ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA UNIDAD TICOMÁN CIENCIAS DE LA TIERRA

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(1)

1

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

UNIDAD TICOMÁN CIENCIAS DE LA TIERRA

MÉTODOS MATEMÁTICOS SERIES Y TRANSFORMADAS

PROBLEMARIO

NÚMEROS COMPLEJOS

Realice las operaciones necesarias para reducir las siguientes expresiones al número complejo de la forma z = a + bi

1. (2 + 3i) + (4 – 5i) 2. (2 + 3i) + (2 – 3i) 3. (2 + 3i) – (2 – 3i)

4. (5 + 3i)(3 – i) 5. (1 – 3i)2 6. (1 + 2i)5

7. (1 -3i)(1 + 3i) 8. 1 1

i i

 9. 1 5 3i 10. 3+2𝑖

3−2𝑖 11. 1 5−

3−4𝑖 3+4𝑖 12. Para z = 3 -2i, halle (a) 𝑧̅ , (b) iz, (c) 1/z

13. Halle z tal que 𝑧𝑧̅ + 4(𝑧 − 𝑧̅) = 5 + 16𝑖

14. Halle las raíces de las ecuaciones:

(a) x2 – 2x + 4 = 0 (b) x2 + 8 = 0 (c) x3 – 6x + 9 = 0

Represente los siguientes números complejos como un punto en el plano complejo. Halle después el módulo y el argumento:

1. 1 – i 2. – 2 + i 3. 1 + 𝑖√3 4. −1 − 𝑖

√2 5. √3 − 𝑖 6. 3 7. 3i 8. 7

𝑖 9. 2 − √2𝑖 10. 1+√2𝑖

2 Exprese en forma polar r (cos + i sen), los siguientes números complejos: 1. 2i 2. – 3 3. 1 – i 4. 3i 5. – 6 + 6i 6.  2 2i 7. 23i 8. − 3 + i

Dados z1 y z2 calcule (a) z1z2 , (b) z1/z2, (c) z2/z1

1. 1 2 cos sin , 2 3 cos sin

2 2 3 3

z  iz  i 

   

2. 1 5 cos3 sin3 , 2 cos2 sin2

4 4 3 3

z  iz  i 

   

Para 1 3 cos sin ,

8 8

z    i 

  halle (a) z

4

, (b) 𝑧−4

Use la fórmula de De Moivre para demostrar que:

(a) 4 2 2 4

(2)

2

Use la fórmula de De Moivre para desarrollar cos 8x como un polinomio en cos x.

Exprese en forma cartesiana x + iy

1.

3ei4

2.

ei3 

3.

e

3i

4.

2e3i2

5.

e

i

Dados 2 3 3 4

1

y

2

i i

z

e

z

e

 halle el argumento de:

1.

3 3

2 2 1

1 2 2 2

1 2

2. z 3. z

z z

z z

Dados

2

3 3

1 3 y 2 2

i i

ze ze , halle:

3 2

2 4 1 2

1 2 2 3

2 1

1. z z 2. z 3. z

z z

Halle el número que se obtiene a partir de z = 3 + 2i mediante:

(a) un giro antihorario de 30º, (b) un giro horario de 30º en torno al origen del plano complejo.

Use la fórmula de Euler para cos x y sen x para demostrar que:

(a) cos ix = cosh x (b) sen ix = i senh x (c) tan ix= i tanh x

Halle todas las raíces y represéntelas en el plano complejo de:

(a) 4

13 6

2. 3. 2 2 4. 1

i ii

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

En los siguientes problemas use la definición para encontrar la transformada de Laplace

L

{

f

(

t

)}

1.

  

 

  

1 ,

2

1 0 , 2 ) (

t t t

f

2.

  

   

2 0

2 0

4 ) (

t t t

f

3.

  

   

2 ,

2

2 0

, ) (

t t t

t f

4.

  

   

1 ,

0

1 0 , 1 2 ) (

t t t

t f

5.

  

   

2 / ,

cos

2 / 0

, 0 ) (

t t

t t

f

6.

  

   

t t t

t f

, 0

0 , sin ) (

7.

f(t)et7

8.

f(t)e2t5

9.

f(t)te4t

10.

f(t)t2e2t

11.

f(t)etsint

12.

f(t)etcost

13.

f(t)tcost

14.

f(t)tsint

(3)

3

En los siguientes problemas use los resultados siguientes para determinar L {f (t)}

a.

