19 APUNTES DE LÍMITES DE FUNCIONES

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(1)

LÍMITES DE FUNCIONES

IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.

Ejemplo 1: Consideremos la función:

  

> +

< =

1 3

1 3

) (

x si x

x si x

x f

Su gráfica:

Si x toma valores próximos a 1, distintos de 1 y menores que 1 (ej.: x = 0’9, 0’99, 0’999,…), que se nota: x→1−, es decir:

    

< ≠ → ≡ → −

1 1

) 1 (

1 1

x x

a próximos muy

x x

Los correspondientes valores de y:

→1

x :

x 0’9 0’99 0’999

y 2’7 2’97 2’997

Se aproximan muchísimo a 3 (se nota: y→3) Se escribe: lim ( ) 3

1− =

f x

x

Se lee: Límite de f(x) por la izquierda de 1 es 3

(2)

    

> ≠ → ≡ → +

1 1

) 1 (

1 1

x x

a próximos muy

x x

Los correspondientes valores de y:

+

→1

x :

x 1’1 1’01 1’001

y 1’9 1’99 1’999

Se aproximan cada vez más a 2 (se nota: y→2) Se escribe: lim ( ) 2

1+ =

f x

x

Se lee: Límite de f(x) por la derecha de 1 es 2.

3 y 2 se llaman límites laterales de f(x) por la izquierda y derecha de 1 respectivamente.

Ejemplo 2: Dadas las funciones:

  

= ≠ +

= 

   

> +

= < =

  

> +

< =

1 4

1 1

) ( 1

3

1 4

1 2

) ( 1

3

1 2

) (

2

x si

x si x

x k x

si x

x si

x si x x

h x

si x

x si x x

g

Cuyas gráficas respectivas:

Observamos:

2 ) ( lim

2 ) ( lim

1 1

= =

+ −

→ →

x g

x g

x x

4 ) 1 (

2 ) ( lim

2 ) ( lim

1 1

= = =

+ −

→ →

h x h

x h

x x

4 ) 1 (

2 ) ( lim

2 ) ( lim

1 1

= = =

+ −

→ →

k x k

x k

x x

En los tres casos se escribe que: 2

) ( lim

1 =

g x

(3)

En general:

Si y = f(x) es una función cuya gráfica es:

Se escribe f x m

a

xlim→ − ( )= y xlim→a+ f(x)=m' Si y = f(x) es una función cuya gráfica es:

Se tiene que f x f x m

a x a

xlim→ − ( )= lim→ + ( )= ó xa f x = m ) ( lim

A m y m’ se les llama límites laterales de f(x) por la izquierda y por la derecha de a respectivamente.

(4)

Es importante señalar que para definir el límite de una función en un punto x = a, no necesitamos para nada el valor de la función y = f(x) en x = a, es decir f(a), sino que sólo nos interesa el comportamiento de dicha función en los alrededores de a (valores próximos a a pero menores o mayores que a.)

Definición formal de límite de una función en un punto.

Diremos que: = ⇔∀

a f x L

x ( )

lim E(L,

ε

) ∃E*(a, ∂) / ∀x∈ E*(a, ∂), f(x)∈ E(L,

ε

)

“El límite de una función f(x) cuando xaes el número real L, si se cumple que para cualquier entorno de centro L y radio

ε

: E(L,

ε

) que tomemos, por pequeño que sea

ε

, encontramos un entorno reducido de a, E* (a, ) (sin centro a), tal que todos sus valores reales

x tengan sus imágenes f(x) dentro del entorno E(l,

ε

)”

Cálculo del límite de f(x) algebraicamente.

El cálculo del límite de f(x) usando la fórmula de la función se hace de la siguiente forma:

Ejemplo 1:

  

> +

< =

1 3

1 3

) (

x si x

x si x x

f

3 1 · 3 3 lim )

( lim

1 1

1 = < → = =

→− f x comox x x

x

y lim ( ) lim

(

3

)

1 3 2

1 1

1 => → − + =− + =

→+ f x comox x x

x

Ejemplo 2:

  

= ≠ +

=

1 4

1 1

) (

2

x si

x si x

x k

( )

(

1

)

1 1 2 lim

) (

lim 2 2

1 1

1 .

