Teor´ıa global de Cauchy

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Teor´ıa global de Cauchy

7.1 INTRODUCCI ´ON

Los ´exitos logrados con la teor´ıa local de Cauchy invitan a ‘refinar’ las herramien-tas b´asicas —teorema de Cauchy, f´ormula de Cauchy— para ampliar su alcance. Como, por ahora, estas herramientas funcionan en discos o, a lo sumo, en abiertos estrellados, s´olo hemos averiguado propiedades de las funciones holomorfas que dependen en ´ultima instancia del comportamiento de la funci´on en un entorno de cada punto de su dominio (propiedades de car´acter local). Si queremos estudiar propiedades de car´acter global, hemos de profundizar en la validez del teorema y de la f´ormula de Cauchy en abiertos cualesquiera.

Con este prop´osito extenderemos la integraci´on a ‘colecciones de caminos cerrados’ (ciclos), e introduciremos el concepto de ciclos hom´ologos respecto de un abierto. As´ı podremos obtener una versi´on muy general de la f´ormula y del teorema de Cauchy en el teorema homol´ogico de Cauchy, viendo adem´as que son justamente los ciclos hom´ologos a 0 respecto de un abierto los que hacen nula la integral de toda funci´on holomorfa en el abierto: en otras palabras, los ciclos m´as generales para los que va a ser v´alido el teorema de Cauchy si no imponemos restricciones al abierto. En el plano pr´actico, esto nos libera de la b´usqueda (engorrosa a veces) de abiertos estrellados en los que plantear las integrales que debemos manejar, mirando tan s´olo de conseguir abiertos respecto de los cuales el ciclo sobre el que se integra sea hom´ologo a 0.

Cerrando este cap´ıtulo aparece el concepto de conexi´on simple y diferen-tes caracterizaciones del mismo, que aclaran algunos de los comportamientos ‘an´omalos’ con los que nos hemos ido tropezando y ponen de manifiesto el inter´es de saber en qu´e abiertos se anulan las integrales de todas las funciones holomor-fas sobre todos los caminos cerrados. Son, pues, estos abiertos (los simplemente conexos) los m´as generales en los que el teorema de Cauchy es cierto —si no queremos tener que restringir los ciclos sobre los que se integra.

Referencias b´asicas:

— Rudin, W.: An´alisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana, Madrid (1987).

— Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New York (1978).

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7.2 CICLOS. HOMOLOG´IA.

Damos una definici´on “ingenua” de ciclo. Para una definici´on m´as rigurosa, aunque menos intuitiva, ver Rudin, loc. cit., Def. 10.34, pp. 246–247.

Definici´on 7.1. Un ciclo es una sucesi´on finita de caminos cerrados, distin-tos o repetidos, que denotaremos por = [γ1, γ2, . . . , γn], en la que no

te-nemos en cuenta el orden, de modo que dos ciclos y son iguales cuando consten de los mismos caminos, aunque aparezcan reordenados (es decir, = [γσ(1), γσ(2), . . . , γσ(n)] para alguna permutaci´on σ).

Denominaremos a γ1, γ2, . . ., γn los caminos que componen , y usaremos la notaci´onγ para indicar queγ es uno de los caminos que componen .

El soporte de un ciclo = [γ1, γ2, . . . , γn] es la uni´on de los soportes deγ1,

γ2, . . .,γn:

sop = sopγ1sopγ2∪ · · · ∪sopγn.

El soporte de un ciclo es evidentemente un conjunto compacto; por contra, no es en general conexo (ejemplo: = [γ1, γ2] donde γ1, γ2 son dos circunferencias conc´entricas distintas).

Por comodidad de lenguaje, diremos que un ciclo est´a contenido en un con-junto para indicar que el soporte del ciclo est´a contenido en el concon-junto.

Definici´on 7.2. Dado un ciclo = [γ1, γ2, . . . , γn], el ciclo opuestoes el ciclo obtenido tomando los opuestos de los caminos que componen:

− = [−γ1,−γ2, . . . ,−γn].

La uni´on o suma de dos ciclos = [γ1, γ2, . . . , γm], = [γ1, γ2, . . . , γn], es el ciclo

= [γ1, γ2, . . . , γm, γ1, γ2, . . . , γn].

