El Teorema de Lax Milgram y una Aplicación a las Ecuaciones Diferenciales Parciales

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FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN

PROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS

EL TEOREMA DE LAX-MILGRAM Y UNA APLICACIÓN A LAS

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES.

EDDISON ANDRÉS GIL PINILLA

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FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN

PROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS

EL TEOREMA DE LAX-MILGRAM Y UNA APLICACIÓN A LAS

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES.

EDDISON ANDRÉS GIL PINILLA

Trabajo de Grado presentado como parte de los requisitos para la obtención del título de Matemá-tico por la Universidad Distrital Francisco José de Caldas.

Director:

MILTON DEL CASTILLO LESMES ACOSTA

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Quiero dar un sentido agradecimiento principalmente al profesor Milton Lesmes que con sus aportes y sus conocimientos le dieron forma a este trabajo, al profesor Samuel Barreto por sus aportes que guiaron este y al profesor Oriol Mora, quien a pesar de sus dificultades logró dictar su curso de Análisis Funcional, el cual es la base de este trabajo.

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Índice general

Capítulos Página

Introducción V

1. Preliminares 1

1.1. Definiciones y conceptos . . . 1

1.2. El Teorema de Representación de Riesz . . . 22

2. El Teorema de Lax-Milgram 27 2.1. El Teorema . . . 27

2.2. Dos demostraciones alternativas . . . 35

2.3. Algunos resultados del Teorema de Lax-Milgram . . . 44

3. Aplicaciones 51 3.1. Definiciones previas . . . 51

3.2. Las ecuaciones de Poisson . . . 56

3.2.1. Condiciones de Frontera de Dirichlet . . . 57

3.2.2. Condiciones de Frontera Neumann . . . 60

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A. Algunos Espacios Duales 66

B. El Teorema de Hahn-Banach 69

Conclusiones 85

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Introducción

En este trabajo de grado, se trata de dar un acercamiento a los fundamentos de una herramienta del análisis funcional importante, el Teorema de Lax-Milgram para espacios de Hilbert y algunas aplicaciones presentadas a las distintas ecuaciones di-ferenciales. En principio para abordar este Teorema se necesita unos preliminares del análisis funcional básico y además gran énfasis en el Teorema de representación de Riesz, los conceptos presentados son primordiales para comprender la demostración del teorema, sin embargo las aplicaciones permitirán dar un enfoque a la importancia y el alcance de este Teorema.

El Teorema de Lax-Milgram no se limita a espacios de Hilbert, tiene una amplia-ción a espacios más generales, como la generalizaamplia-ción del Teorema de Lax-Milgram a espacios

𝐴 y𝐴′, también a espacios de Banach y algunas generalizaciones con nombre propio como el Teorema Nečas-Babušca-Lax-Milgram que es para

1 y 2 espacios de Hilbert cualesquiera y finalmente el teorema de Lions-Lax Milgram. En esté caso se presentará el caso más básico del Teorema, y el que fue presentado en 1945 por Peter D. Lax y Arthur N. Milgram como herramienta auxiliar a la solución de ecuaciones diferenciales parciales, pero con el tiempo y los complementos fue dan-do bases para teorías completas, tal como los espacios de Sobolev. Precisamente las aplicaciones estarán en este espacio, como la formulación de las ecuaciones de Pois-son y el problema de Sturm-Lioville.

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Figura

1:

Diagrama

sobr

e

la

tray

e

ctoria

lógica

del

trabajo

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1

Preliminares

La finalidad de este capítulo es estudiar los conceptos preliminares básicos para la formulación del Teorema de Lax-Milgram. El teorema se demostrará en el siguiente capitulo, donde se formulará algunos ejemplos del teorema.

Dentro de los pre requisitos se quiere el Teorema de Representación de Riesz esencial para la demostración del Teorema de Lax-Milgram que es el objetivo del tra-bajo. Otros pre requisitos importantes a tener en cuenta son los conceptos de álgebra lineal, análisis matemático y topología.

1.1

Definiciones y conceptos

El contexto para el desarrollo del teorema requiere inicialmente una topología métrica, es decir un espacio topológico donde se define unamétrica.

Definición 1.1 (Espacio métrico). Un espacio métrico es un par ordenado(𝑋, 𝑑), donde𝑋es un conjunto y𝑑es una función que llamaremosmétrica, que es, una función definida en𝑋 ×𝑋 tal que para todo𝑥, 𝑦, 𝑧𝑋 se tiene

(M1) 𝑑es de valor real, finita y no negativa.

(M2) 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0si y sólo si𝑥=𝑦.

(M3) 𝑑(𝑥, 𝑦) =𝑑(𝑦, 𝑥)

(M4) 𝑑(𝑥, 𝑦)𝑑(𝑥, 𝑧) +𝑑(𝑧, 𝑦) (Desigualdad triangular)

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Demostración. Sea 𝑥𝑀. Si 𝑥𝑀, la sucesión es del tipo (𝑥, 𝑥,⋯). Si𝑥𝑀, este es un punto de acumulación de𝑀. Así para cada 𝑛 = 1,2,⋯la bola𝐵(𝑥,1∕𝑛) contiene un𝑥

𝑛𝑀, y𝑥𝑛←→ 𝑥. Para la suficiencia, sea𝑀 cerrado y𝑥

𝑛 ←→ 𝑥, entonces𝑥𝑀 o cada vecindad de𝑥 contiene puntos de𝑥

𝑛𝑥, así que x es un punto de acumulación de𝑀. Así𝑥𝑀, por la definición de cerrado.

Teorema 1.2 (Subespacio completo). Un subespacio 𝑀 de un espacio métrico completo𝕏es completo así mismo si y sólo si el conjunto𝑀 es cerrado en𝕏.

Demostración. Supongamos que𝑀 es completo. Por el Teorema1.1, para cada𝑥𝑀 existe una sucesión(𝑥

𝑛)en𝑀 el cual converge a𝑥. Como(𝑥𝑛)es de Cauchy y𝑀 completo, entonces(𝑥

𝑛)converge en𝑀. Así𝑥𝑀 y como el𝑥es arbitrario se tiene que𝑀 =𝑀 y así𝑀 es cerrado.

Para la suficiencia, supongamos que𝑀es cerrado y(𝑥

𝑛)es de Cauchy en𝑀. Entonces 𝑥𝑛 ←→𝑥∈𝕏, el cual implica que𝑥𝑀 por el Teorema1.1, y𝑥𝑀por ser cerrado (𝑀 =𝑀). Como(𝑥

𝑛)es una sucesión de Cauchy arbitraria converge en𝑀, entonces 𝑀 es completo.

La siguiente definición nos dará una noción de "longitud" del elemento, en un espacio vectorial.

Definición 1.2 (Espacio vectorial normado, espacio de Banach). Sea 𝕍 un espacio vectorial sobre un cuerpo𝐾=(ℝoℂ), esnormadosi se puede definir una función que llamaremosnorma, la cuál mapea

.‖∶𝕍 ←→ ℝ

𝑥 ←→ ‖𝑥

y debe cumplir las siguientes propiedades

(N1) ‖𝑥0

(N2) ‖𝑥‖= 0⇐⇒𝑥= 0

(N3) ‖𝛼𝑥‖=|𝛼|‖𝑥

(N4) ‖𝑥+𝑦𝑥‖+‖𝑦

La última propiedad es una manera equivalente de ver la desigualdad triangular

(13)

Un espacio de Banach es un espacio normado completo (completo en la métrica inducida por la norma.)

Sin embargo hay otro espacio que define un espacio métrico implícitamente, son losespacios vectoriales normadoy sobre este se basará nuestro trabajo de aquí en adelante.

Teorema 1.3 (Métrica inducida por una norma). Sea(𝕍,‖·‖)entonces se define 𝑑(𝑥, 𝑦) = ‖𝑥𝑦

entonces𝑑 es una función métrica. Esto se llama la métrica inducida por la norma.

Figura 1.1: Ilustración del Teorema 1.3 paraℝ2.

Demostración. Notemos que el rango de la función‖⋅‖es real, además porN1, queda demostradoM1.

Para probarM2, supongamos

𝑑(𝑥, 𝑦) =‖𝑥𝑦‖ = 0

porN2, tenemos

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Como la doble implicación se tiene entoncesM2esta demostrado.

ParaM3supongamos que tenemos

𝑑(𝑥, 𝑦) =‖𝑥𝑦‖ =‖(−1)(𝑦𝑥)‖

PorN3tenemos

𝑑(𝑥, 𝑦) =|− 1|‖𝑦𝑥‖=‖𝑦𝑥‖=𝑑(𝑦, 𝑥)

La última propiedad esN4, para esto supongamos que𝑥, 𝑦, 𝑧∈𝕍, así 𝑑(𝑥, 𝑦) = ‖𝑥𝑦‖=‖𝑥𝑦+𝑧𝑧

= ‖(𝑥𝑧) + (𝑧𝑦)‖

PorN4tenemos la desigualdad

𝑑(𝑥, 𝑦)≤‖𝑥𝑧‖+‖𝑧𝑦‖= 𝑑(𝑥, 𝑧) +𝑑(𝑧, 𝑦)

Así como los espacios vectoriales normados siempre inducen una norma, NO ne-cesariamente un espacio métrico induce una norma en un espacio vectorial, como puede verse en el siguiente ejemplo.

