Versi´
on del 22/04/2013
Resumen de definiciones
Relaci´on binaria entre A yB: subconjunto deA×B. Relaci´on inversa: si R⊆A×B, entoncesR−1⊆B×A, y R−1 ={(b, a)/(a, b)∈R}.
Relaci´on definida en A: subconjunto deA×A.
Matriz de una relaci´onRdefinida enA: es la matriz compuesta por elementosmij
definidos as´ı:
mij =
1 si (ai, aj)∈R
0 si (ai, aj)∈/R
Una relaci´on R definida enA es reflexiva ssi ∀x:xRx. irreflexiva ssi ∀x:¬(xRx).
sim´etrica ssi ∀x:∀y:xRy→yRx.
antisim´etrica ssi ∀x:∀y: (xRy ∧ yRx)→x=y. transitiva ssi ∀x:∀y:∀z: (xRy ∧ yRz)→xRz. de orden amplio ssi es reflexiva, antisim´etrica y transitiva. de orden estricto ssi es irreflexiva y transitiva.
Una relaci´on de orden estotal si (adem´as de ser de orden, claro), se cumple esta condici´on:∀x:∀y:xRy ∨ yRx.
Conjunto ordenado: (A,≺) es un conjunto ordenado ssi≺es una relaci´on de orden definida enA.
Se puede decir que (A,≺) es ampliamente ordenado o estrictamente ordenado, seg´un c´omo sea el orden. Si decimos solamente “conjunto ordenado”, es estricta-mente ordenado.
Si≺es un orden total, entonces (A,≺) es un conjunto totalmente ordenado.
Cotas, m´ınimo, ´ınfimo, etc.: si (A,≺) es un conjunto estrictamente ordenado y B⊆A, entonces
cota superior z es cota superior de B ssi z∈A y∀x:x∈B→xz. notaci´on:csup(B).
cota inferior z es cota inferior deB ssi z∈A y∀x:x∈B →zx. notaci´on:cinf(B).
m´aximo z es el m´aximo deB ssi z∈B y∀x:x∈B →xz. notaci´on:max(B).
m´ınimo z es el m´ınimo deB ssi z∈B y∀x:x∈B →zx. notaci´on:min(B).
maximal z es maximal de B ssi z∈B y¬∃x:x∈B ∧ z≺x. notaci´on:maxl(B).
minimal z es minimal deB ssi z∈B y¬∃x:x∈B ∧ x≺z. notaci´on:minl(B).
supremo z es el supremo de B ssi es la cota superior m´as chica deB, o sea, ssiz es cota superior de B y
∀x:x es cota superior de B→zx. notaci´on:sup(B).
´ınfimo z es el ´ınfimo deB ssi es la cota inferior m´as grande de B, o sea, ssiz es cota inferior de B y
∀x:x es cota inferior deB →xz. notaci´on:inf(B).
Recordamos que:
• supremo, ´ınfimo, m´aximo y m´ınimo son ´unicos, si existen.
• maximales y minimales pueden no ser ´unicos.
• el supremo es el m´ınimo de las cotas superiores.
Ejercicios
1. Consideremos los siguientes conjuntos
A equipos que participaron en un campeonato B partidos de ese campeonato
N0 nuestros amigos los n´umeros naturales, incluyendo el 0.
Para cada una de las siguientes relaciones, indicar en d´onde est´a definida cada una, y en los casos en que tenga sentido la pregunta, si son necesariamente reflexivas, irreflexivas, sim´etricas, antisim´etricas, y/o transitivas.
Nota: un contrajemplo de un campeonato inventado alcanza para mostrar que una relaci´on no tiene, necesariamente, una propiedad.
a) aRbssi ayb son dos partidos que se jugaron el mismo d´ıa.
b) aRbssi en el partido ase hicieron m´as goles que en b.
c) aRbssi el equipo ajug´o el partidob.
d) aRbssi los partidos aybtienen, al menos, un equipo en com´un.
e) aRbssibes la cantidad total de goles que hizo el equipoaen el campeonato.
f) aRb ssi “a a b” fue el resultado de al menos un partido, o sea, ssi en alg´un partido el local hizoa goles y el visitante hizobgoles.
g) aRbssi los equipos ayb ganaron la misma cantidad de partidos.
h) aRbssi b es la cantidad de goles que se hizo en el partidoa.
i) aRbssi aes la cantidad de goles que se hizo en el partido b.
2. Consideremos los siguientes conjuntos
A personas que hicieron compras en un negocio. B art´ıculos que se venden en el negocio.
R nuestros amigos los n´umeros reales.
