Universidad de Santiago de Chile Autores: Miguel Martínez Concha
Facultad de Ciencia Carlos Silva Cornejo
Departamento de Matemática y CC Emilio Villalobos Marín
1
Integrales de Línea
1.1
Problemas
Calcular la integral de trayectoria
Z
!r
x3
y ds;donde!r es la trayectoriay= x2
2 entre los puntos(0;0)y(2;2):
Solución
Primero, determinemos la ecuación paramétrica de la trayectoria
x= t
y= t 2
2
9 =
; t2[0;2] () !r (t) = t;
t2
2
Derivando la expresión anterior, queda
!r0(t) = (1; t) =) k!r0(t)k=p1 +t2 Además
f(x; y) =x 3
y =) f(!r (t)) = 2t
A partir de la de…nición de integral de trayectoria tenemos
Z
!r
x3
y ds =
Z 2
0
2tp1 +t2dt
= 2
3 1 +t 2 3=2
2
0
= 2 3
p
75 1
1.2
Problema
Dada la función escalar f(x; y) = 2xy; calcular la integral de trayectoria a lo
largo de la curva elipse x 2
9 +
y2
4 = 1desde el punto(3;0) hasta(0;2).
Solución
Observemos que!r es el segmento de elipse que está en el primer cuadrante.Entonces al parametrizar la curva queda
x= 3 cost
y= 2sent t2 0; 2 () !r (t) = (3 cost;2sent) Derivando la trayectoria
!r0(t) = ( 3 sint;2 cost) () k!r0(t)k=p5sen2t+ 4 Calculemos la función escalarf sobre la trayectoria
f(x; y) = 2xy =) f(x(t); y(t)) = 6 costsent
Z
!r
2xyds =
Z =2
0
12 costsentp5sen2t+ 4dt
= 4
5 5sen
2t+ 4 3=2
=2
0
= 76 5
1.3
Problema
Calcular la integral de línea
Z
!r xydx+x
2dy;donde!r es la trayectoria
x2+ 4y2= 4; x >0:
Solución
Primero, escribamos la ecuación paramétrica de la trayectoria orientada positivamente
x= 2 cost
y= sent t2 2;2 =) !r (t) = (2 cost; sent)
!
F(x; y) = xy; x2 =) F!(x(t); y(t)) = 2 costsent;(2 cost)2
Determinemos el vector!r0 = ( 2sent;cost)
Calculemos la integral
Z
!r xydx+x
2dy = Z
=2
=2
2 costsent;(2 cost)2 ( 2sent;cost)dt
=
Z =2
=2
( 4sen2tcost+ 4 cos3t)dt
=
Z =2
=2
( 8sen2tcost+ 4 cost)dt
= 8
3sen
3t+ 4sent 2
2
= 8 3
1.4
Problema
Calcular la integral de línea
Z
!r
y2dx+xdy;donde!r es la trayectoria
y2= 2x x2; tal quex >1; y >0:
Solución
Observemos que!r es el segmento de circunferencia:
Entonces:
x= 1 + cost
y= sent t2 0;2 =) !r (t) = (1 + cost; sent) =) !r0(t) = ( sent;cost)
Calculemos el campo vectorial!F sobre la trayectoria
!
F(x; y) = y2; x =) F!(x(t); y(t)) = sen2t;1 + cost Calculemos la integral
Z
!r y
2dx+xdy = Z =2 0
sen3t+ cos2t+ cost dt
=
Z =2
0
1 cos2t sent+ (1 + cos 2t
2 ) + cost dt
= cost+cos 3t
3 +
t
2+
sen2t
4 +sent
=2
0
= 1 1
3+ 4 + 1
= 5 3 +4
1.5
Problema
Calcular la integral de línea
Z
!r(8x+z)dx+ 2xz
2dy 4y2dz;siendo!r la curva
de…nida por las ecuaciones: z= 9 2x2 4y2; z= 1:
Solución
Observemos, que la curva contenida en el planoz= 1, es la elipse 2x2+ 4y2= 8;con semi ejesa= 2 yb=p2;que se parametriza mediante.
x= 2 cost y= p2sent z= 1
9 =
; t2[0;2 ] =) !r (t) = 2 cost;
p
2sent;1 t2[0;2 ]
Calculemos el campo vectorial!F sobre la trayectoria
!
