Concepto de valor absoluto: El Valor Absoluto se define como la distancia entre dos números
reales en la recta numérica. Con el objeto de afianzar el concepto de valor absoluto, es necesario ligarlo a su interpretación geométrica en la recta numérica.
Para realizar este trabajo usted deberá estudiar previamente la sección 6.2 del libro Precálculo Una Nueva Visión, G.Mora – M.M.Rey – B.C. Robles, Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería, Edición Preliminar Tercera Versión y hacer los ejercicios de la sección 6.1
Ejemplo Adicional 1
Comparar las distancias entre un número real cualquiera y los puntos –6 y 4
Al observar la recta numérica se tiene que los puntos –6 y 4 la dividen en tres grandes intervalos (−∞ −, 6),[−6 4, ] y (4,∞)
(−∞ −, 6) [−6 4, ] (4,∞)
( , 6) x
∀ ∈ −∞ − se tiene:
La distancia de cualquier punto
x al punto –6 es menor que su
distancia a 4, lo que en términos de valor absoluto se puede expresar así:
( 6) 4 x− − < x− ⇔
6 4
x+ < x−
[ 6 4, ] x
∀ ∈ − se tiene:
a. El punto medio entre –6 y 4
es –1, por lo tanto al ubicar el punto x en –1 la distancia entre –6 y x es igual que la distancia entre x y 4, lo que puede escribirse en términos de valor absoluto como:
( 6) 4 x− − = x− ⇔
6 4
x+ = x−
b. Si x está más cerca de –6
que de 4, se tiene:
( )6 4
x− − < x− ⇔
6 4
x+ < x−
c. Si x está más lejos de –6 que de 4, se tiene:
( )6 4
x− − > x− ⇔
6 4
x+ > x−
(4,
x )
∀ ∈ ∞ se tiene:
La distancia de cualquier punto x al punto –6 es mayor que su distancia a 4, lo que en términos de valor absoluto se puede expresar así:
( 6) 4 x− − > x− ⇔
6 4
x+ > x−
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
Ejemplo adicional 2
Comparar las distancias entre un número real cualquiera y los puntos 3 y – 5.
(
−∞;−5)
(
−5;3)
(
3;∞)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
El punto medio entre
(
−5;3)
es elpunto – 1 y la distancia de este punto a – 5 y a 3 es igual, lo que en términos de valor absoluto puede escribirse como:
( )
1
5
1 3
− − −
= − −
Los x∈
(
−5;−1)
están más cerca de5 que de 3, lo qué en términos de valor absoluto puede escribirse: –
( )
−5 < −3− x
x La distancia de cualquier
al punto – 5 es menor que la distancia al punto 3. Este hecho se puede expresar en términos de valor absoluto así:
(
−∞ −5∈ ;
x
)
5
x
x
3
− − < −
ó
( )
−5 < −3− x
x
expresiones que son equivalentes
Los x∈
(
−1;3)
están más cerca de3 que de –5, lo qué en términos de valor absoluto es.
( )
−5 > −3− x
x
La distancia de
cualquier al
punto – 5 es mayor que la distancia al punto 3, lo que escrito en término de valor absoluto es:
(
∞)
∈ 3; x
( )
−5 > −3− x
x
EJERCICIOS
1. Exprese en términos de distancia las siguientes expresiones:
a.
8
−
3
b.
4
+
5
c.
6
d.
−
2
e.
x
−
3
f.
x
−
3
g.
1
−
x
h.
7
,
5
−
x
i.
x
+
5
2. Expresar en términos de Valor Absoluto los puntos sobre la recta numérica :a.
Que se encuentran a 2 unidades delorigen
b.
Que se encuentran a menos de 3 unidades de 5c.
Que se encuentran a menos de 4unidades de –2
d.
Que se encuentran a más de 3 unidades de 5e.
Que se encuentran a más de 2 unidadesde –1
f.
