LAS POTENCIAS Y SUS PROPIEDADES • Definición de potencia y signos de esta.
• Multiplicación y división de potencias de igual base. • Potencia de potencia.
• Potencia de un producto y de un cuociente.
• Multiplicación y división de potencias de igual exponente.
Potencias:
Una potencia es el producto de un número "a" por si mismo "n" veces lo que se denota por an ; con a ∈IR y n ∈ Z ; luego:
a ... a
a a n
a = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
n veces a
donde "a" se llama base , "n" es el exponente y el
Ejercicios:
Calcular aplicando la definición las siguientes potencias indicadas:
8⋅8=64
5⋅5⋅5=125
(-3)⋅(-3)⋅(-3)⋅(-3) = 81
(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2) =-32
(a) 82 = (b) 53 = (c) (-3)4 = (d) (-2)5 = (e) (-12)2 =
(f) 73 = (g) 44 = (h) (-3)5 =
(-12)⋅(-12)=144 7⋅7⋅7=343
Notar que:
(c) Si la base es negativa, se indica esta entre paréntesis; así:
(a) Si el exponente es par, la potencia es siempre
positiva.
(b) Si el exponente es impar, la potencia conserva el signo de la base.
(-5)2 = (-4)3 =
-52 = -43 =
(-2)4 = -24 =
En el caso de tener exponente par, podemos ver la diferencia de escribir la base entre paréntesis o no.
(-5)⋅(-5) = 25 -1 ⋅ 52 = -1 ⋅ 25 = -25
(-4)⋅(-4)⋅(-4) = -64
(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2)= 16
-1 ⋅ 43 = -1 ⋅ 64 = -64
d) Al calcular y comparar:
i) (3 + 5)2 =
32 + 52 =
ii) (8 - 5)2 =
82 - 52 =
generalizando, se deduce que:
( 8 )2 = 64
9 + 25 = 34
( 3 )2 = 9
64 - 25 = 39
≠ ≠
n b n
a n
) b a
(
n b n
a n
) b a
(
− ≠
−
+ ≠
+
Propiedades de las potencias:
1) Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes.
Ejemplos: Al calcular:
(a) 23 . 24 = (b) 5-3 ⋅ 57 =
(c) 3 ⋅ 32 ⋅ 33=
(d) (-4)3 ⋅ (-4)-2 ⋅ (-4) =
23 + 4 =27= 128 5-3 + 7 = 54= 625
31+ 2+ 3 = 36 = 729
(-4)3 + -2 + 1 = (-4)2 =16 (e) 21/2 ⋅ 25/2 =
n
m
a
n
a
m
a
⋅
=
+
26/2 = 23 = 8 21/2 + 5/2 =
1
(g) (-3)2 ⋅ (-3)-3 ⋅ (-3)5 = 81 = (-3)4
(h) (-1)32 ⋅ (-1)-15 ⋅ (-1)43 = (-1)32 + -15 + 43 = (-1)60 = 1
Recíprocamente se tiene que ; luego:
a
m
+
n
=
a
m
⋅
a
n
Ejemplos:
(a) 42+3 =
(b) 5x+y+z =
42 · 43
5x ·5y · 5z
2) Para dividir potencias de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes.
n m a n
a : m
a = −
Ejemplos: Al calcular:
(a) 27 : 24 = (b) 59 : 55 =
(c) (-3)-2 : (-3)-5 = (d) (-4)3 : (-4)-2 =
(e) 68/3 : 62/3 =
27 - 4 = 23 = 8 59 - 5 = 54 = 625
(-3)-2 - -5 = (-3)-2+5 = (-3)3 = -27
(h) (-1)-12 : (-1)-25 =
Recíprocamente se tiene que ; luegoam−n = am : an : Ejemplos:
(a) 35 - 2 =
(b) 5x – y - z =
(f) 47 : 43 = 256 = 44
= (-3)4 (g) (-3)2 : = 81(-3)-2
(-1)-12 - -25 = (-1)-12 + 25 = (-1)13 = -1
35 : 32
3) Para elevar una potencia a potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes.
n m a n
m
a = ⋅
Ejercicios: (a) (32)3 = (b) (x5)4 =
(c) ((a2)3)5 = (d) (615)1/5 =
(e) (((-3)5)9)1/15 = (f) ((-1)3)6)7 =
36 = 729 x20
a30
615/5 = 63 = 216
4) Un producto elevado a un exponente común, es igual al producto de cada uno de los factores elevados a tal exponente; en consecuencia la potenciación es distributiva sobre la multiplicación.
