INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
UNIDAD ZACATENCO SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
ANALISIS ASINTOTICO DE FIBRAS OPTICAS DEL
INDICE GRADUAL
TESIS
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERIA DE TELECOMUNICACIONES PRESENTA:
BOUCHAIB EL HATIFI EL HAMDANI
Contenido
Resumen
...iii
Abstract
...iii
Objetivo
...iv
Justificación
...iv
Introducción
...1
1 Estructura de la fibra óptica
...3
1.1 Historia de la fibra óptica ...3
1.2 Ventajas y desventajas de las comunicaciones por fibra óptica...6
1.3 Fundamentos físicos del funcionamiento de la fibra óptica...9
1.4 Estructura de la fibra óptica...15
1.5 Tipos de fibras ópticas ...21
2 Ondas Transversales (ondas TE, TM, ondas híbridas)
...
302.1 Guías de ondas ...30
2.2 Las ondas TE y TM ...31
2.3 Ondas híbridas (EH y HE) ...36
3 Derivación de las ecuaciones de ondas partiendo de las
ecuaciones de Maxwell
...
393.1 Ecuaciones de Maxwell...39
3.2 Las ecuaciones de ondas...42
3.2.1 La ecuación de onda de los modos TE ...49
3.2.2 La ecuación de onda de los modos TM ...51
3.2.3 La ecuación de onda de los modos EH ...53
4 Cálculo del número de m
el método WKB
...
574.1 Análisis de los modos guiados utilizando la ecuación de onda...57
.1.1 Los tipos de rayos en la fibra óptica de índice gradual...57
...70
4.2.1 Información preliminar matemática para usar el método WKB...72
4.2.3 Definición de los modos LP...81
5.1 Aplicación para una fibra óptica de índice gradual ...88
odos utilizando
4 4.1.2 modos guiados...654.1.3 Modos evanescentes...68
4.1.4 Modos radiados... 4.2 Análisis de la fibra óptica de índice gradual utilizando el método WKB ...72
4.2.2 El método WKB para los sistemas limitados ...76
4.2.4 El número de los modos guiados que se propagan en una fibra óptica de índice gradual ...83
4.2.5 Algoritmo y el programa correspondiente para encontrar los valores de m y l ...84
5 Resultados numéricos
...
885.1.1 El caso donde λ=1300nm, a=25µm, n0 =1.562, ncl =1.540...89
5.1.2 El caso donde λ=1300nmy a=31.25µm, n0 =1.562, ncl =1.540...94
5.1.3 El caso donde λ=850nmy a=25µm, n0 =1.527, ncl =1.515...97
5.1.4 El caso donde λ=850nmy a=31.25µm, n0 =1.527, ncl =1.515...99
Conclusiones y recomendaciones
...
101Resumen
En el presente trabajo se presenta el análisis asintótico de las guías de
ondas dieléctricas de índice gradual que permite estudiar los tres tipos de modos
(modos guiados, modos evanescentes y radiados), así como calcular el número de
los modos guiados que se propagan en una fibra óptica de índice gradual, para el
caso cuando el índice de refracción en la región del núcleo varía en forma
parabólica.
Para diferentes modos de propagación se obtienen las ecuaciones
diferenciales ordinarias correspondientes, las cuales se analizan mediante el
método asintótico WKB. Se propone un algoritmo para el cálculo de los modos
guiados y se analizan los resultados numéricos obtenidos.
Abstract
In the present work we present the asymptotic analyze of dielectric
aky mode well as to
umber of guided modes propagating in a optical fiber of graded index, for the
For different propagation modes we obtain the corresponding ordinary
ifferential equations, which are analyzed by means of the asymptotic method
KB. We propose an algorithm to calculate the guides modes and we analyze the
btained numerical results.
waveguide of graded index, that he allows to study the three types of modes
(propagation modes, le and radiation modes), as calculate the
n
case when the index of refraction in the core region change in a parabolic form.
d
W
OBJETIVO
JUSTIFICACIÓN
aciones de Maxwell y
acar las ecuaciones de ondas para calcular los números de modos y uno de
plicación de los resultados que obtendremos por diferentes tipos de fibras
ópticas comerciales.
En los últimos años la transmisión por fibra óptica ha crecido mucho, se ha
impuesto sin lugar a dudas porque ofrece un ancho de banda prácticamente
infinito
ión
e algunos de los problemas que existen en esta área , así como para trabajos
futuros
Mostrar el uso del método asintótico en la solución a problema de
propagación de ondas electromagnéticas sobre una fibra óptica de índice gradual
y calcular los modos de propagación por diferentes tipos de fibras.
El problema que se plantea en este trabajo tiene un doble interés, uno
teórico en donde se ve claramente la aplicación de las ecu
s
a
, comparando con otros medios de transmisión la fibra puede ofrecer
anchos de banda en exceso de 1THz (1 000 GHz) , mientras que medios como
El cable coaxial es de 500 MHz .
En este sentido los resultados de este trabajo serán apoyo para la soluc
d
In
ión general de
nda para una fibra óptica de índice gradual.
La importancia de este análisis es enorme dentro del campo de las
telecomunicaciones, debid gación se transportan la
mayor parte de la energía de se transmite y es útil
ara la reconstrucción de la señal en etapa de recepción, además este algoritmo
permite el análisis del comportamiento del número de los modos de propagación
respec
ia dentro de esta área.
La manera en que se analiza el problema, parte del conocimiento de las
ventaj
],
Cabe mencionar que en este trabajo se mostrará el análisis asintótico de las
guías
La estructura en que se desarrolla este trabajo, introduce a los conceptos y
elementos necesarios para desarrollar el análisis de manera tal que las
transiciones entre las diferentes etapas de este no sean bruscas y se puede seguir
la secuencia de análisis sin problema.
troducción
El presente trabajo, está enfocado al análisis y al cálculo de los modos que
se propagan en una fibra óptica de índice gradual, mediante un algoritmo,que
consiste en el uso del método asintótico WKB, aplicado a la ecuac
o
o a que los modos de propa
la señal de información que
p
to a las dimensiones del radio de algunas fibras ópticas comerciales.
Lo anterior es un esquema general de la importancia que tiene el estudio de
este problema en particular, para el cual no se cuenta aún con un análisis
completo y detallado, de manera que los resultados que arroje el presente trabajo
son de gran importanc
as que tienen los métodos asintóticos para la solución de problemas
relacionados con la propagación de ondas en general.
Acerca de las aplicaciones de la técnica del método WKB y otros métodos
asintóticos se pueden encontrar decenas de títulos ver [22], [23], [24], [25], [26
[17], [18].
de ondas dieléctricas de índice gradual que permite estudiar los tres tipos de
modos ( modos guiados, modos evanescentes y radiados ), así como calcular el
Dicha estructura divide e los capítulos 1 al 5, como
sigue.
