Identidades trigonométricas 1

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(1)π √ π 1. Comprueba que la siguiente expresi´on trigonom´etrica es cierta: 4sen + 2cos +cosπ = 6 4 2 √ π 2π + 4 sen − 2. Comprueba que la siguiente expresi´on trigonom´etrica es cierta: 2 3 sen 3 6 π 2 sen = 3 2 3. Sin usar la calculadora, deduce las razones trigonom´etricas del ´angulo 75 grados 4. Demuestra la siguiente igualdad trigonom´etrica: tg α + cotg α = sec α · cosec α 5. Demuestra la siguiente igualdad trigonom´etrica: senα·cosα·tgα·cotagα·secα·cosecα = 1 6. Demuestra la siguiente igualdad trigonom´etrica:. tg α sen α · cos α = 2 2 cos α − sen α 1 − tg 2 α. cotg 2 α − 1 = tg α 7. Demuestra la siguiente igualdad trigonom´etrica: cotg α − cotg α 8. Demuestra la siguiente igualdad trigonom´etrica:. sen α + cotg α = cos α tg α + cosec α. 9. Demuestra la siguiente igualdad trigonom´etrica: tg α + cotg α = 10. Demuestra la siguiente igualdad trigonom´etrica:. 1 sen α · cos α. cotg α + tg α 1 = 2 cotg α − tg α cos α − sen2 α. 11. Demuestra la siguiente igualdad trigonom´etrica: cotg 2 α − sen2 α = cotg 2 α · sen2 α 12. Demuestra la siguiente igualdad trigonom´etrica: (sen α + cos α)2 + (sen α − cos α)2 = 2 13. Demuestra la siguiente igualdad trigonom´etrica:. 1 − sen α cos α = cos α 1 + sen α. 14. Demuestra la siguiente igualdad trigonom´etrica:. 1 + tg α sen α + cos α = 1 − tg α cos α − sen α. 15. Demuestra la siguiente igualdad trigonom´etrica:. 1 + tg 2 α tg α = cotg α cos2 α. 16. Demuestra la siguiente igualdad trigonom´etrica:. tg α + tg β = tg α · tg β cotg α + cotg β. x 2 17. Demuestra la siguiente igualdad trigonom´etrica: sen x = x 1 + tg 2 2 x 1 − tg 2 2 = cos x 18. Demuestra la siguiente igualdad trigonom´etrica: x 1 + tg 2 2 2 tg. 19. Comprueba la siguiente igualdad trigonom´etrica: sen2 α − cos2 β = sen2 β − cos2 α 20. Comprueba la siguiente igualdad trigonom´etrica: cos2 α · cos2 β − sen2 α · sen2 β = cos2 α − sen2 β. 1. http://matematicasies.com.

(2) x 2 21. Demuestra la siguiente igualdad trigonom´etrica tg x = x 1 − tg 2 2 2 tg. 22. En un tri´angulo ABC, rect´angulo en A, demuestra que se cumplen las siguientes igualdades: p ˆ= c 1 − sen2 B a ˆ ˆ sen B · cos C = 1 ˆ sen B =1 cos Cˆ π  √ 23. Resuelve la ecuaci´on: sen + x − 2 sen x = 0 4 x √ − cos x = 1 24. Resuelve la siguiente ecuaci´on trigonom´etrica: 2 cos 2 25. Resuelve la siguiente ecuaci´on trigonom´etrica: sen 2α · cosec α = tg α + sec α   3π − x + cos π 26. Resuelve la ecuaci´on trigonom´etrica: sen (π − x) = cos 2 x + 1 = cos x 2 x 28. Resuelve la ecuaci´on: 2 sen2 + cos 2x = 0 2 27. Resuelve la ecuaci´on: tg 2. 29. Resuelve la ecuaci´on: cos 2x + 3 sen x = 2 √ x 30. Resuelve la ecuaci´on 3 sen + cos x − 1 = 0 2 31. Resuelve la ecuaci´on 2 sen x = tg 2x 32. Resuelve la ecuaci´on cos x · cos 2x + 2cos2 x = 0 33. Resuelve la ecuaci´on tg 2x · tg x = 1 π  π  1 34. Resuelve la ecuaci´on: sen − x + cos −x = 6 3 2 35. Resuelve la ecuaci´on: sen 2x − 2 cos2 x = 0 36. Resuelve la ecuaci´on: cos 2x − 3 sen x + 1 = 0 37. Resuelve la ecuaci´on: 4 sen2 x cos2 x + 2cos2 x − 2 = 0 38. Resuelve la ecuaci´on: 4 sen2 x + sen x cos x − 3 cos2 x = 0 PISTA : Divide todo por ... 39. Resuelve la ecuaci´on: cos2. x 1 + cos x − = 0 2 2. 40. Resuelve la ecuaci´on 2 · cos2 x + cos x − 1 = 0 41. Resuelve la ecuaci´on: 2 sen2 x − 1 = 0 42. Resuelve la ecuaci´on: tg 2 x − tg x = 0 2. http://matematicasies.com.

