Si y es un vector de niveles fijos de productos, podemos preguntarnos si exis- te un proceso de producción z

Loading.... (view fulltext now)

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Texto completo

(1)

Instituto de Filosofía Facultad de Economía Universidad Veracruzana asienrag@gmail.com

1. Conjuntos y funciones de producción

El conjunto de posibilidades de producción oconjunto tecnológicode una empresa se designa comoZ y es un subconjunto deRM+N

. Unproceso de producción es un vector semipositivo o nulo z = (x;y) dondex = (x1;:::;xM) es el vector

de factores productivos (insumos oinputs) yy = (y1;:::;y

N) es el vector de

cantidades de productos (outputs). Decimos que el proceso de producción z

esfactible para la empresa si z 2 Z. El proceso de producción z = (x;y) es

más eficientequez0

=(x

0 ;y

0

) syssxx0

yy0

y, con al menos una de las dos desigualdades siendo.

DEFINICIÓN1 Las siguientes son propiedades que podría tener un conjunto

Z de posibilidades de producción: (1) Convexidad. Siz;z

0

2Z y2[0;1℄entoncesz+(1 )z 0

2Z.

(2) Eliminación gratuita. Siz=(x;y) 2Z, yz 0

=(x 0

;y 0

) es menos eficiente quez, entoncesz0

2Z.

(3) Posibilidad de cerrar(o deinacción).02Z.

(4) Rendimientos no crecientes a escala. Siz2Z y2[0;1℄entoncesz2Z.

(5) Rendimientos no decrecientes a escala. Siz2Z y1 entoncesz2Z.

(6) Rendimientos constantes a escala. Siz2Z y0 entoncesz2Z.

Siyes un vector de niveles fijos de productos, podemos preguntarnos si exis-te un proceso de producciónz2Z que proporcione este vector de productos.

Es decir, ¿existe un vectorxde factores de producción tal quez=(x;y) 2Z?

(2)

Sea V(y) el conjunto fx 2 R

M

j(x;y) 2 Zg, el conjunto de requerimientos de

factores para produciry. Si no existe ningún vector de factores que permita produciry,V(y) es vacío, pero siempre está definido.

DEFINICIÓN2 SeaZ un conjunto de posibilidades de producción conN=1,

y seaX =fx2 R

M

j(x;y) 2Zpara algúny2 R +

g. Lafunción de producciónde

Z es el mapeof:X !Rtal que

f(x) =máxfyjx2V(y)g:

SeaK =M+Ny, para 1kK, seapk(zk) el precio unitario del bien de

tipozk. Sip(z) =( p1(z1);:::; pM(zM);pM

+1(zM+1)

;:::;pK(zK)) entonces el

beneficioque el planz2Z le reporta a la empresa es definido como

(z) =p(z)z=

N

X

n=m+1

pn(zn) zn

M

X

m=1

pm(zm)zm:

Cuando la empresa es precio aceptante o competitiva, no puede afectar el precio de ningún producto y asípk(zk) es constante e igual apk para todok.

DEFINICIÓN3 Supóngase queX es convexo. Decimos quef es (1) cóncavasi, para todax;x

0

2X y2[0;1℄,f[x+(1 )x 0

f(x)+

(1 )f(x 0

);

(2) estrictamente cóncava si, para toda x;x 0

2 X y 2 (0;1), si x 6= x 0

entoncesf[x+(1 )x 0

℄>f(x) +(1 )f(x 0

);

(3) cuasicóncava si sus conjuntos de contorno superior fx 2 Xjf(x)

rgson convexos; es decir si, para toda x;x 0

2 X tales quef(x) r,

f(x0

) ry2[0;1℄,f[x+(1 )x 0

r;

(4) estrictamente cuasicóncava si, para toda x;x 0

2 X tales que f(x) r,

f(x0

) r,x6=x 0

y2(0;1),f[x+(1 )x 0

℄>r;

(5) convexasi, para todax;x 0

2X y2[0;1℄,f[x+(1 )x 0

f(x)+

(1 )f(x 0

);

(6) estrictamente convexasi, para todax;x 0

2X y2(0;1), six6=x 0

f[x+

(1 )x 0

℄<f(x) +(1 )f(x 0

(3)

(7) cuasiconvexasi sus conjuntos de contorno inferiorfx 2 Xjf(x) rg

son convexos; es decir si, para toda x;x 0

2 X tales que f(x) r,

f(x0

) ry2[0;1℄,f[x+(1 )x 0

r;

(8) estrictamente cuasiconvexa si, para toda x;x 0

2 X tales que f(x) r,

f(x0

) ry2[0;1℄,f[x+(1 )x 0

℄<r.

(9) no decrecientesi, para todax;x 0

2X,xx

0

implica quef(x) f(x 0

). TEOREMA1 Sea f la función de producción relativa a Z .