En el capitulo 1, se describe en breve la historia de la fibra óptica, sus
entajas y desventajas, después se dan los fundamentos teóricos para conocer
sus ca
os (TE; TM) en una guía de onda
arbitra
en 5 partes, abarcando d
v
racterísticas físicas y funcionales de cada uno de los diferentes tipos de
fibras ópticas existentes (fibras monomodos, multimodos).
En el capitulo 2, está enfocado a las guías de ondas, las expresiones de
las ecuaciones de Helmholtz para los mod
ria, y para los modos de propagación (EH; HE) en una fibra óptica.
En el capitulo 3, se hace el planteamiento del problema, partiendo de las
ecuaciones de Maxwell que permiten encontrar la ecuación general de los modos
de propagación (TE; TM; EH; HE), y representar las expresiones de las
componentes de los campos E y H.
En el capitulo 4, se da un análisis a los tres tipos de modos basándose
sobre
analizan los resultados numéricos
obteni
la ecuación general de onda y la ecuación de Schrodinger como un modelo,
después se muestra en detalle el método WKB para encontrar la ecuación que
permite de calcular los modos guiados en una fibra óptica de índice gradual.
En el capitulo 5, se obtienen y se
dos para algunos ejemplos de fibras ópticas de índice gradual comerciales,
observando el comportamiento de la cantidad de los modos al variar el radio de la
Capítulo 1
Estructura de la fibra óptica
En este capitulo se describen los eventos históricos en el desarrollo de las
comun
Con la invención y construcción del láser en 1960, volvió a tomar cuerpo la
e utilizar la luz como soporte de comunicaciones fiables y de alta
la posibilidad de una fuente de luz
ploración de las comunicaciones ópticas
ción, debido a la alta frecuencia de la
Por entonces comenzaron los estudios básicos sobre los procesos de
. Los primeros experimentos sobre transmisión
por la atmósfera pusieron de manifiesto diversos obstáculos: escasa fiabilidad icaciones por fibra óptica que se ha tenido en la utilización de la luz como
portadora de información y sus ventajas y desventajas. En la ultima sección se
describen los tipos de la fibra óptica y las características de cada una.
1.1 HISTORIA DE LA FIBRA ÓPTICA
Las ondas de luz, al igual que las de radio, son una forma de energía
electromagnética, y la idea de transmitir información por medio de la luz, como
portadora, tiene más de un siglo de antigüedad.
Hacia 1880, antes de la invención del teléfono, Alexander G. Bell construyó
el llamado <<fotófono>>, que enviaba mensajes vocales, a corta distancia, por
medio de la luz. Sin embargo, esa aplicación de las ondas luminosas no fue viable
por la falta de fuentes de luz adecuadas y de un medio de propagación de bajas
pérdidas.
idea d
potencialidad de información. De hecho,
coherente y monocromática estimuló la ex
como soporte de altos flujos de informa
portadora .
debida a los precipitacione contaminación atmosférica,
turbulencias atmosféricas, etc.
El empleo resultar
tractivo: Tamaño, peso, facilidad de manejo, flexibilidad y coste ( comparado con
s sistemas de comunicación por la atmósfera).
isis teórico,
ompleto, sobre la propagación electromagnética en un medio dieléctrico
ilíndrico. El problema radicaba en que las fibras de vidrio disponibles cuando se
s miles de decibelios por kilómetro.
La primera indicación de una solución viable aparece en 1966, con la
Hockan de un famoso artículo, en el cual señalan que la
atenuación observada hasta entonces en las fibras de vidrio no se debía a
icación y que, por
consiguient
en frecuencias óptic
/km por medio de fibras con núcleo de
de alta
s (lluvia, nieve),
de las fibras de vidrio como medio guía no tardó en
a
lo
Las fibras de vidrio permiten guiar la luz mediante múltiples reflexiones
internas de los rayos luminosos. Es muy probable que la potencialidad de guiar luz
mediante cilindros transparentes fuese bien conocida por los artesanos del vidrio.
En 1910 se realizó, por Hondros y Debie, el primer anál
c
c
inventó el láser presentaban pérdidas de vario
publicación por Kao y
mecanismos intrínsecos, sino a impurezas originadas en la fabr
e, era viable emplear fibras dieléctricas como soporte de información
as. Entonces surgió la propuesta de utilizar una guía óptica
para la comunicación.
Esta forma de usar la luz como portadora de información se puede explicar
de la siguiente manera:
Se trata en realidad de una onda electromagnética de la misma naturaleza que las
ondas de radio, con la única diferencia que la longitud de las ondas es del orden
de micrómetros en lugar de metros o centímetros.
No fue sino hasta 1970 cuando la firma Corning obtuvo unas fibras con una
atenuación inferior a 20 dB/km, al año siguiente, 1973, Corning dejó obsoletas las
fibras de núcleo líquido al obtener 4 dB SiO2
pureza.
Las nuevas posibilidades que ofrecían las fibras estimularon la investigación
consumo. Los emisores de semiconductores y los detectores de estado sólido
parecían los más prometedores.
orma
e entonces los progresos se han
multip
un not
En 1970 se realizó el primer láser de AlGaAs capaz de operar de f
continua a temperatura ambiente (20-25C); sin embargo, la vida de aquellos
dispositivos sólo era de unas pocas horas. Desd
licado y hoy es posible encontrar comercializados diodos láser con más de
100.000 horas de vida media.
En lo que respecta a los emisores de luz incoherente (LED), en 1971 se dio
able paso, cuando C. A. Burrus desarrolló un LED de pequeña superficie
radiante (unos 50µmde diámetro) particularmente idóneo para el acoplamiento
con las fibras ópticas.
En 1976 tuvo lugar un destacado evento. Investigadores japoneses, de la
NTT y de Fujicura, obtuvieron fibras con 0.47±0.1dB/km en 1.3 y 1.55 µm, muy cerca ya del límite debido a los factores intrínsecos de atenuación (impuesto por
un fenómeno de esparcimiento Rayleigh, que introduce una atenuación
inversamente proporcional a la cuarta potencia de la longitud de onda).
En 1974 se alcanzaron 0.2 dB/km, sobre fibras monomodo en 1.55µm.
En 1975 se predijo que las fibras de SiO presentaban una zona de mínima
dispersión, alrededor de 1.3
2
m
µ , por cuanto la dispersión del material de la fibra
ivo intrínseco.
n
tes y detectores ópticos aptos
para e
constituye un factor limitat
Estos dos aspectos (bajas pérdidas y baja dispersión) abrían nuevas
posibilidades para transmisiones de alta velocidad y larga distancia. E
consecuencia, se estimuló la investigación de fuen
stas longitudes de onda (1.3-1.6µm).
En 1976 se construye el primer diodo láser de InGaAsP/InP, si bien con una
vida media limitada (2000 horas). Un año más tarde (1977) también pudo
ED de ese mismo material. Hoy tanto el LED como el láser,
fabricados con este material, están comercialmente dis fabricarse un L
Si se requiere ver más acerca de la historia de la fibra óptica se puede ver [1], [2],
[3].
la fibra óptica se ha convertido en una de las
tecnol
casi en su totalidad los ruidos y las interferencias hasta
multip
la hacen ser
ventaj
su núcleo, que es la guía de la onda
lumino
nes a s interferencias electromagnéticas de
radio-f
Entre las ventajas, también de la fibra, tienen la capacidad de tolerar altas
iferencias de potencial sin ningún circuito adicional de protección y no hay
1.2 Ventajas y desventajas de las comunicaciones por fibra
óptica.