F(x; y; z) = 8x+z;2xz2; 4y2 =) F!(x(t); y(t)) = (16 cost+ 1;4 cos 1t;1) Evaluemos el vector
!r0(t) = 2sent;p2 cost;0 luego, obtenemos
!
F(x(t); y(t)) !r0(t) = (16 cost+ 1;4 cost;1) 2sent;p2 cost;0
Entonces la integral de línea es
Z
!r
(8x+z)dx+ 2xz2dy 4y2dz=
Z 2
0
= 16sen2t+ 2 cost 20 + 4p2
Z 2
0
1 + cos 2t
2 dt
= 4p2 t 2+
sen2t
4 2
0
= 4p2
1.6
Problema
Calcular el trabajo producido por campo de fuerzas dado por!F = (3x+4y;2x+ 3y2);a lo largo de la circunferencia C de radio 2 centrada en el origen y recorrida con orientación positiva
Solución
De…nimos el trabajo mediante la integral de línea
Z
!r
!F d!r =Z b
a
!F(!r (t)) !r0(t)dt
Luego, parametrizando la trayectoria tenemos:
!r(t) = (2cost;2sent); t2[0;2 ]:
=) !r0(t) = ( 2sent;2 cost)
Reemplazando el integrando, queda
W =
I
(3x+ 4y;2x+ 3y2;0) (dx; dy; dz)
=
Z 2
0
(6cost+ 8sent;4cost+ 12sen2t;0) ( 2sent;2cost;0)dt
=
Z 2
0
[ 16sen2t+ 8cos2t]dt
= 16 + 8 = 8 :
Trabajo negativo signi…ca que el campo de fuerza disipa energía.
2
Campo conservativo
2.1
Problemas
Sea el campo vectorial!F :IR3!IR3dado por!F(x; y; z) = (x; y; z):Calcular la integral
Z
!r
!F d!r
b) Si C es la recta que uneP = (1;0;0)conQ= (1;0;4):
c) Si C es la helicoide!r(t) = (cos(4 t); sen(4 t);4t); t2[0;1]que une
P = (1;0;0)conQ= (1;0;4):
Solución
a) Las ecuación paramétrica de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen y recorrida en sentido positivo, es
!r (t) = (2 cost;2sent;0) t2[0;2 ] =) !r0(t) = ( 2sent;2 cost;0)
Entonces, la integral de linea queda
Z
!r
!F d!r = Z
!r(x; y; z) (dx; dy; dz)
=
Z 2
0
(2 cost; 2sent;0) ( 2sent;2 cots;0)dt
=
Z 2
0
8 costsentdt= 0
b) La ecuación paramétrica de la recta que uneP = (1;0;0)conQ= (1;0;4) es:
!r (t) =!P + (!Q !P)t=t(1;0;4)t2[0;1] =) !r0(t) = (1;0;4):
Entonces
Z
!r
!
F d!r =
Z 1
0
(t;0;4t) (1;0;4)dt
=
Z 1
0
16tdt= 8t2 10= 8
c) A partir de la ecuación de la helicoide se obtiene
!r0(t) = ( 4 sen(4 t);4 cos(4 t);4)
Sustituyendo términos en el integrando, queda
Z
!r
!F d!r = Z 1
0
(cos(4 t); sen(4 t);4t) ( 4 sen(4 t);4 cos(4 t);4)dt
=
Z 1
0
( 8 sen(4 t) cos(4 t) + 4t)dt
=
Z 1
0
16tdt= 8t2 10= 8
2.2
Problema
Calcular la integral
Z
!r 2xcosydx x
2senydy;donde!r : [1;2]!IR2de…nida
por!r (t) = et 1; sen
t :
Solución.
Determinemos si el campo vectorial es conservativo, de modo que calculamos
r !F =
i j k
@ @x
@ @y
@ @z
2xcosy x2seny 0
= (0;0;0)
Como hallamos quer !F =!0;entonces!F tiene una función potencial (x; y)tal que
@
@x (x; y) = 2xcosy @
@y (x; y) = x
2seny
9 > = > ;
Integrando la primera ecuación parcialmente con respecto a x, se tiene
(x; y) =x2cosy+h(y) =) @
@y (x; y) = x
2seny+h0
(y) = x2seny
h0(y) = 0 () h(y) =c
En consecuencia, la función potencial (x; y)para!F (x; y)es
(x; y) =x2cosy+c
Entonces , podemos a…rmar que
Z
!r 2xcosydx x
2senydy =
Z
!r r d
!r
= (!r (2)) (!r (1))
donde
(!r (2)) = e; sen
2 =e 2+c
(!r (1)) = (1; sen ) = 1 +c
Por tanto. obtenemos:
Z
!r 2xcosydx x
2.3
Problema.