Ejemplo1.1. Consideremos la métrica en el espacio de todas las sucesiones complejas (acotadas y sin acotar), donde𝑥= {𝜉

𝑗}y𝑦= {𝜂𝑖} 𝑑(𝑥, 𝑦) = ∞ ∑ 𝑗=1 1 2𝑗 |𝜉𝑗𝜂𝑗|

1 +|𝜉𝑗𝜂𝑗|. Es claro queN1yN2se cumplen, sin embargoN3no, note que

𝑑(𝛼𝑥, 𝛼𝑦) = ∞ ∑ 𝑗=1 1 2𝑗 |𝛼𝜉𝑗𝛼𝜂𝑗|

1 +|𝛼𝜉𝑗𝛼𝜂𝑗| = ∞ ∑ 𝑗=1 1 2𝑗 |𝛼||𝜉𝑗𝜂𝑗|

1 +|𝛼||𝜉𝑗𝜂𝑗| Por otro lado

|𝛼|𝑑(𝑥, 𝑦) =|𝛼| ∞ ∑ 𝑗=1 1 2𝑗 |𝜉𝑗𝜂𝑗|

(15)

Teorema 1.4. La bola cerrada unitaria

̃

𝐵(0,1) = {𝑥𝑋|||𝑥|| 1}, en un espacio normado es convexa.

Demostración. Sea𝑥, 𝑦𝐵̃dos puntos cualesquiera, entonces para cualquier𝑧𝑀 se tiene que

||𝑧|| = ||𝛼𝑥+ (1 −𝛼)𝑦||

≤ ||𝛼𝑥||+||(1 −𝛼)𝑦||

= 𝛼||𝑥||+ (1 −𝛼)||𝑦||

𝛼+ (1 −𝛼) = 1

donde0≤𝛼 ≤1.

El resultado anterior es muy útil en el sentido que permite conocer si un espacio métrico define una norma. Para tal efecto consideremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo1.2. Consideremos la métrica enℝ2

𝜙(𝑥) = (√𝜉1+√𝜉2)2, donde𝑥 = (𝜉

1, 𝜉2), si dibujamos la "esfera"𝜙(𝑥) = 1, obtenemos Fig (1.2), y es claro que cualquier segmento sobre estos puntos no conexo, por lo tanto la métrica𝜙(𝑥)no es norma.

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A continuación demostraremos un lema muy importante en un espacio normado, el cual nos permite acotar inferiormente la norma de una combinación lineal con respecto a las normas de sus escalares.

Lema 1.1 (Norma de una combinación lineal). Sea{𝑥

1,, 𝑥𝑛}un conjunto lineal-mente independiente de vectores en un espacio normado𝕍 (de cualquier dimensión). entonces existe un número𝑐 >0tal que para cada elección de𝑎

1,, 𝑎𝑛tenemos, ‖𝑎1𝑥1+⋯+𝑎𝑛𝑥𝑛‖ 𝑐(|𝑎1|+⋯+|𝑎𝑛|) (1.1)

Figura 1.3: Imagen para el casoℝ2cuando𝑎

1= 𝑎2= 1

Demostración. Escribiremos𝑠=|𝑎1|+⋯+|𝑎𝑛|. Si𝑠= 0, todos los𝑎

𝑗 = 0, así (1.1) es valido para cualquier𝑐. Sea𝑠 >0. Entonces (1.1) es equivalente a la desigualdad la cual obtenemos de (1.1) dividiendo sobre𝑠y escribiendo𝛽

𝑗 = 𝑎𝑗𝑠que es

𝛽1𝑥1+⋯+𝛽𝑛𝑥𝑛‖ 𝑐 (1.2)

Note que∑𝑛

𝑗=1|𝛽𝑗|= 1pues 𝑛

𝑗=1

|𝛽𝑗| = |𝑎1|

𝑠 + |𝑎2|

𝑠 ⋯ |𝑎𝑛|

𝑠

= |𝑎1|+|𝑎2|+⋯+|𝑎𝑛|

𝑠

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Así, esto es suficiente para probar la existencia de un𝑐 >0tal que (1.2) cumple para cada𝑛𝑢𝑝𝑙𝑎de escalares𝛽

1,, 𝛽𝑛con ∑|

𝛽𝑗|= 1.

Supongamos que esto es falso, entonces existe una sucesión(𝑦

𝑚)de vectores 𝑦𝑚 =𝛽1𝑚𝑥1+⋯+𝛽𝑛(𝑚)𝑥𝑛

( 𝑛

𝑗=1

|𝛽𝑗(𝑚)|= 1

)

tal que

𝑦𝑚‖ ←→0 cuando 𝑛←→∞ Ahora razonemos como sigue. Si∑|𝛽(𝑚)

𝑗 |= 1, tenemos que|𝛽 (𝑚)

𝑗 |≤1. Así para cada 𝑗 fijo la sucesión

(𝛽𝑗(𝑚)) = (𝛽𝑗(1), 𝛽𝑗(2),⋯)

es acotada. Como consecuencia del teorema de Bolzano-Weierstrass, 𝛽(𝑚)

1 tiene una subsucesión convergente. Sea𝛽

1, denota el limite de la primera subsucesión, y(𝑦1,𝑚) denota la correspondiente subsucesión de(𝑦

𝑚). Por el mismo argumento,(𝑦1,𝑚)tiene una subsucesión(𝑦

2,𝑚)para el cual la correspondiente subsucesión de escalares(𝛽 (𝑚) 2 ); sea𝛽

2este limite.

𝑦1 = 𝛽11𝑥1 𝛽21𝑥2𝛽𝑛1𝑥𝑛 𝑦2 = 𝛽12𝑥1 𝛽22𝑥2𝛽𝑛2𝑥𝑛

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

𝑦𝑚 = 𝛽𝑚

1𝑥1 𝛽2𝑚𝑥2 ⋯ 𝛽𝑛2𝑥𝑛

∃(𝑦1,𝑚) ∃(𝑦2,𝑚) ⋯ ∃(𝑦𝑛,𝑚)

↓ ↓ ⋯ ↓

𝛽1 𝛽2𝛽𝑛

Continuando este razonamiento𝑛-veces obtenemos una subsucesión

(𝑦𝑛,𝑚) = (𝑦𝑛,1, 𝑦𝑛,2⋯)de(𝑦

𝑚)donde los términos son de la forma 𝑦𝑛,𝑚 =

𝑛

𝑗=1

𝛾𝑗(𝑚)𝑥𝑗 (∑|𝛾𝑗(𝑚)|= 1)

con escalares𝛾(𝑚)

𝑗 que satisface𝛾 (𝑚)

𝑗 ←→𝛽𝑗cuando𝑚←→∞. Así, cuando𝑚←→∞ 𝑦𝑛,𝑚 ←→𝑦=

𝑛

𝑗=1 𝛽𝑗𝑥𝑗

donde ∑|𝛽𝑗| = 1, así que no todos los 𝛽

𝑗 pueden ser 0. Como {𝑥1,, 𝑥𝑛} es un conjunto linealmente independiente, tenemos así 𝑦 ≠ 0. Por otro lado, 𝑦

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implica‖𝑦

𝑛,𝑚‖ ←→ ‖𝑦‖, por la continuidad de la norma. Como‖𝑦𝑚‖ ←→ 0y (𝑦𝑛,𝑚)es una sucesión de(𝑦

𝑚), debemos tener‖𝑦𝑛,𝑚‖ ←→ 0. Así ‖𝑦‖ = 0, por N2 se tiene que y=0. Esto contradice el hecho de que𝑦≠0, así el lema queda probado.

Definición 1.3 (Normas equivalentes). Una norma‖·‖en un espacio vectorial

𝕍 se dice que es equivalente a una norma‖·‖0sobre𝑋 si existen números positivos𝑎y 𝑏tal que para todo𝑥∈ 𝕍 tenemos

𝑎𝑥‖0 𝑥𝑏𝑥‖0

Teorema 1.5 (Normas equivalentes en una topología). Sea𝕍 un espacio nor-mado y sea‖·‖y‖·‖0dos normas equivalentes, entonces inducen la misma topología en𝕍.

Demostración. Por definición entonces existen𝑎y𝑏números positivos tales que

𝑎𝑥‖0 𝑥𝑏𝑥‖0 (1.3)

para todo𝑥∈𝕍. Como𝕍es espacio normado, entonces induce una métrica, llamemos 𝑑(𝑥, 𝑦) = ‖𝑥𝑦‖y 𝑑

0(𝑥, 𝑦) = ‖𝑥𝑦‖0 las métricas inducidas con𝑥, 𝑦 ∈ 𝕍, así de (1.3) se tiene que

𝑑0(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑐𝑑(𝑥, 𝑦) con1∕𝑎= 𝑐 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑏𝑑0(𝑥, 𝑦)

Para ver que dos topologias son equivalentes, se debe mirar que𝑓 ∶ (𝕍, 𝑑)←→ (𝕍, 𝑑 0) es un homeomorfismo. Tomemos a𝑘 = m ́ax(𝑏, 𝑐)y así para todo𝜖 > 0y haciendo 𝛿 = 𝜖

𝑘

se tiene que si

𝑑(𝑥, 𝑦)< 𝛿𝑑0(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑐𝑑(𝑥, 𝑦)

< 𝑐𝛿

< 𝑘𝛿

= 𝜖. De igual manera si

𝑑0(𝑥, 𝑦)< 𝛿𝑑(𝑥, 𝑦) 𝑏𝑑0(𝑥, 𝑦)

< 𝑏𝛿

< 𝑘𝛿

= 𝜖.

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Definición 1.4 (Operador lineal). Un operador lineal T es un operador tal que

(i) el dominio𝔇(𝑇)de T es un espacio vectorial y el rangoℜ(𝑇)se encuentra en un espacio vectorial con entradas al mismo campo,

(ii) para todo𝑥, 𝑦∈ 𝔇(𝑇)y un escalar𝛼,

𝑇(𝑥+𝑦) = 𝑇 𝑥+𝑇 𝑦 𝑇(𝛼𝑥) =𝛼𝑇 𝑥

Observación1.1. Desde ahora haremos la notación𝑇 𝑥= 𝑇(𝑥)por simplicidad. Tam-bién se debe tener en cuenta la siguiente simbología:

𝔇(𝑇)denota el dominio de𝑇. ℜ(𝑇)denota el rango de𝑇.