1 = → + = + =

f x x x

x como

de dcha y izq entre

diferencia se no x

Y no sería necesario buscar por separado los límites laterales, ya que la expresión algebraica de

(5)

IDEA INTUITIVA DE LÍMITES INFINITOS. ASÍNTOTAS VERTICALES

Ejemplo 1: Consideremos la función:

1 1 ) (

− =

x x

f de D(f) = R-

{}

1 y cuya gráfica es:

• Si x→1−, los correspondientes valores de y:

x 0’9 0’99 0’999 …

y -10 -100 -1000 …

Se hacen cada vez más grandes en valor absoluto y son negativos (se nota y→−∞) Se escribe: =−∞

→ ( )

lim 1

x f

x

Se lee: Límite de f(x) por la izquierda de 1 es −∞

• Si x→1+, los correspondientes valores de y:

x 1’1 1’01 1’001

y 10 100 1000 …

Se hacen cada vez más grandes sin ningún tope real (se nota y→+∞) Se escribe: + =+∞

→ ( )

lim 1 f x

x

Se lee: Límite de f(x) por la derecha de 1 es +∞

Ejemplo 2: Tomemos

1 1 ) (

− − =

x x

(6)

Observamos: +∞ = −

→ ( )

lim 1 g x

x y limx→1+g(x)=−∞

Ejemplo 3: Tomemos

(

( ) ( )

)

1

1 )

( h x f x

x x

h =

− =

Observamos:

+∞ = ⇒

    −∞ =

+∞ =

→ →

+ −

) ( lim )

( lim

) ( lim

1 1

1

x h x

h x h

x x

x

Se escribe: =+∞

→ ( )

lim 1h x x

Se lee: Límite de h(x) en el punto 1 es +∞

Ejemplo 4: Sea

(

( ) ( )

)

1 1 )

( k x opuestadeh x

x x

k =

− − =

Observamos:

−∞ = ⇒

    −∞ =

−∞ =

→ →

+ −

) ( lim )

( lim

) ( lim

1 1

1

x k x

k x k

x x

x

En todos los casos se dice que la recta de ecuación x = 1 es una asíntota vertical.

(7)

Se escribe: =±∞

→ → →

+ − ( ) lim f x

a x

a x

a

x . Se dice que el límite de f(x) en a ( o los laterales) es ±∞ Y:

x = a es una A.V. de y = f(x)⇔ =±∞

→ → →

+ − ( ) lim f x

a x

a x

a

x (Definición de A.V.)

Algebraicamente: El cálculo del límite de f(x) usando la fórmula se hace:

Ejemplo 1:

R x xpor

x→ − = − = 0

1 1 1

1 1

1 lim

1 1

Cuando sale 0 en el denominador, su significado en el cálculo de límites es denominador→0. La tendencia del denominador a 0 (→0) puede ser:

- Por valores positivos (denominador: 0’1, 0’01, 0’001,…) si x→1+. - Por valores negativos (denominador: -0’1, -0’01, -0’001,…) si x→1−. Por eso cuando sale 0 en el denominador, se calculan los límites laterales:

     

+∞ = + = − =

−∞ = − = − =

= →

= →

+ +

− −

0 1 1

1 lim ) ( lim

0 1 1

1 lim ) ( lim

,... 01 ' 1 , 1 ' 1 1

1

,... 99 ' 0 , 9 ' 0 1

1

x x

x

x x

x

x x

f

x x

f

Con lo cual podemos conocer la posición relativa de y = f(x) con respecto a su asíntota vertical

(8)

En general si al calcular: lim f(x) a x

a x

a x

→ → →

+

sale 0

l

= con l ≠0⇒x=a es A.V. de f(x).