Considere el campo vectorial!F (x; y; z)enIR3 de…nido por :
!F (x; y; z) = yz
1 +x2y2z2;
xz
1 +x2y2z2;
xy
1 +x2y2z2
Evaluar
Z
!r
yzdx+xzdy+xydx
1 +x2y2z2 ;donde!r es: a) el segmento rectílineo entre(0;0;0)y(1;1;1):
b) la instersección dex2+y2+ (z 1)2= 1; conx2+y2+z2= 1:
Solución
Se tiene que las componentes del campo vectorial son continuas
8(x; y; z)2IR3
Primero, veri…quemos si el campo vectorial es conservativo o no.
r !F =
i j k
@ @x
@ @y
@ @z yz
1 +x2y2z2
xz
1 +x2y2z2
xy
1 +x2y2z2
= (0;0;0)
Puesto que
@ @y
xy
1 +x2y2z2 =
@ @z
xz
1 +x2y2z2;
@ @z
yz
1 +x2y2z2 =
@ @x
xy
1 +x2y2z2;etc. = (0;0;0)
Como hallamos quer !F =!0;entonces!F tiene una función potencial (x; y)tal que:
@
@x (x; y) =
yz
1 +x2y2z2
@
@y (x; y) =
xz
1 +x2y2z2
@
@z (x; y) =
xy
1 +x2y2z2
9 > > > > > = > > > > > ;
Integrando la primera ecuación parcialmente con respecto a x, se tiene
(x; y) = arctg(xyx) +h(y; z) =)
@
@y (x; y) =
xz
1 +x2y2z2 +h
0
(y; z) = xz 1 +x2y2z2
h0(y; z) = 0 () h(y; z) =g(x)
En consecuencia, la función potencial (x; y)para!F (x; y)es
(x; y) = arctg(xyx) +g(z) =) (x; y) = xy
1 +x2y2z2 +g
0
(x) = xy 1 +x2y2z2
Entonces , podemos concluir que
(x; y) =arctg(xyx) +c
En este caso hallamos , que el valor de la integral
Z
!r
yzdx+xzdy+xydx
1 +x2y2z2 =
Z
!r r d
!r = (1;1;1) (0;0;0)
= arctg(1) arctg(0)
= 4
Si!r es la intersección de dos esferas la curva resultante es cerrada, en
consecuencia
Z
!r
yzdx+xzdy+xydx
1 +x2y2z2 =
Z
!r r
d!r = 0
3
Teorema de Green
3.1
Problema
Veri…car el teorema de Green para el campo vectorial!F(x; y; z) = 2(x2+y2);(x+y)2 ;donde las curvas frontera de la región D corresponden al contorno del triángulo con
vértices en los puntos(1;1);(2;2);y(1;3)orientado positivamente.
