El Teorema de Arzela-Ascoli

El Teorema de Arzela-Ascoli

Definici´on 1. SeanM, N espacios m´etricos yE un conjunto de aplicaciones

f :M _→N. El conjunto E se dice equicontinuo en el puntoa _∈M cuando, para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que d(x, a)< δ implique d(f(x), f(a))< ε, para cada f _∈E.

Si E es equicontinua en todo punto de M diremos queE es equicontinua en

M.

Teorema 1 (Arzela-Ascoli). SeanM, N espacio m´etricos, con M compacto y N completo. SeaE _{⊂ C}(M, N). A fin de que E sea compacto en _C(M, N) es necesario y suficiente que:

(i) E sea equicontinuo

(ii) Para cadax_∈M, _{f(x)_|f _∈E_} es compacto en N.

Teorema 2 (Arzela-Ascoli). Sean M, N espacio m´etricos, con M separable y N completo. Sea E _{⊂ C}(M, N) una familia equicontinua y para cada

x_∈M,_{f(x)_|f _∈E_}es compacto enN. Entonces, toda suceci´on (fn)_⊂E

tiene una subsucesi´on (fnk) que converge puntualmente a f ∈ C(M, N) y la

convergencia es uniforme en cada compacto de M.

Ejercicios

1. Sea (fn)⊆ C[0,1] una sucesi´on tal que

|fn0(x)| ≤x− 1

2, ∀n∈N y Z 1

0

fn(x)dx= 0.

Pruebe que la sucesi´on tiene una subsucesi´on que converge uniformemente en [0,1].

2. Seagn: [0,1]→Runa sucesi´on de funciones diferenciables tal quegn(0) =

g0

n(0) = 0 para todo n∈N y que |g00

Pruebe que existe una subsucesi´on de _{gn} que converge uniformemente en [0,1].

3. Sea K : [0,1]_×[0,1] _→ R _{continua. Sea F la familia de funciones f :}

[0,1]_→R _{de la forma}

f(x) = Z 1

0

g(y)K(x, y)dy

con g : [0,1]_→R _{continua que satisaface |g(x)| ≤1 para todo x∈ [0,1].}

Pruebe que la familia es equicontinua.

4. Seagn: [0,1]→Runa sucesi´on de funciones Riemann integrables tal que |gn(x)| ≤1 para todo n, x. Definimos

Gn(x) = Z x

0

gn(t)dt .

Pruebe que una subsucesi´on de _{Gn} converge uniformemente.

5. Sea (fn)_{⊆ C}[0,1] una sucesi´on tal que

Z 1

0

(fn(y))2dy ≤5

para todon. Definimosgn: [0,1]→R por

gn(x) = Z 1

0

√

x+yfn(y)dy .

(i) Hallar una constante K _≥0 tal que _|gn(x)_{| ≤}K para todo n.

(ii) Pruebe que una subsucesi´on de la sucesi´on _{gn} converge uniforme-mente.

6. Demuestre que el conjunto _L de funciones f _{∈ C}[a, b] tales que existe

K >0 tal que

|f(x)₋f(y)_{| ≤}K_|x₋y_|, _∀x, y _∈[a, b]

7. Sea 1 _≤ p _{≤ ∞} y sea M una constante positiva. Demuestre que el conjunto

H =_{f _{∈ C}[0,1]_{| k}f0

kp ≤M_}

es equicontinuo cuando 1 < p _{≤ ∞} y no es equicontinuo cuando p = 1. Recuerde analizar el caso p=_∞ por separado.

8. Sea M un subconjunto acotado de _C([a, b]) y

H =_{F _{∈ C}([a, b])_|F(x) = Z x

a

f(t)dt, f _∈M_}.

Demuestre qie H es compacto.

9. Consideremos _T :_C([a, b])_{→ C}([a, b]) definida por

(_{T ·}f)(t) = Z t

a

f(s)ds .

Si (fn) es una sucesi´on acotada en _C([a, b]), demuestre que (_{T ·}fn) tiene una subsuseci´on convergente en _C([a, b]). ¿Es (_{T ·}fn) un conjunto com-pacto?

10. Sea α_∈(0,1] y sea

Cα[0,1] :=_{f : [0,1]_→R_{| sup}

x,y∈[0,1]

x6=y

|f(x)₋f(y)_|

|x₋y_|α <∞}.

(a) Muestre que si f _∈Cα_{[0,1] entonces f ∈C[0,1] y defina la norma}

kf_kα =kfk+ sup x,y∈[0,1]

x6=y

|f(x)₋f(y)_|

|x₋y_|α , donde kfk= sup x∈[0,1]|

f(x)_|.

