TRIGONOMETRIA LIBRO DEL CAS

1

“Ser

maestro

es

una

forma de vida y no un

modo de vida”

Aristóteles

En nuestras carreras de docencia,

hemos visto a nuestros alumnos

expresar sus alegrías y

compartíamos sus logros, pero,

también nuestros corazones

quedaban tristes cuando

algunos de ellos no lograban sus

objetivos, pero en todos los casos,

nos esforzamos a que nuestra

enseñanza les permita ser.

“El camino más corto a la

3

La agrimensura y la navegación son prácticas que, desde sus orígenes, han requerido el cálculo de distancias cuya medición directa no resultaba posible; y otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía. Para resolver este problema, ya los antiguos babilonios recurrieron a la trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcación hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar inaccesibles a la medición directa; El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas m

Grado sexagesimal: En trigonometría, un arco es igual a 1/360 partes de la circunferencia de un círculo, o ángulo central que corresponde a dicho arco. El grado es la unidad corriente de medida de ángulos y arcos de un círculo. Se divide en 60 minutos, cada uno de los cuales equivale a 1/21.600 de la circunferencia de un círculo; cada minuto se divide en 60 segundos, cada uno de los cuales equivale a 1/1.296.000. Los grados se indican normalmente con el símbolo °, los minutos con ´ y los segundos con ", como en 41°18´09", que se lee "41 grados 18 minutos y 9 segundos".

La medida de ángulos en grados es ampliamente usada en ingeniería y en las ciencias físicas, principalmente en astronomía, navegación y topografía. El método más corriente de localizar una estrella, o un punto en la superficie de la Tierra, es utilizar su distancia angular en grados, minutos y segundos a ciertos puntos o líneas de referencia fijadas. Las posiciones en la superficie de la Tierra se miden en grados de latitud norte o sur del ecuador y grados de longitud este u oeste del meridiano principal, que normalmente es el meridiano que pasa por Greenwich en Inglaterra.

Grados de latitud

4 Grados de longitud

El tamaño de un grado de longitud varía desde un valor máximo en el ecuador hasta cero en los polos Norte y Sur. Esto es debido a que la longitud se mide como el arco de un paralelo de latitud dada, y los círculos que forman los paralelos disminuyen en radio al incrementar su distancia al ecuador. En el ecuador, un grado de longitud equivale a 112,09 km, pero a 40° N o S, un grado son 85,99 km. La longitud se puede medir también utilizando horas hacia el este u oeste del meridiano principal, pues una hora equivale a 15 grados y un minuto horario a 15 minutos angulares. Así, la longitud de la ciudad de México puede escribirse como 99° o como 6 horas 36 minutos al oeste de Greenwich.

Otras medidas angulares

En ciertas ramas de las matemáticas avanzadas, en particular aquéllas que incluyen cálculos,

Radián: En matemáticas, la unidad de ángulo plano igual al ángulo central formado por un arco de longitud igual al radio del círculo. La medida en radianes de un ángulo se expresa como la razón del arco formado por el ángulo, con su vértice en el centro de un círculo, y el radio de dicho círculo. Esta razón es constante para un ángulo fijo para cualquier círculo. La medida en radianes de un ángulo no es la razón de la longitud de la cuerda y el radio, sino la razón de la longitud del arco y el radio.

La medida en radianes de un ángulo y su medida en grados están relacionadas. La circunferencia de un círculo está dada por

Cia = 2 r

Donde r es el radio del círculo y π es el número 3,14159. Dado que la circunferencia de un círculo es exactamente 2 π radios, y que un arco de longitud r tiene un ángulo central de un radián, se deduce que

2 π radianes = 360 grados

Al dividir 360° por 2 π se puede ver que un radián es aproximadamente 57°17´44,8". En aplicaciones prácticas, las siguientes aproximaciones son lo suficientemente exactas:

Un radián = 57,3 grados Un grado = 0,01745 radianes

5

Grado Centesimal: en trigonometría, un arco es igual a 1/400 partes de la circunferencia de un

círculo, o ángulo central que corresponde a dicho arco. El grado es la unidad corriente de medida de ángulos y arcos de un círculo. Se divide en 100 minutos y cada minuto se divide en 100 segundos.

6

TRABAJOS EN CLASE

1- Expresar en el sistema circular un ángulo de: a) 18°

b) 30° c) 36° d) 43° e) 35° 40´ f) 42° 27´ 32" g) 42° 59´ 37" h) 46° 20´ 30" i) 55° 84´

2- Expresar en el sistema sexagesimal un ángulo de: a) 1/12 π rad

b) 1/8 π rad c) 1/5 π rad

3) Expresar en grados, minutos y segundos sexagesimales los siguientes ángulos: a) 1 rad

b) π rad c) 5.π rad/12 D) 90G

7

4)Expresar en grados, minutos y segundos centesimales los siguientes ángulos:

a) 135°

b) 210°02´ 40" c) 1 rad d) 5.π rad/2

5)Expresar en radianes los siguientes ángulos:

a) 225°

b) 120° 30´ 06" c) 75° 18´ d) 50C

8 Circunferencia trigonométrica

Es toda circunferencia de radio igual a la unidad

a) SENO DE UN ANGULO

Es la representación en segmento de una recta que tiene como origen, el extremo del arco libre y como extremo, su intersección con el radio de la circunferencia que pasa por el extremo del arco libre

b) COSENO DE UN ANGULO

Es la representación en segmento de una recta que tiene como origen, el origen de coordenadas y como extremo, su intersección con la perpendicular trazada desde el extremo del arco libre.

