el color de la luz en estrellas binarias y otros astros"(“Über das farbige Licht der Doppelsterne und einige andere Gestirne des Himmels”).
− La hipótesis que Doppler presentaba en su monografía fue investigada en 1845 para el caso de ondas sonoras por el científico (meteorólogo) holandés Christoph Hendrik Diederik Buys Ballot (1817 – 1890), confirmando que el tono de un sonido emitido por una fuente que se aproxima al observador es más agudo que si la fuente se aleja (colocó un grupo de músicos en un ferrocarril y les indicó que tocaran la misma nota musical mientras
que otro grupo de músicos, en la estación del tren, registraba la nota musical que oían mientras el tren se acercaba y alejaba de ellos sucesivamente).
− Más tarde el físico francés Armand Hippolyte L. Fizeau (1818 – 1896), que hizo las primeras medidas de la velocidad de la luz, generalizó el trabajo de Doppler al aplicar su teoría no sólo al sonido sino a la luz (efecto Doppler-Fizeau en Francia). Así en el año 1848, éste determinó que los cuerpos celestes que se acercan hacia la Tierra son vistos de color azul y los que se alejan se ven de color rojo. Esto, en términos generales, significa que las ondas de luz, cuando se aproximan hacia el observador se dirigen hacia el extremo ultravioleta del espectro y cuando se alejan, se aproximan hacia el extremo infrarrojo del espectro, es decir, que sus ondas, al igual que las sonoras, se vuelven más altas, de mayor frecuencia, cuando se aproximan y más bajas, de menor frecuencia, cuando se distancian.
− Aplicaciones: medicina (ecografía con ultrasonidos), meteorología (medida de velocidades de fluidos), industria (medidas de velocidades de fluidos y de móviles sólidos para el control de procesos industriales), astronomía radar (medida de velocidades de objetos respecto a la Tierra), sistemas de radar de tráfico y en deportes (medida de velocidades de vehículos y de pelotas), astrofísica (efecto Doppler cosmológico, medida de velocidades y distancias de cuerpos celestes, estudio de estrellas dobles y de estructuras de galaxias, búsqueda de exoplanetas,…),… También lo utilizan los murciélagos para determinar la velocidad y distancia a la que se encuentran los insectos que son su alimento.
• Estudio del efecto Doppler no relativista:
− Aplicable a cualquier movimiento ondulatorio cuya velocidad de propagación sea muy inferior a la velocidad de la luz (no relativista).
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− En la parte superior de la figura, tenemos dos señales, que pueden corresponder a dos picos consecutivos de una onda armónica, separados un periodo T o P. En la parte inferior, los dos puntos coloreados representan las posiciones del emisor (en rojo) y del observador (en azul). En el instante inicial t=0 en el que se emite la primera señal, el emisor y el observador están separados una distancia d desconocida, que no afecta al fenómeno en cuestión. La velocidad del sonido es vS, la velocidad
del observador es vO y la velocidad del emisor es vE. Recordemos que vS > vE y vO.
− La primera señal es recibida por el observador en el instante t. La señal se desplaza el camino marcado en trazo grueso negro en la parte superior de la figura, desde que se emite hasta que se recibe, podemos por tanto, escribir la ecuación: vS· t = d + vO· t.
− La segunda señal se emite en el instante T o P, y se recibe en el instante t’. En el intervalo de tiempo entre la primera y la segunda señal, el emisor se desplaza vE · T o vE · P. La segunda señal recorre desde que se emite hasta que se recibe, el camino señalado en trazo grueso negro en la parte inferior de la figura. Por tanto, podemos escribir la ecuación:
d − vE· T + vO· t′= v
S· (t′− T)
− Eliminando la cantidad desconocida d entre las dos ecuaciones, relacionamos el periodo T’ o P’=t’-t, de las ondas recibidas, con el periodo T o P de las ondas emitidas:
T = t′− t =vS− vE vS− vO
T
− Teniendo en cuenta que la frecuencia es la inversa del periodo, obtenemos la relación entre frecuencias, o fórmula del efecto Doppler:
f′=vS− vO
vS− vE f (3.51) − Y la relación entre las longitudes de onda:
λ′= v
S· (t′− t) − vO(t′− t) = (vS− vO) · T′= (vS− vO) · vS− vE vS− vO· T
T = λ
vS }
⇒
λ′=vS− vE
vS · λ (3.52)
Sólo hay variación en la longitud de onda que capta el observador cuando se mueve el emisor. • Casos particulares:
− Emisor en movimiento y observador en reposo, vO = 0:
▪ la frecuencia que percibe es mayor, sonido más agudo, que la que se emite (f’ > f, T’ < T, ’ < ) si se acerca el emisor (vE > 0, vS – vE < vS y vS
vS−vE> 1).
