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ORIGINADAS POR LOS DIFERENTES ESFUERZOS

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Academic year: 2019

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(1)

CAPÍTULOS 9, 10 Y 11

DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES

ORIGINADAS POR LOS

(2)

y

y

Q

N

M

z

=

=

=

Area

z Area

zy Area

z

dA

y

dA

dA

σ

τ

σ

M

Q

N

z

x

dA

σ

z

τ

zy

y

¿Qué pretendemos en esta lección?

Esfuerzos:

Tensiones originadas:

Equivalencia mecánica de los

(3)

ESFUERZO AXIL:

TRACCIÓN O COMPRESIÓN PURA

B

x y

z N

G

B

x y

z N

(4)

Consideremos una barra prismática de sección arbitraria sometida a un

esfuerzo axil

N

cuya recta de acción pasa por el centro de gravedad de

la sección de la barra.

Las tensiones normales,

σ

, producidas por el esfuerzo axil son

constantes en cualquier punto de la sección.

N

N

x

y

z

(5)

N pasa por G

x

G

dA

x

y

y

EQUIVALENCIA ENTRE

N

Y LA

DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES:

Momentos en G:

=

=

=

=

xdA

M

ydA

M

y x

σ

σ

0

0

Igualdad de resultantes:

A

N

A

dA

dA

N

=

σ

=

σ

=

σ

σ

=

0

E

y x z xy xz yz

z

z

=

ε

=

ε

=

νε

γ

=

γ

=

γ

=

σ

ε

(6)

TRACCIÓN PURA

COMPRESIÓN PURA

(7)

FLEXIÓN

FLEXIÓN PURA, FLEXIÓN COMPUESTA Y

FLEXIÓN SIMPLE

B

x y

z Mx

My

G

B

x y

z Mx

My

G

B

x y

z N

G r

P B

x y

z N

G r

P

B

x

y (EJE DE SIMETRÍA)

z

Mx Qy

(8)

z

x

y

P

-P

Q

P

P

Zona de flexión pura

M

P.a

Zona de flexión simple

dz

Q=0

(9)

FLEXIÓN PURA

B

x y

z

Mx My

G

B

x y

z

Mx My

G

0

0

=

=

=

=

=

y xy xz yz z

x

σ

τ

τ

τ

σ

σ

( )

x

y

z

z

σ

,

σ

=

C

By

Ax

z

=

+

+

σ

0

0

=

=

∫∫

σ

z

d

C

EQUIVALENCIA ENTRE

M

x

y M

y

Y

LA DISTRIBUCIÓN DE

TENSIONES:

(10)

Igualdad de momentos en G:

∫∫

r

r

σ

r

z

d

=

M

x

i

r

+

M

y

r

j

By

Ax

z

=

+

σ

2 2 xy y x xy y y x xy y x x y xy x

P

I

I

P

M

I

M

B

P

I

I

I

M

P

M

A

+

=

+

=

+

=

2 2

(11)

Si los ejes {x,y} fueran principales de inercia de la sección, Pxy=0, por lo que la expresión anterior se reduciría a:

+

=

2 2

xy y x x xy y xy y x xy y x z

P

I

I

xI

yP

M

P

I

I

xP

yI

M

σ

y y x x z

I

x

M

I

y

M

=

σ

y si , se obtendría:

M

y

=

0

x x z

I

y

M

=

σ

y y x G x G Sección rectangular x y G

h 2

h 1

σ1=

Μxh1

Ιx

σ2=

Μxh2 Ιx

Mx

SECCION ALZADO LATERAL

Canto x

y

G

h 2

h 1

σ1=

Μxh1

Ιx

σ2=

Μxh2 Ιx Mx x y G x y G

h 2

h 1

σ1=

Μxh1

Ιx

σ1=

Μxh1

Ιx

σ2=

Μxh2 Ιx

σ2=

Μxh2 Ιx

Mx

SECCION ALZADO LATERAL

(12)

ALA

ALA

ALMA

(13)

q=20kN/m

P=50kN

R

A

2.5m

R

B

3.5m

h=0.7m

b=0.22m

EJEMPLO: CALCULO DE LAS MÁXIMAS TENSIONES

NORMALES EN LA VIGA DE LA FIGURA

(14)

Q=89,2kN

39,2kN

-10,8kN

-80,8kN

M=160,4kNm

Q

M

(15)

Módulo resistente de la sección

3 2 2 . 3

018

,

0

6

7

,

0

22

,

0

6

.

2

12

1

m

x

h

b

W

W

M

I

h

M

h

b

I

x x x máx x

=

=

=

=

=

=

σ

MPa

m

kNm

W

M

C

8

,

9

018

,

0

4

,

160

3

max

=

=

=

σ

MPa

T

=

+

8

,

9

σ

TENSIONES NORMALES MÁXIMAS:

(16)

TENSIONES Y DEFORMACIONES EN FLEXIÓN PURA

Deformaciones

ε

z

ε

σ

Curva tensión-deformación

Las deformaciones

ε

z también varían linealmente

y

Tensiones

σ

z

(17)

FLEXIÓN PURA:

Las caras que eran planas….

