Estudio de si un número es múltiplo o divisor de otro

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Lección 4: RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD

1.- RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD. MÚLTIPLOS Y DIVISORES

La divisibilidad es la relación que hay entre dos números cuando uno de ellos, el mayor, contiene una cantidad exacta de veces al otro, el menor. También se puede decir que el menor cabe una cantidad exacta de veces en el mayor.

Esto se puede saber comprobando que la división del mayor entre el menor es exacta y se expresa diciendo que el número mayor “ es divisible entre ” el menor.

Al número mayor se le llama múltiplo del menor; y al menor se le llama divisor del mayor.

35 : 7 = 5 ; r = 0 => 35 contiene al 7 exactamente 5 veces => 35 es divisible entre 7

(Entre 35 y 7 hay relación de divisibilidad)

35 es múltiplo de 7 7 es divisor de 35

35 : 8 = 4 ; r = 3 ≠ 0 => 35 no contiene al 8 una cantidad exacta de veces => 35 no es divisible entre 8 (Entre 35 y 8 no hay relación de divisibilidad)

35 no es múltiplo de 8 8 no es divisor de 35

============================================================ ACTIVIDADES

Lee detenidamente en la página 26 del libro, el epígrafe 1, “Divisores y múltiplos”, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y cuando creas que lo sabes, haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor.

1.- Completa con V (verdadero) o F (falso):

a) 13 cabe una cantidad exacta de veces en 143. _V  143 : 13 = 11; r = 0

b) 5 cabe una cantidad exacta de veces en 50.  ___

c) 4 cabe una cantidad exacta de veces en 10.  ___

d) 40 contiene al 8, exactamente, 5 veces ___

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2.- Razona y justifica si hay o no relación de divisibilidad entre las siguientes parejas de números.

a) 1.170 y 39 b) 665 y 72 c) 45 y 7.650 d) 35 y 1.800

3.- Página 26, actividad 1.

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2.- MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO

Los múltiplos de un número son todos aquellos que lo contienen una cantidad exacta de veces. Eso se sabe comprobando que la división de dicho número entre el otro es exacta.

Se expresa: m(a) o también å y se lee: “múltiplo de a”

40 : 4 = 10 ; r = 0 => 40 contiene al 4 exactamente 10 veces => 40 = m (4) 40 es múltiplo de 4

40 : 3 = 13 ; r = 1 ≠ 0 => 40 no contiene al 3 una cantidad exacta de veces =>40 ≠ m (3) 40 no es múltiplo de 3

CÁLCULO DE LOS MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO

Para calcular los múltiplos de un número se multiplica dicho número por un número entero cualquiera.

M (a) = n· a ; siendo n ε Z 6· 0 = 0 = m (6) ; 6· 1 = 6 = m (6) ; 6· 2 = 12 = m (6) ;

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PROPIEDADES Y CARACTERÍSTICAS DE LOS MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO

• Todo número, excepto el cero, tiene infinitos múltiplos.

• En toda división exacta, el dividendo es múltiplo tanto del divisor como del cociente.

• Los múltiplos de un número son siempre mayores o iguales a dicho número. Nunca menores.

• El 0 es múltiplo de todos los números; pero ningún número es múltiplo de 0, excepto el 0.

• Todos los números son múltiplos de 1; pero el 1 solo es múltiplo de si mismo.

• Todo número es múltiplo de sí mismo.

• La suma o la diferencia de múltiplos de un número también es múltiplo de dicho número.

       _   _              

10 = (5)

15 = (5) (5)

20 = (5) m

m m

m

a = (n) b = (n)

a + b + c + ... = (n) 10 +15 + 20 = 45 = c = (n)

...

m m

• El producto de múltiplos de un número también es múltiplo de dicho número.

        _  _       _ _    

a = (n)

6 = (3) b = (n)

a· b· c· ... = (n) 9 = (3) 6· 9· 12 = 648 = (3) c = (n)

12= (3) ... 6 m m m

m m m

m

48 : 3 = 216 ; resto = 0

• Si un número es múltiplo de otro y este lo es de un tercero, entonces el primero es múltiplo del tercero.

 



 

 

20 = (10)

20 = (5) 10 = (5

m

m m

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ACTIVIDADES

Lee detenidamente en la página 26 del libro, el epígrafe1, “Divisores y múltiplos”, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y cuando creas que lo sabes, haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor.

4.- Calcula y escribe los cinco primeros múltiplos de …

a) 12 b) 84

5.- Busca los múltiplos de 26 comprendidos entre 3.000 y 3.050.

6.- Di si es VERDADERO o FALSO. Corrige debajo las que sean falsas.

- El cero es múltiplo de todos los números.  ____________________

- Todo número distinto de cero tiene infinitos múltiplos.  _________________

- El 1 es múltiplo de todos lo números.  __________________

- El cero solo es múltiplo de si mismo.  __________________

- Todo número es múltiplo de si mismo.  __________________

- Los múltiplos de un número nunca son menores que dicho número. ___________

- En una división exacta el dividendo solo es múltiplo del divisor.  _______________

7.- Página 26, actividad 2. 8.- Página 26, actividad 4.

11.- Página 26, actividad 7. 12- Página 26, actividad 8.

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3.- DIVISORES DE UN NÚMERO

Los divisores de un número son todos aquellos que están contenidos (o caben) en él una cantidad exacta de veces. Eso se sabe comprobando que la división de aquellos entre dicho número es exacta.