Cuya doble distancia a 2 es mayor que 33. Escriba los siguientes enunciados en términos de valor absoluto: a. La distancia entre dos números xe yes igual a 3
b. El doble de la distancia que hay entre un número xy el punto –2 es igual a 5
4. Cual es el mínimo valor que puede tomar la expresión:
a.
x
−
2
b.
x
+
3
5. Diga si es falso o verdadero
b. 10+(−14) = 10 + −14
c. −3+8 ≤ −3 + 8
d. (2x−1)−3 =2x−2
e. 3−π = π−3
f. x =0 es equivalente a decir que x=0 g. x = y significa que x=y ó x=−y
h. x+y = x + y , ∀x,y∈ℜ
i. ∀x,y∈ℜ y x<y ⇒ x < y
j. La distancia entre y −1
2 1 − es
2 1
k. x = −x
l. x−3 es la distancia de x a –3
m. Si el triple de la distancia de x a 2 es 6, x puede estar en
3
8
n. x = x, ∀x∈ℜ
3 3
6. Escriba la ecuación o inecuación correspondiente a los siguientes enunciados en términos de valor absoluto:
a. “m está a 5 unidades de –2” b. “x está a menos de 5 unidades de 3” c. “q está a más de 2 unidades de 1” d. Los puntos x cuya distancia a –3 no es
mayor que 7.
e. La distancia entre dos números xe
yes igual a 3
f. El doble de la distancia que hay entre un número xy el punto –2 es igual a 5
g. La distancia entre los puntos x y – y
7. Explique el significado de la expresión
x
−
3
>
4
8. Completar las siguientes afirmaciones.:
a. Si
x
es negativo, entoncesx
=
________________.b. El valor absoluto de un número es la distancia al _________________ en la recta numérica.
9. Explique porqué 2 es el único valor que satisface x−2 ≤0
10. Exprese en palabras el significado de: a.
2 1 3 >
+
x b. 5x−1<2 c. 0< x <5
RESPUESTAS
1.a La distancia entre 8 y 3 1.b La distancia entre 4 y –5
1.e La distancia entre un real x y 3 1.f La distancia entre un real x y 3
1.g La distancia entre 1 y un real x 1.h La distancia entre 7,5 y un real x
1.i La distancia entre un real x y –5
2.a x−0=2 2.b x−5<3 2.c x+2<4 2.d x−5>3 2.e x+1>2 2.f 2x−2>3
3.a x−y =3 3.b 2x+2=5
4.c 0 4.d 0
5.a Verdadero 5.b Falso 5.c Verdadero 5.d Verdadero
5.e Verdadero 5.f Verdadero 5.g Verdadero 5.h Falso
5.i Falso 5.j Verdadero 5.k Verdadero 5.l Falso
5.m Falso 5.n Falso
6.a m+2=5 6.b x−3<5 6.c q−1>2 6.d x+3 <7
6.e x−y =3 6.f 2x+2=5 6.g x+y
7. Los puntos sobre la recta numérica cuya distancia a 3 es mayor de 4 unidades.
8.a ….–x … 8.b … origen
9. Como el valor absoluto es una distancia solo puede tomar como valor el cero o un número positivo, por lo tanto el único valor de x que satisface es x=2
10.a Los puntos sobre la recta numérica tales que su distancia a –3 es mayor de media unidad
10.b Los puntos sobre la recta numérica tales que cinco veces la distancia a 1 es menor de 2 unidades.
10.c Los puntos sobre la recta numérica tales que su distancia al origen es positiva y menor que cinco.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Estudiar previamente la SECCIÓN 6.3 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN y realizar los ejercicios de la sección 6.2
EJEMPLO ADICIONAL 3
Utilizando la interpretación geométrica en la recta numérica encuentre el conjunto solución de
3 4 x− =
En éste caso x−3 significa la distancia entre x y 3, por lo cual el punto con respecto al que se va
Al ubicar 3 en la recta numérica, ésta se divide en dos intervalos: (−∞,3) y [3,∞)
(−∞,3) [3,∞)
( ,3) 3 3
x x
∀ ∈ −∞ ⇒ < ∨ >x
Como 3>x la distancia de x a 3 es 3−x (el número mayor menos el número menor), de donde:
3 3 x− = −x
Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene:
3 4 3 4 1
x− = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = −x x x 1
La solución en éste intervalo será: (−∞,3) { } { }∩ − = −1 1
[3, ) 3
x x 3 x
∀ ∈ ∞ ⇒ ≥ ∧ ≤
Como x≥3 la distancia de x a 3 es x−3 (el
número mayor menos el número menor), de donde:
3 3
x− = −x
Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene:
3 4 3 4 7
x− = ⇒ − = ⇒ =x x La solución en éste intervalo será:
[3,∞) { } { }∩ 7 = 7
El conjunto solución de x−3 =4 {
será por lo tanto
} { } { }
1 7 1 7,
x∈ − ∪ ⇒ ∈ −x ó {x x= − ∨ =1 x 7}
El conjunto solución se representa gráficamente así:
EJEMPLO ADICIONAL 4
Utilizando la interpretación geométrica en la recta numérica encuentre el conjunto solución de
11 2 4
4 x+ =
Para solucionar ésta ecuación en primer lugar hay que identificar el punto de referencia con respecto al cual se está midiendo la distancia desde un punto x en la recta.
