El Teorema de Arzela-Ascoli

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(1)

El Teorema de Arzela-Ascoli

Rodrigo Vargas

Definici´on 1. SeanM, N espacios m´etricos yE un conjunto de aplicaciones

f :M N. El conjunto E se dice equicontinuo en el puntoa M cuando, para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que d(x, a)< δ implique d(f(x), f(a))< ε, para cada f E.

Si E es equicontinua en todo punto de M diremos queE es equicontinua en

M.

Teorema 1 (Arzela-Ascoli). SeanM, N espacio m´etricos, con M compacto y N completo. SeaE ⊂ C(M, N). A fin de que E sea compacto en C(M, N) es necesario y suficiente que:

(i) E sea equicontinuo

(ii) Para cadaxM, {f(x)|f E} es compacto en N.

Teorema 2 (Arzela-Ascoli). Sean M, N espacio m´etricos, con M separable y N completo. Sea E ⊂ C(M, N) una familia equicontinua y para cada

xM,{f(x)|f E}es compacto enN. Entonces, toda suceci´on (fn)E

tiene una subsucesi´on (fnk) que converge puntualmente a f ∈ C(M, N) y la

convergencia es uniforme en cada compacto de M.

Ejercicios

1. Sea (fn)⊆ C[0,1] una sucesi´on tal que

|fn0(x)| ≤x− 1

2, ∀n∈N y Z 1

0

fn(x)dx= 0.

Pruebe que la sucesi´on tiene una subsucesi´on que converge uniformemente en [0,1].

2. Seagn: [0,1]→Runa sucesi´on de funciones diferenciables tal quegn(0) =

g0

n(0) = 0 para todo n∈N y que |g00

(2)

Pruebe que existe una subsucesi´on de {gn} que converge uniformemente en [0,1].

3. Sea K : [0,1]×[0,1] R continua. Sea F la familia de funciones f :

[0,1]R de la forma

f(x) = Z 1

0

g(y)K(x, y)dy

con g : [0,1]R continua que satisaface |g(x)| ≤1 para todo x [0,1].

Pruebe que la familia es equicontinua.

4. Seagn: [0,1]→Runa sucesi´on de funciones Riemann integrables tal que |gn(x)| ≤1 para todo n, x. Definimos

Gn(x) = Z x

0

gn(t)dt .

Pruebe que una subsucesi´on de {Gn} converge uniformemente.

5. Sea (fn)⊆ C[0,1] una sucesi´on tal que

Z 1

0

(fn(y))2dy ≤5

para todon. Definimosgn: [0,1]→R por

gn(x) = Z 1

0

x+yfn(y)dy .

(i) Hallar una constante K 0 tal que |gn(x)| ≤K para todo n.

(ii) Pruebe que una subsucesi´on de la sucesi´on {gn} converge uniforme-mente.

6. Demuestre que el conjunto L de funciones f ∈ C[a, b] tales que existe

K >0 tal que

|f(x)f(y)| ≤K|xy|, x, y [a, b]

(3)

7. Sea 1 p ≤ ∞ y sea M una constante positiva. Demuestre que el conjunto

H ={f ∈ C[0,1]| kf0

kp ≤M}

es equicontinuo cuando 1 < p ≤ ∞ y no es equicontinuo cuando p = 1. Recuerde analizar el caso p= por separado.

8. Sea M un subconjunto acotado de C([a, b]) y

H ={F ∈ C([a, b])|F(x) = Z x

a

f(t)dt, f M}.

Demuestre qie H es compacto.

9. Consideremos T :C([a, b])→ C([a, b]) definida por

(T ·f)(t) = Z t

a

f(s)ds .

Si (fn) es una sucesi´on acotada en C([a, b]), demuestre que (T ·fn) tiene una subsuseci´on convergente en C([a, b]). ¿Es (T ·fn) un conjunto com-pacto?

10. Sea α(0,1] y sea

Cα[0,1] :={f : [0,1]R| sup

x,y∈[0,1]

x6=y

|f(x)f(y)|

|xy|α <∞}.

(a) Muestre que si f [0,1] entonces f C[0,1] y defina la norma

kfkα =kfk+ sup x,y∈[0,1]

x6=y

|f(x)f(y)|

|xy|α , donde kfk= sup x∈[0,1]|

f(x)|.