Para cada una de las siguientes relaciones, indicar en d´onde est´a definida cada una, y en los casos en que tenga sentido la pregunta, si son reflexivas, irreflexivas, sim´etricas, antisim´etricas, y/o transitivas.
a) la que relaciona cada persona con el importe total de las compras que hizo (0 si no hizo ninguna compra).
b) aRbssi hay alg´un art´ıculo que compraron tantoacomo b.
c) aRbssi b es el art´ıculo m´as caro que compr´o a.
d) aRbssi a fue una cantidad mayor o igual de veces al mercado de las que fue b.
e) aRbssi todos los art´ıculos que compr´oa, tambi´en los compr´o b.
f) aRbssi b es la madre dea.
g) aRbssiaybson familiares directos en primer grado, o sea,aes padre/madre, hermano ´o hijo de b, o bienaybson la misma persona.
h) aRbssi ayb son art´ıculos y el precio de los dos es un n´umero par.
3. SiA={a, b, c, d}, indicar para cada una de las siguientes relaciones si son reflexi-vas, irreflexireflexi-vas, sim´etricas, antisim´etricas, y/o transitivas. En cada caso que una relaci´on no sea como se pide, indicar un conjunto lo m´as chico posible de pares a agregar y/o quitar para que la relaci´on sea como se pide.
a) {(a, a),(a, b),(b, c)}.
b) {(a, a),(a, b),(a, c),(b, b),(b, c),(d, d)}.
c) {(a, a),(a, b),(a, c),(b, a),(b, b),(b, c),(c, b),(c, c),(d, d)}.
d) {(a, a),(b, a),(b, b),(c, c),(d, d)}.
e) {(a, a),(a, d),(b, b),(c, c),(d, a),(d, d)}.
f) A×A.
4. Para cada una de las siguientes relaciones: dar tres pares que pertencen y tres pares que no; indicar si son reflexivas, irreflexivas, sim´etricas, antisim´etricas, y/o transitivas; y definir la relaci´on inversa. Considerar A={1,2,3,4}.
a) enN,aRb ssi a+b= 11.
b) enN,aRbssi las dos ´ultimas cifras deaybcoinciden (p.ej. 1438R738 porque ambos terminan en 38).
c) enN,aRb ssi b= 2a.
d) enZ,aRb ssia=b2 (p.ej. 9R3 porque 9 = 32).
e) enZ,aRb ssi|a−b| ≤5.
f) enZ,aRb ssia−b≥5.
g) enR,xRy ssi x≥4 ∨ y≥4.
h) enR,xRy ssi x≥4 ∨ y≥5.
i) enR,xRy ssi x≥4 ∧ y≥4.
j) enR,xRy ssi x≥4 ∧ y≥5.
k) enR,xRy ssi |x| ≥y.
l) enR,xRy ssi y≤x≤y+ 2.
m) enA,xRy ssi x=y ∨ x+y= 5.
n) enP(A),xRy ssi x∪y=A.
˜
n) enP(A),xRy ssi y=A−x.
o) enP(A),xRy ssi x∪ {2,3}=y∪ {2,3}.
p) enP(A),xRy ssi x∩y=∅.
q) enP(A),xRy ssi x⊆y.
5. Para las relaciones definidas en{a, b, c, d, e}en cada una de las matrices que siguen, indicar si es: reflexiva, irreflexiva, sim´etrica, antisim´etrica, igual a su inversa.
R1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
R2 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1
R3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
R4 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
R6 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
R7 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1
6. Para evitar que haya corazones rotos por amores no correspondidos, ¿c´omo deber´ıa ser la relaci´on
aRb ssi aama ab definida en el conjunto de las personas?
7. Para cada una de las siguientes relaciones, definidas sobre el conjunto de las pa-labras que aparecen en el diccionario, indicar si es: reflexiva, irreflexiva, sim´etrica, y/o antisim´etrica.
a) p R qssi la primer letra de p es anterior a la primer letra deq.
b) p R qssi las dos palabras empiezan con la misma letra.
c) p R qssi p empieza con vocal yq empieza con consonante.
d) p R qssi p empieza con vocal.
e) p R q ssi p empieza con vocal y q empieza con consonante, o al rev´es (o sea, pempieza con consonante yq con vocal).
f) p R q ssi o bien las dos empiezan con vocal, o bien las dos empiezan con consonante y la primer letra dep es anterior a la primer letra deq.
g) p R q ssi la letra ‘a’ aparece m´as veces en p que en q. P.ej. abracadabra R aplacada, porque “abracadabra” tiene 5 ‘a’ mientras que ‘aplacada’ tiene 4.
h) p R qssi la letra ‘a’ aparece la misma cantidad de veces en p y enq.
i) p R qssi la cantidad de veces que la letra ‘a’ aparece enp es mayor a la can-tidad de veces que aparece la letra ‘e’ enq. P.ej. altanera R perfecta, porque la ‘a’ aparece 3 veces en “altanera”, la ‘e’ aparece dos veces en “perfecta”, y 3>2.