(𝑇)denota el espacio nulo o núcleo de𝑇.

Ejemplo 1.3 (Operador Integral). Un operador lineal𝑇 de𝐶[𝑎, 𝑏](funciones conti-nuas en el intervalo[𝑎, 𝑏]) sobre el mismo puede ser definido por

𝑇 𝑥(𝑡) =

𝑡

𝑎

𝑥(𝜏)𝑑𝜏

Note que𝐶[𝑎, 𝑏]es un espacio vectorial y además para𝑥, 𝑦𝐶[𝑎, 𝑏]se verifica 𝑇(𝑥+𝑦)(𝑡) = ∫ 𝑡 𝑎 (𝑥+𝑦)(𝜏)𝑑𝜏= ∫ 𝑡 𝑎 𝑥(𝜏)+𝑦(𝜏)𝑑𝜏 = ∫ 𝑡 𝑎 𝑥(𝜏)𝑑𝜏+ ∫ 𝑡 𝑎 𝑦(𝜏)𝑑𝜏= 𝑇 𝑥(𝑡)+𝑇 𝑦(𝑡)

y un escalar𝛼

𝑇(𝛼𝑥) = ∫ 𝑡 𝑎 (𝛼𝑥)(𝜏)𝑑𝜏 =𝛼𝑡 𝑎 𝑥(𝜏)𝑑𝜏 =𝛼𝑇 𝑥(𝑡)

Así el operador integral es un operador lineal.

Definición 1.5 (Espacio nulo). Sea 𝑇 un operador lineal, el espacio nulo de𝑇 es el conjunto de𝑥∈ 𝔇(𝑇)tal que𝑇 𝑥= 0.

Teorema 1.6 (Rango y espacio nulo). Sea T un operador lineal entonces

(a) El rangoℜ(𝑇)es un espacio vectorial. (b) Si𝑑𝑖𝑚𝔇(𝑇) =𝑛 <∞, entonces𝑑𝑖𝑚ℜ𝑛

(c) El espacio nulo(𝑇)es un espacio vectorial.

(20)

(b) Escojamos n+1 elementos 𝑦

1,, 𝑦𝑛+1de ℜ(𝑇)de manera arbitraria. Entonces tenemos𝑦

1 = 𝑇 𝑥1,, 𝑦𝑛+1 = 𝑇 𝑥𝑛+1 para algunos 𝑥1,, 𝑥𝑛+1 en𝔇(𝑇). Como

dim𝔇(𝑇) = 𝑛, este conjunto{𝑥

1,, 𝑥𝑛+1}debe ser linealmente dependiente. Así

𝑎1𝑥1+⋯+𝑎𝑛+1𝑥𝑛+1 = 0

para algunos escalares𝑎

1,, 𝑎𝑛+1, no todos son cero. Como𝑇 es lineal y T0=0, aplicando𝑇 a la ecuación anterior

𝑇(𝑎1𝑥1+⋯+𝑎𝑛+1𝑥𝑛+1) = 0 =𝑎1𝑦1+⋯+𝑎𝑛+1𝑦𝑛+1= 0

Esto muestra que{𝑦

1,, 𝑦𝑛+1}es linealmente dependiente porque el conjunto de los𝑎

𝑗no todos son 0. Recordemos que el subconjunto deℜ(𝑇)fue escogido de manera arbitraria, concluimos que el subconjunto de𝑛+1o más elementos en ℜ(𝑇)no es linealmente independiente. Por definición se tiene quedimℜ(𝑇) = 𝑛.

Teorema 1.7 (Operador Inverso). Sea 𝕍,𝕎 espacios vectoriales, ambos reales o ambos complejos. Sea𝑇 ∶ 𝔇(𝑇) ←→ 𝕎 un operador lineal con dominio 𝔇(𝑇) 𝕍 y rangoℜ(𝑇)𝕎. Entonces

(a) La inversa𝑇−1 (𝑇)←→ 𝔇(𝑇)existe si y solo si 𝑇 𝑥= 0 ⇐⇒ 𝑥= 0

(b) Si𝑇−1 existe, este es un operador lineal.

(c) Sidim𝔇(𝑇) =𝑛 <∞y𝑇−1existe, entoncesdim(𝑇) = dim𝔇(𝑇).

La siguiente definición nos dá una noción de acotación para un operador lineal. Definición 1.6 (Operadores lineales acotados). Sean𝕍 y𝕎 espacios normados y𝑇 ∶ 𝔇(𝑇)←→ 𝕎 un operador lineal, donde𝔇(𝑇) 𝕍. El operador𝑇 se dice acotado si existe un número real𝑐 0tal que para todo𝑥∈ 𝔇(𝑇),

𝑇 𝑥𝑐𝑥.

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En este momento solo nos interesa encontrar el𝑐 más pequeño posible junto con los𝑥distintos de cero de𝔇(𝑇), pues

𝑇 𝑥‖ ‖𝑥‖ ≤𝑐

(1.4)

Así que la respuesta a esa incógnita se encuentra en elsupde los𝑐. Esta cantidad es denotada por‖𝑇‖; así

𝑇‖ = sup

𝑥∈𝔇(𝑇)−{0} ‖𝑇 𝑥

𝑥.

(1.5)

𝑇‖es llamada la norma del operador T. Note que si𝑐 = ‖𝑇‖es

𝑇 𝑥‖=‖𝑇‖‖𝑥. (1.6)

Teorema 1.8 (Dimensión finita). Si un espacio normado𝕏es finito dimensional, entonces cada operador linear sobre𝕏es acotado.

Demostración. Sea dim𝕏 = 𝑛 y {𝑒

1,, 𝑒𝑛} una base para X. Tomemos cualquier 𝑥=∑𝑛𝑗=1𝜉𝑗𝑒𝑗. Entonces obtenemos

𝑇 𝑥‖= ‖‖‖‖ ‖‖ 𝑛𝑗=1 𝜉𝑗𝑇 𝑒𝑗‖‖‖‖ ‖‖≤ 𝑛𝑗=1

|𝜉𝑗|‖𝑇 𝑒𝑗‖ m ́ax

𝑘𝑇 𝑒𝑘‖ 𝑛

𝑗=1 |𝜉𝑗|

A la última suma aplicamos el lema1.1con𝛼

𝑗 = 𝜉𝑗y𝑥𝑗 =𝑒𝑗. entonces obtenemos 𝑛

𝑗=1

|𝜉𝑗| 1 𝑐 ‖‖ ‖‖ ‖‖ 𝑛𝑗=1 𝜉𝑗𝑒𝑗‖‖‖‖ ‖‖= 1 𝑐𝑥. Juntando,

𝑇 𝑥𝛾𝑥‖ donde 𝛾 = 1

𝑐 m ́ax𝑘𝑇 𝑒𝑘‖ Así por la definición1.6vemos que𝑇 es acotada.

A continuación se presentará el teorema más importante de los operadores lineales acotados.

Teorema 1.9 (Continuidad y acotación). Sea𝑇 ∶ 𝔇(𝑇) ←→ 𝕐 sea un operador lineal, donde𝔇(𝑇)𝕏y𝕏,𝕐 son espacio normados. Entonces:

(22)

(b) Si𝑇 es continuo en un solo punto, este es continuo.

Demostración. (a) Para𝑇 = 0la prueba se tiene trivial. Sea𝑇 ≠0entonces ‖𝑇0. Asumamos que𝑇 es acotado y consideremos arbitrariamente un𝑥

0∈ 𝔇(𝑇). Para cualquier 𝜖 > 0. Entonces, como𝑇 es lineal, para cada 𝑥 ∈ 𝔇(𝑇) tal que

𝑥𝑥0‖< 𝛿 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝛿 = 𝜖

𝑇‖ obtenemos

𝑇 𝑥𝑇 𝑥0‖=‖𝑇(𝑥𝑥0)‖≤ ‖𝑇‖‖𝑥𝑥0‖<𝑇𝛿 =𝜖 Así𝑥

0∈ 𝔇(𝑇)es arbitrario, esto muestra que𝑇 es continuo.

A la inversa, asumamos que𝑇 es continua en un punto arbitrario𝑥

0 ∈ 𝔇(𝑇). Entonces para cualquier𝜖 >0, existe un𝛿 > 0tal que

𝑥𝑥0‖𝛿 para todo𝑥∈𝔇(𝑇)satisface ‖𝑇 𝑥𝑇 𝑥0‖≤ 𝜖. (1.7) Ahora tomaremos cualquier𝑦≠ 0 ∈𝔇(𝑇)y el conjunto

𝑥=𝑥0+ 𝛿

𝑦𝑦. 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥𝑥0 = 𝛿𝑦𝑦.

Así‖𝑥𝑥0‖=𝛿, podemos usar (1.7). Como T es lineal, tenemos ‖𝑇 𝑥𝑇 𝑥0‖= ‖𝑇(𝑥𝑥0)‖ =‖‖‖‖

𝑇

( 𝛿𝑦𝑦

)‖ ‖‖ ‖‖ =

𝛿

𝑦‖‖𝑇 𝑦

y (1.7) implica

𝛿

𝑦‖‖𝑇 𝑦‖≤𝜖.

Así ‖𝑇 𝑦‖≤ 𝜖 𝛿𝑦.