Basándonos en ello, las asíntotas verticales de una función y = f(x) se obtienen entre los valores que anulan al denominador y no anulan el numerador.

“Para calcular las A.V. de una función”:

Denominador = 0⇒Despejamos x: x = a, x =b, x = c,… si numerador(a, b, c,..)≠0. Si en x = a el numerador(a) = 0, veremos lo que pasa más adelante.

IDEA INTUITIVA DE LÍMITES EN EL INFINITO. ASÍNTOTAS HORIZONTALES. RAMAS PARABÓLICAS

Ejemplo 1:

Tomemos f(x)=2x+1 de D(f) = R y gráfica:

Observa:

A medida que x toma valores que se representan más a la izquierda sobre el eje de abscisas (x = −10, −100, −1000,…) que se nota x→−∞, las ordenadas y correspondientes:

x −10 −100 −1000 x→−∞

y 1’00098 7’8 · 31

10− +1 … y→1

Se escribe: lim ( )=1

−∞

f x

x

Se lee: Límite de f(x) cuando x tiende a −∞ es 1.

Ejemplo 2:

(9)

Observa:

A medida que x toma valores cada vez mayores y que se representan cada vez más a la derecha sobre el eje de abscisas (x = 10, 100, 1000,…) que se nota x→+∞, las ordenadas y correspondientes:

x 10 100 1000 x→+∞

y 1’00098 1’00000007 … y→1

Se escribe: lim ( )=1

+∞

g x

x .

Se lee: Límite de g(x) cuando x tiende a +∞ es 1.

Ejemplo 3:

Sea

x x x

h( )= +1 con D(h) = R-

{ }

0 y gráfica:

Observamos: 1 ) (

lim =

−∞

h x

x y xlim→+∞h(x)=1. En todos los casos se dice que la recta de ecuación y=1 es una asíntota horizontal (A.H.) de h(x).

En general:

(10)

Se escribe: f x b R

xlim→−∞ ( )= ∈ ó xlim→+∞ f(x)=bR ó xlim→±∞ f(x)=bR Y:

b

y= es A.H. de y = f(x) f x b R

x o

x = ∈

−∞ →

+∞

→ ( )

lim (Definición A.H.)

Algebraicamente: El cálculo del límite en el infinito aprenderemos a calcularlos cuando se

estudien las propiedades de cálculo de límites.

Ejemplo 4:

Dadas las funciones f(x)=x2 y g(x)=−x2 de dominio R y gráficas:

Observamos:

+∞ =

+∞ =

+∞ →

−∞ →

) ( lim

) ( lim

x f

x f

x x

−∞ =

−∞ =

+∞ →

−∞ →

) ( lim

) ( lim

x g

x g

x x

En todos los casos se trata de límites infinitos en el infinito: =±∞

±∞

→ ( )

lim f x

x

Cuando la gráfica no se aproxima a ninguna recta oblicua y se cumple que =±∞

±∞

→ ( )

lim f x

x , se

dice que y = f(x) tiene una rama parabólica por la derecha si =±∞

+∞

→ ( )

lim f x

x y por la izquierda

si =±∞

−∞

→ ( )

lim f x

x , y por ambos lados si ocurren las dos cosas. En general:

y = f(x) tiene una R.P.⇔ =±∞

−∞ →

+∞

→ ( )

lim f x

x o

x y Gráf(f) no se aproxima a ninguna

recta (Definición de R.P)

ASÍNTOTAS OBLICUAS.-

(11)

La recta y=mx+n con m≠0 es asíntota oblicua de y= f(x) ⇔ lim

[

( ) (

− +

)

]

=0

−∞ →

+∞

f x mx n

x o x

Como se observa en la gráfica si x→+∞ (ó x→−∞)⇒AP→0.

El método general para calcular las asíntotas oblicuas de una función es el siguiente: Si y=mx+n es asíntota oblicua de y= f

( )

x , entonces: lim

[

( ) (

− +

)

]

=0

−∞ →

+∞

f x mx n

x o

x .

