• No se han encontrado resultados

PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN UNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Share "PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN UNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA"

Copied!
13
0
0

Texto completo

(1)
(2)

MATRICES

1. Efectuando operaciones y despejando x 5x = 3A – 12(B+C) – 3x+A

( ) 1 3( )

8 4 A 12 B C A B C 2 2

x= − + → =x − +

1 8 1 2 4 14

1 3 1

7 3 3 1 2 6

2 2

x=  − − − =  

     

 

2 7 1 3

x=  

 

∴ det(x) = 13

Respuesta

13

SISTEMA DE ECUACIONES 2. Mediante la regla de Cramer

2 2

1 1

s α β

∆ = = α + α − β + β β − α + 1 1 3 3 1 x − β ∆ = = −α − − β α + 1 3 1 1 3 y α − ∆ = = α + β − α −

Luego: x 1; y 1

s

x x y

s

∆ ∆

= = − = =

∆ ∆

CS = {(– 1; 1)}

Respuesta

– 1; 1

SERIES 3. 0 0 1 1 S 2 2 k k k k ∞ ∞ = =     =

−  +

   1 1 S 1 1 1 1 2 2 = +   − − 2 8 S 2 3 3 = + = Respuesta

S = 8 3

SERIES 4. Sea

3 3 3 3

1 1 1 1

S 1 ...

8 16 2 4 = + + + + + Podemos escribir 3 3 3 0 3

1 1 2

S 1

2 1 2 1 2 k k ∞ =   = = = −  

Respuesta 3 3 2 2 1−

TEORÍA DE ECUACIONES

5. 1 1 1 1

a+ =b x a b+ + − x

a b+ a b

ab

− +

= (

(

)

)

x x a b+ +

x2+(a+b)x+ab = 0 (x+a)(x+b) = 0

x1 = – a (menor) x2 = – b (mayor)

1 2

x a

x =b Respuesta a b

(3)

DESIGUALDADES

6. 2 1 1 2 1 3 1 1

1 3 3

x

x x x

x

< → − < − ∧ ≠

|2x – 1|2< |3x – 1|2

(5x – 2)x > 0 ∧ x ≠1

3

{

0 2

}

1

5 3

x< ∨ >x ∧ ≠x

2 ; 0 ;

5

x∈ −∞ ∪ + ∞

2 S ; 0 ;

5

= −∞ ∪ + ∞

[ ]

C 2

S 0; ; 5 a b

 

= =

 

∴ 3a+5b = 2

Respuesta

2

FUNCIONES 7. y2+2y = x+1 (y+1)2 = x+2

Como y > 0 y+1>1 (y+1)2>1 x+2 > 1 x >–1

Dom (f)= 〈–1; +∞〉

Respuesta

〈1; +∞〉

8.

(1; 2) (3; 4) y=x+1 Y

X y=x–1 (3; 2) (3; 0) (1; 0)

a+b+c+d+e+f+g+h=16

Respuesta

16

9. f(ax+by) = af(x)+bf(y) a=0; y=1→ f(b) = bf(1) Como f(1) = 1 Entonces f(b) = b, ∀b ∈

Tenemos y2+6y+9=n2 (y+3–n)(y+3+n) = 0 y1=n – 3 ∨ y2= –n–3

Respuesta

n–3

10. R1={(x, y) ∈2 / y ≥ (x+1)log(x+1)(x)} y x; x>0

Y

X

R2={(x, y) ∈2 / y ≤ 1+log(x+2)} Y

X

Tenemos R1 ∩R2 Y

X

Respuesta

(4)

FUNCIONES

11. f(x) = 2000 – 1000e–0,001x I. Es creciente:

f ‘(x) = 0 – 1000e–0,001x(–0,001) f ‘(x) > 0

II. f(0) = 2000 – 1000e–0,001(0) f(x) = 2000 – 1000 = 1000

III. lim f(x) = lim (2000 – 1000e–0,001x) x→+∞ x→ +∞

= 2000

Entonces: VVV

Respuesta

VVV

FUNCIONES 12.

I. Sea A= 0 0 0

a b c d e f

 

 

 

 

 

→ AT=

0 0 0

a b d

c e f

 

 

 

 

 

A=AT→ b=0 y c=0 ∧ e=0 (F)

II. A=

0 0 0

a b c

d e f

 

 

 

 

 

→ AT= 0

0 0

a b d c e f

 

 

 

 

 

A=–AT→ A=

0 0 0 0 0 0 0 0 0

 

 

 

 

 

(V)

III. (V)

Respuesta

FVV

MATRICES

13. N = 111111(3)

Expresándolo en base 9 con cambio de base especial

N = 444(9)

Piden multiplicar N consigo mismo

4 4 4(9)× 4 4 4(9) 1 8 8 7(9) 1 8 8 7(9) 1 8 8 7(9) 2 2 1 6 6 7(9)

Ahora: N × N = 221667(9)

Expresando dicho producto en base 3 con cambio de base especial

N × N = 20201202021(3) Suma de digitos:

2+0+2+0+1+2+0+2+0+2+1=12=110(3) Respuesta

110(3)

IRRACIONALES 14.

