EL PLANO CARTESIANO.
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las ‘X’ y uno de las ‘Y’, respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades
correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.
Ejemplos:
Localizar el punto A ( -4, 5 ) en el plano cartesiano.
Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano.
Determinar las coordenadas del punto M.
De lo anterior se concluye que:
Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente.
Doña Lupe nos ha dicho que su farmacia está dentro del centro de la ciudad .
Supongamos que deseamos saber la ubicación exacta de la farmacia de Doña Lupe:
Una vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un policía para que nos oriente.
El policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras hacía el norte para llegar a la farmacia.
Las cantidad de cuadras que tenemos que caminar las podemos entender como coordenadas en un plano cartesiano.
Para el problema planteado ,el origen del plano será el punto de partida que es en donde le preguntamos al policía sobre la ubicación de la farmacia.
LA LINEA RECTA
Geométricamente se define como la distancia mas corta entre dos puntos.
Analíticamente es una ecuación de primer grado con dos variables y
gráficamente se define como el lugar geométrico de la sucesión de puntos, tales que, tomados dos puntos diferentes P1(x1,y1) y P2 (x2,y2) del lugar
geométrico, el valor de la pendiente m es siempre constante.
PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACIÓN
Ángulo de inclinación
Sea l una recta no paralela al eje x y que lo intersecta en el punto A.
La dirección de la recta en relación con los ejes coordenados puede indicarse si se conoce el ángulo q<
180° que se obtiene al girar la semirrecta AX en el sentido contrario a las manecillas del reloj hasta
coincidir con la recta l. Por lo tanto, este ángulo (q) se denomina inclinación de la recta l.
Pendiente de una recta
El ángulo (q) de inclinación de la recta puede tomar cualquier valor entre 0° £ q £ 180°, por lo que los siguientes criterios facilitan la comprensión del comportamiento de la pendiente en el sistema de coordenadas rectangulares:
a) m es un numero positivo, si 0° < q < 90° .
b) m es un número negativo, si 90° < q < 180° .
c) m =0, si q =0° .
d) m = ¥ , si = 90° .
La pendiente se define matemáticamente por el siguiente: Teorema
Sean P1 (x1,y1) y P2 (x2,y2) dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la
pendiente de dicha recta es:
m= y1 – y2
x1 –x2
Siendo x1¹ x2
Ejemplo:
Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que se forma con los puntos A(-6,-4) y B(8,3).
Solucion
Al sustituir los datos en la fórmula de la pendiente, resulta:
m= y1 – y2 -4 -3 -7
x1 –x2 -6 –8 -14
Donde m=1/2
Para determinar el ángulo de inclinación , utilizamos la ecuación:
q=arc tg m
q=arc tg (1/2)= arc tg(0.5)
q=26°33’ 54’’
Como la m es positiva, el ángulo q es mayor de 0° pero menor que 90°.
Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que une a los puntos A(12,-5) y B(2,1).
Al graficar los puntos dados, tenemos:
Al sustituir los datos en la fórmula de la pendiente, resulta:
m= y1 – y2 -5 -1 -6
x1 –x2 12 –2 10
Donde m=-3/5
Para determinar el ángulo de inclinación , utilizamos la ecuación:
q=arc tg m
q=arc tg (-3/5)= arc tg(-0.6)
q=30°57’ 49’’
Como la m es negativa, el ángulo q es mayor de 90° pero menor de 180°, por lo que
el ángulo encontrado deberá restarse a 180°,es decir:
q=180° –30°57’49’’=149° 2’ 11’’
Condiciones de paralelismo y perpendicularidad
1.Dos rectas que son paralelas, sus pendientes son iguales. Dos rectas, l1
y l2, son paralelas sólo si sus inclinaciones son idénticas; si las pendientes de las rectas son m1 y m2, la condición de paralelismo establece que m1 = m2.
Como l1 y l2 son paralelas, sus inclinaciones q1 y q2 son iguales, es decir, q1 =
q2 y l en consecuencia tg q1 = tg q2, por lo tanto m1 = m2.
2.Dos rectas son perpendiculares entre sí, si la pendiente de una de las rectas es recíproca y de signo contrario de la pendiente de la otra recta.
tg =-ctg q2
Tg = 1
tg q2
y como
tg q1=m1 y tg q2 =m2,
tenemos que: m1= 1/ m2
O también: dos rectas son perpendiculares entre sí, cuando el producto de sus pendientes es igual -1
m1m2=-1
3.Toda recta perpendicular al eje x no tiene pendiente, es decir la pendiente de una recta paralela al eje y no existe.
Dos rectas paralelas respectivamente a los ejes x y y , que son, por supuesto, perpendiculares, se hace notar que la pendiente de la recta paralela al eje x es cero, puesto que tg 0°=tg 180°=0; en tanto que la pendiente de la otra recta paralela al eje y es
indefinida, puesto que tg de 90°= ¥.
Ecuación punto-pendiente de una recta.