(1) SiZadmite eliminación gratuita entoncesf es no decreciente. (2) SiZes convexo entoncesf es cuasicóncava.

(3) SiZ admite rendimientos no decrecientes a escala entoncesf(x) f(x) para>1.

(4) Si Z admite rendimientos no crecientes a escala entonces f(x) f(x) para2[0;1℄.

(5) SiZ admite rendimientos constantes a escala entoncesf(x) =f(x)

(f es homogénea de grado 1).

Demostración:(1) Supóngase queZadmite eliminación gratuita y seanx;x 0

2X

tales quexx 0

. Seaz=(x;f(x)), claramente un elemento deZ, y obsérvese

que la eliminación gratuita implica que (x0

;y) está en Z para cualquiery

f(x), pues en tal caso se tiene que (x0

;y) es menos eficiente que (x;f(x)):En

particular,f(x) es una de lasyque satisfacen esta desigualdad, de modo que (x0

;f(x)) 2Z. Por ende,f(x) f(x 0

) =máxfyjx 0

2V(y)g.

(2) Supóngase queZ es convexo y, para cualquierr 2 R

+, seanx ;x

0

elemen-tos arbitrarios de S = fx

00

2 Xjf(x 00

) rg. Es inmediato que los procesos

(x;f(x)) y (x 0

;f(x 0

)) están enZ y además podemos suponer, sin pérdida de generalidad, quef(x) f(x

0

). Así, (x+(1 )x

0

;f(x)+(1 )f(x 0

)) 2Z

y, por ende,

f(x+(1 )x 0

) f(x) +(1 )f(x 0

(4)

Comof(x) f(x 0

),

f(x)+(1 )f(x 0

) f(x 0

) +(1 )f(x 0

) (1)

=f(x 0

) (2)

r (3)

Por lo tanto,f(x+(1 )x 0

) r y la combinación convexax+(1 )x 0

está enS.

(3) Supóngase queZadmite rendimientos no decrecientes a escala y sea>

1. Six 2 X, el proceso (x;f(x)) 2 Z y entonces (x;f(x)) 2 Z. Por ende,

f(x) f(x).

(4) SiZadmite rendimientos no decrecientes a escala, un argumento análogo al que probó (3) demuestra también esta aserción.

(5) Supóngase que Z admite rendimientos constantes a escala y sea 0.

Entoncesz2 Z para todoz2 Z. (Nótese que la condición de rendimientos

constantes a escala implica la posibilidad de la inacción.) Como rendimientos constantes implica tanto rendimientos no crecientes como rendimientos no decrecientes, para > 0 yx 2 X tenemosf(x) f(x). Supóngase,per

contra, quef(x) 6=f(x), de modo quef(x) > f(x) y

1f(

x) > f(x).

Como

1

>0,

f(x) =f((

1

)x) =f(

1(

x))

1f(

x) >f(x):

Esta contradicción establece quef(x) =f(x) parapositivo.

Finalmente, seaxcualquier elemento deX ySel rayo

fx 0

2Xjx

0

=x para algún0g:

Si"es infinitesimal positivo,"x2*Sy, como el rayoSya fortiori*Ses convexo,

f es no decreciente en S y por ende 0 f(0) f("x) = "f(x) 0. Esto

asienta que el número estándar f(0) es 0 y, por ende,f(x) = f(x) para

=0.

2. El problema de la empresa

De aquí en adelante supondremos que el precio unitario del factor xm está

(5)

la empresa competitiva, la función de beneficios es la función(w1;:::;wM;p)

que asocia a cada (w1;:::;wM;p) la solución delproblema de la maximización del

beneficio(PMB):

Maximizarx≧0pf(x)

P

M n=1

wmxm

La función de costos asociada es la funciónh(w1;:::;wM;y) que asocia a

ca-da (w1;:::;wN;y) la solución delproblema de la minimización de los costos(PMC):

Minimizarx≧0

P

M

m=1wmxm

sujeto af(x) =y:

Así, se ve que hay en relación con un productor una serie de magnitudes interrelacionadas que es menester determinar. El punto de partida es la pos-tulación de una función de producción para el agente. Restringiendo nuestra atención al caso en queM = 2, a partir de ella es requerido obtener las

si-guientes magnitudes:

(1) La función de elección de insumos, la cual asigna a cada sistema

de precios de insumos y nivel de producción deseado (w1;w2;y) la

elección de insumos ( ˆx1;xˆ2) = (w1;w2;y) que minimiza los costos

de alcanzar el nivel de producciónybajo ese sistema. Esta función se obtiene resolviendo el problema de la minimización del costo (PMC). (2) La función de costoc, la cual asigna a cada (w1;w2;y) el costo mínimo

de producción deyunidades del bien:c(w1;w2;y) =wx1+w2xˆ2.

