CAPÍTULOS 9, 10 Y 11
DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES
ORIGINADAS POR LOS
y
y
Q
N
M
z
∫
∫
∫
−
=
=
=
Area
z Area
zy Area
z
dA
y
dA
dA
σ
τ
σ
M
Q
N
z
x
dA
σ
zτ
zyy
¿Qué pretendemos en esta lección?
Esfuerzos:
Tensiones originadas:
Equivalencia mecánica de los
ESFUERZO AXIL:
TRACCIÓN O COMPRESIÓN PURA
B
x y
z N
G
B
x y
z N
Consideremos una barra prismática de sección arbitraria sometida a un
esfuerzo axil
N
cuya recta de acción pasa por el centro de gravedad de
la sección de la barra.
Las tensiones normales,
σ
, producidas por el esfuerzo axil son
constantes en cualquier punto de la sección.
N
N
x
y
z
N pasa por G
x
G
dA
x
y
y
EQUIVALENCIA ENTRE
N
Y LA
DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES:
Momentos en G:
∫
∫
−
=
=
=
=
xdA
M
ydA
M
y x
σ
σ
0
0
Igualdad de resultantes:
A
N
A
dA
dA
N
=
∫
σ
=
σ
∫
=
σ
⇒
σ
=
0
E
y x z xy xz yzz
z
=
ε
=
ε
=
−
νε
γ
=
γ
=
γ
=
σ
ε
TRACCIÓN PURA
COMPRESIÓN PURA
FLEXIÓN
FLEXIÓN PURA, FLEXIÓN COMPUESTA Y
FLEXIÓN SIMPLE
B
x y
z Mx
My
G
B
x y
z Mx
My
G
B
x y
z N
G r
P B
x y
z N
G r
P
B
x
y (EJE DE SIMETRÍA)
z
Mx Qy
z
x
y
P
-P
Q
P
P
Zona de flexión pura
M
P.a
Zona de flexión simple
dz
Q=0
FLEXIÓN PURA
B
x y
z
Mx My
G
B
x y
z
Mx My
G
0
0
≠
=
=
=
=
=
y xy xz yz zx
σ
τ
τ
τ
σ
σ
( )
x
y
z
z
σ
,
σ
=
C
By
Ax
z
=
+
+
σ
0
0
⇒
=
=
Ω
∫∫
Ωσ
zd
C
EQUIVALENCIA ENTRE
M
xy M
yY
LA DISTRIBUCIÓN DE
TENSIONES:
Igualdad de momentos en G:
∫∫
Ωr
r
∧
σ
r
zd
Ω
=
M
xi
r
+
M
yr
j
By
Ax
z
=
+
σ
2 2 xy y x xy y y x xy y x x y xy xP
I
I
P
M
I
M
B
P
I
I
I
M
P
M
A
−
+
=
−
+
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
2 2Si los ejes {x,y} fueran principales de inercia de la sección, Pxy=0, por lo que la expresión anterior se reduciría a:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
2 2xy y x x xy y xy y x xy y x z
P
I
I
xI
yP
M
P
I
I
xP
yI
M
σ
y y x x zI
x
M
I
y
M
−
=
σ
y si , se obtendría:
M
y=
0
x x z
I
y
M
=
σ
y y x G x G Sección rectangular x y Gh 2
h 1
σ1=
Μxh1
Ιx
σ2=
Μxh2 Ιx
Mx
SECCION ALZADO LATERAL
Canto x
y
G
h 2
h 1
σ1=
Μxh1
Ιx
σ2=
Μxh2 Ιx Mx x y G x y G
h 2
h 1
σ1=
Μxh1
Ιx
σ1=
Μxh1
Ιx
σ2=
Μxh2 Ιx
σ2=
Μxh2 Ιx
Mx
SECCION ALZADO LATERAL
ALA
ALA
ALMA
q=20kN/m
P=50kN
R
A2.5m
R
B3.5m
h=0.7m
b=0.22m
EJEMPLO: CALCULO DE LAS MÁXIMAS TENSIONES
NORMALES EN LA VIGA DE LA FIGURA
Q=89,2kN
39,2kN
-10,8kN
-80,8kN
M=160,4kNm
Q
M
Módulo resistente de la sección
3 2 2 . 3
018
,
0
6
7
,
0
22
,
0
6
.
2
12
1
m
x
h
b
W
W
M
I
h
M
h
b
I
x x x máx x=
=
=
=
⋅
=
⋅
=
σ
MPa
m
kNm
W
M
C
8
,
9
018
,
0
4
,
160
3max
=
−
=
−
−
=
σ
MPa
T
=
+
8
,
9
σ
TENSIONES NORMALES MÁXIMAS:
TENSIONES Y DEFORMACIONES EN FLEXIÓN PURA
Deformaciones
ε
zε
σ
Curva tensión-deformación
Las deformaciones
ε
z también varían linealmentey
Tensiones
σ
zFLEXIÓN PURA:
Las caras que eran planas….