Si calculamos

0 0 ) (

) (

lim =

∞ ± = + − ⇔

−∞ →

+∞

x

n mx x f

x o x

( )

0

lim − − = ⇔

−∞ →

+∞

x

n x mx x

x f

x o x

( )

0

lim − − = ⇔

−∞ →

+∞

x

n m x

x f

x o x

( )

( )

( )

m

x x f m

x x f x

n m

x x f

x ó x x

ó x x

ó x x

o

x − − = ⇔ − = ⇔ =

−∞ →

+∞ → −∞

→ +∞ → −∞

→ +∞ → −∞

→ +∞

→ lim 0 lim 0 lim

lim . Luego m:

( )

x x f m

x o x

−∞ →

+∞ →

= lim

El cálculo de n es inmediato sin más que observar que: lim

[

( )

− −

]

=0

−∞ →

+∞

f x mx n

x ox

, que despejando

n : n

[

f

( )

x mx

]

x o

x

=

−∞ →

+∞ →

lim .

En la práctica:

Si =±∞

±∞

→ ( )

lim f x

x : se calcula:

( )

  

⇒ ∞ ±

→ ⇒

∈ =

±∞

. .

: .

. lim

P R

n calcula O

A R m

x x f

x

PROPIEDADES –INDETERMINACIONES

1). lim

(

f(x) g(x)

)

lim f(x) lim g(x) x

a x x

a x x

a x

±∞ → → ±∞

→ → ±∞

(12)

l±∞=±∞

( ) ( )

+∞ + +∞ =+∞

( ) ( )

−∞ + −∞ =−∞

2). lim

(

f(xg(x)

)

lim f(x)·lim g(x) x

a x x

a x x

a x

±∞ → → ±∞

→ → ±∞

→ =

• lim k· f(x) k·lim f(x) x

a x x

a x

±∞ → → ±∞

→ = con k = constante

l·

( )

±∞ =±∞ (Regla de los signos para el producto) y l ≠0

( ) ( )

±∞ · ±∞ =±∞(Regla de los signos para el producto)

3).

) ( lim

) ( lim

) (

) ( lim

x g

x f

x g

x f

x a x x

a x

x a x

±∞ → → ±∞ → →

±∞ →

→ =

• =±∞

±0

l

(Regla de los signo para el cociente) l ≠0

• =0

∞ ±

l

(∀lR incluido l = 0)

• ±∞ =±∞

l (Regla de los signos para el cociente) (∀lR incluido l = 0)

4).

(

)

) ( lim )

(

) ( lim )

( lim

x g

x a x x g

x a x

x a x

x f x

f →±∞

→     

   =

±∞ → → ±∞

→ →

n

x a x n

x a

xlim f(x) lim f(x)

±∞ → → ±∞

→ =

( ) ( )

+∞ l = +∞

si l > 0

( )

+∞l =0 si l < 0

  

< <

> ∞

+ =

∞ +

1 0 0

1

l si

l si

l

  

< < ∞

+

> =

∞ −

1 0

1 0

l si l si l

( )

+∞ ( )+∞ =

( )

+∞

( )

+∞ ( )−∞ =0

Entre las propiedades anteriores faltan los siguientes casos, en los que no hay ninguna regla fija: 1).

∞ ±

∞ ±

2). 0 0

(13)

Cuando al calcular el límite de la función aparece una indeterminación, hay que evitarla usando

estrategias de cálculo que dependerán de la forma que tenga la expresión algebraica de la

función y del tipo de indeterminación que nos haya salido.

CÁLCULO ALGEBRAICO DE LÍMITES:

Tendremos en cuenta además de las propiedades anteriores:

k k

x a

x =

±∞ → →

lim siendo k = constante.

• limP(x) P(a) a

x→ = siendo P(x) un polinomio.

