Valor Absoluto Recta Numerica

Concepto de valor absoluto: El Valor Absoluto se define como la distancia entre dos números

reales en la recta numérica. Con el objeto de afianzar el concepto de valor absoluto, es necesario ligarlo a su interpretación geométrica en la recta numérica.

Para realizar este trabajo usted deberá estudiar previamente la sección 6.2 del libro Precálculo Una Nueva Visión, G.Mora – M.M.Rey – B.C. Robles, Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería, Edición Preliminar Tercera Versión y hacer los ejercicios de la sección 6.1

Ejemplo Adicional 1

Comparar las distancias entre un número real cualquiera y los puntos –6 y 4

Al observar la recta numérica se tiene que los puntos –6 y 4 la dividen en tres grandes intervalos (−∞ −, 6),[−6 4, ] y (4,∞)

(−∞ −, 6) [−6 4, ] (4,∞)

( , 6) x

∀ ∈ −∞ − se tiene:

La distancia de cualquier punto

x al punto –6 es menor que su

distancia a 4, lo que en términos de valor absoluto se puede expresar así:

( 6) 4 x− − < x− ⇔

6 4

x+ < x−

[ 6 4, ] x

∀ ∈ − se tiene:

a. El punto medio entre –6 y 4

es –1, por lo tanto al ubicar el punto x en –1 la distancia entre –6 y x es igual que la distancia entre x y 4, lo que puede escribirse en términos de valor absoluto como:

( 6) 4 x− − = x− ⇔

6 4

x+ = x−

b. Si x está más cerca de –6

que de 4, se tiene:

( )6 4

x− − < x− ⇔

6 4

x+ < x−

c. Si x está más lejos de –6 que de 4, se tiene:

( )6 4

x− − > x− ⇔

6 4

x+ > x−

(4,

x )

∀ ∈ ∞ se tiene:

La distancia de cualquier punto x al punto –6 es mayor que su distancia a 4, lo que en términos de valor absoluto se puede expresar así:

( 6) 4 x− − > x− ⇔

6 4

x+ > x−

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

Ejemplo adicional 2

Comparar las distancias entre un número real cualquiera y los puntos 3 y – 5.

(

−∞;−5

)

(

−5;3

)

(

3;∞

)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

El punto medio entre

(

−5;3

)

es el

punto – 1 y la distancia de este punto a – 5 y a 3 es igual, lo que en términos de valor absoluto puede escribirse como:

( )

1

5

1 3

− − −

= − −

Los x∈

(

−5;−1

)

están más cerca de

5 que de 3, lo qué en términos de valor absoluto puede escribirse: –

( )

−5 < −3

− x

x La distancia de cualquier

al punto – 5 es menor que la distancia al punto 3. Este hecho se puede expresar en términos de valor absoluto así:

(

−∞ −5

∈ ;

x

)

5

x

x

3

− − < −

ó

( )

−5 < −3

− x

x

expresiones que son equivalentes

Los x∈

(

−1;3

)

están más cerca de

3 que de –5, lo qué en términos de valor absoluto es.

( )

−5 > −3

− x

x

La distancia de

cualquier al

punto – 5 es mayor que la distancia al punto 3, lo que escrito en término de valor absoluto es:

(

∞

)

∈ 3; x

( )

−5 > −3

− x

x

EJERCICIOS

1. Exprese en términos de distancia las siguientes expresiones:

a.

8

−

3

b.

4

+

5

c.

6

d.

−

2

e.

x

−

3

f.

x

−

3

g.

1

−

x

h.

7

,

5

−

x

i.

x

+

5

2. Expresar en términos de Valor Absoluto los puntos sobre la recta numérica :

a.

Que se encuentran a 2 unidades del

origen

b.

Que se encuentran a menos de 3 unidades de 5

c.

Que se encuentran a menos de 4

unidades de –2

d.

Que se encuentran a más de 3 unidades de 5

e.

Que se encuentran a más de 2 unidades

de –1

f.

