Propiedades de las potencias 2

LAS POTENCIAS Y SUS PROPIEDADES • Definición de potencia y signos de esta.

• Multiplicación y división de potencias de igual base. • Potencia de potencia.

• Potencia de un producto y de un cuociente.

• Multiplicación y división de potencias de igual exponente.

Potencias:

Una potencia es el producto de un número "a" por si mismo "n" veces lo que se denota por an _{; con a} ∈_{IR y} n ∈ Z ; luego:

a ... a

a a n

a = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

n veces a

donde "a" se llama base , "n" es el exponente y el

Ejercicios:

Calcular aplicando la definición las siguientes potencias indicadas:

8⋅8=64

5⋅5⋅5=125

(-3)⋅(-3)⋅(-3)⋅(-3) = 81

(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2) =-32

(a) 82 ₌ (b) 53 ₌ (c) (-3)4 ₌ (d) (-2)5 ₌ (e) (-12)2 ₌

(f) 73 ₌ (g) 44 ₌ (h) (-3)5 ₌

(-12)⋅(-12)=144 7⋅7⋅7=343

Notar que:

(c) Si la base es negativa, se indica esta entre paréntesis; así:

(a) Si el exponente es par, la potencia es siempre

positiva.

(b) Si el exponente es impar, la potencia conserva el signo de la base.

(-5)2 ₌ (-4)3 ₌

-52 ₌ -43 ₌

(-2)4 ₌ -24 =

En el caso de tener exponente par, podemos ver la diferencia de escribir la base entre paréntesis o no.

(-5)⋅(-5) = 25 -1 ⋅ 52 = -1 ⋅ 25 = -25

(-4)⋅(-4)⋅(-4) = -64

(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2)= 16

-1 ⋅ 43 _{= -1} ⋅ _{64 = -64}

d) Al calcular y comparar:

i) (3 + 5)2 ₌

32 _{+ 5}2 ₌

ii) (8 - 5)2 ₌

82 _{- 5}2 ₌

generalizando, se deduce que:

( 8 )2 _{= 64}

9 + 25 = 34

( 3 )2 _{= 9}

64 - 25 = 39

≠ ≠

n b n

a n

) b a

(

n b n

a n

) b a

(

− ≠

−

+ ≠

+

Propiedades de las potencias:

1) Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes.

Ejemplos: Al calcular:

(a) 23 . ₂4 ₌ (b) 5-3 ⋅ ₅7 =

(c) 3 ⋅ 32 ⋅ ₃3₌

(d) (-4)3 ⋅ _(-4)-2 ⋅ _{(-4) =}

23 + 4 ₌₂7₌ 128 5-3 + 7 _{= 5}4₌ 625

31+ 2+ 3 _{= 3}6 ₌ 729

(-4)3 + -2 + 1 _{= (-4)}2 ₌16 (e) 21/2 ⋅ ₂5/2 ₌

n

m

a

n

a

m

a

⋅

=

+

26/2 _{= 2}3 ₌ 8 21/2 + 5/2 ₌

1

(g) (-3)2 ⋅ (-3)-3 ⋅ _(-3)5 _{= 81 = (-3)}4

(h) (-1)32 ⋅ _(-1)-15 ⋅ _(-1)43 _{= (-1)}32 + -15 + 43 _{= (-1)}60 _{= 1}

Recíprocamente se tiene que ; luego:

_a

m

+

n

₌

_a

m

_⋅

_a

n

Ejemplos:

(a) 42+3 ₌

(b) 5x+y+z ₌

42 _{· 4}3

5x ·5y · 5z

2) Para dividir potencias de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes.

n m a n

a : m

a = −

Ejemplos: Al calcular:

(a) 27 _{: 2}4 ₌ (b) 59 _{: 5}5 ₌

(c) (-3)-2 _{: (-3)}-5 ₌ (d) (-4)3 _{: (-4)}-2 ₌

(e) 68/3 _{: 6}2/3 ₌

27 - 4 _{= 2}3 ₌ 8 59 - 5 _{= 5}4 ₌ 625

(-3)-2 - -5 _{= (-3)}-2+5 _{= (-3)}3 ₌ -27

(h) (-1)-12 _{: (-1)}-25 ₌

Recíprocamente se tiene que ; luego_am−n = _am _{: a}n : Ejemplos:

