MATRICES
1. Efectuando operaciones y despejando x 5x = 3A – 12(B+C) – 3x+A
( ) 1 3( )
8 4 A 12 B C A B C 2 2
x= − + → =x − +
1 8 1 2 4 14
1 3 1
7 3 3 1 2 6
2 2
x= − − −− = −
2 7 1 3
x=
−
∴ det(x) = 13
Respuesta
13
SISTEMA DE ECUACIONES 2. Mediante la regla de Cramer
2 2
1 1
s α β
∆ = = α + α − β + β β − α + 1 1 3 3 1 x − β ∆ = = −α − − β α + 1 3 1 1 3 y α − ∆ = = α + β − α −
Luego: x 1; y 1
s
x x y
s
∆ ∆
= = − = =
∆ ∆
CS = {(– 1; 1)}
Respuesta
– 1; 1
SERIES 3. 0 0 1 1 S 2 2 k k k k ∞ ∞ = = =
∑
− +∑
1 1 S 1 1 1 1 2 2 = + − − − 2 8 S 2 3 3 = + = RespuestaS = 8 3
SERIES 4. Sea
3 3 3 3
1 1 1 1
S 1 ...
8 16 2 4 = + + + + + Podemos escribir 3 3 3 0 3
1 1 2
S 1
2 1 2 1 2 k k ∞ = = = = − −
∑
Respuesta 3 3 2 2 1−TEORÍA DE ECUACIONES
5. 1 1 1 1
a+ =b x a b+ + − x
a b+ a b
ab
− +
= (
(
)
)x x a b+ +
x2+(a+b)x+ab = 0 (x+a)(x+b) = 0
x1 = – a (menor) x2 = – b (mayor)
1 2
x a
x =b Respuesta a b
DESIGUALDADES
6. 2 1 1 2 1 3 1 1
1 3 3
x
x x x
x
− < → − < − ∧ ≠ −
|2x – 1|2< |3x – 1|2
(5x – 2)x > 0 ∧ x ≠1
3
{
0 2}
15 3
x< ∨ >x ∧ ≠x
2 ; 0 ;
5
x∈ −∞ ∪ + ∞
2 S ; 0 ;
5
= −∞ ∪ + ∞
[ ]
C 2
S 0; ; 5 a b
= =
∴ 3a+5b = 2
Respuesta
2
FUNCIONES 7. y2+2y = x+1 (y+1)2 = x+2
Como y > 0 y+1>1 (y+1)2>1 x+2 > 1 x >–1
Dom (f)= 〈–1; +∞〉
Respuesta
〈1; +∞〉
8.
(1; 2) (3; 4) y=x+1 Y
X y=x–1 (3; 2) (3; 0) (1; 0)
a+b+c+d+e+f+g+h=16
Respuesta
16
9. f(ax+by) = af(x)+bf(y) a=0; y=1→ f(b) = bf(1) Como f(1) = 1 Entonces f(b) = b, ∀b ∈
Tenemos y2+6y+9=n2 (y+3–n)(y+3+n) = 0 y1=n – 3 ∨ y2= –n–3
Respuesta
n–3
10. R1={(x, y) ∈2 / y ≥ (x+1)log(x+1)(x)} y ≥ x; x>0
Y
X
R2={(x, y) ∈2 / y ≤ 1+log(x+2)} Y
X
Tenemos R1 ∩R2 Y
X
Respuesta
FUNCIONES
11. f(x) = 2000 – 1000e–0,001x I. Es creciente:
f ‘(x) = 0 – 1000e–0,001x(–0,001) f ‘(x) > 0
II. f(0) = 2000 – 1000e–0,001(0) f(x) = 2000 – 1000 = 1000
III. lim f(x) = lim (2000 – 1000e–0,001x) x→+∞ x→ +∞
= 2000
Entonces: VVV
Respuesta
VVV
FUNCIONES 12.