• =±∞

±∞

→ ( )

lim P x

x dependiendo del signo del coeficiente principal y del grado de P(x) Indeterminación

∞ ±

∞ ±

Si f es racional

) (

) ( lim

x Q

x P

x→±∞ (P y Q polinomios). En todos los casos, para evitar la indeterminación, se divide

numerador y denominador por la x de mayor grado del denominador.

Ejemplo 1:

4 0 1

0 0 4 1

1 1 1 4 lim 1

1 4

lim 1

1 4

lim

2 2

2 2 2

2 2 2

2

2 2

= +

− + = +

− + =

+ − + =

+ − +

+∞ → +∞

→ +∞

x x x

x x x

x x

x x

x

x x x

x x

x

Ejemplo 2:

−∞ = ∞ − = −

− + ∞ − = −

− + − = −

− + − = −

− + −

+∞ → +∞

→ +∞

1 0 1

0 0 5

1

1 1 4 lim 5

1 4

lim 5

1 4

lim

2 2

2 2 2

2 2 2

3

2 3

x x x x

x x x

x x

x x

x

x x x

x x

x

Ejemplo 3:

0 1 0 0 1

0 0 0 7

1

1 1 4

lim 7

1 4

lim 7

1 4

lim

3 3 2

3 3 3

3 3 3

2

3 2

= = +

− + = +

− + − = +

− + − = +

− + −

+∞ → +∞

→ +∞

x x x x

x x x

x x

x x

x

x x x

x x

x

Si f es irracional: Se evita dividiendo numerador y denominador entre la x de mayor grado del denominador (igual que si fuese racional). Si el denominador tiene raíz, se dividen entre la

raíz de esa potencia de x.

(14)

1 1

0 1 1

1 1 lim lim

lim

2 2 2 2

= + = + =

+ =

+

+∞ → +∞

→ +∞

x

x x

x x x x

x x x

x x

x

Indeterminación:

0 0

• Si f es racional:

0 0 ) (

) ( ) (

) (

lim = =

Q a

a P x Q

x P

a

x .

Como P(a)=0P(x) es divisible por x – a (Teorema del resto). Lo mismo ocurre con Q(x).

Para evitar este tipo de indeterminación dividimos numerador y denominador por.

(

xa

)

Ejemplo:

0 0 1 lim 2

3

1 − =

x x

x

x (indeterminación)

⇒ Dividimos numerador y denominador entre

( )

x−1

( ) 1 3

3 1

1 1 1 1 lim

1 lim

2 2

1 1 : 2

3

1 = =

+ + = + + =

− − ⇒

→ −

x

x x x

x x

x x x

Si f es irracional: Ejemplo:

0 0 1

1 lim

0 − − =

x

x

x indeterminación que se evita multiplicando numerador y denominador por

el conjugado de donde aparece la raíz y posteriormente dividiendo por

(

xa

)

, en nuestro ejemplo por .

(

x−0

)

=x

(

)

(

)(

)

(

(

)

)

(

)

(

1 1

)

1 1 0 2

lim

1 1 lim 1

1 1 1 lim 1

1 1 1

1 1 lim

1 1 lim

0

0 2

0 0

0

= − + = − + =

= − + =

− −

− + =

− + − −

− + =

− −

→ →

→ →

x

x x x

x x x

x x

x x

x x

x

x x

x x

Indeterminación:

( ) ( )

+∞ − +∞

Si f(x) es racional: Ejemplo 1:

( ) ( )

+∞ − +∞ =

   

 

− − −

1

3 1 2

lim 2 3

1 x x

x , se evita la indeterminación operando razones algebraicas y

(15)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)

0

0 3 · 0 · 2 1 1 2 1 1 1 1 2 lim 1 1 1 3 3 2 2 2 lim 1 1 1 1 3 1 2 lim 1 3 1 2 lim 2 2 1 2 2 1 2 2 1 3 2 1 = − − = + + − + − − = = + + − + − − + + =       + + − + + − + + =       − − − → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Queda otra indeterminación que se evita dividiendo numerador y denominador por

( )

x−1 :

(

)(

)

(

)

( )

(

)

(

)

2

1 6 3 3 · 2 1 2 1 1 1 2 lim 1 1 1 1 2 lim 2 1 1 : 2 2

1 = =

+ = + + + + = + + − + − − → −

x x x

x x x x x x x x x x Ejemplo 2:

( ) ( )

+∞ − +∞ =       + − + − + + − +∞ → 1 3 2 2 1 4 lim 2 2 x x x x x x

x , se evita la indeterminación, como en el caso

anterior, realizando la operación y transformando la resta en una sola razón algebraica.