Cuya doble distancia a 2 es mayor que 3

3. Escriba los siguientes enunciados en términos de valor absoluto: a. La distancia entre dos números xe yes igual a 3

b. El doble de la distancia que hay entre un número xy el punto –2 es igual a 5

4. Cual es el mínimo valor que puede tomar la expresión:

a.

x

−

2

b.

x

+

3

5. Diga si es falso o verdadero

b. 10+(−14) = 10 + −14

c. −3+8 ≤ −3 + 8

d. (2x−1)−3 =2x−2

e. 3−π = π−3

f. x =0 es equivalente a decir que x=0 g. x = y significa que x=y ó x=−y

h. x+y = x + y , ∀x,y∈ℜ

i. ∀x,y∈ℜ y x<y ⇒ x < y

j. La distancia entre y −1

2 1 − es

2 1

k. x = −x

l. x−3 es la distancia de x a –3

m. Si el triple de la distancia de x a 2 es 6, x puede estar en

3

8

n. x = x, ∀x∈ℜ

3 3

6. Escriba la ecuación o inecuación correspondiente a los siguientes enunciados en términos de valor absoluto:

a. “m está a 5 unidades de –2” b. “x está a menos de 5 unidades de 3” c. “q está a más de 2 unidades de 1” d. Los puntos x cuya distancia a –3 no es

mayor que 7.

e. La distancia entre dos números xe

yes igual a 3

f. El doble de la distancia que hay entre un número xy el punto –2 es igual a 5

g. La distancia entre los puntos x y – y

7. Explique el significado de la expresión

x

−

3

>

4

8. Completar las siguientes afirmaciones.:

a. Si

x

es negativo, entonces

x

=

________________.

b. El valor absoluto de un número es la distancia al _________________ en la recta numérica.

9. Explique porqué 2 es el único valor que satisface x−2 ≤0

10. Exprese en palabras el significado de: a.

2 1 3 >

+

x b. 5x−1<2 c. 0< x <5

RESPUESTAS

1.a La distancia entre 8 y 3 1.b La distancia entre 4 y –5

1.e La distancia entre un real x y 3 1.f La distancia entre un real x y 3

1.g La distancia entre 1 y un real x 1.h La distancia entre 7,5 y un real x

1.i La distancia entre un real x y –5

2.a x−0=2 2.b x−5<3 2.c x+2<4 2.d x−5>3 2.e x+1>2 2.f 2x−2>3

3.a x−y =3 3.b 2x+2=5

4.c 0 4.d 0

5.a Verdadero 5.b Falso 5.c Verdadero 5.d Verdadero

5.e Verdadero 5.f Verdadero 5.g Verdadero 5.h Falso

5.i Falso 5.j Verdadero 5.k Verdadero 5.l Falso

5.m Falso 5.n Falso

6.a m+2=5 6.b x−3<5 6.c q−1>2 6.d x+3 <7

6.e x−y =3 6.f 2x+2=5 6.g x+y

7. Los puntos sobre la recta numérica cuya distancia a 3 es mayor de 4 unidades.

8.a ….–x … 8.b … origen

9. Como el valor absoluto es una distancia solo puede tomar como valor el cero o un número positivo, por lo tanto el único valor de x que satisface es x=2

10.a Los puntos sobre la recta numérica tales que su distancia a –3 es mayor de media unidad

10.b Los puntos sobre la recta numérica tales que cinco veces la distancia a 1 es menor de 2 unidades.

10.c Los puntos sobre la recta numérica tales que su distancia al origen es positiva y menor que cinco.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Estudiar previamente la SECCIÓN 6.3 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN y realizar los ejercicios de la sección 6.2

EJEMPLO ADICIONAL 3

Utilizando la interpretación geométrica en la recta numérica encuentre el conjunto solución de

3 4 x− =

En éste caso x−3 significa la distancia entre x y 3, por lo cual el punto con respecto al que se va

Al ubicar 3 en la recta numérica, ésta se divide en dos intervalos: (−∞,3) y [3,∞)

(−∞,3) [3,∞)

( ,3) 3 3

x x

∀ ∈ −∞ ⇒ < ∨ >x

Como 3>x la distancia de x a 3 es 3−x (el número mayor menos el número menor), de donde:

3 3 x− = −x

Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene:

3 4 3 4 1

x− = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = −x x x 1

La solución en éste intervalo será: (−∞,3) { } { }∩ − = −1 1

[3, ) 3

x x 3 x

∀ ∈ ∞ ⇒ ≥ ∧ ≤

Como x≥3 la distancia de x a 3 es x−3 (el

número mayor menos el número menor), de donde:

3 3

x− = −x

Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene:

3 4 3 4 7

x− = ⇒ − = ⇒ =x x La solución en éste intervalo será:

[3,∞) { } { }∩ 7 = 7

El conjunto solución de x−3 =4 {

será por lo tanto

} { } { }

1 7 1 7,

x∈ − ∪ ⇒ ∈ −x ó {x x= − ∨ =1 x 7}

El conjunto solución se representa gráficamente así:

EJEMPLO ADICIONAL 4

Utilizando la interpretación geométrica en la recta numérica encuentre el conjunto solución de

11 2 4

4 x+ =

Para solucionar ésta ecuación en primer lugar hay que identificar el punto de referencia con respecto al cual se está midiendo la distancia desde un punto x en la recta.

Para leer 2x+4 en términos de distancia hay que recordar que la distancia entre dos puntos en la

recta numérica es la diferencia entre el mayor y el menor, lo cual lleva a escribir la ecuación como

una diferencia 2 ( 4) 11

4

x− − = , por lo tanto 2x− −( 4) significa “la distancia entre el doble de x y –

4”, pero nuestro objetivo inmediato es encontrar el punto de referencia, lo cual genera la necesidad de solucionar la siguiente ecuación:

2x+ = ⇒ = −4 0 x 2

Por lo tanto el punto de referencia es –2

(−∞ −, 2) [− ∞2, )

( 2) 2 2 4 4 2

x , ⇒ < − ⇒x x< − ∨ − > x

∀ ∈ −∞ −

Como − >4 2x la distancia de 2x a –4 es − −4 2x (el número mayor menos el número menor), de donde:

2x+4 = − −4 2x

Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene:

[ 2, ) 2 2

x x x 4

∀ ∈ − ∞ ⇒ ≥ − ⇒ ≥ −

Como 2x≥ −4 la distancia de 2x a –4 es

( )

2x− −4 (el número mayor menos el número

menor), de donde:

2x+4 =2x+4

Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene:

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

11 11 27 27

2 4 4 2 2

4 4 4

x+ = ⇒ − − x= ⇒ − x= ⇒ = − 8 x

La solución en éste intervalo será: ( 2)

{ } { }

27 27

8 8

,

−∞ − ∩ − = −

11 11 5 5

2 4 2 4 2

4 4 4

x x x x

8

+ = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = −

La solución en éste intervalo será: [ 2 )

{ } { }

5 5

8 8

,

− ∞ ∩ − = −

El conjunto solución de 2 4 11

4

x+ = es por lo tanto

{ }

27

{ }

5

{

27 5

}

8 8 8 ,

x∈ − ∪ − ⇒ ∈ −x −

8 ó

{

}

27 5

8 8

x x= − ∨ = −x

El conjunto solución se representa gráficamente así:

EJEMPLO ADICIONAL 5

Utilizando la misma metodología que en los ejemplos anteriores a continuación se solucionará la ecuación 3x−9 = 2x+ + −1 x 10

3 x

En éste caso existen dos puntos de interés que servirán para solucionar la ecuación:

3x− = ⇒ =9 0 y 2 1 0 1

2 x+ = ⇒ = −x

La recta queda entonces dividida en tres grandes intervalos:

1 2 , ⎛_{−∞ −} ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 3 2, ⎡₋ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(3,∞)

1 2 ,

x ⎛ ⎞

∀ ∈ −∞ −⎜_⎝ ⎟_⎠

3x−9 = −9 3x y 2x+ = − −1 1 2x

Por lo tanto:

3x−9 = 2x+ + −1 x 10⇒

9 3− x= − −1 2x+ −x 10⇒ 2x 20 x 1

− = − ⇒ = 0

La solución en éste intervalo es:

{ } 1

10 2 ,

⎛_{−∞ −} ⎞ _{= ∅}

⎜ ⎟

⎝ ⎠∩

1 3 2,

x ⎡ ⎤

∀ ∈ −_{⎢ ⎥}

⎣ ⎦

3x−9 = −9 3x y ( ) 2x+ =1 2x− − =1 2x+1

Por lo tanto:

3x−9 = 2x+ + −1 x 10⇒

9 3− x=2x+ + −1 x 10⇒ 6x 18 x 3

− = − ⇒ =

La solución en éste intervalo es:

{ } { } 1

3 3 3

2,

⎡₋ ⎤ ₌

⎢ ⎥

⎣ ⎦∩

(3, ) x

∀ ∈ ∞ :

3x−9 =3x−9 y ( ) 2x+ =1 2x− − =1 2x+1

Por lo tanto:

3x−9 = 2x+ + −1 x 10⇒

3x− =9 2x+ + −1 x 10⇒ 0=0

La solución en éste intervalo es:

(3,∞)∩ℜ =(3,∞)

El conjunto solución de 3x−9 = 2x+ + −1 x 10 es: { } (3 3, ) [3, )

x∈ ∅∪ ∪ ∞ ⇒ ∈x ∞ ó {

-4 ₂₇ -3 -2 -1 0

8

− 5

8 −

-3 -2 -1 ₁ 0 1 2 3 4 5 6

2

−

}

3 x x≥

Encontrar la solución de:

a. 3 x−2 =5

b. 5 4

3

2 _{− =−}

x c. 5−2x =4

d. 5− x =3 e. 5− x =4 f. 2x−1−3 =5

g. x+1= 2−x _{h. x}2 _{= x i. x}2 _{−4 =4}

j. (x−3)(x+2)=6 _{k. 2 1} 1= −

− x x

x

l. x

x x

= − −

4 5

m.

5 2

2 1 5 2

20 4 2

− = + − −

x x x

x _{n. 1}

2 2

− = + + x x

RESPUESTAS

a.

3 11 3

1

ó b. No hay solución c.

2 1 2 9

ó

d. ±2 e. ±1 ó ±9 f. 5 ó −3

g.

2

1 h. 0 ó ±1 _{i. 0 ó ±2 2}

j. −3 4 0 1 k. No hay solución

l. 2

29 3±

m. 2

26 1−

− n.

(

−∞,−2

) (

∪ −2,0

)

SOLUCIÓN DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

SECCIÓN 6.4 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN HASTA EJEM 21

EJEMPLO ADICIONAL 6

Encontrar el conjunto solución de

x

−

3

≥

2

Sobre la recta numérica determinamos el punto de referencia es decir

x

− = ⇔

3

0

x

=

3

, ubicado este punto sobre la recta numérica encontramos dos intervalos

(

−∞;3

)

y

(

3;∞

)

En éste intervalo

x

− <

3

0

por lo tanto:

3

3

x

−

= −

x

Lo que nos lleva a decir que se

tiene.

(

−∞;3

)

∈ ∀x

3

− ≥ ⇔ − ≥ − ⇔ ≤

x

2

x

1

x

1

Dada la condición de , el

conjunto solución es:

(

−∞;3

)

∈ ∀x

(

−∞

,1

]

En éste intervalo

x

− >

3

0

por lo cual

3

3

x

−

= −

x

, por lo tanto se tiene.

3

2

5

x

− ≥

⇔

x

≥

Dada l a condición ∀x∈

(

3;∞

)

, el conjunto solución es:

(

3;

∞

)

∩

[

5,

∞ =

)

[

5,

∞

)

C.S.:

(

−∞

,1

] [

∪

5,

∞

)

EJEMPLO ADICIONAL 7

Encontrar el conjunto solución de −x+3 ≤4

Haciendo análisis sobre la recta numérica.se determina el valor de x donde −x+3=0⇔ x =3, ubicado este punto sobre la recta numérica encontramos dos intervalos

(

−∞;3

)

y

(

3;∞

)

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

En éste intervalo −x+3>0 por lo tanto: 3

3 =− + +

−x x

Lo que nos lleva a decir que se

tiene:

(

−∞;3

)

∈ ∀x

1 1

4

3≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≥−

+

−x x x

Dada la condición de ∀ , el

conjunto solución es:

(

−∞;3

)

∈

x

(

−∞;3

)

∩

[

−1;∞

)

=

[

−1;3

)

En éste intervalo −x+3<0por lo cual

(

3

)

3 =− − + +

−x x , por lo tanto se tiene.

(

− +3

)

≤4 ⇔ − +3≥−4

− x x

7

7 ⇔ ≤

− ≥

−x x ,∀x∈

(

3;∞

)

, por lo

tanto el conjunto solución es:

(

3;∞

) (

∩ −∞;7

] [ ]

= 3;7

C.S.:

[

−1;3

)

∪

[ ] [

3;7 = −1;7

]

Trabajo previo SECCIÓN 6.4 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN DESDE EJEM 22 HASTA 24

EJEMPLO ADICIONAL 8

Encontrar el conjunto solución de 2x−3 >3x

En este caso no se puede hacer uso del teorema 7 puesto que 3 no es un real positivo para todo

valor de x. Qué podemos hacer para resolverlo? x

Haciendo un análisis sobre la recta numérica.Primero se determina el punto donde 2 , lo

que permite establecer dos intervalos

0 3= −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞− 2 3 ; ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _;∞ 2 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞− ∈ ∀ 2 3 ;

x se tiene que , por

lo tanto

0 3 2x− <

(

2 3

)

3

2x− = − x−

Por lo que la situación planteada equivale a resolver: −

(

2x−3

)

>3x

5 3 3 5 3 3

2 + > ⇔ − > − ⇔ <

− x x x x

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _∞ ∈ ∀ ; 2 3

x se tiene que , por lo

tanto

0 3 2x− >

3 2 3

2x− = x−

Por lo que la situación planteada equivale a resolver: 2x −3>3x

3 3

3 3

2x− > x ⇔ −x > ⇔ x <−

C.S. ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞− 5 3 5 3 2

3 _{; ;}

; ∩ C.S. ⎟

(

−∞−

)

=∅

⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ _{∞ 3}

2

3_{; ∩ ;}

C.S. ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞− = ∅ ⎟ ⎠ ⎞

⎝−∞ 5

3 5

3 _;

; ∪

⎜⎛

EJEMPLO ADICIONAL 9

Encontrar el conjunto solución de x 1 2 3x

3

2 _{− > −}

Haciendo un análisis sobre la recta numérica. Primero determinamos los puntos divisorios es decir

aquellos puntos donde 1 0

3

2_{x − = y 2−3x =0, al resolver estas ecuaciones se tiene que:}

3 2 y 2 3 ₌ = x

x , lo que permite establecer tres intervalos

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞− 3 2 , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 3 3

2_{; ⎟}

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _;∞ 2 3

En este intervalo 1 0

3

2_{x− < por lo}

tanto ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ − = − 1 3 2 1 3

2_{x x y}

por lo tanto

0 3 2− x >

x

x 2 3

3

2− = −

En este intervalo

0 1 3

2_{x− < por lo}

tanto ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ − = − 1 3 2 1 3

2_{x x}

y 2−3x <0por lo

tanto

(

x

)

x 2 3

3

2− =− −

En este intervalo 1 0

3

2_{x− > por}

lo tanto 1

3 2 1 3

2_{x− = x− y}

0 3

2− x < por lo tanto

(

x

)

x 2 3

3

2− = − −

De lo anterior el problema

planteado x 1 2 3x

3

2 _{− > − se}

convierte en

De lo anterior el problema planteado

x

x 1 2 3

3

2 _{− > −}

De lo anterior el problema

planteado x 1 2 3x

3

2 _{− > − se}

convierte en

-2 -1 1 2 3 4 5

x

x 1 2 3

3

2 _{⎟> −} ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ − x

x 1 2 3

3

2 _{− <− +}

1 2 3 3

2_{x− x <− +}

7 3 1

3

7 _{<− ⇔ >}

− x x

se convierte en

(

x

x 1 2 3

3

2 _{⎟>− −} ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ −

( x)

x 1 2 3

3

2 _{⎟< −}

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ 1 2 3 3

2_{x+ x < +}

3 3 11_{x <}

11 9 < x

(

x

)

x 1 2 3

3

2 _{− >− −}

1 2 3 3

2_{x− x >− +}

1 3 7 _>− − x

7 3 < x

C.S. ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞− 3 2 7 3 7 3 3

2 _{; ;}

, ∩ C.S. ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 11 9 3

2_; C.S. ∅

C.S. _⎝ ⎞_⎠⎟ ⎛_⎝⎜ ⎞_⎠⎟ ∅=⎛_⎝⎜ ⎞_⎠⎟ ⎛_⎝⎜ ⎞⎟_⎠ 11 9 3 2 3 2 7 3 11 9 3 2 3 2 7

3_{; ∪ ; ∪ ; ∪ ;}

⎜⎛

El conjunto solución de x 1 2 3x

3

2 _{− > − puede darse utilizando diferentes notaciones:}

En notación de intervalos: ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 11 9 3 2 3 2 7

3_{; ∪ ; ó}

{ }

3 2 11

9 7

3 _⎟−

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _;

En notación de inecuación compuesta

11 9 3 2 ó 3 2 7

3_{< x < < x <}

En representación gráfica:

1 2/3

3/7 9/11

0

EJEMPLO ADICIONAL 10

Encontrar el conjunto solución de 2x−6 ≥ 4−4x

Usando propiedades del valor absoluto se tiene:

x

x 6 4 4

2 − ≥ −

1 2 3 1 2 3 1 4 3

2 − ≥ − ⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ −

⇔ x x x x x x

Lo que en términos de distancia significa “ los números reales cuya distancia a 3 es mayor o igual al doble de la distancia a 1”

En este intervalo x−3<0 y

0 1< − x

Por lo tanto

En este intervalo

0 3< −

x y x−1>0

Por lo tanto

En este intervalo

0 3> −

x y x−1>0

Por lo tanto

1 2 3

⇔ − ≥ −3 2x 1

x

(

−

)

≥−

(

−

)

⇔ − x 3 2 x 1

(

1

)

2

3≤ −

− x

x

2 3

2 ≤ −

− x x

1

1 ⇔ ≥ −

≤

−x x

⇔ − ≥ −3 2x 1

x

(

−

)

≥

(

−

)

⇔ − x 3 2 x 1

⇔ − ≥ +

−x 3 2x 2

3 5 5

3 ≥− ⇔ ≤

− x x

⇔ − ≥ −3 2x 1

x

⇔ − ≥ −3 2x 2

x

⇔ + − ≥ −2x 2 3

x

1 − ≤ x

C.S.

(

−∞;1

] [

∩ −1;∞

)

=

[

−1;1

]

C.S.

[ ]

_⎥⎦⎤ ⎢⎣ ⎡ = ⎥⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ ∞− 3 5 1 3 5 3

1; ∩ ; ;

C.S.

[

3;∞

) (

∩ −∞;−1

]

=∅

C.S.

[

−

]

_⎢⎣⎡ _⎥⎦⎤= _⎢⎣⎡− _⎥⎦⎤ 3 5 1 3 5 1 1

1; ∪ ; ;

El conjunto solución representado en la recta numérica es:

-1 1 2 3

5/3

0

EJERCICIOS

1. Encontrar la solución de las siguientes inecuaciones:

a. 7−3x >2 b. 3x−4−2≤0

c. 3 4 3 2 y 2

4= − >

+ x x

d. 2x−3>4

e. 1 2

3 2 _{− ≥}

x f. 2

3 2_≤

− x

g. 3< x+5 h. x−3=5 y x >2 _{i. ( 3) 5}

2− x+ ≤

x

j. x−1≤2 y 2−x ≤2 k. x+1≥4 y x−1>1

l. 1≤ x+2≤2 ó −1 <0

x x

m. 0

2<

+ x

x

n. 3x+1>1,7 o. 0

3 1 _>

− x

p. −7x−3>5,1 q. 3x+3−5x >4 r. 3x−5<1−4x

s. x−7 >4x+7 t. 8−x ≥2x+1 u. 2x−3≤7−x+1

v.

2 1 2 7

4x+ +−x− > w. 2x+1≤3+x−3

RESPUESTAS

a. ⎟

( )

∞

⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ ∞− 3,

3 5

, ∪ b.

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 2 , 3

2 c. x=−2 ó x=−6

d. ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_−∞− , 2 7 2 1

, ∪ e. ⎟

⎠ ⎞ ⎢⎣ ⎡ _∞ ⎥⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛_−∞− , 2 9 2 3

, ∪ f.

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− 3 8 , 3 4

j.

[ ]

0,3 k.

(

−∞,−5

] [

∪ 3,∞

)

l.

(

−∞,0

)

m.

(

−∞,−2

)

n. ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ _∞

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛_−∞−

, 30

7 10

9

, ∪ o. ℜ−

{ }

3

p. ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ _∞

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛_−∞−

, 70 21 70 81

, ∪ q. ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ _∞

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ ∞− ,

8 7 2 1

, ∪ r.

(

)

⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞ −

3 5 , 7 6 4

, ∪

s. ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛− ,0

3

14 t. u.

EJERCICIOS DE REPASO

1. Encuentre el valor de m y n para que el conjunto de números reales que satisface

n m x− ≤

3 tenga la siguiente representación gráfica:

2/3

-10/3

2. Para qué valores de p la inecuación 7 3 2

3x_{− ≤p− no tiene solución?} 3. Encontrar el conjunto solución.

a. x+4 ≤3x−8 b. 3x−4 −2≤0 c. 7x−1 =2

d. −2x+3 <2 e. 3≥ x f. −4x+5 >1

g. 2x−8 =12 y x-2 <8 h. x−1≤2 y 2−x ≤2 i. x+1≥4 y x−1>1

j. 1≤ x+2≤2 k. 3x− −5 x+ ≤4 2

l. ( 3) 5

2− x+ ≤

x

m. −6 − −4 n. −1− 1− −1

4. A partir de su representación en la recta numérica determine los valores que satisfacen la

situación planteada. Indique la solución gráficamente, en notación de intervalo y en notación de desigualdad, y, exprese en palabras la situación.

a.

2 3 2 _≤

−

x b. 3< x+5 c. x−3 =5 y x >2

5. Escriba en notación de intervalo x−2 , si

x

>

2

6. Los valores de x que cumplen con x= x

7. Los valores de x que cumplen con x< x

8. Completar

a. Si a>0, entonces, −a = b. Si b<0, entonces, −b = c. La distancia entre −9 y 5 es:

d. El conjunto de todos los reales tales que x−2 = 2−x es 9. Complete la tabla siguiente:

X y x y xy x y

y x

y

x x+y x + y

-5 5

-1

10. Simplifique x−y − y−x

11. Cada desigualdad de la izquierda tiene como conjunto solución una de las expresiones de la

derecha. Determinar los pares correspondientes, en la siguiente tabla.

1 2 3

1 − x <

a b1 −5≤x <5

(

x

)

x

a₂ 2 1− >−2 b₂ x<7

35 20 3 5

3 − ≥− x− >−

a b₃ x >2

5 3 2 5 67

4 < x−

a b₄ 1< x <2

5 1

5 x+ > x −

a b₆ ℜ

12. Que podemos decir de z, si, zz<0

13. Demuestre que (2x−1)−3 =2x−2 y exprese en palabras el significado de la igualdad.

14. En qué caso es 1−x igual a 1 - x ? En qué caso es igual a x - 1?

15. Encontrar la solución de:

a.

(

1−x

)

2x−9 >−5 b. 4−x

(

x−1

)

≤4 c.

( )

x − x +1 >−2 d. x2+3x+2≤4 e. 2x2−3x−2≤3

f. x2−6x+10 <2 g. 23−5x−2x2 >19−3x h. 14+6x−4x2 ≥4x2−6

i. 4x2+4x−11≥9−2x−4x2 j. x2+3x+2 ≤4 _{k. 2} 1 3

4 3

≤ − + x x

l. 2

1 1 3 _<

+− x

x _m.

3 2 1 5

7 _>

+ − x

x _{n. 4}

2 2

3 _≥

+ − x

x

o. 3

1 1 2

≤ −

+ x x

p.

17 5 1 10

7

> − + x

x _q.

(

_x−₂

)

_x+₁ >−₂

RESPUESTAS

1. m=−4 y n=6 2. p<3

3.

a.

[

6,∞

)

b.

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡

2 , 3 2

c.

7 1 7

3 ₋

ó

d. ℜ e.

[ ]

−3,3 f. No hay solución

g. −2 h.

[ ]

0,3 i.

(

−∞,−5

] [

∪ 3,∞

)

j.

[

−4,−3

] [

∪ −1,0

]

k.

⎥⎦ ⎤ ⎜

⎝ ⎛−

2 11 , 4

1 l.

[

−2,18

]

m. 2 n. −3

a.

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−

3 7 , 3

4 b.

(

−∞,−8

) (

∪ −2,∞

)

c. x=8

5.

( )

0,∞ 6.

[

0,∞

)

7.

(

−∞,0

)

8.

a. a b. −b c. 14 d. ℜ

9.

X Y x y xy x y

y x

y

x x+y x + y

-5 5 5 5 25 25 1 1 0 10

-1

2

3 1

2 3

2 3

3 2

3 2

2 1

2 5 2

3

10. 0

11.

,

,

,

,

4 1 con b a

6 2 con b a

1 3 con b a

2 4 con b a

3 5 con b a

12. z<0

13.

14.

Si

1−x≥0

y cuando

1−x<0

15.

a. b.

c. d. e.

f. g. h.

i. j. k.

l. m. n.