OP = radio de la cia. = 1

TP = Arco libre

T = Origen del arco libre

P = Extremo del arco libre

O

P

T

PQ = Sen α

O o P Q T

OQ = Cos α

O o P

9

c) TANGENTE DE UN ANGULO

Es la representación en segmento de una recta que tiene como origen, el origen del arco libre y como extremo, su intersección con la prolongación del radio de la cia. Que pasa por el extremo del arco libre.

d) COTANGENTE DE UN ANGULO

Es la representación en segmento de una recta que tiene como origen, el extremo del primer cuadrante y como extremo, su intersección con la perpendicular trazada desde el origen del arco libre.

e) SECANTE DE UN ANGULO

Es la representación en segmento de una recta que tiene como origen, el origen de coordenadas y como extremo, su intersección con la perpendicular trazada desde el origen del arco libre.

TS = Tg α

o S P T

T´S´ = Cotg α

o S´ T T´

OS = Sec α

10 f) COSECANTE DE UN ANGULO

Es la representación en segmento de una recta que tiene como origen, el origen de coordenadas y como extremo, su intersección con la perpendicular trazada desde el extremo del primer cuadrante.

REPRESENTACIONES GRAFICAS o

OS´ = Cosec α

O

o

S´

T T´

PQ = Sen α

OQ = Cos α

ST = Tg α

T´S´ = Cotg α

OS = Sec α

11

Para deducir las primeras seis formulas fundamentales, se debe tener en cuenta las sgtes. Consideraciones geométricas:

a) Teorema de Pitágoras: En todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

a2 = b2 + c2

b) Proporcionalidad: Si dos triángulos rectángulos tienen sus lados paralelos, estos forman segmentos proporcionales entre sus lados:

a) Deducción de la primera formula fundamental y sus derivadas

Sea una circunferencia trigonométrica de radio igual a la unidad. Por definición tenemos que:

OQ = Cos α y PQ = Sen α

Esta ecuación es la más importante de todas que existen en la trigonometría, pues, permite relacionar la misma con todas las demás funciones trigonométricas

Formulas derivadas

( ) √ ( ) ( ) √ ( )

( )

Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que:

PQ2 + OQ2 = OP2 donde : PQ = sen α ; OQ = Cos α y R = 1 Remplazando , tenemos:

O

P

Q

12

b) Deducción de la segunda y tercera formulas fundamentales y sus derivadas

Sea una circunferencia trigonométrica de radio igual a la unidad. Por definición tenemos que:

OQ = Cos α ; PQ = Sen α ; TS = tg α ; OT = OP = R = 1

Si en la formula (2), remplazamos la función seno por su derivada, tenemos:

o

1) Aplicando el concepto de proporción , tenemos que: O O P Q S S

O Q T

Tomando la primera relación:

2 - Tomando la segunda relación :

13 c) Deducción de la cuarta y quinta formulas fundamentales y sus derivadas

Sea una circunferencia trigonométrica de radio igual a la unidad. Por definición tenemos que:

OO´ = Cotg α ; OT´ = Cosec α ; TS = tg α ; OO´ = OT = R = 1

O´

1) Aplicando el concepto de proporción , tenemos que: P O Q O T´ T S

O´ T´

P S

O Q T

=

Tomando la primera relación:

( 6)

2 - Tomando la primera y cuarta relación :

3 - Tomando la tercera y cuarta relación :

=

, despejando:

14 RESUMEN DE FORMULAS DEL PRIMER GRUPO

Completa el cuadro

seno Coseno tangente cotangente secante cosecante

Seno -

coseno _√ -

tangente -

cotangente

-

secante -

cosecante

15 Por conversión, sabemos que en un sistema de coordenadas, los signos se distribuyen de la sgte. manera

PRIMER CUADRANTE

Cotangente 90º

Cosecante Tangente

0 0º

SEGUNDO CUADRANTE

Cotangente 90º

Cosecante

180º O Tangente

Eje Y positivo

Eje x negativo Eje x positivo

Eje y negativo

Secante

Seno

Coseno

Cosecante

Seno

Coseno

Secante

Todos Positivos

Sen α y

cosec α

16 TERCER CUADRANTE

Cotangente

180º 0º Tangente

270º

CUARTO CUADRANTE

Cotangente O 360º 270º Tangente 90º

180º 0ª 360º Coseno Seno Secante Cosecante Coseno Seno Secante Tangente cotangente c

Cos α

y Sec α

+

Seno todos

Cosecante positivos

Cotangente Coseno

17

TRABAJOS EN CLASE

Desarrollar:

1) Siendo a un arco del primer cuadrante y sec a =

2

2) Siendo a un arco del Segundo cuadrante y cos a = - 3/5, calcular las demás funciones trigonométricas de a.