(
a
⋅
b
)
n
=
a
n
⋅
b
n
Ejercicios:
(a) (2 ⋅ 3)2 = (b) (-5 ⋅ 2)3 = (c) (2 ⋅ -4)4 =
(d) (-2 ⋅ -3 ⋅ -1)5 =
22·32 = 4 · 9 = 36
(-5)3 ·23 = -125 · 8 = -1.000 24 · (-4)4 = 16 · 256 = 4.096
(e) (-3x2y3)5 =
(f) (2a6b4c3d)7 =
Ejecicios:
(a) 34 . 24 =
(b) x6 . y6 =
(3 · 2)4 = 64 = 1.296 (x·y)6 = (xy)6
27·(a6)7·(b4)7·(c3)7·(d1)7= 128a42b28c21d7
(-3)5·(x2)5·(y3)5 = -243x10y15
Recíprocamente se tiene que ; luego se deduce que para multiplicar potencias de igual exponente, se eleva el producto de las bases al exponente común.
n ) b a ( n
b n
(c) 44 ⋅ (-5)4 =
(d) 22 ⋅ 32 ⋅ 42 =
(e) (-8)3 ⋅ 103 =
(f) (-2)3 ⋅ (-3)3 ⋅ (-5)3 =
(g) (2x)3 . (4x)3 =
(h) (-3a2b)2 . (2a3b)2 =
(4 · -5)4 = (-20)4 = 160.000
(2 · 3 · 4)2 = 242 = 576
(-8 · 10)3 = (-80)3 = -512.000
(-2 · -3 · -5)3 = (-30)3 = -27.000
(2x · 4x)3 = (8x2)3 = 83·(x2)3 = 512x6
(-3a2b ·2a3b)2 = (-6a5b2)2
5) Al tener un cuociente elevado a un exponente común, es igual al cuociente de cada uno de los términos elevados a tal exponente; en consecuencia la potenciación es distributiva sobre la división.
(
a : b)
n = an : bnn
b
n
a
n
b
a
=
Ejercicios:
(a) =
5
3 2
(b) =
− 3 4 3
= 5 3
5 2
243 32
= −
3 4
3 ) 3 (
64 27
(c) = − 4 5 2
(d) =
5 10 1 =
Recíprocamente se tiene que: n ) b : a ( n
b : n
a =
n
b
a
n
b
n
a
=
luego se deduce que para dividir potencias de igual exponente, se eleva el cuociente de las bases al exponente común.
Ejercicios: (a) 183 : 93 =
(b) 754 : 254 =
(18 : 9)3 = 23 = 8
=
⋅ 5
4 5 15
8
(c) (-35)5 : 75 =
(d) 1353 : (-15)3 =
(e) (-96)4 : (-12)4 =
(h) (-36a5)6 : (12a2)6 = = 5 5 4 : 5 15 8 (f) = − 3 5 6 : 3 5 2 (g)
(-35 : 7)5 =
(135 : -15)3 =
(-96 : -12)4 =
(-5)5 = -3.125
(-9)3 = -729 (8)4 = 4.096
= 5 5 4 : 15
8 =
5 3 2 = 5 3 5 2 -1 27 3 1 1 2 =
− 3
5 6 : 5 2 =
− ⋅ 3
6 5 5 2 1 3 1 -1 = − 3 3 3 ) 1 ( =
− 3 3
1
32 243
(-36a5 : 12a2)6 = (-3a3)6
6) Toda potencia de exponente negativo es igual al valor recíproco de la base elevada al mismo exponente , pero positivo.
n a
1 n
a− =
n a n b n a b n b a = = − Ejercicios:
(a) (5)-3 =
(b) (-3)-5 =
= − − 3 7 5 (d)
(e) (a)-3 =
(f) (-2x3)-5 =
= − 3 y 5 x 3 (g) = − 3 5
7 − =
3 5 3 7 125 343 − 3 a 1 = −2x3)5 (
1
= ⋅
−2)5 (x3)5 (
1
= − 32x15
1 15 x 32 1 − = 3 x 3 y 5 = 3 ) x 3 ( 3 ) y 5 ( = ⋅ ⋅ 3 x 3 3 3 y 3 5 3 x 27 3 y 125 = − 4 3 a 2 2 b
5 − =
7) Toda potencia elevada a cero es igual a la unidad.
1 0
a =
(a) 30 = (b) (-2)0 =
(c) =
− 0
7 5
(e) (-5)0 + 30 + 70 = (f) 3x0 - 2y0 + 5z0 = (d)
( )
3 2 0 =1 1
1 1
1 + 1 + 1 = 3
3·1 - 2·1 + 5·1 = 3 - 2 + 5
8) Toda potencia de exponente fraccionario se transforma a raíz.
n m
a
n
m
a
=
Notar que el denominador del exponente fraccionario, pasa a ser el indice de la raíz y el numerador de este es el nuevo exponente de la base quedando esta expresión como cantidad subradical.
