Vectors. Lleis de Newton i tipus de forces.
1. Els cables AB i BC ajuden a sostenir el sostre en voladís d’un estadi poliesportiu. Les forces que exerceixen els cables sobre la pila on estan units es representen pels vectors FAB i FAC. Les magnituds de les forces són |FAB|=100kN i |FAC|=60kN. Determina la magnitud i direcció de la suma de forces exercides sobre la pila per part dels cables.
2. En el projecte d'una escola de Basilea (Suïssa) dibuixat per H. Meyer i Wittwer el 1926, la terrassa està subjectada per un tensor a l'edifici. L'efecte del pes de la terrassa és equivalent a tenir una massa de 4.65 tones a l'extrem esquerre, subjectada a l'edifici per una plataforma rígida però sense massa. Calcula les components horitzontal i vertical de la força exercida pel tensor sobre la paret de l'edifici.
3. Suposem que la torre de telecomunicacions de Collserola, dissenyada per Norman Foster i associats, el 1992, està subjectada per varis tensors en una abstracció en dues dimensions. Si les tensions AB i CB són 50kN i 30kN, respectivament, quin valor tindrà la tensió DB sabent que la resultant de les tres forces a B ha de ser vertical? L'alçada OB és de 120m.
4. Un semàfor de 140kp penja de dos cables amb la geometria que mostra el dibuix. Quina és la tensió dels cables? Comprova gràficament el resultat.
5. Considereu les dades del problema anterior. Ha de passar una rua de Carnetoltes i la Guàdia Urbana decideix agafar amb el cable DE, de 17 metres de longitud, els punts mitjos dels cables AB i AC, com podeu veure a la figura. Però per raons de seguretat voldria assegurar-se que cap cable estigui sotmès a una tensió major a 4kN i decideix fer-nos una consulta tècnica, per veure si és possible. Què hi contestaríeu?
A B C 30º 60º a) B A C 90º 45º
b)
7. (Examen curs 1998-99) Suposem una massa de 80kg suspesa d'un sostre per un tensor, com es mostra en les figures inferiors. Si suposem que les dues configuracions estan en equilibri, dibuixa i calcula les tensions a les quals està sotmès el tensor AB.
8. La tensió en el cable AC és de 3.000N. Determineu les components de la força efectuada per aquest cable sobre el voladís en el punt C. La tensió en el cable AD és 2.750N, determineu les components de la força efectuada per aquest cable sobre el voladís en el punt D. A partir de les dades anteriors calculeu la magnitud i direcció de la força resultant exercida pels cables en el punt A.
9. Sabent que el pes de la caixa subjectada al sostre per tres cables és de 8kN i que el pes dels cables és negligible,
• fes un esquema de les forces externes que actuen sobre el conjunt caixa més cables.
• expressa en forma vectorial totes les forces externes.
• troba la tensió en cada cable.
10. La força F = 5i(kN) actua sobre el punt A de la figura adjunta, on també es troben els cables AB, AC i AD. Quines són les tensions dels tres cables?
11. A la figura, el cable AB està unit a l’extrem superior d’un piló de 3 metres d’alçada, i la seva tensió és de 50kN. Quines són les tensions dels cables AO, AC i AD?
mostra a la figura:
a) Calcula els angles , i que formes la tensió
T
ABamb els eixos de coordenades x, y i z respectivament.b) Sabent que el mòdul de la tensió
T
ACés de 60 N, calcula aquesta tensió en coordenades cartesianes.c) Calcula el pes de la placa.
13. (Setembre 2005) Donada la figura següent,
Calcula :
a) Direcció i sentit de la tensió de la corda CA des de C? (dóna el resultat amb el vector unitari corresponent)
Sòlid Rígid
1. Donada la distribució de forces del dibuix, ens diuen que la seva suma és igual a zero, i el moment pres des de A també és nul. Determina el valor de les forces FA i FB. Quant val la suma de moments des de B?