3) Siendo a un arco del tercer cuadrante y tg a = 3, calcular las demás funciones trigonométricas de a.

4) Siendo a un arco del cuarto cuadrante y cosec a = - 2, calcular las demás funciones trigonométricas de a.

5) Siendo a un arco del tercer cuadrante y cotg a = 3, calcular las demás funciones trigonométricas de a.

6) Siendo a un arco del cuarto cuadrante y cos a = 40/41, calcular las demás funciones trigonométricas de a.

7) Siendo a un arco del segundo cuadrante y tg a = - 24/7, calcular las demás funciones trigonométricas de a.

18 9) Siendo a un arco del segundo cuadrante y 5 cos a = - 4, calcular las funciones

trigonométricas de a.

10) Siendo a un arco del tercer cuadrante y 15 sec a + 17 = 0, calcular las funciones trigonométricas de a.

11) Siendo a un arco del cuarto cuadrante y 56 cosec a = - 65, calcular las funciones trigonométricas de a.

19

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLES

Se sabe por definición que los ángulos internos de cualquier triángulo suman 180°. Si a un cuadrado se le traza una diagonal, genera dos triángulos rectángulos, con un ángulo de 90° y dos más de 45°. Ahora, si se trata de un triángulo equilátero donde sus tres ángulos son iguales (60° cada uno), y se divide en dos partes trazando una de las alturas del triángulo, genera dos triángulos rectángulos, donde cada uno de los triángulos tiene un ángulo de 90°,

uno de 60° y el otro de 30°. A los ángulos de

30°, 45° y 60° son los que llamamos ángulos notables.

Funciones trigonométrica para los ángulos de 30°

Para hallar las funciones trigonométricas de los ángulos de 30°, tomaremos como base un triángulo equilátero.

:

A

60º

L L

60º 60º

L Observemos que al dividir el triángulo

equilátero en dos partes, resultan dos

triángulos rectángulos.

Tomemos uno de ellos:

A

L 30º H

60º

B L/2

⁄

Existe un teorema que dice: Si en un triangulo rectángulo, un angulo es el doble del otro, la hipotenusa es el doble del cateto menor .

20 Al obtener el valor del seno, aplicamos la formula fundamental:

) ( )

c)

⁄

d)

⁄

√

e)

⁄

f)

0 30 45 60 90

seno

coseno √

tangente √

cotangente √

secante √

21

Funciones trigonométrica para los ángulos de 60°

Para hallar las funciones trigonométricas de los ángulos de 60°, tomaremos como base un triángulo equilátero.

:

Al obtener el valor del seno, aplicamos la formula fundamental:

) ( )

√

c) √ _⁄⁄ √

d)

√

e) _⁄

f) _√

⁄ √ A

60º

L L

60º 60º

L Observemos que al dividir el triángulo

equilátero en dos partes, resultan dos

triángulos rectángulos.

Tomemos uno de ellos:

A

L 30º H

60º

B L/2

⁄

Existe un teorema que dice: Si en un triangulo rectángulo, un angulo es el doble del otro, la hipotenusa es el doble del cateto menor .

22

0 30 45 60 90

seno √

coseno √

tangente √ √

cotangente √ √

secante √

cosecante √

Funciones trigonométrica para los ángulos de 45°

Para hallar las funciones trigonométricas de los ángulos de 45°, tomaremos como base un cuadrado.

:

d 45º L

45º

L

Observemos que al dividir en triángulos a

través de la diagonal en dos partes, resultan dos triángulos rectángulos isósceles Tomemos uno de ellos:

√

A

d

45º L

45º

B L

_√

√

⁄

Para hallar las funciones trigonométricas de los ángulos de 45°, se hace necesario APLICAR la primera formula fundamental.

_√

⁄

23 Al obtener el valor del seno, aplicamos la formula funfamental:

c) √ _⁄

√ ⁄

d)

e) _√

⁄ √

f) _√

⁄ √

0 30 45 60 90

seno √ √

coseno √ √

tangente √ 1 √

cotangente √ 1 √

secante √ √

cosecante √ √

24

Es un método que te permitirá obtener los valores de los ángulos notables sin necesidad de memorizar dichos valores. Solo pon un poco de atención y veras lo fácil que es.

 Sabes contar hasta cuatro, pues cuéntalo y no te olvides del cero !!

 Ahora divide todos los términos por 4 y no lo simplifiques

 Ahora ponle la raíz cuadrada a todos términos

√ √ √ √ √

 Finalmente extrae las raíces exactas de los términos que lo tuvieran

√

√

Que hiciste ? Obtuviste los valores de los ángulos notables de la función seno, pues mira :

√ √

Viste que fácil, solo cuenta hasta 4, divide por 4 , le sacas la raíz y ya esta !!!!!!!

