1
UNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANA
INGENIERIAS - CENTRO DE CIENCIA BASICA
UNIDAD INTRODUCTORIA CURSO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
Tema: Conjunto de Números Reales
(20 Horas de trabajo Autónomo e Independiente por parte del
estudiante)
Estimado estudiante, reciba un cordial saludo de parte del equipo de docentes del curso de Geometría Analítica. En este material, encontrará información de estudio para las primeras 5 clases de la unidad Introductoria del curso. Se recomienda complementar lo aprendido en clase con el estudio teórico del módulo “Nociones de Precálculo” disponible en la página web https://ganalitica.wordpress.com/material-complementario/ a fin de practicar en el desarrollo de los ejercicios propuestos a continuación:
3
Operaciones con números Racionales:
Realizar las siguientes operaciones (Recuperado con fines educativos de: www0.unsl.edu.ar/~jolguin/documentos/niv2002/practico1-2002.doc, Julio 15 de 2018)
a
b
c
)
)
)
:
3
4
1
2
2
3
1
1
2
3
4
2
3
1
4
4
3
1
2
3
5
1
2
1
4
1
5
2
55
3
5
1
10
4
d
e
f
g
h
)
:
:
:
)
:
:
)
:
)
)
:
3
2
1
5
2
1
3
3
4
1
5
1
10
2
9
1
4
1
3
2
5
2
5
1
6
3
2
5
4
2 1
1
2
5
7
1
4
1
1
8
1
5
1
3
9
1
16
2
1
16
1
3
6
4
1
17
64
3 2
2
2
2
1 2
3
5
1
4
2
7
1
4
7
6
7
1
9
144
2
1 2
2
i)
5
Exponentes y Radicales (Recuperado con fines educativos de: www0.unsl.edu.ar/~jolguin/documentos/niv2002/practico1-2002.doc, Julio 15 de 2018)
Resolver aplicando las propiedades de la potenciación y la radicación:
a
b c
m y
c
a b c
p
q r
e
a
b c
y
x
)
)
)
.
,
9
27
32
64
1 21
0 064
6 2 3 9 3
10 15
5 6 18 24
2 1 4 3 12
b)
d)
f)
63
Introducir factores dentro del radical:
a
a b ab
m n
m
c
y b
b
y
x y
b m
b m
y
e a b c
a
n
m
)
)
)
2
9
3
2
8
9
2
30
3 2 3 3
4
2 5
3
2 2 3
3 33 2
b)
1
3
d)
a
f) 0,1m
24
Extraer del radical todos los factores posibles:
a
a m
c y
y
b c
b
b
) 16
8
3 63 10 9
7 5 6
7
4
b) b
=
c) -32m
= d) a
=
e)
27a
= f) 108a
=
34
15
5 3
5
6
Resolver las siguientes operaciones:
a)
m
b)
m
2
d)
7
363
4 4 2
m
m
c
3 3
2
8
3
1
:
)
Productos notables (Recuperado con fines educativos de: https://ivanparra.wikispaces.com/file/view/NIVELACION+OCTAVO.doc, Julio 15 de 2018)
Factorización en el conjunto de los números reales (Recuperado con fines educativos de: http://ciencias.udea.edu.co/semilleros/Semilleros%202009/Taller%204/Word/Taller%204%20grado%209.doc, Julio 15 de 2018)
Factorizar las siguientes expresiones:
1. 4 8 5 6 6 4
4
15
10
8
5
y
x
y
x
y
x
=2.
4
ax
x
2
1
a
x
2
1
3.
x
2
2
xy
z
2
2
xy
2
xz
2
yz
4.
49
x
2n
100
x
2m
5.
y
7
y
6
y
1
6. 2
11
24
x
x
7.
6
x
2
19
x
10
8.
7
a
12
33
a
6
10
9.4
a
2
7
abc
15
b
2c
2
10.
a
1
3
1
11.
a
2
9
a
18
12.
4
32
1
8
2 3 2 3
a
x
a
x
13.
x
4
b
4
c
4
2
x
2b
2
2
x
2c
2
2
b
2c
2
14.
x
y
x
y
3
11
297
3 3
7
16.
t
3n
7
t
2n
8
t
n
17.
L
1
dg
h
2
L
1
dg
18.
5
2x
5
x1
4
19.
x
3n
7
x
2n
8
x
n
20.
x
3
x
2
x
1
21.
x
2
9
22.
a
b
2
a
3
2
23.
4 2 10b
a
b
a
24.