Esto puede escribirse como‖𝑇 𝑦‖ ≤𝑐𝑦‖, donde𝑐 =𝜖𝛿, y así mostramos que 𝑇 es acotada.

(b) Continuidad de𝑇 en un punto implica que𝑇 es acotada por la segunda parte de (a), que a su vez implica continuidad en todo𝑇 por (a).

Corolario1.1 (Continuidad, espacio nulo). Sea𝑇 un operador lineal acotado. Enton-ces

(a) 𝑥𝑛 ←←𝑥[donde𝑥

(23)

(b) El espacio nulo(𝑇)es cerrado.

Demostración. (a) Cuando𝑛←→∞,

𝑇 𝑥𝑛𝑇𝑥‖ =‖𝑇(𝑥𝑛𝑥)‖𝑇‖‖𝑥𝑛𝑥‖←→0

.

(b) Para cada 𝑥 ∈ (𝑇)existe una sucesión (𝑥

𝑛) ∈ (𝑇) tal que 𝑥𝑛 ←→ 𝑥 por el Teorema1.1. Así𝑇 𝑥

𝑛 ←→ 𝑇 𝑥por la parte (a). Se tiene que 𝑇 𝑥 = 0cuando 𝑇 𝑥𝑛 = 0, así que𝑥∈ (𝑇). Como𝑥∈ (𝑇)es arbitrario, entonces(𝑇)es arbitrario.

La siguientes definiciones van a ser de gran ayuda para el teorema de Hahn-Banach.

Definición 1.7 (Igualdad, restricción y extensión de operadores). Dos opera-dores𝑇1y𝑇2son definidosiguales, y escribimos

𝑇1 =𝑇2

si estos tienen el mismo dominio𝔇(𝑇1) =𝔇(𝑇2)y si𝑇1𝑥=𝑇2𝑥para todo𝑥∈𝔇(𝑇1) =

𝔇(𝑇2).

La restricción de un operador 𝑇 ∶ 𝔇(𝑇) ←→ 𝕐 a un subconjunto 𝐵 ⊆ 𝔇(𝑇) es denotado por

𝑇|𝐵

y es el operador definido por

𝑇|𝐵 ∶𝐵 ←→𝕐, 𝑇|𝐵 =𝑇 𝑥para todo𝑥𝐵.

Unaextensiónde𝑇 a un conjunto𝑀 ⊇𝔇(𝑇)es un operador ̃

𝑇𝑀 ←→𝕐 tal que 𝑇̃|𝔇(𝑇) =𝑇 ,

que es,𝑇 𝑥̃ = 𝑇 𝑥para todo𝑥∈𝔇(𝑇).[Así T es una restricción de𝑇̃ en𝔇(𝑇)].

(24)

Figura 1.4: A la izquierda tenemos el operador𝑇 𝑥= −𝑥con𝔇(𝑇) =ℝ, a la derecha tenemos una extensión𝑇 𝑥̃ =𝑥+𝑦con𝔇(𝑇̃) =ℝ2.

Definición 1.8 (Funcional lineal). Unfuncional lineal fes un operador lineal con dominio en un espacio vectorial𝕍 y rango en el campo de escalares K de𝕍; así.

𝑓 ∶𝔇(𝑓)←→𝐾, donde𝐾 =ℝsi𝕍 es real y𝐾 =ℂsi𝕍 es complejo.

Ejemplo1.4 (Producto punto). La familia del producto punto con un factor fijo define un funcional𝑓 ∶ℝ3 ←→ℝpor medio de

|𝑓(𝑥)|=|𝑥𝑎|=𝜉1𝑎1+𝜉2𝑎2+𝜉3𝑎3,

donde𝑎= (𝑎

𝑗) ∈ℝ3es fijo.

𝑓 es lineal. Miremos ahora que𝑓 es acotado, en efecto,

|𝑓(𝑥)|= |𝑥𝑎|𝑥‖‖𝑎,

tal que‖𝑓‖ ≤‖𝑎‖siguiendo (1.5) si tomamos el supremo sobre todos los x de norma 1. Por otro lado, si hacemos x=a y usando (1.6) obtenemos

𝑓 |𝑓(𝑎)| ‖𝑎‖ =

𝑎‖2

(25)

Definición 1.9 (Espacio dual y doble dual). Es de vital importancia que el con-junto de todos los funcionales lineales definido en un espacio vectorial 𝕍 puede en si mismo ser transformado en un espacio vectorial. Este espacio es denotado por 𝕍∗ y es llamado elespacio dual algebraicode𝕍.

Podemos ir más allá y considerar el dual algebraico (𝕍∗)∗ de 𝕍∗, cuyos elementos son los funcionales lineales definidos sobre𝕍. Nosotros denotaremos a(𝕍∗)por𝕍∗∗y lo llamaremosel segundo espacio dual algebraico de𝕍.

Observación1.3. Podemos obtener un𝑔 ∈𝕍∗∗, el cual es un funcional lineal definido sobre𝕍∗,escogiendo un𝑥∈𝕍 fijo y obtenemos

𝑔(𝑓) =𝑔𝑥(𝑓) =𝑓(𝑥) (𝑥∈𝕍 fijo,𝑓 ∈𝕍∗variable.)

Definición 1.10 (Mapeo canónico). Para cada𝑥∈𝕍 existe una correspondencia 𝑔𝑥∈ 𝕍∗∗. Esto define un mapeo

𝐶 ∶𝕍 ←→ 𝕍∗∗

𝑥 ←→ 𝑔𝑥

C es llamado elmapeo canónicode𝕍 sobre𝕍∗∗.

Observación 1.4. Es fácil probar que C es lineal, entonces C es también llamado el embebimiento canónico de𝕍 sobre𝕍∗∗.

Definición 1.11 (Algebraicamente reflexivo). Si C es sobreyectivo (así biyecti-vo), tal queℜ(𝐶) =𝕍∗∗, entonces𝕍 se dice que esalgebraicamente reflexivo.

Teorema 1.10 (Espacios Duales). El espacio dual𝕍∗de un espacio𝕍 es un espacio de Banach. (Donde𝕍 no necesariamente lo es).

Ejemplo1.5 (El espacio𝑅𝑛). El espacio dual de𝑅𝑛es𝑅𝑛.

Ejemplo1.6 (El espacio𝑙1). El espacio dual de𝑙1 es𝑙∞.

Ejemplo1.7 (El espacio𝑙𝑝). EL espacio dual de𝑙𝑝 es𝑙𝑞; donde,1 < 𝑝 < ∞y𝑞 es el conjugado de𝑝, que es,1∕𝑝+ 1∕𝑞 = 1.

En el ApéndiceAse hará una demostración de los ejemplos1.5y1.6.

(26)

Definición 1.12 (Espacio con producto interno. Espacio de Hilbert). Un espa-cio con producto interno (o espaespa-cio Pre-Hilbert) es un espaespa-cio vectorial𝕍 con un producto interno definido sobre𝕍. Aquí unproducto internosobre𝕍 es

𝕍 ×𝕍 ←→ 𝐾

𝑥, 𝑦⟩ ←→ 𝛼

donde⟨𝑥, 𝑦⟩se llamara el producto interno de x e y, tal que para cualesquiera vectores x,y,z y escalares𝛼 tenemos

(PI1) ⟨𝑥+𝑦, 𝑧⟩=⟨𝑥, 𝑧⟩+⟨𝑦, 𝑧

(PI2) ⟨𝛼𝑥, 𝑦⟩ =𝛼𝑥, 𝑦

(PI3) ⟨𝑥, 𝑦⟩ =⟨𝑦, 𝑥

(PI4) ⟨𝑥, 𝑥0

𝑥, 𝑥⟩= 0 ⇐⇒ 𝑥= 0

Un Espacio de Hilbert es un espacio con producto interno completo.

A modo de comentario se dirá que para un espacio con producto interno 𝕏 se define la norma

𝑥‖=√⟨𝑥, 𝑥⟩ y una métrica sobre𝕏dada por

𝑑(𝑥, 𝑦) =‖𝑥𝑦‖=√⟨𝑥𝑦, 𝑥𝑦

Así un espacio con producto interno es un espacio normado, y un espacio de Hil-bert es un espacio de Banach.

Teorema 1.11 (Ley del paralelogramo). Todo espacio con𝕏con producto interno cumple la ley del paralelogramo, es decir para𝑥, 𝑦∈𝕏se tiene

𝑥+𝑦‖2+‖𝑥𝑦‖2 = 2(‖𝑥‖2+‖𝑦‖2)

Demostración. Por la aclaración anterior y las propiedades de producto interno te-nemos que

(27)

Figura 1.5: Ejemplo del producto punto enℝ2. la expresión‖𝑥‖cos𝛽 se llama la pro-yección de𝑥sobre𝑦

de manera similar

𝑥𝑦‖ =‖𝑥‖2−⟨𝑥, 𝑦⟩−⟨𝑦, 𝑥⟩+‖𝑦‖2. Sumando los dos resultados tendremos

𝑥+𝑦‖2+‖𝑥𝑦‖2 = 2(‖𝑥‖2+‖𝑦‖2)

Observación1.5. No todo espacio normado es espacio de producto interno, el teore-ma anterior nos da un criterio para saberlo.

Ejemplo1.8. El espacio𝐶[𝑎, 𝑏]de todas las funciones continuas en el intervalo[𝑎, 𝑏] con la norma definida

𝑥‖= m ́ax

𝑡∈[𝑎,𝑏]|𝑥(𝑡)|

es un espacio de Banach, pero no es un espacio de Hilbert. En efecto podemos ver que esta norma no cumple con la ley del paralelogramo, Teorema 1.11. Si tomamos 𝑥(𝑡) = 1y𝑦(𝑡) = (𝑡𝑎)∕(𝑏𝑎), tendremos que‖𝑥‖= 1,‖𝑦‖ = 1y

𝑥(𝑡) +𝑦(𝑡) = 1 + 𝑡𝑎

𝑏𝑎, 𝑥(𝑡) −𝑦(𝑡) = 1 − 𝑡𝑎

(28)

Figura 1.6: Paralelogramo con lados𝑥y𝑦en el plano.