Se expresa: d(a) Y se lee: “divisor de a”

56 : 8 = 7 ; r = 0  8 está contenido (o cabe) en el 56 exactamente 7 veces 8 = d (56) 8 es divisor de 56

56 : 9 = 6 ; r = 2 ≠ 0  9 no está contenido (o no cabe) en el 56 una cantidad exacta de veces  9 no es divisor de 56

PROPIEDADES Y CARACTERÍSTICAS DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO

 En toda división exacta tanto el divisor como el cociente son divisores del dividendo.

 Los divisores de un número son siempre menores o iguales a dicho número. Nunca mayores.

 El uno es divisor de todos los números; pero ningún número es divisor de 1, excepto el 1.

 Todos los números son divisores de 0; pero el 0 solo es divisor de sí mismo.

 Solo el cero tiene infinitos divisores.

 Todo número es divisor de si mismo.

 Cualquier número tiene al menos dos divisores: el 1 y el propio número.

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 _   _

   

   

a = (b) 3 = (6)

a = (c) 3 = (18)

b = (c) 6 = (18

d d

CÁLCULO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO

Los divisores de un número se pueden calcular dividiendo dicho número entre cada uno de los números naturales menores que él (excepto el 0, que no es divisor de ningún número),

empezando por el 1 y siguiendo en orden creciente hasta una división que tenga el divisor mayor o igual que el cociente; en las divisiones exactas tanto el divisor como el cociente son divisores del dividendo.

D (36) 36 : 1 = 36 ; r = 0 =>{1 y 36} = d(36)

36 : 2 = 18 ; r = 0 =>{2 y 18} = d(36)

36 : 3 = 12 ; r = 0 =>{3 y 12} = d(36)

36 : 4 = 9 ; r = 0 =>{4 y 9} = d(36)

36 : 5 = 7 ; r = 1 ≠ 0 =>5 ≠ d(36)

36 : 6 = 6 ; r = 0 =>6 = d(36)  c = 6 = d => No hay más divisores de 36. D(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18 y 36}

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ACTIVIDADES

Lee detenidamente en la página 26 del libro, el epígrafe 1, “Divisores y múltiplos”, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y cuando creas que lo sabes, haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor.

13.- Busca todos los divisores de …

a) 60 b) 72 c) 84 d) 140

14.- En una clase de 24 alumnos un profesor quiere formar grupos con el mismo número de componentes sin que ningún alumno quede fuera. ¿De cuántas maneras podría hacerlo? ¿Cuáles serían?

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4.- CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Criterio general:

Para saber si un número es divisible entre otro se comprueba si su división es exacta.

Otros criterios de divisibilidad:

 Un número es divisible entre 2 si acaba en cifra par (0, 2, 4, 6 y 8).

 Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. 618  6 + 1 + 8 = 15 = m (3)  618 = m (3)

 Un número es divisible entre 4(o entre 25), si sus dos últimas cifras forman un múltiplo de 4 (o de 25).

 Un número es divisible entre 5 si acaba en 0 ó en 5.

 Un número es divisible entre 6 si es múltiplo a la vez de 2 y de 3. 628  28 = m (4)  628 = m (4)

 Un número es divisible entre 8 (o entre 125), si sus tres últimas cifras son forman un múltiplo de 8 (o de 125).

 Un número es divisible entre 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. 628  6 + 4 + 8 = 18 = m (9)  648 = m (9)

 Un número es divisible entre 10 si acaba en 0.

 Un número es divisible entre 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar impar y la suma de las cifras que ocupan lugar par es múltiplo de 11.

638  (6 + 8) – 3 = 14 – 3 = 11 = m (11)  638 = m (11) 638 : 11 = 58, r = 0

628  (6 + 8) – 2 = 14 – 2 = 12 ≠ m (11)  628 ≠ m (11) 628 : 11 = 57, r = 1

6820  (6 + 2) – (8 + 0) = 8 – 8 = 0 = m (11)  6820 = m (11) 6820 : 11 = 620, r = 0

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ACTIVIDADES

Lee detenidamente en la página 27 del libro, el epígrafe 2 “Criterios de divisibilidad”, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y cuando creas que lo sabes, haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor.

16.- Rodea con un cuadrado los números que sean divisibles entre 2, con un triángulo los divisibles entre tres, con un círculo los divisibles entre 5 y subraya los divisibles entre 11.

15 18 20 23 24 30 35 37 44

45 48 51 56 65 70 77 78 95

105 111 115 133 145 170 200 225 231

236 531 682 759

17.- ¿Cuánto debe valer X en cada caso, para que el número correspondiente sea múltiplo de 3? Busca todas las soluciones posibles, razonando y justificando los resultados.

a) 8X b) 8X1 c) 43X

18.- Di cuál debe ser el valor de X en cada caso, para que el número correspondiente sea múltiplo a la vez de 2 y de 3. Razona y justifica tus respuestas.

a) 13X b) 41X c) 42X

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ACTIVIDADES FINALES DE REFUERZO Y AMPLIACIÓN.

Da un repaso general a la lección. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor.

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40.- Página 37, actividad 95. 41.- Página 38, actividad 119. a), b), c) y d).

42.- Página 38, actividad 120. V1.- Página 36, actividad 45.

V2.- Página 36, actividad 48. V3.- Página 36, actividad 52.