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Propiedades de las potencias 2

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Academic year: 2020

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(1)

LAS POTENCIAS Y SUS PROPIEDADESDefinición de potencia y signos de esta.

Multiplicación y división de potencias de igual base.Potencia de potencia.

Potencia de un producto y de un cuociente.

Multiplicación y división de potencias de igual exponente.

(2)

Potencias:

Una potencia es el producto de un número "a" por si mismo "n" veces lo que se denota por an ; con a IR y n ∈ Z ; luego:

a ... a

a a n

a = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

n veces a

donde "a" se llama base , "n" es el exponente y el

(3)

Ejercicios:

Calcular aplicando la definición las siguientes potencias indicadas:

8⋅8=64

5⋅5⋅5=125

(-3)⋅(-3)⋅(-3)⋅(-3) = 81

(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2) =-32

(a) 82 = (b) 53 = (c) (-3)4 = (d) (-2)5 = (e) (-12)2 =

(f) 73 = (g) 44 = (h) (-3)5 =

(-12)⋅(-12)=144 7⋅7⋅7=343

(4)

Notar que:

(c) Si la base es negativa, se indica esta entre paréntesis; así:

(a) Si el exponente es par, la potencia es siempre

positiva.

(b) Si el exponente es impar, la potencia conserva el signo de la base.

(-5)2 = (-4)3 =

-52 = -43 =

(-2)4 = -24 =

En el caso de tener exponente par, podemos ver la diferencia de escribir la base entre paréntesis o no.

(-5)⋅(-5) = 25 -1 ⋅ 52 = -1 ⋅ 25 = -25

(-4)⋅(-4)⋅(-4) = -64

(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2)= 16

-1 ⋅ 43 = -1 64 = -64

(5)

d) Al calcular y comparar:

i) (3 + 5)2 =

32 + 52 =

ii) (8 - 5)2 =

82 - 52 =

generalizando, se deduce que:

( 8 )2 = 64

9 + 25 = 34

( 3 )2 = 9

64 - 25 = 39

≠ ≠

n b n

a n

) b a

(

n b n

a n

) b a

(

− ≠

+ ≠

+

(6)

Propiedades de las potencias:

1) Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes.

Ejemplos: Al calcular:

(a) 23 . 24 = (b) 5-3 ⋅ 57 =

(c) 3 ⋅ 32 ⋅ 33=

(d) (-4)3 ⋅ (-4)-2 ⋅ (-4) =

23 + 4 =27= 128 5-3 + 7 = 54= 625

31+ 2+ 3 = 36 = 729

(-4)3 + -2 + 1 = (-4)2 =16 (e) 21/2 ⋅ 25/2 =

n

m

a

n

a

m

a

=

+

26/2 = 23 = 8 21/2 + 5/2 =

1

(7)

(g) (-3)2 ⋅ (-3)-3(-3)5 = 81 = (-3)4

(h) (-1)32 ⋅ (-1)-15 ⋅ (-1)43 = (-1)32 + -15 + 43 = (-1)60 = 1

Recíprocamente se tiene que ; luego:

a

m

+

n

=

a

m

a

n

Ejemplos:

(a) 42+3 =

(b) 5x+y+z =

42 · 43

5x ·5y · 5z

(8)

2) Para dividir potencias de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes.

n m a n

a : m

a = −

Ejemplos: Al calcular:

(a) 27 : 24 = (b) 59 : 55 =

(c) (-3)-2 : (-3)-5 = (d) (-4)3 : (-4)-2 =

(e) 68/3 : 62/3 =

27 - 4 = 23 = 8 59 - 5 = 54 = 625

(-3)-2 - -5 = (-3)-2+5 = (-3)3 = -27

(9)

(h) (-1)-12 : (-1)-25 =

Recíprocamente se tiene que ; luegoam−n = am : an : Ejemplos:

(a) 35 - 2 =

(b) 5x – y - z =

(f) 47 : 43 = 256 = 44

= (-3)4 (g) (-3)2 : = 81(-3)-2

(-1)-12 - -25 = (-1)-12 + 25 = (-1)13 = -1

35 : 32

(10)

3) Para elevar una potencia a potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

n m a n

m

a = ⋅

  

 

Ejercicios: (a) (32)3 = (b) (x5)4 =

(c) ((a2)3)5 = (d) (615)1/5 =

(e) (((-3)5)9)1/15 = (f) ((-1)3)6)7 =

36 = 729 x20

a30

615/5 = 63 = 216

(11)

4) Un producto elevado a un exponente común, es igual al producto de cada uno de los factores elevados a tal exponente; en consecuencia la potenciación es distributiva sobre la multiplicación.