Desde el año 1976
ogías más avanzadas que se utilizan como medio de transmisión de
información. Este novedoso material vino a revolucionar los procesos de las
telecomunicaciones en todos los sentidos, desde lograr una mayor velocidad en la
transmisión, disminuir
licar las formas de envío en comunicaciones y recepción por vía telefónica.
Las fibras ópticas son filamentos de vidrio de alta pureza extremadamente
compactos.
El grosor de una fibra es similar a la de un cabello humano. Fabricadas a
alta temperatura con base en silicio.
A continuación se mencionan algunas características, que s
as por la fibra óptica.
El proceso de elaboración es controlado por medio de computadoras, para
permitir que el índice de refracción de
sa, sea uniforme y evite las desviaciones, entre sus principales
características se puede mencionar que son compactas, ligeras, con bajas
pérdidas de señal, amplia capacidad de transmisión y un alto grado de
confiabilidad debido a que son inmu la
recuencia.
Las fibras ópticas no conducen señales eléctricas por lo tanto son ideales
para incorporarse en cables sin ningún componente conductivo y pueden usarse
en condiciones peligrosas de alta tensión.
ser utilizado para incrementar la capacidad de transmisión con el fin de reducir el
costo por canal; De esta forma es considerable el ahorro en volumen en relación
on los cables de cobre.
s o líneas principales, mientras que se requiere de 10,000 pares de
able de cobre convencional para brindar servicio a ese mismo número de
usuari
r
haya necesidad de recurrir a repetidores lo que también hace más
econó
fue propuesta como medio de transmisión
debido
aplicaciones además de la telefonía, automatización
indust
ito se encuentra un tercer componente al que se le denomina
detect
compone en este orden, de señal de
entrad c
Con un cable de seis fibras se puede transportar la señal de más de cinco
mil canale
c
os, con la desventaja que este último medio ocupa un gran espacio en los
ductos y requiere de grandes volúmenes de material, lo que también eleva los
costos.
Comparado con el sistema convencional de cables de cobre donde la
atenuación de sus señales, (Decremento o reducción de la onda o frecuencia) es
de tal magnitud que requieren de repetidores cada dos kilómetros para regenera
la transmisión, en el sistema de fibra óptica se pueden instalar tramos de hasta 70
km. Sin que
mico y de fácil mantenimiento este material.
Originalmente, la fibra óptica
a su enorme ancho de banda; sin embargo, con el tiempo se ha planteado
para un amplio rango de
rial, computación, sistemas de televisión por cable y transmisión de
información de imágenes astronómicas de alta resolución entre otros conceptos
de transmisión en un sistema de transmisión por fibra óptica existe un transmisor
que se encarga de transformar las ondas electromagnéticas en energía óptica o
en luminosa, por ello se le considera el componente activo de este proceso. Una
vez que es transmitida la señal luminosa por las minúsculas fibras, en otro
extremo del circu
or óptico o receptor, cuya misión consiste en transformar la señal luminosa
en energía electromagnética, similar a la señal original.
El sistema básico de transmisión se
a, amplificador, fuente de luz, corrector óptico, línea de fibra óptica (primer
tramo) empalme, línea de fibra óptica (segundo tramo), corrector óptico, receptor,
En resumen, se puede decir que este proceso de comunicación, la fibra
óptica funciona como medio de transportación de la señal luminosa, generado por
el transmisor de LED'S (diodos emisores de luz) y lásers.
nto con todas las ventajas de la banda óptica no se puede menospreciar
las gra
Los diodos emisores de luz y los diodos lásers son fuentes adecuadas para
la transmisión mediante fibra óptica, debido a que su salida se puede controlar
rápidamente por medio de una corriente de polarización. Además su pequeño
tamaño, su luminosidad, longitud de onda y el bajo voltaje necesario para
manejarlos son características atractivas.
Ju
ndes dificultades que están en el camino de su máximo uso.
Los procesos tecnológicos de fabricación de muchos elementos de los
sistemas de comunicaciones por fibra óptica son muy complicados y casi se
encuentran al nivel de las posibilidades técnicas.
Cabe mencionar que los niveles de tolerancia en el proceso de fabricación
de fibras ópticas son del orden de una fracción de 1µm.
mas con las conexiones
segura
La base técnica de la banda óptica aún no se ha desarrollado en su
totalidad, finalmente, en esta banda se tienen algunas desventajas principales.
Aquí se mencionan solamente las más importantes.
Los grandes aumentos de frecuencia en comparación con la banda
radiotécnica implican grandes dificultades en la estabilización de las frecuencias y
en la sincronización de los generadores.
Por lo regular, las fibras ópticas son relativamente muy caras. Así, las fibras
ópticas de buena calidad con guías de onda de cuarzo son varias veces más
caras que los cables coaxiales de cobre.
Grandes dificultades surgen por el peligro de aparición de microflexiones y
microgrietas.
Entre las desventajas también existen proble
s entre los segmentos de las fibras ópticas.
1.3 F
luz han experimentado
das por materiales opacos. Esta teoría
descri
ca tal como la
interfe
amente rectilíneo de la luz podía
ser int
det e.
la luz son transversales (el
movim
iadas por una pequeña fuente óptica
puede
undamentos físicos del funcionamiento de la fibra óptica.
Los conceptos concernientes a la naturaleza de la
muchas variaciones durante la historia de la física. Desde los inicios del siglo XVIII
generalmente se creía que la luz consistía en una corriente de partículas diminutas
que eran emitidas por fuentes luminosas. Estas partículas fueron dibujadas
viajando en líneas estrechas, y esto fue asumido como si éstas pudieran penetrar
materiales transparentes pero eran refleja
be adecuadamente escalas largas de efectos ópticos tales como reflexión y
refracción pero fallaron al explicar el fenómeno de la escala milimétri
rencia y la difracción.
La explicación correcta de difracción fue dada por Fresnel en 1815. Fresnel
mostró que el carácter de propagación aproximad
erpretado en la suposición de que la luz es un movimiento de onda y que el
borde de difracción por consiguiente es contado en all
Más tarde el trabajo de Maxwell en 1864 teorizó que las ondas de la luz
debían ser electromagnéticas en la naturaleza, es más la observación de los
efectos de polarización indicaron que las ondas de
iento de la onda es perpendicular hacia la dirección en la que la onda
viaja).
Las ondas electromagnéticas rad
ser representada por un tren de frentes de ondas esféricas con la fuente en
Figura 1.1 Frentes de ondas esféricas y sus rayos
Un frente de onda es definido como el lugar de todos los puntos en el tren
de ond
ntada como una onda plana, y su dirección de viaje puede ser indicado por
un ray
a el cual tiene la misma fase.
