Análisis de circuitos LIT empleando transformadas

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(1)CIRCUITOS EN FRECUENCIA Capitulo 1. Análisis de circuitos LIT empleando transformadas Ing. Carlos E. Cotrino B. M Sc. Rev. 2016-3 Francisco Carlos Calderón. M.Sc..

(2) Análisis de circuitos LIT empleando transformadas OBJETIVOS 1. 2. 3.. 4. 5.. Preparar y ejecutar un plan para solucionar un problema (CDIO 2.1.1.4) Generalizar suposiciones para obtener la respuesta bajo condiciones restringidas. (CDIO 2.1.2.1) Identificar e interpretar modelos cualitativos y cuantitativos (CDIO 2.1.2.4) Inferir el comportamiento del circuito a partir de representaciones entrada – salida (CDIO 2.1.3.4) Computar y comparar soluciones (CDIO 2.1.5.1/4/5). FCC-feb-2017. 2.

(3) Contenido. 1. 2.. 3. 4.. Semana 3 Definir y aplicar el teorema de Convolución Definir funciones de sistema. Evaluar funciones de sistema de circuitos LIT. Práctica: emplear MATLAB para analizar circuitos en el dominio de la frecuencia. FCC-feb-2017. 3.

(4) Material para repasar • • •. Transformada de Laplace Fracciones Parciales Solución de ecuaciones diferenciales empleando Laplace. FCC-feb-2017. 4.

(5) Clasificación de los sistemas en tiempo continuo . Sistemas lineales y no lineales:. Un sistema lineal es aquel que cumple la propiedad de superposición. 1. La respuesta a x2(t)+ x1(t) es y1(t)+ y2(t) (t) esay (t) 1 1 2. La respuesta a ax Conocidas como las propiedades de aditividad y escalamiento u Homogeneidad. FCC-feb-2017. 5.

(6) Clasificación de los sistemas en tiempo continuo . Si el sistema es lineal, una entrada que sea cero todo el tiempo resulta en una salida que sea cero todo el tiempo. x ( t )  y ( t ) 0  0 x ( t )  0 y ( t )  0. FCC-feb-2017. 6.

(7) Sistemas lineales “deben cumplir” x1 t . H. a. . x2 t . H. 𝑎𝑦1 𝑡 + 𝑏𝑦2 𝑡. b Que sean iguales. x1 t . a. x3 t . . x2 t . FCC-feb-2017. H. y3 t . b. 7.

(8) Clasificación de los sistemas en tiempo continuo  . Causalidad Sistema Causal: Si su salida en cualquier instante de tiempo depende sólo de los valores de la entrada en el momento presente y en el pasado. (No-anticipativo).. . CAUSAL:. . NO-CAUSAL:. FCC-feb-2017. y t   xt  y t   x t  8.

(9) Clasificación de los sistemas en tiempo continuo  . . . Estabilidad Sistema Estable: Es aquel que a entradas acotadas produce salidas que no divergen. ESTABLE: sen(t). NO-ESTABLE: 1/t ,. FCC-feb-2017. 9.

(10) Sistemas Invariantes “deben cumplir” x1 t . y1 t . H.  t0. y1 t  to  Que sean iguales. x1 t .  .  t0. x2 t . H. y2 t . Invariante en el tiempo Sistema Invariante en el tiempo: Si el comportamiento y características del mismo están fijos en el tiempo.. FCC-feb-2017. 10.

(11) Convolución •. •. • • •. Establece enlace entre las representaciones en el dominio del tiempo y dominio de la frecuencia Consecuencia de la linealidad y la Invariancia Teoría de Circuitos Análisis de Señales Teoría de Comunicaciones. FCC-feb-2017. 11.

(12) SLIT discretos. Las señales discretas pueden representarse por medio de una secuencia de impulsos, aplicando la propiedad:.       x n   n  a  x a   n  a Dada una señal discreta x[n]. x[n] puede escribirse como una suma de impulsos desplazados.   .             x n  ...  x  1  n  1  x 0 n  x 1  n  1 ... .    x n x kn  k  k  . FCC-feb-2017. 12.

