Análisis de circuitos LIT empleando transformadas

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(1)

CIRCUITOS EN FRECUENCIA Capitulo 1.

Análisis de circuitos LIT empleando transformadas

(2)

Análisis de circuitos LIT empleando

transformadas

OBJETIVOS

1. Preparar y ejecutar un plan para solucionar un problema (CDIO

2.1.1.4)

2. Generalizar suposiciones para obtener la respuesta bajo

condiciones restringidas. (CDIO 2.1.2.1)

3. Identificar e interpretar modelos cualitativos y cuantitativos

(CDIO 2.1.2.4)

4. Inferir el comportamiento del circuito a partir de

representaciones entrada – salida (CDIO 2.1.3.4)

(3)

Contenido

Semana 3

1. Definir y aplicar el teorema de Convolución 2. Definir funciones de sistema.

3. Evaluar funciones de sistema de circuitos

LIT.

4. Práctica: emplear MATLAB para analizar

(4)

Material para repasar

• Transformada de Laplace • Fracciones Parciales

• Solución de ecuaciones diferenciales

(5)

Clasificación de los sistemas en tiempo

continuo

Sistemas lineales y no lineales:

Un sistema lineal es aquel que cumple la

propiedad de superposición.

1.

La respuesta a x

2

(t)+ x

1

(t) es y

1

(t)+ y

2

(t)

2.

La respuesta a

Conocidas como las propiedades de aditividad

y escalamiento u Homogeneidad

) ( es )

( 1

1t ayt

(6)

Clasificación de los sistemas en tiempo

continuo

Si el sistema es lineal, una entrada que sea

cero todo el tiempo resulta en una salida que

sea cero todo el tiempo.

0 )

( 0 )

( 0 0

) ( )

(

 

 

t y t

x t y t

(7)

Sistemas lineales “deben cumplir”

 t x1

 t x2

H

H

a

b

a

 t x1

H y3 t

 t x3

Que sean iguales

(8)

Clasificación de los sistemas en tiempo

continuo

Causalidad

 Sistema Causal: Si su salida en cualquier

instante de tiempo depende sólo de los valores de la entrada en el momento presente y en el pasado. (No-anticipativo).

 CAUSAL:

 NO-CAUSAL:

 

t x

 

t y

   

t x t

(9)

Clasificación de los sistemas en tiempo

continuo

Estabilidad

Sistema Estable: Es aquel que a entradas

acotadas produce salidas que no divergen.

(10)

Sistemas Invariantes “deben cumplir”

 t

x1  

o

t t y1H

0

t

 t

x1  

t y2 H

0

t

x2 t

 t y1

Que sean iguales

Invariante en el tiempo

Sistema Invariante en el tiempo: Si el

(11)

Convolución

• Establece enlace entre las representaciones

en el dominio del tiempo y dominio de la frecuencia

• Consecuencia de la linealidad y la Invariancia • Teoría de Circuitos

• Análisis de Señales

(12)

   

n naxa na

x

 

x[n] puede escribirse como una suma de impulsos desplazados



 

 

 

k

k n k

x n

x

Dada una señal discreta x[n]

SLIT discretos.

Las señales discretas pueden

representarse por medio de una secuencia de impulsos, aplicando la propiedad:

n ...x1n1x0nx1n1...

(13)

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo

discretos

] [nk

y[n]

H H     ] [n

hk x[k]



 

    k k n k x n

x



 

(14)

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo

discretos

El sistema además de ser lineal también es invariante en el

tiempo entonces:

]

[

]

[

n

h

0

n

k

h

k

] [ 1 n x ] [

1 n k

yH 0 t  ] [ 1 n x ] [ 2 n y H 0 t

x2[n]

] [

1 n

y

] [nk

(15)



 

 

k

kn

h k x n

y



 

 

 

k

k n h k x n

y 0

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo

discretos

Este resultado se conoce como la suma de convolución “suma de superposición”

También representada como:

  

n xn hn

(16)

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo

continuos

De una manera parecida al caso discreto, se puede encontrar una caracterización para los SLIT en término de su respuesta al impulso unitario.