Así‖𝑥+𝑦‖ = 2,𝑥𝑦‖= 1y

𝑥+𝑦‖2+‖𝑥𝑦‖2= 5 pero 2(‖𝑥‖2+‖𝑦‖2) = 4. Esto completa la prueba.

Definición 1.13 (Ortogonalidad). Un elemento x de un espacio con producto in-terno𝕏se dice que es ortogonal a un elemento𝑦∈𝕏si

𝑥, 𝑦⟩= 0

También decimos que𝑥y𝑦son ortogonales, y escribimos𝑥𝑦. Similarmente𝐴, 𝐵 ⊆𝕏

escribimos𝑥𝐴si𝑥𝑎para todo𝑎𝐴, y𝐴𝐵 si𝑎𝑏para todo𝑎𝐴y𝑏𝐵.

Corolario 1.2 (Teorema de Pitágoras). Si𝑥𝑦en un espacio con producto interno

𝕏se tiene

𝑥+𝑦‖2 =‖𝑥‖2+‖𝑦‖2

Lema1.2 (Desigualdad de Schwarz). Un producto interno y la correspondiente

nor-ma satisfacen la desigualdad de Schwarz esto es |⟨𝑥, 𝑦⟩|𝑥‖‖𝑦

donde la igualdad se tiene si y sólo si{𝑥, 𝑦}es un conjunto linealmente dependientes.

Demostración. Si 𝑦 = 0, entonces la desigualdad se cumple, pues ⟨𝑥,0⟩ = 0. Sea 𝑦0. Para cada escalar𝛼tenemos

0𝑥𝛼𝑦‖2 = ⟨𝑥𝛼𝑦, 𝑥𝛼𝑦

(29)

Figura 1.7: Ilustración de teorema de Pitágoras en el plano

Vemos que la expresión en corchetes cuadrado[⋯]es cero si escojemos𝛼̄ =⟨𝑦, 𝑥⟩∕⟨𝑦, 𝑦⟩. Reescribiendo la desigualdad

0≤ ⟨𝑥, 𝑥⟩− ⟨𝑦, 𝑥

𝑦, 𝑦⟩⟨𝑥, 𝑦⟩=‖𝑥

2 |⟨𝑥, 𝑦⟩| 2 ‖𝑦‖2 ;

aquí usamos que⟨𝑦, 𝑥⟩=⟨𝑥, 𝑦⟩. Ahora si multiplicamos por‖𝑦‖2, tendemos

0𝑥‖2‖𝑦‖2−|⟨𝑥, 𝑦⟩|2 |⟨𝑥, 𝑦⟩|𝑥‖‖𝑦

La igualdad se deriva si y sólo si 𝑦 = 0 o‖𝑥𝛼𝑦‖2 = 0, así 𝑥𝛼𝑦 = 0, por lo tanto𝑥=𝛼𝑦, lo cual muestra la dependencia lineal.

Teorema 1.12 (La minimización del vector). Sea𝕏un espacio con producto in-terno y𝑀 ∅un subconjunto convexo el cual es completo (en la métrica inducida por el producto interno). Entonces para cada𝑥∈𝕏dado, existe un único𝑦𝑀 tal que

𝛿 = ́ınf

̃

𝑦∈𝑀𝑥𝑦̃‖ =‖𝑥𝑦

Demostración. (a) Existencia: Por la definición de ínfimo, existe una sucesión(𝑦 𝑛) ∈ 𝑀 tal que

𝛿𝑛 ←→𝛿 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝛿𝑛 =‖𝑥𝑦𝑛‖. (1.8) Mostraremos que (𝑦

𝑛) es de Cauchy. Primero escribiremos 𝑦𝑛𝑥 = 𝑣𝑛, así tendremos que‖𝑣𝑛‖= 𝛿

𝑛

𝑣𝑛+𝑣𝑚‖= ‖𝑦𝑛+𝑦𝑚− 2𝑥‖= 2‖‖

(30)

Figura 1.8: Ilustración enℝ2 del Teorema 1.12

porque M es convexo, se tiene que 1

2(𝑦𝑛+𝑦𝑚) ∈𝑀

. Además, tenemos

𝑣𝑛𝑣𝑚 =𝑦𝑛𝑥𝑦𝑚+𝑥=𝑦𝑛𝑦𝑚.

Así por la identidad del paralelogramo, Teorema1.11

𝑦𝑛𝑦𝑚‖2 =‖𝑣𝑛𝑣𝑚‖2 = −‖𝑣𝑛+𝑣𝑚‖+ 2(‖𝑣𝑛‖2+‖𝑣𝑚‖2)

≤ −(2𝛿)2+ 2(𝛿𝑛2+𝛿𝑚2),

así por (1.8) se tiene que si𝑛, 𝑚→∞entonces𝛿

𝑛, 𝛿𝑚𝛿y‖𝑦𝑛𝑦𝑚‖→0esto implica que(𝑦

𝑛)es de Cauchy. Como 𝑀 es completo,(𝑦𝑛)converge, digamos que𝑦

𝑛 ←→𝑦. Como𝑦𝑀, tenemos que‖𝑥𝑦‖ ≥𝛿. También por (1.8), ‖𝑥𝑦𝑥𝑦𝑛‖+‖𝑦𝑛𝑦‖=𝛿𝑛+‖𝑦𝑛𝑦‖←→𝛿.

Esto muestra que‖𝑥𝑦‖ =𝛿 (b) Unicidad. Asumamos que𝑦, 𝑦

(31)

Por la identidad del paralelogramo (Teorema1.11) ‖𝑦𝑦0‖2 = ‖(𝑦𝑥) − (𝑦0𝑥)‖2

= 2‖𝑦𝑥‖2+ 2‖𝑦0𝑥‖2−‖(𝑦𝑥) + (𝑦0𝑥)‖2 = 2𝛿2+ 2𝛿2− 22‖‖

‖‖12(𝑦+𝑦0) −𝑥‖‖‖‖

2 .

En la derecha, 1

2(𝑦+𝑦0) ∈𝑀, así que ‖‖

‖‖12(𝑦+𝑦0) −𝑥‖‖‖‖≥𝛿.

Esto implica, que el lado derecho sea menor o igual a2𝛿2+ 2𝛿2− 4𝛿2 = 0. Así que porN1de tiene que‖𝑦𝑦0‖ ≤0y por el argumento anterior se tiene que ‖𝑦𝑦0‖ 0, por lo tanto‖𝑦𝑦0‖= 0y porN2se tiene que𝑦=𝑦

0.

Observación1.6. El elemento𝑦anterior es llamado la proyección de𝑥sobre𝑀 y se denotará

𝑦=𝑃𝑀𝑥

Lema1.3 (Ortogonalidad). En el Teorema1.12, sea𝑀 un subespacio completo𝑌 y

𝑥∈𝕏fijo. Entonces z=x-y es ortogonal a𝑌.

Demostración. Razonemos por contradicción, y supongamos que𝑧𝑌 es falso, así que para cualquier𝑦

1∈ 𝑌 tal que

𝑧, 𝑦1⟩= 𝛽 0 (1.9)

Claramente,𝑦

1 ≠0de otra manera⟨𝑧, 𝑦1⟩= 0. Además, para cualquier escalar𝛼, ‖𝑧𝛼𝑦1‖2 = ⟨𝑧𝛼𝑦1, 𝑧𝛼𝑦1⟩

= ⟨𝑧, 𝑧⟩−𝛼̄𝑧, 𝑦1⟩−𝛼[⟨𝑦1, 𝑧⟩−𝛼̄𝑦1, 𝑦1⟩] = ⟨𝑧, 𝑧⟩−𝛼𝛽̄𝛼[𝛽̄𝛼̄𝑦1, 𝑦1⟩].

La expresión en corchetes cuadrado[⋯]es cero si escogemos ̄

𝛼 = 𝛽̄

𝑦1, 𝑦1⟩.

Por el Teorema1.12tenemos‖𝑧‖ =‖𝑥𝑦‖= 𝛿, cambiando esto en nuestra ecuación ‖𝑧𝛼𝑦1‖2 =‖𝑧‖2−𝛽 𝛽̄

𝑦1, 𝑦1⟩ = ‖𝑧

2 |𝛽|2 ⟨𝑦1, 𝑦1⟩ =𝛿

2 |𝛽|2 ⟨𝑦1, 𝑦1⟩ < 𝛿

(32)

Pero esto es imposible porque tenemos

𝑧𝛼𝑦1= (𝑥𝑦) −𝛼𝑦1 =𝑥𝑦2 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦2 =𝑦+𝛼𝑦1𝑌

así‖𝑧𝛼𝑦1‖≥𝛿por la definición de𝛿. Así (1.9) no se tiene, y el lema queda probado.

1.2

El Teorema de Representación de Riesz

Con todo lo anterior estamos en condiciones de probar el Teorema de Representa-ción de Riesz para espacio de Hilbert, este teorema es esencial para las demostraciones del teorema central elTeorema de Lax-Milgram, sin embargo, debemos definir y de-mostrar un teorema pequeño, y posterior al Teorema de Representación de Riesz, se tendrá un resultado importe para los espacios de Hilbert.

