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JEAN VAN HEIJENOORT
LÓGICA COMO CÁLCULO Y LÓGICA COMO LENGUAJE
†Respondiendo las críticas hechas por Schröder a la Begriffsschrift, Frege dice que, a
diferencia de la lógica de Boole, su lógica no pretende ser un calculus ratiocinator, o no
sólo un calculus ratiocinator, sino una lingua characterica1 . Si llegamos a comprender qué
es lo que Frege quiere decir con esta oposición, ganaremos una muy útil aproximación a la historia de la lógica.
Antes de comenzar esta tarea, me gustaría reseñar, o simplemente enumerar, las contribuciones de Frege a la lógica en virtud de proveer el trasfondo apropiado para nuestra discusión. Estas contribuciones son:
(1) El cálculo proposicional, con las definiciones veritativo-funcionales de los
conectores, sobre todo del condicional;
(2) La descomposición de la proposición en función y argumento(s), más que en
sujeto y predicado;
(3) La teoría de la cuantificación, basada en un sistema de axiomas y reglas de
inferencia;
(4) Definición de secuencia infinita y número natural por medio de términos
exclusivamente lógicos.
Además de estos cuatro descubrimientos, dos puntos más deben ser mencionados:
(a) Frege fue el primero en presentar con toda la adecuación necesaria, una
noción cardinal del pensamiento moderno, la de sistema formal;
(b) La filosofía de Frege es analítica, en el sentido de que la lógica tiene un
control constante sobre las investigaciones filosóficas, esto significó un claro quiebre con el pasado, especialmente en Alemania, habiendo Frege influenciado a filósofos tan diferentes como Russell, Wittgenstein y Austin.
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JEAN VAN HEIJENOORT. Logic as calculus and logic as language, Synthese, 17, Issue 1 (1967) pp. 324-330.
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La oposición entre calculus ratiocinator y lingua characterica tiene varios aspectos
diferentes pero conectados. Estos variados aspectos, que la mayoría de las veces no son establecidas por Frege, tienen que ser extraídos por medio de un estudio de su obra. De los escritos de Frege surge una cierta imagen de la lógica, una concepción que si bien no es explicitada, guía constantemente el trabajo de Frege. Me referiré a esta concepción como la
universalidad de la lógica.
Esta universalidad de la lingua characterica de Frege es, antes que nada, la
universalidad del vocabulario de la teoría de la cuantificación del que el cálculo
proposicional carece. Frege llama frecuentemente a la lógica de Boole “lógica abstracta”2
, y lo que quiere decir con esto es que en ésta lógica la proposición queda sin analizar. La proposición es reducida a su mero valor de verdad. Con la introducción de las letras de predicado, variables y cuantificadores, la proposición deviene articulada y puede, así, expresar un significado. La nueva notación permite una reescritura simbólica de porciones enteras del conocimiento científico, quizás de todo, tarea que va más allá del reino del
cálculo proposicional. Ahora tenemos una lingua, y no sólo un cálculo. La lógica de Boole,
que no puede ser catalogada como lingua, concentra el estudio, en lenguaje natural, sólo de
las relaciones algebraicas de las proposiciones. Este estudio es llevado a cabo en lenguaje natural y es comparable con varias ramas de la matemática como teoría de grupos. En el sistema de Frege el cálculo proposicional subsiste embebido en la teoría de la
cuantificación; la oposición entre lingua y calculus, en este sentido, no exclusiva, y ésta es
la razón de por qué Frege escribe que su propia lógica no es meramente un calculus
ratiocinator3.
Sin embargo, la oposición entre calculus ratiocinator y lingua characterica va mucho
más allá de la distinción entre calculo proposicional y teoría de la cuantificación. La universalidad de la lógica expresa por sí misma una característica importante del sistema de Frege. En ese sistema los cuantificadores ligan variables que ranguean sobre todos los objetos. Como es bien sabido, para Frege el mobiliario ontológico del universo se divide en objetos y funciones. Boole tiene su clase de universo, y De Morgan su universo de discurso denotado por ‘1’. Pero esto no tiene ninguna implicación ontológica. El universo puede ser cambiado. El universo de discurso comprende sólo lo que acordamos considerar en cierto momento, en cierto contexto. Para Frege no puede haber una cuestión de cambios de
2
Ver, por ejemplo, el comentario de Frege sobre Boole en Über den Zweck der Begriffsschrift (referido en la nota al pie 1), pp. 1-2.
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universos; ni siquiera se puede decir que él se limita a un universo. Su universo es el
universo; no necesariamente el universo físico, claro está, porque algunos objetos no son físicos. El universo de Frege consiste en todo lo que hay y éste es fijo.
Esta concepción tiene varias consecuencias para la lógica. Una de ellas es, por ejemplo, que las funciones (y los conceptos, como un caso especial de éstas) debe ser definida para todos los objetos. Para tomar un ejemplo, la función ‘+’ es definida no sólo para los números naturales, sino también, para, digamos, la luna y 1. Lo que sea el valor de la función para ese caso es irrelevante aquí, pero este valor debe existir para todo conjunto de argumentos escogido de entre los objetos. Cuando Frege tiene que lidiar con un dominio de objetos especial, los números naturales en la aritmética por ejemplo, él usa dispositivos que son de hecho equivalentes al método de relativización de los cuantificadores.
Otra consecuencia importante de la universalidad de la lógica es que nada puede ser, o tiene que ser, dicho fuera del sistema. Y de hecho, Frege nunca plantea cuestiones meta-sistemáticas (consistencia, independencia de los axiomas, completitud). En realidad, Frege es plenamente consciente de que cualquier sistema formal requiere reglas que no son expresadas en el sistema; pero estas reglas están vacías de cualquier lógica intuitiva; éstas
son “reglas para el uso de nuestros signos”4
. En una manipulación de signos así, de la que cualquier lógica argumentativa ha sido extraída, Frege ve precisamente la ventaja de un sistema formal.
Dado que la lógica es un lenguaje, ese lenguaje debe ser aprendido. Como muchos lenguajes en varias circunstancias, el lenguaje debe ser aprendido por medio de pistas y sugerencias. Frege sostiene en reiteradas ocasiones, cuando introduce su sistema, que él
está dando “pistas” al lector que éste tiene que cumplir [that the reader has to meet him
halfway and should not begrudge him a share of 'good will']. El problema es llevar al lector
a “capturar” que él tiene que entrar en el lenguaje.5
En Principia Mathematica algunos aspectos de la universalidad de la lógica son modificados –por la introducción de los tipos. Los cuantificadores ahora ranguean sobre tipos estratificados. Pero dentro de un tipo no existe la restricción a un dominio en particular, y en ese sentido el dominio es preservado. Tenemos un universo estratificado,
pero tenemos nuevamente el universo, no un universo que podemos cambiar a voluntad.
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Begriffsschrift, § 13. 5
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Cuestiones acerca del sistema están ausentes en Principia Mathematica como también lo
están en el trabajo de Frege. Las nociones semánticas son desconocidas, ‘⊦’ es leído como
“… es verdadero”, y Russell no podía haber llegado a añadir a la noción de demostrabilidad una noción de validez basada en la teoría intuitiva de conjuntos. Al comienzo de su artículo de 1930 sobre la teoría de la cuantificación Gödel describe los axiomas y las reglas de
inferencia de Principia Mathematica y luego agrega: “por supuesto que, ante un
procedimiento así surge a la vez la pregunta por la completitud del sistema de axiomas y
principios de inferencia, es decir, si éstos son suficientes para poder derivar todas las
proposiciones lógico-matemáticamente verdaderas; o si tal vez haya proposiciones verdaderas (que podrían ser demostradas por medio de otros principios) de las que sea
concebible pensar que no son derivables en el sistema en cuestión.”6
(Énfasis mío en ambos casos.) Gödel escribió estas líneas veinte años después de de que el primer volumen de
Principia fuera publicado. Si la cuestión de la completitud semántica de la teoría cuantificacional no surge “a la vez” es gracias a la universalidad –en el sentido que he expuesto– de la lógica de Frege y Russell. El lenguaje formal universal suplanta al lenguaje natural, preservar fuera del sistema, una noción de validez basada en la teoría intuitiva de conjuntos, no parece encajar en la reconstrucción científica del lenguaje. La única cuestión acerca de la completitud que puede surgir es, para usar una expresión de Herbrand, una
interrogante experimental. Se derivan todos los teoremas que sea posible derivar; ¿podemos
agotar todos los modos intuitivamente válidos de razonar que actualmente son usados en ciencia? Responder a esta pregunta es el fin del proyecto Frege-Russell, al cual debemos
añadir, en virtud de sus deficiencias, la obra de Peano. Los Begriffsschrift, Die Grundlagen
der Arithmetik, los dos volúmenes de Grundgesetze der Arithmetik, Arithmetices Principia,
las varias ediciones de Formulaire de mathdmatiques, The Principles of Mathematics, y los
tres volúmenes de Principia Mathematica –todas estas obras pueden ser consideradas como
un paso en el siempre renovado intento de establecer experimentalmente la completitud. En 1915 Löwenheim publicó un artículo que contiene varios aspectos novedosos. El sistema en el que Löwenheim está interesado la mayor parte del tiempo es el cálculo de primer orden con identidad. Él no tiene ningún axioma o regla de inferencia; su lógica se basa en la teoría intuitiva de conjuntos, y la noción de demostrabilidad es suplantada por la de validez. Mientras que la aproximación de Frege y Russell a los fundamentos de la lógica
puede ser denominada axiomática7, mientras que la aproximación de Löwenheim puede ser
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Kurt Gödel, “Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls”, Monatshefte für Mathematik und Physik 37, 349-360. Traducción inglesa realizada por Stefan Bauer-Mengelberg en J. van Heijenoort, From Frege to Gödel. A Saurce Book in Mathematical Logic, Harvard University Press, Cambridge Mass., 1967.
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llamada teórico-modélica. Si seguimos esta aproximación, cuestiones acerca de la validez
de las fórmulas bien formadas en dominios diferentes pasa al primer plano. El mismo título
del artículo, Über Möglichkeiten im Relativkalkül, hace referencia a este punto: si una
formula es válida en un dominio, ésta puede ser o no ser válida en otro dominio. Por ejemplo, para el fragmento singular del cálculo de predicados de primer orden, si una
formula bien formada que contiene la ocurrencia de un número k de distintas letras de
predicado es válida en un dominio de 2k elementos, entonces es válida en todo dominio. O
tómese el famoso teorema de Löwenheim: si una formula bien formada es válida en un
dominio numerable, entonces es válida en todo dominio8. Varias instancias del problema de
decisión y el problema de reducción son tratados por medio de métodos semánticos: a partir de la validez de una formula bien formada en un dominio, podemos, por medio de un argumento, la validez de alguna otra fórmula relacionada en el mismo dominio, o la validez de la misma fórmula en algún otro dominio.
Estos métodos y estos resultados están completamente ausentes en el enfoque lógico de Frege y Russell. Tan sorprendente que es sorprendente cómo Löwenheim llegó a pensar en su teorema; la explicación podría ser la siguiente: a partir del resultado mencionado en el párrafo anterior acerca del fragmento singular del cálculo de predicados de primer orden se sigue que, si una fórmula bien formada perteneciente a ese fragmento es válida en un dominio finito, entonces es válida. Esto no vale para el cálculo en general. De hecho, Löwenheim era consciente de que había fórmulas de ese cálculo que siendo válidas en todo dominio finito, no lo eran en todo dominio. En este momento –dado que en el caso singular, la validez finita conduce a la validez– es natural preguntarse: ¿si una fórmula bien formada es válida en un dominio numerable, es válida en todo dominio? La respuesta es que sí, y éste es el teorema de Löwenheim.
Con el artículo de Löwenheim tenemos un marcado quiebre con respecto a la aproximación Frege-Russel a los fundamentos de la lógica, y un retorno, o al menos una conexión, con la lógica pre o no fregeana. Löwenheim utiliza la notación lógica de Schröder, pero lo que es más importante, con Schröder él también incorpora la posibilidad de cambiar el universo de discurso a voluntad y basar sus consideraciones en estos cambios. Y de la misma forma en que Frege fue ignorado en su tiempo debido a su ruptura con la tradición, Löwenheim también lo fue por su ruptura con la nueva tradición establecida. A la sombra de la aproximación Frege-Russell, Löwenheim renovó el contacto con Boole y Schröder, a la vez que realizó sus propias contribuciones a la lógica.
La primera reacción al artículo de Löwenheim fue un artículo de Skolem de 19209, que
continua con la aproximación conjuntística a la lógica. Sin embargo, poco después, la oposición entre ambas aproximaciones es disuelta. Durante los años veinte, los trabajos de
Skolem, Herbrand y Gödel produjeron una aleación y también una dèpassemen de estas dos
aproximaciones. Concretamente, el trabajo de Herbrand puede ser visto como estableciendo, junto a la aproximación axiomática y conjuntística a los fundamentos de al lógica, un tercer enfoque, el de las expansiones de Herbrand; pero esa es otra historia.
Permítaseme decir simplemente, a modo de conclusión que la Begriffsschrift (1879), el
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Por mor de la simplicidad tomo la formulación del teorema para la teoría de la cuantificación sin identidad. 9
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artículo de Löwenheim (1915), y el capítulo 5 de la tesis de Herbrand (1929) son las tres piedras angulares de la lógica moderna.
Brandeis University