I. Sea A= 0 0 0
a b c d e f
→ AT=
0 0 0
a b d
c e f
A=AT→ b=0 y c=0 ∧ e=0 (F)
II. A=
0 0 0
a b c
d e f
→ AT= 0
0 0
a b d c e f
A=–AT→ A=
0 0 0 0 0 0 0 0 0
(V)
III. (V)
Respuesta
FVV
MATRICES
13. N = 111111(3)
Expresándolo en base 9 con cambio de base especial
N = 444(9)
Piden multiplicar N consigo mismo
4 4 4(9)× 4 4 4(9) 1 8 8 7(9) 1 8 8 7(9) 1 8 8 7(9) 2 2 1 6 6 7(9)
Ahora: N × N = 221667(9)
Expresando dicho producto en base 3 con cambio de base especial
N × N = 20201202021(3) Suma de digitos:
2+0+2+0+1+2+0+2+0+2+1=12=110(3) Respuesta
110(3)
IRRACIONALES 14.
I. Si y ∈ \{0} y x ∈ , entonces por propiedad de clausura
y
x∈. (V)
II. Si a y b son irracionales, entonces a+b y a ×b son racionales.
→ si tomamos, a= 2 y b= 2, no se
cumple. (F)
III. Si a ∈ y b es irracional, entonces a ×b es irracional.
→ si tomamos, a=0, a ×b=0, no se
cumple. (F)
Respuesta
RADICACIÓN EN N 15. Dato:
1 7 a b c d 9 1 3 3 1
1 2 3× 3 = 6 9
– 7 a 2 6 3 × 3 = 7 8 9 6 9 2 6 6 1 × 1 = 2 6 6 1 – 8 b c
7 8 9 – 2 6 d 9
2 6 6 1 – – – e
Observe:
8+69=77=7a → a=7
26+789=815=8bc → b=1 y c=5 e+2661=26d9 → e=8 y d=6 Piden
E = e+d – c+b – a E = 8+6 – 5+1 – 7
∴ E = 3
Respuesta
3
MAGNITUDES PROPORCIONALES 16. Dato: (y – 4) IP (x2– 4)
Respecto a sus valores se cumple: (y – 4)(x2– 4)=k’
Para el par ordenado: (–1; –2) → x=–1 ∧ y=–2
Reemplazando
2
–6 –3
(–2 – 4)((–1) – 4) =k′→k′=18
Ahora: (y – 4)(x2– 4)=18
2
18 – 4
– 4
y x
=
∴ 218 4 – 4
y x
= +
Respuesta
2
18 4 – 4
y x
= +
PROMEDIOS
17. Dato: a ∈ ∧ b ∈, a>b Además:
2 2
MA( ; ) – MH( ; ) 1
a b ab
a b
a b a b
+
+
=
–
(a+b)2 – 4ab=2(a+b) a2 +b2 + 2ab – 4ab=2(a+b)
a2 +b2 – 2ab=2(a+b)
2
4 8
( – )a b =2(a b+ )
(a – b)2 es cuadrado perfecto y piden el menor valor de
2 2
a +b
8 – 4
a b a b
+ = =
a=6 b=2
∴ a2+b2 = 62+22 = 40 =2 10 Respuesta
2 10
REGLA DE INTERÉS 18. Tenemos
C=S/. N r %=6 %
I=S/. 825
t= años
C=S/. (N+7125) r%=10 %
I=S/. 1850
t= años donde 1850=(N+7125)10 %· t 8250=N·6 % · t
Dividimos y simplificamos
37 N 7125 55 2 N
74N=55N+55×7125 19N=55×7125
N=55×375=20 625 Piden suma de montos M1=20 625+825=21 450 M2=27 750+1850=29 600
∴ M1+ M2=51 050 Respuesta
51 050
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 19.
N.º de hijos N.º de familias
0-2 1200
3-6 400
7-9 150
10-12 30
13-15 15
Distribución uniforme 4-6 → 300 familias 7-9 → 150 familias 10-11 → 20 familias
∴ De 4 a 11 hijos → 470 familias
Respuesta
470
PROBABILIDADES
20. I. Sean A, B y C eventos (F) P(A ∪ B ∪ C) = P(A)+P(B)+P(C) – P(A ∩ B)+P(B ∩ C)+ P(A ∩ C) – P(A ∩ B ∩ C)
Sabemos que por el principio inclusión y exclusión
P(A ∪ B ∪ C) = P(A)+P(B)+P(C) – P(A ∩ B) – P(B ∩ C) – P(A ∩ C)+P(A ∩ B ∩ C)
II. Sean (F)
S = {(x; y) / x, y ∈{1; 2; 3; 4; 5; 6}} B = {(x; y) ∈S / 1+y < x}
→ P(B) = 5 12
1 1 2 3 4 5 6 Y
2 3 4 5 6 X B
P(B) = 10 36 =
5 18
III. Si B ⊂ A, entonces (V) P(A\B) = P(A) – P(B)–
( ) ( )
( )
A\ B P A\ B n
n
= Ω
( ) ( )
( )
(
)
A B pues B A
n n
n
−
= ⊂
Ω
( ) ( )
( ) ( )
A B
n n
n n
= −
Ω Ω
= P(A) – P(B)
Respuesta
F F V
COORDENADAS POLARES
21. Tenemos la ecuación polar de la cónica r = 8
4 + 3cos q que es equivalente a
r = 2 1 + 3
4cos q
= 1 + e cos qρe
de donde determinamos que la excentrici-dad (e) de la cónica es 3
Entonces, la ecuación polar dada repre-senta a una elipse.
