VECTORES
1.- LOS EJES CARTESIANOS Y EL ORIGEN
El eje horizontal se llama eje deabscisas y el eje vertical se llama eje deordenadas. El punto de corte de los ejes se llama origen.
COORDENADAS DE LOS PUNTOS DEL PLANO
Las coordenadas de un punto del plano vienen dadas por un par ordenado de números. La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas; se llama abscisa del punto. La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas y se llama ordenada del punto.
2.- DEFINICIÓN DE VECTOR
Un vector fijo de origen A y extremo B, es un segmento orientado caracterizado por: - Dirección o recta que lo contiene (recta que pasa por A y B).
- Sentido (el recorrido al ir de A hacia B.
- Módulo o longitud del segmento correspondiente.
Dos vectores no nulos tienen la misma dirección si se encuentran en rectas paralelas.
VECTOR LIBRE
Todos los vectores que tienen la misma longitud, la misma dirección y el mismo sentido, se llaman
vectores equipolentes. Todos los vectores equipolentes entre sí representan el mismo vector, que llamaremos vector libre. Las coordenadas de un vector libre son las de uno cualquiera de sus representantes vectores fijos. El módulo de un vector libre es el de uno cualquiera de sus representantes vectores fijos.
COORDENADAS DE UN VECTOR FIJO
Llamamos coordenadas de un vector fijo
AB
, de origenA
a
1,
b
1
y extremoB
a
2,
b
2
, a los números que se obtienen al restar las coordenadas del extremo menos las del origen:
a
2a
1,
b
2b
1
AB
Se llama vector nulo al vector que tiene su origen y su extremo en el mismo punto. Por tanto, sus coordenadas son nulas.
MÓDULO DE UN VECTOR FIJO
Si A(a1, b1) y B(a2, b2) son las coordenadas de los puntos A y B, entonces las coordenadas del vector
AB
son:AB
a
2
a
1,
b
2
b
1
. El módulo de un vector fijoAB
a
2
a
1,
b
2
b
1
es la distancia entre el origenA
(
a
1,
b
1)
y el extremoB
(
a
2,
b
2)
. Utilizando el teorema de Pitágoras:
21 2 2 1
2
a
b
b
a
EJERCICIOS
1º.- Dados los puntos A(1,-3) y B(-2,-1), calcula analítica y gráficamente:
a)
Las componentes del vector fijoAB
.b)
Un vector fijo equipolente aAB
cuyo origen sea el punto C(4,-1).c)
Un vector fijo equipolente aAB
cuyo extremo sea el punto F(1,3).2º.- Dados los puntos A(5,2) y B(1,-2) calcula analítica y gráficamente:
a)
Las componentes del vector fijoAB
.b)
Un vector fijo equipolente aAB
cuyo origen sea el punto C(-1,0).c)
Un vector fijo equipolente aAB
cuyo extremo en el punto F(2,2).3º.- Las componentes del vector fijo
AB
son (3,2), calcula el punto A si B(1,-1).3.- OPERACIONES ELEMENTALES CON VECTORES
PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UN VECTOR
Dado un vector libre
u
y un número real no nulo k, se llama producto de un número real por un vector yse designa por
k
u
al vector que tiene:t
·
u
t
·
a
,
t
·
b
- módulo:
k
u
.- dirección: la dirección del vector
u
.- sentido: el mismo que
u
, si k es positivo.el opuesto de
u
,si k es negativoSUMA DE VECTORES
Para sumar dos vectores
u
yv
geométricamente, se sitúa un representante dev
con su origen sobreel extremo de un representante de
u
. El vector suma de ambos es el que tiene el origen deu
y elextremo de
v
.Suma de dos vectores analíticamente: la suma de dos vectores
u
yv
de componentesu
a
1,
b
1
y
a
2,
b
2
v
es otro vector de componentes:u
v
a
1
a
2,
b
1
b
2
.RESTA DE VECTORES
4.- COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
Un vector
u
es combinación lineal dev
si tienen la misma dirección, es decir, si existe k tal queu
k
v
·
. Se dice queu
yv
son linealmente dependientes.Ejemplo: Los vectores
u
2
,
6
yv
3
,
9
son linealmente dependientes porque:
1
,
5
k
6
9
2
3
, es
decir,
v
1
,
5
·
u
.Una combinación lineal de dos vectores
b
yc
es un vector de la formam
b
n
c
, donde m y n sonnúmeros reales.