8. En una oficina juegan al amigo invisible. Esta actividad consiste en que cada persona que trabaja en la oficina le hace un regalo a alguien, sin que se sepa qui´en le compr´o el regalo a qui´en. Se define esta relaci´on:a R b ssiale compr´o el regalo ab. ¿Qu´e tendr´ıa de inconveniente queR no fuera irreflexiva?
9. Si Juan es hermano de Ana y Ana es hermana de Lucas, ¿de qui´enes m´as s´e que son hermanos? Esto tiene que ver con que la relaci´on de “ser hermanos” es ¿c´omo?
10. Consideremos la relaci´onR={(a, a),(a, b),(b, a),(a, c)}definida enA={a, b, c, d}. Construir
a) una relaci´on irreflexiva quit´andole un par aR.
b) una relaci´on sim´etrica agregandole un par a R.
d) una relaci´on antisim´etrica quit´andole un par aR.
e) una relaci´on transitiva agreg´andole un par aR.
11. Considerando el conjuntoA={a, b, c, d}, construir
a) Dos relacionesRyS, tales que ninguna de las dos sean sim´etricas ni reflexivas, pero R−S s´ı sea sim´etrica y reflexiva.
b) Dos relacionesRyS, tales que ninguna de las dos sean sim´etricas, peroR∩S s´ı sea sim´etrica, y se verifiqueR∩S 6=∅.
12. En un dep´osito hay muchas remeras, algunas son verdes y otras son rojas. Llame-mos Aal conjunto de todas las remeras. Se define la relaci´on R en A as´ı:aRb ssi aes roja yb es verde.
a) Mostrar que esta relaci´on es antisim´etrica y no es transitiva.
b) Definir una relaci´on antisim´etrica S tal queR∪S sea sim´etrica.
c) Definir una relaci´on S tal queR∪S sea transitiva, pero no sim´etrica.
13. ConsideremosA={a, b, c, d}.
a) La relaci´on vac´ıa definida enA, ¿es de orden? Justificar.
b) Dar una relaci´on de orden de cardinal m´ınimo, o sea, que no existe una relaci´on de orden con menos elementos.
c) Dar una relaci´on de orden de cardinal m´aximo, o sea, que no existe una relaci´on de orden con m´as elementos.
14. Se dice que una persona a es descendiente de una persona b si es hijo, nieto, bisnieto, etc.. En el conjunto de personas de la humanidad Se definen las relaciones aHbsi a es hijo de b yaN b si aes nieto de B. Demostrar que H∪N no es una relaci´on de orden estricto, y responder a esta pregunta ¿c´omo ayuda la idea de descendiente para definir un orden estricto que incluya aH∪N?
15. Demostrar que si R es sim´etrica y transitiva y aRb para ciertos a y b, entonces aRaybRb.
16. Demostrar que si R es sim´etrica y transitiva y aRb para ciertos a y b, entonces aRaybRb.
18. Dados los siguientes conjuntos ordenados a trav´es de diagramas de Hasse, ha-llar cotas, m´ınimo, m´aximo, minimales, maximales, supremo e ´ınfimo para cada subconjunto indicado.
a)
j
h i
e f g
b c d
a
B1 ={f, g} B2 ={i, f, c} B3 ={e, f, h} B4 ={a, g, j}
b)
i j
g h
d e f
a b c
B1 ={g, h, i, j} B2 ={j, h, f, c} B3 ={i, d, b} B4 ={e, b}
19. En la relaci´on de orden cuyo diagrama de Hasse es
f g h
d e
a b c
hallar:
a) Un subconjunto de 6 elementos con m´ınimo.
b) Un subconjunto de 3 elementos sin m´aximo y con m´ınimo.
c) Un subconjunto de 4 elementos con m´ınimo y 3 maximales.
d) Un subconjunto de 3 elementos sin m´aximo y con supremo.
e) Un subconjunto de 5 elementos con 4 maximales y 3 minimales.
f) csup({b}).
20. En la relaci´on de orden cuyo diagrama de Hasse es
f g
d e
a b c
hallar:
a) Un subconjunto de 6 elementos con m´aximo.
b) Un subconjunto de 4 elementos sin m´aximo y con supremo.
c) cinf({g}).