Definición 1.14 (Suma directa). Un espacio vectorial𝕍 se dice que tiene essuma directade dos subespacios𝑌 y𝑍de𝕍, y se escribe

𝕍 =𝑌 ⊕ 𝑍, si cada𝑥∈ 𝕍 tiene una representación única

𝑥=𝑦+𝑧 con𝑦𝑌 , 𝑧𝑍

Entonces 𝑍 es llamado un complemento algebraico de Y en 𝕍 y viceversa, y 𝑌 , 𝑍 es llamado el par complementario de subespacios en𝕍.

En el caso de un espacio de Hilbertℍ, el interés concierne a las representaciones deℍcomo una suma directa de un subespacio cerrado𝑌 y este es elcomplemento ortogonal

𝑌⟂ = {𝑧∈ℍ|𝑧𝑌}, El cual es el conjunto de todos los vectores ortogonales a Y.

Teorema 1.13 (Teorema de la suma directa). Sea𝑌 cualquier subespacio cerrado de un espacio de Hilbertℍ. Entonces

(33)

Demostración. Comoℍes completo y𝑌 es cerrado,𝑌 es completo por el Teorema 1.2, además𝑌 es convexo, el Teorema1.12y el Lema1.3implican que para cada𝑥∈ℍ existe un𝑦𝑌 tal que

𝑥=𝑦+𝑧 (1.10)

donde𝑧𝑍 =𝑌⟂. Para probar la unicidad, asumamos que 𝑥=𝑦+𝑧=𝑦1+𝑧1

donde𝑦, 𝑦

1 ∈ 𝑌 y𝑧, 𝑧1 ∈ 𝑍. Entonces𝑦𝑦1 = 𝑧1−𝑧. Como𝑦𝑦1 ∈ y𝑧1−𝑧𝑍 = 𝑌⟂. vemos que𝑦𝑦

1 ∈ 𝑌𝑌⟂ = {0}. Esto implica que𝑦 = 𝑦1. Así también 𝑧=𝑧1.

𝑦en (1.10) es llamado laproyección ortogonalde𝑥sobre𝑌.

Figura 1.9: Ejemplo del Teorema1.13enℝ2

Ejemplo1.9. Tomemosℍ = ℝ2 y una proyección de un punto𝑥 = (𝜉

1, 𝜉2)sobre el eje𝜉

1, que a su vez desempeña e papel de𝑌; la proyección es𝑦 = (𝜉1,0). Note que 𝑍 =𝑌proyecta sobre el eje𝜉

2, la proyección es𝑧= (0, 𝑥𝑖2), y además 𝑥= 𝑦+𝑧.

Teorema 1.14 (Teorema de Representación de Riesz para Funcionales Sobre Espacio de Hilbert). Cada funcional lineal acotado𝑓 sobre un espacio de Hilbertℍ

puede ser representado en términos de un producto interno, más precisamente

(34)

donde𝑧depende de𝑓, se determina de manera única por𝑓 y tiene norma

𝑧‖=‖𝑓. (1.12)

Demostración. La demostración de este teorema se hará en 3 partes (a) 𝑓 tiene una representación única (1.11),

(b) z en1.11es único,

(c) la formula (1.12) se cumple.

(a) Si𝑓 = 0, entonces𝑧= 0, así tenemos que 𝑂𝑥 =⟨𝑥,0⟩= 0

𝑂‖= ‖𝑧‖= 0

se cumple (1.11) y (1.12). Supongamos que 𝑓 ≠ 0. Una motivación a la idea de esta prueba es preguntarse que propiedades necesita𝑍 si existe una repre-sentación como la (1.11). Primero notemos que 𝑧 ≠ 0 porque de lo contrario caeríamos en el caso anterior con 𝑓 = 0. Segundo, si⟨𝑥, 𝑧⟩ = 0para todo𝑥, tendríamos que 𝑓(𝑥) = 0, en otras palabras seria el espacio nulo(𝑓)de 𝑓. Así 𝑧 ⟂ (𝑓). Y esta sugiere considerar (𝑓) y su complemento ortogonal

(𝑓)⟂.

(𝑓)es un espacio vectorial (Teorema1.6) y es cerrado (Corolario1.1). Además como𝑓 ≠ 0, esto implica que existe𝑥 ∈ ℍ, tal que 𝑓(𝑥) ≠ 0, así(𝑓) ≠ ℍ, y por el Teorema 1.13 se concluye que(𝑓) ≠ {0}. Así(𝑓)⟂ contiene un 𝑧0 0y formaremos el conjunto

𝑣= {𝑣0 ∈ℍ|𝑣0 =𝑓(𝑥)𝑧0𝑓(𝑧0)𝑥, 𝑧0(𝑓)⟂, 𝑥∈ℍ}

Aplicando𝑓 a𝑣

0, tenemos

𝑓(𝑣0) = 𝑓(𝑓(𝑥)𝑧0𝑓(𝑧0)𝑥) = 𝑓(𝑓(𝑥)𝑧0) −𝑓(𝑓(𝑧0)𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑧0) −𝑓(𝑧0)𝑓(𝑥) = 0

Esto muestra que𝑣

0 ∈(𝑓), como𝑧0 ∈(𝑓)⟂, tenemos

0 = ⟨𝑣0, 𝑧0⟩ = ⟨𝑓(𝑥)𝑧0𝑓(𝑧0)𝑥, 𝑧0⟩

= ⟨𝑓(𝑥)𝑧0, 𝑧0⟩−⟨𝑓(𝑧0)𝑥, 𝑧0⟩

= 𝑓(𝑥)⟨𝑧0, 𝑧0⟩−𝑓(𝑧0)⟨𝑥, 𝑧0⟩

(35)

Note que‖𝑧0‖2 ≠0, por lo tanto

𝑓(𝑥)‖𝑧0‖2 =𝑓(𝑧0)⟨𝑥, 𝑧0⟩ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑧0)

𝑧0‖2⟨𝑥, 𝑧0⟩

𝑓(𝑥) =

𝑥, 𝑓(𝑧0) ‖𝑧0‖2𝑧0

Por lo tanto si hacemos𝑧= 𝑓(𝑧0)

𝑧0‖2𝑧0, entonces 𝑓(𝑥) = ⟨𝑥, 𝑧

Y como la escogencia del𝑥fue arbitraria, entonces1.11queda probado. (b) Probemos que𝑧es único. Supongamos que para todo𝑥∈ ℍ,

𝑓(𝑥) = ⟨𝑥, 𝑧1⟩=⟨𝑥, 𝑧2⟩

= ⟨𝑥, 𝑧1⟩−⟨𝑥, 𝑧2⟩= 0 = ⟨𝑥, 𝑧1𝑧2⟩

Escogiendo en particular𝑥=𝑧

1−𝑧2, se tiene

𝑧1𝑧2, 𝑧1𝑧2⟩=‖𝑧1𝑧2‖2 = 0. Así𝑧

1−𝑧2= 0, por lo tanto𝑧1 =𝑧2

(c) Finalmente probemos (1.12). Sea𝑓 ≠0. Entonces𝑧≠ 0. Por (1.11) con𝑥= 𝑧y por ser𝑓 acotado se tiene

𝑧‖2 =⟨𝑧, 𝑧⟩=𝑓(𝑧)≤‖𝑓‖‖𝑧, como‖𝑧‖≠0, entonces dividiendo por‖𝑧

𝑓𝑧.

Por otro lado de (1.11) y la desigualdad de Schwarz (Lema1.2) se tiene |𝑓(𝑥)|=|⟨𝑥, 𝑧⟩|𝑥‖‖𝑧

Aplicando el supremo en la circunferencia de radio 1 y centro en 0, ‖𝑓‖= sup

𝑥‖=1|⟨

𝑥, 𝑧⟩|𝑧

(36)

Ejemplo1.10. Cualquier funcional lineal acotado𝑓 sobreℝ3puede ser representado por un producto punto.

En general sabemos que todo funcional enℝ3 es acotado, sea𝑥= (𝜂

1, 𝜂2𝜂3)y por le Teorema de representación de Riesz (Teorema1.14), existe un𝑧 = (𝜉

1, 𝜉2, 𝜉3) ∈ℝ3 que depende de𝑓 tal que

𝑓(𝑥) =⟨𝑥, 𝑧⟩=𝑥𝑧=𝜂1𝜉1+𝜂2𝜉2+𝜂3𝜉3

Ejemplo 1.11. Del ejemplo anterior podemos tomar un caso particular, y mirar de manera explicita como el Teorema de Representación de Riesz, también nos da las pautas para encontrar el𝑧que asegura que existe.

Tomemos el funcional enℝ3,𝑓(𝑥) = 4𝜂

1−𝜂3. Encontremos un elemento cualquiera del(𝑓), es fácil observar que(1,0,4) ∈(𝑓), encontremos el𝑧

0∈ ⟂.

(1,0,4)⋯(𝜉1, 𝜉2, 𝜉3) =𝜉1+ 4𝜉3 = 0

𝜉1= −4𝜉3 así𝑧

0= (−4𝜉3,0, 𝜉3)donde𝜉3 ∈ℝ, el teorema nos dice que 𝑧= 𝑓(𝑧0)

𝑧0‖2𝑧0

así

𝑧= 𝑓(−4𝜉3,0, 𝜉3) 17𝜉2

3

(4𝜉3,0, 𝜉3) = −17𝜉3 17𝜉2

3

(−4𝜉3,0, 𝜉3) = −1

𝜉3 (−4𝜉3,0, 𝜉3) = (4,0,−1) y finalmente por el ejercicio anterior

𝑓(𝑥) =⟨𝑥, 𝑧⟩= (𝜂1, 𝜂2, 𝜂3)⋅(4,0,−1) = 4𝜂1𝜂3

Dado que la versión anterior del Teorema de Representación de Riesz tiene algunas condiciones restrictivas donde la más exigente es que se tenga un producto interno. Sin embargo la anterior tiene una implicación importante para los espacio de Hilbert y que mencionaremos a continuación.

