3.1 Variables Aleatorias Definición 3.1.1. Dado un experimento aleatorio ε - 3. Variables Aleatorias Discretas y Continuas

(1)

CAPITULO 3

3.1 Variables Aleatorias

Definición 3.1.1. Dado un experimento aleatorio ε Ω el espacio muestral asociado a ε. Una función X que asigna a cada elemento ω en Ω uno y solamente un número real x = X(ω), se llama variable aleatoria. Es decir, X es una función real, X: ΩΩΩΩ→→→→IR

El dominio de la variable aleatoria X es Ω y el rango es un subconjunto de IR que lo denotaremos por “RX” rigurosamente, al hablar de función asociamos a ella el conjunto de partida y el conjunto de llegada, mas en nuestro caso vamos a trabajar siempre con Ω como dominio que a su vez lo vamos a tomar como conjunto de partida. El rango RX de la variable aleatoria X está dado por el siguiente conjunto de números reales.

) ( } ,

) ( /

{ ∈ = ∈Ω = Ω

= x IR X x X

R_X

ω

Cuando hubiera cierta duda sobre el rango de una variable aleatoria, vamos a tomar como IR, o, como un conjunto que razonablemente contenga a RX.

Definición 3.1.2. Eventos Equivalentes. Sea Ω un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio ε, y X una variable aleatoria con rango RX definida sobre Ω. Un evento A en Ω y un evento EX en RX se dice que son eventos equivalentes, si

A = {ωωω ∈ω∈∈ Ω∈Ω/X(ωΩΩ ωω) ∈ω ∈∈∈ EX}

Definición. A es un evento en el espacio muestral Ω y EX un evento en el rango RX de la variable aleatoria X, entonces definimos la probabilidad EX como

P[EX] = P[A], donde A={ω ε Ω/X(ω) ε EX}

Ejemplo 1.- Consideremos el experimento aleatorio “ lanzar una moneda tres veces”. El espacio muestral está dado por:

}

{

ccc

,

ccs

,

csc,

scc

,

ssc

,

scs

,

css

,

sss

=

Ω

. Suponga que ahora solo

nos interesa el número de caras que sale, es decir nuestra variable de interés es X(w): Número de caras que aparecen en los tres lanzamientos. Así vamos a tener que

X(ccc)=3 X(ccs) = X(csc) = X(scc) =2 X(css) = X(scs) = X(ssc) =1 X(sss)=0

(2)

Ω IR Luego la

}

{

}

{

}

{

}

{

1 ₈

(

)

0 (

8

3 csc

,

(

)

1 (

8

3 csc,

,

(

)

2 (

8

1 (

)

3 (

=

sss

P

X

P

ssc

s

cs

P

X

P

scc

s

cc

P

X

P

c

cc

P

X

P

3.2 Variables Aleatorias Discretas

Definición 3.2.1: Si el rango de la variable aleatoria X, es un conjunto finito o infinito numerable, se llama variable aleatoria discreta. En este caso

RX = {x1, x2, x3,...}

Ejemplo 2.- La variable del ejemplo 1 es una variable aleatoria discreta, porque su recorrido es un conjunto finito, en efecto es: {0, 1, 2, 3}.

Función o Ley de Probabilidad

Definición 3.2.2. Sea X una variable aleatoria discreta con rango RX. Una función definida por:

∑

= Ω ∈

=

} ) ( / {

}]

[{

]

[

)

(

x X w

w

p

x

X

P

x

p

ω

donde la suma es sobre los sucesos ω ∈ Ω tal que X(ω)= x y satisface las siguientes condiciones.

1. > ∀ ∈

∑

=

∑

= =

X X

R

x xR

X p x P X x

R x x p ε ε 1 ] [ ) ( 2. ; , 0 ) ( ccc ccs csc scc ssc scs

css sss scs

3

2

(3)

Se llama función de probabilidad o ley de probabilidad (también llamada función de cuantía) de la variable aleatoria X.

La colección de pares [(x,p(x)), ∀x

ε

R_X] se llama distribución de probabilidad de X.

La distribución de probabilidad se representa usualmente en una tabla. También se representa gráficamente como muestra la figura.

x x1 x2 x3 . . .

p(x) =P[X = x] p(x1) p(x2) p(x3) . . .

