Análisis de circuitos LIT empleando transformadas

CIRCUITOS EN FRECUENCIA Capitulo 1.

Análisis de circuitos LIT empleando transformadas

Análisis de circuitos LIT empleando

transformadas

OBJETIVOS

1. Preparar y ejecutar un plan para solucionar un problema (CDIO

2.1.1.4)

2. Generalizar suposiciones para obtener la respuesta bajo

condiciones restringidas. (CDIO 2.1.2.1)

3. Identificar e interpretar modelos cualitativos y cuantitativos

(CDIO 2.1.2.4)

4. Inferir el comportamiento del circuito a partir de

representaciones entrada – salida (CDIO 2.1.3.4)

Contenido

Semana 3

1. Definir y aplicar el teorema de Convolución 2. Definir funciones de sistema.

3. Evaluar funciones de sistema de circuitos

LIT.

4. Práctica: emplear MATLAB para analizar

Material para repasar

• Transformada de Laplace • Fracciones Parciales

• Solución de ecuaciones diferenciales

Clasificación de los sistemas en tiempo

continuo



Sistemas lineales y no lineales:

Un sistema lineal es aquel que cumple la

propiedad de superposición.

1.

La respuesta a x

(t)+ x

(t) es y

(t)+ y

(t)

2.

La respuesta a

Conocidas como las propiedades de aditividad

y escalamiento u Homogeneidad

) ( es )

( ₁

1t ayt

Clasificación de los sistemas en tiempo

continuo



Si el sistema es lineal, una entrada que sea

cero todo el tiempo resulta en una salida que

sea cero todo el tiempo.

0 )

( 0 )

( 0 0

) ( )

(

 

 





t y t

x t y t

Sistemas lineales “deben cumplir”

 t x₁

 t x₂

H

H

a

b



a



 t x₁

H y3 t

 t x₃

Que sean iguales

Clasificación de los sistemas en tiempo

continuo

 Causalidad

 Sistema Causal: Si su salida en cualquier

instante de tiempo depende sólo de los valores de la entrada en el momento presente y en el pasado. (No-anticipativo).

 CAUSAL:

 NO-CAUSAL:

 

 

   

Clasificación de los sistemas en tiempo

continuo



Estabilidad



Sistema Estable: Es aquel que a entradas

acotadas produce salidas que no divergen.

Sistemas Invariantes “deben cumplir”

 t

x₁  

o

t t y₁  H

0

t 

 t

x_{1  }

t y₂ H

0

t

 x2 t

 t y₁

Que sean iguales



Invariante en el tiempo



Sistema Invariante en el tiempo: Si el

Convolución

• Establece enlace entre las representaciones

en el dominio del tiempo y dominio de la frecuencia

• Consecuencia de la linealidad y la Invariancia • Teoría de Circuitos

• Análisis de Señales

   

x





x[n] puede escribirse como una suma de impulsos desplazados



_

 

 

 

k

k n k

x n

x



Dada una señal discreta x[n]

SLIT discretos.

Las señales discretas pueden

representarse por medio de una secuencia de impulsos, aplicando la propiedad:

n ...x1n1x0nx1n1...

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo

discretos

] [nk

 y[n]

H H     ] [n

h_k x[k]



_

 

x







 

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo

discretos

El sistema además de ser lineal también es invariante en el

tiempo entonces:

]

[

]

[

n

h

n

k

h





] [ 1 n x ] [

1 n k

y  H 0 t  ] [ 1 n x ] [ 2 n y H 0 t

 x2[n]

] [

1 n

y

] [nk



_

 

 



k

kn

h k x n

y



_

 

 

 

k

k n h k x n

y ₀

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo

discretos

Este resultado se conoce como la suma de convolución “suma de superposición”

También representada como:

  

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo

continuos

De una manera parecida al caso discreto, se puede encontrar una caracterización para los SLIT en término de su respuesta al impulso unitario.



_

   





_

  



_

xt d

t x

La salida y(t) puede verse como una combinación lineal de respuestas a las señales impulso

) ( 

 t 

H

) , (t  h

Y como mi sistema es invariante en el tiempo se tiene que:

] [

]

[n h₀ n k h_k  

) (

) ,

Causalidad - relajado

• Sistema es CAUSAL no hay respuesta para t

<  _h(t,_{) = 0}  _t< _{y los tiempos}  _{> t no}

cuentan: el límite superior se puede reemplazar por t.

• Sistema en ESTADO CERO O RELAJADO en

t_o; la salida y(t)  _{t ≥ 0 es debida}

Convolución

• Para un sistema lineal, causal , invariante y

relajado en t_o:

• Sistema invariante con el tiempo: la entrada

u aplicada en el instante (t_o + T) segundos genera la salida y desplazada (t_o + T)

segundos.



t

d u

t h t

y

0

) ( ) (

)

Convolución

• Como el sistema esta relajado en t_o se puede

elegir t_o = 0

• En sistemas invariantes la respuesta es

función de (t-_{): el tiempo transcurrido}

desde la aplicación de la excitación.



t

d u

t h t

y

0

) ( ) (

)

Convolución

• La integral de convolución es conmutable:

• La respuesta es el área bajo la curva producto entre

la entrada y la respuesta impulso desplazada

Demostración

•

Obtención de la respuesta en estado

cero a partir de la respuesta impulso

• ..\Soporte\Videos\0. Convolucion_JQS.avi

• ..\Soporte\Videos\1. Pulso-pulso_JQS.avi

• ..\Soporte\Videos\2. Pulso-triang_JQS.avi

Ejemplo 12

La respuesta impulso de un sistema lineal e invariante es:

𝒉 𝒕 = [𝒆−𝒕]1(t)

Encontrar la respuesta en estado cero para una entrada:

𝑢 𝑡 = 1(𝑡)

Teorema de convolución

• Para sistemas LIT la transformada de Laplace de y(t):

• Sistema causal:

• Sistema en estado cero en t = 0

-dt e d u t h dt e t y s

Y st st

     



 

s          

 

Teorema de convolución

• Intercambiando el orden de integración:

• Cambio de variable:

   t 

     d e u dt e t h s

Y s t s

   

 

Y s s

Teorema de convolución

• Sistema relajado o en estado cero antes de la

aplicación de la excitación:

• Límites de la integral interna se pueden cambiar: 0 0 ) (    h       d e u d e h s

Y s s

Teorema de convolución

• H(s) es independiente de τ :

• Corresponde a:

• La convolución de dos funciones en el dominio t es

equivalente a multiplicar las transformadas de las funciones en el dominio s.

     ) ( 0 ) ( ) ( ) ( s U s d e u s H s

Y    





(s H s U s

Ejemplo 12 cont

…

•

Resolver empleando el teorema de

Modelo entrada - salida

•

La transformada de Laplace de la

ecuación integro

–

diferencial, con

condiciones iniciales nulas (estado

inicial = cero) lleva a:

Función de sistema

• Relación entre la transformada de Laplace de

la respuesta en estado cero y la

transformada de Laplace de la entrada:

 _{Entrada} cero} estado en {Respuesta ) ( Sistema de

Función L

L  s H 1 0 1 1 1 ... ... ) ( ) ( ) ( a s a s a s a b s b s b s b s U s Y s

H _{n n}

Respuesta impulso

•

Respuesta Impulso: respuesta en

estado cero de un sistema LIT a un

impulso.

•

La función de sistema es la

transformada de Laplace de h(t)

1 (t)} {

{Entrada}

Sistema de Función

L

L L



 

s H

Funciones racionales y propias

• Una función racional de s es el cociente de

dos polinomios de s con coeficientes reales.

• Una función racional es propia si el grado del

polinomio del numerador (m) es igual o menor

que el grado del denominador (n): m ≤ n.

Funciones propias y coprimas

•

Una función racional es

estrictamente

propia

si el grado del numerador es

Ejemplo 13

•

Ecuación entrada-salida de un sistema

LIT

•

Función de transferencia.

•

Propiedades de H(s).

) ( 4 ) ( )

( 4 ) ( 2

) (

2 2

t u dt

t du t

y dt

t y d dt

t y d

 

Polos y Ceros

•

Polo: valores de

s

para los cuales la

función F(s) es indeterminada.

•

Cero: valores de

s

para los cuales la

función F(s) es nula.

•

Pueden estar ubicados en cualquier

parte del plano complejo.

Función de sistema

• La excitación o entrada externa puede ser

voltaje, v(t), o corriente, i(t)

• La respuesta puede ser voltaje, v(t), o

corriente, i(t)

• Funciones en el punto de manejo: Variables

aplicadas y medidas en el mismo terminal.

• Funciones de transferencia: Variables

Funciones en el punto de manejo

• Cuando las variables se definen sobre el mismo par

de terminales hay dos posibilidades:

• Impedancia en el punto de manejo:

• Admitancia en el punto de manejo:

{Voltaje} } {Corriente Y(s)

L L



} {Corriente

{Voltaje} )

(

L L



s Z

SOLO APLICA A SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES CON EL TIEMPO, EN

Función de transferencia

Función de transferencia

G  

Ejemplo 14

• El amplificador

operacional es ideal.

• Evaluar las

función

Vo(s)/Vin(s)

• Ejercicio: evaluar

Ejercicio:

Evaluar:

• Z(s) = Vi(s)/I(s) • H(s) = V₀/V_i

• Graficar los

diagrama de polos y ceros

• Comparar los

diagramas.

1 ) 2 (

2  

Ejercicio

•

La respuesta impulso (en voltaje) de un

circuito LIT es:

ℎ 𝑡 = 5 ∙ 1 𝑡 − 5 ∙ 1(𝑡 − 2)

•

Cual será el voltaje de salida si la

entrada es:

a. 3 ∙ 1 𝑡 − 3 ∙ 1 𝑡 − 2

Conceptos claves

•

La transformada de Laplace

sólo se

puede aplicar en sistemas lineales e

invariantes con el tiempo

(LIT)

•

H(s) es la transformada de Laplace de

Conceptos claves

•

La función de transferencia sólo

aplica en sistemas lineales,

invariantes con el tiempo y en

estado cero.

•

Convolución en el tiempo es

Temas para el futuro

•

Convolución y Transformada de Fourier

en

Análisis de Señales.

•

Funciones de sistemas :

Análisis de

Referencias

1. Hayt William, Kemmerly Jack, Durbin Steven. Análisis de

circuitos en ingeniería. 7ma Edición. México. McGraw Hill 2007.

2. Chua Leon, Desoer Charles, Kuh Ernest. Linear and Nonlinear

Circuits. New York. McGraw-Hill. International Edition 2000.

3. Dorf Richard; Svoboda James. Circuitos Eléctricos. 8a Edición.

México: Alfaomega. 2011.

4. Lundberg K. ;Miller H.;Trumper D. Initial conditions,

generalized functions and the Laplace transform. IEEE Control Systems Magazine, vol. 27 # 1, pp 22-35. Feb. 2007.