21. En la relaci´on de orden cuyo diagrama de Hasse es
h i
f g
d e
a b c
hallar:
a) Un subconjunto de 5 elementos sin m´aximo y con supremo.
b) Un subconjunto de 4 elementos sin m´ınimo y con ´ınfimo.
c) Un subconjunto de 3 elementos con 3 maximales y 3 minimales.
d) Un elementox tal que{x} tiene 4 cotas superiores.
e) Una forma de agregar un elemento j tal que el conjunto {f, g, h} no tenga ´ınfimo.
f) Una forma de agregar un elemento j tal queinf({f, g, h}) =a.
22. Respecto del diagrama que se muestra al costado, se pide
a) Encontrar un subconjunto de 5 elementos que tenga m´aximo, uno de 3 elementos que no tenga m´aximo pero s´ı supremo, uno de 2 elementos que no tenga supremo.
b) Agregar un elemento g y relacionarlo con el resto, de modo tal que en el diagrama modificado, el ´ınfimo de {e, f} seag, en lugar ded.
e f
c d
23. Se parte de la relaci´on≺definida enA={a, b, c, d, e}cuyo diagrama de Hasse es d
c
a b
obs´ervese queeest´a relacionado so-lamente con ´el mismo
Se pide
a. Definir≺0 agregando a≺pares que relacionenecon otros elementos, de forma
tal que{a, b}no tenga supremo pero {a, b, c, e} s´ı.
b. Definir≺00 que sea un orden total en Ay que verifique que x≺y ⇒x≺00y.
24. En cada caso, encontrar una relaci´on de orden que cumpla lo pedido
a) En A = {a, b, c, d, e}, un orden total ≺ en el que: a sea el m´aximo de {a, b, d, e},csea el m´aximo de{a, b, c},d≺b, yesea cota inferior de{c, d, e}.
b) EnA={a, b, c, d, e}, un orden no total≺en el que el supremo de{b, c, d}sea a, que las cotas superiores de{b, c, d}sean{a, e}, y que el m´ınimo de{b, c, d} seac.
c) En A = {a, b, c, d, e}, un orden no total ≺ en el quec sea tanto el supremo de{d, e}como el ´ınfimo de {a, b}, y en el que{a, b, d, e}no tenga ni m´aximo ni m´ınimo.
d) EnA={a, b, c, d, e, f}, un orden no total≺en el que: la ´unica cota superior de {b, c, d, e, f} sea a, los maximales de {b, c, d, e} sean {b, c}, el m´aximo de {b, d, f}seab, el m´ınimo de{b, d, f}seaf, se verifique quef ≺e, y finalmente que el supremo de{d, e, f} seac.
e) EnA={a, b, c, d, e, f}, una relaci´on de orden≺en la que: las cotas superiores de{e, f} sean{a, b, c, d, e}, el supremo de{b, c}seaa, el ´ınfimo de{b, d} sea e, el subconjunto {c, d} no tenga supremo,¬(d≺a).
f) En A = {a, b, c, d, e, f}, una relaci´on de orden ≺ en la que: el supremo de {e, f} sea d, el supremo de {b, c, d} sea a, el ´ınfimo de {b, c, d} sea c y el subconjunto{c, e, f} tenga tres maximales.
g) EnA={a, b, c, d, e, f, g}, una relaci´on de orden≺que cumpla con todas las condiciones que siguen:
• sup({d, e, f}) =g • inf({d, e, f}) =d • sup({a, b, c}) =sup({a, c}) =d • sup({a, b}) =b
25. Graficar el diagrama de Hasse y la matriz de una relaci´on de orden≺en el conjunto A = {a, b, c, d, e, f} que cumpla las siguientes condiciones: {a, b, c} tiene como ´ınfimo acy no tiene supremo,{d, e, f}tiene como supremo ady no tiene ´ınfimo,
c≺d.
26. Algunos de relaciones que s´ı son de orden
b) Se define esta relaci´on de orden enR2: (a, b)≺(c, d) ssi (a=c∧b=d)∨(a+ b < c+d). Encontrar cotas, m´ınimo, m´aximo, maximales, minimales, supremo e ´ınfimo de{(1,1),(1,2),(2,1),(3,4),(2,5)}. La relaci´on, ¿es un orden total?
c) Se escribe a//b como la parte entera de a/b; por ejemplo, 328//3 = 109 porque 328/3 = 109,33. . . y del resultado 109,33. . . se toma lo que est´a a la izquierda de la coma. M´as ejemplos: 5//3 = 1, 6//3 = 7//3 = 8//3 = 2, 9//3 = 3.