15. Quatre forces actuen sobre una biga. La suma vectorial de les forces és igual a zero. |FB|= 10 kN i està aplicada en el punt mig de la biga. Determina les magnituds FA, Fc i FD.
16. Quant val la força que ha de fer l'home de la figura per mantenir la fusta horitzontal?
17. L'home de la figura fa una certa força sobre la fusta. Aquesta es balanceja sobre el pivot de manera que baixa 50cm en el punt on hi ha l’home. Quan està en aquesta posició:
• Quant s'ha elevat la càrrega?
• Quant valen les components x i y de la força que fa l'home per mantenir la fusta inclinada?
18. Una biga volada de 5 m de longitud i 200kg/m de massa suporta una càrrega de 1.000 kp concentrada en els seu extrem lliure. L'altre extrem de la biga està encastat en una paret d'1m de gruix. Si entenem un encastament en el límit com un parell de forces aplicades en A i B, quines són les reaccions sobre la biga en A i B?
19. Els cables AB i AC ajuden a sostenir dreta la torre del dibuix. La tensió del cable AB és de 5kN. Els punts A, B, C i O estan continguts en el mateix pla vertical.
• La tensió del cable AC sobre la torre, quin moment està exercint respecte el punt O.
20. (Nadal 2005) Donats els punts a l’espai A(1,1,0) i B(2,1,2). a. Determina les components d’un vector unitari que sigui
perpendicular a les rectes OA i OB.
b. Quina és la distància mínima del punt A a la línia OB?
c. Quin angle formen les rectes OA i OB? Deixa el resultat en funció de la raó
trigonomètrica que correspongui.
d. Comprova que
A
r
⋅
(
A
r
×
B
r
)
=
0
. Dóna una explicació geomètrica en aquest resultat.e. Donats tres vectors qualssevol a l’espai
u
r
,
v
r
,
w
r
. Demostra que21. La torre que es mostra fa 70m d'alçada i està suportada per tres cables, els quals exerceixen sobre la torre unes forces FAB , FAC i FAD . La magnitud de cada força és 2kN.
• Quina és la força total exercida pels tres cables?
• Quin és el moment resultant respecte l'origen produït per aquestes forces?
• Si FAB val necessàriament 2kN, quina tensió hauran d'exercir els altres dos cables per no generar un moment a la base?
22. Una massa de 4.000kg penja de l'extrem del braç d'una grua. Aquest braç fa 12'5m de longitud i està acoblat a una cabina giratòria, a 1'50m del centre de gir de la cabina. La cabina està situada sobre una plataforma separada 0'75 metres del terra. El centre de la cabina està a 3'75m de l'eix de les rodes de darrera, i aquest eix fa 2m. En el dibuix s'indiquen els angles d'inclinació del braç i la cabina, així com la ubicació de l'origen i els eixos de coordenades (l'eix OX passa pel punt de contacte de les rodes de darrera amb el terra). Determineu el moment que fa girar la càrrega de 4.000kg a l'entorn de l'eix OX.
23. En un tros de fusta fixada per dos claus s'ha de fer un forat. Si la broca produeix un moment de 12kNm sobre la fusta, determineu la magnitud de les reaccions aplicades en els claus si aquests es localitzen en A i B, B i C, o A i C. En quin cas el treball dels claus subjectant la fusta és menor?
24. La placa horitzontal de la figura pesa 800N, i està suspesa de tres cables verticals. El pes de la placa actua en el seu punt mig. Quin valor tenen les tensions dels cables?
25. Una placa rectangular i homogènia té una massa total de 500kg. Determineu les tensions en els tres cables que la subjecten.
26. La força que actua sobre la biga exerceix un moment horari de 240Nm respecte el punt A i un moment antihorari de 120Nm respecte el punt B. Determineu la força i la distància entre A i el punt d’aplicació de la força. Determineu les reaccions dels suports.
27. La tensió del cable subjectat pel clau és de 100N. Trobeu el moment d'aquesta tensió respecte del punt de contacte clau-paret.