Cuando la longitud de onda de la luz es más pequeña que el objeto (o
abertura ) donde se encuentra, las frentes de ondas aparecen como líneas
estrechas a estos objetos ó abertura. En este caso la onda de la luz puede ser
represe
o de luz que es ilustrado perpendicular hacia el frente de fase, véase la
mple proceso geométrico del rayo
• Índice de refracción.
Un parámetro óptico fundamental de un material es el índice de refracción.
En un espacio libre una onda de luz viaja a una velocidad la
[image:16.612.174.439.68.282.2]velocidad de la luz es relativa a la frecuencia
Figura 1.2 Frentes de ondas planas y sus rayos
De esta manera los efectos ópticos de larga escala tales como refracción y
reflexión pueden ser analizados por el si
trazado. Esta vista de ópticas es referida como rayo u ópticas geométricas ver [4],
[5].
El concepto de los rayos de la luz es muy útil porque los rayos muestran la
dirección del flujo de la energía en el haz de luz.
A continuación se da una definición del índice de refracción y la
interpretación del fenómeno de reflexión y de refracción.
s m x c≈3 108 / υ y a la longitud de onda λ con la relación:
Si ahora la onda viaja en otro medio su velocidad cambia. El cociente el
cual la luz cambia de velocidad es el índice de refracción y se puede escribir la
relación siguiente:
V c
n= (1.2)
Donde:
Es la velocidad de la onda en el vacío
Es la velocidad de la onda en el medio.
En la tabla 1.1 se dan los valores del índice de refracción de algunos
materiales dieléctricos.
índice d os
c
V
e refracción (n) Valores típic
Aire 1.00
Agua 1.33
Vidrio 1.50
[image:17.612.78.534.316.424.2]Diamante 2.42
Tabla 1.1. Valores típicos de n en algunos materiales
Los conceptos de reflexión y refracción pueden ser interpretados más
fácilmente considerando el comportamiento de los rayos de la luz asociado con
ndas planas viajando en un material dieléctrico.
luz se encuentra en la frontera separando dos
iferentes medios, parte del rayo es reflejada de regreso en el primer medio y el
resto e o
Cuando un rayo de
d
s inclinado (o refractado ) y se entra en el segundo material ver [6]. Esto se
Figura 1.3. La reflexión y refracción del rayo de la luz en la frontera del material
Cuando n refracción del rayo de la luz en la interfase es el resultado
de la diferencia en la velocidad de la luz en dos materiales que tienen diferentes
dices de refracción.
La relac s dada por la
lación :
1
n
< la
2
ín
ión en la interfase es conocida como la ley de Snell y e
re
n1senφ1 =n2senφ2 (1.3)
Esta ecuación es equivalente a:
n1cosθ1=n2cosθ2 (1.4)
φ y θ
Donde los ángulos son definidos en la figura 1.3.
De acuerdo con la ley de reflexión el ángulo θ, en el cual el rayo incidente
de la interfase es exactamente igual al ángulo del rayo reflejado hace con la
reflejado están en el mismo plano, el cual es perpendicular hacia el plano
interfase entre dos materiales.
Cuando la luz viaja en un cierto medio es reflejado fuera de un material
denso ( uno con un alto índice de refracción ), el proceso es referido a un reflejo
externo.
En el caso contrario el reflejo de luz de menos material óptimamente denso
( tal como luz viajando en vidrio siendo reflejado en una interfase vidrio aire ) es
llamado reflejo interno.
Como el ángulo de incidencia θ, en un material óptimamente denso ( alto
índice de refracción ) llega a ser pequeño, el reflejo del ángulo θ2 se acerca a
cero, más allá de este punto la refracción no es posible y los rayos de luz llegan a
ser totalmente internamente reflejado. Las condiciones requeridas para un total
reflejo interno pueden ser determi
Consideremos las figuras siguientes las cuales muestran una superficie de
vidrio en el aire.
[image:19.612.86.527.405.545.2]nadas usando la Ley de Snell ver [7], [6].
Figura 1.4. Presentación del ángulo de cristal y la reflexión total en el interfase
vidrio – aire
se deja el vidrio en
concordancia con la ley de Snell.
Si el ángulo de incidencia θ es disminuida, un punto eventualmente será
alcanzado donde el rayo de luz en el aire es paralelo al de la superficie de vidrio.
Este punto es conocido como el ángulo crítico de incidencia θc.
Entonces la ecuación (1.4) se convierte a:
1 2
cos
n n
c =
θ (1.5)
Por lo tanto y a partir de la ecuación anterior si el ángulo θ incidente, es
menor que el ángulo crítico, la condición para un total reflejo interno es satisfecha
que es la luz es totalmente reflejado de regreso en el vidrio sin luz escapando de
la superficie de vidrio, es decir, que la relación siguiente es siempre satisfecha:
1 2
n
cos
n
>
θ (1.6)
A continuación, en la sección 1.4 se da un ejemplo para entender la
dirección de la luz en una fibra óptica y entender más el reflejo interno total.
1.4 Estructura de la fibra óptica.
Como se mencionó en la sección 1.1 y 1.2 Una fibra óptica es un tubo
dieléctrico transparente (vidrio) con unas características estructurales para permitir
un
Esta fibra de onda guiada es normalmente de forma cilíndrica, se limita la
nergía electromagnética en forma de luz dentro de sus superficies y guía la luz
en dire
isión de una guía óptica son dictadas por sus
características estructurales, las cuales tienen mayor efecto en determinar cómo
una señal óptica es afectada cuando ésta se propaga a lo largo de la fibra y confinamiento de la luz.
e
cción paralela hacia sus ejes.
tambié t
a uede ser descrita
en tér agnéticas guiadas llamadas los
Estos modos guiados son referidos como límite o modos almacenamiento
on aquellas ondas electromagnéticas que satisfacen la ecuación de onda
homog
n influencia en la respues a de la guía de onda hacia las influencias
ambientales.
La propagación de la luz a lo largo de la guía de ond p
minos de un conjunto de ondas electrom
modos.
de la guía de onda. Como estaremos viendo en los capítulos 3 y 4, estos modos
s
énea en la fibra y la condición de frontera en las superficie de la guía de
onda, la estructura más aceptada de una fibra es un dieléctrico simple de forma
cilíndrica y sólido y como ejemplo se puede tomar la estructura de una fibra óptica
multimodo, véase la figura 1.5.
n las principales funciones que tienen cada una de las
partes
Figura 1.5 Constitución de una fibra óptica multimodo
A continuación, se da
que constituyen a la fibra óptica:
• El núcleo
Es la región central, tiene una forma cilíndrica que se encarga de guiar los
En fibras de pérdidas bajas y medias el material del núcleo es generalmente
de vidrio y es rodeado por cualquiera de los dos recubrimientos de vidrio o
plástic
n también ampliamente usadas.
o.
