Peraza Garate Silvano U2 pdf

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Silvano Peraza Garate Página 1

Instituto Tecnológico de Tijuana

Subdirección académica

Departamento de sistemas y computación

Agosto-Diciembre 2013

Tecnologías de la Información y Comunicaciones

Álgebra Lineal

Serie: 6TI3A

Investigación unidad 1

Peraza Garate Silvano 12211515

Bermúdez Jimenez María Eugenia

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Silvano Peraza Garate Página 2

Índice

2.1 Definición de una matriz………3

2.2 Operaciones con matrices……….7

2.3 Clasificación de matrices………...9

2.4 Transformaciones elementales por renglón……….11

2.5 Calculó de la matriz inversa………13

2.6 Definición de determinante de una matriz……….15

2.7 Propiedades de los determinantes……….18

2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta………..20

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Silvano Peraza Garate Página 3

Unidad 2 Matrices y determinantes

2.1 Definición de matriz

El estudio de vectores y matrices es la médula del álgebra lineal. El estudio de vectores comenzó esencialmente con el trabajo del gran matemático irlandés sir William Hamilton (1805-1865). Su deseo de encontrar una forma de representar un cierto tipo de objetos en el plano y el espacio lo llevó a descubrir lo que él llamó cuaterniones. Esta noción condujo al desarrollo de lo que ahora se conoce como vectores. A lo largo de toda su vida y el resto del siglo XIX hubo un debate considerable sobre la utilidad de los cuaterniones y de los vectores. Al final del siglo el gran físico inglés Lord Kelvin escribió que los cuaterniones, aun cuando son bellamente ingeniosos, han sido un mal peculiar para todos aquellos que los han manejado de alguna manera y los vectores…nunca han sido de menor utilidad para ninguna criatura. Pero Kelvin estaba equivocado. En la actualidad casi todas las ramas de la física clásica y moderna se representan mediante el lenguaje de vectores. Los vectores también se usan, cada vez más, en las ciencias biológicas y sociales. [4]

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m ð n. [4]

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B,..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b,... [4]

Ejemplo:

Donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus

CLASES DE MATRICES

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Silvano Peraza Garate Página 4 =Matrices cuadradas =

Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada. Ejemplo: Sean las matrices. [4]

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

=Matriz identidad=

Sea A = (ai j) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22,..., ann. La traza de A, escrito trA, es la suma de los elementos diagonales. [4]

La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A. [4]

A· I = I ·A = A.

=Matrices triangulares=

Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las

matrices son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4. [4]

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Silvano Peraza Garate Página 5 Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ..., dnn ). Por ejemplo,

son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1). [4]

=Traspuesta de una matriz=

La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se

denota por AT. Así, la traspuesta de

En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m ð n, entonces AT = (aTij) es la matriz n ð m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades: [4]

1. (A + B)T = AT + BT. 2. (AT)T = A.

3. (kA)T = kAT (si k es un escalar). 4. (AB)T = BTAT.

=Matrices simétricas=

Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT = -A.

Ejemplo: Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica. Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica. [4]

=Matrices ortogonales=

Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT. [4]

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria:

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Silvano Peraza Garate Página 6 =Matrices normales=

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.

Ejemplo:

=Matriz numérica=

Conjunto de números colocados en filas y en columnas. [4]

=Matriz de orden (m,n)=

Conjunto de números reales, dispuestos en filas m, i en columnas n. Cada uno de los números que consta la matriz es un elemento, que se distingue entre los otros, por su posición. [4]

=Subíndices=

Cada elemento tiene unos subíndices que sirven para indicar su posición dentro de la matriz. El primer indica la fila, y el segunda indica la columna. [4]

=Orden de la matriz=

El número de filas y columnas de una matriz determina el orden de la matriz. El orden de la matriz está determinado por un par de números naturales; m y n. [4]

Las filas son los números dispuestos en m horizontales. En el ejemplo, la primera fila estaría formada por los números [ 1 2 3 ]. [4]

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Silvano Peraza Garate Página 7 Una matriz de orden (m,n) es el conjunto de números dispuestos en m filas y n columnas.

Siguiendo el mismo ejemplo, vemos que es una matriz 4x3. Se clasifica así porque la matriz contiene 4 filas y 3 columnas. [4]

Si queremos señalar un elemento de la matriz, estos se distinguen por su posición, la cual queda definida por su fila y su columna.

