Aplicaciones en física

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COLEGIO HISPANO INGLÉÉÉSÉSSS APUNTES II

4º ESO

Vectores:

Vamos a distinguir dos tipos de magnitudes:

• Magnitudes escalares, son aquellas que quedan definidas por una sola cantidad que denominaremos valor del escalar.

Ej: Si decimos que la masa de un cuerpo es de 3kg, definimos perfectamente la cantidad de masas de dicho cuerpo.

• Magnitudes vectoriales, son aquellas que tienen un módulo, una dirección y un sentido.

Ej: Si decimos que un avión tiene una velocidad de 30m/s, no sabemos su dirección ni su sentido, así que la información no es completa; lo sería si aclaramos, 30m/s en dirección N-S, y sentido Sur.

Es por esto, que para expresar magnitudes vectoriales correctamente necesitamos una nueva identidad matemática, que es el vector.

Un vector es un segmento orientado en el plano o en espacio. En nuestro caso, nos centraremos en el plano bidimensional (2D) para el nivel que nos ocupa.

Y nada mejor para representarlos gráficamente que un sistema de coordenadas cartesianas.

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4º ESO

A este vector se le llamará AB, se definirá con sus componentes, que serán los valores de su proyección horizontal y vertical, es decir, 3 y 2, de este modo

(

)

i j

AB= 3,2 =3+2 .

La primera forma de indicarlo, AB=

(

3,2

)

, es como coordenadas del extremo si el origen está en el (0,0).

La segunda forma, AB=3i+2j, como la suma de dos vectores perpendiculares, uno de módulo 3 en sentido positivo de las X y el otro de módulo 2 en sentido positivo del eje Y (los vectores i y j reciben el nombre de vectores unitarios, es decir, de módulo 1, el primero sobre el eje OX y el segundo sobre el eje OY).

Vemos así en este otro ejemplo:

= 2 + y = - +

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4º ESO

Para calcular el módulo del vector AB=3i+2j (su longitud), podemos usar el teorema de Pitágoras, ya que sabemos cuanto mide su proyección horizontal, 3, y la vertical, 2, (que serán los catetos), las cuales describen un triángulo rectángulo para el cual su hipotenusa es precisamente la longitud que buscamos, su módulo:

Otra forma de definirlos es con su módulo y el ángulo que forma con respecto a uno de los ejes.

Ej:

V

=

5

y formando un ángulo de 60º con el eje OX

Para poder calcular sus componentes a partir de esta información, debemos hacer una pequeña incursión en la trigonometría.

Trigonometría:

Supongamos que tenemos una circunferencia de radio R=1:

13

2

3

2

+

2

=

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4º ESO

Estas razones están tabuladas, para los distintos valores de α, y así podemos generalizar los valores de las componentes horizontal y vertical si la hipotenusa no vale 1, ya que serán triángulos semejantes y sólo habrá que multiplicar por las dimensiones de la nueva hipotenusa:

0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º

sin 0 1 /2 √2/2 √3/2 1 0 -1 0

cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 1

tag 0 √3/3 1 √3 ∞ 0 -∞ 0

Definiremos tres razones fundamentales para el triángulo rectángulo formado por el radio, que será la hipotenusa de valor 1, el cateto horizontal y el cateto vertical:

Coseno del ángulo α:

OA

hipotenusa

OA

=

1 cos

α

Seno del ángulo α:

AP

hipotenusa

AP

sen

=

1 α

Tangente del ángulo α:

BQ

OA

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4º ESO

Y los signos de las razones según el cuadrante donde nos encontremos:

sin cos tag

1º Cuadrante + + +

2º Cuadrante + - -

3º Cuadrante - - +

4º Cuadrante - + -

Retomemos el ejemplo anterior: V =5

y formando un ángulo de 60º con el eje

OX.

También podemos obtener el ángulo que forma un vector con la horizontal si nos dan sus componentes gracias a la tangente:

Vox = 5·cos 60º = 5·(1/2)= 2.5

V0y = 5·sen 60º = 5·(√3/2)= 4.33

j

i

V

33 .

4

5 .

2 )

33 .

4 ,

5 .

2 (

=

+

=

coseno seno

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4º ESO

Ej:

Sea el vector A

(

)

i j

3 3 3 ,

3− = −

= ¿Cuál será el ángulo que forma este vector con el eje OX?

Si el resultado de la tangente no estuviera en la tabla, podemos recurrir a la

calculadora usando la tecla , es decir calcular la arcotangente (arctg), el

ángulo cuya tangente nos da el número resultante del cociente.