▪ la frecuencia será menor, sonido más grave, (f’ < f, T’ > T, ’ > ) si el emisor se aleja del observador (vE < 0, vS – vE > vS y
vS
vS−vE< 1).
− Emisor en reposo, vE = 0, y observador en movimiento:
▪ la frecuencia que percibe es mayor, sonido más agudo, que la que se emite (f’ > f, y T’ < T, ’= ) si se acerca al emisor (vO < 0, vS – vO > vS y vS−vO
vS > 1).
▪ la frecuencia será menor, sonido más grave, (f’ < f, T’ > T, ’ = ) si el observador se aleja del emisor (vO > 0, vS – vO > vS y
vS−vO
vS < 1).
Ejercicio resuelto 8. The Flash es un superhéroe que posee súper velocidad, que incluye la habilidad de correr y moverse extremadamente rápido, gran fuerza, usar reflejos sobrehumanos, y aparentemente violar ciertas leyes de la física. ¿Física? ¿Eso qué es? Imagina que este personaje viene hacia ti a gran velocidad (V), gritando (sonido con una frecuencia f). ¿Cómo será la frecuencia que percibas, mayor o menor que la que emite nuestro héroe? ¿Qué sucederá cuando se aleje de ti? Explica brevemente en qué consiste el fenómeno que se está produciendo. Dato: c = velocidad del sonido en el aire.
El fenómeno que se está produciendo se denomina efecto Doppler. Es un fenómeno que se produce como consecuencia del movimiento relativo de la fuente sonora y el observador por el que cambia la frecuencia que se percibe de un sonido. Esta propiedad de los movimientos ondulatorios explica el cambio, de más agudo a más grave, en el pitido de un tren o el sonido del claxon de un coche que se acerca, pasa a nuestro lado y luego se aleja. Y en este caso explica lo que sucede con The Flash: el grito emitido con una frecuencia f por el superhéroe lo percibirás con mayor frecuencia, f1 > f cuando se acerque a ti, mientras
que lo percibirás con menor frecuencia, f2 < f, cuando se aleje.
Matemáticamente podemos relacionar estas frecuencias, f1 y f2, con la frecuencia emitida (fórmula del efecto Doppler): 𝑓′=𝑣𝑆− 𝑣𝑂
𝑣𝑆− 𝑣𝐸 𝑓
Donde f’ es la frecuencia percibida por el observador y f la frecuencia emitida por el emisor.
En nuestro caso, los módulos (tamaño del vector, valores positivos o sin signo) de las velocidades son c (velocidad del sonido), vO (velocidad del observador) = 0 y V (velocidad del emisor, vE). De este modo:
𝑓′= 𝑐 𝑐 − 𝑣𝐸
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La frecuencia que percibes es mayor, sonido más agudo, que la que se emite (f1 > f) si se acerca el emisor, The Flash, puesto
que
𝑣𝐸= 𝑉 > 0 ⇒ 𝑐 − 𝑣𝐸= 𝑐 − 𝑉 < 𝑐 ⇒ 𝑐
𝑐 − 𝑉> 1 ⇒ 𝑓2 = 𝑐
𝑐 − 𝑉𝑓 ⇒ 𝑓2> 𝑓
La frecuencia será menor, sonido más grave, (f2 < f) si el emisor, Flash, se aleja del observador, tu: 𝑣𝐸= −𝑉 < 0 ⇒ 𝑐 − 𝑣𝐸= 𝑐 + 𝑉 > 𝑐 ⇒ 𝑐
𝑐 + 𝑉< 1 ⇒ 𝑓1= 𝑐