2
1 1 1 1 1 227
81
.
3
9
n n n n n n n =25.
z
5x
2
4
z
5x
3y
4
4
x
5
16
x
6y
4
26.
5
x
2
27
x
18
27.
1 2 2 2 1 3b
a
c
b
a
c
28.
70
x
2
20
xy
168
x
48
y
29.
12
x
5y
48
x
3y
24
x
4y
96
x
2y
30.
4
g
2
12
gh
12
g
9
h
2
18
h
9
Simplificación de Expresiones racionales, Expresiones algebraicas: suma, resta, multiplicación, entre
polinomios (Recuperado con fines educativos de:
https://matematicasiesoja.files.wordpress.com/2013/10/fracciones-algebraicas2.doc, Julio 15 de 2018) 1. Simplificar:
a)
1
+
x
1
-x
2 b))
1
-(x
1
-x
2 2 c)4
-2x
4
-x
2 d)4
-x
4
+
4x
+
x
2 2 e)16
+
8x
+
x
16
-x
2 2 f)4
+
4x
+
x
2)
+
(x
x
2 g)
-
9
x
8
+
6x
-x
2 2 h)81
-x
9
-x
4 2 i)6
-x
+
x
3x
+
x
2 2 j)x
-x
3
-2x
+
x
2 3 2 k)6
-x
+
x
3x
+
x
4
+
x
2 2 3 l)5
-4x
+
x
3
-2x
+
x
2 22. Realizar las operaciones y simplificar (recordar que el símbolo “ : ” significa división o cociente)
a)
2
1
+
x
1
:
x
x
4
b)
x
4
-x
.
)
2
+
(x
2
+
x
22
c)
.
x
1
+
x
1
x
:
1
+
x
1
+
x
2
d)
2
+
x
1
:
x
2
.
2
x
2e)
.
2
x
2
-x
1
+
x
x
2
+
x
+
x
3
2
2
8
3. Realizar las operaciones indicadas y simplificar:
a)
x
y
y
x
.
y
+
x
y
-x
y
-x
y
+
x
b)
y
+
x
2xy
.
xy
y
+
x
+
y
1
x
1
c)
x
1
x
.
1
+
x
x
1
-x
1
+
x
d)
3
+
4x
-x
1
-x
3
-x
1
+
1
-x
1
2 e)2
-x
+
x
1
+
x
1
-x
3
+
2
+
x
1
2 f)
2
+
3x
-x
1
-x
1
+
x
3
2
-x
-x
x
2 24. Simplificar las siguientes expresiones:
a)
2
-x
8
+
8x
-x
2
:
2/8
+
3/4
4
-2x
x
+
x
3
x
-x
3
x
-9
x
+
6x
+
9
2 3 2 3 2 2 2·
b)4x
-x
2x
-x
+
4
-x
2
-x
4
+
5x
-x
5
+
6x
+
x
2 3 2 2 2·
c)0x
+
x
-x
x
:
x
2
-x
+
x
2
x
+
2x
1
x
x
-x
1
x
1
x
x
2 3 2 2 25
20
2
5
5
2
50
0
14
4
4
·
2
2 3 2
d)10
+
7x
-x
4
-x
1
+
x
:
2
-x
+
x
2
+
2x
1
-x
10
-8x
-x
2
1
+
2x
+
x
1
-x
2 3 2 2 2 2·
e)2x
12
+
12x
+
x
3
_
6
-3x
+
x
3
2x
-x
2
4
+
4x
+
x
2
-x
+
x
:
2
+
3x
-x
3
-2x
+
x
.