I. Si y ∈ \{0} y x ∈ , entonces por propiedad de clausura

y

x. (V)

II. Si a y b son irracionales, entonces a+b y a ×b son racionales.

→ si tomamos, a= 2 y b= 2, no se

cumple. (F)

III. Si a ∈  y b es irracional, entonces a ×b es irracional.

→ si tomamos, a=0, a ×b=0, no se

cumple. (F)

Respuesta

(5)

RADICACIÓN EN N 15. Dato:

1 7 a b c d 9 1 3 3 1

1 2 3× 3 = 6 9

– 7 a 2 6 3 × 3 = 7 8 9 6 9 2 6 6 1 × 1 = 2 6 6 1 – 8 b c

7 8 9 – 2 6 d 9

2 6 6 1 – – – e

Observe:

8+69=77=7a → a=7

26+789=815=8bc → b=1 y c=5 e+2661=26d9 → e=8 y d=6 Piden

E = e+d – c+b – a E = 8+6 – 5+1 – 7

∴ E = 3

Respuesta

3

MAGNITUDES PROPORCIONALES 16. Dato: (y – 4) IP (x2– 4)

Respecto a sus valores se cumple: (y – 4)(x2– 4)=k’

Para el par ordenado: (–1; –2) → x=–1 ∧ y=–2

Reemplazando

 2

 –6 –3

(–2 – 4)((–1) – 4) =k′→k′=18

Ahora: (y – 4)(x2– 4)=18

2

18 – 4

– 4

y x

=

218 4 – 4

y x

= +

Respuesta

2

18 4 – 4

y x

= +

PROMEDIOS

17. Dato: a ∈ ∧ b ∈, a>b Además:

2 2

MA( ; ) – MH( ; ) 1

a b ab

a b

a b a b

+

+

=

 

(a+b)2 – 4ab=2(a+b) a2 +b2 + 2ab – 4ab=2(a+b)

a2 +b2 – 2ab=2(a+b)

2 

4 8

( – )a b =2(a b+ )

(a – b)2 es cuadrado perfecto y piden el menor valor de

2 2

a +b

8 – 4

a b a b

+ =   = 

a=6 b=2

a2+b2 = 62+22 = 40 =2 10 Respuesta

2 10

REGLA DE INTERÉS 18. Tenemos

C=S/. N r %=6 %

I=S/. 825

t= años

C=S/. (N+7125) r%=10 %

I=S/. 1850

t= años donde 1850=(N+7125)10 %· t 8250=N·6 % · t

Dividimos y simplificamos

37 N 7125 55 2 N

(6)

74N=55N+55×7125 19N=55×7125

N=55×375=20 625 Piden suma de montos M1=20 625+825=21 450 M2=27 750+1850=29 600

∴ M1+ M2=51 050 Respuesta

51 050

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 19.

N.º de hijos N.º de familias

0-2 1200

3-6 400

7-9 150

10-12 30

13-15 15

Distribución uniforme 4-6 → 300 familias 7-9 → 150 familias 10-11 → 20 familias

∴ De 4 a 11 hijos → 470 familias

Respuesta

470

PROBABILIDADES

20. I. Sean A, B y C eventos (F) P(A ∪ B ∪ C) = P(A)+P(B)+P(C) – P(A ∩ B)+P(B ∩ C)+ P(A ∩ C) – P(A ∩ B ∩ C)

Sabemos que por el principio inclusión y exclusión

P(A ∪ B ∪ C) = P(A)+P(B)+P(C) – P(A ∩ B) – P(B ∩ C) – P(A ∩ C)+P(A ∩ B ∩ C)

II. Sean (F)

S = {(x; y) / x, y ∈{1; 2; 3; 4; 5; 6}} B = {(x; y) ∈S / 1+y < x}

→ P(B) = 5 12

1 1 2 3 4 5 6 Y

2 3 4 5 6 X B

P(B) = 10 36 =

5 18

III. Si B ⊂ A, entonces (V) P(A\B) = P(A) – P(B)–

( ) ( )

( )

A\ B P A\ B n

n

= Ω

( ) ( )

( )

(

)

A B pues B A

n n

n

= ⊂

( ) ( )

( ) ( )

A B

n n

n n

= −

Ω Ω

= P(A) – P(B)

Respuesta

F F V

COORDENADAS POLARES

21. Tenemos la ecuación polar de la cónica r = 8

4 + 3cos q que es equivalente a

r = 2 1 + 3

4cos q

= 1 + e cos qρe

de donde determinamos que la excentrici-dad (e) de la cónica es 3

(7)

Entonces, la ecuación polar dada repre-senta a una elipse.