Se define esta relaci´on de orden en N: a ≺ b ssi (a−1)//3 < (b−1)//3. Encontrar cotas, m´ınimo, m´aximo, maximales, minimales, supremo e ´ınfimo de{2,6,13,14}.
Si te anim´as, demostr´a que la relaci´on es de orden.
d) Se define la relaci´on de orden≺en Nde esta forma: x≺y ssi xtiene menos cifras quey. P.ej. 248≺248, 248≺1304, 2486≺77, 2486≺304. Se pide
Demostrar que ≺no es un orden total.
Indicar cu´ales de estos conjuntos tienen m´aximo.
{20,30,200,300} {20,30,200,300,1000} {8,20,30,200,300}
27. Consideremos la relaci´on de orden ≺ definida en N: x ≺ y si y s´olo si la ´ultima cifra dex es menor estricto a la ´ultima cifra dey. P.ej. los siguientes pares est´an en la relaci´on: (134,27),(134,134),(134,9),(134,305), mientras que ni (134,22) ni (134,481) ni (134,74) est´an en la relaci´on (se destaca la ´ultima cifra de cada n´umero, que es la que hay que mirar para determinar si un par est´a o no en la relaci´on).
Se pide resolverjustificando en cada caso(´ıtem sin justificaci´on no cuenta):
a) mostrar que el orden no es total.
b) indicar cu´ales de los siguientes n´umeros
1000, 103, 65, 27, 12, 9
son cotas inferiores del subconjunto{47,104,33,17}.
c) indicar cu´ales de los siguientes subconjuntos
{16,25,34},{16,25,36},{16,24,34}
tienen m´aximo.
d) obtener un subconjunto de cinco elementos que tenga m´ınimo y tenga exac-tamente dos maximales.
e) indicar cu´ales son los elementos internos del subconjunto{26,35,128,348,507} respecto de≺. Decimos que z∈B es interno si cumple esta condici´on:
(∃x:x∈B ∧ x6=z ∧ x≺z) ∧ (∃x:x∈B ∧ x6=z ∧ z≺x)
a) mostrar que el orden no es total.
b) dar m´aximo, m´ınimo, 3 cotas superiores y 2 cotas inferiores del subconjunto {412,339,78,704,125}.
c) indicar cu´ales de los siguientes subconjuntos
{385,59,761},{385,59,762},{385,59,763}
tienen m´aximo.
d) obtener un subconjunto de seis elementos que tenga exactamente tres mini-males y tenga m´aximo.
e) indicar cu´ales son los elementos internos del subconjunto{126,34,981,425,2122} respecto de≺. Decimos que z∈B es interno si cumple esta condici´on:
(∃x:x∈B ∧ x6=z ∧ x≺z) ∧ (∃x:x∈B ∧ x6=z ∧ z≺x)
29. Algunos de relaciones que no son de orden.
a) Se define esta relaci´on enR2: (a, b)R(c, d) ssia < bo c < d. Mostrar que esta relaci´on no es de orden.
b) Se define esta relaci´on enR2: (a, b)R(c, d) ssia+b≤c+d. Mostrar que esta relaci´on no es de orden. Ayuda: comparar con ejercicio 26b.
30. Algunos m´as sobre cotas, m´ınimo, m´aximo, etc..
a) En una relaci´on de orden definida en{a, b, c, d, e, f}, sabemos que el supremo de{c, d, e} esb. Demostrar que:{c, d, e} no tiene m´aximo,{b, c, d, e} s´ı tiene m´aximo, el orden no es total.
b) En una relaci´on de orden ≺definida en {g, h, i, j, k}, sabemos que los maxi-males de {i, j, k} son {i, k}. Demostrar que: {i, j, k} no tiene m´aximo, iy k no son comparables seg´un ≺(o sea nii≺kni k≺i), el orden no es total.
31. Completar la siguiente matriz de relaci´on, sabiendo que es de orden. ¿Se trata de una relaci´on de orden total?
2\1 a b c d
a 1
b 0
c 0
d 1 1
32. Considerando dos relacionesRySdefinidas en un conjuntoA6=∅, demostrar que
a) siR es reflexiva, entoncesR∪R−16=∅.
b) si R y S son reflexivas, entonces tanto R∩S como R∪S son reflexivas, y R−S es irreflexiva.
c) si R y S son irreflexivas, entonces R∩S, R∪S, R−S y R∆S son todas irreflexivas, yR es reflexiva.
d) siR yS son simetricas, ¿qu´e podemos decir de R∩S y R∪S?
e) siR yS son transitivas,R−S puede no ser transitiva.