Demuestre que el espacio normado (Cα_{[0,1],k · kα) es completo.}

(b) Demuestre que el conjunto

{f _∈Cα[0,1]_{| k}f_kα ≤1}

11. Sea α_∈(0,1] y considere el espacio de Banach (Cα_{[0,1],k · kα) donde}

Cα[0,1] :=_{f : [0,1]_→R_{| sup}

x,y∈[0,1]

x6=y

|f(x)₋f(y)_|

|x₋y_|α <∞}.

kf_kα=_kf_k+ sup x,y∈[0,1]

x6=y

|f(x)₋f(y)_|

|x₋y_|α , y kfk= sup x∈[0,1]|

f(x)_|.

Sea 0< α < β <1 y sea f _∈Cβ_{[0,1]. Demuestre que para todo η >0 se} tiene que

sup x,y∈[0,1]

x6=y

|f(x)₋f(y)_|

|x₋y_|α <max{ sup x,y∈[0,1]

x6=y

|f(x)₋f(y)_| |x₋y_|β η

β−α_,2kfk

ηα },

y pruebe que el conjunto_{f _∈Cβ_[0,1]|kfk

1. Sea (fn)_{⊆ C}[0,1] una sucesi´on tal que

|f0

n(x)| ≤x− 1

2, ∀n∈N y Z 1

0

fn(x)dx= 0.

Pruebe que la sucesi´on tiene una subsucesi´on que converge uniformemente en [0,1].

Soluci´on: Por el Teorema de Arzela-Ascoli es suficiente probar que la sucesi´on _{fn} es equicontinua y uniformemente acotada.

Equicontinuidad. Para todo x, y _∈[0,1] con 0_≤x < y <1 tenemos que

|fn(x)₋fn(y)_|=

Z y

x

f0

n(t)dt ≤

Z y

x

t−1_{2dt = 2}√_y

−2√x .

La funci´on F(x) = 2√x es continua en [0,1] luego es uniformemente continua. Luego, dado ε > 0 existe δ >0 tal que si _|x₋y_|< δ entonces |F(x)₋F(y)_| < ε. Lo que implica la equicontinuidad de la sucesi´on de funciones.

Acotamiento Uniforme. Como Z 1

0

fn(x)dx = 0 entonces la funci´onfn no

puede ser simpre positiva o siempre negativa entonces existe x0 ∈ [0,1]

tal que fn(x0) = 0 y usando la estimaci´on anterior obtenemos

|fn(x)| ≤2|√x−√x0| ≤2, ∀x∈[0,1].

2. Seagn: [0,1]→Runa sucesi´on de funciones diferenciables tal quegn(0) =

g0

n(0) = 0 para todo n∈N y que

|g00

n(x)| ≤1, ∀n∈N, ∀x∈[0,1].

Pruebe que existe una subsucesi´on de _{gn} que converge uniformemente en [0,1].

Soluci´on: Tenemos que existe ξ_∈[0,1] tal que

gn(x) = gn(0) +g_n0(0)x+1 2g

00

n(ξ)x2 = 1 2g

00

n(ξ)x2

entonces

|gn(x)_{| ≤} 1

Adem´as,

|g_n0(x)_|=_|g_n0(x)₋g_n0(0)_|=

Z x

0

g00(t)dt

≤ |

x_{| ≤}1

Por lo tanto, por el Teorema del Valor Medio, para todo x, y _∈ [0,1], existe c_∈(x, y) tal que

|gn(x)₋gn(y)_|=_|g_n0(c)_||x₋y_{| ≤ |}x₋y_|.

La sucesi´on _{gn} es equicontinua y uniformemente acotada, luego por el Teorema de Arzela-Ascoli tiene una subsucesi´on uniformemente conver-gente.

3. Sea K : [0,1]_×[0,1] _→ R _{continua. Sea F la familia de funciones f :}

[0,1]_→R _{de la forma}

f(x) = Z 1

0

g(y)K(x, y)dy

con g : [0,1]_→R _{continua que satisaface |g(x)| ≤1 para todo x∈ [0,1].}

Pruebe que la familia es equicontinua.

Soluci´on: Como K es continua en [0,1]_× [0,1] que es compacto en-tonces K es uniformemente continua, entonces dado ε > 0 existe δ > 0 tal que para cualquier (x, y),(z, w)_∈[0,1]_×[0,1] si_k(x, y)₋(z, w)_k< δ

implica que_|K(x, y)₋K(z, w)_|< ε. Entonces, si_|x₋z_|< δ se tiene que

|f(x)₋f(z)_| =

Z 1

0

g(y)(K(x, y)₋K(z, y))dy

≤ Z 1

0 |

g(y)_||K(x, y)₋K(z, y)_|dy

≤ |K(x, y)₋K(z, y)_|< ε

y la familiaF es equicontinua.

