1. a) Calcúlense los valores de a para los cuales las rectas
0 3 z 3 y x
0 1 az 6 ay x 3
r y
a 1 z
3 y
1 x
s son
perpendiculares.
b) Para a1, calcúlese la recta que pasa por (1,1,1) y se apoya en r y s. 2. Calcúlese el simétrico deP(1,1,1) respecto del plano xyz0.
3. Calcúlese el volumen del tetraedro de vértices A(1,1,1), B(1,2,3), C(2,3,1), D(3,1,2).
4. Sea el plano xy2z50 y la recta r x yz. Se pide: a) Calcular la distancia de la recta al plano.
b) Hallar un plano que contenga a r y sea perpendicular a . c) Hallar el punto simétrico de P(1,3,3) respecto a .
5. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son A(1,1, 0), B(2, 1, 0) y C(2, 4, 0).
6. Dadas las rectas
7 y 2 x
0 z y x
r y
5 y
2 x
s , hallar un punto de cada una de ellas, de tal forma, que
el vector que los una sea perpendicular a ambas.
7. a) Hallar el valor del parámetro “a” para que los planos de ecuaciones:
4 az y x 3
2 z y x
3 z y x 2
se corten en una
recta.
b) Obtener la ecuación del plano que pasa por el punto P(2,1,3) y contiene a la recta r del apartado anterior.
8. Hallar la distancia del punto P(2,1,1) a la recta
z 3 2 yx 13 r
9. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,2,–1), es paralela al plano 2x yz30 y
perpendicular a la recta
3 4 z 1
1 y x
r
10. Sean r y s las rectas dadas por:
3 z 2 x
2 y x s , 3 y 2 z
m y x 2
r .
a) Hállese el valor de m para que ambas rectas se corten.
b) Para m1, hállese la ecuación del plano que contiene a r y s.
11. Calcúlese la distancia del punto P(1,1,1) a la recta
z 0 y
2 2 x
r .
12. Hállese la distancia entre el plano , que pasa por los puntos A(2,0,-1), B(0,0,0) y C(1,1,2), y el plano
de ecuación x5y2z60. (1 punto)
m 2 z 2 x 3 ,
0 z y 2 x
m 2 z my x 2
r
.
Estúdiese la posición relativa de r y en función del valor de m.
14. Para el valor m=1, hállese la ecuación del plano que pasa por el punto de corte de r y y es perpendicular a la recta tx yz.
15. Calcúlese la distancia entre las rectas r y s de ecuaciones
1 2 z 1
3 y 1 x s , z
0 y
2 1 x r
16. Hállese la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(2,2,-1), B(4,0,2) y es perpendicular al plano x5y2z60.
17. Hallar la distancia entre el punto A(2,1,4) y la recta
3 z 1 y 2
1 x
r .
18. Se consideran las rectas r y s de ecuaciones respectivas
1
0
,
0
2
y
x
r
s
z
z
a) Estudiar la posición relativa de r y s.
b) Determinar la recta que corta perpendicularmente a r y s. c) Hallar la distancia entre r y s.
19. Hallar el seno del ángulo formado por la recta r y el plano p dados por
3 z y 2
z x
r , p x yz.
20. Calcúlese la distancia del origen al plano que pasa por A(1,2,0) y contiene a la recta z
3 / ) 1 y ( 2 / ) 2 x (
r .
21. a) Determínese el punto simétrico de A(3,1,7) respecto de la recta
2 1 z 2
3 y 1 x
r .
b) Hállese la distancia entre A y r.
22. Dados el punto A(3,5,1) y la recta
4 1 z 2 y 2
1 x
r , hállese el punto B perteneciente a r tal que el vector de extremos A y B es paralelo al plano de ecuación 3x2yz50.
23. Hallar un vector de módulo uno que sea ortogonal a los vectores (2,2,1) y (2,0,-1). (1 punto)
24. Dadas las rectas r y s:
a z 2 x
5 y x s ; 2 z y
0 z 2 x r
a) Hallar el valor de a para que ambas rectas estén en el mismo plano. b) Hallar la ecuación de dicho plano.
25. ¿Cuál es el ángulo que forma la recta x yz con el eje OX?
27. De una recta r se sabe que está contenida en el plano de ecuación xy 0, que A(0,0,0) pertenece a r, y que el vector que une A y B(1,0,1) es perpendicular a r. Determinar la recta r, y calcular la distancia entre r y el plano paralelo a que pasa por B.
28. Sea A el punto medio del segmento de extremos P(3,2,1) y Q(1,0,1). Calcular el volumen del tetraedro de vértices A, B(2,1,3), C(1,2,3) y D(3,4,1).