Para leer 2x+4 en términos de distancia hay que recordar que la distancia entre dos puntos en la
recta numérica es la diferencia entre el mayor y el menor, lo cual lleva a escribir la ecuación como
una diferencia 2 ( 4) 11
4
x− − = , por lo tanto 2x− −( 4) significa “la distancia entre el doble de x y –
4”, pero nuestro objetivo inmediato es encontrar el punto de referencia, lo cual genera la necesidad de solucionar la siguiente ecuación:
2x+ = ⇒ = −4 0 x 2
Por lo tanto el punto de referencia es –2
(−∞ −, 2) [− ∞2, )
( 2) 2 2 4 4 2
x , ⇒ < − ⇒x x< − ∨ − > x
∀ ∈ −∞ −
Como − >4 2x la distancia de 2x a –4 es − −4 2x (el número mayor menos el número menor), de donde:
2x+4 = − −4 2x
Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene:
[ 2, ) 2 2
x x x 4
∀ ∈ − ∞ ⇒ ≥ − ⇒ ≥ −
Como 2x≥ −4 la distancia de 2x a –4 es
( )
2x− −4 (el número mayor menos el número
menor), de donde:
2x+4 =2x+4
Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene:
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
11 11 27 27
2 4 4 2 2
4 4 4
x+ = ⇒ − − x= ⇒ − x= ⇒ = − 8 x
La solución en éste intervalo será: ( 2)
{ } { }
27 278 8
,
−∞ − ∩ − = −
11 11 5 5
2 4 2 4 2
4 4 4
x x x x
8
+ = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = −
La solución en éste intervalo será: [ 2 )
{ } { }
5 58 8
,
− ∞ ∩ − = −
El conjunto solución de 2 4 11
4
x+ = es por lo tanto
{ }
27{ }
5{
27 5}
8 8 8 ,
x∈ − ∪ − ⇒ ∈ −x −
8 ó
{
}
27 5
8 8
x x= − ∨ = −x
El conjunto solución se representa gráficamente así:
EJEMPLO ADICIONAL 5
Utilizando la misma metodología que en los ejemplos anteriores a continuación se solucionará la ecuación 3x−9 = 2x+ + −1 x 10
3 x
En éste caso existen dos puntos de interés que servirán para solucionar la ecuación:
3x− = ⇒ =9 0 y 2 1 0 1
2 x+ = ⇒ = −x
La recta queda entonces dividida en tres grandes intervalos:
1 2 , ⎛−∞ − ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 3 2, ⎡− ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(3,∞)
1 2 ,
x ⎛ ⎞
∀ ∈ −∞ −⎜⎝ ⎟⎠
3x−9 = −9 3x y 2x+ = − −1 1 2x
Por lo tanto:
3x−9 = 2x+ + −1 x 10⇒
9 3− x= − −1 2x+ −x 10⇒ 2x 20 x 1
− = − ⇒ = 0
La solución en éste intervalo es:
{ } 1
10 2 ,
⎛−∞ − ⎞ = ∅
⎜ ⎟
⎝ ⎠∩
1 3 2,
x ⎡ ⎤
∀ ∈ −⎢ ⎥
⎣ ⎦
3x−9 = −9 3x y ( ) 2x+ =1 2x− − =1 2x+1
Por lo tanto:
3x−9 = 2x+ + −1 x 10⇒
9 3− x=2x+ + −1 x 10⇒ 6x 18 x 3
− = − ⇒ =
La solución en éste intervalo es:
{ } { } 1
3 3 3
2,
⎡− ⎤ =
⎢ ⎥
⎣ ⎦∩
(3, ) x
∀ ∈ ∞ :
3x−9 =3x−9 y ( ) 2x+ =1 2x− − =1 2x+1
Por lo tanto:
3x−9 = 2x+ + −1 x 10⇒
3x− =9 2x+ + −1 x 10⇒ 0=0
La solución en éste intervalo es:
(3,∞)∩ℜ =(3,∞)
El conjunto solución de 3x−9 = 2x+ + −1 x 10 es: { } (3 3, ) [3, )
x∈ ∅∪ ∪ ∞ ⇒ ∈x ∞ ó {
-4 27 -3 -2 -1 0
8
− 5
8 −
-3 -2 -1 1 0 1 2 3 4 5 6
2
−
}
3 x x≥
Encontrar la solución de:
a. 3 x−2 =5
b. 5 4
3
2 − =−
x c. 5−2x =4
d. 5− x =3 e. 5− x =4 f. 2x−1−3 =5
g. x+1= 2−x h. x2 = x i. x2 −4 =4
j. (x−3)(x+2)=6 k. 2 1 1= −
− x x
x
l. x
x x
= − −
4 5
m.