L

{1 }= 1/

s

e.

L

 

a s eat

 1

b.

L

 

!1 , n1,2,3,...

s n

tn n

f.

L

cos

2 2

k s

s kt

 

c.

L

sin

2 2

k s

k kt

g.

L

cosh

2 2

k s

s kt

d.

L

sinh

2 2

k s

k kt

 

1. f (t) = 2t4 10. f (t) = t2 – e- 9t + 5

2. f (t) = t5 11. f (t) = (1 + e2t)2

3. f (t) = 4t – 10 12. f (t) = (ete-t)2

4. f (t) = 7t +3 13. f (t) = 4t2 – 5 sen3t

5. f (t) = t2 + 6t -3 14. f (t) = cos5t + sen2t

6. f (t) = -4t2 +16t +9 15. f (t) = senh kt

7. f (t) = (t + 1)3 16. f (t) = cosh kt

8. f (t) = (2t – 1)3 17. f (t) = et senh t

9. f (t) = 1 + e4t 18. f (t) = e –t cos h t

En los siguientes problemas determine L {f (t)} usando primero una identidad trigonométrica.

19. f (t) = sen 2t cos 2t 20. f (t) = cos2t

21. f (t) = sen (4t +5) 22. f (t) = 10 cos (t - /6)

Obtenga la transformada de Laplace para las siguientes funciones causales en términos de las funciones escalones unitarios de Heaviside.

a.

    

   

  

6 5

6 4

3 2

4 0

3

) (

2

t t t

t t

t

f b.

    

   

  

2 0

2 1

2

1 0

) (

t t t

t t

t g

TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE

En los problemas siguientes use el álgebra apropiada para hallar la trasformada de Laplace inversa.

1. L-1

 

 

49 5 2

s 2. L-1 

 

 

16 10 2

(4)

4

3. L-1

 

 

1 4

4 2

s s

4. L -1

 

 

1 4

1 2

s

5. L-1

 

 

 

9 6 2

2

s s

6. L -1

 

 

 

2 1 2

s s

7. L-1 8. L -1

 

 

 

s s

s

4 1 2

9. L -1

 

 

2 3

2

s s

s

10. L-1

 

 

 20

1 2

s s

11. L-1( 0.1)( 0.2) 9

. 0

s

s

s

12. L -1

   

 

 

) 3 )( 3 (

3

s s

s

13. L-1

   

 

 

2)( 3)( 6)

(s s s

s

14. L-1

   

 

  

) 2 )( 1 )( 1 (

1 2

s s s s

s

15. L-1

 

 

s

s 5

1

3 16. L -1

   

 

2)( 4)

(s s2 s

17. L-1

 

 

 

) 1 )( (

4 2

2 2

s s s

s

18. L-1

 

 

9 1 4

s

19. L-1

 

 

1)( 4)

(

1 2 2

s

s 20. L -1 

 

 

 

4 5

3 6

2 4

s s

s

En cada uno de los siguientes problemas use el teorema de convolución para calcular la

transformada inversa de Laplace de la función (aún si funciona otro método). Siempre a y b son constantes positivas.

1. 2 1 2

(s 4)(s 4) 2.

2 2

1 16

s

e s

3. 2 2 2 2

( )( )

s

sa sb 4.

2

2 ( 3)( 5)

s ss

5. 2 1 2 2

( )

s sa 6. 4

1 ( 5)

s s

FUNCIONES PERIODICAS

Encontrar el período fundamental de las siguientes funciones:

   

 

s

s 3

(5)

5

1. cos x 2. sen x 3. cos 2x 4. sen 2x 5. cos x 6. sen x

7. cos 2x 8. sen 2x 9. cos nx 10.sen nx

11.sen 2 nx k

 

 

 

12.cos 2 nx k

 

 

 

Trazar las funciones f(x), las cuales se suponen periódicas de período 2 y para - < x < , están dadas por las fórmulas:

1. ( )f xx 2. f(x) = x2 3. ( )f xex 4. ( )f xx

5.