(13) Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo discretos     [n  k ]   . H. H    .    hk [n]   . x[k ].    x n x kn  k  k  . FCC-feb-2017. . y[n]. .   y n x kh n k k . 13.

(14) Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo discretos El sistema además de ser lineal también es invariante en el tiempo entonces:.  [n  k ] H. hk [n]. h n ]h nk] k[ 0[ x1[n]. FCC-feb-2017.  t0. x2 [ n ]. H. y 2 [ n].  x [ n] 1. H. y1[n].  t0. y1[n  k ]. 14.

(15) Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo discretos .   y n x kh n k k . .   n  y n x kh  k  0 k  . Este resultado se conoce como la suma de convolución “suma de superposición” También representada como:.  y nx nh n Un sistema SLIT discreto puede caracterizarse totalmente con la respuesta al impulso unitario. FCC-feb-2017. 15.

(16) Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo continuos De una manera parecida al caso discreto, se puede encontrar una caracterización para los SLIT en término de su respuesta al impulso unitario. La salida y(t) puede verse como una combinación lineal de respuestas a las señales impulso .       x t x k   t k     . k  . . .      x t  lím x k  t  k       0 k   . tx  x t d   . FCC-feb-2017.  (t   ). h(t , ). H Y como mi sistema es invariante en el tiempo se tiene que:. h (t,)h (t ) hk [n]  h0 [n  k ] 16.

(17) Causalidad - relajado •. •. Sistema es CAUSAL no hay respuesta para t <  h(t,) = 0  t< y los tiempos  > t no cuentan: el límite superior se puede reemplazar por t. Sistema en ESTADO CERO O RELAJADO en to; la salida y(t)  t ≥ 0 es debida exclusivamente a u(t) y por lo tanto el límite inferior de la integral se puede fijar como to.. FCC-feb-2017. 17.

(18) Convolución •. Para un sistema lineal, causal , invariante y relajado en to: t. y(t )   h(t   )u ( )d t0. •. Sistema invariante con el tiempo: la entrada u aplicada en el instante (to + T) segundos genera la salida y desplazada (to + T) segundos.. FCC-feb-2017. 18.

(19) Convolución •. Como el sistema esta relajado en to se puede elegir to = 0 t. y (t )   h(t   )u ( )d 0. •. En sistemas invariantes la respuesta es función de (t-): el tiempo transcurrido desde la aplicación de la excitación.. FCC-feb-2017. 19.

(20) Convolución •. La integral de convolución es conmutable: t. y (t )   h(t   )u ( )d 0 t. y (t )   u (t   )h( )d 0. y (t )  h(t ) * u (t ) •. La respuesta es el área bajo la curva producto entre la entrada y la respuesta impulso desplazada. FCC-feb-2017. 20.

(21) Demostración • • • • •. Obtención de la respuesta en estado cero a partir de la respuesta impulso ..\Soporte\Videos\0. Convolucion_JQS.avi ..\Soporte\Videos\1. Pulso-pulso_JQS.avi ..\Soporte\Videos\2. Pulso-triang_JQS.avi ..\Soporte\Videos\5. Pulso Angosto_JQS.avi. FCC-feb-2017. 21.

(22) Ejemplo 12 La respuesta impulso de un sistema lineal e invariante es:. 𝒉 𝒕 = [𝒆−𝒕 ]1(t) Encontrar la respuesta en estado cero para una entrada: 𝑢 𝑡 = 1(𝑡) Usar la integral de convolución. FCC-feb-2017. 22.

(23) Teorema de convolución •. • •. Para sistemas LIT la transformada de Laplace de y(t):       st  st Y ( s )   y (t )e dt     h(t   )u ( )d e dt  0 0 . h(t   )  0 t   Sistema causal: Sistema en estado cero en t = 0   s (t  )  s Y ( s )     h(t   )u ( )(d )e e dt  0  0  . FCC-feb-2017. 23.