5 2
2 1 5 2
20 4 2
− = + − −
x x x
x n. 1
2 2
− = + + x x
RESPUESTAS
a.
3 11 3
1
ó b. No hay solución c.
2 1 2 9
ó
d. ±2 e. ±1 ó ±9 f. 5 ó −3
g.
2
1 h. 0 ó ±1 i. 0 ó ±2 2
j. −3 4 0 1 k. No hay solución
l. 2
29 3±
m. 2
26 1−
− n.
(
−∞,−2) (
∪ −2,0)
SOLUCIÓN DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
SECCIÓN 6.4 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN HASTA EJEM 21
EJEMPLO ADICIONAL 6
Encontrar el conjunto solución de
x
−
3
≥
2
Sobre la recta numérica determinamos el punto de referencia es decir
x
− = ⇔
3
0
x
=
3
, ubicado este punto sobre la recta numérica encontramos dos intervalos(
−∞;3)
y(
3;∞)
En éste intervalo
x
− <
3
0
por lo tanto:3
3
x
−
= −
x
Lo que nos lleva a decir que se
tiene.
(
−∞;3)
∈ ∀x
3
− ≥ ⇔ − ≥ − ⇔ ≤
x
2
x
1
x
1
Dada la condición de , el
conjunto solución es:
(
−∞;3)
∈ ∀x
(
−∞
,1
]
En éste intervalo
x
− >
3
0
por lo cual3
3
x
−
= −
x
, por lo tanto se tiene.3
2
5
x
− ≥
⇔
x
≥
Dada l a condición ∀x∈
(
3;∞)
, el conjunto solución es:(
3;
∞
)
∩
[
5,
∞ =
)
[
5,
∞
)
C.S.:
(
−∞
,1
] [
∪
5,
∞
)
EJEMPLO ADICIONAL 7
Encontrar el conjunto solución de −x+3 ≤4
Haciendo análisis sobre la recta numérica.se determina el valor de x donde −x+3=0⇔ x =3, ubicado este punto sobre la recta numérica encontramos dos intervalos
(
−∞;3)
y(
3;∞)
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
En éste intervalo −x+3>0 por lo tanto: 3
3 =− + +
−x x
Lo que nos lleva a decir que se
tiene:
(
−∞;3)
∈ ∀x
1 1
4
3≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≥−
+
−x x x
Dada la condición de ∀ , el
conjunto solución es:
(
−∞;3)
∈
x
(
−∞;3)
∩[
−1;∞)
=[
−1;3)
En éste intervalo −x+3<0por lo cual
(
3)
3 =− − + +
−x x , por lo tanto se tiene.