2 0

( )

0 0

x x

f x

x

 

   

 

  

6. ( ) 1 0

1 / 0

x f x

x x

 

   

   

7. ( ) 0

0

x x

f x

x x

 

 

   

   

8. ( ) 1 0

cos / 2 0

x f x

x x

     

   

9. ( ) 0

0

x x

f x

x x

 

   

   

10. ( ) 1 0

0 x f x

sen x x

     

   

Evaluar las siguientes integrales donde n = 0, 1, 2,…

1. 2

2 2

0

0 sen nxdx 2. cosnxdx 3. xcosnxdx

 

 

4. 2

2

0

5. x 6.

x sen nxdx e sen nxdx x sen nxdx

 

  

7. 2

0 cos 8. cos 9. 0

x

e nxdx x nxdx x sen nxdx

  

SERIES DE FOURIER

En cada uno de los siguientes ejercicios está especificada una función periódica de período 2. En cada caso dibuje la gráfica de la función para -4  t 4 y obtenga la representación en serie de Fourier de la función.

1. ( ) 0

0

t f t

t t

   

   

 2.

0 ( )

0 0

t t

f t

t

   

   

3. f t( ) 1 t 0 t 2

    4. 1

2 ( ) cos

f tt   

t

5.

1 2

1 1

2 2

1 2 0

( ) 2 cos

0

t

f t t t

t

    

  

 

6. ( ) 0 0

2 0

t f t

t t

   

   

(6)

6

7.

( ) 0

0 t

t

t e t

f t

t e t

    

  

  



8.

f t( ) t   

t

Encontrar las series de Fourier para las siguientes funciones:

1. f(x)ex en el intervalo [-, 

2. f (x) = 4 en el intervalo [-3, 3

3. f (x) = - x para -1 ≤ x ≤ 1

4.

  

 

   

x para

x para

x f

0 4

0 4

) (

5. f (x) = sen 2x -  ≤ x ≤ 

6. f (x) = x2 – x + 3 -2 ≤ x ≤ 2

7.

  

  

   

5 0

1

0 5

)

( 2

x para

x

x para

x x

f

8.

  

 

   

x para

x para

x f

0 2

0 1

) (

9. f (x) = cos x para - 3 ≤ x ≤ 3

10.

  

 

   

1 0

0

0 1

1 ) (

x para

x para

x x

f

En los siguientes problemas use el teorema de convergencia para determinar la suma de la serie de Fourier de la función en el intervalo dado:

1.

    

 

  

   

3 1

1 2

0

2 3

2

) (

2

x x

x x x

x

f 2. f (x) = x2 -2 ≤ x ≤ 2

3.

  

 

   

x x x

x f

1 3

1 2

2 )

( 4.

  

 

   

2 0

0 2

cos )

(

x senx

x x

x f

5.

  

 

   

4 0

1

0 4

1 ) (

x x x

f 6.

    

 

   

    

4 2

0

2 2

1

2 4

2

)

( 2

x x x

x

(7)

En cada uno de los siguientes problemas escriba la serie de Fourier en cosenos y senos de la función en el intervalo dado.

1.

  

  

  

2 1

1

1 0

1 ) (

x x x

f 2. f x( )ex para 0 x 1

3. f(x) = 2x 0 ≤ x ≤ 1 4. f ( x ) = x2 para 0 x 2

5.

  

 

  

4 1

1

1 0

) (

2

x x x

x

f 6.

1 0 1

( ) 0 1 3

1 3 5

x

f x x

x

  

 

  

En cada uno de los siguientes problemas escriba la serie de Fourier compleja de f y trazar algunos puntos del espectro de frecuencia. Tenga en mente que para especificar una función de período p, es suficiente definir f (x) en cualquier intervalo de longitud p.

1. f tiene período 2 y f (x) = x2 para 0 ≤ x ≤ 2

2. f tiene período 6 y f (x) = 1 – x para 0 ≤ x ≤ 6

3. f tiene período 2 y

  

  

  

2 1

2

1 0

) (

x x

x x

x f

4. f tiene período 1 y f (x) = cos x para 0 ≤ x < 1

5. ( ) 0

0 t f t

t t

 

    

   

6.