Solución
Como el campo vectorial!F (x; y)es de clase C1;y la región Dconexa, entonces el teorema de Green a…ma que:
Z
C
P dx + Qdy=
Z Z
D
@ @xQ
@
@yP dxdy
Identi…cando términos, tenemos que
P(x; y) = 2(x2+y2) =) @P
@y = 4y
Q(x; y) = (x+y)2 =) @Q
@x = 2(x+y)
Entonces calculemos
ZZ
D
@Q @x
@P
@y dxdy=
ZZ
D
2 (x y)dxdy
ZZ
D
2 (x y)dxdy =
Z 2
1
Z 4 x
x
2 (x y)dydx
=
Z 2
1
xy y
2
2 4 x
x
dx
=
Z 2
1
2x(4 x) (4 x)2 2x2+x2 dx
= 4
Z 2
1
(x 2)2dx= 4
"
(x 2)3 3
#2
1
= 4
3
Calculemos directamente la integral de línea, segmentando la frontera en tres curvas:
Z
C
P dx + Qdy =
Z
C1
P dx + Qdy+
Z
C2
P dx + Qdy
+
Z
C3
P dx + Qdy
Parametricemos los segmentos de curvas que unen los puntos(1;1)y(2;2) ; (2;2)y(1;3) ; (1;3) y(1;1)
(1,1)
(2,2) (1,3)
x y
SeaC1 la rectay=x; 1 x 2 =) !r (t) = (t; t); t2[1;2] =) !r0(t) = (1;1); t2[1;2]entonces:
Z
C1
2(x2+y2)dx + (x+y)2dy =
Z 2
1
h
2 t2+t2 + (2t)2idt
=
Z 2
1
8t2dt= 8 t 3
3 2
1
SeaC2 la rectay= 4 x; 1 x 2 =) !r (t) = (4 t; t); t2[2;3] =) !r0(t) = ( 1;1); t2[2;3];entonces:
Z
C2
2(x2+y2)dx + (x+y)2dy =
Z 3
2
h
2 (4 t)2+t2 ( 1) + (4)2idt
=
Z 3
2
2 16 8t+ 2t2 + 16 dt
= 4
Z 3
2
t2 4t+ 4 dt= 4
Z 3
2
[t 2]2dt
= 4
"
(t 2)3 3
#3
2 = 4
3
SeaC3 la rectax= 1; 1 y 3 =) !r (t) = (1;3 t); t2[0;2] =) !r0(t) = (0; 1); t2[0;2];entonces:
Z
C3
2(x2+y2)dx + (x+y)2dy =
Z 2
0
(4 t)2( 1)dt
=
"
(4 t)3 3
#2
0 = 8
3 64
3 = 56
3
Por lo tanto, al sumar los tres términos tenemos:
Z
C
2(x2+y2)dx + (x+y)2dy=56 3
4 3
56 3 =
4 3
Lo que muestra la validez de la formula del teorema de Green.
3.2
Problema
Veri…car el teorema de Green para
I
C
x2ydx+xy2dy;donde C es la frontera de
la region R en el primer cuadrante, limitada por las grá…cas dey=x; y3=x2:
Solución.
Primero, calculemos la integral de línea considerando la orientación positiva de la frontera, dividiendola en dos segmentosC1 y=x yC2 y3=x2: Determinemos los puntos que se intersectan ambas curvas:
y= x
R= (x; y)2IR2=0 x 1; x y x2=3
Parametrizando el segmento de curvaC1tenemos:
C1:!r1(t) = (t; t); t2[0;1] =) !r01(t) = (1;1) Calculemos el campo vectorial sobre la curvaC1
!F(!r
1(t)) = t3; t3 =)
!F(!r
1(t)) !r01(t) = t3; t3 (1;1) = t3+t3 = 2t3 ParaC2 encontramos
C2:!r2(t) = 1 t;(1 t)2=3 ; t2[0;1] =) !r01(t) = 1; 2 3(1 t)
1=3
Luego, la función compuesta para el campo sobreC2 es:
!F(!r
2(t)) = (1 t)8=3;(1 t)7=3 =)
!
F(!r1(t)) !r01(t) = (1 t)8=3;(1 t)7=3 1; 2 3(1 t)
1=3
= (1 t)8=3 2 3(1 t)
2
Entonces la integral de línea queda
I
C
x2ydx+xy2dy =
Z 1
0 2t3dt
Z 1
0
((1 t)8=3+2 3(1 t)
2)dt
= t
4
4 +
3(1 t)11=3
11 +
2(1 t)3 9
11
0
= 1 4
3 11
2 9
= 1
198
Por otra parte el campo vectorial!F (x; y)de claseC1;es decir campo con-tinuo con primera derivada continua,de…nido en la regiónRconexa,acotado por una frontera cerrada, entonces podemos aplicar el teorema de Green que a…ma:
I
C
x2ydx+xy2dy=
Z Z
R
@ @x(x
2y) @
@y(xy
2) dxdy
Z Z
R
@ @x(x
2y) @
@y(xy
2) dxdy = Z 1 0
Z x2=3
x
y2 x2 dydx
= Z 1 0 y3 3 x 2y
x2=3
x dx = Z 1 0 x2 3 8x
8=3+2 3x 3 dx = x 3 9 3 11x
11=3+x4 6 1 0 = 1 9 3 11+ 1 6 = 1 198 Con esto,veri…camos el teorema de Green en este caso particular.
