Tema 7. Derivadas y Aplicaciones SOLUCIONES

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Tema 7. Derivadas y Aplicaciones

1oBachillerato B. Matemáticas Aplicadas a las CCSS

SOLUCIONES

1. Calcula, utilizando la definición, la derivada de la función f(x) =x2 x;en x=0:

Solución. Debemos obtener el límite de la tasa de variación media, cuando x!0; es decir, la tasa de variación instantánea en x=0:Procedemos a ello:

lim

x!0

f(x) f(0)

x 0 =xlim!0

x2 x 0

x 0 =xlim!0 x2 x

x =xlim!0

x(x 1)

x =xlim!0(x 1) =0 1= 1:

2. Calcula la función derivada de cada una de las siguientes funciones, simplificando cuanto sea posible:

(a) f(x) = x

p x 3 p

x2 (b) g(x) = ln(3x)

e2x (c) h(x) = x

2 1 3x3+5x 3

Solución. (a) Observemos en primer lugar que:

f(x) = x

p x

3

p x2 =

x x12

x23

= x

3 2

x23

=x32 2 3 =x

5 6:

En tal caso,

f0(x) =5

6x 5

6 1=5 6x

1 6 = 5

6 x16

= 5

6 p6x

(b) Calculamos directamente la derivada y simplificamos:

g0(x) =

3 3x e

2x ln(3x) 2 e2x

(e2x)2 =

e2x 1x 2 ln(3x) (e2x)2 =

1

x ln 9x 2

e2x =

1 x ln(9x2)

x e2x

(c) Derivamos como un producto:

h0(x) = (2x) 3x3+5x 3+ x2 1 3 (9x2+5) 3x3+5x 2

= 3x3+5x 2 (2x) 3x3+5x + x2 1 3 (9x2+5)

= 3x3+5x 2 6x4+10x2+27x4 12x2 15

= 3x3+5x 2 33x4 2x2 15

3. (a) Estudia la derivabilidad de la función:

f(x) = 8 > > > > < > > > > :

2x+3 si x60

x2+2x+3 si 0<x<3

x 3 si x>3

(2)

Solución. (a) La función f es claramente continua en todo su dominio,R;salvo quizás en x=0 o en x=3;

por estar definida por funciones polinómicas. Estudiaremos en primer lugar la continuidad en estos puntos, para después pasar a estudiar la derivabilidad.

x=0 . Tenemos que f(0) =2 0+3=3:Por otra parte,

lim

x!0f(x) =

8 > < > :

lim

x!0 f(x) =xlim!0 (2x+3) =3

lim

x!0+

f(x) = lim

x!0+

x2+2x+3 =3

)lim

x!0f(x) =3= f(0):

Concluimos que f es continua en x=0;por lo que tendrá sentido estudiar ahí si es derivable también (lo veremos después).

x=3 . El valor de f en este punto es f(3) =3 3=0:Además,

lim

x!3f(x) =

8 > < > :

lim

x!3 f(x) =xlim!3 ( x

2+2x+3) =0

lim

x!3+f(x) =xlim!3+(x 3) =0

)lim

x!3f(x) =0= f(3);

por lo que f también es continua en x=3:

En tal caso, razonamos que f es continua en todoR:

Pasamos ahora a estudiar la derivabilidad. A falta de conocer lo que sucede en x=0 y x=3;claramente, de nuevo, f es derivable en el resto de su dominio, con función derivada:

f0(x) =

8 > > > > < > > > > :

2 si x<0

2x+2 si 0<x<3

1 si x>3

Estudiamos la derivabilidad en x=0 y x=3:

x=0 . Observemos que:

lim

x!0 f

0(x) = lim

x!0 2=2

lim

x!0+ f

0(x) = lim

x!0+( 2x+2) =2

Concluimos en tal caso que f es derivable en x=0;y además deducimos que f0(0) =2:

x=3 . Calculamos los límites de la derivada necesarios:

lim

x!3 f

0(x) = lim

x!3 ( 2x+2) = 4

lim

x!3+ f

0(x) = lim

x!3+1=1

(3)

Por tanto, f es derivable enRnf3g. Razonamos que la función derivada de f es:

f0(x) =

8 > > > > < > > > > :

2 si x60

2x+2 si 0<x<3

1 si x>3

(b) Como f es derivable en x=0;podemos cuestionarnos por la ecuación de la recta tangente en este punto, que es:

y f(0) = f0(0)(x 0):

Del apartado anterior se razona que f(0) =3;y que f0(0) =2:Por tanto, la ecuación solicitada es:

y 3=2(x 0), y=2x+3:

Esto concluye el ejercicio.