(

a

b

)

n

=

a

n

b

n

Ejercicios:

(a) (2 ⋅ 3)2 = (b) (-5 ⋅ 2)3 = (c) (2 ⋅ -4)4 =

(d) (-2 ⋅ -3 ⋅ -1)5 =

22·32 = 4 · 9 = 36

(-5)3 ·23 = -125 · 8 = -1.000 24 · (-4)4 = 16 · 256 = 4.096

(12)

(e) (-3x2y3)5 =

(f) (2a6b4c3d)7 =

Ejecicios:

(a) 34 . 24 =

(b) x6 . y6 =

(3 · 2)4 = 64 = 1.296 (x·y)6 = (xy)6

27·(a6)7·(b4)7·(c3)7·(d1)7= 128a42b28c21d7

(-3)5·(x2)5·(y3)5 = -243x10y15

Recíprocamente se tiene que ; luego se deduce que para multiplicar potencias de igual exponente, se eleva el producto de las bases al exponente común.

n ) b a ( n

b n

(13)

(c) 44 ⋅ (-5)4 =

(d) 22 ⋅ 32 ⋅ 42 =

(e) (-8)3 ⋅ 103 =

(f) (-2)3 ⋅ (-3)3 ⋅ (-5)3 =

(g) (2x)3 . (4x)3 =

(h) (-3a2b)2 . (2a3b)2 =

(4 · -5)4 = (-20)4 = 160.000

(2 · 3 · 4)2 = 242 = 576

(-8 · 10)3 = (-80)3 = -512.000

(-2 · -3 · -5)3 = (-30)3 = -27.000

(2x · 4x)3 = (8x2)3 = 83·(x2)3 = 512x6

(-3a2b ·2a3b)2 = (-6a5b2)2

(14)

5) Al tener un cuociente elevado a un exponente común, es igual al cuociente de cada uno de los términos elevados a tal exponente; en consecuencia la potenciación es distributiva sobre la división.

(

a : b

)

n = an : bn

n

b

n

a

n

b

a

=

Ejercicios:

(a) =

   

 5

3 2

(b) =

  

− 3 4 3

= 5 3

5 2

243 32

= −

3 4

3 ) 3 (

64 27

(15)

(c) =     − 4 5 2

(d) =

     5 10 1 =       

(16)

Recíprocamente se tiene que: n ) b : a ( n

b : n

a =

n

b

a

n

b

n

a

=

luego se deduce que para dividir potencias de igual exponente, se eleva el cuociente de las bases al exponente común.

Ejercicios: (a) 183 : 93 =

(b) 754 : 254 =

(18 : 9)3 = 23 = 8

(17)

=     

5

4 5 15

8

(c) (-35)5 : 75 =

(d) 1353 : (-15)3 =

(e) (-96)4 : (-12)4 =

(h) (-36a5)6 : (12a2)6 = =             5 5 4 : 5 15 8 (f) =            − 3 5 6 : 3 5 2 (g)

(-35 : 7)5 =

(135 : -15)3 =

(-96 : -12)4 =

(-5)5 = -3.125

(-9)3 = -729 (8)4 = 4.096

=       5 5 4 : 15

8 =

     5 3 2 = 5 3 5 2 -1 27 3 1 1 2 =   

 − 3

5 6 : 5 2 =     

 − 3

6 5 5 2 1 3 1 -1 = − 3 3 3 ) 1 ( =     

 − 3 3

1

32 243

(-36a5 : 12a2)6 = (-3a3)6

(18)

6) Toda potencia de exponente negativo es igual al valor recíproco de la base elevada al mismo exponente , pero positivo.

n a

1 n

a− =

n a n b n a b n b a =       = −       Ejercicios:

(a) (5)-3 =

(b) (-3)-5 =

(19)

= −      − 3 7 5 (d)

(e) (a)-3 =

(f) (-2x3)-5 =

= −     3 y 5 x 3 (g) =      − 3 5

7 =

3 5 3 7 125 343 − 3 a 1 = −2x3)5 (

1

= ⋅

−2)5 (x3)5 (

1

= − 32x15

1 15 x 32 1 − =       3 x 3 y 5 = 3 ) x 3 ( 3 ) y 5 ( = ⋅ ⋅ 3 x 3 3 3 y 3 5 3 x 27 3 y 125 =         − 4 3 a 2 2 b

5 − =

(20)

7) Toda potencia elevada a cero es igual a la unidad.

1 0

a =

(a) 30 = (b) (-2)0 =

(c) =

  

− 0

7 5

(e) (-5)0 + 30 + 70 = (f) 3x0 - 2y0 + 5z0 = (d)

( )

3 2 0 =

1 1

1 1

1 + 1 + 1 = 3

3·1 - 2·1 + 5·1 = 3 - 2 + 5

(21)

8) Toda potencia de exponente fraccionario se transforma a raíz.

n m

a

n

m

a

=

Notar que el denominador del exponente fraccionario, pasa a ser el indice de la raíz y el numerador de este es el nuevo exponente de la base quedando esta expresión como cantidad subradical.

