Teor´ıa global de Cauchy

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Teor´ıa global de Cauchy

7.1 INTRODUCCI ´ON

Los éxitos logrados con la teor´ıa local de Cauchy invitan a ‘refinar’ las herramien-tas básicas —teorema de Cauchy, fórmula de Cauchy— para ampliar su alcance. Como, por ahora, estas herramientas funcionan en discos o, a lo sumo, en abiertos estrellados, sólo hemos averiguado propiedades de las funciones holomorfas que dependen en última instancia del comportamiento de la función en un entorno de cada punto de su dominio (propiedades de carácter local). Si queremos estudiar propiedades de carácter global, hemos de profundizar en la validez del teorema y de la fórmula de Cauchy en abiertos cualesquiera.

Con este propósito extenderemos la integración a ‘colecciones de caminos cerrados’ (ciclos), e introduciremos el concepto de ciclos homólogos respecto de un abierto. As´ı podremos obtener una versión muy general de la fórmula y del teorema de Cauchy en el teorema homológico de Cauchy, viendo además que son justamente los ciclos homólogos a 0 respecto de un abierto los que hacen nula la integral de toda función holomorfa en el abierto: en otras palabras, los ciclos más generales para los que va a ser válido el teorema de Cauchy si no imponemos restricciones al abierto. En el plano práctico, esto nos libera de la búsqueda (engorrosa a veces) de abiertos estrellados en los que plantear las integrales que debemos manejar, mirando tan sólo de conseguir abiertos respecto de los cuales el ciclo sobre el que se integra sea homólogo a 0.

Cerrando este cap´ıtulo aparece el concepto de conexión simple y diferen-tes caracterizaciones del mismo, que aclaran algunos de los comportamientos ‘anómalos’ con los que nos hemos ido tropezando y ponen de manifiesto el interés de saber en qué abiertos se anulan las integrales de todas las funciones holomor-fas sobre todos los caminos cerrados. Son, pues, estos abiertos (los simplemente conexos) los más generales en los que el teorema de Cauchy es cierto —si no queremos tener que restringir los ciclos sobre los que se integra.

Referencias b´asicas:

— Rudin, W.: An´alisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana, Madrid (1987).

— Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New York (1978).

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7.2 CICLOS. HOMOLOG´IA.

Damos una definición “ingenua” de ciclo. Para una definición más rigurosa, aunque menos intuitiva, ver Rudin, loc. cit., Def. 10.34, pp. 246–247.

Definici´on 7.1. Un ciclo es una sucesi´on finita de caminos cerrados, distin-tos o repetidos, que denotaremos por = [γ1, γ2, . . . , γn], en la que no

te-nemos en cuenta el orden, de modo que dos ciclos y son iguales cuando consten de los mismos caminos, aunque aparezcan reordenados (es decir, = [γ_σ(₁₎, γ_σ(₂₎, . . . , γ_σ(_n₎] para alguna permutaci´on σ).

Denominaremos a γ1, γ2, . . ., γ_n los caminos que componen , y usaremos la notaci´onγ ∈ para indicar queγ es uno de los caminos que componen .

El soporte de un ciclo = [γ1, γ2, . . . , γ_n] es la uni´on de los soportes deγ1,

γ2, . . .,γ_n:

sop = sopγ1∪sopγ2∪ · · · ∪sopγ_n.

El soporte de un ciclo es evidentemente un conjunto compacto; por contra, no es en general conexo (ejemplo: = [γ1, γ2] donde γ1, γ2 son dos circunferencias conc´entricas distintas).

Por comodidad de lenguaje, diremos que un ciclo est´a contenido en un con-junto para indicar que el soporte del ciclo est´a contenido en el concon-junto.

Definici´on 7.2. Dado un ciclo = [γ1, γ2, . . . , γ_n], el ciclo opuesto−es el ciclo obtenido tomando los opuestos de los caminos que componen:

− = [−γ1,−γ2, . . . ,−γn].

La uni´on o suma de dos ciclos = [γ₁, γ₂, . . . , γ_m], = [γ₁, γ₂, . . . , γ_n], es el ciclo

∪ = [γ₁, γ₂, . . . , γ_m, γ₁, γ₂, . . . , γ_n].

Definición 7.3. Integración sobre ciclos. Dada una función f continua sobre el soporte de un ciclo = [γ1, γ2, . . . , γn], se define

f =

n

k=1

γk

f =

γ∈

γ

f.