Hemos denotado a los eventos en RX por EX, pero no habrá confusión alguna si se conviene en representar a estos eventos por A, B, C etc. Y la probabilidad de un evento A con RX, se define de la siguiente manera:

∑

∈ ∈

= =

=

A

x x A

x X P x

p A

P[ ] ( ) [ ]

Ejemplo 3.- En el ejemplo 1. Hallar la distribución de probabilidad de X: numero de caras en los tres lanzamientos.

x 0 1 2 3

p(x) = P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8

El gráfico de la función de probabilidad es:

Función de probablidad número de caras en 3 lanzamiento de una moneda

0 1/8 1/4 3/8

0 1 2 3 4

Recorrido de X

P

ro

b

a

b

il

id

a

d

e

(4)

3.3 Función de Distribución de una variable Aleatoria Discreta

Otro concepto importante en el desarrollo de los siguientes capítulos es el de función de distribución, o función de distribución acumulativa, como se conoce algunas veces, debido a que se considera eventos de la forma:

]

[

inducida

ad

probabilid

su

y

]

[

X

≤

x

P

X

≤

x

Definición 3.3.1. Sea X una variable aleatoria discreta con rango R_X ={x₁,x₂,...} con función de probabilidad, p(x_i)=P[X =x_i], sea x un número real cualquiera, la función de Distribución de X se denota por “F(x)” y se define como:

∑

≤

=

≤

=

x x x

xi i i

x

X

P

x

p

x

X

P

x

F

(

)

(

)

(

)

(

)

Propiedades de la función de distribución Notación. Usaremos las siguientes notaciones:

) (∞

F en vez de ( ) y (−∞)

∞

→ F x F

lim

x en vez de xlim→−∞F(x)

Propiedad 1. 0≤F(x)≤1, ∀xε IR, pues F(x) es una probabilidad para cualquier x real y las probabilidades están limitadas por 0 y 1.

Propiedad 2. F(x) es una función no decreciente. Sean x1, x2 ε IR tales que x1 ≤x2, entonces se tiene

) ( )

(x₁ F x₂

F ≤

Propiedad 3

a) F(∞)=P[{x/X <∞}]=1, pues el evento {x/x<∞} es el conjunto de todos los números reales.

b) F(−∞)=P[{x/X <−∞}]=P[X <−∞]=0, pues el evento {x/X <−∞},es el conjunto nulo.

Propiedad 4. Sea x_k,x_k₊₁∈R_X, si x es tal que x_k ≤x<x_k₊₁, entonces

) ( )

(x F x_k

F =

(5)

Nota 2. (a) La función de distribución da directamente

) ( ]

[X a F a

P ≤ =

b)P[X ≥a]=1−P[X <a]=1−F(a−1), si a es entero y =1−F([a]), sia noesentero

c) La función de distribución F(x) se puede usar para determinar probabilidades de cualquier clase con relación a X; en particular consideremos el evento:

) ( ) ( ]

[a X b F b F a

P < ≤ = −

] [ ) ( ) ( ]

[a X b F b F a P X a

P ≤ ≤ = − + =

] [ ) ( ) ( ]

[a X b F b F a P X b

P < < = − − =

) (

] [ ) ( ) ( ]

[a X b F b F a P X b P X a

P ≤ < = − − = + =

También

) 1 ( ) ( ] [

)

(x_i =P X =x_i =F x_i −F x_i −

(6)

3.4 Variables aleatorias continuas

Definición 3.4.1. Sea X una variable aleatoria continua con rango RX. La función de densidad de probabilidad asociada a la variable aleatoria, es una función f(x) integrable que satisface las siguientes condiciones:

1. f(x)≥0, para todo x∈IR (o f(x)>0,x∈R_X)

2.

∫

+∞

∞

− =

=

X

R f(x)dx 1 (ó f(x)dx 1)

Supongamos ahora que estamos interesados en calcular la probabilidad de que la variable aleatoria tome los valores entre a y b, donde el intervalo [a, b]

⊂

RX. Es

decir, queremos calcular la P[a≤ X ≤b]; puesto que toda área vale 1, bien podemos definir esta probabilidad como el área acotada por la gráfica de f, las rectas x = a, x = b y el eje X. Por lo tanto la probabilidad del evento

} /

{x a X b

A= ≤ ≤

Se define como sigue,

∫

=

≤

=

b

a

f

x

dx

b

X

a

P

A

P

[

]

[

]

(

)

Este concepto está ilustrado en la figura

Observaciones

1. Es importante darse cuenta que f(x) no representa la probabilidad de algo y que solamente cuando la función se integra entre dos puntos produce una probabilidad.

2. Una consecuencia de la definición de probabilidad de un evento (ecuación*) es que para cualquier valor específico de X, digamos x₀,P[X =x₀]=0, puesto que:

Función de densidad de probabilidad

0,00 0,35 0,70 1,05 1,40

(7)

∫

=

≤

<

=

0

0 )

(

]

[

]

[

₀ ₀ ₀ x

x

f

x

dx

x

X

x

P

x

X

P

Este resultado puede aparecer contradictorio a la intuición, pues si X es una variable aleatoria continua se admite que X asume todos los valores de algún intervalo, entonces P[X =x₀]=0 no es equivalente a decir que el evento [X =x₀]

en RX es imposible.

Una consecuencia inmediata de (2) es el siguiente resultado:

]

[

]

[

]

[

]

[

a

X

b

P

a

X

b

P

a

X

b

P

a

X

b

P

≤

=

<

≤

=

<

=

≤

<

cuando X es una variable aleatoria continua.