M

M

ρ

(18)

FIBRA O EJE NEUTRO EN FLEXIÓN PURA

Se denomina fibra o eje neutro al lugar geométrico de los puntos de la sección en los que

σ

z es nula

0

2 2 ⎥ =

⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = xy y x x xy y xy y x xy y x z P I I xI yP M P I I xP yI M σ xy y y x x y xy x

P

M

I

M

I

M

P

M

x

y

+

+

=

Si los ejes {x,y} fueran principales de inercia:

y x x y

I

M

I

M

x

y

=

que corresponde a una recta que pasa por el c.d.g de la sección. Si, además, My=0, la fibra neutra coincide con el eje x: yy

x G

x G

(19)

FLEXIÓN COMPUESTA

B x y z N G r P B x y z N G r P

esfuerzo axil N en un punto P de coordenadas (a,b)

Reduciendo N al c.d.g.:

j M i M j aN i bN N b a k j i N r

M r r xr yr

r v v v v

r = = = = +

0 0 0 B x y z M G N B x y z M G N

+

=

2 2

xy y x x xy xy y x xy y z

P

I

I

xI

yP

N

a

P

I

I

xP

yI

N

b

N

σ

(20)

FIBRA O EJE NEUTRO EN FLEXIÓN COMPUESTA

(

) (

)

0

2

=

+

+

=

x y xy x xy y xy

z

x

aI

bP

y

bI

aP

P

I

I

σ

En el caso de flexión compuesta, la fibra neutra no pasa por el c.d.g de la sección.

NUCLEO CENTRAL DE UNA SECCION TRABAJANDO A

FLEXIÓN COMPUESTA

(21)

x y

A

B

C

(a)

(b)

(c) x y

A

B

C

(a)

(b)

(c)

Si el esfuerzo axil de compresión actuase en el punto A de la sección, la recta (a)

(22)

EJEMPLO: NÚCLEO CENTRAL DE UNA SECCIÓN RECTANGULAR

x y

P

G e h

c

A B

C D

x y

P

G e h

c

A B

C

D Supongamos actuando un esfuerzo axil N de compresión

en el punto P de la sección, que se encuentra situado sobre el eje y a una distancia e del eje x.

Reduciendo el esfuerzo N al centro de gravedad G,

obtendríamos un esfuerzo axil del mismo valor y un momento flector de eje x de valor N.e

Si aplicásemos N en G (e=0), toda la sección estaría sometida a compresión uniforme. Si va creciendo e, las tensiones de compresión van creciendo en el lado DC y disminuyendo en el AB. Cabría preguntarse: ¿Para qué valor de la distancia e la fibra neutra coincidiría con al lado AB?

e=h/6

x y

h 3

c 3 A

R S

x y

h 3

c 3 A

R S

(23)

FLEXIÓN SIMPLE

B

x

y (EJE DE SIMETRÍA)

z

Mx Qy

G

x y

Qy

Mx G

x y

Qy

Mx G

(Eje de simetría)

Las tensiones normales producidas por el momento flector ya han sido estudiadas con anterioridad, pero: ¿cuáles serán las tensiones tangenciales (contenidas en el plano de la sección) a que da lugar el esfuerzo cortante que estamos aplicando?

Supondremos que dichas tensiones tangenciales sólo dependen de la ordenada “y”:

( )

y

(24)

REBANADA DE UNA PIEZA PRISMÁTICA

directriz rebanada

ds

A C

B D

directriz rebanada

ds

A C

B D

A B

Qy

Mx

A B

Qy

Mx

Qy

Mx

C D

Mx+d Mx

Qy+d Qy

C D

Mx+d Mx

Qy+d Qy

Mx+d Mx

Qy+d Qy Qy+d Qy

C

ds A

B D

Mx+d Mx

Qy+d Qy Qy

Mx

C

ds A

B D

ds A

B D

Mx+d Mx

Qy+d Qy

Mx+d Mx

Qy+d Qy Qy+d Qy Qy

Mx

(25)

C

ds

A

B D

M

x

+d M

x

Q

y

+d Q

y

Q

y

M

x

C

ds

A

B D

ds

A

B D

M

x

+d M

x

Q

y

+d Q

y

M

x

+d M

x

Q

y

+d Q

y

Q

y

+d Q

y

Q

y

M

x

C

0

)

(

+

+

+

=

+

=

M

dM

Q

ds

dQ

ds

dM

Q

ds

M

x x x y y x y

EQUILIBRIO DE LA REBANADA

ds

dM

(26)

TENSIONES TANGENCIALES INDUCIDAS

POR EL ESFUERZO CORTANTE

(27)

x y G a(y) a0 yc y τ ds

σ σ+dσ

yh x y G a(y) a0 yc y τ ds

σ σ+dσ

x y G a(y) a0 yc y x y G a(y) a0 yc y τ ds

σ σ+dσ

ττ

ds

σ σ+dσ

yh x x z

I

y

M

=

σ

x x

I

y

dM

d

σ

=

)

(

)

).

(

(

a

y

dy

ds

a

0

d

h c y y y

y

=

==

σ

τ

=

=

h c h c y y x x y y x

x

y

ady

ds

a

I

dM

ady

y

I

dM

0

)

(

)

(

τ

0

0

I

a

M

Q

a

I

M

ds

dM

x e y x e x

=

=

τ

EQUILIBRIO HORIZONTAL:

σ+dσ

σ

(28)

Ejemplo

Ejemplo

:

:

Distribuci

Distribuci

ó

ó

n

n

de

de

tensiones

tensiones

cortantes

cortantes

sobre

sobre

una

una

secci

secci

ó

ó

n

n

rectangular

rectangular

sometida

sometida

a

a

Q

Q

yy

0

a

I

M

Q

x

e y

=

τ

0

b

x

y

G

h

y

τ

(y)

0

x

y

G

(h/2-y)/2

⎟⎟

⎜⎜

+

⎛ −

⎛ −

=

h

y

b

h

y

y

M

e

2

2

1

2

3

12

1

h

b

(29)

b

h fibra

neutra

y

x

Tensiones de flexión

z y

Tensiones cortantes

( )

media max

2

max e

5

,

1

2

3

8

4

2

M

τ

τ

⎟⎟

=

⎜⎜

=

=

=

bh

Q

bh

h

bh

y

σmax

σ

y

media

τ

Referencias

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