CAMBIIO DE COORDENADAS EN INTEGRALES TRIPLES pdf

CAMBIO DE COORDENADAS EN INTEGRALES

TRIPLES

1. SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS

1.1 DEFINICIÓN

El sistema de coordenadas cilíndricas asocia a cada punto P(x,y,z) una terna )

, ,

(  z , donde (,)son las coordenadas polares de la proyección P del punto P en el plano xy, es decir que (,)son las coordenadas polares del punto P(x,y,0). La tercera coordenada z del sistema cartesiano es la misma que la tercera coordenada del sistema de coordenadas cilíndricas.

Se dice entonces que la terna (,,z) son las coordenadas cilíndricas del punto P. Para que la relación que vincula las coordenadas cilíndricas con las cartesianas sea una función biyectiva, los rangos de variación de las coordenadas cilíndricas se toman como:

     



0 , 0  2 , z



La vinculación entre coordenadas cartesianas y cilíndricas se produce mediante la siguiente transformación:

    

  

z z

sen y

x

 

 cos

1.2. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL DIFERENCIAL DE

VOLUMEN

El paralelepípedo rectangular en el espacio z, que se corresponde con las inecuaciones R₁ R₂ , ₁₂ , z₁ z z₂ se transforma mediante este cambio de coordenadas en un paralelepípedo “cilíndrico”, como se muestra en la siguiente figura:

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2. SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS

2.1. DEFINICIÓN

Un sistema de coordenadas muy importante en el espacio R3es el que corresponde a las coordenadas esféricas. Este sistema localiza los puntos en el espacio tridimensional con los siguientes tres parámetros:

 el ángulo que forma (en el plano xy) el segmento que une el origen de coordenadas con el punto P(x,y,0) (la proyección de P en el plano xy) con la parte positiva del eje x, que llamaremos 

 el ángulo que forma el vector P(x,y,z) con la parte positiva del eje z, que llamaremos 

Se dice entonces que la terna (,,) son las coordenadas esféricas del punto P. Para que la relación que vincula las coordenadas esféricas con las cartesianas sea una función biyectiva, los rangos de variación de las coordenadas esféricas se toman como:

  



0 , 0 2 , 0 

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La vinculación entre coordenadas cartesianas y esféricas se produce mediante la siguiente transformación:

    

  

 

  

  

cos cos

z

sen sen y

sen x

2.2 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL DIFERENCIAL DE

VOLUMEN

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3. TEOREMA DE CAMBIO DE VARIABLES PARA

INTEGRALES TRIPLES

Sea f :DR3R , f integrable en D.

Sea h:W D/h(u,v,w)(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)), con hC1en W. Si se cumple que:

1) h es una función biyectiva (o biunívoca, o uno a uno) de W en D.

2) (u,v,w)W se cumple que: det 0

) , , ( ) , , ( _                        w v u w v u w v u z z z y y y x x x w v u z y x J Entonces: dw dv du J w v u z w v u y w v u x f dz dy dx z y x f W D





El teorema sigue siendo válido si las condiciones 1) y 2) no se cumplen en un subconjunto de medida nula.

                       w v u w v u w v u z z z y y y x x x w v u z y x J det ) , , ( ) , , (

4. CÁLCULO DEL JACOBIANO DE TRANSFORMACIÓN PARA

COORDENADAS CILÍNDRICAS

Calculamos el jacobiano de transformación a coordenadas cilíndricas dado por

        z z sen y x    cos                                        cos cos det 1 1 0 0 0 cos 0 cos det ) , , ( ) , , ( sen sen sen sen z z y x J            

 cos2 sen2 (cos2 sen2 )

Siendo J , analizamos el módulo del jacobiano para realizar el cambio de variables en integrales triples, de acuerdo con el teorema correspondiente:

    J

5. CÁLCULO DEL JACOBIANO DE TRANSFORMACIÓN PARA

COORDENADAS ESFÉRICAS

Calculamos el jacobiano de transformación a coordenadas esféricas dado por

                                sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) (cos ) cos ( ) cos ( cos ) cos ( ) cos cos cos ( cos                 

Siendo J 2sen, analizamos el módulo del jacobiano para realizar el cambio de variables en integrales triples, de acuerdo con el teorema correspondiente:

   



 sen sen sen

J   2   2  2

El módulo de sen se analiza considerando que 0 , por lo cual sen0.

6. EJERCICIOS DE APLICACIÓN

6.1 COORDENADAS CILÍNDRICAS

A) Halle la masa de un cilindro de diámetro 6 y altura 10, con densidad . B) Encontrar el volumen de un cono de radio 4 y altura 10.

C) Calcular el volumen de definido por:

        6 3 9 9 2 2 z x y x

D) Sea la integral dada en coordenadas cilíndricas,

graficar el recinto de integración y obtener la expresión de la integral equivalente en coordenadas cartesianas.

6.2 COORDENADAS ESFÉRICAS

A) Encontrar la masa de una esfera de diámetro de 6 cm, mediante integrales triples, sabiendo que su densidad en función del radio es: .

B) Determinar la integral triple que permite calcular el volumen de un cono de tapa esférica, cuyo ángulo de apertura es ω=30°.

C) Hallar el radio de una esfera si su masa es de 288 y su densidad es (su centro se halla en el origen).

7. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS

7.1. COORDENADAS CILÍNDRICAS

A)













0 2 3 3 0 2 0 10 0 2 2 3 0 2

0    cos      cos  202,5   dz d d dz d d

B)     

3 352 10 0 4 0 2

0







Cálculos auxiliares:

La ecuación del cono en coordenadas cartesianas es 2 2 10 x y

z  

Pasando la ecuación a coordenadas cilíndricas:

                           10 10 10 ) (cos 10 cos 10 2 2 2 2 2 2 2 2 z z z sen z sen z

C)      

   9 3 cos 3 6 cos 3 3 1 0 2

0







Cálculos auxiliares:

La ecuación de la superficie cilíndrica en coordenadas cartesianas es

9 9 2 2 

y

x .

Operamos con la ecuación para realizar un cambio de coordenadas:

1 3 1 9 9 9 2 2 2 2 2

2 _  

         

 y x y x y

x Consideramos entonces:                     sen y x sen y x cos 3 cos

3 con

Con este nuevo cambio de variables, analizamos los límites de integración para z

  

cos 6 3 cos

3 3 6

3 6

3xz  xz x   z 

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D)

Cálculos auxiliares:

De acuerdo a la integral del enunciado, resulta:

 

 

     

 0 2 9

0 z

Para el caso de las variables  y , la proyección del sólido en el plano (xy) resulta un semicírculo con centro en el origen y radio 2, que se ubica sobre el eje x.

Analizamos entonces la última inecuación, que nos indicará las superficies que limitan el sólido en el sentido del eje z.

2 2 2

2

9

9 x y z x y

z       

 



Analizamos ahora el integrando. La expresión es:

   

2cos  cos

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7.2 COORDENADAS ESFÉRICAS

A) 



V dxdydz

V

Masa 

B) 



V dxdydz

V

Vol )

2 3 1 ( 3

2 3  R



C) 



V dxdydz

V

Masa 

R6

D) 



H dxdydz

H

Vol