(37)

2

El Teorema de Lax-Milgram

El Teorema de Lax-Milgram fue presentado por primera vez en 1954, en una re-copilación por la Universidad de Princestone llamada "Parabolic Equation". En esta recopilación se presento a modo de Lema, y se aceptó así, pero la importancia de su uso y las siguientes generalizaciones terminaron dándole el nombre de Teorema.

El Teorema de Lax-Milgram es uno de los tantos teoremas de representación que existen, lo interesante de este teorema es que toma un funcional de dos variables, sesquilineal, acotada, coerciva y lo representa en un funcional lineal acotado. Por eso es natural pensar en el uso del Teorema de representación de Riesz. Como se mencionó antes también vamos a hacer una demostración vía el Teorema de Hahn-Banach y el Teorema del Punto fijo de Banach extraída de [1] y [3], esto se puede porque el teorema de Lax-Milgram esta fuertemente relacionado con los espacios duales y la convexidad de estos.

2.1

El Teorema

Primero necesitamos hacer unas definiciones previas a la demostración del teore-ma.

Definición 2.1 (Formas Sesquilineales). Sea𝕍 y𝕎sean espacios vectoriales so-bre el mismo campo𝐾(=ℝoℂ). Entonces unaforma (o funcional ) sesquilineal𝐵 sobre𝕍 ×𝕎 es un mapeo

𝐵 ∶𝕍 ×𝕎 →𝐾

(38)

(a) 𝐵(𝑥1+𝑥2, 𝑦) =𝐵(𝑥1, 𝑦) +𝐵(𝑥2, 𝑦)

(b) 𝐵(𝑥1, 𝑦1+𝑦2) =𝐵(𝑥1, 𝑦1) +𝐵(𝑥1, 𝑦2)

(c) 𝐵(𝛼𝑥1, 𝑦1) =𝛼𝐵(𝑥1, 𝑦1)

(d) 𝐵(𝑥1, 𝛽𝑦1) =𝛽𝐵̄ (𝑥1, 𝑦1)

Así𝐵 es lineal en el primer argumento y conjugado lineal en solo el segundo. Si𝕍 y

𝕎 son reales (𝐾 =ℝ), entonces(d)es simplemente 𝐵(𝑥, 𝛽𝑦) =𝛽𝐵(𝑥, 𝑦)

y𝐵es llamadabilinealpues es lineal para ambos argumentos.

Además si𝕍 y𝕎 son espacios normados y existe un número real𝑐 tal que para todo𝑥, 𝑦

|𝐵(𝑥, 𝑦)|≤𝑐𝑥‖‖𝑦, entonces𝐵 se dice que es acotado, y el número

𝐵‖= sup

𝑥∈𝑋−{0} 𝑦∈𝑌−{0}

|𝐵(𝑥, 𝑦)|

𝑥‖‖𝑦‖ = sup𝑥‖=1

𝑦‖=1

|𝐵(𝑥, 𝑦)|

es llamada lanormade𝐵.

Ejemplo2.1. Sea

1,2espacio de Hilbert y 𝑇 ∶ 1 →2 sea un operador lineal acotado, tomemos a𝑥∈ 

1e𝑦∈2, ahora denotemos a𝐵como 𝐵 ∶1×2 → ℂ

(𝑥, 𝑦) → 𝐵(𝑥, 𝑦) =⟨𝑇 𝑥, 𝑦⟩ con⟨,⟩el producto interno en𝐻

2, entonces para𝑥, 𝑥1, 𝑥2∈ 𝐻1 e𝑦, 𝑦1, 𝑦2 𝐵(𝑥1+𝑥2, 𝑦) = ⟨𝑇(𝑥1+𝑥2), 𝑦

= ⟨𝑇 𝑥1+𝑇 𝑥2, 𝑦

= ⟨𝑇 𝑥1, 𝑦⟩+⟨𝑇 𝑥2, 𝑦

= 𝐵(𝑥1, 𝑦) +𝐵(𝑥2, 𝑦)

𝐵(𝑥, 𝑦1+𝑦2) = ⟨𝑇 𝑥, 𝑦1+𝑦2⟩

= ⟨𝑇 𝑥, 𝑦1⟩+⟨𝑇 𝑥, 𝑦2⟩

(39)

𝐵(𝛼𝑥, 𝑦) = ⟨𝑇(𝛼𝑥), 𝑦

= ⟨𝛼𝑇 𝑥, 𝑦

= 𝛼𝐵(𝑥, 𝑦)

𝐵(𝑥, 𝛽𝑦) = ⟨𝑇 𝑥, 𝛽𝑦

= 𝛽𝑇 𝑥, 𝑦

= 𝛽𝐵(𝑥, 𝑦)

Ahora miremos la acotación

|𝐵(𝑥, 𝑦)|=|⟨𝑇 𝑥, 𝑦⟩| por la desigualdad de Schwarz ( Lema1.2), se tiene que

|⟨𝑇 𝑥, 𝑦⟩|𝑇 𝑥‖‖𝑦

Como𝑇 es acotada, existe un𝑐 ∈ ℝ

𝐵(𝑥, 𝑦)‖ 𝑐𝑥‖‖𝑦‖ Así h es un funcional sesquilineal acotado.

Ejemplo2.2. Definamos a

1,2 espacios de Banach, tomemos a𝑥∈1 e𝑦∈2 𝐵 ∶1×2 → ℝ

(𝑥, 𝑦) → 𝐵(𝑥, 𝑦) =‖𝑥𝑦‖ es claro que para𝑥

1, 𝑥2 ∈𝐵1e𝑦𝐵2

𝐵(𝑥1+𝑥2, 𝑦) = ‖(𝑥1+𝑥2)𝑦

= ‖𝑥1𝑦+𝑥2𝑦

≤ ‖𝑥1𝑦‖+‖𝑥2𝑦

= 𝐵(𝑥1, 𝑦) +𝐵(𝑥2, 𝑦)

Por lo tanto𝐵 no es sesquilineal.

Definición 2.2 (Forma Coerciva). Sea𝑋 un espacio normado sobre𝕂= (ℝ,ℂ)y 𝐵(⋅,⋅) ∶ 𝑋 ×𝑋 →𝕂una forma sesquilineal. Se dice que𝐵 esfuertemente coerciva

si existe una constante𝛿 >0tal que

(40)

Observación2.1. Una propiedad de la forma sesquilineal más débil que ser coerciva fuerte es la positividad, lo que es

𝐵(𝑥, 𝑥) 0.

Ejemplo 2.3. Sea  un espacio de Hilbert, sea⟨,⟩ el producto interno en es una forma sesquilineal entonces para𝑥∈, se tiene

𝑥, 𝑥⟩=‖𝑥‖2

así que para todo0< 𝛿≤ 1se tiene que

𝑥, 𝑥 𝛿𝑥‖2

Así el producto interno en un espacio de Hilbert es fuertemente coercivo.

Ejemplo2.4. Tomemos la forma bilineal deℝ×ℝ → ℝ definida𝐵(𝑥, 𝑦) = 𝑥 ∗ 3𝑦, esta forma es coerciva, pues

𝐵(𝑥, 𝑥) = 3𝑥2 𝛿|𝑥|2 =𝛿𝑥2 para𝛿 ∈ (0,3].

(41)

Teorema 2.1 (Teorema de Lax-Milgram). Seaun espacio de Hilbert, y

𝐵(⋅,⋅) ∶ × →𝕂 = (ℝ,ℂ)

una función de dos vectores con las siguientes propiedades:

(1) 𝐵(𝑥, 𝑦)es un funcional sesquilineal.

(2) 𝐵 es acotada, es decir existe una constante𝑐tal que para todo𝑥y𝑦en

|𝐵(𝑥, 𝑦)|≤𝑐𝑥‖‖𝑦. (2.1) (3) 𝐵 es fuertemente coerciva, es decir existe una contante positiva𝛿tal que

𝐵(𝑥, 𝑥)≥𝛿𝑥‖2 (2.2)

Para todo𝑥.

Entonces para cada funcional lineal acotado𝐹 en∗, existe un único vector𝑦 0∈

que depende de𝐹 y este último esta representado por

𝐹(𝑥) = 𝐵(𝑥, 𝑦0). (2.3)

Demostración. La demostración constará de 4 pasos esenciales (a) Construir un Operador lineal acotado.