(3) 43. Resuelve la ecuaci´on: 2 sen2 x + 3 cos x = 3 44. Resuelve la ecuaci´on: 4 cos(2x) + 3 cos x = 1 45. Resuelve la ecuaci´on π tg( − x) + tg x = 1 4 46. Resuelve la ecuaci´on sen 2x · cos x = 6 · sen3 x 47. Resuelve la ecuaci´on: 2cos2 x − sen2 x = −1 48. Resuelve la ecuaci´on: sen2 x − sen x = 0 √ 49. Resuelve la ecuaci´on: 2 cos2 x − 3 cos x = 0 50. Resuelve la ecuaci´on: sen2 x − cos2 x = 1 51. Resuelve la ecuaci´on: cos2 x − sen2 x = 0 52. Resuelve la ecuaci´on: 2 cos2 x + sen x = 1 √ 53. Resuelve la ecuaci´on: 3 tg 2 x − 3 tg x = 0 5π 4π 7π + tg − tg 3 3 6 √ √ √ π π π π 55. Calcula 3 cos + sen − 2 cos − 2 3 sen 6 6 4 3 54. Calcula cos. 56. En un tri´angulo ABC , rect´angulo en A , comprueba que se cumplen las siguientes igualdades: ˆ c = a · cos B b = a · sin Cˆ ˆ=b c · tan B b a= cos Cˆ c b= ˆ tan B 57. Calcula sen. 5π 3π 7π + cos − sen 4 4 4. 58. Halla el valor de la siguiente expresi´on: 5 cos. π 3π − cos 0 + 2 cos π − cos + cos 2π 2 2. 59. Halla el valor de la siguiente expresi´on: 5 tg π + 3 cos 60. Simplifica la siguiente expresi´on trigonom´etrica:. π 3π − 2 tg 0 + sen − 2 sen 2π 2 2. 2 · cos (45o + α) · cos (45o − α) cos 2α. 61. Simplifica la siguiente expresi´on y calcula su valor para α = 90◦ sen 2α 1 − cos2 α 62. Sin usar la calculadora y sabiendo que sen 12o = 0,2 y sen 37o = 0,6 , halla las razones trigonom´etricas de 49o Sin usar la calculadora y sabiendo que sen 12o = 0,2 y cos 37o = 0,6 , halla las razones trigonom´etricas de 49o 3. http://matematicasies.com.

(4) 63. Sin usar la calculadora y sabiendo que sen 12o = 0,2 y cos 37o = 0,8 , halla las razones trigonom´etricas de 25o 3 π y que < x < π , averigua sen 2x 5 2  3 π π 65. Sabiendo que sen x = y que < x < π , averigua tg x + 5 2 4 64. Sabiendo que sen x =. 2 y que 0o < α < 90o , halla sen α y cos α 3  π π 3 67. Sabiendo que sen x = y que < x < π , averigua tg x + 5 2 4 66. Sabiendo que tg α =. 68. Sabiendo que tg α =. 2 y que 0 ≤ α ≤ 90o , halla sen (180o − α) 3. 69. Sabiendo que tg α =. 2 y que 0 ≤ α ≤ 90o , halla cos (180o + α) 3. 70. Comprueba si se verifica la siguiente igualdad trigonom´etrica: 2 tg x · cos2. x − sen x = tg x 2. 71. Comprueba que se cumple la siguiente igualdad trigonom´etrica: sen (α + β) tg α + tg β = sen (α − β) tg α − tg β 72. Demuestra que se cumple la siguiente igualdad trigonom´etrica: α 2 sen α − sen 2α = tg 2 2 sen α + sen 2α 2 73. Demuestra que se cumple la siguiente igualdad trigonom´etrica: cos α · cos (α − β) + sen α · sen (α − β) = cos β 74. Demuestra la siguiente igualdad trigonom´etrica: π 2π cos (x + ) − cos (x + ) = cos x 3 3 75. Demuestra la siguiente igualdad: 1 + tg α · tg β cos (α − β) = cos (α + β) 1 − tg α · tg β 76. Calcula la altura de la siguiente torre:. 4. http://matematicasies.com.