Y para el coseno ? Solo debes empezar a contar los valores del seno pero, de derecha a izquierda es decir, los mismos valores pero invertidos en orden, veras:

√ √

25 A) SUMA DE ÁNGULOS DIFERENTES

sen (α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β

cos (α + β) = cos α · cos β – sen α · sen β

tg (α + β) = _{1 – tg α · tg β} tg α + tg β

B) DIFERENCIA DE ÁNGULOS DIFERENTES sen (α - β) = sen α · cos β - cos α · sen β

cos (α -β) = cos α · cos β + sen α · sen β α

tg (α - β) =

C) ARCO DOBLE

De la suma de ángulos, un caso particular es cuando dos ángulos son iguales, a la que se denomina angulo doble. La expresión queda definida de la sgte. forma:

a) sen (α + α) = sen α cos

α + sen α . cos

α

sen 2

α =

2 sen α cos α

b) cos ( a + a ) = cos α. cos

α - sen

α . sen

α

cos 2 α = cos

_{α – sen}

_α

26 D) ARCO MITAD

Igual que en la suma existente, un caso particular es el angulo mitad . Este angulo se

obtiene de la sgte. forma:

cos

α + sen

α = 1



sen

α = 1 – cos

α

Partiendo de cos 2α = cos

_{α – sen}

_α



cos

α – (1 – cos

α)



2 cos

α – 1

Cos

a



cos 2α + 1

Cos α



±

cos 2 α + 1

₂

Si α=

β

₂



cos

β

2

=

±

cos β + 1

2



sen

β

₂

=

±

1 - cos β

₂



Tg

β

₂

√

27

TRABAJOS EN CLASE

Desarrollar:

1) Siendo a y b arcos del primer cuadrante, sen a = 3/5 y cos b = 5/13, calcular cotg (a + b).

2) Siendo a y b arcos del tercer cuadrante, cosec a = - 17/8 y sen b = - 24/25, calcular cos (a – b)

3) Siendo los arcos a del tercer cuadrante y b del cuarto cuadrante, sen a = - 33/65 y cos b = 13/85. calcular

tg (a + b).

4) Siendo a y b arcos del tercer cuadrante, cotg a = ¾ y cotg b = 60/11, calcular cot g (a + b).

5) Siendo los arcos a del tercer cuadrante y b del cuarto cuadrante, cosec a = - 29/20 y sec b = 41/9,

calcular cosec (a – b).

6) Siendo los arcos a del segundo cuadrante y b del primer cuadrante, sen a = 4/5 y cos b = 12/13, calcular

sec (a – b).

7) Siendo los arcos a del segundo cuadrante y b del tercer cuadrante, sen a = 1/2 y sen b = - 3/5, calcular

sen (a + b)

8) Siendo los arcos a y b del tercer cuadrante, sen a = - 3/5 y cos b = - 4/5 , calcular tg (a – b).

9) Siendo los arcos a y b del primer cuadrante, sen a = 3/5 y sen b = 14/25 , calcular cosec (a + b).

10) Siendo los arcos a del tercer cuadrante y b del segundo cuadrante, tg a = 1 y cos b = - 4/5.

Calcular cotg (a – b).

28

11) Siendo a un arco del segundo cuadrante y sen a = 12/13, calcular sen 2a y cos 2a.

12) Siendo a un arco del tercer cuadrante y cos a = - 9/41, calcular cotg 2a y cosec 2a.

13) Siendo a un arco del tercer cuadrante y sen a = - 24/25, calcular cos 2a y tg 2a.

29

TRABAJO PRÁCTICO

Desarrollar:

1) Siendo a un arco del cuarto cuadrante y cosec a = -2, calcular cos 2a y tg 2a.

2) Siendo a un arco del tercer cuadrante y sen a = -1/2, calcular sec 2a y cosec 2a.

3) Siendo a un arco del segundo cuadrante y cos a = -1/2, calcular tg a/2 y cotg a/2.

4) Siendo a un arco del tercer cuadrante y sen a = -

3 5

, calcular cos a/2 y sec a/2.

5) Siendo a un arco del cuarto cuadrante y sec a = 1,05, calcular sen 2a.

6) Siendo a un arco del tercer cuadrante y sen a = -0,28, calcular cos 2a.

7) Siendo a un arco del primer cuadrante y cos a = 0,35, calcular tg a/2

8) Siendo a un arco del primer cuadrante y tg a = 1,37, calcular cotg a/2.

9) Siendo a un arco del primer cuadrante y sec 2a = 2, calcular cotg 2a.

10) Siendo a un arco del primer cuadrante y tg 2a = 3, calcular sen a.

30

Función seno

f(x) = sen x

Período:

Función Coseno

f(x) = cos x

Período:

Función tangente

f(x) = tg x

31

Función cotangente

f(x) = cotg x

Período:

Función secante

f(x) = sec x

Período:

Función cosecante

f(x) = cosec x

32

a) Para ( 90 - α ) o ( ) La función trigonométrica de un angulo es igual, en magnitud y signo, a la cofuncion del angulo complementario correspondiente.

b) Para ( 180 - α ) o ( ) : Son iguales en magnitud , pero de sentidos contrarios, excepto el seno y la cosecante que tienen el mismo signo

c) Para ( 180 +α ) o ( ): Son iguales en magnitud, pero de sentidos contrarios, excepto la tangente y la cotangente, que tienen el mismo signo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

33 b) Ángulos simétricos : son iguales en magnitud, pero de signos contrarios, excepto el coseno y la

secante, que tienen el mismo signo

.