Analíticamente la ecuación de la recta se determina cuando se conocen las coordenadas de uno de sus puntos y su ángulo de inclinación o pendiente.
Teorema
La ecuación de la recta que pasa por el punto P1(x1,y1) y tiene la
pendiente dada m, es:
y-y1=m(x-x1)
DEMOSTRACION:
Sean P(x,y) y P1(x1,y1) un punto cualquiera y un punto dado,
respectivamente, de una recta.
Gráficamente, se tiene:
La pendiente de la recta PP1 es:
m = y- y1
x- x1
Despejando el denominador :
y- y1= m (x- x1)
Ejemplo:
Hallar la ecuación que pasa por el punto A(2,-4) y tiene una pendiente de (-1/3).
Solución
Al sustituir los datos dados en la ecuación punto y pendiente de la recta resulta:
y- y1= m (x- x1)
y-(-4)=-1/3(x-2)
3(y+4)=-1(x-2) 3y+12=-x+2 x+3y+12-2=0
\x+3y+10=0
Ecuación pendiente-ordenada en el origen de una recta.
Al aplicarla ecuación punto y pendiente para una recta l cuya pendiente dada es m
y pasa por el punto dado b (0,b), tenemos que:
y- y1= m (x- x1)
y- b= m(x-0)
y -b= mx
\y= mx +b
A esta forma de la ecuación de la recta también se le denomina “común”.
Una recta paralela al eje y, no tiene ordenada en el origen, por lo anterior la ecuación obtenida no se aplica; en este caso, su ecuación es: x = a.
Hay que hacer notar que la recta l tiene su ordenada en origen intersectando al eje y en b.
Teorema
La ecuación de la recta cuya pendiente es m y tiene su ordenada en el origen (b), es:
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta que tiene de pendiente –2/7 y su intersección con el eje de las y es 3.
Solución
Sustituyendo los datos en la ecuación pendiente y ordenada tenemos:
y= mx +b
y=-2/7(x)+3 y=(-2x+21)/ 7 7y=-2x+21
2x+7y-21=0
Ecuación de la recta en su forma general.
La ecuación lineal en dos variables x y y de la forma:
Ax+By+C=0
Para saber si la ecuación Ax + By +C representa siempre una línea recta, es necesario analizar su comportamiento para cuando el coeficiente de y es igual o diferente de cero.
Cuando B=0 y A<>0, la ecuación resulta de la siguiente forma:
Ax + By+C=0 Ax + (0)y+C=0
\Ax+C=0
Esta forma corresponde ala ecuación de una recta paralela al eje y; es decir:
Ax+C=0
Ax=-C
\x =-C/A abscisa en el origen
Cuando B<>0,al dividir la ecuación Ax+By+C=0 entre B, resulta:
Ax + By+C=0
Ax + By + C = 0
B B B
Ax + y + C = 0
B B
\y=(-Ax/B) – (C/B)
Esta forma corresponde ala ecuación de una recta de pendiente y ordenada en el origen, es decir , y= mx + b, de donde:
m= -A/B pendiente de la recta
Teorema
La ecuación lineal en las variables x y y ,denotada por Ax+By+C=0, representa una recta y recíprocamente.
PUNTO DE EQUILIBRIO. En este tema podemos determinar por medio de la intersección de dos líneas rectas las perdidas y utilidades que puede presentar cualquier empresa.
El costo total lo denominamos yc de producción excede al de los ingresos representado por yi obtenidos por las ventas, entonces la empresa sufre una perdida. De lo contrario yi > yc nos produce una utilidad. Por lo tanto el punto de equilibrio se determina cuando yi = yc, y esto nos indica que no hay perdidas ni ganancias.
Ejemplo:
Para un fabricante de playeras, el costo de mano de obra y de los materiales por playeras es de $15.00 pesos y los costos fijos son de $2,000 pesos al día. Si se vende cada playera en $20.00 pesos, ¿cuántas playeras deberá producir y vender con objeto de garantizar que el negocio se mantenga en el punto de equilibrio?.
Sea x el numero de playeras producidas y vendidas cada día. El costo total de producir x playeras es :
yc= costos variables totales +costos fijos
yc= 15x+2000
Dado que cada playera se vende a $20.00 pesos, el ingreso yi obtenido por vender x playeras es:
yi=20x
Dado que el punto de equilibrio se obtiene cuando los ingresos son iguales a los costos, es decir:
yi = yc 20x=15x+2,000
Despejando x de la ecuación anterior tenemos: 20x=15x+2,000
20x-15x=2,000 5x=2,000
x=2,000/5
\x=400
De modo que deberá producir y vender diariamente 400 playeras para garantizar que no haya ni utilidades ni perdidas .
Cuando x<400 , yc>yi, hay perdidas.
Observese que gráficamente, el punto de equilibrio corresponde a la intersección de las 2 líneas rectas. Una de las líneas tiene la ecuación
y=15x+2,000 , la corresponde al costo de producción , y la otra tiene la ecuación y=20x