28. (Examen curs 2001-02) Del dibuix adjunt sabem que F1 val 30kp i F2 val 80kp.
• Dibuixa les accions i reaccions que actuen sobre la biga.
• Determina les reaccions dels suports en els punts A i B.
29. (Examen curs 1998-99) Un extrem d’una biga uniforme de 100kg de massa i 10 m de llargada pivota sobre un punt d’un mur vertical. La biga està subjectada per un cable lligat al mur 8 m per damunt de la biga però la seva longitud pot variar, de forma que es pot subjectar a la biga a diferents distàncies d respecte el mur. Si hi ha un pes de 400kg suspès en l’extrem lliure de la biga, a quina distància d del mur s’ha de lligar el cable perquè la força que fa la biga sobre el pivot no tingui component vertical? Considereu el pivot una articulació.
30. La perxa il·lustrada en la figura s'utilitza per penjar una massa de 450kg al punt F. Menyspreem el pes propi de la perxa. El suport del punt B és una articulació, i el suport en el punt A és un passador guiat, amb una reacció horitzontal. Determina:
• La reacció del passador que hi ha a E sobre DE.
• La reacció del passador a C sobre CF.
• La reacció del sòl a B sobre AB
31. Una grua fixa té una massa de 1000kg i s’utilitza per elevar un pes de 2400kg. El seu centre de gravetat està en G, la reacció en el punt A té una direcció xy mentre que a B la reacció és només horitzontal. Quin valor tenen aquestes dues reaccions?
32. A la biga volada sotmesa a una força de 20N, el moment antihorari que exerceix la força sobre el punt d’encastament P és de 20Nm.
• Determina les reaccions de l’encastament sobre la biga.
• Determina el valor de l’angle α.
33. La barra AB té en el punt A un encastament com a suport. La tensió del cable BC és de 10kN.
• Dibuixa el diagrama de sòlid rígid de la barra.
• Determina les reaccions a A.
34. El suport de la barra AO en O és una bola sobre una conca. Si el pes exercit pels taulons sobre A és 3kN, determina les tensions dels cables i les reaccions en el punt O. Calcula també la suma d’aquestes reaccions en O. Les coordenades estan expressades en metres.
35. (Examen curs 1999-2000) Un rètol de 1,5x2,4m pesa 1350N i està suportat per una ròtula A i dos cables.
• Trobeu la reacció en cada cable.
36. La torre fa 70 metres d’alçada. La tensió de cada cable és de 2kN.
• Quina mena de suport de la torre podem considerar que tenim a A.
• Quines són les reaccions a A.
37. La barra horitzontal té un pes insignificant en relació amb la força a la que està sotmesa. Determineu quin és l’angle α
necessari perquè el sistema estigui en equilibri.
38. Determina l’angle α necessari perquè la
figura estigui en equilibri, les accions sobre la barra dels passadors A i B i les reaccions que sobre el terra té la figura.
39. Determina les reaccions dels suports de la biga de la imatge.
• Si el suport A no existís, podria el sistema restar en equilibri?
40. (Nadal 2005) Una persona estira d'un cable per tal que la barra homogènia de longitud L i massa M no caigui. La barra està recolzada sobre una superfície rugosa.
a) Doneu les equacions d'equilibri de forces i moments respecte el punt A en funció dels paràmetres del sistema.
b) Si
α
=
60º
iβ
=
15
º
troba l'expressió que dóna el valor de la tensió T en funció dels paràmetres del sistema.c) Si
α
=
60
º
,β
=
15
º
iM
=
10
[ ]
Kg
, calcula el valor deA
y.41. (Juny 2006) Dos cossos de masses respectives m1=200Kg i Kg
m2 =300 s’uneixen mitjançant una corda i es recolzen en la superfície d’una esfera llisa com es mostra a la figura.
a) Determineu l’angle θ en la posició d’equilibri. b) Calcular les reaccions sobre la superfícies
c) Calcular la tensió de la corda (aproxima g≈10m/s2)
43. (Nadal 2006) Dos cilindres de masses Ma i Mb i radis Ra i b
R reposen sobre dos plans inclinats totalment llisos com s’indica a la figura. Troba la tangent de l’angle φque forma amb l’horitzontal la recta que passa pels centres dels cilindres en la posició d’equilibri. Dóna el resultat en funció dels
paràmetres necessaris que apareixen a la figura.