(
− +3)
≤4 ⇔ − +3≥−4− x x
7
7 ⇔ ≤
− ≥
−x x ,∀x∈
(
3;∞)
, por lotanto el conjunto solución es:
(
3;∞) (
∩ −∞;7] [ ]
= 3;7C.S.:
[
−1;3)
∪[ ] [
3;7 = −1;7]
Trabajo previo SECCIÓN 6.4 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN DESDE EJEM 22 HASTA 24
EJEMPLO ADICIONAL 8
Encontrar el conjunto solución de 2x−3 >3x
En este caso no se puede hacer uso del teorema 7 puesto que 3 no es un real positivo para todo
valor de x. Qué podemos hacer para resolverlo? x
Haciendo un análisis sobre la recta numérica.Primero se determina el punto donde 2 , lo
que permite establecer dos intervalos
0 3= −
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞− 2 3 ; ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ;∞ 2 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞− ∈ ∀ 2 3 ;
x se tiene que , por
lo tanto
0 3 2x− <
(
2 3)
3
2x− = − x−
Por lo que la situación planteada equivale a resolver: −
(
2x−3)
>3x5 3 3 5 3 3
2 + > ⇔ − > − ⇔ <
− x x x x
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞ ∈ ∀ ; 2 3
x se tiene que , por lo
tanto
0 3 2x− >
3 2 3
2x− = x−
Por lo que la situación planteada equivale a resolver: 2x −3>3x
3 3
3 3
2x− > x ⇔ −x > ⇔ x <−
C.S. ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞− 5 3 5 3 2
3 ; ;
; ∩ C.S. ⎟
(
−∞−)
=∅⎠ ⎞ ⎜ ⎝
⎛ ∞ 3
2
3; ∩ ;
C.S. ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞− = ∅ ⎟ ⎠ ⎞
⎝−∞ 5
3 5
3 ;
; ∪
⎜⎛
EJEMPLO ADICIONAL 9
Encontrar el conjunto solución de x 1 2 3x
3
2 − > −
Haciendo un análisis sobre la recta numérica. Primero determinamos los puntos divisorios es decir
aquellos puntos donde 1 0
3
2x − = y 2−3x =0, al resolver estas ecuaciones se tiene que:
3 2 y 2 3 = = x
x , lo que permite establecer tres intervalos
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞− 3 2 , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 3 3
2; ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ;∞ 2 3
En este intervalo 1 0
3
2x− < por lo
tanto ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − 1 3 2 1 3
2x x y
por lo tanto
0 3 2− x >
x
x 2 3
3
2− = −
En este intervalo
0 1 3
2x− < por lo
tanto ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − 1 3 2 1 3
2x x
y 2−3x <0por lo
tanto
(
x)
x 2 3
3
2− =− −
En este intervalo 1 0
3
2x− > por
lo tanto 1
3 2 1 3
2x− = x− y
0 3
2− x < por lo tanto
(
x)
x 2 3
3
2− = − −
De lo anterior el problema
planteado x 1 2 3x
3
2 − > − se
convierte en
De lo anterior el problema planteado
x
x 1 2 3
3
2 − > −
De lo anterior el problema
planteado x 1 2 3x
3
2 − > − se
convierte en
-2 -1 1 2 3 4 5
x
x 1 2 3
3
2 ⎟> − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − x
x 1 2 3
3
2 − <− +
1 2 3 3
2x− x <− +
7 3 1
3
7 <− ⇔ >
− x x
se convierte en
(
xx 1 2 3
3
2 ⎟>− − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −
( x)
x 1 2 3
3
2 ⎟< −
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 2 3 3
2x+ x < +
3 3 11x <
11 9 < x
(
x)
x 1 2 3
3
2 − >− −
1 2 3 3
2x− x >− +
1 3 7 >− − x
7 3 < x
C.S. ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞− 3 2 7 3 7 3 3
2 ; ;