Es un método que sirve para no memorizar todas las formulas

 Considerar siempre α = 30º para el comparativo, es decir si por ejemplo usamos ( 90 – α ),

entonces seria ( 90 – 30 ), es decir 60.

 Seguidamente se hace la comprobación únicamente con la función seno, por más que la función

dada sea otra.

 Volvemos al ejemplo anterior, si el resultado da 0,5 o ½ sea negativo o positivo, la misma da

función, es decir si la misma es seno, da seno, si da tangente, es tangente, de acuerdo al signo del cuadrante.

 Probar siempre con el angulo notable mayor al dado, es decir si el dado es 215º, hacer con 270 –

α

 El signo resultante es el considerado por la función dada.

Ejemplo 1 : Reducir cos 115º al primer cuadrante

 Paso 1 : 115 es del segundo cuadrante y el coseno es negativo en ese cuadrante, por tanto el resultado será negativo, sea cual fuere el resultado, es decir seno o coseno

 Paso 2: Ponemos en calculadora el angulo notable mayor, es decir en este caso 180; por tanto:

 Paso 3: Sen ( 180 – 30 ), que da : sen 150º = 0,5 y al dar 0,5 debemos acordarnos que la misma era función, es decir dará coseno, pues la función dada es coseno.

 Paso 4: Ahora si hace hacemos lo real:

 Paso 5: Cos ( 180º - 115º) = - cos 65º

34 Ejemplo 2 : Reducir tg 305º al primer cuadrante ( Resuelto sin explicación pero paso a paso )

 Tg 305º : cuarto cuadrante - tgnegativa

 Sen ( 360º - 30º ) = Sen 330º = - 0,5 ( el signo resultante en este punto no importa), da 0,5

 Tg ( 360º - 305ª) = - tg 55

Ejemplo 3 : Reducir Sen ( - 145º )

 Primeramente tenemos que aplicar la simetría, es decir Sen ( - a ) = - Sen a

 - sen 145º : segundo cuadrante : sen positivo , entonces ( - x + ) es negativo

 Sen ( 180º – 30º ) = - 0,5 por tanto es función, es decir será : sen α

 Sen ( 180º - 145º) = - Sen 45º

Ejemplo 4 : Reducir Sec 225º

 Sec 225º : tercer cuadrante – sec negativa

 Sen ( 270 – 30º ) = sen 240º = 0,866… no da 0,5 por tanto es co función, es decir será : cosec α

 Sec ( 270º - 225º) = - Cosec 45º

Ejemplo 5 : Reducir cos 960º al primer cuadrante

 Paso 1 : 960º excede los 360º que tiene una cia. Por tanto se debe restar 360º tantas veces como ella exceda, lo hacemos haciendo dividir el numero dado por 360; 960 / 360 = 2,…. , importa solo el entero, es decir se hace 2 x 360º = 720º ; Por tanto: 960º - 720º = 240º

 Paso 2: Sen ( 270º - 30º) = Tercer cuadrante ( negativo) y da 0,5

 Paso 3: Sen ( 270º – 240º ), que da : - sen 30

35

TRABAJOS EN CLASE

Desarrollar:

1. Sen 130º

2. Cos 215º

3. Tg 105º

4. Cotg ( - 120º)

5. Cosec ( - 330º)

6. Tg 4675º

7. Sen ( - 1315º)

8. Sen 405º

9. Cos ( - 2000º)

10. Tg 120º

11. Cosec 305º

36

12. Sen ( - 12450º )

Reduciendo previamente al primer cuadrante, resolver

1.

2.

3. ( )

37

Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo.

Consideraciones:

En las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido a la manipulación de las ecuaciones al tratar de reducirlas), por ejemplo: nos puede resultar un cosx = 2, el que debemos descartar, obviamente, pues el codominio del coseno se limita a [-1, 1]. También, debemos verificar todas las respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la ecuación original.

38

Ejemplos:

39 2.

40

TRABAJOS EN CLASE

1)

2cos

x + cos x – 1 = 0

2)

2sen

x – 1 = 0

3)

tg

x – tg x = 0

4)

2sen

x + 3cos x = 3

5)

2 sen x = 1

6)

Tg

x + 3 = 2 sec

x

7)

2 cos x = cotg x

8)

sen x = cos x

41 10)

2 cos

x – sen

x + 1 = 0

11)

sen

x – sen x = 0

12)

√

13)

42

TRABAJO PRÁCTICO

1)

2)

3)

4)

5)

6)

√

7)

8)

9)

43

Las siguientes fórmulas, llamadas igualdades o identidades, muestran las relaciones entre las diversas funciones trigonométricas, que se cumplen para cualquier ángulo q, o pareja de ángulos.

TRABAJO EN CLASE

Desarrollar las siguientes identidades:

1.

2.

(

)

3.

4.

5.

6.

44

8.

tg





cot

g





sec



cos

ec



9. (tg cos ) (sen sec ) 1

2

2









10.







1

2

sec

1

1

1

_







sen

sen

11.

1

cos

1

1

sen

1

1

2

2











ec



12. (sen













13.