4. Seagn: [0,1]→Runa sucesi´on de funciones Riemann integrables tal que |gn(x)_{| ≤}1 para todo n, x. Definimos

Gn(x) = Z x

0

Pruebe que una subsucesi´on de _{Gn} converge uniformemente.

Soluci´on: Para todo x, y _∈[0,1] cony < x se tiene que

|Gn(x)−Gn(y)|=

Z y

x

gn(t)dt ≤

Z y

x |

gn(t)|dt ≤y−x .

lo que implica la equicontinua de la sucesi´on _{Gn}. Adem´as

|Gn(x)_{| ≤} Z x

0 |

gn(t)_|dt _≤x _≤1.

Por el Teorema de Arzela-Ascoli existe una subsucesi´on de_{Gn}que con-verge uniformemente.

5. Sea (fn)_{⊆ C}[0,1] una sucesi´on tal que

Z 1

0

(fn(y))2dy _≤5

para todon. Definimosgn: [0,1]→R por

gn(x) = Z 1

0

√

x+yfn(y)dy .

(i) Hallar una constante K _≥0 tal que _|gn(x)_{| ≤}K para todo n.

(ii) Pruebe que una subsucesi´on de la sucesi´on _{gn} converge uniforme-mente.

Soluci´on:

(i) Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz se tiene que

|gn(x)_{| ≤} Z 1

0

√

x+y_|fn(y)_|dy

≤

Z 1

0

(x+y)dy

1₂Z 1

0

(fn(y))2dy 1₂

≤ √5

x+ 1 2

1₂

≤√5

3 2

1₂ =

r 15

(ii) Se tiene que para todo x, z_∈[0,1]

|gn(x)₋gn(z)_{| ≤} Z 1

0 |

fn(y)_||√x+y₋√z+y_|dy

≤

Z 1

0

(fn(y))2dy

1₂ Z 1

0 |

√

x+y₋√z+y_|2dy

1₂

≤ √5 Z 1

0 |

√

x+y₋√z+y_|2dy

1₂

Ahora bien, la funci´on h(x) = √x+a con a constante es continua en [0,1] luego es uniformemente continua entonces dadoε >0 existe

δ >0 tal que para todox, z _∈[0,1] si_|x₋z_|< δ entonces_|√x+y₋

√

z+y_|< . Se concluye entonces que

|gn(x)₋gn(z)_{| ≤}√5ε

y la sucesi´on (gn) es equicontinua, por el Teorema de Arzela-Ascoli existe una subsucesi´on de (gn) que converge uniformemente.

6. Sea (fn)⊆ C[0,1] una sucesi´on tal que

Z 1

0

(fn(x)₋fm(x))2dx _→0 n, m_{→ ∞}.

Sea K : [0,1]_×[0,1]_→R _{continua. Definimos gn : [0,1]→}R_por

gn(x) = Z 1

0

K(x, y)fn(y)dy .

Pruebe que la sucese´on (gn) converge uniformemente.

7. Demuestre que el conjunto _L de funciones f _{∈ C}[a, b] tales que existe

K >0 tal que

|f(x)₋f(y)_{| ≤}K_|x₋y_|, _∀x, y _∈[a, b]

Soluci´on: Por el Teorema de Arzela-Ascoli basta proba que el conjunto es equicontinuo, uniformemente acotado y cerrado.

Acotamiento Uniforme. Para todo f _{∈ L} y x_∈[a, b] se tiene que

|f(x)_|=_|f(x)₋f(a)_{| ≤}K_|x₋a_{| ≤}K(b₋a).

Equicontinuidad. Dado ε > 0 existe δ = ε/K > 0 tal que si _|x₋y_| < δ

entonces

|f(x)₋f(y)_{| ≤}K_|x₋y_|< K _·δ =K_· ε K =ε

para todof _{∈ L}.

Cerrado. Sea (fn) _{⊂ L} una sucesi´on tal que fn → f. Basta probar que

f _{∈ L}. En efecto, dado ε > 0 existe n0 ∈N tal que kfn−fk∞< ε para

todo n > n0. Luego fn converge uniformemente a f. Como la sucesi´on

fn es continua entonces f lo es y adem´as

|f(x)₋f(y)_|= lim

n→∞|fn(x)−fn(y)| ≤nlim→∞K|x−y|=K|x−y|.

Luego f _{∈ L}.

8. Sea 1 _≤ p _{≤ ∞} y sea M una constante positiva. Demuestre que el conjunto

H =_{f _{∈ C}[0,1]_{| k}f0

kp ≤M_}

es equicontinuo cuando 1 < p _{≤ ∞} y no es equicontinuo cuando p = 1. Recuerde analizar el caso p=_∞ por separado.