, ∩ C.S. ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 11 9 3
2; C.S. ∅
C.S. ⎝ ⎞⎠⎟ ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ ∅=⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ ⎛⎝⎜ ⎞⎟⎠ 11 9 3 2 3 2 7 3 11 9 3 2 3 2 7
3; ∪ ; ∪ ; ∪ ;
⎜⎛
El conjunto solución de x 1 2 3x
3
2 − > − puede darse utilizando diferentes notaciones:
En notación de intervalos: ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 11 9 3 2 3 2 7
3; ∪ ; ó
{ }
3 2 11
9 7
3 ⎟−
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ;
En notación de inecuación compuesta
11 9 3 2 ó 3 2 7
3< x < < x <
En representación gráfica:
1 2/3
3/7 9/11
0
EJEMPLO ADICIONAL 10
Encontrar el conjunto solución de 2x−6 ≥ 4−4x
Usando propiedades del valor absoluto se tiene:
x
x 6 4 4
2 − ≥ −
1 2 3 1 2 3 1 4 3
2 − ≥ − ⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ −
⇔ x x x x x x
Lo que en términos de distancia significa “ los números reales cuya distancia a 3 es mayor o igual al doble de la distancia a 1”
En este intervalo x−3<0 y
0 1< − x
Por lo tanto
En este intervalo
0 3< −
x y x−1>0
Por lo tanto
En este intervalo
0 3> −
x y x−1>0
Por lo tanto
1 2 3
⇔ − ≥ −3 2x 1
x
(
−)
≥−(
−)
⇔ − x 3 2 x 1(
1)
2
3≤ −
− x
x
2 3
2 ≤ −
− x x
1
1 ⇔ ≥ −
≤
−x x
⇔ − ≥ −3 2x 1
x
(
−)
≥(
−)
⇔ − x 3 2 x 1⇔ − ≥ +
−x 3 2x 2
3 5 5
3 ≥− ⇔ ≤
− x x
⇔ − ≥ −3 2x 1
x
⇔ − ≥ −3 2x 2
x
⇔ + − ≥ −2x 2 3
x
1 − ≤ x
C.S.
(
−∞;1] [
∩ −1;∞)
=[
−1;1]
C.S.[ ]
⎥⎦⎤ ⎢⎣ ⎡ = ⎥⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ ∞− 3 5 1 3 5 31; ∩ ; ;
C.S.
[
3;∞) (
∩ −∞;−1]
=∅C.S.
[
−]
⎢⎣⎡ ⎥⎦⎤= ⎢⎣⎡− ⎥⎦⎤ 3 5 1 3 5 1 11; ∪ ; ;
El conjunto solución representado en la recta numérica es:
-1 1 2 3
5/3
0
EJERCICIOS
1. Encontrar la solución de las siguientes inecuaciones:
a. 7−3x >2 b. 3x−4−2≤0
c. 3 4 3 2 y 2
4= − >
+ x x
d. 2x−3>4
e. 1 2
3 2 − ≥
x f. 2
3 2≤
− x
g. 3< x+5 h. x−3=5 y x >2 i. ( 3) 5
2− x+ ≤
x
j. x−1≤2 y 2−x ≤2 k. x+1≥4 y x−1>1
l. 1≤ x+2≤2 ó −1 <0
x x
m. 0
2<
+ x
x
n. 3x+1>1,7 o. 0
3 1 >
− x
p. −7x−3>5,1 q. 3x+3−5x >4 r. 3x−5<1−4x
s. x−7 >4x+7 t. 8−x ≥2x+1 u. 2x−3≤7−x+1
v.
2 1 2 7
4x+ +−x− > w. 2x+1≤3+x−3
RESPUESTAS
a. ⎟
( )
∞⎠ ⎞ ⎜ ⎝
⎛ ∞− 3,
3 5
, ∪ b.
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 2 , 3
2 c. x=−2 ó x=−6
d. ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−∞− , 2 7 2 1
, ∪ e. ⎟
⎠ ⎞ ⎢⎣ ⎡ ∞ ⎥⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛−∞− , 2 9 2 3
, ∪ f.
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− 3 8 , 3 4
j.
[ ]
0,3 k.(
−∞,−5] [
∪ 3,∞)
l.(
−∞,0)
m.
(
−∞,−2)
n. ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝
⎛ ∞
⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛−∞−
, 30
7 10
9
, ∪ o. ℜ−
{ }
3p. ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝
⎛ ∞
⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛−∞−
, 70 21 70 81
, ∪ q. ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝
⎛ ∞
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝
⎛ ∞− ,
8 7 2 1
, ∪ r.
(
)
⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞ −
3 5 , 7 6 4
, ∪
s. ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝
⎛− ,0
3
14 t. u.