Respuesta

Elipse

R.T. POSICIÓN NORMAL

22. (cot q)2tan q = 2 3

2 3 2

cot q = 23 para x = 2

y = –3

r = 13

E = 3 – 2

13 + 2 – 313

E = – 12 13

Respuesta

– 12 13

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 23. cos2x – cos x – 1 = 0

cos x = 1 – 5 2 ≅ –0,61

p 2 2p

3

5p 6

–0,5 –0,61

p 0 X

Y

x

p 2<x<56p

Respuesta

p 2<x<56p

LONGITUD DE ARCO 24.

A

B C

x

y D

r

1 – r E

F p 4rad

p 4rad

x = pr 4

y = p 4(1 – r)

y = p 4 – pr4

Luego x + y = p 4

Respuesta

p 4

RT DE ÁNGULOS MÚLTIPLES 25. M = sen4p

2 + sen42p7 + sen43p7 Como

sen4q = 3 8 –

1

2cos 2q + 1 8cos 4q Nos piden

M = 9 8 –

1

2 cos 27p + cos 47p + cos 87p +

(8)

1

8 cos 47p + cos 87p + cos 127p

cos 6p

7 cos 27p

M = 98 – 12 cos 2p

7 + cos 47p + cos 67p +

1

8 cos 27p + cos 47p + cos 67p

M = 9 8 –

3

8 cos 27p + cos 47p + cos 67p Pues

cos 2p

7 + cos 47p + cos 67p = – 1 2

M = 9 8 –

3 8 –

1

2 → M = 21 16

Respuesta

21 16

NÚMERO DE VUELTAS DE UNA RUEDA 26.

5,5 cm

r=0,5 cm 6 cm

A B

O

60°

Como se sabe, el número de vueltas (n) que gira una rueda, está dado así

2

n r

= π

l

donde

l: longitud de la trayectoria descrita por el centro de la rueda

r: radio de la rueda

para el problema: 3 (5,5)

2 (5,5)

n

π× =

π

n = 6 11

No hay clave Nota:

Si consideramos el gráfico que

r = 0,5 cm

r = 6 cm

A B

O

60°

Tendremos que

6 3 2 (0,5)

n

π× =

π → n = 2

De esa manera la clave correcta sería la B.

Respuesta

2

RESOLUCIÓN EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 27.

α

α α

A

C

B a

Q

atanα

atanα

atanα

M

P 1

1

a x

θ

(9)

AQB: tan

2 tan cot

a

a a

θ =

α + α

→ tan 1

2 tan cot

θ =

α + α

PCB: cotα = x

Así: tan 1 2 x

x

θ = +

Si θ es máximo, entonces tanθ también es máximo, y esto se da cuando

2

2

x x

x= → =

Respuesta:

2

POLÍGONO REGULAR 28.

R

60º 

α

A C

B

Sea O: centro Piden: α

Dato: l = R

Si AC = l = R, entonces: AC = L6 

AC 60º

m =

Por teorema

60º 30º 2

α = =

Respuesta:

30º

POLIEDRO REGULAR 29.

x

P S

Q

B C

D d d

d

R

A

Piden: m entre CSy BD QS// BD

→m entre CS y BD=m entre QS y CS=x

∆ QSC: equilátero

x=60º

Respuesta

60º

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS(PIRÁMIDE-CONO) 30.

9

Base de la pirámide inscrita en la base del cono

1 A

B O

C

D 1

2 2

4 5

(10)

= π ⋅1 2 −1 2⋅

E 1 4 5 2 4 5

3 3

( )

= 4 5 π −

E 2

3

Respuesta

( )

= 4 5 π −

E 2

3 m

3

RECTAS Y PLANOS 31.

D

B

A

C H 60º 30º

36 3

5 725 36

5

De los datos, el DBH es notable de 30º y 60º.

En el gráfico

∆ADC=72 AC×

S

5 2

∆ABC=36 AC×

S

5 2

∴ ∆

∆ =

ADC

ABC

S

2 S

Respuesta

2

32.

Vx 6 6

2 2a 2 2

a

b

b O

Piden: Vx máximo Vx=6ab

+ = =

2 2 42 16

a b

Empleando medias ≥

MA MG

+

2 2

2 2

2

a b a b

+

≤ 2 2

2

a b

ab

≤8

ab

6ab 48

→Vx ≤48

∴ Vx máximo =48 Respuesta

48

TRIÁNGULOS CONGRUENTES 33.