Definici´on 7.3. Integraci´on sobre ciclos. Dada una funci´on f continua sobre el soporte de un ciclo = [γ1, γ2, . . . , γn], se define

f =

n

k=1

γk

f =

γ

γ

f.

Consecuentemente, el ´ındice de un punto a/ sop respecto de es

Ind(a) = 1 2πi

d z za =

γ

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Definici´on 7.4. Sea un abierto no vac´ıo de C y un ciclo contenido en . Diremos que es hom´ologo a 0 respecto de , y pondremos

∼ 0 ()

si para todo aC\es

Ind(a) = 0.

Cuando consta de un solo caminoγ, suele ponerse directamenteγ ∼ 0 (). Dos ciclos 1 y2 contenidos en se dicen hom´ologos respecto de,

12 (),

si para todo aC\es

Ind1(a) =Ind2(a) o, equivalentemente, si1(−2) ∼ 0 ().

Ejemplos. Consideremos 0r <r1 <r2 < R y sea = {zC : r < |z| < R}

el anillo de centro el origen con radio interior r y radio exterior R. Sea ahora

γ1 : t ∈ [0,2π] → γ1(t) = r1ei tC la circunferencia de centro el origen y radio r1 orientada negativamente, γ2 : t ∈ [0,2π] → γ2(t) = r2ei tC la circunferencia de centro el origen y radio r2 orientada positivamente. Entonces = [γ1, γ2] es un ciclo hom´ologo a 0 respecto de , mientras que no lo son los ciclos1 = [γ1] ni2 =[γ2]. Obviamente, el ciclo1es hom´ologo del ciclo−2 respecto de (y−1 de2).

7.3 TEOREMA HOMOL ´OGICO DE CAUCHY

Lema 7.5. Si fH() y g est´a definida en×por g(z, w) =

f(z) f(w)

zw si w = z, f(z) si w = z entonces g es continua en ×.

Demostraci´on. Rudin, loc. cit., Lema 10.29, p. 243.

Teorema 7.6. Sea un abierto no vac´ıo del plano complejo y fH(). Sea un ciclo hom´ologo a 0 respecto de . Entonces:

para cada z\sop

Ind(z)· f(z) = 1 2πi

f(w)

wz dw (f´ormula de Cauchy) y

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Demostraci´on. Rudin, loc. cit., Teor. 10.35, pp. 248–249.

NOTA. Las demostraciones cl´asicas de este resultado eran bastante menos directas. En su momento fue una sorpresa que J. D. Dixon publicara en 1971 la demostraci´on m´as simple y elemental que ahora se ha hecho est´andar (Dixon, J. D.: A brief proof of Cauchy’s integral theorem, Proc. Amer. Math. Soc. 29 (1971), 625–626).

Corolario 7.7. (Derivadas sucesivas). Sea un abierto no vac´ıo del plano com-plejo y fH(). Sea un ciclo hom´ologo a 0 respecto de . Entonces:

para cada z\sop y nN es Ind(z)· f(n)(z) = n!

2πi

f(w)

(wz)n+1 dw.

Corolario 7.8. (Homolog´ıa e integraci´on). Sea un abierto no vac´ıo del plano complejo y, 1, 2 sendos ciclos contenidos en. Entonces:

(i) es hom´ologo a 0 respecto desi y s´olo si

f(w)dw = 0 para toda funci´on fH().

(i i) 1 y2 son hom´ologos respecto desi y s´olo si

1

f(w)dw =

2

f(w)dw

para toda funci´on fH().

Demostraci´on. Las implicaciones directas son obvias a la vista del teorema ho-mol´ogico de Cauchy. Para obtener los rec´ıpocos, basta considerar para cada a/ la funci´on fH()definida por

f(z) = 1 za.

Vemos as´ı que lo que realmente importa a la hora de integrar una funci´on holomorfa sobre un ciclo no es tanto el ciclo en cuesti´on como la clase de homolog´ıa asociada a ´el (esta idea es la que se toma como gu´ıa en la definici´on de ciclo que se da, por ejemplo, en Rudin, loc. cit.). En la pr´actica, este hecho permite muchas veces simplificar c´alculos, sustituyendo un ciclo complicado o ‘poco adaptado a la funci´on’ por otro hom´ologo m´as conveniente (o un camino cualquieraγ1 por otro

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7.4 CONEXI ´ON SIMPLE

Definici´on 7.9. Diremos que un subconjunto no vac´ıo de C es simplemente conexo si es una regi´on tal que para todo cicloy para toda fH()se

verifica

f(z)d z = 0.