M
M
ρ
FIBRA O EJE NEUTRO EN FLEXIÓN PURA
Se denomina fibra o eje neutro al lugar geométrico de los puntos de la sección en los que
σ
z es nula0
2 2 ⎥⎥ =
⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = xy y x x xy y xy y x xy y x z P I I xI yP M P I I xP yI M σ xy y y x x y xy x
P
M
I
M
I
M
P
M
x
y
+
+
=
Si los ejes {x,y} fueran principales de inercia:
y x x y
I
M
I
M
x
y
=
que corresponde a una recta que pasa por el c.d.g de la sección. Si, además, My=0, la fibra neutra coincide con el eje x: yy
x G
x G
FLEXIÓN COMPUESTA
B x y z N G r P B x y z N G r Pesfuerzo axil N en un punto P de coordenadas (a,b)
Reduciendo N al c.d.g.:
j M i M j aN i bN N b a k j i N r
M r r xr yr
r v v v v
r = ∧ = = − = +
0 0 0 B x y z M G N B x y z M G N
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
=
2 2xy y x x xy xy y x xy y z
P
I
I
xI
yP
N
a
P
I
I
xP
yI
N
b
N
Ω
σ
FIBRA O EJE NEUTRO EN FLEXIÓN COMPUESTA
(
) (
)
0
2
=
−
+
−
+
−
=
x y xy x xy y xyz
x
aI
bP
y
bI
aP
P
I
I
Ω
σ
En el caso de flexión compuesta, la fibra neutra no pasa por el c.d.g de la sección.
NUCLEO CENTRAL DE UNA SECCION TRABAJANDO A
FLEXIÓN COMPUESTA
x y
A
B
C
(a)
(b)
(c) x y
A
B
C
(a)
(b)
(c)
Si el esfuerzo axil de compresión actuase en el punto A de la sección, la recta (a)
EJEMPLO: NÚCLEO CENTRAL DE UNA SECCIÓN RECTANGULAR
x y
P
G e h
c
A B
C D
x y
P
G e h
c
A B
C
D Supongamos actuando un esfuerzo axil N de compresión
en el punto P de la sección, que se encuentra situado sobre el eje y a una distancia e del eje x.
Reduciendo el esfuerzo N al centro de gravedad G,
obtendríamos un esfuerzo axil del mismo valor y un momento flector de eje x de valor N.e
Si aplicásemos N en G (e=0), toda la sección estaría sometida a compresión uniforme. Si va creciendo e, las tensiones de compresión van creciendo en el lado DC y disminuyendo en el AB. Cabría preguntarse: ¿Para qué valor de la distancia e la fibra neutra coincidiría con al lado AB?
e=h/6
x y
h 3
c 3 A
R S
x y
h 3
c 3 A
R S
FLEXIÓN SIMPLE
B
x
y (EJE DE SIMETRÍA)
z
Mx Qy
G
x y
Qy
Mx G
x y
Qy
Mx G
(Eje de simetría)
Las tensiones normales producidas por el momento flector ya han sido estudiadas con anterioridad, pero: ¿cuáles serán las tensiones tangenciales (contenidas en el plano de la sección) a que da lugar el esfuerzo cortante que estamos aplicando?
Supondremos que dichas tensiones tangenciales sólo dependen de la ordenada “y”:
( )
y
REBANADA DE UNA PIEZA PRISMÁTICA
directriz rebanada
ds
A C
B D
directriz rebanada
ds
A C
B D
A B
Qy
Mx
A B
Qy
Mx
Qy
Mx
C D
Mx+d Mx
Qy+d Qy
C D
Mx+d Mx
Qy+d Qy
Mx+d Mx
Qy+d Qy Qy+d Qy
C
ds A
B D
Mx+d Mx
Qy+d Qy Qy
Mx
C
ds A
B D
ds A
B D
Mx+d Mx
Qy+d Qy
Mx+d Mx
Qy+d Qy Qy+d Qy Qy
Mx
C
ds
A
B D
M
x+d M
xQ
y+d Q
yQ
yM
xC
ds
A
B D
ds
A
B D
M
x+d M
xQ
y+d Q
yM
x+d M
xQ
y+d Q
yQ
y+d Q
yQ
yM
xC
0
)
(
+
+
+
=
−
+
=
−
M
dM
Q
ds
dQ
ds
dM
Q
ds
M
x x x y y x yEQUILIBRIO DE LA REBANADA
ds
dM
TENSIONES TANGENCIALES INDUCIDAS
POR EL ESFUERZO CORTANTE
x y G a(y) a0 yc y τ ds
σ σ+dσ
yh x y G a(y) a0 yc y τ ds
σ σ+dσ
x y G a(y) a0 yc y x y G a(y) a0 yc y τ ds
σ σ+dσ
ττ
ds
σ σ+dσ
yh x x z
I
y
M
=
σ
x xI
y
dM
d
σ
=
)
(
)
).
(
(
a
y
dy
ds
a
0d
h c y y yy
=
⋅
∫
==σ
τ
∫
=
∫
=
⋅
⋅
h c h c y y x x y y xx
y
ady
ds
a
I
dM
ady
y
I
dM
0)
(
)
(
τ
00
I
a
M
Q
a
I
M
ds
dM
x e y x e x=
=
τ
EQUILIBRIO HORIZONTAL:σ+dσ
σ
Ejemplo
Ejemplo
:
:
Distribuci
Distribuci
ó
ó
n
n
de
de
tensiones
tensiones
cortantes
cortantes
sobre
sobre
una
una
secci
secci
ó
ó
n
n
rectangular
rectangular
sometida
sometida
a
a
Q
Q
yy0
a
I
M
Q
x
e y
=
τ
0
b
x
y
G
h
y
τ
(y)
0
x
y
G
(h/2-y)/2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
h
y
b
h
y
y
M
e2
2
1
2
3
12
1
h
b
b
h fibra
neutra
y
x
Tensiones de flexión
z y
Tensiones cortantes
( )
media max
2
max e
5
,
1
2
3
8
4
2
M
τ
τ
⎟⎟
=
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
bh
Q
bh
h
bh
y
σmax
σ
y
media