θ θ

x

θ θ

30º 30º

A

B

E

a

a

H

l

l

l

C a B

Piden: x

(11)

Se deduce: BE=EC (T. mediatriz)

∆ BEC ≅ ∆ ECO

(L-L-L)

En “C”: 3θ=60º θ=20º

∆ AED: medida del <) exterior

= + θ

= 20º 30º

50º

x

x

Respuesta

50º

CUADRILÁTERO 34.

A B

C

D L

θ θ

w w

β α

x

Piden: x Dato: α – β=24º

ABCL: θ + β + w+ x=360º Propiedad

x=θ+β+w

Sumando

2x + α = 360º +β

2x + α – β = 360º 2x + 24º = 360º

x=168º

Respuesta

168º

TEMA A LA IZQUIERDA Y EN MAYÚSCULAS 35.

A

B

T

h

l t l + t

l + t

M C

K2r

K1r

r

Teorema de Poncelet ATB: l+h=K1r+2r BTM: t+h=l+ +2K2r Sumando

2h=K1r+2r+2K2r ATB: h<K1r

2h < 2K1r Reemplazando K1r+2r+2K2r<2K1r 2r+2K2r<2K1r 2(1+K2)<K1

2

1

K 1 1

K 2

+ ∴ <

Respuesta

2

1

K 1 1

K 2

+ ∴ <

RELACIONES METRICAS 36.

A

P O B

R

R R /2

R /2

R /2 R /2

O'

(12)

Piden: R

O’ P O: T. de Pitágoras

(O’P)2=(3R/2)2 – (R/2)2 O’ P=R 2 Por teorema

R 2 4 2 R 4

= =

Respuesta

4

CIRCUNFERENCIA 37.

B E

C

D F

A

x

t a

b

l

m

n

Piden: EF=x Datos:

 AB+CD=30 → a+b=30  BC+AD=50 → m+n+l+t=50 Teorema de Pitot

ABEF: a+b=m+l FECD: x+b=n+t Sumando

a+b+2x=m+n+t+l

→ 30+2x=50 ∴ x=10

Respuesta

10

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS 38.

A

B C

D

E 2α α

α

2α 5k

3k 3

5

x

T

Piden: AB=x Dato: BD // AE Teorema: CD // BE

∆ BTE: TD=5k y DE=3k

∆ ATE: Corolario

= → =

8 5 4,8 3

k x

x k

Respuesta

4,8

ÁNGULO DIEDRO 39.

D

C B

A H 6 12

12 60º x

T

6

6 3

Piden: d (C; ∆ ABD)=x

∆ ABC: equilátero

AH=BH=6 y CH=6 3

CTH (notable de 30º y 60º)

∴ x=9

Respuesta

(13)

LONGITUD DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA 40. LAC=?

R=2r 2r 2r

α α

r r

O′

C A

O

Del gráfico

LAC= α(2 )(2 )r → LAC=4rα... (1)

En el ∆ OAO′: por el teorema de cosenos

+ −

α =(2 )2 (2 )2 2 =7

cos

2(2 )(2 ) 8

r r r

r r

También

 

α = 15 → α =  15

sen arc sen

8 8

Reemplazando en (1)

 =  

AC

15 L 4 arc sen

8

r

Respuesta

 

 

 

15 4 arc sen

8

Referencias

Documento similar

2a) Volumen aparente de polvo de cáscara sagrada para las 45 cápsulas. 2b) Tamaño de cápsula que se necesita. Justifícalo en el nomograma con bolígrafo ROJO. 2c) Volumen total

De Witt sabía cómo reconocer cuándo tal ecuación representaba una elipse, cuándo una parábola y cuándo una hipérbola, según que el llamado discrim- inante fuera negativo, nulo

Para cada convocatoria las Comisiones Universitarias podrán incorporar al tribunal que corresponda, un profesor o profesora del centro en el que el alumnado haya

En caso de que haya sido una equivocación, el estudiante realizará el primer examen en la sede donde se encuentre (será una incidencia) y se le informará de que el siguiente

M1, M2 = Las calificaciones de un máximo de dos materias aprobadas que proporcionen mejor nota de admisión, incluida la troncal de modalidad examinada en la Fase de Acceso si es

Corresponde a las Ponencias de cada materia la preparación de una serie de propuestas de exámenes ajustadas a lo establecido en al artículo 8 de la Orden ECD/42/2018, de 25 de

Para Heller la construc- ción del tipo ideal tal como aparece en Weber es inadecuada a la teoría del Estado porque no es un «concepto concreto, no repre- senta una realidad, sino

ix) El papel se entregará siempre en mano al estudiante y en su puesto de examen. Caso de requerir más, será el personal del aula quien se lo facilite. x) No se permite