(24) Teorema de convolución •. Intercambiando el orden de integración:. •.    s ( t  ) Y ( s )     h(t   )e (dt)u ( )e  s d  0  0  Cambio de variable: .   t    s ( ) Y ( s )     h ( )e (d )u ( )e  s d  0   . FCC-feb-2017. 24.

(25) Teorema de convolución •. Sistema relajado o en estado cero antes de la aplicación de la excitación:. h( )  0   0 •. Límites de la integral interna se pueden cambiar:.   s ( ) Y ( s )     h( )e (d )u ( )e  s d  0  0     . H (s). FCC-feb-2017. 25.

(26) Teorema de convolución •. H(s) es independiente de τ : . Y ( s)  H ( s)  u ( )e  s d 0     U (s). •. Corresponde a:. Y (s)  H (s)U ( s) •. La convolución de dos funciones en el dominio t es equivalente a multiplicar las transformadas de las funciones en el dominio s.. FCC-feb-2017. 26.

(27) Ejemplo 12 cont… •. Resolver empleando el teorema de convolución en el dominio de Laplace.. FCC-feb-2017. 27.

(28) Modelo entrada - salida • La transformada de Laplace de la ecuación integro – diferencial, con condiciones iniciales nulas (estado inicial = cero) lleva a: ( an s n  an 1s n 1  ...  a1s  a0 )Y ( s )  (bm s m  bm 1s m 1  ...  b1s  b0 )U ( s ). FCC-feb-2017. 28.

(29) Función de sistema •. Relación entre la transformada de Laplace de la respuesta en estado cero y la transformada de Laplace de la entrada: H ( s)   Función de Sistema. L{Respuesta en estado cero} L{Entrada}. bm s m  bm 1s m 1  .....  b1s  b0 Y ( s) H ( s)   U ( s) an s n  an 1s n 1  .....  a1s  a0. FCC-feb-2017. 29.

(30) Respuesta impulso •. Respuesta Impulso: respuesta en estado cero de un sistema LIT a un impulso. L{Entrada}  L{ (t)}  1 H ( s )  L{h(t)}  Función de Sistema. •. La función de sistema es la transformada de Laplace de h(t). FCC-feb-2017. 30.

(31) Funciones racionales y propias •. Una función racional de s es el cociente de dos polinomios de s con coeficientes reales. N ( s) bm s m  bm1s m1  ..... b1s  b0 F (s)   D( s) an s n  an1s n1  ..... a1s  a0. •. Una función racional es propia si el grado del polinomio del numerador (m) es igual o menor que el grado del denominador (n): m ≤ n.. FCC-feb-2017. 31.

(32) Funciones propias y coprimas •. Una función racional es estrictamente propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador: m < n.. FCC-feb-2017. 32.

(33) Ejemplo 13 •. Ecuación entrada-salida de un sistema LIT d 2 y (t ) d y (t ) du(t )  2  4 y ( t )   4u (t ) 2 dt dt dt. • •. Función de transferencia. Propiedades de H(s).. FCC-feb-2017. 33.

(34) Polos y Ceros • • • •. Polo: valores de s para los cuales la función F(s) es indeterminada. Cero: valores de s para los cuales la función F(s) es nula. Pueden estar ubicados en cualquier parte del plano complejo. Pueden estar en s = 0 y en s = ∞. FCC-feb-2017. 34.

(35) Polos y Ceros5. 𝐹(𝑠) = 𝐾 FCC-feb-2017. (𝑠 + 1)(𝑠 + 2) 𝑠 + 1 2 + 1 (𝑠 + 3) 35.

(36) Polos y Ceros5. FCC-feb-2017. 36.