Soluci´on:

i) Para p = 1 basta observar que la familia H = _{fn|n ∈ N} donde

fn: [0,1]→Rest´an definidas porfn(x) =xn, satisfacen quekfnk0 1 =

R1

0 nxn

−1_{dx = 1, para todo n ∈ N. Sin embargo, dicha familia no}

es equicontinua. En efecto, (fn)n∈N es una familia equicontinua y

converge puntualmente a f entonces f es continua. Sin embargo, en este caso la funci´on f a la converge puntualmente la sucesi´onfn es

f(x) = (

0 si 0_≤x <1 1 si x= 1

ii) Cuandop=_∞, tenemos que para cadaε >0, si_|x₋y_| < δ entonces por el Teorema del Valor Medio tenemos que, para alg´un t_∈(x, y)

|f(x)₋f(y)_|=_|f0_(t)

||x₋y_{| ≤ k}f0

k∞|x−y| ≤M|x−y|< δM ,

luego eligiendo 0< δ _≤εM, tenemos que_|f(x)₋f(y)_|< εpara toda

f _∈H. Luego, G es equicontinua en este caso.

iii) Cuando 1< p <_∞ basta aplicar la desigualdad de H¨older, es decir, si _ku_kp y kvkq son finitas y 1/p+ 1/q= 1 conq <1, entonces

Z b

a

uv_{≤ k}u_kpkkvkq.

En efecto, si _|x₋y_|< δ entonces aplicando el Teorema Fundamental del C´alculo obtenemos que

|f(x)₋f(y)_|=

Z y

x

f0_(t)dt

≤

Z y

x |

f0_(t)

|dt_{≤ k}f0

kp|x−y|1/q ≤M δ1/q.

Luego eligiendoδ = (ε/M)q_{, tenemos que|f(x)−f(y)|< εpara todo}

f _∈H, como queriamos probar.

9. Sea M un subconjunto acotado de _C([a, b]) y

H =_{F _{∈ C}([a, b])_|F(x) = Z x

a

f(t)dt, f _∈M_}.

Demuestre qie H es compacto.

Soluci´on: Probaremos que H es relativamente compacto, del Teorema de Arzela-Ascoli, basta demostrar queH es equicontinuo yH(x) es relati-vamente compacto para cadax_∈[a, b]. Como H(x)_⊂R_{, para demostrar}

queH(x) es relativamente compacto, basta ver que es acotado. En efecto, tenemos que H(x) =_{F(x)_|F _∈H_} y tenemos que

F(x) = Z x

a

f(t)dt_{≤ k}f_k∞(b−a)≤C(b−a),

para toda F _∈ H, donde C es una constante positiva tal que _kf_k∞ ≤C

para cada f _∈ M (la cual existe ya que M es acotado en _C[a, b]). Ahora para ver que H es equicontinuo basta observar que

|F(x)₋F(y)_|=

Z y

x

f(t)dt

≤

Z y

x |

para todo F _∈ H. Luego, para cada ε >= existe δ = ε/C tal que si |x₋y_| < δ entonces de la desigualdad anterior _|F(x)₋F(y)_| < ε para todoF _∈H.

10. Consideremos _T :_C([a, b])_{→ C}([a, b]) definida por

(_{T ·}f)(t) = Z t

a

f(s)ds .

Si (fn) es una sucesi´on acotada en C([a, b]), demuestre que (T ·fn) tiene una subsuseci´on convergente en _C([a, b]). ¿Es (_{T ·}fn) un conjunto com-pacto?

Soluci´on: Este problema es similar al problema anterior.

Acotamiento Uniforme. Sabemos que existe C > 0 tal que _kfnk∞ ≤ C

entonces para cada n_∈N _{se tiene que}

|(_{T ·}fn)(t)_|=

Z t

a

fn(s)ds

≤ k

fnk∞(b−a)≤C(b−a),

Equicontinuidad. Para cada n_∈N _{basta observar que}

|(_{T ·}fn)(t)₋(_{T ·}fn)(r)_|=

Z r

t

fn(s)ds

≤

Z r

t |

fn(t)_|dt_≤C_|t₋r_|,

y (fn) es equicontinua. Por el Teorema de Arzela-Ascoli (fn) posee una subsucesi´on (fnk) convergente enC[a, b].

Ahora bien, en general (_{T ·}fn) no es compacto, pues por ejemplo,fn(t) =

tn _{es una sucesi´on acotada de C[0,1]. En este caso,}

(_{T ·}fn) =_{Fn ∈ C[0,1]|Fn(t) =tn+1/(n+ 1), n∈N}