44. (Nadal 2006) Una barra AB homogènia de longitud L i de pes P està sostinguda mitjançant un cable en B i una articulació en A. Calcula:
• La tensió que fa el cable.
• L’angle que forma amb l’horitzontal la reacció en A.
45. (Juny 2007) Un disc es recolza en una paret vertical i sobre una barra unida a la paret anterior per una articulació A. L’altre extrem de la barra està subjectat per un cable. El pes de la barra és de 6 kp, la seva longitud 60 cm i el radi del disc és de 20 cm.
Si la tensió màxima que pot suportar el cable és de 15 kp:
1. Dibuixeu el diagrama de forces de la barra i del disc.
2. A quina distància del punt A està el punt de contacte barra disc? 3. Calculeu el pes màxim que pot tenir el disc.
4. Calculeu les reaccions en el punt A.
46. El semàfor de la figura està subjecte a una estructura ABC, la qual es manté en equilibri mitjançant un cable BD i una articulació en el punt A. L’estructura ABC és homogènia i podem considerar que està formada per dos trams AB i BC de 1200 [N] i 600 [N] de pes respectivament.
Tenint present la resta de dades indicades en la figura...
a) Dibuixeu el diagrama de sòlid lliure aplicat a l’estructura ABC.
b) Doneu les equacions d’equilibri de forces descompostes en abscisses i ordenades de l’estructura ABC.
1. Determina el centre de gravetat de la figura plana del dibuix. Pren com centre de coordenades el punt A.
2. En posar aquest camió buit sobre una bàscula, es determina que els pesos de l'eix davanter i darrer són, respectivament, 18kN i 12kN. A quina distància de l'eix darrer està el centre de gravetat del camió?
3. Un cilindre massís d'alumini de densitat 2700 kg/m3 i un de ferro amb densitat 7800 kg/m3 estan soldats segons mostra la figura. Determina el centre de masses del sistema.
A
4.Quant valdrà el centre de masses del següent punxó, el qual té el mànec de plàstic (densitat de 1030 kg/m3) i la punta metàl·lica d’acer (densitat 7860 kg/m3)? Preneu com origen de coordenades l’extrem del punxó.
5. Amb un filferro homogeni construïm un objecte com el de la figura. Trobar la relació que ha d’existir entre R i L per a que el centre de gravetat del sistema sigui C. (Ajut: Preneu com a origen de coordenades el punt C)
6.Calcula el centre de masses de la següent figura.
Dades: Densitat Alumini=2700 kg/m3. Densitat Coure (Cu)=5000 kg/m3. Densitat del
ferro=7800 kg/m3.
L
R
7.. (Juny 2005) Calculeu el centre de masses de la següent figura:
8. (Nadal 2005) Troba el centre de masses de la figura homogènia següent, respecte el vèrtex inferior esquerre. El cercle és buit i té un radi de 20 mm. El semicercle té un radi de 40 mm. Simplifica el resultat i expressa’l en funció de
π
.9. Es vol dissenyar una figura plana com la del dibuix. La barra és
rectangular de longitud L i gruix h. El semieix major de l’el·lipse val a i el menor b. L’àrea d’una el·lipse val πab. Quina relació ha d’existir entre tots aquests paràmetres per tal que el centre de masses estigui en el punt d’unió de la barra i de l’el·lipse?
120 mm
120 mm 80 mm
Y
X
40
180
180
120
40
200
10. (Nadal 2006) Determina el centre de masses de la superfície homogènia que es mostra a la figura. Fer-ho respecte els eixos indicats.
11. (Juny07) Calculeu el centre de gravetat de la figura següent formada
per coure (Cu, 2