(3) La función de elección de la cantidad óptima (p;w1;w2), la cual

asig-na a (p;w1;w2) la solución ˆydelproblema de la maximización del beneficio

(PMB).

(4) La función de beneficio(p;w1;w2) =pˆy c(w1 w2;ˆy) que asocia a

cada (p;w1;w2) la ganancia óptima si el precio del producto espy los

(6)

A manera de ilustración, obtengamos estas funciones para el caso de la fun-ción de producfun-ción Cobb-Douglas

3. La función de producción Cobb-Douglas

Para determinar la función de decisión productiva resolvemos elPMC: Minimizar(x1;x2)≧0w1x1

+w2x2

sujeto ax 1x

2 =y(y>0)

Empezamos por formular el lagrangiano

L(x1;x2;) = w1x1 w2x2+[y x

1x

2℄

para obtener las condiciones de primer orden:

L

x1

= w1 x

1

1 x

2 =0

L

x2

= w2 x

1x

1

2 =0

L

=y x

1x

2 =0

Procedemos a despejar dos veces la lambda:

w1=x

1

1 x

2 o = w1

1x1

1 x

2 :

También

w2=x

1x

1

2 o = w2

1x

1 x 1

2 :

Así,

w1

1x1

1 x

2 =w2

1x

1 x 1

2

y, simplificando,

w1x1=w2x2:

Despejamosx2:

x2=

1

w1w

1

(7)

y sustituimos en la tercera condición:

y=x

1[

1

w1w

1 2 x1℄

=x

1[

1

w1w

1 2 ℄ x 1 =[ 1

w1w

1 2 ℄ x+ 1 : Luego, x+

1 =[

1

w1w

1 2 ℄

y:

Elevando a la (+)

1,

x1=[

1w 1 1 w2℄

(+)

1 y(+)

1

:

Sustituyendo en (*),

x2=

1

w1w

1

2 [

1w 1 1 w2℄

(+)

1 y(+)

1

=[

1

w1w

1 2 ℄

(+)

1 y(+)

1

:

Por lo tanto,

" ˆ x1 ˆ x2 #

=(w1;w2;y)

= "

[

1w 1 1 w2℄

(+)

1 y(+)

1

[

1

w1w

1 2 ℄

(+)

1 y(+)

1

#

La función de costos es

c(w1;w2;y) =w1xˆ1+w2xˆ2

=[ (+) 1 (+) 1 + (+) 1 (+) 1 ℄ w (+) 1 1 w (+) 1

2 y(

+)

1

=(w

1w

2y)(

+) 1 donde =[ (+) 1 (+) 1 + (+) 1 (+) 1 ℄ .

Procedemos ahora a resolver el PMB para elegir la cantidad de producto óptima. El problema es

(8)

donde

(y) =py c(w1;w2;y):

La condición de primer orden es suficiente para un máximo si+ 1,

porque entonces la función de costo es convexa eny. Derivando con respecto a la cantidad obtenemos

d dy

=p

1

+

(w

1w

2)(

+)

1 y(+)

1 1

=0:

Luego, 1

+

(w

1w

2)(

+)

1 y(+)

1 1

=p

y

y(+)

1 1

=(+)p

1(w

1w

2) (

+)

1

:

Dado que

(+)

1 1 1 =

1

+

+

+

1

=

1

+

1

=

+

1

=(+)(1 )

1

;

se tiene ˆ

y= h

(+)p

1(w

1w

2) (

+)

1

i(

+) ( 1 )

1

:

Si+ <1, la condición de primer orden nos da un único nivel de

pro-ducción óptimo. En este caso la demanda de los factores se encuentra por sustitución

ˆ

x1=[

1w 1 1 w2℄

(+)

1

ˆ

y(+)

(9)

y ˆ

x2=[

1

w1w

1 2 ℄

(+)

1

ˆy(+)

1

:

Así, ˆ

x1=[

1w 1 1 w2℄

(+)

1

h

(+)p

1(w

1w

2) (

+)

1

i( 1

)

1

y

ˆ

x2=[

1

w1w

1 2 ℄

(+)

1

h

(+)p

1(w

1w

2) (

+)

1

i( 1

)

1

:

A partir de aquí se puede calcular la función de costo explícitamente. Ésta es

c(w1;w2;ˆy) = h

w1[

1w 1 1 w2℄

(+)

1

+w2[

1

w1w

1 2 ℄

(+)

1

i

g(w1;w2)

donde

g(w1;w2) = h

(+)p

1(w

1w

2) (

+)

1

i( 1

)

1

:

Si+=1,

1

+

(w1;w2)y

(+)

1 1

es el precio de producción y cualquier nivel no negativoyes una solución del PMB, pero genera cero beneficios. Si+>1, tenemos retornos constantes a

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...