Suma de vectores:

Matemáticamente sólo tenemos que sumar por un lado las dos componentes horizontales y por el otro las dos verticales, el resultado será otro vector.

Si miramos en la tabla antes presentada y los signos de las razones según los cuadrantes, el ángulo será -45º o lo que es lo mismo (360º-45º) = 315º, también podría ser 135º, pero como la componente y es negativa, debe estar por debajo del eje X.

1 tan−

1

3

3 −

=

−

=

α

tg

j A i A

A _x _y

+ = j B i B

B _x _y

+ =

(

A B

)

i

(

A B

)

j R i R j B

A

R _x _x _y _y _x _y

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4º ESO

Gráficamente, debemos poner el origen de B

en el extremo de A

y el resultado

R

será la unión del origen de A

con el extremo de B

.

Resta de vectores:

Matemáticamente es similar que antes, sólo tenemos que restar por un lado las dos componentes horizontales y por el otro las dos verticales, el resultado será otro vector.

Gráficamente, debemos poner el origen de B en el origen de A

y el resultado

R

será la unión de los extremos desde B

hacia A

.

Comparación de ambas operaciones:

j A i A

A _x _y

+ = j B i B

B _x _y

+ =

(

A B

)

i

(

A B

)

j R i R j B

A

R _x _x _y _y _x _y

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4º ESO

Producto de un vector por un escalar:

El resultado será un nuevo vector con la misma dirección y sentido, de tamaño tantas veces más grande que el original, como indique el número por el que lo hemos multiplicado:

Producto escalar de dos vectores:

Si tenemos dos vectores u u_xi u_yj

+

= y v v_xi v_yj

+

= , el producto escalar de ambos será el producto de sus componentes horizontales más el producto de sus componentes verticales, u⋅v =

(

u_x⋅v_x

)

+

(

u_y⋅v_y

)

, por lo tanto, el resultado será un escalar. También podemos calcularlo como el producto de ambos módulos y por el coseno del ángulo que forman entre ellos.

Esto nos puede permitir calcular el ángulo si conocemos sus componentes:

(

⋅

)

+

(

⋅

)

=

⋅

cos

α

=

⋅

v

u

v

u

v

u

v

u

_x _x _y _y

(

)

(

)

v

u

v

u

v

u

_x _x _y _y

⋅

+

⋅

=

α

(9)

4º ESO

También podemos comprobar si dos vectores no nulos son perpendiculares, ya que dada la definición de producto escalar

Si son perpendiculares, el ángulo que forman es de 90º y el coseno de 90º es 0, lo cual nos indica que son perpendiculares si y sólo si su producto escalar es igual a cero.

Obtención de un vector unitario en la misma dirección y sentido que un vector:

Se el vector

u

x

i

u

y

j

+

=

; para calcular un vector unitario en la misma

dirección y sentido que él, bastara dividir dicho vector por su módulo, es decir:

Ejercicios ejemplo:

1) Calcular la suma de los vectores de la figura adjunta.

Para sumar varios vectores hay que determinar las componentes cartesianas de cada vector y sumarlas.

A = 10 i

B = 12. cos 60 i + 12. sen 60 j = 6 i + 10'39 j

C = - 6 i

D = - 8. cos 40 i - 8. sen 40 j = - 6'13 i - 5'14 j

E = - 9 j

α

cos

⋅

=

⋅

v

u

v

u

(

⋅

)

+

(

⋅

)

=

0 =

⋅

v

u

_x

v

_x

u

_y

v

_y

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4º ESO

R = A + B + C + D + E = (10 + 6 - 6 - 6'13) i + (10'39 - 5'14 - 9) j = 3'87 i - 3'75 j

| R | = (3'872 + 3'752)1/2 = 5'39

α_{= arc tg (- 3'75 / 3'87) = - 44'1 º = 315'9 º, cuarto cuadrante}

2) D a d o s l o s ve c to r e s =(2 , k ) y = (3 , - 2 ), c a l c u la k pa r a q u e

l o s ve c to r e s y s ea n :

1 P e r pe n d i c u la r es .

2 P a ra l el o s .

3 F o r m e n u n á n gu l o d e 60 °.

1 P e r pe n d i cu l a r e s .

(11)

4º ESO

3 F o r m e n u n á n gu lo d e 6 0 °.

3 ) H a l l a r u n ve c t o r u n i ta r i o d e l a m i s m a d i re cc ió n d e l

ve c to r :