Suma de Vectores y Multiplicación por un Escalar

UNIDAD II. ALGEBRA VECTORIAL

Sistema Coordenadas en .

Es un sistema de referencia en el espacio, que lo estudia

como un cubo, los puntos en el espacio pueden

representarse de manera análoga a como se hace en el plano cartesiano. Al plano cartesiano le agregamos un eje z, perpendicular en el origen a los ejes x e y. Tal como se puede observar en la figura. Tomados por parejas, los ejes coordenados determinan tres planos coordenados: el primer octante es aquel en el cual las tres coordenadas son positivas. En este sistema tridimensional, un punto P en el espacio viene determinado por la terna ordenada (x, y, z) donde:

x: distancia dirigida de P al plano yz y: distancia dirigida de P al plano xz z: distancia dirigida de P al plano xy

Vector

Un vector es un segmento orientado y dirigido, que va desde el punto A (origen) al punto B (extremo). Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos o flechas en y , es decir, bidimensional o tridimensional. Se caracterizan por su Magnitud, dirección y sentido.

La longitud representa el modulo o magnitud del vector, la inclinación su dirección y la "punta de flecha" indica su sentido.

z

y

x

Po(xo,yo,zo)

yo

(xo,yo,0) xo

zo z

y

x

xy

yz

Componentes de un vector

Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis vectoriales (“<” y “>”) y separadas con comas:

Si el vector viene definido del punto A al B , las componentes del vector vienen dado por:

Todo vector puede ser graficado por medio de sus componentes, partiendo desde el origen, es decir, las componentes forman el punto extremo.

Suma de Vectores y Multiplicación por un Escalar

Sea y vectores y sea c un escalar cualquiera.

1. La suma vectorial de y es el vector

2. El múltiplo escalar de c y es el vector c 3. El negativo de es un vector: – 4. La diferencia de y es

Geométricamente el múltiplo escalar

de un vector y un escalar c es el vector que tiene veces la longitud de , como se muestra en la figura.

Si c es positivo c tiene la misma dirección que si c es negativo c tiene dirección opuesta.

llamado también vector resultante, es la diagonal del paralelogramo que tiene como lados adyacentes.

Las siguientes figuras muestran las equivalencias de las definiciones geométricas y algebraicas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar y presenta (en el extremo derecho) una interpretación geométrica de

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON VECTORES

Sean y los vectores en el plano, y sean c y d escalares.

1.

2. Propiedad asociativa. 3. Propiedad de la identidad aditiva. 4. Propiedad del inverso aditivo. 5.

Vector Nulo

En matemáticas, un vector nulo o vector cero se refiere a un vector que posee módulo (longitud) cero. Se lo representa como ó 0

Su representación gráfica es un punto, ya que el punto de partida y llegada son los mismos.

El vector cero es el resultado del producto escalar por el número 0 o la suma de vectores opuestos.

Vectores Opuestos

Se llaman vectores opuestos a aquellos que tienen igual dirección y módulo pero sentido contrario, y se cumple

Vector idéntico

Dos vectores son idénticos cuando sus componentes son idénticas.

Vectores Unitarios

Un vector unitario es un vector de módulo uno. Frecuentemente se lo llama también versor o vector normalizado.

Las componentes de un vector unitario se pueden representar como una combinación definida en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será

Los vectores unitarios más utilizados son los canónicos:

Sea vector con magnitud , el vector unitario en la dirección de , viene dado por .

Dirección de un Vector

La dirección se define con los ángulos directores (, y viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

La medida en radianes de cada ángulo director de un vector es mayor que o igual a 0 y menor que o igual a .

Si son los cosenos directores de un vector, entonces:

Un vector unitario puede ser expresado en función de sus cosenos directores:

Longitud de un Vector

La longitud de un vector de n elementos es determinada a partir del teorema de Pitágoras, de acuerdo a la expresión:

La norma define la longitud de un vector desde el punto de vista de la geometría euclidiana.

Consideremos el vector _.

La norma de se denota y se define de la siguiente manera:

Producto Escalar

El producto escalar de dos vectores , denotado por , se define como:

Si y son dos vectores entonces + +

Sean vectores en el espacio y k un escalar: 1. (ley conmutativa)

2. (ley distributiva) 3.

4. 5.

6.

Angulo entre dos vectores

El ángulo  entre dos vectores , ambos no nulos, viene dado por:

Proyección Vectorial y Escalar

Sean y dos vectores el espacio y  el ángulo entre ambos, la proyección vectorial del vector sobre el vector es el vector

. La

magnitud de dicho vector se

denomina proyección escalar de sobre y viene dada por:

Vectores Paralelos

Se dice que dos vectores son paralelos si y sólo si uno de los vectores es múltiplo escalar del otro. Dos vectores no nulos y _{son paralelos si existe algún escalar c tal que}

Vectores Perpendiculares

Se dice que dos vectores y son perpendiculares u ortogonales si y sólo si

Producto Vectorial

Sean y dos vectores del espacio , el producto vectorial o externo denotado por , es un vector que tiene como modulo o norma:

Su dirección es perpendicular al plano formado por los vectores , y su sentido sigue la regla de la mano derecha o tornillo.

Si y son dos vectores entonces:

Propiedades Algebraicas del producto vectorial

Sean vectores en el espacio y k un escalar: 1.

2. 3.

4. 5.

6.

Interpretación geométrica del producto vectorial

El vector es un vector perpendicular a los vectores y su modulo representa el área del paralelogramo formado por ambos

Triple Producto Escalar

Sean vectores en el espacio, el triple producto escalar es una operación que combina tres vectores en el espacio euclídeo para obtener como resultado un número real, donde se cumple:

Interpretación Geométrica del Triple Producto Escalar:

Sean vectores en el espacio no coplanares, entonces forman los lados de un paralelepípedo en el espacio como lo muestra la figura.

Los vectores forman la base del paralelepípedo y la proyección escalar de sobre representa la altura h.

De esta forma se tiene que el triple producto escalar representa el volumen del paralelepípedo:

Triple Producto Vectorial

Sean vectores en el espacio, el triple producto vectorial viene dado por:

h=

h 