Consecuentemente, el ´ındice de un punto a ∈/ sop respecto de es

Ind(a) = 1 2πi

d z z −a =

γ∈

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Definici´on 7.4. Sea un abierto no vac´ıo de C y un ciclo contenido en . Diremos que es hom´ologo a 0 respecto de , y pondremos

∼ 0 ()

si para todo a ∈C\es

Ind(a) = 0.

Cuando consta de un solo caminoγ, suele ponerse directamenteγ ∼ 0 (). Dos ciclos 1 y2 contenidos en se dicen hom´ologos respecto de,

1 ∼ 2 (),

si para todo a ∈C\es

Ind₁(a) =Ind₂(a) o, equivalentemente, si1 ∪(−2) ∼ 0 ().

Ejemplos. Consideremos 0 ≤r <r1 <r2 < R y sea = {z ∈ C : r < |z| < R}

el anillo de centro el origen con radio interior r y radio exterior R. Sea ahora

γ1 : t ∈ [0,2π] → γ1(t) = r₁e−i t ∈ C la circunferencia de centro el origen y radio r₁ orientada negativamente, γ2 : t ∈ [0,2π] → γ2(t) = r₂ei t ∈ C la circunferencia de centro el origen y radio r2 orientada positivamente. Entonces = [γ1, γ2] es un ciclo hom´ologo a 0 respecto de , mientras que no lo son los ciclos1 = [γ1] ni2 =[γ2]. Obviamente, el ciclo1es hom´ologo del ciclo−2 respecto de (y−1 de2).

7.3 TEOREMA HOMOL ´OGICO DE CAUCHY

Lema 7.5. Si f ∈H() y g est´a definida en×por g(z, w) =

_f₍_z₎₋ _f_(w)

z −w si w = z, f(z) si w = z entonces g es continua en ×.

Demostraci´on. Rudin, loc. cit., Lema 10.29, p. 243.

Teorema 7.6. Sea un abierto no vac´ıo del plano complejo y f ∈ H(). Sea un ciclo hom´ologo a 0 respecto de . Entonces:

para cada z ∈\sop

Ind(z)· f(z) = 1 2πi

f(w)

w−z dw (f´ormula de Cauchy) y

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Demostraci´on. Rudin, loc. cit., Teor. 10.35, pp. 248–249.

NOTA. Las demostraciones clásicas de este resultado eran bastante menos directas. En su momento fue una sorpresa que J. D. Dixon publicara en 1971 la demostración más simple y elemental que ahora se ha hecho estándar (Dixon, J. D.: A brief proof of Cauchy’s integral theorem, Proc. Amer. Math. Soc. 29 (1971), 625–626).

Corolario 7.7. (Derivadas sucesivas). Sea un abierto no vac´ıo del plano com-plejo y f ∈H(). Sea un ciclo hom´ologo a 0 respecto de . Entonces:

para cada z ∈\sop y n ∈ N es Ind(z)· f(n)(z) = n!

2πi

f(w)

(w−z)n+1 dw.

Corolario 7.8. (Homolog´ıa e integraci´on). Sea un abierto no vac´ıo del plano complejo y, 1, 2 sendos ciclos contenidos en. Entonces:

(i) es hom´ologo a 0 respecto desi y s´olo si

f(w)dw = 0 para toda funci´on f ∈ H().

(i i) 1 y2 son hom´ologos respecto desi y s´olo si

1

f(w)dw =

2

f(w)dw

para toda funci´on f ∈ H().

Demostración. Las implicaciones directas son obvias a la vista del teorema ho-mológico de Cauchy. Para obtener los rec´ıpocos, basta considerar para cada a ∈/ la función f ∈ H()definida por

f(z) = 1 z −a.

Vemos as´ı que lo que realmente importa a la hora de integrar una función holomorfa sobre un ciclo no es tanto el ciclo en cuestión como la clase de homolog´ıa asociada a él (esta idea es la que se toma como gu´ıa en la definición de ciclo que se da, por ejemplo, en Rudin, loc. cit.). En la práctica, este hecho permite muchas veces simplificar cálculos, sustituyendo un ciclo complicado o ‘poco adaptado a la función’ por otro homólogo más conveniente (o un camino cualquieraγ1 por otro

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7.4 CONEXI ´ON SIMPLE

Definici´on 7.9. Diremos que un subconjunto no vac´ıo de C es simplemente conexo si es una regi´on tal que para todo ciclo ⊆ y para toda f ∈ H()se

verifica

f(z)d z = 0.