(

)

( )

(

)

(

)

(

)( )

(

)

= + + + − − − + − − = + + − + + − + − − = =       + + + − + − + + − =       + − + − + + − +∞ → +∞ → +∞ → +∞ → 2 3 6 4 1 3 3 lim 2 3 6 4 1 3 3 lim 1 2 2 3 2 1 1 4 lim 1 3 2 2 1 4 lim 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∞ + ∞ − =       + + + − − = +∞

3 2

7 4 7 lim 2 2 x x x x x

Indeterminación que se evita dividiendo por la x de mayor exponente del denominador, en nuestro caso dividimos por x2:

7 0 0 1 0 0 7 2 3 1 7 4 7 lim 2 3 7 4 7 lim 2 3 7 4 7 lim 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − = + + + − − = + + + − − = + + + − − = + + + − − +∞ → +∞ → +∞ → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Si f(x) es irracional:

Si hay cociente se divide por la x de mayor exponente del denominador con su raíz, en

caso de que le afecte alguna raíz.

Ejemplo 1:

( ) ( )

∞ + ∞ + − ∞ + = + − +∞ → x x x x 1

lim , para quitar la indeterminación se divide numerador y

(16)

0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 lim 1

lim = − + = − =

+ − = + − +∞ → +∞ → x x x x x x x x x x Ejemplo 2:

( ) ( )

∞ + ∞ + − ∞ + = + − + − +∞

x x

x x

x 2

1

lim , para quitar indeterminación se divide numerador y

denominador por x

0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 2 1 1 1 1 lim 2 1 lim 2 1 lim = + − = + − + − = + − + − = + − + − = + − + − +∞ → +∞ → +∞ → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Si no hay cociente sino sólo una resta de raíces, la indeterminación se evita multiplicando y dividiendo por el conjugado:

Ejemplo 3:

(

)

(

+ + − −

)

=

( ) ( )

+∞ − +∞

+∞

→ 1 1

lim x2 x x

x

Indeterminación. Para evitarla multiplicamos y dividimos por el conjugado:

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

( )

)

(

)

+∞ ∞ + = + + + + = = − + + + − − + + = − + + + − + + + ⋅ − − + + +∞ → +∞ → +∞ → 1 1 3 lim 1 1 1 1 lim 1 1 1 1 1 1 lim 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Indeterminación que se evita dividiendo por la x de mayor exponente del denominador, en nuestro caso x ( x2 = x)

2 3 ) 0 1 ( 0 0 1 3 1 1 1 1 1 3 lim 1 1 3 lim 2 2 2 2

2 = + + + + =

      + + + + =       + + + + →+∞ +∞ → x x x x x x x x x x x x x x x

EJERCICIOS RESUELTOS DEL CÁLCULO DE LAS ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN.- Calcula razonadamente todas las asíntotas de las siguientes funciones:

Ejercicio 1.

( )

x x x x f 2 4 2 2 − − =

(17)

   = =

2 0

x x

que son las posibles A.V. de la función.

Comprobamos si lo son o no, calculando los límites en estos puntos:

( )

=− ∉

( )

±∞

− − =

x x R

x x

f

x

x 0

4 2

4 lim

lim 2

2

0

0 x=0esuna A.V.