(a) 35 - 2 ₌

(b) 5x – y - z ₌

(f) 47 : 43 _{= 256 = 4}4

= (-3)4 (g) (-3)2 _{: = 81}(-3)-2

(-1)-12 - -25 _{= (-1)}-12 + 25 _{= (-1)}13 ₌ -1

35 _{: 3}2

3) Para elevar una potencia a potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

n m a n

m

a _ = ⋅

  

 

Ejercicios: (a) (32₎3 ₌ (b) (x5₎4 ₌

(c) ((a2₎3₎5 ₌ (d) (615₎1/5 ₌

(e) (((-3)5₎9₎1/15 ₌ (f) ((-1)3₎6₎7 ₌

36 ₌ 729 x20

a30

615/5 _{= 6}3 _{= 216}

4) Un producto elevado a un exponente común, es igual al producto de cada uno de los factores elevados a tal exponente; en consecuencia la potenciación es distributiva sobre la multiplicación.

(

_a

_⋅

_b

)

n

₌

_a

n

_⋅

_b

n

Ejercicios:

(a) (2 ⋅ 3)2 ₌ (b) (-5 ⋅ 2)3 ₌ (c) (2 ⋅ -4)4 ₌

(d) (-2 ⋅ -3 ⋅ -1)5 ₌

22_·32 _{= 4 · 9 =} 36

(-5)3 _·23 _{= -125 · 8 =} -1.000 24 _{· (-4)}4 _{= 16 · 256 =} 4.096

(e) (-3x2_y3₎5 ₌

(f) (2a6_b4_c3_d)7 ₌

Ejecicios:

(a) 34 . ₂4 ₌

(b) x6 . _y6 ₌

(3 · 2)4 _{= 6}4 ₌ 1.296 (x·y)6 ₌ (xy)6

27_·(a6₎7_·(b4₎7_·(c3₎7_·(d1₎7_{= 128a}42_b28_c21_d7

(-3)5_·(x2₎5_·(y3₎5 ₌ -243x10y15

Recíprocamente se tiene que ; luego se deduce que para multiplicar potencias de igual exponente, se eleva el producto de las bases al exponente común.

n ) b a ( n

b n

(c) 44 ⋅ _(-5)4 ₌

(d) 22 ⋅ ₃2 ⋅ ₄2 ₌

(e) (-8)3 ⋅ ₁₀3 ₌

(f) (-2)3 ⋅ _(-3)3 ⋅ _(-5)3 ₌

(g) (2x)3 . _(4x)3 ₌

(h) (-3a2_b)2 . _(2a3_b)2 ₌

(4 · -5)4 _{= (-20)}4 _{= 160.000}

(2 · 3 · 4)2 _{= 24}2 ₌ 576

(-8 · 10)3 _{= (-80)}3 ₌ -512.000

(-2 · -3 · -5)3 _{= (-30)}3 ₌ -27.000

(2x · 4x)3 _{= (8x}2₎3 _{= 8}3_·(x2₎3 ₌ 512x6

(-3a2_{b ·2a}3_b)2 _{= (-6a}5_b2₎2

5) Al tener un cuociente elevado a un exponente común, es igual al cuociente de cada uno de los términos elevados a tal exponente; en consecuencia la potenciación es distributiva sobre la división.

(

)

n

b

n

a

n

b

a

=













Ejercicios:

(a) _{ =}

   

 5

3 2

(b) _{ =}

  



− 3 4 3

= 5 3

5 2

243 32

= −

3 4

3 ) 3 (

64 27

(c) _{ =}     − 4 5 2

(d) _{ =}

     5 10 1 =       

Recíprocamente se tiene que: n ) b : a ( n

b : n

a =

n

b

a

n

b

n

a













=

luego se deduce que para dividir potencias de igual exponente, se eleva el cuociente de las bases al exponente común.