Fibras de núcleo plástico de muy alta pérdida con recubrimientos de
plástico so
• Cubierta óptica
Es un dieléctrico sólido, tiene un índice de refracción menor que el del
núcleo, como se verá después, es una condición necesaria para satisfacer el
fenómeno de reflexión interna total en la frontera entre los dos, y la forma de
expresarlo es:
co cl n
n < (1.7)
Donde:
es el índice de refracción de la cubierta óptica.
es el índice de refracción del núcleo.
Aunque en principio, la cubierta óptica no es necesaria para la luz para
propagarse a lo largo del núcleo de la fibra, este sirve para varios propósitos.
ta óptica reduce un poco la pérdida resultante de las
umenta la
potencia mecánica a la fibra, y protege al núcleo de la absorción de contaminantes
de la s
• El recubrimiento.
Es un material que fomenta la potencia en la fibra y protege a la fibra de
peque
cl
n co
n
La cubier
discontinuidades dieléctricas en el núcleo de la superficie. Este a
uperficie con las cuales puede entrar en contacto.
ñas irregularidades geométricas, distorsión de superficies adyacentes.
Estas perturbaciones pueden de lo contrario causar algunas pérdidas
inducidas por una desviación microscópica fortuita que puede surgir cuando las
fibras están incorporadas en cables o soportadas por otras estructuras.
se utilizan en el análisis de las fibras
pticas.
• La reflexión interna total en la fibra óptica
Después de las definiciones que se dio a los partes que constituyen la fibra,
se debe anunciar algunas definiciones que
ó
Para entender la dirección de la luz en una fibra óptica se considera un rayo
[image:23.612.86.530.322.555.2]entrando en la fibra como se muestra en la figura siguiente:
Figura 1.6 Reflexión interna total
rfase del núcleo y la cubierta óptica)
Si el ángulo de incidencia ( en la inte φ
es mayor que el ángulo crítico que es dado con la relación siguiente:
⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎛ = −1 n2
Sin
φ ⎜ (1.8
⎝n
Entonces el rayo experimentará un reflejo interno total en esa interfase.
Además, debido a la simetría cilíndrica en la estructura de la fibra, este rayo
sufrirá un reflejo interno total también en la interfase menor y por lo tanto será
guiado
iado en el dieléctrico, pero apenas más información.
En los capítulos 3 y 4 se da interpretación más rigurosa y completa por la
apl obtención de sus posibles
oluciones.
de la fuente, existirán
nas u otras.
De esas soluciones, unas serán propagativas, mientras que otras serán
evanescentes y no propagarán ni energía, ni , por lo tanto información.
El número de modos que una fibra puede soportar depende de las
características geométricas de la misma.
• Apertura numérica.
Consideramos la figura 1.6 y se considera un rayo que es incidente en la
abertura de la entrada de la fibra y hace un ángulo
a lo largo del núcleo por reflejos internos totales repetidos.
La interpretación geométrica da una idea intuitiva de lo que ocurre y porqué
existe gu
icación rigurosa de las ecuaciones de Maxwell y la
s
Esas soluciones son variadas y distintas. En general existirán infinitas
soluciones posibles, pero en función de las características
u
α con el eje z y el rayo
refractado hace un ángulo θ con el eje de la fibra.
Asumiendo que afuera de la fibra óptica el índice de refracción es y
aplicando la Ley de Snell se obtiene:
0
n
0
sin sin
n nco
=
θ α
(1.9 )
Para satisfacer una reflexión interna total en la interfase del núcleo y la
debe incidir
critico, es decir:
co cl
n n
senφ(cosθ )> (1.10)
Aplicando la identidad trigonométrica:
2θ +cos2θ =1
sen
Se obtiene
2 1 2
1 ⎥
⎤ ⎢
⎡
⎟⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎛ − < ncl
senθ (1.11)
⎥⎦ ⎢⎣ ⎝nco⎠
Al sustituir en la ecuación (1.10) se obtiene:
2 1
0 2
2 2
⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎣ ⎡ − <
n n n
senα co cl
(1.12)
Si suponiendo que el medio de donde incide el rayo es el aire, en este caso
el valor máximo de sin α se tiene:
(
2 2)
12cl co
m n n
senα = − (1.13)
Donde:
m
α es el ángulo de aceptación (ángulo máximo)
Por lo tanto, la apertura numérica, se define como el seno del ángulo de
NA=senαm (1.14)
1.5 Tipos de fibras ópticas
ambio en el índice de refracción del material para curvar la trayectoria
de la luz y confinarla en el núcleo.
Las guías de onda dieléctricas se clasifican de acuerdo a su índice de
refracción en dos tipos ver [5], [9], [10], que son :
• Fibras ópticas de índice Abrupto
Que pueden ser clasificadas en dos tipos:
¾ Fibras ópticas monomodo
o
• Fibras ópticas de índice gradual
r la cual puede prop
ecir, sólo un modo que viaja paralelamente al eje central del núcleo y también
tiene que satisfacer a la condición ver [11]:
Como se vio en los puntos anteriores ( Ley de Snell), es necesario que
exista un c
¾ Fibras ópticas multimod
• Fibras Monomodo
Sólo existe una trayectoria po agarse el rayo de luz, es
d
2 2
2
cl co n
n a
− >
405 . 2
π
λ
(1.15)
Donde:
es el índice de refracción del núcleo
a es el rayo de la fibra óptica
co
cl
n es el índice de refracción del revestimiento
• Fibras Multimodo :
existe más de un tipo de modo de propagación.
s por una interfase en la que hay
n salto brusco. Con esta geometría los rayos describen trayectorias en zigzag,
reb y otra vez hasta llegar al otro extremo
e la fibra, la figura siguiente describe un índice de salto: En este tipo
Una fibra óptica puede tener una distribución de índice de dos tipos:
• Salto de índice:
Existen dos índices de refracción separado
u
otando en las interfases del núcleo una
d
[image:27.612.90.495.369.525.2]
Figura 1.7. Perfil del índice de refracción en una fibra de salto de índice.
• Índice gradual:
de refracción varía de forma gradual entre el índice del núcleo y el
el exterior. El índice
El sucesiv obliga al rayo a
ractarse continuamente, obligándole a recorrer trayectorias curvas que nunca
lleg rta, la figura siguiente muestra un índice gradual.
o cambio gradual del índice de refracción
ref
[image:28.612.91.485.157.291.2]an al material de la cubie
Figura 1.8. Perfil de índice de refracción en una fibra de índice gradual.
A continuación se describen las características de los tipos de fibras
ópticas:
• Fibras de índice Abrupto
a. Fibra de índice Abrupto Monomodo
En este tipo de fibra el modo de dispersión puede ser disminuido, reduciendo el
ámetro del núcleo hasta que la fibra óptica transmita solamente un modo.
L cleo
e sólo a
di
a fibra óptica está basada en el principio de teniendo un diámetro de nú
2 8µm
Figura 1.9. Fibra óptica monomodo
En esta figura se muestra el camino de la luz y el plano de índice refracción.
La apertura numérica y por lo tanto el ángulo de aceptación, es pequeño para
estas fibras, lo cual hace el lanzamiento de la luz más difícil, sólo el modo
funda
Las aplicaciones previstas pueden exigir varios tipos de fibras monomodo
ue difieren en:
¾
longitud de onda de funcionamiento.