Por ejemplo, si queremos dar la posición del número 7 (figura 1.1), sería de la siguiente forma: am,n es a2,3; m indica la fila en la cual se encuentra el número. Pasa exactamente lo mismo n, que indica la columna en la que se encuentra. [4]

2.2 Operaciones con matrices.

*Suma*

Las matrices se pueden sumar y restar entre sí, con la condición que sean del mismo orden. La suma se obtiene sumando los elementos de dos matrices que pertenecen a la misma fila y a la misma columna. Dada las matrices A y B del mismo orden, la matriz sumante se obtiene sumando cada término de A correspondiente en B: [3]

La resta al igual que la suma se realiza de la misma manera y de igual orden. [3]

=Propiedades de la suma=

 Asociativa: (A+B)+C = A + (B+C)

 Conmutativa: A + B= B + A

 Elemento neutro: A + 0 = A

 Elemento simétrico: A - B = A + ( - B )

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Silvano Peraza Garate Página 8 Con un nombre real k y la matriz A de orden (m,n), definimos el producto de K por A el producto de cada elemento que les forma cada uno. Igual que la siguiente forma:

cuando K=2

=Propiedades del producto escalar=

 k ( A + B ) = kA + kB

 ( k + h )A = kA + hA

 k ( hA) = ( kh ) A

 1A = A

Otro ejemplo de multiplicación:

La multiplicación de este tipo de matrices se hace, renglón por columna, por ejemplo se multiplica el renglón 1, por la columna 1.

A11= (1*4)+ (2*0)+ (4*2)=12

A12= (1*1)+ (2*-1)+ (4*7)=27

A13= (1*4)+ (2*3)+ (4*5)=30

A14= (1*3)+ (2*1)+ (4*2)=13

Así continua con todos los renglones y las columnas.

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Silvano Peraza Garate Página 9

2.3 Clasificación de matrices

*Triangular superior*

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal

principal son ceros. [3]

*Triangular inferior*

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal

principal son ceros. [3]

*Diagonal*

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la

diagonal principal son nulos. [3]

*Escalar*

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal

principal son iguales. [3]

*Identidad*

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal

principal son iguales a 1. [4] *Potencia*

Se llama potencia k-ésima de una matriz cuadrada A, donde k OE Õ, un entero positivo, al producto de A por sí misma, repetido k veces. [4]

Ak =A⋅A⋅A⋅...k veces ... ⋅A

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Silvano Peraza Garate Página 10

A0 = I

*Traspuesta*

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt (α ·A)t = α· At (A · B)t = Bt · At

*Simétrica*

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At. [3]

*Antisimétrica*

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At. [3]

*Compleja*

Sus elementos son números complejos aij e ¬.[3]

*Conjugada*

Matriz conjugada de una matriz A Aquella que se obtiene sustituyendo cada elemento por su complejo conjugado (igual parte real, pero la parte imaginaria cambiada de signo). [3]

*Hermitiana o hermitica*

Una matriz hermitiana (o hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-j-ésima columna, para todos los índices i y j:

o, escrita con la traspuesta conjugada A*: Por ejemplo,

Es una matriz hermítica. [3]

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Silvano Peraza Garate Página 11 una Matriz antihermitiana es una matriz cuadrada cuya traspuesta conjugada es menos la matriz. Esto es si satisface a la relación:

A * = -A o en su forma componente, si (A = ai,j): Para todas las i y las j. [3]

*Ortogonal*

Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1. [3]

2.4 Transformaciones elementales por renglón

La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. En concreto, siempre será posible conseguir una matriz escalonada, en el sentido que definimos a continuación. [1]

Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los n´umeros de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer número distinto de cero de F contando de izquierda a derecha. [1]

Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes propiedades:

1. Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.

2. El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente más a la derecha que el pivote de la fila de encima. [1]

Por ejemplo, entre las matrices:

A no es escalonada, mientras que B y C si lo son. [1]

Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg (E), como el número de filas no nulas de E. [1]

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Silvano Peraza Garate Página 12 La siguiente cuestión que abordaremos es la definición de rango para una matriz cualquiera que no esté escalonada. La idea será la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante las llamadas transformaciones elementales por filas

que describimos a continuación. [1]

Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son tres: [1]

1. Intercambiar la posición de dos filas.

2. Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.

3. Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera.