(5) 77. Calcula la altura de la siguiente torre:. 78. Halla las diagonales de un rombo de lado 8 cm. y ´angulo menor 38 grados. 79. Al recorrer 3 km. por una carretera, cuyo ´angulo de inclinaci´on es constante, hemos ascendido 280 m. ¿Qu´e ´angulo forma la carretera con la horizontal? 80. En un rect´angulo de lados 8 cm. y 12 cm. y de v´ertices A, B, C y D, dibujamos dos puntos M y N sobre su diagonal AC, de forma que los segmentos MB y ND sean perpendiculares a dicha diagonal. Halla la distancia entre M y N. 81. Dos circunferencias tangentes de radios 4m. y 9m. son adem´as tangentes a los lados de un ´angulo agudo (por la parte interior del mismo, por lo que sus centros estar´an situados sobre la bisectriz de dicho ´angulo). Halla el valor del ´angulo. 82. En el interior de un ´angulo de 30o dibujamos dos circunferencias de radios 10 cm y 13 cm. tangentes a ambos lados del ´angulo (sus centros estar´an situados sobre la bisectriz del ´angulo). Averigua la distancia entre ambos centros. 83. Tres de los ´angulos interiores de un cuadril´atero inscrito en un circunferencia de centro 6 cm. miden 60, 80 y 100 grados respectivamente. Halla el per´ımetro del cuadril´atero. 84. Hemos colocado un cable sobre un m´astil, seg´ un la figura. ¿Cu´anto miden el cable y el m´astil?. 85. Halla el ´angulo que forma la diagonal de un cubo con la diagonal de una de sus caras. 86. Halla la altura de un globo conociendo los datos del siguiente esquema:. 5. http://matematicasies.com.

(6) 87. Una persona est´a situada al lado de un ´arbol proyecta una sombra de 66 cm. y el ´arbol proyecta una sombra de 2,3 m. Sabiendo que la persona mide 1,78 m. halla la altura del ´arbol y el tipo de ´arbol que es. 88. Comprueba que se cumplen las siguientes igualdades en la imagen adjunta: F1 = F · cos 60◦ F2 = F · sin 60◦. 89. Simplifica la expresi´on: sen α ·. 1 tg α. 90. Simplifica la expresi´on: sen3 α + sen α · cos2 α √ √ 91. Simplifica la expresi´on: 1 − sen α · 1 + sen α 92. Simplifica la expresi´on: sen4 α − cos4 α 93. Simplifica la siguiente expresi´on trigonom´etrica: cos3 α+cos2 αsenα+cosαsen2 α+sen3 α   1 94. Simplifica la siguiente expresi´on trigonom´etrica: sen α · cos α tg α + tg α cos2 α − sen2 α 95. Simplifica la siguiente expresi´on trigonom´etrica: cos4 α − sen4 α 96. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, sabiendo que los ´angulos x e y son del primer cuadrante:  √ sen x + sen y = 3 f (x) = cos x + cos y = 1. 6. http://matematicasies.com.

(7) 97. Resuelve el sistema de ecuaciones trigonom´etricas, sabiendo que los ´angulos x e y pertenecen   sen2 x + cos2 y = 3 4 al primer cuadrante. 1   cos2 x − sen2 y = 4 98. En un tri´angulo de v´ertices A, B y C (rect´angulo en A) comprueba que se cumplen las siguientes igualdades: a=. b. ˆ sen B b c= tg Cˆ ˆ · tg Cˆ = 1 tg B ˆ − cos Cˆ = 0 sen B 99. Demuestra la siguiente igualdad trigonom´etrica: 2senα − sen(2α) α = tg 2 2senα + sen(2α) 2 100. Demuestra la siguiente igualdad trigonom´etrica: α 2 · tagα · sen2 + senα = tgα 2 101. Demuestra que se cumple la siguiente igualdad trigonom´etrica: 2senx − sen2x 1 − cos x = 2senx + sen2x 1 + cos x 102. Demuestra que se cumple la siguiente igualdad trigonom´etrica: cos(a + b) + cos(a − b) 1 = sen (a + b) + sen (a − b) tg a. 7. http://matematicasies.com.

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