Y la posición relativa de la gráfica de la función respecto de x=0se estudia calculando los

límites laterales:

( )

( )

=+∞

− − =

−∞ = + − =

= →

− = →

+ −

0 4 lim

0 4 lim

1 ' 0 0

1 ' 0 0

x x

x x

x f

x f

( )

(

(

) (

)

)

(= ) + = + =

− ⋅

+ ⋅ − =

− − =

→ − →

2

2 2 2 lim 2

2 2

lim 2

4 lim lim

2 2 : 2

0 0 2

2

2

2 x

x x

x x x

x x

x x

f

x x x

x

x 2∈R y 2∉D

( )

f

Luego: x=2noesuna A.V. En x=2, hay una

discontinuidad evitable

A.H:

( )

=

− − = − − =

− − =

− − =

±∞ → ±∞

→ ∞ +

∞ + ±∞

→ ±∞

1 0

0 1 2 1

4 1 lim 2

4 lim

2 4 lim

lim

2

2 2 2

2 2 2

2 2

x x

x x x x

x x x

x x

x x

f

x x

x

x 1∈R

) (

.

1es AH porla dcha y por laizqda

y=

Y para saber la posición relativa de la Gráf

( )

f respecto de la asíntota: y=1:

x f

( )

x Comparaciónf

( )

x con y=1 Posición de f

( )

x conrespectoa A.H.

100 1'02 1'02>1 f

( )

x porencimadela A.H.

100

− 0'98 0'98<1 f

( )

x por debajodela A.H.

No puede haber A.O.: Pues la función tiene un A.H.

Ejercicio2.

( )

1 2 2

− + =

x x x g

A.V: Calculamos el valor de x que anula al denominador, que es: x=1 (posible A.V) Comprobamos si lo es o no, calculando el límite en ese punto:

( )

= ∉

( )

±∞

− + =

x R

x x

g

x

x 0

3 1

2 lim lim

2

1 1

(18)

Y la posición relativa de la gráfica de la función respecto de x=0se estudia calculando los límites laterales:

( )

( )

=+∞ + = −∞ = − = = → = → + − 0 3 lim 0 3 lim 1 ' 1 1 9 ' 0 1 x x x x x g x g

A.H:

( )

=

− + ∞ ± = − + = − + = − + = ±∞ → ±∞ → ∞ ± ∞ + ±∞ → ±∞

1 0

0 1 1 2 lim 1 2 lim 1 2 lim lim 2 2 x x x x x x x x x x x x g x x x

x ±∞∉R

es horizontal asíntotas tiene no f

A.O.: y=mx+n Con m y n ∈R, Que se calculan de la forma siguiente:

( )

= − + = − + = − + = − + = − + = = ±∞ → ±∞ → ∞ + ∞ + ±∞ → ±∞ → ±∞

1 0

0 1 1 1 2 1 lim 2 lim 2 lim 1 2 lim lim 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x g m x x x x

x 1∈R

m=1

( )

(

)

( ) ∞ ± ∞ ± ±∞ → ±∞ → ∞ ± − ∞ ± ±∞ → ±∞ → − = + =       − + − + =       − − + = − = 1 2 lim 1 2 lim 1 2 lim lim 2 2 2 x x x x x x x x x mx x g n x x x x = − + = − + = − + = ±∞ → ±∞

1 0

0 1 1 1 2 1 lim 1 2 lim x x x x x x x x x

x 1∈R

n=1

Luego la función posee una asíntota oblicua de ecuación: y=x+1 Si queremos conocer la posición relativa de la Gráf

( )

f respecto de la A.O.:

x g

( )

x yA.O. Comparacióng

( )

x con yA.O.

100 101'03 101 g

( )

x por encimadela A.O.

100

− −99'03 −99 g

( )

x por debajodela A.O.

Ejercicio 3. h

( )

x = x2 −1

A.V: Notiene A.V., pues el denominador es el 1 y no se puede anular.

A.H: Calculamos el

( )

= − =

±∞ → ±∞

→ lim 1

limh x x2

x

x +∞∉R Nohay A.H.