Evidentemente, esta ´ultima condici´on equivale a que la integral de toda f

H() se anule sobre cualquier camino cerrado contenido en.

Teorema 7.10. (Caracterizaciones de la conexi´on simple). Sea una regi´on de C. Las siguientes propiedades son equivalentes entre s´ı:

(1) es simplemente conexo.

(2) Todo camino cerrado γ contenido enes hom´ologo a 0 respecto de.

(3) todo ciclo contenido enes hom´ologo a 0 respecto de.

(4) (Existencia de primitivas) Toda funci´on fH() admite una primitiva en

, es decir, f = F para alguna FH().

(5) (Existencia de arm´onica conjugada) Para toda funci´on u arm´onica enexiste fH()tal que u = e f en .

(6) (Existencia de logaritmos holomorfos) Para toda funci´on fH()tal que f(z) = 0 en todo zexiste gH()tal que exp(g(z)) = f(z)para todo z.

(7) (Existencia de ra´ıces cuadradas holomorfas) Para toda funci´on fH() tal que f(z) = 0 en todo zexiste gH() tal que g2(z) = f(z) para todo z.

Demostraci´on. Las implicaciones (2)(3)(1)(4) son obvias o conse-cuencia inmediata de resultados anteriores.

(4)(5). Dada una funci´on u arm´onica en construimos la funci´on h = uxi uy, que, por ser u arm´onica, cumple las condiciones de Cauchy-Riemann y de diferenciabilidad y por tanto es holomorfa en . Si H es una primitiva de h y U = e H , puesto que h = H = Uxi Uy y es conexo debe existir una constante CR tal que u = U +C. La funci´on f = H +C es entonces una funci´on holomorfa en tal que e f = u.

(5)(6). Dada fH()tal que f(z) = 0 en todo z, pongamos u = e f ,

v = m f . Es f´acil comprobar que α = ln|f| = 1 2 ln

u2 +v2 es una funci´on arm´onica en, luego existir´a hH()tal que e h = α =ln|f|. Pero entonces eh = e e h = |f|, con lo cual

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y por tanto la funci´on eh/f , holomorfa y no nula en la regi´on, debe mantenerse constante. Si c es el valor de esa constante, g = hLog c es una funci´on holomorfa en para la que

eg = ehLog c = e

h

c = f.

(6)(7). Dada fH() tal que f(z) = 0 en todo z, si para alguna gH()es eg = f , para la funci´on holomorfa

h =e12g

es h2 = eg = f .

(7)(2). Sea a/ yγ un camino cerrado contenido en. La funci´on fH() definida por f(z) = za no se anula en, luego existe f1H()tal que f12 = f . Reiterando, se encuentra para cada nN una fnH()tal que fn2 = fn1 y as´ı

(fn)2n = f, nN. Derivando

2n (fn)2n−1 fn =1, nN, con lo cual

2n f

n(z)

fn(z) =

1 f(z) =

1

za, nN, z. Se sigue que para todo nN ha de ser

1

2n Indγ(a) =

1 2n

1 2πi

γ

d z za =

1 2πi

γ

fn(z)

fn(z) d z = 1 2πi

fnγ

dw

w = Indfnγ(0)Z,

lo que s´olo es posible si Indγ(a) =0. Observaciones.

(1) N´otese que para queno sea simplemente conexo es, pues, necesario y sufi-ciente que haya al menos una funci´on holomorfa enque no tenga primitiva. (2) Se pueden a˜nadir equivalencias a la lista anterior (cf. Rudin, loc. cit., Teor. 13.11, pp. 311 y ss.). De momento, daremos una descripci´on geom´etrico-topol´ogica de los conjuntos simplemente conexos de C.

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Lema 7.11. Seaun abierto no vac´ıo de C y sea K un conjunto compacto contenido en . Existe entonces un ciclo en \ K tal que

(1) para a/ se tiene Ind(a) = 0, es decir,

∼ 0 (),

(2) para cada zK

Ind(z) =1.