Propiedades de la funcion de distribucion

Las tres primeras propiedades son los mismos que el caso discreto. 1. 0≤F(x)≤1, ∀x∈IR

2.

∫

∞ − −∞ → −∞

→ = =

=

−∞ x

x

xlim F x lim f t dt

F( ) ( ) ( ) 0

∫

₋_∞ ∞ → ∞

→ = =

=

∞ x

x

x F x lim f t dt

lim

F( ) ( ) ( ) 1

3. La función de distribución es no decreciente, esto es si a≤b, entonces

) ( )

(a F b

F ≤

4. limF x h F x x IR

h→0 ( + )= ( ),∀ ∈ , con h>0; o sea F es continua por la derecha, en

todos los puntos.

5. Del segundo teorema fundamental del cálculo se tiene que si F(x) es una función derivable, entonces:

)

(

)

(

F

x

dx

d

x

(8)

3.6 Característica de una variable aleatoria

Si bien la variable aleatoria está completamente determinada por la distribución de probabilidad [(x_i,p(x_i)); i=1,2,3...], si es discreta, y por la función de densidad f(x) si es continua, muchas veces es conveniente trabajar con algunas características descriptivas de la variable aleatoria. Introduciremos aquí las medidas descriptivas más usadas. El primero de estos es el primer momento alrededor del origen; llamado el valor esperado o la media de la variable aleatoria. (También Esperanza Matemática). El segundo momento alrededor de la media, llamado varianza de la variable aleatoria.

Definición 3.6.1: Sea X una variable aleatoria con rango RX y función de probabilidad p(x) si es discreta o función de densidad f(x) si es continua. El valor esperado o esperanza matemática de X, se denota por “E(X)”. Y se define

∑

∈

=

X

R x

x xp X

E( ) ( ), si X es una variable aleatoria discreta

∫

=

∫

₋∞_∞

=

X

R xf x dx xf x dx

X

E( ) ( ) ( ) , si X es una variable aleatoria continua

Siempre que

∑

∈RX

x

xp( ) sea absolutamente convergente. Es decir

∑

∈RX

x

x p x| ( )

| finita

y

∫

₋∞_∞|x|f(x)dx finita respectivamente.

La esperanza matemática de X, se llama también, media de la variable aleatoria, y se denota por µ, o sea

) (X E = µ

Propiedades de la esperanza matemática

Daremos aquí algunas leyes útiles que simplificarán el cálculo de la esperanza matemática. Estas leyes o teoremas nos permitirán calcular esperanzas en términos de otras conocidas o esperanzas que son fáciles de calcular.

El siguiente teorema generaliza la definición de esperanza matemática a la de una función de la variable aleatoria Y = H(X)

Teorema. Sea X una variable aleatoria, e Y = H(X) una función de X. EL valor esperado de la función H(X), denotamos por “E[H(X)]”, se define por

i)

∑

∈

=

X

R x

X si x

p x H X

H

E[ ( )] ( ) ( ), es discreta

siempre que esta serie sea absolutamente convergente. ii) E[H(X)] H(xf(x)dx,

X

R

∫

= si X es continua.

Siempre que

∫

<∞

X

(9)

Hemos visto que si X es continua, H(X) puede ser discreta o continua, en este caso restringiremos H a que Y = H(X) sea una variable aleatoria continua.

Teorema 3.6.1. Si X es una variable aleatoria, a y b constantes. Entonces i) E(a)=a.

ii) E[aH(X)]=aE[H′(X)]

iii) E[aH(X)+bG(X]=aE[H(X)]+bE[G(X)]

Teorema 3.6.2. Sea X una variable aleatoria y si a y b son constantes, entonces b

X aE b aX

E[ ± ]= ( )±

Teorema 3.6.3. Sean X1, X2,...,Xn, n variables aleatoria y ai(i=0, 1,...,n) constantes,

entonces

∑

= =

+ = + n

i

n

i

i i i

iX a a E X

a a

E

1 1

0

0 ] ( )

[

Varianza de una variable aleatoria

Definición 3.6.2. La varianza de una variable aleatoria X, se denota por Var(X) o por la letra griega 2

X

σ

(o simplemente σ2

) y se define como

Var(X) = σ2_{= E[(X - µ)}2 ]

Propiedades de la varianza y desviación tipica

Teorema 3.6.4: Si X es una variable aleatoria con media µ, la varianza de X está dado por,

2 2 2

2

) ( )] ( [ ) ( )

(X =

σ

=E X − E X =E X −

µ

Var

Teorema 3.6.5. Si X es una variable aleatoria, a y b constantes, entonces

) ( )

(aX b a2Var X

Var ± =

Consecuencia del teorema.

1. Si a = 0, Var(b)=0, la varianza de una constante es cero 2. Si b = 0, Var(aX) = a2 Var(X).