Respuesta
Elipse
R.T. POSICIÓN NORMAL
22. (cot q)2tan q = 2 3
2 3 2
cot q = 23 para x = 2
y = –3
r = 13
E = 3 – 2
13 + 2 – 313
E = – 12 13
Respuesta
– 12 13
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 23. cos2x – cos x – 1 = 0
cos x = 1 – 5 2 ≅ –0,61
p 2 2p
3
5p 6
–0,5 –0,61
p 0 X
Y
x
p 2<x<56p
Respuesta
p 2<x<56p
LONGITUD DE ARCO 24.
A
B C
x
y D
r
1 – r E
F p 4rad
p 4rad
x = pr 4
y = p 4(1 – r)
y = p 4 – pr4
Luego x + y = p 4
Respuesta
p 4
RT DE ÁNGULOS MÚLTIPLES 25. M = sen4p
2 + sen42p7 + sen43p7 Como
sen4q = 3 8 –
1
2cos 2q + 1 8cos 4q Nos piden
M = 9 8 –
1
2 cos 27p + cos 47p + cos 87p +
1
8 cos 47p + cos 87p + cos 127p
cos 6p
7 cos 27p
M = 98 – 12 cos 2p
7 + cos 47p + cos 67p +
1
8 cos 27p + cos 47p + cos 67p
M = 9 8 –
3
8 cos 27p + cos 47p + cos 67p Pues
cos 2p
7 + cos 47p + cos 67p = – 1 2
M = 9 8 –
3 8 –
1
2 → M = 21 16
Respuesta
21 16
NÚMERO DE VUELTAS DE UNA RUEDA 26.
5,5 cm
r=0,5 cm 6 cm
A B
O
60°
Como se sabe, el número de vueltas (n) que gira una rueda, está dado así
2
n r
= π
l
donde
l: longitud de la trayectoria descrita por el centro de la rueda
r: radio de la rueda
para el problema: 3 (5,5)
2 (5,5)
n
π× =
π
n = 6 11
No hay clave Nota:
Si consideramos el gráfico que
r = 0,5 cm
r = 6 cm
A B
O
60°
Tendremos que
6 3 2 (0,5)
n
π× =
π → n = 2
De esa manera la clave correcta sería la B.
Respuesta
2
RESOLUCIÓN EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 27.
α
α α
A
C
B a
Q
atanα
atanα
atanα
M
P 1
1
a x
θ
AQB: tan
2 tan cot
a
a a
θ =
α + α
→ tan 1
2 tan cot
θ =
α + α
PCB: cotα = x
Así: tan 1 2 x
x
θ = +
Si θ es máximo, entonces tanθ también es máximo, y esto se da cuando
2
2
x x
x= → =
Respuesta:
2
POLÍGONO REGULAR 28.
R
60º
α
A C
B
Sea O: centro Piden: α
Dato: l = R
Si AC = l = R, entonces: AC = L6
AC 60º
m =
Por teorema
60º 30º 2
α = =
Respuesta:
30º
POLIEDRO REGULAR 29.
x
P S
Q
B C
D d d
d
R
A
Piden: m entre CSy BD QS// BD
→m entre CS y BD=m entre QS y CS=x
∆ QSC: equilátero
∴ x=60º
Respuesta
60º
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS(PIRÁMIDE-CONO) 30.