Ejemplo: (5,-14) = 2 (1,2) + 3 (1,-6); entonces diremos que (5,-14) es combinación lineal de (1,2) y (1,-6).
En general:
Unos vectores son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás.
Si ninguno de los vectores es combinación lineal de los restantes, se dice que son vectores linealmente independientes.
Gráficamente dos vectores son L.D. cuando tienen la misma dirección y por tanto serán L.I. si tienen distinta dirección.
Dos vectores son paralelos si tienen la misma dirección. En coordenadas, dos vectores
u
a
1,
b
1
y
a
2,
b
2
v
son paralelos cuando sus componentes son proporcionales:2 2 1 1
v
u
v
u
. Consecuencias de la dependencia lineal:
Si tenemos dos vectores no nulos
v
yw
y queremos expresar el vector nulo como combinación lineal deellos:
a
1·
v
a
2·
w
0
, puede suceder:- que
a
1 ya
2 sean cero, lo que implica quev
yw
son independientes, es decir, tienendirecciones distintas.
- que alguno ó ambos,
a
1 ya
2 sean distintos de cero, lo que implica quev
yw
sonlinealmente dependientes, es decir, tienen la misma dirección.
EJERCICIOS
5º.- El vector
z
2
,
1
, ¿se puede expresar como combinación lineal de los vectoresx
3
,
2
e
1
,
4
y
?5.- BASE. COORDENADAS. DIMENSIÓN.
Un conjunto de vectores es una base si:
- Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de ellos. - Son linealmente independientes.
Una base del plano está formada por dos vectores linealmente independientes. Por eso se dice que el plano tiene dimensión dos. En el conjunto de los vectores libres del plano, dos vectores libres
,
,
21
u
u
no nulos y no paralelos, forman una base. Cualquier vector del plano se puede poner comocombinación lineal de ellos.
A los números reales “x”, “y” que permiten descomponer el vector
x
x
u
1
y
u
2 se les llamacoordenadas o componentes del vector
x
respecto de la baseB
u
1,
u
2
.Convenimos en expresar el vector
x
en la formax
(
x
,
y
)
, indicando con ello que los números “x”, “y” son las componentes del vector en la base elegida.EJERCICIOS
6º.- Qué pares de los siguientes vectores forman una base:
1 Si forman una base y .
2 Expresa como combinación lineal de los de la base:
8º.- Comprueba si el vector (5,7) es C.L. de (1,1) y (2,3).
9º.- Comprueba si los vectores (2,1), (0,2) forman una base del plano.
BASE CANÓNICA.
Un vector
u
se denomina unitario si su módulo es 1.Dos vectores
u
,v
se denominan ortogonales si son perpendiculares.Una base se llama base ortonormal si consta de vectores unitarios y ortogonales.
La base más sencilla que podemos definir es la base canónica,
i
,
j
, siendoi
(
1
,
0
)
yj
(
0
,
1
)
.Como
i
(
1
,
0
)
yj
(
0
,
1
)
, es evidente que las componentes dew
coinciden con las coordenadas delextremo del vector
w
situando su origen en el origen de coordenadas.6.- PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES LIBRES
Para definir el ángulo que forman dos vectores libres, tomamos dos representantes con el mismo origen. Si
AB
es un representante deu
yAC
es un representante dev
, el ángulo en A del triángulo ABCEl ángulo entre
u
yv
es 0 en el caso en queu
yv
sean linealmente dependientes con factor deproporcionalidad positivo y es radianes cuando
u
yv
son dependientes con factor deproporcionalidad negativo.
El producto escalar de dos vectores
u
yv
se designa poru
v
y se obtiene del siguiente modo:
.
,
0
.