1 2 1 2 0 ( )

0 ( ) ( ), 2 /

a sen t t T f t

T t T f t T f t T

   



   



7. ( ) 2 0

1 0

t f t

t

     

   

8. ( )f tsen t    t

INTEGRALES DE FOURIER

En cada uno de los siguientes problemas, desarrolle la función en una integral de Fourier y determine a que converge esta integral.

1.

    

  

   

x x

x x

f

para 0

0 para 1

0

para 1

)

( 3. ( )

0

x x

f x

x

   

 

(8)

2.

    

  

   

4 0

4 0

cos

0 4

) (

x x x

x senx

x

f 4.

1

2 5 1

( ) 1 1 5

0 5

x

f x x

x

   

 

En cada uno de los siguientes problemas, encuentre las representaciones en integral de Fourier en senos y en integral de Fourier en cosenos de la función. Determine a que converge cada integral.

1.

    

  

  

4 0

4 1

2

1 0

1

) (

x x x x

f 3.

2

0 10

( )

0 10

x x

f x

x

  

 

 

2.

    

   

  

2 0

2 1

1

1 0

) (

x x x

x x

x

f 4.

2 1 0

( ) 2 3

0 3

x x

f x x

x

  

 

 

En cada uno de los siguientes problemas encuentre la integral de Fourier compleja de la función.

1.

  

    

1 0

1 1

1 ) (

x x x

x

f 3. ( ) 1 1

1 x

x x

f x

ex

   

 

 

2.

    

   

  

2 2

2

0

0 0

cos

) (

 

x x senx

x x

x

f 4.

1 0

( ) 1 0

0

x k

f x k x

x k

  

    

k es una constante positiva

TRANSFORMADAS DE FOURIER Y TRANSFORMADA INVERSA

En cada uno de los siguientes problemas encuentre la transformada de Fourier de la función. 1. f(t)1/(1t2) 8. f t( )3 (H t2)e3t

2. f(t)3e4t 9. f t( )3e4t2

3. f(t)8e2t2sen(3t) 10. f t( )H t( 3)e2t

4. f(t) H(t1)e5(t2) 11. f t( )3e4t cos(2 )t

5. f(t) = 5[H(t – 3) – H(t – 1) 12. f(t)sint/(4t2)

6. f t( )5e3(t5)2 13. ( ) 2 1 6 13

f t

t t

 

(9)

15.

    

  

    

1 0

1 0 1

0 1 1 ) (

t t t

t

f

16.

( ) sin

0

t k t k

f t

t k

   

 



17.

f(t)H(tk)t2

18. .

f(t)2H(t2)3H(t2)H(t4)

19.

( ) 0

0 0

t

e t

f t

t

 

 

20.

0 ( )

0 t

t

e t

f t

et

 

  

 

En cada uno de los siguientes problemas encuentre la transformada inversa de Fourier de la función.

1. 9e ( 4) / 322 4.

i i

5 6

1 2

 

7.

) 2 ( 6sen

2.

i

e i

) 3 ( 5

) 6 2 (

 

5. 3e(4)2/24 8. e2/ 9sen(8 )

3.

) 3 ( 10sen

6.

i

e i

) 4 ( 2

) 8 2 (

 

9. 4

2

6 ( 2 )

9 i

esen

En cada uno de los siguientes problemas use la convolución para encontrar la transformada inversa de Fourier.

1. 1 2

(1i

) 2.

1

(1i

)(2i

) 3.

(3 )

(2 )

sen i

Resuelva la siguiente ecuación usando la transformada de Fourier

y'' 6 ' 5 yy

(t3)

Encuentre la transformada de Fourier en senos y cosenos de:

1. f(t)etcost 2. f(t)tet 3.

1 0

( ) 1 2

0 2

t k

f t k t k

t k

  

   

Encuentre la transformada finita de Fourier en senos y cosenos.

1. f (x) = x 2. f (x) = sen (ax) 3. f (x) = e -x

En cada uno de los siguientes problemas encuentre la transformada discreta de Fourier.

1.

 

5

0

ij

j

e

 2.

 

4

0 2

j

j 3.

cos( )j

5j0

(10)

a.

0

,

0

.

2

,

0

.

4

,

0

.

2

,

0

b. {0, 2, 4, 2, 0 c. {1, 2, 3, 4

TRANSFORMADA Z

Calcule la transformada z de las siguientes sucesiones, estableciendo en cada caso la región de convergencia.