Demuestre que el espacio normado (Cα[0,1],k · kα) es completo.

(b) Demuestre que el conjunto

{f Cα[0,1]| kfkα ≤1}

(4)

11. Sea α(0,1] y considere el espacio de Banach (Cα[0,1],k · kα) donde

Cα[0,1] :={f : [0,1]R| sup

x,y∈[0,1]

x6=y

|f(x)f(y)|

|xy|α <∞}.

kf=kfk+ sup x,y∈[0,1]

x6=y

|f(x)f(y)|

|xy|α , y kfk= sup x∈[0,1]|

f(x)|.

Sea 0< α < β <1 y sea f [0,1]. Demuestre que para todo η >0 se tiene que

sup x,y∈[0,1]

x6=y

|f(x)f(y)|

|xy|α <max{ sup x,y∈[0,1]

x6=y

|f(x)f(y)| |xy|β η

β−α,2kfk

ηα },

y pruebe que el conjunto{f [0,1]|kfk

(5)

1. Sea (fn)⊆ C[0,1] una sucesi´on tal que

|f0

n(x)| ≤x− 1

2, ∀n∈N y Z 1

0

fn(x)dx= 0.

Pruebe que la sucesi´on tiene una subsucesi´on que converge uniformemente en [0,1].

Soluci´on: Por el Teorema de Arzela-Ascoli es suficiente probar que la sucesi´on {fn} es equicontinua y uniformemente acotada.

Equicontinuidad. Para todo x, y [0,1] con 0x < y <1 tenemos que

|fn(x)fn(y)|=

Z y

x

f0

n(t)dt ≤

Z y

x

t−12dt = 2y

−2√x .

La funci´on F(x) = 2√x es continua en [0,1] luego es uniformemente continua. Luego, dado ε > 0 existe δ >0 tal que si |xy|< δ entonces |F(x)F(y)| < ε. Lo que implica la equicontinuidad de la sucesi´on de funciones.

Acotamiento Uniforme. Como Z 1

0

fn(x)dx = 0 entonces la funci´onfn no

puede ser simpre positiva o siempre negativa entonces existe x0 ∈ [0,1]

tal que fn(x0) = 0 y usando la estimaci´on anterior obtenemos

|fn(x)| ≤2|√x−√x0| ≤2, ∀x∈[0,1].

2. Seagn: [0,1]→Runa sucesi´on de funciones diferenciables tal quegn(0) =

g0

n(0) = 0 para todo n∈N y que

|g00

n(x)| ≤1, ∀n∈N, ∀x∈[0,1].

Pruebe que existe una subsucesi´on de {gn} que converge uniformemente en [0,1].

Soluci´on: Tenemos que existe ξ[0,1] tal que

gn(x) = gn(0) +gn0(0)x+1 2g

00

n(ξ)x2 = 1 2g

00

n(ξ)x2

entonces

|gn(x)| ≤ 1

(6)

Adem´as,

|gn0(x)|=|gn0(x)gn0(0)|=

Z x

0

g00(t)dt

≤ |

x| ≤1

Por lo tanto, por el Teorema del Valor Medio, para todo x, y [0,1], existe c(x, y) tal que

|gn(x)gn(y)|=|gn0(c)||xy| ≤ |xy|.

La sucesi´on {gn} es equicontinua y uniformemente acotada, luego por el Teorema de Arzela-Ascoli tiene una subsucesi´on uniformemente conver-gente.

3. Sea K : [0,1]×[0,1] R continua. Sea F la familia de funciones f :

[0,1]R de la forma

f(x) = Z 1

0

g(y)K(x, y)dy

con g : [0,1]R continua que satisaface |g(x)| ≤1 para todo x [0,1].

Pruebe que la familia es equicontinua.

Soluci´on: Como K es continua en [0,1]× [0,1] que es compacto en-tonces K es uniformemente continua, entonces dado ε > 0 existe δ > 0 tal que para cualquier (x, y),(z, w)[0,1]×[0,1] sik(x, y)(z, w)k< δ

implica que|K(x, y)K(z, w)|< ε. Entonces, si|xz|< δ se tiene que

|f(x)f(z)| =

Z 1

0

g(y)(K(x, y)K(z, y))dy

≤ Z 1

0 |

g(y)||K(x, y)K(z, y)|dy

≤ |K(x, y)K(z, y)|< ε

y la familiaF es equicontinua.