¾ Las características geométricas y ópticas.
aptarse a muy diversas configuraciones de perfil
e índice, la figura siguiente refleja varias concepciones.
mental puede ser usado para transmitir la energía en la fibra.
q
Naturaleza del perfil de índice de refracción.
¾ La
Una fibra monomodo puede ad
Figura 1.10. Perfiles de índice para fibras monomodo
El perfil en forma de W permite ajustar la longitud de onda de dispersión
ula en un margen (1.3 – 1.45µm; ó 1.5 – 1.7µm
n ) ver [5], [12], [13]
Las fibras con doble revestimiento no pueden mantener simultáneamente
una baja dispersión y atenuación en la banda de 1.3 a 1.6µm, para alcanzar este
objetivo se han diseñado las fibras con perfil segmentado.
Entre las características de la fibra monomodo es usada para una velocidad
muy alta, el ancho de banda largo, aplicaciones de distancia larga.
Entonces se puede decir que estas fibras son más eficientes pero son difíciles
para trabajar con ellas por sus pequeños diámetros de núcleo, especialmente
b. Fibra óptica de índice abrupto multimodo
El tipo de fibra más sencillo es llamado fibra de índice de escalón. La fibra
de índice de escalón multimodo tiene un núcleo de cristal de 50 a 200µm en
diámetro rodeado por un revestimiento de vidrio. Diámetros de núcleo largo
resultan en más modos de luz de los que pueden ser realizados con diámetros de
núcleo pequeño. Con el índice de refracción de la cubierta óptica ligeramente
inferior que el del núcleo.
El término más común para esta fibra es fibra multimodo con un plano de
dice de escalón, el camino del rayo y el plano del índice de refracción es
ostrado en la figura 1.11 ín
m
del ángulo crítico.
[image:31.612.86.524.326.444.2]y la distancia adicional Figura 1.11. Fibra de índice Abrupto Multimodo
Como es representado en la figura, hay dos rayos que pueden viajar a lo
largo del núcleo.
Uno es llamado el rayo axial, el cual viaja a lo largo del eje, el otro es
llamado el marginal o rayo meridional, el cual viaja a lo largo de un camino cerca
El rayo meridional viajará más lejos que el rayo axial
cl cl co n
n Z
Z .(
n
) − =
∆
(1.16)
Donde:
Z
∆ es definida en metros (m).
Z es la distancia recorrida
El tiempo adicional que esta tomando para que el rayo meridional viaje es :
c n n n Z
t= .( c − cl). c
∆ (1.17)
Donde:
es definida en segundos
Este retraso de tiempo, conocido como dispersión modal, causa distorsión
en el pulso que está siendo enviado. Esto causa un pulso de luz corto para
ampliar, de esta manera se reduce la velocidad de transmisión y el ancho de
banda de transmisión.
Los modos que el rayo axial transporta y los modos que el rayo marginal
transporta interactúan entre ellos, intercambiando energía a lo largo del camino,
causando mezcla de modo.
La dispers do por Kilómetro
.
nificante en una distancia pequeña, los sistemas de fibra óptica
puede
expresada en frecuencia, tal como
t
∆ (s).
ión modal es típicamente de 15 a 30 nanosegun
) / (ns Km
Si la distancia es doblada, el tiempo de dispersión será doblado. Aunque
esto parezca insig
n transmitir datos por arriba de distancias mucho más largas.
La dispersión podría limitar por completo el ancho de banda del sistema. y
puede ser también 100MHz−Km. Este número
indica
nte en el sistema.
Desde que hay demasiada dispersión asociada con las fibras de índice de
scalón multimodo, este es el menos eficiente de los tres tipos de fibras.
que el ancho de banda más elevado es de 100 MHz por 1Km de fibra
antes de la dispersión habrá un problema limita
Sin embargo, la fibra es la menos económica, es fácil interrumpir prestar a
si mismo para la incorporación de los conectores finales y tiene una apertura
numérica larga a través de la cual la luz puede penetrar la fibra.
ras son usadas para distancias cortas, menos de un Kilómetro,
donde los ancho eq
adual reducirá el pulso ampliado.
• Fibra de índice gradual multimodo
compromiso de los
critos.
s e dice gradual:
com
interfase entre el núcleo y el revestimiento. La figura 1.12 muestra el camino del Estas fib
s de banda de señales r ueridas son más pequeñas, usando un
modo único o un modo de fibra de índice gr
La fibra de índice gradual multimodo es un dos tipos de
fibra previamente des
Entre la ventajas de la fibra óptica d ín
El límite entre el núcleo y el revestimiento no es tan definido claramente
o con la fibra de índice escalón.
El índice de refracción del núcleo de vidrio disminuye parabólicamente en la
rayo y el plano de índice de refracción.
Figura 1.12. Fibra de índice gradual multimodo
Los rayos de luz viajan desviados o en caminos ales en a fibra de
índice gradual.
helicoid un
Por motivo del plano de índice de refracción parabólico, los rayos son
Los rayos que viajan en el eje de fibra transverso tienen un camino más
corto que los cercanos a la interfase de la cubierta óptica del núcleo.
La diferencia en el índice de refracción anula el problema de retraso de
Capítulo 2
On
híbridas)
Cuando se trata el problema práctico de la propagación de las ondas
electromagnéticas en guías de ondas, el objetivo es resolver las ecuaciones de
Maxwell en el interior de dichas guías, y las soluciones obtenidas se pueden dividir
en tres grupos, de los cuales se habla en este capítulo, dichos grupos de
soluciones también llamados ondas o modos, son las ondas Transversales
Eléctricas (TE), las Transversales Magnéticas (TM) y las ondas híbridas (HE y
EH). Como se ha mencionado, los modos TE , TM y ondas híbridas (HE y EH) son
soluciones de las ecuaciones de Maxwell en las guías de ondas dieléctricas ver
[14], [15], [16], en este capítulo se considera en principio, algunas características
generales de las guías de ondas, y como un ejemplo de guía de onda se tomará
una fibra óptica de índice abrupto, para posteriormente derivar las soluciones de
las ecuaciones de Maxwell que nos llevan a la definición de los modos TE, TM, EH
y HE.
2.1 Guías de ondas
En cualquier situación realista en la que se quieran estudiar los campos
dependientes del tiempo, deben existir límites o paredes en la región bajo análisis.
En estos casos las soluciones para los campos en el medio no podrán ser, en
general, ondas planas uniformes de extensión infinita, ya que, además de
satisfacer las ecuaciones de Maxwell, deben cumplir las condiciones de frontera
en los límites de la región que se considera.
Una guía de onda puede ser definida como una estructura destinada a la
propagación dirigida y acotada de radiación electromagnética. El medio dieléctrico
conductor ( para microondas o por otro dieléctrico (para
frecuencias ópticas).