Ejercicios:
(a) 91/2 = (b) 641/3 =
=
2 19 9 = 3 =
(c) (-125)1/3 =
(d) 2561/4 =
(e) 43/2 =
(f) 82/3 =
= −
3 1251 3 125− = -5
=
42561 4 256 = 4
=
2 34 64 = 8
=
Ejercicios Complementarios:
1) Aplicar las propiedades de las potencias en calcular:
(a) Para x = -3 el valor de:
5x3 - 3x2 + 5x – 1 =
(b) − =
⋅
2
3 4 4
3
5·(-3)3 - 3·(-3)2 + 5·(-3) - 1 5·-27 - 3·9 + -15 - 1
-135 - 27 + -15 - 1
-162 + -15 - 1 -177 + -1
= -178
2
4 3 1
4 3
⋅ =
3
4 3
=
(c) = 7 3 2 : 3 3 2
(d) (61/4 ⋅51/6)12 =
7 3 3 2 − =
= 1681 4 3 2 − = 4 2 3 = 4 2 4 3 = 12 ) 6 / 1 5 ( 12 ) 4 / 1 6 ( ⋅ = 12 12 6 4 6 5 = ⋅ 2 5 3 6 ⋅ = = 216·25
= 4 8 1 : 2 16 1 (f) = −
(g) = ⋅ 3 16 5 3 15 8 = 5 4 21 : 5 20 35 (h) 3 16 5 15 8 ⋅ = 3 6 1 =
= 2161
3 6 3 1 = 1 1 3 2 5 4 21 : 20 35 = 5 21 4 20 35 ⋅ = 5 1 5 3 1 1 5 1 3 =
= 2431
5 1
5 3
(i) =
− − − −
3 3
2 3 1
3
3 3
1
2 3
1 1
3 1
−
27 1 9
1 3
1
− =
27 19 2 =
1 27 9
2
⋅ =
3
1 1
6
2) Si y ¿Cuál de las relaciones es verdadera?
2 3
a ⋅ b = 32 a3 = 8
A) a = b B) > 2·a C) 2·a > D) b < a E) a < b
2 b
2 b
Si a =83 ⇒ a = 2
Si a = 2 ⇒ a2 ⋅ b =323 2 3
2 ⋅ b =32 3
4 b =32⋅ 32 3
b = =8 4
3) Si A = ; entonces = ?2x3 A4
A) 2x B) 6x C) 8x D) 16x E) 16x
12 12 12
12 7
3
A=2x ⇒
A =
4
(2x )
3 4
4 3 4 = 2 ⋅(x )3 1 2
3 3 2
: ?
2 2 3
− − −
⋅ =
4)
A) 4/9 B) 9/4 C) 81/16 D) 64/729 E) 729/64
3 1 2
3 3 2
:
2 2 3
− − − ⋅ =
4 3
2
−
:
2 3 2
=
4 2 3
2
− −
=
6 3
2
−
=
6 2 3
=
5 5 3 3
6 4 5 2
: ?
8 9 6 5
⋅ ⋅ =
5)
A) 9 B) 3 C) 1 D) E)
1 3 1 9
5 3
6 4 5 2
:
8 9 6 5
⋅ ⋅ =
2
3 1
2 3
1 1
1 1
1
5 3
1 1
:
3 3
=
5 3 1
3
−
= = 13 2 =
6) Si a = y n = . De las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s):
2
n
b
3
l) Si a = 64 ⇒ b = 2
ll) Si n = 8 ⇒ a = 64 lll) Si b = 2 ⇒ n = 8
A) Sólo l y ll B) Sólo l y lll C) Sólo ll y lll D) Todas
E) Ninguna
2
a=n ; si a = 64 ⇒ 64=n2 ⇒ 8 = n 3
n=b ; si n = 8 ⇒ 8=b3 ⇒ 2 = b
⇒ a=82 ⇒ a = 64 si n = 8 con a=n2
⇒ n=23 ⇒ n = 8 si b = 2 con n=b3
7) Si a, b ∈ Z con a ≠ b ; n ∈ IN; se tiene que es un número positivo si:
n
(a-b)
(1) El exponente “n” es par.
(2) Si se cumple que a > b.
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional. Si
Exponente par ⇒ potencia positiva.
Si a > b ⇒ a - b > 0 ; base positiva ⇒ potencia positiva
Respuestas de Ejercicios Propuestos Clase-10 1) a) 216 b) 729 c)-125 d) 256
e)-729 f) 144 g)-100.000 h)-3.375 2) a) 125 ≠ 243 b) 400 ≠ 272 c) 49 ≠ 91
an ≠ na (a + b)n ≠ an + bn (a - b)n ≠ an - bn 3) a) 32 b) 125 c) 64 d) e) .9
25
8 27 −
4) a) 125 b) 729 c)-64 d) e) .9
16
8 125 −
5) a) 64 b) c) 49 d) e) -27 .1
729
1 64 −
6) a) 225 b) c) 200 d) 675 e) -1 1 .
7) a) 225 b)-1.000.000 c) 27 d) e) 128 .
8
1 256
8) a) b) c) d) 8 e)
27
121 9
1 64
− 7
72
− 6 3
16
9) a) 25 b) -27 c) 1 d) -27 e) .
32
1 64
10) a) b) c) d) 1 e) 243 .
16
1 243
− 4
9
125 216
11) a) 1 b) 1 c) 2 d) 3
12) a) 4 b) 2 c) 1 d) 8 e) 2 .
2