4. Seagn: [0,1]→Runa sucesi´on de funciones Riemann integrables tal que |gn(x)| ≤1 para todo n, x. Definimos

Gn(x) = Z x

0

(7)

Pruebe que una subsucesi´on de {Gn} converge uniformemente.

Soluci´on: Para todo x, y [0,1] cony < x se tiene que

|Gn(x)−Gn(y)|=

Z y

x

gn(t)dt ≤

Z y

x |

gn(t)|dt ≤y−x .

lo que implica la equicontinua de la sucesi´on {Gn}. Adem´as

|Gn(x)| ≤ Z x

0 |

gn(t)|dt x 1.

Por el Teorema de Arzela-Ascoli existe una subsucesi´on de{Gn}que con-verge uniformemente.

5. Sea (fn)⊆ C[0,1] una sucesi´on tal que

Z 1

0

(fn(y))2dy 5

para todon. Definimosgn: [0,1]→R por

gn(x) = Z 1

0

x+yfn(y)dy .

(i) Hallar una constante K 0 tal que |gn(x)| ≤K para todo n.

(ii) Pruebe que una subsucesi´on de la sucesi´on {gn} converge uniforme-mente.

Soluci´on:

(i) Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz se tiene que

|gn(x)| ≤ Z 1

0

x+y|fn(y)|dy

Z 1

0

(x+y)dy

12Z 1

0

(fn(y))2dy 12

≤ √5

x+ 1 2

12

≤√5

3 2

12 =

r 15

(8)

(ii) Se tiene que para todo x, z[0,1]

|gn(x)gn(z)| ≤ Z 1

0 |

fn(y)||√x+y√z+y|dy

Z 1

0

(fn(y))2dy

12 Z 1

0 |

x+y√z+y|2dy

12

≤ √5 Z 1

0 |

x+y√z+y|2dy

12

Ahora bien, la funci´on h(x) = √x+a con a constante es continua en [0,1] luego es uniformemente continua entonces dadoε >0 existe

δ >0 tal que para todox, z [0,1] si|xz|< δ entonces|√x+y

z+y|< . Se concluye entonces que

|gn(x)gn(z)| ≤√5ε

y la sucesi´on (gn) es equicontinua, por el Teorema de Arzela-Ascoli existe una subsucesi´on de (gn) que converge uniformemente.

6. Sea (fn)⊆ C[0,1] una sucesi´on tal que

Z 1

0

(fn(x)fm(x))2dx 0 n, m→ ∞.

Sea K : [0,1]×[0,1]R continua. Definimos gn : [0,1]Rpor

gn(x) = Z 1

0

K(x, y)fn(y)dy .

Pruebe que la sucese´on (gn) converge uniformemente.

7. Demuestre que el conjunto L de funciones f ∈ C[a, b] tales que existe

K >0 tal que

|f(x)f(y)| ≤K|xy|, x, y [a, b]

(9)

Soluci´on: Por el Teorema de Arzela-Ascoli basta proba que el conjunto es equicontinuo, uniformemente acotado y cerrado.

Acotamiento Uniforme. Para todo f ∈ L y x[a, b] se tiene que

|f(x)|=|f(x)f(a)| ≤K|xa| ≤K(ba).

Equicontinuidad. Dado ε > 0 existe δ = ε/K > 0 tal que si |xy| < δ

entonces

|f(x)f(y)| ≤K|xy|< K ·δ =K· ε K =ε

para todof ∈ L.

Cerrado. Sea (fn) ⊂ L una sucesi´on tal que fn → f. Basta probar que

f ∈ L. En efecto, dado ε > 0 existe n0 ∈N tal que kfn−fk∞< ε para

todo n > n0. Luego fn converge uniformemente a f. Como la sucesi´on

fn es continua entonces f lo es y adem´as

|f(x)f(y)|= lim

n→∞|fn(x)−fn(y)| ≤nlim→∞K|x−y|=K|x−y|.

Luego f ∈ L.

8. Sea 1 p ≤ ∞ y sea M una constante positiva. Demuestre que el conjunto

H ={f ∈ C[0,1]| kf0

kp ≤M}

es equicontinuo cuando 1 < p ≤ ∞ y no es equicontinuo cuando p = 1. Recuerde analizar el caso p= por separado.