Ejercicios:

(a) 91/2 = (b) 641/3 =

=

2 19 9 = 3 =

(22)

(c) (-125)1/3 =

(d) 2561/4 =

(e) 43/2 =

(f) 82/3 =

= −

3 1251 3 125 = -5

=

42561 4 256 = 4

=

2 34 64 = 8

=

(23)

Ejercicios Complementarios:

1) Aplicar las propiedades de las potencias en calcular:

(a) Para x = -3 el valor de:

5x3 - 3x2 + 5x – 1 =

(b) =

     ⋅     

 2

3 4 4

3

5·(-3)3 - 3·(-3)2 + 5·(-3) - 1 5·-27 - 3·9 + -15 - 1

-135 - 27 + -15 - 1

-162 + -15 - 1 -177 + -1

= -178

2

4 3 1

4 3

      ⋅       =

3

4 3

      =

(24)

(c) =            7 3 2 : 3 3 2

(d) (61/4 51/6)12 =

7 3 3 2 −       =

= 1681 4 3 2 −       = 4 2 3       = 4 2 4 3 = 12 ) 6 / 1 5 ( 12 ) 4 / 1 6 ( ⋅ = 12 12 6 4 6 5 = ⋅ 2 5 3 6 ⋅ = = 216·25

(25)

=             4 8 1 : 2 16 1 (f) =         −     

(26)

(g) =      ⋅       3 16 5 3 15 8 =             5 4 21 : 5 20 35 (h) 3 16 5 15 8       = 3 6 1       =

= 2161

3 6 3 1 = 1 1 3 2 5 4 21 : 20 35       = 5 21 4 20 35       = 5 1 5 3 1 1 5 1 3   =   

= 2431

5 1

5 3

(27)

(i) =

− − − −

3 3

2 3 1

3

3 3

1

2 3

1 1

3 1

27 1 9

1 3

1

− =

27 19 2 =

1 27 9

2

⋅ =

3

1 1

6

(28)

2) Si y ¿Cuál de las relaciones es verdadera?

2 3

a ⋅ b = 32 a3 = 8

A) a = b B) > 2·a C) 2·a > D) b < a E) a < b

2 b

2 b

Si a =83 a = 2

Si a = 2 a2 ⋅ b =323 2 3

2 ⋅ b =32 3

4 b =32⋅ 32 3

b = =8 4

(29)

3) Si A = ; entonces = ?2x3 A4

A) 2x B) 6x C) 8x D) 16x E) 16x

12 12 12

12 7

3

A=2x

A =

4

(2x )

3 4

4 3 4 = 2 ⋅(x )

(30)

3 1 2

3 3 2

: ?

2 2 3

− − −

              =        

   

4)

A) 4/9 B) 9/4 C) 81/16 D) 64/729 E) 729/64

3 1 2

3 3 2

:

2 2 3

− − −                =            

4 3

2

−         

  :

2 3 2

      =     

4 2 3

2

− −

  =  

 

6 3

2

  =  

 

6 2 3

  =  

 

(31)

5 5 3 3

6 4 5 2

: ?

8 9 6 5

                  =          

   

5)

A) 9 B) 3 C) 1 D) E)

1 3 1 9

5 3

6 4 5 2

:

8 9 6 5

      =      

   

2

3 1

2 3

1 1

1 1

1

5 3

1 1

:

3 3

    =       

5 3 1

3

−  

=    =   13 2 =  

(32)

6) Si a = y n = . De las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s):

2

n

b

3

l) Si a = 64 ⇒ b = 2

ll) Si n = 8 a = 64 lll) Si b = 2 n = 8

A) Sólo l y ll B) Sólo l y lll C) Sólo ll y lll D) Todas

E) Ninguna

2

a=n ; si a = 64 64=n2 8 = n 3

n=b ; si n = 8 8=b3 2 = b

a=82 a = 64 si n = 8 con a=n2

n=23 n = 8 si b = 2 con n=b3

(33)

7) Si a, b ∈ Z con a ≠ b ; n ∈ IN; se tiene que es un número positivo si:

n

(a-b)

(1) El exponente “n” es par.

(2) Si se cumple que a > b.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional. Si

Exponente par ⇒ potencia positiva.

Si a > b ⇒ a - b > 0 ; base positiva ⇒ potencia positiva

(34)

Respuestas de Ejercicios Propuestos Clase-10 1) a) 216 b) 729 c)-125 d) 256

e)-729 f) 144 g)-100.000 h)-3.375 2) a) 125 ≠ 243 b) 400 ≠ 272 c) 49 ≠ 91

an ≠ na (a + b)n ≠ an + bn (a - b)n ≠ an - bn 3) a) 32 b) 125 c) 64 d) e) .9

25

8 27 −

4) a) 125 b) 729 c)-64 d) e) .9

16

8 125 −

5) a) 64 b) c) 49 d) e) -27 .1

729

1 64 −

6) a) 225 b) c) 200 d) 675 e) -1 1 .

(35)

7) a) 225 b)-1.000.000 c) 27 d) e) 128 .

8

1 256

8) a) b) c) d) 8 e)

27

121 9

1 64

− 7

72

− 6 3

16

9) a) 25 b) -27 c) 1 d) -27 e) .

32

1 64

10) a) b) c) d) 1 e) 243 .

16

1 243

− 4

9

125 216

11) a) 1 b) 1 c) 2 d) 3

12) a) 4 b) 2 c) 1 d) 8 e) 2 .

2

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