3.3
Problema
Calcule la integral
I
C
y
2x2+ 3y2dx+
x
2x2+ 3y2dya lo largo de la curva C for-mada por los lados del cuadrado con vértices en(1;1);( 1;1);( 1; 1);(1; 11):
Solución.
Claramente vemos que el campo vectorial!F(x; y)en la región acotada por
C no es continuo, con primeras derivadas parciales continuas en el origen (0;0):
Luego, vamos a excluir el origen de la región . Dado que la región envuelta por la curvaC;que excluye la singularidad, no es simplemente conexa, se tiene que:
Z
C
P dx+Qdy+
Z
C1
P dx+Qdy=
ZZ D @Q @x @P @y dxdy
donde la curvaC1es la elipse con ecuación2x2+ 3y2=r2;orientada en el sentido horario, con normal apuntando hacia fuera de la regiónD:
Por otra parte.
@Q @x =
3y2 2x2 (2x2+ 3y2)2
@P @y =
3y2 2x2 (2x2+ 3y2)2
9 > > = > > ;
=) @Q
@x @P
@y = 0
Entonces, tenemos
Z
C
P dx+Qdy+
Z
C1
P dx+Qdy=
ZZ
D
@Q @x
@P
@y dxdy= 0
=)
Z
C
P dx+Qdy=
Z
C1
P dx+Qdy
=)
Z
C
P dx+Qdy=
Z
C1
ParametrizandoC1 como !r (t) = pr 2cost;
r
p
3sent con 0 t 2 Se obtiene
Z
C1
P dx+Qdy =
Z 2
0
rsent
p
3r2
r
p
2sent +
r
p
2r2cost
r
p
3cost dt
= p1
6(2 )
=
r
2 3
Por lo tanto, la integral
Z
C
P dx+Qdy=
r
2 3
3.4
Problema
Sea C una curva cerrada simple que encierra una región
D= (x; y)2IR2=x
2
4 +
y2
5 = 1
:Calcular el área del interior de la elipse usando el teorema de Green.
Solución.
A partir del teorema de Green tenemos
A(D) =1 2
I
C
xdy ydx
Parametricemos la ecuación de la elipse , mediante
!r(t) = (2cos(t);p5sen(t));0 t 2 :
Entoncesx(t) = 2cos(t); y(t) =p5sen(t), luego
dx= 2sen(t); dy(t) =p5 cos(t) Reemplazando términos en el integrando
1 2
I
C
xdy ydx = 1 2
Z 2
0
(2p5cos2(t) + 2p5sen2(t))dt
= p5
Z 2
0
dt
3.5
Problema
Considere la región R del planox2+ (y a)2 a2 ;x2+y2 2a2y usando el teorema de Green, veri…que que el área de dicha región coincide con el área de un cuadrado de lado a.
Solución
La curva C1descrita por la ecuaciónx2+ (y a)2=a2 ;corresponde a la circunferencia con centro en(0; a)y radio a y la curva C2 es la
ecuaciónx2+y2= 2a2 de la circunferencia con centro en(0;0)y radio
ap2.
Calculemos los puntos de intersección de ambas curvas, igualando
ambas ecuaciones, produce2a2 2ay= 0 =) y=a
Sustituyendo este resultado en la segunda ecuación, obtenemos
x2=a2 () x= a
Por lo tanto, los puntos de intersección de ambas curvas sonP1= ( a; a) yP2= (a; a)que tienen coordenadas polares(ap2;3 =4) y (ap2; =4) respectivamente.
En consecuencia, la curva cerrada C que forma la frontera de R es la unión de la curvaC1parametrizada por:
x(t) =acost; y(t) =a+asent; donde t2[0; ] y de la curva C2 parametrizada por
x(t) =ap2cost; y(t) =ap2sent; dondet2[ =4;3 =4]:
El teorema de Green a…rma que
A(R) = 1 2
I
C
xdy ydx
donde la orientación de C es positiva.
A(R) = 1 2
I
C1
xdy ydx+1 2
I
C2
xdy ydx
Las orientaciones de C1y C2;van en sentido opuesto a los punteros del reloj, para que C tenga orientación positiva. Entonces
A(R) = 1 2
Z
0
(a2sent+a2)dt+1 2
Z =4
3 =4 (2a2)dt
= 1 2 a
2[ cost+t]
0+ 2a2[t]
=4 3 =4
= 1 2 2a
2+ a2 a2 =a2