(b) Ver que el subespacioℜ(𝑇)es cerrado. (c) ℜ(𝑇) = 

(d) Probaremos (2.3)

(a) Tomemos el funcional𝐵(𝑥, 𝑦)y para un𝑦

0 fijo notemos que

𝐹𝑦

0(𝑥) =𝐵(𝑥, 𝑦0) Miremos que𝐹

𝑦0(𝑥) es lineal. En efecto por (1) vemos que para𝑥1, 𝑥2 ∈  y 𝛼, 𝛽 ∈𝕂se verifica

𝐹𝑦

0(𝛼𝑥1+𝛽𝑥2) =𝐵(𝛼𝑥1+𝛽𝑥2, 𝑦0) =𝛼𝐵(𝑥1, 𝑦0)+𝛽𝐵(𝑥2, 𝑦0) =𝛼𝐹𝑦0(𝑥1)+𝛽𝐹𝑦0(𝑥2), además por (2.1) se verifica que

𝐹𝑦

(42)

con𝑑 =𝑐𝑦0‖. Así𝐹

𝑦0 es un funcional lineal acotado. Ahora aplicando el Teo-rema de Representación de Riesz (1.14), decimos que existe un único𝑧∈que depende de𝐹

𝑦0tal que 𝐹𝑦

0(𝑥) =𝐵(𝑥, 𝑦0) =⟨𝑥, 𝑧𝐹⟩ ∀𝑥∈ . Como la elección de𝑧

𝐹 depende del funcional𝐹𝑦0

, y cada funcional𝐹 𝑦0

depende de la escogencia del𝑦

0entonces podemos definir el siguiente funcional

𝑇 ∶ →  𝐵 ∶× →𝕂

𝑦𝑇 𝑦=𝑧𝐹 (𝑥, 𝑦)→𝐵(𝑥, 𝑦) =⟨𝑥, 𝑇 𝑦⟩ Este operador es lineal y acotado, en efecto para𝑦

1, 𝑦2∈ y𝛼, 𝛽 ∈ 𝕂se tiene ⟨𝑥, 𝑇(𝛼𝑦1+𝛽𝑦2)⟩ = 𝐵(𝑥, 𝛼𝑦1+𝛽𝑦2)

= 𝛼𝐵̄ (𝑥, 𝑦1) +𝛽𝐵̄ (𝑥, 𝑦2) = 𝛼̄𝑥, 𝑦1⟩+𝛽̄𝑥, 𝑦2⟩

= ⟨𝑥, 𝛼𝑦1+𝛽𝑦2⟩

= ⟨𝑥, 𝛼𝑇 𝑦1+𝛽𝑇 𝑦2⟩ Por (2.1) se tiene

𝑇 𝑦‖2 =⟨𝑇 𝑦, 𝑇 𝑦⟩=𝐵(𝑇 𝑦, 𝑦) ≤ 𝑐𝑇 𝑦‖‖𝑦‖ ‖𝑇 𝑦‖2−𝑐𝑇 𝑦‖‖𝑦 0

𝑇 𝑦‖(‖𝑇 𝑦‖−𝑐𝑦‖) ≤ 0

Como la única opción que se tiene es que‖𝑇 𝑦‖−𝑐𝑦‖≤ 0entonces concluimos que‖𝑇 𝑦‖ ≤𝑐𝑦‖.

(b) Veamos ahora queℜ(𝑇)es un subespacio cerrado. Haciendo𝑥= 𝑦≠0se tiene que por el Teorema de Representación de Riesz

𝐵(𝑦, 𝑦) =⟨𝑦, 𝑧,

usando la la desigualdad de Schwarz (1.2) y (2.2) tenemos que existe un𝛿 > 0 tal que

𝛿𝑦‖2 𝐵(𝑦, 𝑦) =⟨𝑦, 𝑧 |⟨𝑦, 𝑧⟩|𝑦‖‖𝑧‖ (2.4) dividiendo a ambos lados de la desigualdad por‖𝑦‖, se deduce que𝛿𝑦‖ ≤‖𝑧‖. Por otro lado si𝑦∈(𝑇), usando el resultado anterior

(43)

por lo tanto(𝑇) = {0}y tenemos que𝑇 es inyectivo. Por lo anterior, tenemos que para 𝑦

𝑛 ∈  existe un 𝑧𝑛 ∈  de manera que 𝑇 𝑦𝑛= 𝑧𝑛, así por ser𝐵 sesquilineal y para𝑛, 𝑚∈ ℕcon𝑛𝑚

𝐵(𝑥, 𝑦𝑛𝑦𝑚) =⟨𝑥, 𝑇(𝑦𝑛𝑦𝑚)⟩= ⟨𝑥, 𝑇 𝑦𝑛𝑇 𝑦𝑚⟩=⟨𝑥, 𝑧𝑛𝑧𝑚. Si suponemos que{𝑦

𝑛}es de Cauchy, por (2.4) tenemos que para todo 𝜖

𝑇 > 0 existe𝑁 ∈ℕtal que para todo𝑛, 𝑚 > 𝑁

𝑇 𝑦𝑛𝑇 𝑦𝑚‖ =‖𝑇(𝑦𝑛𝑦𝑚)‖≤‖𝑇‖‖𝑦𝑛𝑦𝑚‖ 𝜖 entonces{𝑇 𝑦

𝑛}también es de Cauchy, comoes de Hilbert, así{𝑦𝑛}→𝑦, y como𝑇 es continua, se tiene que{𝑇 𝑦

𝑛}→𝑇𝑦 =𝑧𝐹, de modo que

ĺım

𝑛→∞𝐵(𝑥, 𝑦𝑛) = 𝑛ĺım→∞⟨𝑥, 𝑇 𝑦𝑛⟩ 𝐵(𝑥,ĺım

𝑛→∞𝑦𝑛) = ⟨𝑥,𝑛ĺım→∞𝑇 𝑦𝑛⟩ 𝐵(𝑥, 𝑦) = ⟨𝑥, 𝑧𝐹⟩ Por lo tanto𝑇 𝑦 = 𝑧

𝐹 lo cual muestra queℜ(𝑇)es completo, y por el teorema del subespacio completo (1.2) se tiene queℜ(𝑇)es cerrado.

(c) Ahora probaremos que ℜ(𝑇) = . Supongamos que esto es falso es decir ℜ(𝑇)≠ , comoℜ(𝑇)es cerrado podemos usar el Teorema de la Suma Directa (1.11) y representar a =ℜ(𝑇)ℜ(𝑇)⟂, entonces para𝑤

0≠ 0,𝑤0 ∈ℜ(𝑇)⟂, asi por (2.4) existe𝛿 >0y

𝛿𝑤0‖𝐵(𝑤0, 𝑤0) =⟨𝑤0, 𝑇 𝑤0⟩= 0,

la única opción que existe es que‖𝑤0‖= 0 ⇐⇒ 𝑤= 0, lo cual es una contra-dicción así queℜ(𝑇) =. Así𝑇 es biyectiva y podemos decir que la ecuación 𝑇 𝑦=𝑧𝐹 tiene solución única.

(d) Probemos (2.3), por el Teorema de Representación de Riesz (1.14), para cada funcional lineal acotado𝐹 en, existe un único𝑧

𝐹 tal que 𝐹(𝑥) = ⟨𝑥, 𝑧𝐹⟩ ∀𝑥.

Entonces existe un único𝑦

Figure

Figura 1.1: Ilustración del Teorema 1.3 para ℝ 2 .

Figura 1.1:

Ilustración del Teorema 1.3 para ℝ 2 . p.13
Figura 1.2: Gráfica de

Figura 1.2:

Gráfica de p.15
Figura 1.3: Imagen para el caso ℝ 2 cuando

Figura 1.3:

Imagen para el caso ℝ 2 cuando p.16
Figura 1.4: A la izquierda tenemos el operador

Figura 1.4:

A la izquierda tenemos el operador p.24
Figura 1.5: Ejemplo del producto punto en ℝ 2 . la expresión ‖

Figura 1.5:

Ejemplo del producto punto en ℝ 2 . la expresión ‖ p.27
Figura 1.6: Paralelogramo con lados

Figura 1.6:

Paralelogramo con lados p.28
Figura 1.7: Ilustración de teorema de Pitágoras en el plano

Figura 1.7:

Ilustración de teorema de Pitágoras en el plano p.29
Figura 1.8: Ilustración en ℝ 2 del Teorema 1.12

Figura 1.8:

Ilustración en ℝ 2 del Teorema 1.12 p.30
Figura 1.9: Ejemplo del Teorema 1.13 en ℝ 2

Figura 1.9:

Ejemplo del Teorema 1.13 en ℝ 2 p.33
Figura 2.1: Imagen del ejemplo 2.4

Figura 2.1:

Imagen del ejemplo 2.4 p.40
Figura 2.3: Ejemplo 2.6 en

Figura 2.3:

Ejemplo 2.6 en p.48
Figura 2.2: Figura del ejemplo 2.5.

Figura 2.2:

Figura del ejemplo 2.5. p.48
Figura 2.4: Ejemplo 2.9

Figura 2.4:

Ejemplo 2.9 p.51
Figura 3.1: Imagen del ejemplo 3.1 Ejemplo 3.2. Sea

Figura 3.1:

Imagen del ejemplo 3.1 Ejemplo 3.2. Sea p.62
Figura 3.2: Figura del ejemplo 3.2

Figura 3.2:

Figura del ejemplo 3.2 p.63
Figura B.1: Gráfica del ejemplo B.3

Figura B.1:

Gráfica del ejemplo B.3 p.84
Figura B.2: Grafica del Ejemplo B.4

Figura B.2:

Grafica del Ejemplo B.4 p.86
Figura B.3: Gráfica del ejemplo B.5

Figura B.3:

Gráfica del ejemplo B.5 p.87
Figura B.4: Funcional de Minkowski de A

Figura B.4:

Funcional de Minkowski de A p.88
Figura B.5: Conjunto Balanceado no convexo

Figura B.5:

Conjunto Balanceado no convexo p.89
Figura B.8: Construcción del Teorema B.5 parte 2.

Figura B.8:

Construcción del Teorema B.5 parte 2. p.92
Figura B.7: Construcción del Teorema B.5 parte 1.

Figura B.7:

Construcción del Teorema B.5 parte 1. p.92
Figura B.10: Imagen de funcional de Teorema B.5 .

Figura B.10:

Imagen de funcional de Teorema B.5 . p.93
Figura B.9: Imagen de funcional de Teorema B.5 . depende del

Figura B.9:

Imagen de funcional de Teorema B.5 . depende del p.93
Figura B.11: Imagen de funcional de Teorema B.5 .

Figura B.11:

Imagen de funcional de Teorema B.5 . p.94

Referencias