¾ Líneas de transmisión de d
¾ Guías de ondas huecas
Fibras ópticas
as ondas TE y TM
uía de onda con sección transversal arbitraria, la cual
ene en su interior un dieléctrico que guía la onda a lo largo del eje de
propag
y radiofrecuencia),
Existen varios tipos de guías de ondas, los más usuales son:
os conductores
¾
La primera de éstas, y como su nombre lo indica, consta de un par de
conductores paralelos usados para la transmisión eficiente de potencia e
información, entre ellas se encuentran la línea de transmisión de dos alambres y la
línea de transmisión coaxial, ejemplos de estas líneas los podemos observar en
los cables usados para transporte de energía eléctrica y en los cables usados para
TV, respectivamente. El tercer tipo de guías de ondas, también llamadas fibras
ópticas consisten en una varilla de material dieléctrico, la cual se basa en el
principio de reflexión interna total, como se vió en detalle en el capítulo 1, para
guiar una onda electromagnética de un punto a otro.
A continuación se da unas definiciones sobre los tres tipos de ondas TE, TM y
ondas híbridas (HE y EH).
2.2 L
Suponiendo una g
ti
ación que coincide con el eje coordenado z, como se muestra en la figura
Figura 2.1. Guía de onda con sección transversal arbitraria
Se consideran dos ondas que viajan a lo largo del eje z de esta guía con la
velocidad:
β
w
v= (2.1)
es la frecuencia angular de la onda Donde:
w
β es la constante de propagación
y tienen una amplitud no uniforme en el plano transversal ver [14], entonces sus
expresiones son los siguientes:
, (2.2)
En este caso, se sabe que tanto el campo eléctrico como el campo
magnético
z j
e y x E
E= 0( , ) − β H =H0(x,y)e−jβz
E
H satisfacen la ecuación de Helmholtz homogénea en tres
(2.4)
Donde:
0
2 2
2 + =
∇ H k n H
c w
k = es el número de onda
es el índice de refracción del dieléctrico
n 2 2 2 2 2 2 2 z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =
∇ se le conoce como el operador laplaciano.
Al sustituir las expresiones del campo eléctrico y magnético en las
ecuaciones de Helmholtz vectorial se obtiene otra expresión de estas ecuaciones
vectoriales en función de las amplitudes del campo eléctrico y magnético en dos
dimensiones. 0 (2.5) e: 0 2
2 + =
∇ E p E0 ∇2H0 + p2H0 =0 (2.6)
Dond 2 2 2 2 y x ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ 2
Si de Helmholtz vectoriales en sus
se tendrá un sistema de seis
x
E p
E , ,
, ,
ue será suficiente con resolver las ecuaciones diferenciales para las
omponentes axiales, y las demás componentes serán derivables de los axiales.
ransversales de
2 2 2 2 = −β
n k p
descomponemos a las ecuaciones
componentes escalaresEx,Ey,Ez,Hx,Hy,Hz
ecuaciones escalares de Helmhotz.
0
2
2 + =
∇ Ey p Ey ∇2Ez + p2Ez =0 0
2
2 + =
∇ x
0
2
2 + =
∇ Hx p Hx ∇2Hy + p2Hy =0 ∇2Hz + p2Hz =0
Suponiendo, que sólo las componentes axiales Ez y Hz son conocidas,
esto significa q
c
Et =Exex +Eyey =z×E0 ×z, Ht =Hxex +Hyey =z×H0 ×z (2.7)
Aplicando las ecuaciones de Maxwell a las expresiones del campo eléctrico
y magnético se obtiene una relación entre las amplitudes de los dos campos.
⎥
⎦ ⎤ ⎢
⎡
× − z E
H β
µ
⎣ − = ×
∇ 0 0 0
w jw
E
µ (2.8)
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡ − ×
− = ×
∇ 0 0 z H0
w H jw H
ε β
ε (2.9)
Al multiplicar estas dos ecuaciones con el producto vectorial con z y aplicar
l:
la identidad vectoria
z×∇×F(x,y)=∇
[
z⋅F(x,y)]
Se obtiene:
⎥
⎦ ⎣ wµ
⎤ ⎢
⎡
− × −
= t t
z jw z H E
β
µ (2.10)
∇E
⎥⎦ ⎤ ⎢
⎡ × −
=
∇Hz jwε z Et
⎣ − Ht
wε
β
(2.11)
Donde:
z×E0 =z×Et
Debido a las expresiones anteriores, se ve que se pueden encontrar las
ecuaciones simultáneas para Et y Ht en términos de los dos componentes
(
)
t t zE = (2.12)
jwµz ×∇H z − jβ∇ k2n2 − β 2 E = p2E
Y eliminar Etse llega a:
(
)
t tz
z j H k n H p H
E z
jwε ×∇ − β∇ = 2 2 −β2 = 2
(2.13)
Estas dos ecuaciones muestran que las amplitudes de los campos
ansversales y son de hecho directamente derivables de las componentes
y también demuestran otra pro
el campo, es decir, los campos transversales son combinaciones lineales de los
gradie
dos ecuaciones anteriores, los campos transversales y
pueden ser expresados como una superposición de dos tipos de ecuaciones
a no tiene la componente axial
t
E Ht
tr
axiales Ezy Hz piedad importante de las amplitudes
d
ntes de los dos componentes axiales.
A partir de las Et
t
H
más simples, un Ez (Ez =0), y se define como una
nda TE, y la segunda ecuación no tiene la componente axial , y se
define como una onda TM, las dos ecuaciones que caracterizan estos dos tipos de
como:
• Para la onda TE ( ).
Sustituyendo en las ecuaciones (2.12) y (2.13) se obtiene la ecuación
sta onda.
jwµz×∇H y (2.14)
Al sustituir en las ecuaciones (2.12) y (2.13) se obtiene la ecuación
caract
=
o Hz (Hz =0)
ondas se escriben
0
=
z
E
característica de e
p2ETEt = z p2HTEt =−jβ∇Hz
• Para la onda TM (Hz =0)
erística de esta onda.
y la segunda ecuación no tiene la componente axial (Hz =0), es una
aracterística de la onda TM.
ne mpo axial son encontradas descomponiendo las
cuaciones de Helmholtz vectoriales que se escriben como:
, para ondas TM (2.16)
H
de tres tipos de modos, además de las
guía de onda metálica, la fibra óptica como guía de onda tiene también otro tipo
ales tiene
l revestimiento.
fibra tica de sección transversal arbitraria, véase la
figura
z
H
c
Las compo ntes del ca
e
0
2
2 + =
∇ Ez p Ez
∇ z + p2Hz =0, para ondas TE (2.17)
2.3 Ondas híbridas (EH y HE)
2
La propagación de las ondas electromagnéticas en una fibra óptica consiste
ondas TE y TM que se propagan en una
de modos que se llaman modos híbridos los cu n componentes axiales
del campo eléctrico Ez y campo magnético Hz y componentes transversales.