   

         k k t k x t x





  

        k k t k x lím t x

0   

  

xtd

t x

La salida y(t) puede verse como una combinación lineal de respuestas a las señales impulso

) ( 

t

H

) , (th

Y como mi sistema es invariante en el tiempo se tiene que:

] [

]

[n h0 n k hk  

) (

) ,

(17)

Causalidad - relajado

• Sistema es CAUSAL no hay respuesta para t

<  h(t,) = 0 t<y los tiempos > t no

cuentan: el límite superior se puede reemplazar por t.

• Sistema en ESTADO CERO O RELAJADO en

to; la salida y(t)  t 0 es debida

(18)

Convolución

• Para un sistema lineal, causal , invariante y

relajado en to:

• Sistema invariante con el tiempo: la entrada

u aplicada en el instante (to + T) segundos genera la salida y desplazada (to + T)

segundos.

  t

t

d u

t h t

y

0

) ( ) (

)

(19)

Convolución

• Como el sistema esta relajado en to se puede

elegir to = 0

• En sistemas invariantes la respuesta es

función de (t-): el tiempo transcurrido

desde la aplicación de la excitación.

 

t

d u

t h t

y

0

) ( ) (

)

(20)

Convolución

• La integral de convolución es conmutable:

• La respuesta es el área bajo la curva producto entre

la entrada y la respuesta impulso desplazada

(21)

Demostración

Obtención de la respuesta en estado

cero a partir de la respuesta impulso

• ..\Soporte\Videos\0. Convolucion_JQS.avi

• ..\Soporte\Videos\1. Pulso-pulso_JQS.avi

• ..\Soporte\Videos\2. Pulso-triang_JQS.avi

(22)

Ejemplo 12

La respuesta impulso de un sistema lineal e invariante es:

𝒉 𝒕 = [𝒆−𝒕]1(t)

Encontrar la respuesta en estado cero para una entrada:

𝑢 𝑡 = 1(𝑡)

(23)

Teorema de convolución

• Para sistemas LIT la transformada de Laplace de y(t):

• Sistema causal:

• Sistema en estado cero en t = 0

-dt e d u t h dt e t y s

Y stst

     

 

           0 0 ) ( ) ( ) ( ) (    s t

s          

 

    ( )       t t

(24)

Teorema de convolución

• Intercambiando el orden de integración:

• Cambio de variable:

   t

     d e u dt e t h s

Y s ts

   

 

            ( ) ( ) ( ) ) ( 0 0 ) (        d e u d e h s

Y ss

(25)

Teorema de convolución

• Sistema relajado o en estado cero antes de la

aplicación de la excitación:

• Límites de la integral interna se pueden cambiar: 0 0 ) (    h       d e u d e h s

Y ss

(26)

Teorema de convolución

• H(s) es independiente de τ :

• Corresponde a:

• La convolución de dos funciones en el dominio t es

equivalente a multiplicar las transformadas de las funciones en el dominio s.

     ) ( 0 ) ( ) ( ) ( s U s d e u s H s

Y    

  ) ( ) ( )

(s H s U s

(27)

Ejemplo 12 cont

Resolver empleando el teorema de

(28)

Modelo entrada - salida

La transformada de Laplace de la

ecuación integro

diferencial, con

condiciones iniciales nulas (estado

inicial = cero) lleva a:

(29)

Función de sistema

• Relación entre la transformada de Laplace de

la respuesta en estado cero y la

transformada de Laplace de la entrada:

{Entrada} cero} estado en {Respuesta ) ( Sistema de

Función L

L  s H 1 0 1 1 1 ... ... ) ( ) ( ) ( a s a s a s a b s b s b s b s U s Y s

H n n

(30)

Respuesta impulso

Respuesta Impulso: respuesta en

estado cero de un sistema LIT a un

impulso.

La función de sistema es la

transformada de Laplace de h(t)

( ) {h(t)}

1 (t)} {

{Entrada}

Sistema de Función

L

L L

 

s H

(31)

Funciones racionales y propias

• Una función racional de s es el cociente de

dos polinomios de s con coeficientes reales.