,
,
cos
nulo
vector
el
es
v
ó
u
si
nulos
no
son
v
y
u
si
v
u
v
u
v
u
Es decir, que el producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
El producto escalar de dos vectores es un número real, que puede ser positivo, negativo o nulo.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR:
1. El producto escalar de un vector por sí mismo es un número positivo o nulo:
0
0
cos
2
u
u
u
u
u
o2. El producto escalar es conmutativo:
u
v
v
u
3. Asociativa (homogénea):
k
u
v
k
u
v
u
k
v
4. Distributiva del producto escalar respecto de la suma de vectores:
v
w
u
v
u
w
u
EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR EN UNA BASE ORTONORMAL:
Sea
B
i
,
j
la base canónica, yu
yv
dos vectores cualesquiera:j
y
i
x
u
,v
x
'
i
y
'
j
La base
i
,
j
canónica es ortonormal, por lo que sus vectores son de módulo 1:i
j
1
y perpendiculares, por lo que tenemos:1
i
i
i
j
0
0
i
j
j
j
1
Aplicando las propiedades del producto escalar resulta:
x
i
y
j
x
'
i
y
'
j
xx
'
i
i
xy
'
i
j
yx
'
j
i
yy
'
j
j
xx
'
yy
'
v
u
Es decir:
MÓDULO DE UN VECTOR:
El producto escalar de un vector por sí mismo es:
u
u
u
·
u
·cos
0
u
2; por tanto: El módulo de un vector es la raíz cuadrada positiva del producto escalar por sí mismo:u
u
u
ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES:
El coseno del ángulo formado por dos vectores se obtiene al dividir su producto escalar entre el producto de sus módulos:
v
u
v
u
v
u
,
cos
Sea
B
i
,
j
la base canónica (ortonormal) yu
yv
dos vectores cualesquiera, tal queu
x
i
y
j
,j
y
i
x
v
'
'
, entonces:2 2
y x yy xx u
u
por tanto:
2 2
y x u
y tenemos:
2 2 2 2
'
'
'
'
,
cos
y
x
y
x
yy
xx
v
u
Consecuencias evidentes:
- dos vectores paralelos de igual sentido:
u
u
u
·
u
- dos vectores paralelos de distinto sentido:
u
u
u
·
u
- dos vectores perpendiculares no nulos:
u
u
0
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Dados dos puntos, A y B, del plano, se llama distancia de A a B al módulo del vector
AB
:d
A
,
B
AB
La distancia entre dos puntos es siempre un número positivo o nulo, por serlo el módulo de un vector.
Si A(x1, y1) y B(x2, y2) son las coordenadas de los puntos A y B, entonces las coordenadas del vector
AB
son:AB
x
2
x
1,
y
2
y
1
, de donde:
21 2 2 1 2
,
B
AB
x
x
y
y
A
d
Propiedades de la distancia:
La distancia entre dos puntos tiene las siguientes propiedades: 1. d(A,B) = 0 A = B
2. d(A,B) = d(B,A)
Consideremos el segmento de extremos A(x1,
y1) y B(x2, y2); sea
M
x
m,
y
m
su punto medio, entonces se verifica que:AB
AM
2
1
De la figura se tiene:
b
a
a
b
a
AB
a
AM
a
m
2
1
2
1
2
1
Sustituyendo las coordenadas en la expresión anterior, se tiene:
2
2 1
x
x
x
m
;2
2 1
y
y
y
m
Las coordenadas del punto medio de un segmento se obtienen como semisuma de las coordenadas de los extremos.
COORDENADAS DEL PUNTO SIMÉTRICO A UN SEGMENTO:
Para calcular el punto simétrico B de un punto A respecto a otro C, tomamos C como punto medio de A y B, y despejamos las coordenadas de B.
CONDICIÓN PARA QUE TRES PUNTOS ESTÉN ALINEADOS:
Los puntos A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados siempre que los vectores
AB
yAC
tengan lamisma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales:
2 3
2 3 1 2
1 2
y
y
x
x
y
y
x
x
DIVIDIR UN SEGMENTO EN TRES PARTES IGUALES:
Las coordenadas de los puntos
M
1 yM
2 que dividen al segmento AB en tres partes iguales se calculan:AB
A
M
3
1
1
yM
A
AB
3
2
ECUACIONES DE LA RECTA
Ecuación de una recta es la relación que verifican todos los puntos del plano que se encuentran sobre ella y sólo ellos.
Una recta queda determinada de dos formas diferentes:
a) Dando un punto A y un vector
u
que esté en la recta o sea paralelo a dicha recta.b) Dando dos puntos A y B.
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA:
Consideremos el sistema de referencia
R
O
,
i
,
j
y sea r la recta que pasa por el punto A(x0, y0) ylleva la dirección del vector
u
u
1,
u
2
. El vectoru
se llama vector direccional o vector director dela recta r.
Buscamos un procedimiento analítico que nos permita calcular las coordenadas de cualquier punto X=(x,y) que pertenezca a la recta.
El vector
AX
es proporcional al vectoru
porestar en la misma dirección.