1.

 

 

1 4

k

2.

 

3k 3.

 

 

2 k 4.

 

2 k

5.

 

3k

Halle la transformada z de las siguientes sucesiones usando las propiedades necesarias y establezca la región de convergencia.

1.

sink T

2.

 

 

1 2

k

k 3.

cosk

4.

sinhk

5.

coshk

6.

3kekT

7.

k2

 

4 k

Encuentre la transformada inversa z de cada una de las siguientes expresiones:

1. 1

z

z 2. 1

z

z 3. 1 2

z

z 4. 3 1

z

z 5. z

zi 6. 2

z zi

7. 1 1

z 8.

2 1

z z

 9. ( 1)( 2)

z

zz 10. (2 1)( 3)

z zz

11.

2

(2 1)( 1)

z

zz 12. 2 2

2 1

z

z  z 13. 2

2 3 4

z

zz 14.

2

2

2 7

( 1) ( 3)

z z

z z

 

15.

2

2 2

( 1) ( 1)

z zz  z

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Determine si el método de separación de variables es aplicable a la ecuación dada. Si lo es, obtenga las soluciones en forma de producto.

1. u u

x y

  2. 3 0

u u

x y

  3.

u u

u

x y

 

4. u u u

x y

 

 

  5.

u u

x y

x y

 

  6.

u u

y x

x y

 

 

7.

2 2 2

2 2 0

u u u

x x y y

    8.

2

0

u

y u

x y

 

  9.

2 2

2 2 0

u u

x y

(11)

L/3 2L/3 L

1

f(x)

x

10.

2 2

2

2 2

u u

a

x t

 

 

11.

2 2

2

2 2 0

u u

x

x y

 

12.

2 2

2 2

u u

u

x y

 

ECUACION DE ONDA

En los problemas siguientes resuelva la ecuación de onda sujeta a las condiciones establecidas.

2 0 , 0

2

2   

    

t L x t

u x

u

a ecuación de onda

1. u (0, t) = 0, u (L, t) = 0 2. u (0, t) = 0, u (L, t) = 0

( ), 0

4 1 ) 0 , (

0

   

t

t u x L x x

u ( ,0) 0, ( )

0

x L x t

u x

u

t

    

3. u (0, t) = 0, u (L, t) = 0 4. u (0, t) = 0, u (, t) = 0

u (x, 0), se ilustran en la figura, 0 0

  

t

t u

( ,0) ( ), 0 0 2

2 6

1 

  

t

t u x

x x

u

5.

2 2

2

2 2

0

0 2, 0

(0, ) (2, ) 0 0

( , 0) 0, ( ), 0 2,

2 0 1

( )

0 1 2

t

y y

c x t

t x

y t y t t

y

y x g x x

t

x x

g x

x

   

  

  

 

 

 

 

 

 

 

6.

2 2

2 2

0

9 0 4, 0

(0, ) (4, ) 0 0

( , 0) 2 sin( ), 0, 0 4,

t

y y

x t

t x

y t y t t

y

y x x x

t

  

   

 



    

 

(12)

7.

2 2

2 2

0

4 0 3, 0

(0, ) (3, ) 0 0

( , 0) 0, (3 ), 0 3,

t

y y

x t

t x

y t y t t

y

y x x x x

t

   

 



     

 

8.

2 2

2 2

0

9 0 , 0

(0, ) ( , ) 0 0

( , 0) sin , 1, 0 ,

t

y y

x t

t x

y t y t t

y

y x x x

t

  

   

 



    

 

9.

2 2

2 2

0

8 0 2 , 0

(0, ) (2 , ) 0 0

( , 0) ( ), 0, 0 2 ,

3 0

( )

6 3 2

t

y y

x t

t x

y t y t t

y

y x f x x

t

x x

f x

x x

   

  

  

 

  

 

 

 

10.

11.

12.