(37) Función de sistema • • • •. La excitación o entrada externa puede ser voltaje, v(t), o corriente, i(t) La respuesta puede ser voltaje, v(t), o corriente, i(t) Funciones en el punto de manejo: Variables aplicadas y medidas en el mismo terminal. Funciones de transferencia: Variables aplicadas y medidas en diferentes terminales. FCC-feb-2017. 37.

(38) Funciones en el punto de manejo •. •. •. Cuando las variables se definen sobre el mismo par de terminales hay dos posibilidades: Impedancia en el punto de manejo: L{Voltaje} Z (s)  L{Corriente } Admitancia en el punto de manejo: L{Corriente } Y(s)  L{Voltaje} SOLO APLICA A SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES CON EL TIEMPO, EN ESTADO CERO. FCC-feb-2017. 38.

(39) Función de transferencia Re spuesta( s ) G( s)  H (s)  Excitación ( s ). Vo ( s ) H1 ( s )  : Transferencia de voltaje Vi ( s) I o ( s) H 2 ( s)  : Transadmitacia Vi ( s) SOLO APLICA A SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES CON EL TIEMPO, EN ESTADO CERO FCC-feb-2017. 39.

(40) Función de transferencia Re spuesta( s ) G( s)  H (s)  Excitación ( s ) H 3 ( s) . Vo ( s) : Transimpedancia I i ( s). H 4 (s) . I o ( s) : Transferencia de corriente I i ( s). SOLO APLICA A SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES CON EL TIEMPO, EN ESTADO CERO FCC-feb-2017. 40.

(41) Ejemplo 14 •. •. •. El amplificador operacional es ideal. Evaluar las función Vo(s)/Vin(s) Ejercicio: evaluar la impedancia de entrada. Z(s). FCC-feb-2017. 41.

(42) Ejercicio:. Vo s ( s  2)  2 Vi s  s  1 Vi s2  s 1  3 I i s  5s 2  3s  1. FCC-feb-2017. Evaluar: • Z(s) = Vi(s)/I(s) • H(s) = V0/Vi • Graficar los diagrama de polos y ceros • Comparar los diagramas. 42.

(43) Ejercicio •. •. La respuesta impulso (en voltaje) de un circuito LIT es: ℎ 𝑡 = 5 ∙ 1 𝑡 − 5 ∙ 1(𝑡 − 2) Cual será el voltaje de salida si la entrada es: 3∙1 𝑡 −3∙1 𝑡−2 b. (3cos(3𝑡)) ∙ 1(𝑡) a.. FCC-feb-2017. 43.

(44) Conceptos claves •. •. La transformada de Laplace sólo se puede aplicar en sistemas lineales e invariantes con el tiempo (LIT) H(s) es la transformada de Laplace de la respuesta impulso.. FCC-feb-2017. 44.

(45) Conceptos claves •. •. La función de transferencia sólo aplica en sistemas lineales, invariantes con el tiempo y en estado cero. Convolución en el tiempo es equivalente a multiplicación de las transformadas.. FCC-feb-2017. 45.

(46) Temas para el futuro • •. Convolución y Transformada de Fourier en Análisis de Señales. Funciones de sistemas : Análisis de Señales y Sistemas Dinámicos.. FCC-feb-2017. 46.

(47) Referencias 1. 2. 3.. 4.. 5.. Hayt William, Kemmerly Jack, Durbin Steven. Análisis de circuitos en ingeniería. 7ma Edición. México. McGraw Hill 2007. Chua Leon, Desoer Charles, Kuh Ernest. Linear and Nonlinear Circuits. New York. McGraw-Hill. International Edition 2000. Dorf Richard; Svoboda James. Circuitos Eléctricos. 8a Edición. México: Alfaomega. 2011. Lundberg K. ;Miller H.;Trumper D. Initial conditions, generalized functions and the Laplace transform. IEEE Control Systems Magazine, vol. 27 # 1, pp 22-35. Feb. 2007. http://lpsa.swarthmore.edu/Representations/SysRepZPK.html. FCC-feb-2017. 47.

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