Soluci´on:

i) Para p = 1 basta observar que la familia H = {fn|n ∈ N} donde

fn: [0,1]→Rest´an definidas porfn(x) =xn, satisfacen quekfnk0 1 =

R1

0 nxn

−1dx = 1, para todo n N. Sin embargo, dicha familia no

es equicontinua. En efecto, (fn)n∈N es una familia equicontinua y

converge puntualmente a f entonces f es continua. Sin embargo, en este caso la funci´on f a la converge puntualmente la sucesi´onfn es

f(x) = (

0 si 0x <1 1 si x= 1

(10)

ii) Cuandop=, tenemos que para cadaε >0, si|xy| < δ entonces por el Teorema del Valor Medio tenemos que, para alg´un t(x, y)

|f(x)f(y)|=|f0(t)

||xy| ≤ kf0

k∞|x−y| ≤M|x−y|< δM ,

luego eligiendo 0< δ εM, tenemos que|f(x)f(y)|< εpara toda

f H. Luego, G es equicontinua en este caso.

iii) Cuando 1< p < basta aplicar la desigualdad de H¨older, es decir, si kukp y kvkq son finitas y 1/p+ 1/q= 1 conq <1, entonces

Z b

a

uv≤ kukpkkvkq.

En efecto, si |xy|< δ entonces aplicando el Teorema Fundamental del C´alculo obtenemos que

|f(x)f(y)|=

Z y

x

f0(t)dt

Z y

x |

f0(t)

|dt≤ kf0

kp|x−y|1/q ≤M δ1/q.

Luego eligiendoδ = (ε/M)q, tenemos que|f(x)f(y)|< εpara todo

f H, como queriamos probar.

9. Sea M un subconjunto acotado de C([a, b]) y

H ={F ∈ C([a, b])|F(x) = Z x

a

f(t)dt, f M}.

Demuestre qie H es compacto.

Soluci´on: Probaremos que H es relativamente compacto, del Teorema de Arzela-Ascoli, basta demostrar queH es equicontinuo yH(x) es relati-vamente compacto para cadax[a, b]. Como H(x)R, para demostrar

queH(x) es relativamente compacto, basta ver que es acotado. En efecto, tenemos que H(x) ={F(x)|F H} y tenemos que

F(x) = Z x

a

f(t)dt≤ kfk∞(b−a)≤C(b−a),

para toda F H, donde C es una constante positiva tal que kfk∞ ≤C

para cada f M (la cual existe ya que M es acotado en C[a, b]). Ahora para ver que H es equicontinuo basta observar que

|F(x)F(y)|=

Z y

x

f(t)dt

Z y

x |

(11)

para todo F H. Luego, para cada ε >= existe δ = ε/C tal que si |xy| < δ entonces de la desigualdad anterior |F(x)F(y)| < ε para todoF H.

10. Consideremos T :C([a, b])→ C([a, b]) definida por

(T ·f)(t) = Z t

a

f(s)ds .

Si (fn) es una sucesi´on acotada en C([a, b]), demuestre que (T ·fn) tiene una subsuseci´on convergente en C([a, b]). ¿Es (T ·fn) un conjunto com-pacto?

Soluci´on: Este problema es similar al problema anterior.

Acotamiento Uniforme. Sabemos que existe C > 0 tal que kfnk∞ ≤ C

entonces para cada nN se tiene que

|(T ·fn)(t)|=

Z t

a

fn(s)ds

≤ k

fnk∞(b−a)≤C(b−a),

Equicontinuidad. Para cada nN basta observar que

|(T ·fn)(t)(T ·fn)(r)|=

Z r

t

fn(s)ds

Z r

t |

fn(t)|dtC|tr|,

y (fn) es equicontinua. Por el Teorema de Arzela-Ascoli (fn) posee una subsucesi´on (fnk) convergente enC[a, b].

Ahora bien, en general (T ·fn) no es compacto, pues por ejemplo,fn(t) =

tn es una sucesi´on acotada de C[0,1]. En este caso,

(T ·fn) ={Fn ∈ C[0,1]|Fn(t) =tn+1/(n+ 1), n∈N}

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