2 2

2 2

0

4

0

5,

0

(0, )

(5, )

0

0

( , 0)

0,

( ),

0

4,

0

0

4

( )

5

4

5

t

y

y

x

t

t

x

y

t

y

t

t

y

y x

g x

x

t

x

g x

x

x

 

 

 

 

 

 

 

2 2

2 2

0

1 2 1 2

9

0

2,

0

(0, )

(2, )

0

0

( , 0)

(

2),

( ),

0

2,

0

0

1

2

( )

3

1

t

y

y

x

t

t

x

y

t

y

t

t

y

y x

x x

g x

x

t

x

y para

x

g x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

2 2

2

0

16 0 5, 0

(0, ) (5, ) 0 0

( , 0) 3 ( 5), 0, 0 5,

t

y y

x t

t x

y t y t t

y

y x x x x

t

  

   

 



      

(13)

13.

2 2

2 2

2

0

8 0 4, 0

(0, ) (4, ) 0 0

( , 0) ( 4), 1, 0 4,

t

y y

x t

t x

y t y t t

y

y x x x x

t

  

   

 



     

 

14.

2 2

2 2

0

25 0 , 0

(0, ) ( , ) 0 0

( , 0) sin(2 ), , 0 ,

t

y y

x t

t x

y t y t t

y

y x x x x

t

   

 



     

 

15.

2 2

2 2

0

3 2 0 2, 0

(0, ) (2, ) 0 0

( , 0) 0, 0, 0 2,

t

y y

x x t

t x

y t y t t

y

y x x

t

  

    

 



    

 

Sugerencia: Haciendo y(x, t) = X(x)T(t), encontramos que las variables no se separan. Haga Y(x, t) = y(x, t) + h(x) y elegimos h para obtener un problema con valores en la frontera que puede ser resuelto mediante la serie de Fourier.

ECUACION DE CALOR

En cada uno de los siguientes problemas halle la solución de la ecuación:

1.

2

2 para 0 , 0

(0, ) ( , ) 0 para 0

( , 0) ( ) para 0

u u

k x L t

t x

u t u L t t

u x x L x x L

  

   

  



 

 

2.

2

2

2

4 para 0 , 0

(0, ) ( , ) 0 para 0

( , 0) ( ) para 0

u u

x L t

t x

u t u L t t

u x x L x x L

  

   

  



 

 

3.

2

2

3 para 0 , 0

(0, ) ( , ) 0 para 0

2

( , 0) 1 cos para 0

u u

x L t

t x

u t u L t t

x

u x L x L

L

  

   

 



 

   

(14)

4.

2

2 para 0 , 0

(0, ) ( , ) 0 para 0

( , 0) para 0

u u

x t

t x

u u

t t t

x x

u x sen x x

   

   

 

  

  

5.

2

2

4 para 0 2 , 0

(0, ) (2 , ) 0 para 0

( , 0) (2 ) para 0 2

u u

x t

t x

u u

t t t

x x

u x x x x

   

  

 

   

  

6.

2

2

2

4 para 0 3, 0

(0, ) (3, ) 0 para 0

( , 0) para 0 3

u u

x t

t x

u u

t t t

x x

u x x x

   

  

 

   

 

7.

2

2

2 para 0 6, 0

(0, ) (6, ) 0 para 0

( , 0) x para 0 6

u u

x t

t x

u u

t t t

x x

u x ex

   

  

 

   

 

8.

2

2

9 para 0 5, 0

(0, ) 0, (5, ) 3 para 0

( , 0) 0 para 0 5

u u

x t

t x

u t u t t

u x x

   

  



 

 

ECUACION DE LAPLACE

En los siguientes problemas resuelva el problema de Dirichlet para el rectángulo, con las condiciones de frontera dadas.

1. (0, ) (1, ) 0 para 0 , ( , ) 0 ( , 0) para 0 1

u y u y y u x

u x sen x x

    

  

2. (0, ) (2 ), (3, ) 0 para 0 2, ( , 0) ( , 2) 0 para 0 3

u y y y u y y

u x u x x

    

   

3. (0, ) (1, ) 0 para 0 4, ( , 0) 0 ( , 4) cos ( / 2) para 0 1

u y u y y u x

u x x

x x

    

  

4. (0, ) , ( , ) 0 para 0 , ( , 0) ( ), ( , ) 0 para 0

u y sen y u y y

u x x x u x x

   

    

5. (0, ) 0, (2, ) para 0 , ( , 0) 0, ( , ) ( ) para 0 2

u y u y sen y y

u x u x xsen x x

   

Figure

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