Ejercicios: (a) 183 _{: 9}3 ₌

(b) 754 _{: 25}4 ₌

(18 : 9)3 _{= 2}3 ₌ 8

=     

 _⋅ 5

4 5 15

8

(c) (-35)5 _{: 7}5 ₌

(d) 1353 _{: (-15)}3 ₌

(e) (-96)4 _{: (-12)}4 ₌

(h) (-36a5₎6 _{: (12a}2₎6 ₌ =             5 5 4 : 5 15 8 (f) =            − 3 5 6 : 3 5 2 (g)

(-35 : 7)5 ₌

(135 : -15)3 ₌

(-96 : -12)4 ₌

(-5)5 ₌ -3.125

(-9)3 ₌ -729 (8)4 ₌ 4.096

=       5 5 4 : 15

8 _{ =}

     5 3 2 ₌ 5 3 5 2 -1 27 3 1 1 2 =   

 − 3

5 6 : 5 2 ₌     

 − _⋅ 3

6 5 5 2 1 3 1 -1 = − 3 3 3 ) 1 ( =     

 − 3 3

1

32 243

(-36a5 _{: 12a}2₎6 _{= (-3a}3₎6

6) Toda potencia de exponente negativo es igual al valor recíproco de la base elevada al mismo exponente , pero positivo.

n a

1 n

a− =

n a n b n a b n b a =       = −       Ejercicios:

(a) (5)-3 ₌

(b) (-3)-5 ₌

= −      − 3 7 5 (d)

(e) (a)-3 ₌

(f) (-2x3₎-5 ₌

= −     3 y 5 x 3 (g) =      − 3 5

7 _{− =}

3 5 3 7 125 343 − 3 a 1 = −2x3)5 (

1

= ⋅

−2)5 (x3)5 (

1

= − 32x15

1 15 x 32 1 − =       3 x 3 y 5 = 3 ) x 3 ( 3 ) y 5 ( ₌ ⋅ ⋅ 3 x 3 3 3 y 3 5 3 x 27 3 y 125 =         − 4 3 a 2 2 b

5 − ₌

7) Toda potencia elevada a cero es igual a la unidad.

1 0

a =

(a) 30 ₌ (b) (-2)0 ₌

(c) _{ =}

  



− 0

7 5

(e) (-5)0 _{+ 3}0 _{+ 7}0 ₌ (f) 3x0 _{- 2y}0 _{+ 5z}0 ₌ (d)

( )

1 1

1 1

1 + 1 + 1 = 3

3·1 - 2·1 + 5·1 = 3 - 2 + 5

8) Toda potencia de exponente fraccionario se transforma a raíz.

n m

_a

n

m

a

=

Notar que el denominador del exponente fraccionario, pasa a ser el indice de la raíz y el numerador de este es el nuevo exponente de la base quedando esta expresión como cantidad subradical.

Ejercicios:

(a) 91/2 ₌ (b) 641/3 ₌

=

2 1_{9 9 = 3} =

(c) (-125)1/3 ₌

(d) 2561/4 ₌

(e) 43/2 ₌

(f) 82/3 ₌

= −

3 _{1251 3 125− =} -5

=

4_{2561 4 256 = 4}

=

2 3_{4 64 = 8}

=

Ejercicios Complementarios:

1) Aplicar las propiedades de las potencias en calcular:

(a) Para x = -3 el valor de:

5x3 _{- 3x}2 _{+ 5x – 1 =}

(b) _− ₌

     ⋅     

 2

3 4 4

3

5·(-3)3 _{- 3·(-3)}2 _{+ 5·(-3) - 1} 5·-27 - 3·9 + -15 - 1

-135 - 27 + -15 - 1

-162 + -15 - 1 -177 + -1

= -178

2

4 3 1

4 3

      ⋅       =

3

4 3

      =

(c) _ =            7 3 2 : 3 3 2

(d) (61/4 _⋅51/6)12 ₌

7 3 3 2 −       =

= ₁₆81 4 3 2 −       = 4 2 3       = 4 2 4 3 = 12 ) 6 / 1 5 ( 12 ) 4 / 1 6 ( ⋅ = 12 12 6 4 6 5 = ⋅ 2 5 3 6 ⋅ = = 216·25

=             4 8 1 : 2 16 1 (f) =         −     

(g) _{ =}      ⋅       3 16 5 3 15 8 =             5 4 21 : 5 20 35 (h) 3 16 5 15 8       _⋅ = 3 6 1       =

= ₂₁₆1

3 6 3 1 = 1 1 3 2 5 4 21 : 20 35       = 5 21 4 20 35       _⋅ = 5 1 5 3 1 1 5 1 3   =  _{ }

= ₂₄₃1

5 1

5 3

(i) ₌

− − − −

3 3

2 3 1

3

3 3

1

2 3

1 1

3 1

−

27 1 9

1 3

1

− =

27 19 2 =

1 27 9

2

⋅ =

3

1 1

6

2) Si y ¿Cuál de las relaciones es verdadera?