(19)

( )

            ∈ − = − − = − − ∈ = − = − = − = − = − = = +∞ → −∞ → +∞ → +∞ → ±∞ → ∞ ± ∞ + ±∞ → ±∞ → R x x x x x x R x x x x x x x x x x x x x x h m x x x x x x x 1 1 1 1 lim 1 lim 1 1 0 1 1 1 1 lim 1 lim 1 lim 1 lim lim 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Para:m=1⇒

(

)

(

) (

)

1 0

1 1 lim 1 1 lim 1 1 1 lim 1 lim 2 2 2 2 2 2 2 2 = ∞ + ∞ + − = + − − = + − − − = + − + + ⋅ − − = − − = +∞ → +∞ → +∞ → ∞ − ∞ + +∞

x x x x

x x x x x x x x x x n x x x x

Y la asíntota oblicua tiene de ecuación: y=x

Para:m=−1⇒

(

)

(

) (

)

1 0

1 1 lim 1 1 lim 1 1 1 lim 1 lim 2 2 2 2 2 2 2 2 = ∞ + ∞ + − = − − − = − − − − = − − − + ⋅ + − = + − = −∞ → −∞ → −∞ → ∞ − ∞ + −∞

x x x x

x x x x x x x x x x n x x x x

Y la asíntota oblicua tiene de ecuación: y=−x

Como vemos tiene dos A.O. :

   − = = x y izqda la Por x y dcha la Por : :

Y la posición relativa de la Gráf

( )

h respecto de ellas:

x h

( )

x yA.O. Comparaciónh

( )

x con yA.O.

100 99'99 100 h

( )

x por debajodela A.O.

100

− 99'99 100 h

( )

x por debajodela A.O.

Ejercicio 4.

( )

      − ≥ − − < + = 2 1 2 2 2 x si x x x si x x k

A.V: Calculamos los valores de x que anulan a los denominadores:

   = − = 1 2 x x

que son las posibles A.V. de la función.

(20)

( )

( )

2

1 2

2 1 lim lim

0 4 2 2 lim lim

2 2

2 2

= − = − =

∉ +∞ = − − = + =

+ +

− −

− → −

− → −

x x x

k

R x

x k

x x

x x

    

x=−2es A.V.

( )

= ∉

( )

±∞

− =

x R

x x

k

x

x 0

1 1 lim lim

1 1

x=1 es A.V.

Y la posición relativa de la gráfica de la función respecto de x=1se estudia calculando los límites

laterales:

( )

( )

=+∞

+ =

−∞ = − =

= →

= →

+ −

0 1 lim

0 1 lim

1 ' 1 1

9 ' 0 1

x x

x x

x k

x k

      

A.H: Calculamos el

( )

        

= ∞ − = +

= − = − =

− =

−∞ →

+∞ → ∞ +

∞ + +∞ → ±∞

0 2 2 2 lim

1 0 1

1 1 lim 1 lim lim

x

x x x

x x

x x

x k

x

x x

x

  

  

 

⇒   

= =

0 : .

.

1 : .

.

y izqda la por H A

y dcha la por H A

La posición relativa de la Gráf

( )

k respecto de ellas:

x k

( )

x Comparaciónk

( )

x con A.H Posicióndek

( )

x conrespectoa A.H.

100 1'01 1'01>1 k

( )

x por encimadela A.H.

100

− −0'02 −0'02<0 k

( )

x por debajodela A.H.

Observación: El estudio de la posición relativa de la Gráf de cada función respecto de sus

asíntotas no es riguroso, en cuanto que damos a x un solo valor (100 ó -100) que no tiene por qué

ser en valor absoluto suficientemente alto. Pero en la mayoría de las funciones que trabajaremos en el curso, nos suele ayudar y dar una idea clara de cómo se posiciona la gráfica de la función. En cualquier caso, podemos prescindir de dicho estudio y sustituirlo por la utilización del resto de las propiedades que tenga la gráfica de la función, encajándolas hasta hacer un esbozo

Figure

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