EJERCICIOS DE REPASO
1. Encuentre el valor de m y n para que el conjunto de números reales que satisface
n m x− ≤
3 tenga la siguiente representación gráfica:
2/3
-10/3
2. Para qué valores de p la inecuación 7 3 2
3x− ≤p− no tiene solución? 3. Encontrar el conjunto solución.
a. x+4 ≤3x−8 b. 3x−4 −2≤0 c. 7x−1 =2
d. −2x+3 <2 e. 3≥ x f. −4x+5 >1
g. 2x−8 =12 y x-2 <8 h. x−1≤2 y 2−x ≤2 i. x+1≥4 y x−1>1
j. 1≤ x+2≤2 k. 3x− −5 x+ ≤4 2
l. ( 3) 5
2− x+ ≤
x
m. −6 − −4 n. −1− 1− −1
4. A partir de su representación en la recta numérica determine los valores que satisfacen la
situación planteada. Indique la solución gráficamente, en notación de intervalo y en notación de desigualdad, y, exprese en palabras la situación.
a.
2 3 2 ≤
−
x b. 3< x+5 c. x−3 =5 y x >2
5. Escriba en notación de intervalo x−2 , si
x
>
2
6. Los valores de x que cumplen con x= x7. Los valores de x que cumplen con x< x
8. Completar
a. Si a>0, entonces, −a = b. Si b<0, entonces, −b = c. La distancia entre −9 y 5 es:
d. El conjunto de todos los reales tales que x−2 = 2−x es 9. Complete la tabla siguiente:
X y x y xy x y
y x
y
x x+y x + y
-5 5
-1
10. Simplifique x−y − y−x
11. Cada desigualdad de la izquierda tiene como conjunto solución una de las expresiones de la
derecha. Determinar los pares correspondientes, en la siguiente tabla.
1 2 3
1 − x <
a b1 −5≤x <5
(
x)
xa2 2 1− >−2 b2 x<7
35 20 3 5
3 − ≥− x− >−
a b3 x >2
5 3 2 5 67
4 < x−
a b4 1< x <2
5 1
5 x+ > x −
a b6 ℜ
12. Que podemos decir de z, si, zz<0
13. Demuestre que (2x−1)−3 =2x−2 y exprese en palabras el significado de la igualdad.
14. En qué caso es 1−x igual a 1 - x ? En qué caso es igual a x - 1?
15. Encontrar la solución de:
a.
(
1−x)
2x−9 >−5 b. 4−x(
x−1)
≤4 c.( )
x − x +1 >−2 d. x2+3x+2≤4 e. 2x2−3x−2≤3f. x2−6x+10 <2 g. 23−5x−2x2 >19−3x h. 14+6x−4x2 ≥4x2−6
i. 4x2+4x−11≥9−2x−4x2 j. x2+3x+2 ≤4 k. 2 1 3
4 3
≤ − + x x
l. 2
1 1 3 <
+− x
x m.
3 2 1 5
7 >
+ − x
x n. 4
2 2
3 ≥
+ − x
x
o. 3
1 1 2
≤ −
+ x x
p.
17 5 1 10
7
> − + x
x q.
(
x−2)
x+1 >−2RESPUESTAS
1. m=−4 y n=6 2. p<3
3.
a.
[
6,∞)
b.
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡
2 , 3 2
c.
7 1 7
3 −
ó
d. ℜ e.
[ ]
−3,3 f. No hay solucióng. −2 h.
[ ]
0,3 i.(
−∞,−5] [
∪ 3,∞)
j.
[
−4,−3] [
∪ −1,0]
k.
⎥⎦ ⎤ ⎜
⎝ ⎛−
2 11 , 4
1 l.
[
−2,18]
m. 2 n. −3
a.
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−
3 7 , 3
4 b.
(
−∞,−8) (
∪ −2,∞)
c. x=85.
( )
0,∞ 6.[
0,∞)
7.(
−∞,0)
8.
a. a b. −b c. 14 d. ℜ
9.
X Y x y xy x y
y x
y
x x+y x + y
-5 5 5 5 25 25 1 1 0 10
-1
2
3 1
2 3
2 3
3 2
3 2
2 1
2 5 2
3
10. 0
11.
,
,
,
,
4 1 con b a
6 2 con b a
1 3 con b a
2 4 con b a
3 5 con b a
12. z<0
13.
14.
Si
1−x≥0y cuando
1−x<015.
a. b.
c. d. e.
f. g. h.
i. j. k.
l. m. n.