2 3

a ⋅ b = 32 a3 = 8

A) a = b B) > 2·a C) 2·a > D) b < a E) a < b

2 b

2 b

Si a =83 ⇒ a = 2

Si a = 2 _⇒ a2 ⋅ b =323 2 3

2 ⋅ b =32 3

4 b =32⋅ 32 3

b = =8 4

3) Si A = ; entonces = ?2x3 A4

A) 2x B) 6x C) 8x D) 16x E) 16x

12 12 12

12 7

3

A=2x _⇒

A =

4

(2x )

3 4

3 1 2

3 3 2

: ?

2 2 3

− − −

_{   }  _{ }  _{  ⋅  }  _{ }  ₌        

   

4)

A) 4/9 B) 9/4 C) 81/16 D) 64/729 E) 729/64

3 1 2

3 3 2

:

2 2 3

− − − _{   }  _{ }  _{ } ⋅ _{ }  _{ }  =            

4 3

2

− _{ }  _{ }    

  :

2 3 2

_{ }  _{ }  =     

4 2 3

2

− −

  ₌  

 

6 3

2

−

  ₌  

 

6 2 3

  =  

 

5 5 3 3

6 4 5 2

: ?

8 9 6 5

_{   }  _{   }  _{   ⋅}  _{   ⋅}  ₌          

   

5)

A) 9 B) 3 C) 1 D) E)

1 3 1 9

5 3

6 4 5 2

:

8 9 6 5

_{ }  _{ }  _{ ⋅ }  _{ ⋅ }  ₌      

   

2

3 1

2 3

1 1

1 1

1

5 3

1 1

:

3 3

    =    _{   }

5 3 1

3

−  

=  _{ } =  _{ }1₃ 2 =  

6) Si a = y n = . De las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s):

2

n

_b

3

l) Si a = 64 ⇒ b = 2

ll) Si n = 8 _⇒ a = 64 lll) Si b = 2 _⇒ n = 8

A) Sólo l y ll B) Sólo l y lll C) Sólo ll y lll D) Todas

E) Ninguna

2

a=n ; si a = 64 ⇒ 64=n2 ⇒ _{8 = n} 3

n=b ; si n = 8 ⇒ 8=b3 ⇒ 2 = b

⇒ a=82 ⇒ a = 64 si n = 8 con _a=n2

⇒ n=23 ⇒ _{n = 8} si b = 2 con _n=b3

7) Si a, b ∈ Z con a ≠ b ; n ∈ IN; se tiene que es un número positivo si:

n

(a-b)

(1) El exponente “n” es par.

(2) Si se cumple que a > b.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional. Si

Exponente par ⇒ potencia positiva.

Si a > b ⇒ a - b > 0 ; base positiva ⇒ potencia positiva

Respuestas de Ejercicios Propuestos Clase-10 1) a) 216 b) 729 c)-125 d) 256

e)-729 f) 144 g)-100.000 h)-3.375 2) a) 125 ≠ 243 b) 400 ≠ 272 c) 49 ≠ 91

an ≠ _na _{(a + b)}n ≠ _an _{+ b}n _{(a - b)}n ≠ _an _{- b}n 3) a) 32 b) 125 c) 64 d) e) .9

25

8 27 −

4) a) 125 b) 729 c)-64 d) e) .9

16

8 125 −

5) a) 64 b) c) 49 d) e) -27 .1

729

1 64 −

6) a) 225 b) c) 200 d) 675 e) -1 1 .

7) a) 225 b)-1.000.000 c) 27 d) e) 128 .

8

1 256

8) a) b) c) d) 8 e)

27

121 9

1 64

− 7

72

− 6 3

16

9) a) 25 b) -27 c) 1 d) -27 e) .

32

1 64

10) a) b) c) d) 1 e) 243 .

16

1 243

− 4

9

125 216

11) a) 1 b) 1 c) 2 d) 3

12) a) 4 b) 2 c) 1 d) 8 e) 2 .

2