Nota: Análogamente podríamos hacerlo todo por columnas; sin embargo, son las transformaciones por filas las que son importantes en los sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos después. [1]

El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada. [1]

*Teorema*

A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E. [1]

Veamos en un ejemplo cómo se hace. Obsérvese que, primero, hacemos que la componente (1,1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la componente

(2,2), y así sucesivamente. [1]

El teorema anterior nos permite hacer una definición importante:

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Silvano Peraza Garate Página 13 Además, el rango es cero si y sólo si A = 0. En nuestro ejemplo de antes, el rango es 3. [1]

2.5 Calculó de la matriz inversa

Sabemos ya multiplicar matrices y hemos visto algunas de las propiedades de esta operación. Recordemos, en primer lugar, que no siempre es posible efectuar la multiplicación de dos matrices, y en segundo lugar, que aunque sea posible hacer esta multiplicación, en general no es conmutativo, es decir A·B es distinto de B*A. [4]

En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B, es claro que podemos efectuar los productos A·B y B·A, que darán como resultado otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes serán, en general, distintas. [4]

Sabemos también que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad In. Por analogía con el caso de los números reales, podemos plantearnos la siguiente cuestión: Si tenemos un número real, por ejemplo el 2, podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 para el producto, es decir un número real x tal que 2·x = 1, el producto de 2 por x sea igual al elemento neutro, el 1. [4]

Evidentemente, en el caso de los números reales es bien fácil despejar x para obtener, en nuestro caso, que x =12, es decir, el inverso de un número real es otro número que multiplicado por ´el da el elemento neutro, el 1. [4]

Todo número real, salvo el 0, tiene inverso. [4]

Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices, tal que A ・ X = In es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In. Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los números reales: [4]

1. No podemos “despejar” la matriz X del modo X = In A, porque no hemos definido la división de matrices. [4]

2. No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por analogía con los números). [4]

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Silvano Peraza Garate Página 14 es regular ), si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de A y representada por A−1 y tal que: A * A−1 = In y A−1 * A = In. [4]

1. Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible. [4]

2. Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es única (sólo hay una). [4] 3. La inversa del producto de 2 matrices es el producto de las inversas cambiando

el orden. [4]

4. Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa. [4]

5. Una matriz es invertible si y solo si el determinante de A es distinto de 0.

Ejemplo matriz inversa:

Sea

Primeramente antes de continuar con la solución tenemos que invertir la matriz de manera que el número 1 que tenemos quede en la posición 1,1. [4]

El primer pasó a realizar en hacer los elementos que se encuentran en la parte inferior y superior de la matriz 0, es decir convertir el 3 en 0 y convertir 4 en 0. [4]

Para eso tenemos que encontrar una ecuación que nos permita conseguir el 0 en la parte inferior de la matriz esta ecuación es: -3R1+R2, con esto decimos que multiplicaremos el renglón 1 por -3 y al resultado le sumaremos el renglón R2, quedaría de la siguiente forma: [4]

-3R1+R2

El siguiente paso es convertir el -7 en 1 buscamos una ecuación que nos funciones sin afectar el avance, esta ecuación es -1/7 R2, y se hacen las operaciones correspondientes. [4]

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Silvano Peraza Garate Página 15 Y como vemos ya tenemos la matriz inversa porque tenemos 1´s en la diagonal principal y 0 arriba y debajo de la diagonal, nuestra matriz inversa seria: [4]

El mismo método se utiliza para invertir a cualquier matriz cuadrada. [4]

2.6 Definición de determinante de una matriz

El determinante de una matriz cuadrada es un número real cuya definición exacta es bastante complicada. Solamente se puede calcular el determinante a matrices cuadradas.[4]

En cuanto a la notación, a veces el determinante se escribe con la palabra det, y otras veces se indica sustituyendo los paréntesis de la matriz por barras verticales. [4]

El determinante de una matriz determina si los sistemas son singulares o mal condicionados. En otras palabras, sirve para determinar la existencia y la unicidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales. [4]

• El determinante de una matriz es un número.

• Un determinante con valor de cero indica que se tiene un sistema singular.

• Un determinante con valor cercano a cero indica que se tiene un sistema mal condicionado. [4]

Un sistema singular es cuando en el sistema de ecuaciones se tiene a más de una ecuación con el mismo valor de la pendiente. Por ejemplo ecuaciones que representan líneas paralelas o ecuaciones que coinciden en los mismos puntos de graficación. [4]

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Silvano Peraza Garate Página 16 Ejemplo:

Encontrar la determinante:

Para poder encontrar esta determinante se hace la multiplicación cruzado y se resta con el otro. [4]

2(-3)- (4(-1))= -6- (-4)= -2

A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado

determinante de A, denotado por det (A), | A | o

(17)

Silvano Peraza Garate Página 17 La función determinante apareció por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtención de éstas. [4]

DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS

Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue:

= a11

Así, el determinante de una matriz 1 ð 1 A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det (A) = |a11| = a11. [4]

Ejemplos:

a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos det (24) = 24, det(-3) = -3, det (3x+5) = 3x+5. [4]

b)

DETERMINANTES DE ORDEN TRES

Consideremos una matriz 3 ð 3 arbitraria A = (ai j ). El determinante de A se define como sigue: [4]

a12a21a33 - a32a23a11

Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo). [4]

Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos: [4]

Ejemplo:

Calcular el valor del determinante:

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63

El determinante de la matriz 3 ð 3 A = (ai j ) puede reescribirse como:

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Silvano Peraza Garate Página 18 que es una combinación lineal de tres determinantes de orden dos, cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada. Esta combinación lineal puede indicarse de la forma siguiente: [4]

Nótese que cada matriz 2 ð 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contiene su coeficiente. [4]

Ejemplo:

Para demostrar que la propiedad anterior se cumple, trabajaremos con:

= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63

2.7 Propiedades de los determinantes

1.- |At|= |A| El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales. [4]

2.-|A|=0 Si: Posee dos líneas iguales. [4]

Todos los elementos de una línea son nulos. [4]

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Silvano Peraza Garate Página 19 F3 = F1 + F2

3.-Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. [4]

4.-Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo. [4]

5.-Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía. [4]

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Silvano Peraza Garate Página 20

7.-Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes. [4]

8.-|A•B| =|A|•|B| El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes. [4]

2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta

Primero definiremos la matriz adjunta:

La adjunta

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Silvano Peraza Garate Página 21

Cálculo de la adjunta de una matriz 3X3

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Silvano Peraza Garate Página 22

La adjunta de una matriz de 2X2

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Silvano Peraza Garate Página 23 Sea A una matriz de nxn. Entonces A es invertible si y sólo si detA≠0. Si detA≠0,

entonces

Si detA≠0, entonces se demuestra que (1/detA)(adjA) es la inversa de A multiplicándose por A y obteniendo la matriz identidad:

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Silvano Peraza Garate Página 25

2.9 Aplicación de matrices y determinantes

Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables. [2]

Ejemplo: Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio

(en euros) indicado por la tabla siguiente:

Sabiendo que en un año se venden el siguiente número de paquetes:

Resumir la información anterior en 2 matrices A y B, de tamaño respectivo 2x3 y 3x2 que recojan las ventas en un año (A) y los precios (B). [2]

Nos piden que organicemos la información anterior en dos matrices de tamaño concreto. Si nos fijamos en las tablas, es sencillo obtener las matrices:

Estas matrices se denominan matrices de información, y simplemente recogen los datos numéricos del problema en cuestión. [2]

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Silvano Peraza Garate Página 26 Estas matrices se utilizan cuando queremos trasladar la información dada por un grafo y expresar numéricamente. [2]

En Matemáticas, un grafo es una colección cualquiera de puntos conectados por líneas. Existen muchos tipos de grafos. Entre ellos, podemos destacar:

 Grafo simple: Es el grafo que no contiene ciclos, es decir, líneas que unen un punto consigo mismo, ni líneas paralelas, es decir, líneas que conectan el mismo par de puntos. [2]

 Grafo dirigido: Es el grafo que indica un sentido de recorrido de cada línea, mediante una flecha.[2]

Estos tipos de grafo pueden verse en la figura:

Relacionadas con los grafos se pueden definir algunas matrices. Entre todas ellas, nosotros nos fijaremos en la llamada matriz de adyacencia, que es aquella formada por ceros y unos exclusivamente, de tal forma que: [2]

 un 1 en el lugar (i,j) expresa la posibilidad de ir desde el punto de la fila i hasta el punto de la columna j mediante una línea que los une directamente.

 un 0 en el lugar (i,j) expresa la imposibilidad de ir al primer punto al segundo mediante una línea que los une directamente.[2]

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Silvano Peraza Garate Página 27

Bibliografía

[1]: Álgebra lineal, Fernando Hitt Espinosa

Departamento de matemática educativa, Centro de investigación y

estudios avanzados, Instituto Politécnico Nacional.

[2]: Álgebra Lineal para estudiantes de ingeniería y ciencias.

Juan Carlos Del valle Soleto, Instituto tecnológico y de estudios

superiores de monterrey, Campus Estado de México.

[3]: Álgebra Lineal, Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Matemáticas básicas

para ciencia e ingeniería.

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