45

TRABAJO PRÁCTICO

Desarrollar las siguientes identidades:

1.

2.

3.

( )( )

4.

5.

6.

7.

46

Consiste en obtener de una suma o diferencia, un término final cuyos términos estén como productos entre sí.

Formulas

TRABAJOS EN CLASE

Transforma en producto:

1.

2. Cos 35º - sen 45º

3. Cos 60º - sen 60º

47

5. Cos 4x + Cos 10x

6.

7.

48 A

AB = AC

˂ A = ˂C

B C

A

AB = AC = BC

˂ A = ˂ B = ˂ C

B C

A AB = BC = AC

˂A = ˂ B = ˂ C

B C

El triángulo es el polígono más simple y también el más fundamental, ya que cualquier polígono puede resolverse en triángulos; por ejemplo, trazando todas las diagonales a partir de un vértice, o más en general, uniendo todos los vértices con un mismo punto interior al polígono. Por otra parte, un tipo particular de triángulos, los triángulos rectángulos, se caracterizan por satisfacer una relación métrica (el llamado teorema de Pitágoras) que es la base de nuestro concepto de medida de las dimensiones espaciales.

CLASIFICACIÓN POR LADOS

Isósceles

Se llama triángulo isósceles al que tiene dos lados iguales; el tercer lado se llama base. Los ángulos en la

base de un triángulo isósceles son iguales;

recíprocamente, si dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados opuestos a dichos ángulos también serán iguales.

Equilátero

Se llama triángulo equilátero al que tiene los tres lados iguales. Como un triángulo equilátero es isósceles para cualquier par de lados, resulta que los tres ángulos de un triángulo equilátero son iguales; recíprocamente, si los tres ángulos de un triángulo son iguales, el triángulo es equilátero.

Escaleno

49 A

90º ˃A

90º ˃ B

90º ˃ C B C

B C

B

A=90º C

A ˂ 90º

C ˃ 90º

B ˂ 90º

CLASIFICACIÓN POR ÁNGULOS

Acutángulo

Un triángulo que tiene sus tres ángulos agudos (mayor que 0º pero menor que 90º) se llama acutángulo.

Rectángulo

Cuando uno de los ángulos es recto (igual a 90º), se llama rectángulo.

Obtusángulo

Cuando uno de los ángulos es obtuso (mayor que 90º pero menor que 180º), el triángulo se llama obtusángulo.

A + B + C = 180º

B + C = 90º

50

Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.

RELACIONES TRIGONOMETRICAS EN LOS TRIANGULOS

a) Seno de un angulo

Son los distintos nombres dados para obtener un angulo por medio de la aplicación seno. Ejemplo:

b)

Coseno de un angulo

Son los distintos nombres dados para obtener un angulo por medio de la aplicación coseno.

Ejemplos:

c)

Tangente de un angulo

Son los distintos nombres dados para obtener un angulo por medio de la

aplicación tangente.

Ejemplos:

B

c a

A C b

51

1) Se conocen la hipotenusa y un cateto

a) cuando se conoce un cateto y la hipotenusa, se puede aplicar:

B: sen B = B = arc sen

b) Al conocer uno de los ángulos, se puede determinar el otro aplicando:

C = 90º - B

c) Al conocer uno de los ángulos, se puede determinar el otro aplicando:

{ √

2) Se conocen los dos catetos

a) cuando se conocen los dos catetos, se puede aplicar:

b) Al conocer uno de los ángulos, se puede determinar el otro aplicando:

C = 90º - B

c) Para determinar la hipotenusa, podemos aplicar :

52

3) Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo

a) Al conocer uno de los ángulos, se puede determinar el otro aplicando:

C = 90º - B

b) Al conocer uno de los ángulos y la hipotenusa, se puede determinar el otro

cateto aplicando:

{ √

4) Se conocen un cateto y un ángulo agudo

a) Al conocer uno de los ángulos, se puede determinar el otro aplicando:

C = 90º - B

{ √

53

TRABAJOS EN CLASE

Desarrollar:

1) En el siguiente. triangulo se obtienen de datos: a = 20 m y α = 37º. Hallar los demás elementos

2) En el sgte. triangulo se obtienen de datos: b = 40 m y α = 27º. Hallar los demás elementos

3) En el sgte. triangulo se obtienen de datos: b = 40 m y α = 27º. Hallar los demás elementos

a b

c a b

54

4) En el sgte. triangulo se obtienen de datos: b = 40 m y ˂ C = 27º. Hallar h ; ˂ B ; c : a : m y n

o

5) Una persona observa un punto situado a 100 m de la base de la torre, con un ángulo de depresión de 30º. Determine la altura de la torre

6) En el sgte. triangulo se obtienen de datos: h = 5 m . Hallar el lado de base y el lado igual del

triangulo isósceles B

B C

7) Un observador de 1,50 m de altura observa con un telescopio un pájaro que se encuentra en la punta de un árbol de 18 m de altura con un angulo de elevación de 30º. Determine la distancia del observador al árbol

30º

55

8) Tres niños observan un avión de la sgte manera: El que se encuentra a la derecha observa con un

angulo de elevación de 60º : el del centro lo observa verticalmente y el de la derecha con un angulo de elevación de 85º. Si la distancia entre los dos niños de los extremos es 500 m. Cuál es la altura que se encuentra el avión ?

o

9) Una escalera se encuentra apoyada por una pared vertical de 4,33 m de altura y en el suelo formando con el piso un angulo de 60º. Determine la longitud de la escalera

10) Un futbolista desea pasar una pelota sobre un árbol y para eso se ubica a 3,4 m del árbol. Lanza la pelota desde el suelo formando un angulo de 30º con la horizontal y lo pasa exactamente sobre ella. Cuál es la altura del árbol ?

11) Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 100 metros río

abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ángulo de 30º con nuestra orilla. calcular la anchura del río.

56

12) Una paparazzi pretende fotografiar al afectado actor Antonio Estandartes; para ello se sube a un

árbol de 3,75 m de altura. Si la distancia a la tapia es de 6 m y la altura de ésta de 2,25 m. ¿Bajo qué ángulo observará la propiedad del actor?, ¿cuál es la máxima separación del muro a la que podrá tumbarse nuestro famoso si no desea ver turbada su intimidad?

13) Un edificio proyecta una sombra de 150m. cuando el sol forma un ángulo de 20º 30' sobre el

horizonte, calcular la altura del edificio.

14) En la figura se ilustra un árbol que está en el lado opuesto de un lago de los puntos A y B. Desde el

punto B el ángulo de elevación es de 35o, hasta el tope del árbol. Desde el punto A, el ángulo de

57

TRABAJO PRÁCTICO

Desarrollar:

1) Un niño ha remontado un barrilete empleando un ovillo de hilo de 100 m. Se desea saber, a qué altura

de la tierra se encuentra el barrilete cuando el hilo, estando tenso, forma un ángulo de 45º con la horizontal del suelo.

a) 70,5 m b) 86,6 m c) 50 m d) 62,23 m e) 36,45 m

2) Un globo aerostático se encuentra a 1.500 m de altura sobre la línea recta que une dos estaciones, A y

B. Desde la barquilla se ve la estación A, bajo un ángulo de depresión de 30º y la estación B, bajo un ángulo de depresión de 60º, ¿Cuál es la distancia que media entre las dos estaciones?

a) 4,85 km b) 3,46 km c) 3,21 km d) 4,05 km e) 7,98 km

3) Desde lo alto de una torre que tiene 25 m. de altura se observa en una misma dirección, un aljibe y un

balde; el aljibe bajo un ángulo de depresión de 30º y el balde bajo un ángulo de depresión de 45º. ¿A qué distancia del aljibe se encuentra el balde?

a) 15,21 m b) 12,52 m c) 18,75 m d) 16,45 m e) 12,34 m

4) Un observador de un avión bajo un ángulo de 60º, y otro observador situado a 500m del 1º lo ve bajo un

ángulo de 85º estando el avión entre los dos observadores. Calcular la altura a que se encuentra el avión.

a) 600 m b) 682,45 m c) 720 m d) 753 m e) 850 m

5) Desde un balcón del primer piso de un edificio se ve, un objeto del suelo distante 9 metros de la pared,

bajo un ángulo de depresión de 30º. Desde un balcón de tercer piso que está sobre el anterior se ve el mismo objeto bajo un ángulo de depresión de 60º. Hallar la diferencia de altura entre los dos balcones.

a) 8,69 m b) 7,25 m c) 10,38 m d) 12,15 m e) 16,34 m

6) Una escalera de mano está apoyada contra la pared, de un edificio, de modo que entre el pie de la

escalera y al edificio hay 5 metros. ¿A qué altura del suelo se encuentra el extremo superior de la escalera y cuál es la longitud de la misma, si forma un ángulo de 70º con el suelo?

a) 12,25 m y 14,5 m b) 13,65 m y 14,5 c) 13,65 m y 12,48 m d) 12,25 m y 14,2 m

7) Desde lo alto de un faro, cuya altura sobre el nivel del mar, es de 120 dm, el ángulo de depresión de una

embarcación es de 15º. A qué distancia del faro está la embarcación?

58

8) Encontrar la base y la altura de un triángulo isósceles cuyo ángulo del vértice mide 65º y cuyos lados

iguales miden 415 cm.

a) 4 m; 5 m b) 3 m; 4 m c) 5 m; 3 m d) 4,46 m; 3,5 m

9) Desde el pié de un poste de ve un monumento bajo un ángulo de 45º y desde el tope, distante 10 mts.

del suelo, se ve la parte superior bajo un ángulo de elevación de 30º. Hallar la altura del monumento y la distancia del mismo poste.

a) 23,7 m b) 20 m c) 22 m d) 25 m e) 14 m

10) Una escalera de mano, cuyo pié está en la calle forma un ángulo de 30º con el suelo cuando su extremo

superior se apoya en un edificio situado en uno de los lados de la calle, y forma un ángulo de 40º cuando se apoya en un edificio situado en el otro lado de la calle. Si la longitud de la escalera es de 20 metros. ¿Cuál es el ancho de la calle?