9
-x
6
-11x
+
x
6
-x
2 2 2 2 2 2 2 2 2 3
f)1
3
-x
3
+
x
3
3
+
x
x
3
+
x
_
3x
x
-3
3
+
x
3
-x
+
1
g)x
+
x
6
+
5x
-x
:
9x
+
x
6
+
x
9
x
_
x
+
x
6x
-x
+
x
2 2 2 3 2 2 2 3
h)y
-xy
y
-x
y
x
+
1
2 2 2 i)
)
1
-(a
1
+
2a
-a
_
a
1
+
a
:
1
-a
1
+
a
1
+
a
1
-a
1
-a
1
+
a
1
+
a
1
-a
2 2 2 2 2 2 2 j)b
-a
b
+
a
1
b
-a
b
+
a
+
1
5. Simplificar: a)81
-a
9
+
a
:
9
-a
9
+
6a
+
a
4 2 2 2 b)8
-4x
b
-a
:
6
-3x
b
2
+
4ab
-a
2
2 2c)
:
(32
-
8
x
)
=
8
+
4x
x
-16
4 2d)
:
(32
+
8
x
)
=
8
+
4x
x
-16
2 4e)
=
9
6. Operar y simplificar cuando sea posible:
a)
=
x
-9
x
3
-x
-1
x
-3
x
+
3
2 2 b)=
1
+
y
y
+
1
-y
1
+
2y
+
y
-y
1
2 2c)
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4
2
2
6
·
3
2
5
4
·
8
4
2
10
3
2 2 2 2 3 2
d)=
x
9
+
x
6
-x
x
3
-x
2 3 4 3 4 e)=
4
-8x
-x
+
x
2
2
+
5x
+
x
2
2 3 2 f)=
6
-2x
1
-x
+
3
+
4x
-x
5
+
x
3x
-x
6
+
2x
2 27. Operar y simplificar:
a)
=
1
-x
1
1
+
x
x
1
+
2x
+
x
1
-x
2 b)
=
1
-x
1
-x
+
1
-x
1
+
x
-x
x
2 2 c)=
1
-x
1
1
+
x
1
+
1
-x
x
+
x
2 2 d)=
1
-x
x
1
+
x
x
+
1
-x
x
2 e)=
1
+
x
x
+
1
-x
1
1
-x
1
+
x
1
+
x
1
2 2 f)=
1
+
x
2x
+
x
1)
-3(x
x
+
x
1
-x
2 h)=
1
-x
3x
+
1
-x
2
x
-x
2
+
x
2 28. Operar y simplificar si es posible:
a)
=
1
-x
x
1
+
x
x
1
+
x
x
+
1
-x
x
b)=
1
-x
1
+
1
-x
x
1
+
x
1
-x
1
-x
1
+
2x
-x
2 2 2 c)=
)
1
+
(x
1
+
2x
-x
+
1
-x
1
+
2x
+
x
1
-x
1
+
x
-x
)
1
-(x
2
+
3x
+
x
_
)
1
+
(x
x
2
-2x
2 2 2 2 2 2 2 2 2
d)=
6
-x
+
x
1
2
+
3x
-x
1
1
+
x
1
+
2x
+
x
+
1
+
x
1
-x
2 2 2 2 e)=
3x
1
+
2x
-x
2x
1
+
3x
+
1
-x
3
-2x
+
x
2 2f)
=
1
x
x
x
+
1
-x
x
1
x
x
-x
1
-x
1
+
2x
x
2 2 2
1
2
1
1
)
(
2 29. Operar y simplificar:
a)
=
1)
+
2)(x
+
(x
2
+
x
2
+
3x
+
x
2b)
=
6
+
5x
+
x
3
-x
3
+
x
3
-3x
+
2
+
x
1
-x
2 2c)
=
10
Solución de ecuaciones lineales, solución de ecuaciones cuadráticas, solución de sistemas de ecuaciones lineales (Recuperado con fines educativos de
ficus.pntic.mec.es/~jgam0105/sorpresa/Cuad_sm/SM4%20algebra2.doc, Julio 15 de 2018) Ecuaciones lineales:
1. Resuelve las ecuaciones:
a) 3x - 6 = 4 c) -x + 3 + 6 = 5 - 3x b) -1 + 2x = 9 - 3x d) 2x = 20 - 3x Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 6 2 3
x
d)
5 1 4 2 3
6
x
x
b) 2
3 6 4x
e)
2 3 4 5 6
1
2x x x
c) 4(2x - 1) + 15 = 6 - 2(x - 5)
2. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 11
4 2 1
7x x b)
8 3 2 4 3 5 6
10
3
x
x x
c) 0
2 3 5
2 3
x
x
d)
6 4 3 2 15 5 2
3 x x x
e)
2 1 3
1 9
1 5 4
2
x x
x
3. Problemas acerca de ecuaciones lineales:
Repartir 12 000 pesetas entre 3 personas de modo que la segunda reciba 2 000 pesetas más que la primera, y que la tercera reciba el triple de lo que reciben las otras dos juntas.
Una niña gasta los 5/7 del dinero que tiene ahorrado en material escolar y los 3/4 del resto en celebrar su cumpleaños, quedándole 1 000 pesetas. ¿Cuánto dinero tenía ahorrado? ¿Cuánto gasta en material escolar? ¿Y en celebrar su cumpleaños?
Halla dos números consecutivos tales que la suma de la tercera parte del mayor y la quinta parte del menor sea igual a la mitad del menor más uno.