R
t
u
t
AX
,
(siendo t un número real cualquiera, parámetro).Si
a
yx
son los vectores de posición de lospuntos A y X, respectivamente, se verifica:
u
t
a
AX
a
x
, de donde:R
t
u
t
a
x
,
Se llama ecuación vectorial de la recta r(A,
u
) que, expresada en coordenadas, viene dada por:(x, y)=(x0, y0) + t(u1, u2), con t R.
(Al hacer variar t en R e van obteniendo los puntos de r).
ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA:
A partir de la ecuación vectorial expresada en coordenadas, igualando las componentes, se obtiene:
(x, y)=(x1, y1) + t(u1, u2)
2 1
1 1
t·u
y
t·u
x
x
y
con tR.Estas ecuaciones se llaman ecuaciones paramétricas de la recta r. Para cada valor de t se obtiene un punto de la recta r.
A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta r,
u
1
0
yu
2
0
, despejando t en ambas ecuaciones e igualando, resulta:
2 0 1
0
u
y
y
t
u
x
x
t
2 0
1 0
u
y
y
u
x
x
La ecuación anterior se llama ecuación continua de la recta r.
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA:
Operando y simplificando en la ecuación de la recta en forma continua, se obtiene:
0
1
0
2 2 0 1 1 0 2 1 1 0 2 00
2
x
x
u
y
y
u
x
u
x
u
y
u
y
u
x
u
y
u
y
u
x
u
Haciendo
A
u
2;B
u
1;C
u
1y
0
u
2x
0, resulta: Ax+By+C=0La igualdad anterior se llama ecuación general de la recta o ecuación en forma implícita.
El vector director de la recta en forma general es
u
B
,
A
, ya queu
1
B
yu
2
A
.Entonces: si un vector director de la recta es:
u
B
,
A
, la pendiente es:B
A
m
Recta que pasa por dos puntos:
Conociendo dos puntos A y B de una recta:
Un vector director de esta recta es el vector
u
AB
.Por tanto, podemos calcular la ecuación de la recta en cualquiera de las formas anteriores.
ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE DE LA RECTA:
Inclinación de una recta es el ángulo que ésta forma con la dirección positiva del eje de abscisas.
0º < 180º
Pendiente de una recta es la tangente trigonométrica de su inclinación (la tangente del ángulo que forma la parte positiva del eje de abscisas con la recta). Se suele nombrar con la letra “m”.
m = tg
- Cuando la inclinación de la recta es un ángulo agudo, la pendiente es positiva. - Cuando la inclinación de la recta es un ángulo obtuso, la pendiente es negativa.
Consideramos la recta r que pasa por el punto A(x0, y0) y lleva la dirección
u
a
,
b
. Pordefinición de tangente se cumple:
a
b
m
tg
La recta r tiene por ecuación en forma continua:
b
y
y
a
x
x
0
0
, de donde
despejamos: 0
·
x
x
0
a
b
y
y
, que es laecuación en forma de punto-pendiente de la recta, pues viene dada en función de un punto y la pendiente, que es el coeficiente
a
b
y serepresenta por m.
Así, tenemos la ecuación de la recta r que pasa por el punto A(x0, y0) y tiene por pendiente m:
0
0
m
·
x
x
y
y
(ecuación punto-pendiente)ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA:
Despejando la “y” de la ecuación punto-pendiente resulta:
y
mx
y
0
mx
0. Si llamamosn
y
0
mx
0,se obtiene la ecuación explícita:
n
mx
y
,donde m representa la pendiente de la recta y n es la ordenada para x=0, que se llama ordenada en el origen (y nos da el punto de corte con el eje vertical).
También se obtiene despejando la “y” de la ecuación general o implícita.
ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA SEGMENTARIA:
Si una recta corta a los ejes en los puntos A(a,0) y B(0,b), la ecuación continua de la recta es:
0
0
0
b
y
a
a
x
, de donde:b
y
a
x
1
o, de otra forma:
1
b
y
a
x
.ECUACIONES DE RECTAS PARALELAS A LOS EJES:
Rectas paralelas al eje de ordenadas.
Tienen como vector director
v
0
,
u
2
por lo que las ecuaciones paramétricas son:
2 0 0
·
u
t
y
y
x
x
con tR. La ecuación de esas
Tienen como vector director
v
u
1,
0
por loque las ecuaciones paramétricas son:
0 1
0
·
y
y
u
t
x
x
con tR. La ecuación de esas
rectas viene dada por
y
y
0.POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO.