4. Estudia la monotonía y los extremos relativos de la función f(x) = x

2

x 1:

Solución. Observemos en primer lugar que Dom(f) =Rnf1g:Además, es continua y derivable en todo su dominio (es una función racional fraccionaria), con función derivada:

f0(x) =2x(x 1) x

2 1

(x 1)2 =

x2 2x

(x 1)2 =

x(x 2) (x 1)2

Busquemos en primer lugar posibles puntos singulares (o críticos) de la función:

f0(x) =0,x(x 2)

(x 1)2 =0,x(x 2) =0,

x=0

x 2=0, x=2

Podemos pasar ya a estudiar el signo de la derivada, con lo que además de estudiar la monotonía, podremos localizar posibles extremos de la función:

( ∞;0) (0;1) (1;2) (2;+∞)

signo de f0 + +

monotonía de f % & & %

Se ha tenido en cuenta que f0( 1) = ( 1(1 1)3)2 =

3

4 >0; que f(0:5) =

0:5(0:5 2)

(0:5 1)2 = 3<0; que f(1:5) = 1:5(1:5 2)

(1:5 1)2 = 3<0; y que f(3) =

3(3 2) (3 1)2 =

3

4 >0: De la tabla obtenida, se desprende que f es estríc-tamente creciente en ( ∞;0)[(2;+∞) y es estríctamente decreciente en (0;1)[(1;2). También se deduce que f presenta un máximo relativo estricto en x=0;y el máximo vale f(0) =0. De igual forma,

f presenta un mínimo relativo estricto en x=2;y el mínimo vale f(2) = 2

2

2 1=4.

5. Los beneficios de una empresa, en miles de euros, han evolucionado en los 25 años de su exis-tencia según una función del tiempo, en años, dada por la siguiente expresión:

B(t) = 8 < :

4t si 06t610

1 5t

2+8t 20 si 10<t625

(4)

(a) Estudia la monotonía de esta función y determina en qué año fueron mayores los beneficios de esta empresa y cuál fue su beneficio máximo.

(b) Representa gráficamente esta función.

Solución. Sabemos por lo afirmado en el enunciado, que f es continua y derivable en su dominio, en cuyo caso, su función derivada es la función:

B0(t) =

8 < :

4 si 06t610

2

5t+8 si 10<t625

Para estudiar la monotonía, debemos en primer lugar empezar por buscar posibles puntos singulares de B:

Como para t2[0;10]la función derivada es y=4;es obvio que de aquí no se obtiene punto singular alguno. Para t2(10;25];

2

5t+8=0,t=20;

por lo que se obtiene un punto singular, pues t =202(10;25]:Con estos datos procedemos ya a estudiar la monotonía:

(0;10) (10;20) (20;25)

signo de B0 + +

monotonía de B % % &

Hemos tenido en cuenta, en la tabla anterior, que B0(1) =4>0; que B0(11) = 25 11+8= 185 >0; y que B0(21) = 25 21+8= 52 <0:Por tanto,B es estríctamente creciente en el intervalo (0;20); y es estríctamente decreciente en el intervalo(20;25). En tal caso,B presenta un máximo absoluto en t=20;

es decir, el vigésimo año. El máximo vale B(20) = 15202+8 20 20=60 mil euros.

(b) Para representar la función B; debemos tener en cuenta que está determinada por una función lineal

y=4t;y por una función cuadrática y= 15t2+8t 20. Para la función lineal determinaremos dos valores particulares de la función, los determinados por los extremos del intervalo donde está definida:

x 0 10

y 0 40

Para la función cuadrática, obtendremos los puntos de corte con los ejes, como referencia global en la representación, el vértice de la parábola (punto extremo de la función), y algunos valores particulares de la función.

Puntos de corte. Eje OX :

1 5t

2+8t 20=0

,t2 40t+100=0

t= 40

p

1600 400

2 =

40 p1200 2

40 20p3

2 =20 10

p

3%

&

37:32 2:68

Por tanto, tenemos dos puntos de corte de coordenadas(37:32;0)y (2:68;0); puntos que no apare-cerán en la gráfica.

Eje OY : el punto (0;B(0)) = (0; 20); punto que tampoco aparecerá en la gráfica final. El vértice de la parábola, según lo estudiado en el apartado anterior, es el punto (20;60): Algunos valores particulares añadidos de B son:

(5)

Figure

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