El perímetro de un rectángulo es de 60 m. Sabiendo que la base mide 2/3 de la longitud de su altura, calcula la longitud de cada lado y el área del rectángulo.
Calcula la edad de una persona sabiendo que si al triple de la edad le quito 2 y divido este resultado por 5 me da la mitad de la edad más 2.
Se reparte un lote de discos entre tres alumnos. El primero recibe la tercera parte más 4, el segundo un sexto del resto y el tercero recibe 5 discos. ¿Cuántos discos se han repartido? ¿Cuántos recibe cada uno?
Ecuaciones de segundo grado
4. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 3x2 - 27 = 0 d) x(x + 5) - 8x = 0
11
5. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) x2 - 4x + 3 = 0 d) 3x2 - 5x + 2 = 0
b) 3x2 + 3x - 6 = 0 e) 6x2 + 2x + 1 = 0 c) x2 - 6x + 9 = 0 f)
3 1 2
1
xx
x
6. Resuelve las ecuaciones: a) x4 - 40x2 + 144 = 0 b) 4x4 + 3x2 - 1 = 0 c) x4 - 18x2 + 32 = 0
7. Resuelve las ecuaciones:
a) x 2x12 b) x 2x2x93
c) 36x x2 d) 4 x2x2
8. Problemas acerca de ecuaciones cuadráticas:
Luis tiene 6 amigos más que Javier y la suma de los cuadrados del número de amigos de cada uno es 468. ¿Cuántos amigos tiene Luis? ¿Y Javier?
Halla un número tal que si a la novena parte de su cuadrado se le resta cuatro se obtiene dicho número. Se reparten 300 pesetas entre varios niños. Si hubiera dos niños menos, cada uno tocaría a 40 pesetas
más. ¿Cuántos niños son?
La décima parte del producto de números consecutivos coincide con el doble del menor menos 7. ¿Cuáles son tales números?
El perímetro de un rectángulo es 54 cm, y su área 180 cm2. Calcula sus dimensiones.
Dos pintores pintan una habitación en 2 horas. ¿En cuánto tiempo la pintaría cada uno por separado sabiendo que uno de ellos tarda 3 horas menos que el otro?
9. Sistemas de ecuaciones lineales:
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación:
x - 4y = 13 5x + 7y = -16
3x - 4y = -5 2x + y = 13/2
12
10. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución:
a)
16 2 5
7 3
y x
y x
b)
8 5 3
1 3 4
y x
y x
c)
16 4
1 7 2
y x
y x
d)
12 1 7 2
3 3 1 5
) (
) (
y x
y x
e)
3 17 3
1 3 2 3
2 3 2
y x
y x
11. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de reducción:
a)
13 4
5 2
y x
y x
b)
11 2 7
12 5 2
y x
y x
c)
0 3
4
14 3 2
) ( x y
y x
d)
1 7 2 3
5 2 5 2
y x
y x
) (
) (
e)
4 3 4
3 5
y x
y x
12. Problemas acerca de sistemas de ecuaciones lineales:
En un triángulo isósceles de 14 cm de perímetro, el lado desigual es tres veces menor que el otro lado. ¿Cuánto mide cada lado?
Un maestro compra 30 objetos, entre lápices y bolígrafos, con un coste de 1240 pesetas. Si los lápices cuestan 25 pesetas y los bolígrafos 60 pesetas, ¿cuántos bolígrafos compró? ¿Cuántos lápices? Un ramo de flores compuesto de 5 rosas y 8 margaritas cuesta 4 100 pesetas. Si está formado por 2
rosas y 6 margaritas su precio es 2 200 pesetas. ¿Cuál es el precio de una rosa? ¿Y de una margarita? En una tienda de anticuario hay 12 candelabros de dos y tres brazos. Si para utilizarlos se necesitan 31
velas, ¿cuántos candelabros hay de cada tipo?
Un padre quiere repartir el dinero que lleva en el bolsillo entre sus hijos. Si a cada hijo le da 700 pesetas, le sobran 200 pesetas; pero si da a cada uno 800 pesetas, le faltan 200 pesetas. ¿Cuánto dinero lleva en el bolsillo? ¿Cuántos hijos tiene?
En el recreo, los alumnos de dos aulas se pasan de una a otra. Si pasan 4 de la primera a la segunda, hay en ésta un alumno más que en la primera. Pero si pasan 4 de la segunda a la primera serán doble en la primera que en la segunda. ¿Cuántos alumnos tiene cada clase?