Dos rectas en el plano, según su posición relativa, pueden ser: - Rectas secantes: si tienen un solo punto en común. - Rectas paralelas: si no tienen ningún punto en común.
- Rectas coincidentes: si tienen todos los puntos comunes. En este caso no se trata de dos rectas, sino de una sola.
Para estudiar la posición relativa de dos rectas en el plano hay que resolver el sistema formado por sus ecuaciones, de forma que:
- si tiene una solución, las rectas se cortan. - si no tiene solución, las rectas son paralelas.
- si tiene infinitas soluciones, las rectas son coincidentes.
Sin necesidad de resolver el sistema que forman, podemos saber la posición relativa de dos rectas. Si dos rectas son paralelas, la inclinación de ambas es la misma y, por tanto, su pendiente también. Es decir, llamando m a la pendiente de la recta “r”, y m’ a la pendiente de la recta “s”, entonces:
si r // s m = m’
Si las rectas están en forma general, es decir, r: Ax+By+C=0 y s: A’x+B’y+C’=0, entonces:
u
B
,
A
y
'
,
'
'
B
A
u
, de donde:B
A
m
y'
'
'
B
A
m
. Luego:si r // s
'
'
B
A
B
A
ó
'
'
B
B
A
Para estudiar la posición relativa de dos rectas en el plano, tendremos en cuenta lo siguiente:
Forma explícita r: y=mx+n s: y=m’x+n’
Forma implícita: r: Ax+By+C=0 s: A’x+B’y+C’=0
r y s secantes mm’
'
'
B
B
A
A
r y s paralelas m=m’; nn’
'
'
'
C
C
B
B
A
A
r y s coincidentes m=m’; n=n’
'
'
'
C
C
B
B
A
A
Esto es únicamente válido cuando los denominadores son nulos.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Dados un punto P y una recta r:
- si P pertenece a la recta r, entonces d(P,r)=0.
- si P no pertenece a la recta r, entonces d(P,r)=
QP
, siendo Q el punto de corte de la rectar con la perpendicular a r que pasa por P.
Por tanto, para obtener la distancia del punto P a la recta r, procederemos siguiendo los pasos:
- Trazamos la recta s perpendicular a r que pasa por P.
- Hallamos el punto Q intersección de r y s.
- Calculamos la distancia de P a Q.
Para calcular la distancia del punto A(x1, y1) a la recta r: Ax+By+C=0 podemos utilizar la fórmula:
2 2
1 1
)
,
(
B
A
C
By
Ax
r
A
d
DISTANCIA ENTRE RECTAS
Si las rectas r y r’ son secantes o coincidentes, la distancia evidentemente es nula.
Si las rectas r y r’ son paralelas, la distancia entre ellas es igual a la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra recta.
ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS
Se llama ángulo que forman dos rectas al menor de los ángulos que definen.
Sean
u
yu
'
los vectores directores de lasrectas r y r’, respectivamente.
Se llama ángulo formado por dos rectas secantes al menor de los ángulos que determinan dichas rectas, y coincide con el ángulo que forman sus vectores directores.
v
u
v
u
v
u
s
r
·
·
,
cos
,
cos
Pueden ocurrir los siguientes casos:
cos(r,s) = 0 (r,s) = 90º r y s son perpendiculares r s. cos(r,s) (0,1) r y s son secantes.
cos(r,s) = 1 (r,s) = 0º r y s son paralelas o coincidentes.
Expresión analítica:
Sean las rectas r y r’ de ecuaciones en forma general:
A
B
u
B
A
n
C
By
Ax
r
:
0
,
,
'
,
'
'
'
,
'
'
0
'
'
'
:
'
A
x
B
y
C
n
A
B
u
B
A
r
entonces se tiene:
2 2 2 2'
'
·
'
'
'
,
cos
'
,
cos
B
A
B
A
BB
AA
u
u
r
r
En este caso, para que r y s sean perpendiculares se ha de cumplir:
0
'
'
BB
AA
Ángulo que forman dos rectas en función de sus pendientes.
Cuando la inclinación de las rectas r y s viene dada por sus pendientes m y m‘, el ángulo que forman se determina del siguiente modo:
'
·
1
'
·tg
tg
1
tg
tg
tg
tg
m
m
m
m
Si las rectas son perpendiculares (=90º) no existe tg. En este caso, 1+m·m’=0, o bien: