Ejercicios Resueltos Integrales de Linea

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Texto completo

(1)

Universidad de Santiago de Chile Autores: Miguel Martínez Concha

Facultad de Ciencia Carlos Silva Cornejo

Departamento de Matemática y CC Emilio Villalobos Marín

1

Integrales de Línea

1.1

Problemas

Calcular la integral de trayectoria

Z

!r

x3

y ds;donde!r es la trayectoriay= x2

2 entre los puntos(0;0)y(2;2):

Solución

Primero, determinemos la ecuación paramétrica de la trayectoria

x= t

y= t 2

2

9 =

; t2[0;2] () !r (t) = t;

t2

2

Derivando la expresión anterior, queda

!r0(t) = (1; t) =) k!r0(t)k=p1 +t2 Además

f(x; y) =x 3

y =) f(!r (t)) = 2t

A partir de la de…nición de integral de trayectoria tenemos

Z

!r

x3

y ds =

Z 2

0

2tp1 +t2dt

= 2

3 1 +t 2 3=2

2

0

= 2 3

p

75 1

1.2

Problema

Dada la función escalar f(x; y) = 2xy; calcular la integral de trayectoria a lo

largo de la curva elipse x 2

9 +

y2

4 = 1desde el punto(3;0) hasta(0;2).

Solución

Observemos que!r es el segmento de elipse que está en el primer cuadrante.Entonces al parametrizar la curva queda

x= 3 cost

y= 2sent t2 0; 2 () !r (t) = (3 cost;2sent) Derivando la trayectoria

!r0(t) = ( 3 sint;2 cost) () k!r0(t)k=p5sen2t+ 4 Calculemos la función escalarf sobre la trayectoria

f(x; y) = 2xy =) f(x(t); y(t)) = 6 costsent

(2)

Z

!r

2xyds =

Z =2

0

12 costsentp5sen2t+ 4dt

= 4

5 5sen

2t+ 4 3=2

=2

0

= 76 5

1.3

Problema

Calcular la integral de línea

Z

!r xydx+x

2dy;donde!r es la trayectoria

x2+ 4y2= 4; x >0:

Solución

Primero, escribamos la ecuación paramétrica de la trayectoria orientada positivamente

x= 2 cost

y= sent t2 2;2 =) !r (t) = (2 cost; sent)

!

F(x; y) = xy; x2 =) F!(x(t); y(t)) = 2 costsent;(2 cost)2

Determinemos el vector!r0 = ( 2sent;cost)

Calculemos la integral

Z

!r xydx+x

2dy = Z

=2

=2

2 costsent;(2 cost)2 ( 2sent;cost)dt

=

Z =2

=2

( 4sen2tcost+ 4 cos3t)dt

=

Z =2

=2

( 8sen2tcost+ 4 cost)dt

= 8

3sen

3t+ 4sent 2

2

= 8 3

1.4

Problema

Calcular la integral de línea

Z

!r

y2dx+xdy;donde!r es la trayectoria

y2= 2x x2; tal quex >1; y >0:

Solución

Observemos que!r es el segmento de circunferencia:

(3)

Entonces:

x= 1 + cost

y= sent t2 0;2 =) !r (t) = (1 + cost; sent) =) !r0(t) = ( sent;cost)

Calculemos el campo vectorial!F sobre la trayectoria

!

F(x; y) = y2; x =) F!(x(t); y(t)) = sen2t;1 + cost Calculemos la integral

Z

!r y

2dx+xdy = Z =2 0

sen3t+ cos2t+ cost dt

=

Z =2

0

1 cos2t sent+ (1 + cos 2t

2 ) + cost dt

= cost+cos 3t

3 +

t

2+

sen2t

4 +sent

=2

0

= 1 1

3+ 4 + 1

= 5 3 +4

1.5

Problema

Calcular la integral de línea

Z

!r(8x+z)dx+ 2xz

2dy 4y2dz;siendo!r la curva

de…nida por las ecuaciones: z= 9 2x2 4y2; z= 1:

Solución

Observemos, que la curva contenida en el planoz= 1, es la elipse 2x2+ 4y2= 8;con semi ejesa= 2 yb=p2;que se parametriza mediante.

x= 2 cost y= p2sent z= 1

9 =

; t2[0;2 ] =) !r (t) = 2 cost;

p

2sent;1 t2[0;2 ]

Calculemos el campo vectorial!F sobre la trayectoria

!

F(x; y; z) = 8x+z;2xz2; 4y2 =) F!(x(t); y(t)) = (16 cost+ 1;4 cos 1t;1) Evaluemos el vector

!r0(t) = 2sent;p2 cost;0 luego, obtenemos

!

F(x(t); y(t)) !r0(t) = (16 cost+ 1;4 cost;1) 2sent;p2 cost;0

Entonces la integral de línea es

Z

!r

(8x+z)dx+ 2xz2dy 4y2dz=

Z 2

0

(4)

= 16sen2t+ 2 cost 20 + 4p2

Z 2

0

1 + cos 2t

2 dt

= 4p2 t 2+

sen2t

4 2

0

= 4p2

1.6

Problema

Calcular el trabajo producido por campo de fuerzas dado por!F = (3x+4y;2x+ 3y2);a lo largo de la circunferencia C de radio 2 centrada en el origen y recorrida con orientación positiva

Solución

De…nimos el trabajo mediante la integral de línea

Z

!r

!F d!r =Z b

a

!F(!r (t)) !r0(t)dt

Luego, parametrizando la trayectoria tenemos:

!r(t) = (2cost;2sent); t2[0;2 ]:

=) !r0(t) = ( 2sent;2 cost)

Reemplazando el integrando, queda

W =

I

(3x+ 4y;2x+ 3y2;0) (dx; dy; dz)

=

Z 2

0

(6cost+ 8sent;4cost+ 12sen2t;0) ( 2sent;2cost;0)dt

=

Z 2

0

[ 16sen2t+ 8cos2t]dt

= 16 + 8 = 8 :

Trabajo negativo signi…ca que el campo de fuerza disipa energía.

2

Campo conservativo

2.1

Problemas

Sea el campo vectorial!F :IR3!IR3dado por!F(x; y; z) = (x; y; z):Calcular la integral

Z

!r

!F d!r

(5)

b) Si C es la recta que uneP = (1;0;0)conQ= (1;0;4):

c) Si C es la helicoide!r(t) = (cos(4 t); sen(4 t);4t); t2[0;1]que une

P = (1;0;0)conQ= (1;0;4):

Solución

a) Las ecuación paramétrica de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen y recorrida en sentido positivo, es

!r (t) = (2 cost;2sent;0) t2[0;2 ] =) !r0(t) = ( 2sent;2 cost;0)

Entonces, la integral de linea queda

Z

!r

!F d!r = Z

!r(x; y; z) (dx; dy; dz)

=

Z 2

0

(2 cost; 2sent;0) ( 2sent;2 cots;0)dt

=

Z 2

0

8 costsentdt= 0

b) La ecuación paramétrica de la recta que uneP = (1;0;0)conQ= (1;0;4) es:

!r (t) =!P + (!Q !P)t=t(1;0;4)t2[0;1] =) !r0(t) = (1;0;4):

Entonces

Z

!r

!

F d!r =

Z 1

0

(t;0;4t) (1;0;4)dt

=

Z 1

0

16tdt= 8t2 10= 8

c) A partir de la ecuación de la helicoide se obtiene

!r0(t) = ( 4 sen(4 t);4 cos(4 t);4)

Sustituyendo términos en el integrando, queda

Z

!r

!F d!r = Z 1

0

(cos(4 t); sen(4 t);4t) ( 4 sen(4 t);4 cos(4 t);4)dt

=

Z 1

0

( 8 sen(4 t) cos(4 t) + 4t)dt

=

Z 1

0

16tdt= 8t2 10= 8

(6)

2.2

Problema

Calcular la integral

Z

!r 2xcosydx x

2senydy;donde!r : [1;2]!IR2de…nida

por!r (t) = et 1; sen

t :

Solución.

Determinemos si el campo vectorial es conservativo, de modo que calculamos

r !F =

i j k

@ @x

@ @y

@ @z

2xcosy x2seny 0

= (0;0;0)

Como hallamos quer !F =!0;entonces!F tiene una función potencial (x; y)tal que

@

@x (x; y) = 2xcosy @

@y (x; y) = x

2seny

9 > = > ;

Integrando la primera ecuación parcialmente con respecto a x, se tiene

(x; y) =x2cosy+h(y) =) @

@y (x; y) = x

2seny+h0

(y) = x2seny

h0(y) = 0 () h(y) =c

En consecuencia, la función potencial (x; y)para!F (x; y)es

(x; y) =x2cosy+c

Entonces , podemos a…rmar que

Z

!r 2xcosydx x

2senydy =

Z

!r r d

!r

= (!r (2)) (!r (1))

donde

(!r (2)) = e; sen

2 =e 2+c

(!r (1)) = (1; sen ) = 1 +c

Por tanto. obtenemos:

Z

!r 2xcosydx x

(7)

2.3

Problema.

Considere el campo vectorial!F (x; y; z)enIR3 de…nido por :

!F (x; y; z) = yz

1 +x2y2z2;

xz

1 +x2y2z2;

xy

1 +x2y2z2

Evaluar

Z

!r

yzdx+xzdy+xydx

1 +x2y2z2 ;donde!r es: a) el segmento rectílineo entre(0;0;0)y(1;1;1):

b) la instersección dex2+y2+ (z 1)2= 1; conx2+y2+z2= 1:

Solución

Se tiene que las componentes del campo vectorial son continuas

8(x; y; z)2IR3

Primero, veri…quemos si el campo vectorial es conservativo o no.

r !F =

i j k

@ @x

@ @y

@ @z yz

1 +x2y2z2

xz

1 +x2y2z2

xy

1 +x2y2z2

= (0;0;0)

Puesto que

@ @y

xy

1 +x2y2z2 =

@ @z

xz

1 +x2y2z2;

@ @z

yz

1 +x2y2z2 =

@ @x

xy

1 +x2y2z2;etc. = (0;0;0)

Como hallamos quer !F =!0;entonces!F tiene una función potencial (x; y)tal que:

@

@x (x; y) =

yz

1 +x2y2z2

@

@y (x; y) =

xz

1 +x2y2z2

@

@z (x; y) =

xy

1 +x2y2z2

9 > > > > > = > > > > > ;

Integrando la primera ecuación parcialmente con respecto a x, se tiene

(x; y) = arctg(xyx) +h(y; z) =)

@

@y (x; y) =

xz

1 +x2y2z2 +h

0

(y; z) = xz 1 +x2y2z2

h0(y; z) = 0 () h(y; z) =g(x)

En consecuencia, la función potencial (x; y)para!F (x; y)es

(x; y) = arctg(xyx) +g(z) =) (x; y) = xy

1 +x2y2z2 +g

0

(x) = xy 1 +x2y2z2

(8)

Entonces , podemos concluir que

(x; y) =arctg(xyx) +c

En este caso hallamos , que el valor de la integral

Z

!r

yzdx+xzdy+xydx

1 +x2y2z2 =

Z

!r r d

!r = (1;1;1) (0;0;0)

= arctg(1) arctg(0)

= 4

Si!r es la intersección de dos esferas la curva resultante es cerrada, en

consecuencia

Z

!r

yzdx+xzdy+xydx

1 +x2y2z2 =

Z

!r r

d!r = 0

3

Teorema de Green

3.1

Problema

Veri…car el teorema de Green para el campo vectorial!F(x; y; z) = 2(x2+y2);(x+y)2 ;donde las curvas frontera de la región D corresponden al contorno del triángulo con

vértices en los puntos(1;1);(2;2);y(1;3)orientado positivamente.

Solución

Como el campo vectorial!F (x; y)es de clase C1;y la región Dconexa, entonces el teorema de Green a…ma que:

Z

C

P dx + Qdy=

Z Z

D

@ @xQ

@

@yP dxdy

Identi…cando términos, tenemos que

P(x; y) = 2(x2+y2) =) @P

@y = 4y

Q(x; y) = (x+y)2 =) @Q

@x = 2(x+y)

Entonces calculemos

ZZ

D

@Q @x

@P

@y dxdy=

ZZ

D

2 (x y)dxdy

(9)

ZZ

D

2 (x y)dxdy =

Z 2

1

Z 4 x

x

2 (x y)dydx

=

Z 2

1

xy y

2

2 4 x

x

dx

=

Z 2

1

2x(4 x) (4 x)2 2x2+x2 dx

= 4

Z 2

1

(x 2)2dx= 4

"

(x 2)3 3

#2

1

= 4

3

Calculemos directamente la integral de línea, segmentando la frontera en tres curvas:

Z

C

P dx + Qdy =

Z

C1

P dx + Qdy+

Z

C2

P dx + Qdy

+

Z

C3

P dx + Qdy

Parametricemos los segmentos de curvas que unen los puntos(1;1)y(2;2) ; (2;2)y(1;3) ; (1;3) y(1;1)

(1,1)

(2,2) (1,3)

x y

SeaC1 la rectay=x; 1 x 2 =) !r (t) = (t; t); t2[1;2] =) !r0(t) = (1;1); t2[1;2]entonces:

Z

C1

2(x2+y2)dx + (x+y)2dy =

Z 2

1

h

2 t2+t2 + (2t)2idt

=

Z 2

1

8t2dt= 8 t 3

3 2

1

(10)

SeaC2 la rectay= 4 x; 1 x 2 =) !r (t) = (4 t; t); t2[2;3] =) !r0(t) = ( 1;1); t2[2;3];entonces:

Z

C2

2(x2+y2)dx + (x+y)2dy =

Z 3

2

h

2 (4 t)2+t2 ( 1) + (4)2idt

=

Z 3

2

2 16 8t+ 2t2 + 16 dt

= 4

Z 3

2

t2 4t+ 4 dt= 4

Z 3

2

[t 2]2dt

= 4

"

(t 2)3 3

#3

2 = 4

3

SeaC3 la rectax= 1; 1 y 3 =) !r (t) = (1;3 t); t2[0;2] =) !r0(t) = (0; 1); t2[0;2];entonces:

Z

C3

2(x2+y2)dx + (x+y)2dy =

Z 2

0

(4 t)2( 1)dt

=

"

(4 t)3 3

#2

0 = 8

3 64

3 = 56

3

Por lo tanto, al sumar los tres términos tenemos:

Z

C

2(x2+y2)dx + (x+y)2dy=56 3

4 3

56 3 =

4 3

Lo que muestra la validez de la formula del teorema de Green.

3.2

Problema

Veri…car el teorema de Green para

I

C

x2ydx+xy2dy;donde C es la frontera de

la region R en el primer cuadrante, limitada por las grá…cas dey=x; y3=x2:

Solución.

Primero, calculemos la integral de línea considerando la orientación positiva de la frontera, dividiendola en dos segmentosC1 y=x yC2 y3=x2: Determinemos los puntos que se intersectan ambas curvas:

y= x

(11)

R= (x; y)2IR2=0 x 1; x y x2=3

Parametrizando el segmento de curvaC1tenemos:

C1:!r1(t) = (t; t); t2[0;1] =) !r01(t) = (1;1) Calculemos el campo vectorial sobre la curvaC1

!F(!r

1(t)) = t3; t3 =)

!F(!r

1(t)) !r01(t) = t3; t3 (1;1) = t3+t3 = 2t3 ParaC2 encontramos

C2:!r2(t) = 1 t;(1 t)2=3 ; t2[0;1] =) !r01(t) = 1; 2 3(1 t)

1=3

Luego, la función compuesta para el campo sobreC2 es:

!F(!r

2(t)) = (1 t)8=3;(1 t)7=3 =)

!

F(!r1(t)) !r01(t) = (1 t)8=3;(1 t)7=3 1; 2 3(1 t)

1=3

= (1 t)8=3 2 3(1 t)

2

Entonces la integral de línea queda

I

C

x2ydx+xy2dy =

Z 1

0 2t3dt

Z 1

0

((1 t)8=3+2 3(1 t)

2)dt

= t

4

4 +

3(1 t)11=3

11 +

2(1 t)3 9

11

0

= 1 4

3 11

2 9

= 1

198

Por otra parte el campo vectorial!F (x; y)de claseC1;es decir campo con-tinuo con primera derivada continua,de…nido en la regiónRconexa,acotado por una frontera cerrada, entonces podemos aplicar el teorema de Green que a…ma:

I

C

x2ydx+xy2dy=

Z Z

R

@ @x(x

2y) @

@y(xy

2) dxdy

(12)

Z Z

R

@ @x(x

2y) @

@y(xy

2) dxdy = Z 1 0

Z x2=3

x

y2 x2 dydx

= Z 1 0 y3 3 x 2y

x2=3

x dx = Z 1 0 x2 3 8x

8=3+2 3x 3 dx = x 3 9 3 11x

11=3+x4 6 1 0 = 1 9 3 11+ 1 6 = 1 198 Con esto,veri…camos el teorema de Green en este caso particular.

3.3

Problema

Calcule la integral

I

C

y

2x2+ 3y2dx+

x

2x2+ 3y2dya lo largo de la curva C for-mada por los lados del cuadrado con vértices en(1;1);( 1;1);( 1; 1);(1; 11):

Solución.

Claramente vemos que el campo vectorial!F(x; y)en la región acotada por

C no es continuo, con primeras derivadas parciales continuas en el origen (0;0):

Luego, vamos a excluir el origen de la región . Dado que la región envuelta por la curvaC;que excluye la singularidad, no es simplemente conexa, se tiene que:

Z

C

P dx+Qdy+

Z

C1

P dx+Qdy=

ZZ D @Q @x @P @y dxdy

donde la curvaC1es la elipse con ecuación2x2+ 3y2=r2;orientada en el sentido horario, con normal apuntando hacia fuera de la regiónD:

Por otra parte.

@Q @x =

3y2 2x2 (2x2+ 3y2)2

@P @y =

3y2 2x2 (2x2+ 3y2)2

9 > > = > > ;

=) @Q

@x @P

@y = 0

Entonces, tenemos

Z

C

P dx+Qdy+

Z

C1

P dx+Qdy=

ZZ

D

@Q @x

@P

@y dxdy= 0

=)

Z

C

P dx+Qdy=

Z

C1

P dx+Qdy

=)

Z

C

P dx+Qdy=

Z

C1

(13)

ParametrizandoC1 como !r (t) = pr 2cost;

r

p

3sent con 0 t 2 Se obtiene

Z

C1

P dx+Qdy =

Z 2

0

rsent

p

3r2

r

p

2sent +

r

p

2r2cost

r

p

3cost dt

= p1

6(2 )

=

r

2 3

Por lo tanto, la integral

Z

C

P dx+Qdy=

r

2 3

3.4

Problema

Sea C una curva cerrada simple que encierra una región

D= (x; y)2IR2=x

2

4 +

y2

5 = 1

:Calcular el área del interior de la elipse usando el teorema de Green.

Solución.

A partir del teorema de Green tenemos

A(D) =1 2

I

C

xdy ydx

Parametricemos la ecuación de la elipse , mediante

!r(t) = (2cos(t);p5sen(t));0 t 2 :

Entoncesx(t) = 2cos(t); y(t) =p5sen(t), luego

dx= 2sen(t); dy(t) =p5 cos(t) Reemplazando términos en el integrando

1 2

I

C

xdy ydx = 1 2

Z 2

0

(2p5cos2(t) + 2p5sen2(t))dt

= p5

Z 2

0

dt

(14)

3.5

Problema

Considere la región R del planox2+ (y a)2 a2 ;x2+y2 2a2y usando el teorema de Green, veri…que que el área de dicha región coincide con el área de un cuadrado de lado a.

Solución

La curva C1descrita por la ecuaciónx2+ (y a)2=a2 ;corresponde a la circunferencia con centro en(0; a)y radio a y la curva C2 es la

ecuaciónx2+y2= 2a2 de la circunferencia con centro en(0;0)y radio

ap2.

Calculemos los puntos de intersección de ambas curvas, igualando

ambas ecuaciones, produce2a2 2ay= 0 =) y=a

Sustituyendo este resultado en la segunda ecuación, obtenemos

x2=a2 () x= a

Por lo tanto, los puntos de intersección de ambas curvas sonP1= ( a; a) yP2= (a; a)que tienen coordenadas polares(ap2;3 =4) y (ap2; =4) respectivamente.

En consecuencia, la curva cerrada C que forma la frontera de R es la unión de la curvaC1parametrizada por:

x(t) =acost; y(t) =a+asent; donde t2[0; ] y de la curva C2 parametrizada por

x(t) =ap2cost; y(t) =ap2sent; dondet2[ =4;3 =4]:

El teorema de Green a…rma que

A(R) = 1 2

I

C

xdy ydx

donde la orientación de C es positiva.

A(R) = 1 2

I

C1

xdy ydx+1 2

I

C2

xdy ydx

Las orientaciones de C1y C2;van en sentido opuesto a los punteros del reloj, para que C tenga orientación positiva. Entonces

A(R) = 1 2

Z

0

(a2sent+a2)dt+1 2

Z =4

3 =4 (2a2)dt

= 1 2 a

2[ cost+t]

0+ 2a2[t]

=4 3 =4

= 1 2 2a

2+ a2 a2 =a2

Figure

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Referencias

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