29. Sea la recta
0 3 z x 2
0 1 y x
r .
a) Escríbase la recta en forma paramétrica.
b) Para cada punto P de r, determínese la ecuación de la recta que pasa por P y corta perpendicularmente al eje OZ.
30. Determínese si el plano 2x3y40 corta o no al segmento de extremos A(2,1,3) y B(3,2,1) .
31. Hállese la ecuación del plano que contiene a la recta r x yz y es perpendicular al planox yz10.
32. Se considera el plano x + ay + 2az = 4 y la recta
3 z y 2 x
2 z 2 y x r
a) Determinar los valores de a para los cuales la recta y el plano son paralelos. (1 punto)
b) Para a = 2 , calcular la recta que pasa por P(1,0,−1) , es paralela al plano p y se apoya en la recta r. (2 puntos)
33. Sabiendo que tres de los vértices de un paralelogramo son los puntos A(1,1, 2) ,B(1,1, 4) y C(3,3,6) , hallar el área del mismo.
34. El triángulo ABC es rectángulo en A, siendo A(3,0,-1) , B(6,-4,5) , C(5,3,z) . Calcúlese el valor de z y hállese el área del triángulo.
35. Sea r la recta que pasa por los puntos A(1,1,1) y B(3,1,2), y sea s la recta de ecuaciones
0 2 y
1 z 2 x s
Se pide:
a) Estudiar su posición relativa.
b) Si fuera posible, calcular su punto de intersección. c) Calcular, si existe, un plano que las contenga.
36. Hallar la distancia desde el punto P(1,3,-2) a la recta
2 1 z
1 y
3 2 x r
37. Calcular la distancia entre las rectas de ecuaciones:
4 z x 7
1 y x 3
r y
4 3 z 3
2 y 2 x
s .
38. Se consideran la recta z 2
2 y 3
1 x
r y el punto P(1,8,2) .
a) Hállese el punto A de r tal que el vector AP es perpendicular a r.
39. Determinar el ángulo que forman la recta z 3
1 y 2 x
r y el plano xyz 4.
40. Sea 0 un número real, y las rectas de ecuaciones
y z
2 x
r y
2 3 z
2 y
4 1 x
s . Para el valor de
para el que r y s son paralelas, hallar el plano que las contiene.
41. Se consideran las rectas r y s dadas por las ecuaciones:
2 z y x 2
1 z y x
s y
a z 2
1 y 3
2 x
r
a) Hallar el valor del parámetro a para que r y s sean perpendiculares.
b) Hallar la recta t paralela a r y que pasa por el punto de s cuya coordenada z es 0.
42. Dadas las rectas
2 1 z y 3
1 x
r y
4 z y 2
0 y z 2
t , se pide hallar la perpendicular común a s y a t y la
distancia entre ambas rectas.
43. Se consideran la recta
4 z ay
0 az y x
r con a y el plano xyz20.
a) Hallar los valores de a para los que r es paralela a . b) Para a = 2, hallar la distancia de r a .
c) Para a = 1, hallar la distancia de r a .
44. Dados el punto P(1, 1, -1) , la recta z 3 4
6 y x
r y el plano 6x6z120, se pide:
a) Hallar el punto simétrico de P respecto del plano .
b) Hallar los puntos Q de r que distan 2
1 unidades de longitud de.
45. Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto A (1,0,-1), es perpendicular al plano
0 1 z 2 y
x
y es paralelo a la recta
0 y 2 x
0 z
r .
46. a) Determinar las coordenadas del punto simétrico de A (-2,1,6) respecto de la recta
2 1 z 2
3 y 1
1 x
r .
b) Hallar la distancia de A a r.
47. a) Determinar las ecuaciones de los planos paralelos al plano 12x3y4z7 que distan 6 unidades del mismo.
b) Probar que el punto P (1,1,2) pertenece a π, y calcular la recta perpendicular a π que pasa por P.
48. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2,-1,1) y corta perpendicularmente a la recta z
2 1 y 2
2 x
49. a) Determinar la posición relativa de la recta
2 x 2 z
1 x y
r y el plano xy0 .
b) Hallar el plano perpendicular a π que contiene a r.
50. a) Hallar la recta r que pasa por el punto A (0,-1,1), está contenida en el plano xy 0, y corta a la recta sx yz.
b) Hallar la distancia del punto B (2,-2,2) a la recta s.
51. Sean la recta
0 z my
1 y x
r y el plano x (m1)ymzm1. Estudiar la posición relativa de la
recta y el plano según los valores de m.
52. a) Calcular un vector unitario y ortogonal a los vectores v(1,2,0) y w (1,0,1)
b) Calcular el plano que contiene a las rectas
0 z x
0 1 y
r y z 2
0 3 y 1 x
s