Evidentemente, esta ´ultima condici´on equivale a que la integral de toda f ∈

H() se anule sobre cualquier camino cerrado contenido en.

Teorema 7.10. (Caracterizaciones de la conexi´on simple). Sea una regi´on de C. Las siguientes propiedades son equivalentes entre s´ı:

(1) es simplemente conexo.

(2) Todo camino cerrado γ contenido enes hom´ologo a 0 respecto de.

(3) todo ciclo contenido enes hom´ologo a 0 respecto de.

(4) (Existencia de primitivas) Toda funci´on f ∈ H() admite una primitiva en

, es decir, f = F para alguna F ∈H().

(5) (Existencia de armónica conjugada) Para toda función u armónica enexiste f ∈ H()tal que u = e f en .

(6) (Existencia de logaritmos holomorfos) Para toda funci´on f ∈ H()tal que f(z) = 0 en todo z ∈ existe g ∈H()tal que exp(g(z)) = f(z)para todo z ∈.

(7) (Existencia de ra´ıces cuadradas holomorfas) Para toda funci´on f ∈ H() tal que f(z) = 0 en todo z ∈ existe g ∈ H() tal que g2(z) = f(z) para todo z ∈ .

Demostraci´on. Las implicaciones (2) ⇒ (3) ⇒ (1) ⇒ (4) son obvias o conse-cuencia inmediata de resultados anteriores.

(4) ⇒ (5). Dada una función u armónica en construimos la función h = u_x −i u_y, que, por ser u armónica, cumple las condiciones de Cauchy-Riemann y de diferenciabilidad y por tanto es holomorfa en . Si H es una primitiva de h y U = e H , puesto que h = H = U_x −i U_y y es conexo debe existir una constante C ∈ R tal que u = U +C. La función f = H +C es entonces una función holomorfa en tal que e f = u.

(5) ⇒ (6). Dada f ∈H()tal que f(z) = 0 en todo z ∈ , pongamos u = e f ,

v = m f . Es f´acil comprobar que α = ln|f| = 1 2 ln

u2 +v2 es una función armónica en, luego existirá h ∈ H()tal que e h = α =ln|f|. Pero entonces eh = e e h = |f|, con lo cual

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y por tanto la función eh/f , holomorfa y no nula en la región, debe mantenerse constante. Si c es el valor de esa constante, g = h−Log c es una función holomorfa en para la que

eg = eh−Log c = e

h

c = f.

(6) ⇒ (7). Dada f ∈ H() tal que f(z) = 0 en todo z ∈ , si para alguna g ∈ H()es eg = f , para la funci´on holomorfa

h =e12g

es h2 = eg = f .

(7) ⇒ (2). Sea a ∈/ yγ un camino cerrado contenido en. La funci´on f ∈ H() definida por f(z) = z−a no se anula en, luego existe f₁ ∈ H()tal que f₁2 = f . Reiterando, se encuentra para cada n ∈N una f_n ∈ H()tal que f_n2 = f_n₋₁ y as´ı

(f_n)2n = f, n ∈ N. Derivando

2n (f_n)2n−1 f_n =1, n ∈ N, con lo cual

2n f

n(z)

fn(z) =

1 f(z) =

1

z −a, n ∈N, z ∈. Se sigue que para todo n ∈N ha de ser

1

2n Indγ(a) =

1 2n

1 2πi

γ

d z z −a =

1 2πi

γ

f_n(z)

f_n(z) d z = 1 2πi

fn◦γ

dw

w = Ind_f_n_◦_γ(0) ∈ Z,

lo que s´olo es posible si Ind_γ(a) =0. Observaciones.

(1) Nótese que para queno sea simplemente conexo es, pues, necesario y sufi-ciente que haya al menos una función holomorfa enque no tenga primitiva. (2) Se pueden añadir equivalencias a la lista anterior (cf. Rudin, loc. cit., Teor. 13.11, pp. 311 y ss.). De momento, daremos una descripción geométrico-topológica de los conjuntos simplemente conexos de C.

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Lema 7.11. Seaun abierto no vac´ıo de C y sea K un conjunto compacto contenido en . Existe entonces un ciclo en \ K tal que

(1) para a ∈/ se tiene Ind(a) = 0, es decir,

∼ 0 (),

(2) para cada z ∈ K

Ind(z) =1.