• Una función racional es propia si el grado del

polinomio del numerador (m) es igual o menor

que el grado del denominador (n): m ≤ n.

(32)

Funciones propias y coprimas

Una función racional es

estrictamente

propia

si el grado del numerador es

(33)

Ejemplo 13

Ecuación entrada-salida de un sistema

LIT

Función de transferencia.

Propiedades de H(s).

) ( 4 ) ( )

( 4 ) ( 2

) (

2 2

t u dt

t du t

y dt

t y d dt

t y d

 

(34)

Polos y Ceros

Polo: valores de

s

para los cuales la

función F(s) es indeterminada.

Cero: valores de

s

para los cuales la

función F(s) es nula.

Pueden estar ubicados en cualquier

parte del plano complejo.

(35)
(36)
(37)

Función de sistema

• La excitación o entrada externa puede ser

voltaje, v(t), o corriente, i(t)

• La respuesta puede ser voltaje, v(t), o

corriente, i(t)

• Funciones en el punto de manejo: Variables

aplicadas y medidas en el mismo terminal.

• Funciones de transferencia: Variables

(38)

Funciones en el punto de manejo

• Cuando las variables se definen sobre el mismo par

de terminales hay dos posibilidades:

• Impedancia en el punto de manejo:

• Admitancia en el punto de manejo:

{Voltaje} } {Corriente Y(s)

L L

} {Corriente

{Voltaje} )

(

L L

s Z

SOLO APLICA A SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES CON EL TIEMPO, EN

(39)

Función de transferencia

acia Transadmit s V s I s H s V s V s H i o i o : ) ( ) ( ) ( voltaje de cia Transferen : ) ( ) ( ) ( 2 1   ) ( ) ( Re ) ( ) ( s Excitación s spuesta s H s

(40)

Función de transferencia

corriente de cia Transferen : ) ( ) ( ) ( ancia Transimped : ) ( ) ( ) ( 4 3 s I s I s H s I s V s H i o i o   ) ( ) ( Re ) ( ) ( s Excitación s spuesta s H s

G  

(41)

Ejemplo 14

• El amplificador

operacional es ideal.

• Evaluar las

función

Vo(s)/Vin(s)

• Ejercicio: evaluar

(42)

Ejercicio:

Evaluar:

• Z(s) = Vi(s)/I(s) • H(s) = V0/Vi

• Graficar los

diagrama de polos y ceros

• Comparar los

diagramas.

1 ) 2 (

2  

(43)

Ejercicio

La respuesta impulso (en voltaje) de un

circuito LIT es:

ℎ 𝑡 = 5 ∙ 1 𝑡 − 5 ∙ 1(𝑡 − 2)

Cual será el voltaje de salida si la

entrada es:

a. 3 ∙ 1 𝑡 − 3 ∙ 1 𝑡 − 2

(44)

Conceptos claves

La transformada de Laplace

sólo se

puede aplicar en sistemas lineales e

invariantes con el tiempo

(LIT)

H(s) es la transformada de Laplace de

(45)

Conceptos claves

La función de transferencia sólo

aplica en sistemas lineales,

invariantes con el tiempo y en

estado cero.

Convolución en el tiempo es

(46)

Temas para el futuro

Convolución y Transformada de Fourier

en

Análisis de Señales.

Funciones de sistemas :

Análisis de

(47)

Referencias

1. Hayt William, Kemmerly Jack, Durbin Steven. Análisis de

circuitos en ingeniería. 7ma Edición. México. McGraw Hill 2007.

2. Chua Leon, Desoer Charles, Kuh Ernest. Linear and Nonlinear

Circuits. New York. McGraw-Hill. International Edition 2000.

3. Dorf Richard; Svoboda James. Circuitos Eléctricos. 8a Edición.

México: Alfaomega. 2011.

4. Lundberg K. ;Miller H.;Trumper D. Initial conditions,

generalized functions and the Laplace transform. IEEE Control Systems Magazine, vol. 27 # 1, pp 22-35. Feb. 2007.

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