A continuación se da una expresión de las componentes transversales y
axiales en el núcleo y en e
Se considera una óp
Figura 2.2. Fibra óptica como guía de onda
nentes transversales tienen las expresiones siguientes:
Con la derivación de las ecuaciones de Maxwell para una onda no uniforme
y tomando una fibra óptica de sección transversal como guía de onda, se llega a
las expresiones de las componentes transversales y axiales, tanto en el núcleo
como en la cubierta óptica ver referencia:
• En el núcleo:
Las compo
z z
z z H
p jw E p
j zE
E= − ∇ + ×∇
2 0 2
µ β
(2.18)
z z z Ez
p n jw H
p j zH
H = − ∇ + ×∇
2 1 2 0 2
ε β
Las componentes axiales satisfacen a las ecuaciones escalares de
Helmholtz:
, (2.20)
• En la cubierta óptica:
Se aplican las mismas ecuaciones en el núcleo, sólo remplazando con
y con se llega a:
Las expresiones de las
0
2
2 + =
∇ Ez p Ez ∇2Hz + p2Hz =0
2
p
2
q
− n1 n2
componentes transversales se escriben como:
z z z Hz
q jw E q
j zE
E= + ∇ − ×∇
2 0 2
µ β
(2.21)
z z z Ez
q n jw H q
j zH
H = + ∇ − ×∇
2 2 2 0 2
ε β
(2.22)
s de las componentes axiales satisfacen a las ecuaciones
scalares de Helmholtz:
, (2.23)
, (2.24)
y las expresione
e
∇2Ez + p2Ez =0 0
2
2 + =
∇ Hz p Hz
Donde:
2 2 2
1 2
p n
Capítulo 3
Derivación de las ecuaciones de ondas partiendo de las ecuaciones de
Maxwell
oblema correspondiente para encontrar las
de ondas de los tres tipos (ondas TE, ondas TM, ondas híbridas),
utilizando las ecuaciones de Maxwell ver [17], [18], [19], [20].
3.1 Ecuaciones de Maxwell.
avés
de ondas dieléctricas, se utiliza la teoría electromagnética
r James Clerk Maxwell, ya que
de las ondas electromagnéticas, y para entenderla se debe conocer los postulados
que son las cuatro ecuaciones de Maxwell, que se puede
representar en forma integral ( la cual es conveniente, ya que nos indica las leyes
sica que sirven de fundamento) ó en forma diferencial ( que se emplea con más
frecue e
erá satisfacer las cuatro ecuaciones de Maxwell. La
s campos electromagnéticos es debido a que son medios capaces
nergía o inform espacio material, algunos ejemplos de
stos campos electromagnéticos son las ondas de radio, señales de televisión, los
haces del radar y en nuestro caso los rayos de luz.
continuación se dan las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial. Y
ometría cilíndrica de la guía, será convenie
cilíndricas.
En este capítulo se plantea el pr
ecuaciones
Para saber el comportamiento de la propagación de ondas de luz a tr
de las guías
desarrollada po dicha teoría llevó al descubrimiento
fundamentales
fí
ncia en la resolución de problemas ); para que un campo pueda decirse qu
es electromagnético deb
utilización de lo
de transportar e ación en el
e
A
( )
( )
t
∂
t p,
B t
p
E =−∂
×
∇ , (3.1a)
( )
( ) ( )
t t
p J t p
H D p t
∂ ∂ + =
×
∇ , ,
,
(3.1b)
( )
, =0⋅
∇ B p t (3.1c)
∇⋅D
( )
p,t = ρ( )
p,t (3.1d)Donde :
(
)
∈ℜ ∈ℜ = r z tp ,θ, 3, son el vector de posición y el tiempo arbitrario.
( ) (
p t Er E Ez)
Er(
r z t)
er E(
r z t)
e Ez(
r z t)
ezE , = , θ, = ,θ, , + θ ,θ, , θ + ,θ, , Es la
en volts sobre metro
(
V /m)
. intensidad del campo eléctrico, dada( ) (
p t Hr H Hz)
Hr(
r z t)
er H(
r z t)
e Hz(
r z t)
ezH , = , θ, = ,θ, , + θ ,θ, , θ + ,θ, , Es la
intensidad del campo magnético, dada en amperes sobre metro
(
A/m)
.( ) (
p t Dr D Dz)
D , = , θ, Es la densidad del flujo eléctrico o inducción eléctrica
dada en coulombs sobre metro cuadrado
(
2)
/m
C .
( ) (
p t Br B Bz)
B , = , θ, Es la densidad del flujo magnético o inducción
magnética dada en weber sobre metro cuadrado (Wb/m2).
( ) (
p t Jr J Jz)
J , = , θ, Es la densidad de corriente de conducción dada en
amperes sobre metro cuadrado
(
A/m2)
.( ) (
p t ρr ρ ρz)
ρ , = , θ, Es la densidad de carga eléctrica dada por coulombs
sobre metro cúbico
(
C/m3)
.Las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales lineales de primer
orden acopladas (que contienen tanto el campo eléctrico E como el campo
magnético H). La relación que existe entre las cantidades del campo vectorial
J B H D
E, , , , es dada por medio de las relaciones constitutivas que caracterizan al
edio, es decir que para un medio dado alguno de los campos pueden ser
scritos como función de otros, en general pueden ser escritas como sigue :
m
e
) ( , ) ( ,
)
(E B B H J J E D
La interpretación más simple de estas relaciones consiste en que, por
ducción está completamente determinada por la
intensidad en el mismo punto y en el mismo instante ( y
ejemplo, la in D=D(p,t)
) , (x t
E p t B H y
también J y E son consideradas en forma similar ). En otras palabras, los
en el medio s
inerciales. A pesar de que tal interpretación es bastante idealizada, es aplicable en
muchos casos prácticos. En
fenómenos electromagnéticos on considerados locales y no
tonces
D
( )
p,t =ε0εr E( )
p,t
) 2 . 3 ( a
( )
p t H( )
p tB , =µ0µr , (3. b
( )
) 2
( )
p tE t
p
J , =σ0σr , (3.2c)
Donde ε0 es la permitividad del espacio libre en Farad / m y µ0 es la
permeabilidad del espacio libre medida en Henry / m σ0 es la conductividad del
espacio libre medida en Siemens / m; las cantidades adimensionales εr y µr y
r
σ
son llam s respeLas ecuaciones ma
describen una rica variedad de fenómenos físicos que representan la
respuesta del medio a la aplic campo electromagnético. Asumimos que
las características electromagnéticas del m
ado ctivamente permitividad y permeabilidad y conductividad
relativas.
teriales (3.2a) y (3.2b) y la ley de Ohm de la ecuación
) 2 . 3 ( c
ación del
edio ε y µ y σ no cambian en el
tiempo. Si además tienen los mismos valores en todos los puntos de un volumen
3
R
∈
Ω entonces el medio que llena el volumen es llamado homogéneo y en el
caso opuesto, cuando ε =ε(p) y/o µ =µ(p) y/o σ =σ(p),inhomogéneo.
Supondremos también que los pares de vectores D, E y B, H y J, E son
olineales. En este caso el medio es llamado isotrópico ( en caso contrario, c