9
Base de la pirámide inscrita en la base del cono
1 A
B O
C
D 1
2 2
4 5
= π ⋅1 2 −1 2⋅
E 1 4 5 2 4 5
3 3
( )
= 4 5 π −
E 2
3
Respuesta
( )
= 4 5 π −
E 2
3 m
3
RECTAS Y PLANOS 31.
D
B
A
C H 60º 30º
36 3
5 725 36
5
De los datos, el DBH es notable de 30º y 60º.
En el gráfico
∆ADC=72 AC×
S
5 2
∆ABC=36 AC×
S
5 2
∴ ∆
∆ =
ADC
ABC
S
2 S
Respuesta
2
32.
Vx 6 6
2 2a 2 2
a
b
b O
Piden: Vx máximo Vx=6ab
+ = =
2 2 42 16
a b
Empleando medias ≥
MA MG
+ ≥
2 2
2 2
2
a b a b
+
≤ 2 2
2
a b
ab
≤8
ab
≤
6ab 48
→Vx ≤48
∴ Vx máximo =48 Respuesta
48
TRIÁNGULOS CONGRUENTES 33.
θ θ
2θ
x
θ θ
30º 30º
A
B
E
a
a
H
l
l
l
C a B
Piden: x
Se deduce: BE=EC (T. mediatriz)
∆ BEC ≅ ∆ ECO
(L-L-L)
En “C”: 3θ=60º θ=20º
∆ AED: medida del <) exterior
= + θ
= 20º 30º
50º
x
x
Respuesta
50º
CUADRILÁTERO 34.
A B
C
D L
θ θ
w w
β α
x
Piden: x Dato: α – β=24º
ABCL: θ + β + w+ x=360º Propiedad
x=θ+β+w
Sumando
2x + α = 360º +β
2x + α – β = 360º 2x + 24º = 360º
∴x=168º
Respuesta
168º
TEMA A LA IZQUIERDA Y EN MAYÚSCULAS 35.
A
B
T
h
l t l + t
l + t
M C
K2r
K1r
r
Teorema de Poncelet ATB: l+h=K1r+2r BTM: t+h=l+ +2K2r Sumando
2h=K1r+2r+2K2r ATB: h<K1r
2h < 2K1r Reemplazando K1r+2r+2K2r<2K1r 2r+2K2r<2K1r 2(1+K2)<K1
2
1
K 1 1
K 2
+ ∴ <
Respuesta
2
1
K 1 1
K 2
+ ∴ <
RELACIONES METRICAS 36.
A
P O B
R
R R /2
R /2
R /2 R /2
O'
Piden: R
O’ P O: T. de Pitágoras
(O’P)2=(3R/2)2 – (R/2)2 O’ P=R 2 Por teorema
R 2 4 2 R 4
= =
Respuesta
4
CIRCUNFERENCIA 37.
B E
C
D F
A
x
t a
b
l
m
n
Piden: EF=x Datos:
AB+CD=30 → a+b=30 BC+AD=50 → m+n+l+t=50 Teorema de Pitot
ABEF: a+b=m+l FECD: x+b=n+t Sumando
a+b+2x=m+n+t+l
→ 30+2x=50 ∴ x=10
Respuesta
10
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS 38.
A
B C
D
E 2α α
α
2α 5k
3k 3
5
x
T
Piden: AB=x Dato: BD // AE Teorema: CD // BE
∆ BTE: TD=5k y DE=3k
∆ ATE: Corolario
= → =
8 5 4,8 3
k x
x k
Respuesta
4,8
ÁNGULO DIEDRO 39.
D
C B
A H 6 12
12 60º x
T
6
6 3
Piden: d (C; ∆ ABD)=x
∆ ABC: equilátero
AH=BH=6 y CH=6 3
CTH (notable de 30º y 60º)
∴ x=9
Respuesta
LONGITUD DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA 40. LAC=?
R=2r 2r 2r
α α
r r
O′
C A
O
Del gráfico
LAC= α(2 )(2 )r → LAC=4rα... (1)
En el ∆ OAO′: por el teorema de cosenos
+ −
α =(2 )2 (2 )2 2 =7
cos
2(2 )(2 ) 8
r r r
r r
También
α = 15 → α = 15
sen arc sen
8 8
Reemplazando en (1)
=
AC
15 L 4 arc sen
8
r
Respuesta
15 4 arc sen
8