a) 30,5 m b) 35,2 m c) 32,64 m d) 34 m e) 23 m

11) Desde el punto medio de la distancia entre los pies de dos torres, los ángulos de elevación de sus

extremos son 30º y 60º respectivamente. Hallar la altura de una de las torres sabiendo q la otra mide “h”.

a) 3h b) 4 h c) 6h d) 9 h e) 5 h

12) Una asta de bandera de 6 mts. de longitud se alza sobre la azotea de una casa. Desde un punto del

plano de la base de la casa los ángulos de elevación de la punta y la base del asta son 60º y 45º respectivamente. Hallar la altura de la casa.

a) 6,2 m b) 8,2 m c) 16,4 m d) 4 m e) 3.7 m

Respuestas de los test:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

a b c d c b a d a c

59

Son triángulos que no tienen condición notable entre sus lados y ángulos. Los triángulos oblicuángulos se rigen por dos teoremas:

Teorema de los senos

Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.

Teorema del coseno

En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.

60

Teorema de las tangentes

Área de un triángulo

El área de un triángulo es la mitad del producto de una base por la altura correspondiente.

El área de un triángulo es el semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.

Fórmula de Herón:

61

Casos de resolución de triángulos oblicuángulos

1. Resolver un triángulo conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él

1. 2.

3.

2. Resolver un triángulo conociendo dos lados y el ángulo comprendido

1.

√

2

.

3

.

3. Resolver un triángulo conociendo los tres lados

1.

2.

3. C = 180º - A - B

62

TRABAJOS EN CLASE

Desarrollar:

1.

De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.

2.

De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes elementos.

3.

Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.

4.

Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.

63 6.

Calcula la distancia que separa el punto A del punto inaccesible B.

7. Halla la longitud de los vientos que sujetan la tienda de campaña y la longitud del lado x.

64 9. Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia de A a B es 6

km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman AB y BC es 120º. ¿Cuánto distan A y C?

10. En la figura mostrada ¿A qué distancia se encuentra el globo respecto al lago?

A) H sen 2 α

B) H sec 4 α

C) H tg 2 α

D) H sec 2 α

65

TRABAJO PRÁCTICO

1. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del suelo y observa

el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45 grados. Determine la altura del edificio señalado.

2. Un río tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos P y Q de una orilla, se observa un punto R de la

orilla opuesta. Si las visuales forman con la dirección de la orilla ángulos de 40 grados y 50 grados, respectivamente, y la distancia entre los puntos P y Q es 30 metros, determine el ancho del río.

3. Un cuadro localizado sobre una pared es tal que su borde inferior está a una distancia de 20 cm. sobre el

nivel del ojo de un observador situado a 2 metros de la pared. Si el ángulo que forman las visuales con los bordes inferior y superior, respectivamente, mide 10 grados, ¿cuál es la altura del cuadro?

4. Un topógrafo situado en C, localiza dos puntos A y B en los lados opuestos de un lago. Si C está a 5.000

m. de A y a 7.500 m. de B y el ángulo ACB mide 35 grados. ¿Cuál es el ancho del lago?

5. Dos guardabosques descubren la misma fogata clandestina en dirección N 52º O y N 55º E, de sus

posiciones respectivas. El segundo guardabosque estaba a 1,93 km. al Oeste del primero. Si el guardabosque más cercano al fuego es el que debe acudir. ¿Cuál de ellos tiene que ir y cuánto tendrá que caminar?

6. Un terreno tiene la forma de un triángulo isósceles. La base está frente a un camino y tiene una longitud

de 562 m. Calcule la longitud de los lados si estos forman un ángulo de 23 grados.

7. Un barco sale de un puerto y viaja hacia el Oeste. En cierto punto gira 30 grados Norte respecto del

66

8. Desde lo alto de una torre de 300 m. de altura se observa un avión con un ángulo de elevación de 15

grados y un automóvil en la carretera, en el mismo lado que el avión, con un ángulo de depresión de 30 grados. En ese mismo instante, el conductor del automóvil ve al avión bajo un ángulo de elevación de 65 grados. Si el avión, el auto y el observador se encuentran en un mismo plano vertical: calcule la distancia entre el avión y el automóvil, también calcule la altura a la que vuela el avión en ese instante.

9. Un terreno triangular está demarcado por una pared de piedra de 134 m., un frente de 205 m. hacia la

carretera y una cerca de 147 m. ¿Qué ángulo forma la cerca con la carretera?

10. El ángulo de una de las esquinas de un terreno en forma triangular, mide 73 grados. Si los lados, entre

los cuales se encuentra dicho ángulo, tiene una longitud de 175 pies y 150 pies, determine la longitud del tercer de los lados.

11. Dos de los ángulos interiores de un triángulo miden 60º y ₄radianes. Calcule la medida del tercer

ángulo interior en grados sexagesimales y radianes.

12. En un triángulo se conocen





45

º





105

º

c



2

13. En un triángulo se conocen

a



2





60

º

14. Dos lados de un paralelogramo miden 5 m. Y 8 m., formando un ángulo de 40º. ¿Cuánto miden las

diagonales?

15. Un ángulo de un triángulo mide 45º y otro 5₈ radianes. Calcule la medida del tercer ángulo en grados