Demostración. Ver Rudin, loc. cit., Sección 13.4 y Teor. 13.5., pp. 304–306. Dado que Ind(z) = 1 para z ∈ K , está justificada la expresión “ rodea a K en ”; en cierto modo, podr´ıamos decir que K queda ‘en el interior’ de y el complementario deen ‘el exterior’ de. El ciclosirve como ‘contorno’ de K en diferentes contextos, no sólo en la teor´ıa de funciones holomorfas.

Teorema 7.12. Seauna regi´on de C. Entonceses simplemente conexo si y s´olo si C_∞ \es conexo en la esfera de Riemann C_∞.

Demostración. Si C_∞ \es conexo,es simplemente conexo. En efecto: tome-mos un ciclo cualquiera contenido en . El conjunto C \ sop tendrá una colección finita o numerable de componentes conexas, todas ellas acotadas excepto una que denotaremos por B. Entonces, las componentes conexas de C_∞ \ sop serán las componentes acotadas de C \ sop más B ∪ {∞}. Dado que C_∞ \ es conexo y está contenido en C_∞ \ sop, necesariamente C_∞ \ ⊆ B ∪ {∞}, o lo que es lo mismo C\ ⊆ B. Puesto que el ´ındice respecto de es 0 en B, componente no acotada de C\sop, en particular para cualquier a ∈ C\ ⊆ B se tiene Ind(a) = 0.

Para demostrar el rec´ıproco, probaremos que si C_∞ \ no es conexo, no puede ser simplemente conexo.

Supongamos, pues, que C_∞\no sea conexo, con lo que existirán conjuntos A y B no vac´ıos disjuntos cerrados en C_∞ tales que C_∞\ = A∪B. Sea∞ ∈ B: entonces A ⊆ C es acotado (en caso contrario, ∞ ∈ A = A), luego compacto, contenido en C_∞ \ B que es un abierto de C. Según el lema anterior en estas condiciones existe un ciclocontenido en(C_∞\B)\A =tal que Ind(a) = 1 para todo a ∈ A. Pero A ⊆ C\ , con lo que no es homólogo a 0 respecto de

yno es simplemente conexo.

Este resultado se traduce en lenguaje coloquial en que “los conjuntos simple-mente conexos de C son los que no tienen agujeros”, mirando como “agujeros” de

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Ejemplos.

(1) Son conjuntos simplemente conexos todos los abiertos estrellados (en parti-cular, C, C\(−∞,0], los discos, todos los abiertos convexos, . . .)

(2) ¿Puede dar el lector un ejemplo de abierto simplemente conexo no estrellado? (Hay muchos ejemplos sencillos)

(3) Aunque son abiertos conexos, no son simplemente conexos los anillos D(a;r, R) = {z ∈C : r <|z −a| < R},

a ∈C, 0 ≤ r < R ≤ +∞. En particular, C\ {0}no es simplemente conexo.

(4) En relaci´on con lo anterior, ¿qu´e puede decirse del abierto D(0;r,R)\[r, R]

si 0 <r < R < +∞?

Comentario final: homotop´ıa. No podemos tratar la conexión simple sin nom-brar al menos su caracterización más importante quizá desde el punto de vista estrictamente topológico, que se expresa en términos de homotop´ıa. El concepto de homotop´ıa se define mediante conceptos puramente topológicos, lo que permite hablar de conjuntos simplemente conexos en espacios topológicos arbitrarios.

Dado un espacio topol´ogico X , una curva en X es, como sabemos, una apli-caci´on continua de un intervalo compacto de R en X . Supongamos que tenemos dos curvasγ0yγ1, parameterizadas en el intervalo I = [0,1], cerradas (γ0(0) =γ0(1),

γ1(0) = γ1(1)). Se dice queγ0yγ1son hom´otopas si existe una aplicaci´on continua H : I × I → X tal que para s, t ∈ I cualesquiera se verifica

H(s,0) = γ0(s), H(s,1) = γ1(s), H(0,t) = H(1,t).

Intuitivamente, queγ0 yγ1 sean hom´otopas corresponde a que podamos deformar

γ0 con continuidad dentro de X para transformarla en γ1, siendoγ_t = H(·,t) las curvas intermedias en la deformaci´on.

Si toda curva cerrada γ es hom´otopa en X a una curva constante, se dice que X es simplemente conexo.