Demostraci´on. Ver Rudin, loc. cit., Secci´on 13.4 y Teor. 13.5., pp. 304–306. Dado que Ind(z) = 1 para zK , est´a justificada la expresi´on “ rodea a K en ”; en cierto modo, podr´ıamos decir que K queda ‘en el interior’ de y el complementario deen ‘el exterior’ de. El ciclosirve como ‘contorno’ de K en diferentes contextos, no s´olo en la teor´ıa de funciones holomorfas.

Teorema 7.12. Seauna regi´on de C. Entonceses simplemente conexo si y s´olo si C \es conexo en la esfera de Riemann C.

Demostraci´on. Si C \es conexo,es simplemente conexo. En efecto: tome-mos un ciclo cualquiera contenido en . El conjunto C \ sop tendr´a una colecci´on finita o numerable de componentes conexas, todas ellas acotadas excepto una que denotaremos por B. Entonces, las componentes conexas de C \ sop ser´an las componentes acotadas de C \ sop m´as B ∪ {∞}. Dado que C \ es conexo y est´a contenido en C \ sop, necesariamente C \B ∪ {∞}, o lo que es lo mismo C\ B. Puesto que el ´ındice respecto de es 0 en B, componente no acotada de C\sop, en particular para cualquier aC\B se tiene Ind(a) = 0.

Para demostrar el rec´ıproco, probaremos que si C \ no es conexo, no puede ser simplemente conexo.

Supongamos, pues, que C\no sea conexo, con lo que existir´an conjuntos A y B no vac´ıos disjuntos cerrados en C tales que C\ = AB. Sea∞ ∈ B: entonces AC es acotado (en caso contrario, ∞ ∈ A = A), luego compacto, contenido en C \ B que es un abierto de C. Seg´un el lema anterior en estas condiciones existe un ciclocontenido en(C\B)\A =tal que Ind(a) = 1 para todo aA. Pero AC\ , con lo que no es hom´ologo a 0 respecto de

yno es simplemente conexo.

Este resultado se traduce en lenguaje coloquial en que “los conjuntos simple-mente conexos de C son los que no tienen agujeros”, mirando como “agujeros” de

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Ejemplos.

(1) Son conjuntos simplemente conexos todos los abiertos estrellados (en parti-cular, C, C\(−∞,0], los discos, todos los abiertos convexos, . . .)

(2) ¿Puede dar el lector un ejemplo de abierto simplemente conexo no estrellado? (Hay muchos ejemplos sencillos)

(3) Aunque son abiertos conexos, no son simplemente conexos los anillos D(a;r, R) = {zC : r <|za| < R},

aC, 0r < R ≤ +∞. En particular, C\ {0}no es simplemente conexo.

(4) En relaci´on con lo anterior, ¿qu´e puede decirse del abierto D(0;r,R)\[r, R]

si 0 <r < R < +∞?

Comentario final: homotop´ıa. No podemos tratar la conexi´on simple sin nom-brar al menos su caracterizaci´on m´as importante quiz´a desde el punto de vista estrictamente topol´ogico, que se expresa en t´erminos de homotop´ıa. El concepto de homotop´ıa se define mediante conceptos puramente topol´ogicos, lo que permite hablar de conjuntos simplemente conexos en espacios topol´ogicos arbitrarios.

Dado un espacio topol´ogico X , una curva en X es, como sabemos, una apli-caci´on continua de un intervalo compacto de R en X . Supongamos que tenemos dos curvasγ0yγ1, parameterizadas en el intervalo I = [0,1], cerradas (γ0(0) =γ0(1),

γ1(0) = γ1(1)). Se dice queγ0yγ1son hom´otopas si existe una aplicaci´on continua H : I × IX tal que para s, tI cualesquiera se verifica

H(s,0) = γ0(s), H(s,1) = γ1(s), H(0,t) = H(1,t).

Intuitivamente, queγ0 yγ1 sean hom´otopas corresponde a que podamos deformar

γ0 con continuidad dentro de X para transformarla en γ1, siendoγt = H(·,t) las curvas intermedias en la deformaci´on.

Si toda curva cerrada γ es hom´otopa en X a una curva constante, se dice que X es simplemente conexo.

Figure

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