Funciones logaritmica y exponenciales pdf

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(1)

Cap´ıtulo 7

La Funci´on Exponencial y la Funci´on

Logar´ıtmica

M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodr´ıguez S.

Instituto Tecnol´ogico de Costa Rica Escuela de Matem´atica

· · ·

(2)

Cr´editos

Primera edici´on impresa: Rosario ´Alvarez, 1984.

Edici´on LaTeX: Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´on, Mar´ıa Elena Abarca, Lisseth Angulo. y Walter Mora.

Colaboradores: Cristhian Pa´ez, Alex Borb´on, Juan Jos´e Fallas, Jeffrey Chavarr´ıa Edici´on y composici´on final: Walter Mora.

(3)

Contenido

7.1 La funci´on exponencial . . . 3

7.1.1 Representaci´on del gr´afico de la funci´on exponencial . . . 4

7.1.2 Algunas propiedades de la funci´on exponencial . . . 5

7.1.3 La funci´on exponencial de basee≈2,718281... . . . 5

7.2 La funci´on logar´ıtmica y sus propiedades . . . 6

7.2.1 Representaci´on del gr´afico de la funci´on logar´ıtmica . . . 8

7.2.2 Algunas propiedades de la funci´on logar´ıtmica . . . 9

7.2.3 La funci´on logar´ıtmica de basee (e≈2,718281) . . . 9

7.2.4 La funci´on logar´ıtmica de base 10 . . . 9

7.2.5 Propiedades de los logaritmos . . . 10

7.1

La funci´

on exponencial

En temas anteriores, hemos definido el significado de expresiones de la formaax, con “a” un n´umero real posi-tivo yx un n´umero racional, por ejemplo conocemos el significado de 20, 23, 25, 23

5, 212 , pero por el contrario

no conocemos el significado de expresiones como 23, 2π, etc. Puesto que en este cap´ıtulo nos interesa estudiar expresiones de la formaax, aceptaremos sin demostrar, que estas expresiones est´an definidas para todo n´umero real x, sia∈R, a >0.

Definici´on 1

Sea a∈R, a >0, a6= 1, se llama funci´on exponencial de base “a”, y se denota Expa, a la funci´on definida por:

Expa:R −→ ]0,+∞[

x−→ ax

Observaciones

1. De la definici´on anterior se tiene que Expa(x) =ax

2. La restricci´ona >0, es indispensable, pues sia fuera cero o un n´umero negativo, se presentar´ıan algunas expresiones no definidas enR, tales como 01, (−2)1

2, 00, etc.

(4)

3. El casoa= 1 se ha excluido debido a que en este caso se tendr´ıa 1x= 1, para cadaxR, o sea que 1x es una funci´on constante.

Ejemplos de funciones exponenciales

a.) La funci´onf definida porf(x) = 2x es la funci´on exponencial de base 2.

b.) La funci´ong definida porg(x) =

µ

1 2

x

es la funci´on exponencial de base 1 2

7.1.1

Representaci´

on del gr´

afico de la funci´

on exponencial

Ejemplo 1

Considere las funciones exponenciales definidas respectivamente por: Exp2(x), Exp1 2(x)

Realice el trazo de estas funciones.

Soluci´on

Para realizar el trazo de estas funciones debemos construir, para cada una de ellas una tabla de valores conve-niente de la manera siguiente:

x −2 −1 0 1 2

Exp2(x)

1 4

1

2 1 2 4

x −2 −1 0 1 2

Exp1

2(x) 4 2 1

1 2

(5)

7.1.2

Algunas propiedades de la funci´

on exponencial

Si f(x) =ax; a >1

1. f(x)>0, para todax∈R

2. f(0) = 1

3. f(1) =a

4. f es biyectiva.

5. f es creciente en todo su dominio.

6. Si x tiende a +∞ entoncesax tiende a +∞

7. Si x tiende a−∞ entoncesax tiende a 0

Si g(x) =ax; 0< a <1

1. g(x)>0; para todax∈R

2. g(0) = 1

3. g(1) =a

4. g es biyectiva.

5. g es decreciente en todo su dominio.

6. Six tiende a +∞ entoncesax tiende a 0.

7. Six tiende a−∞ entoncesax tiende a +∞

Nota:

Las operaciones con funciones exponenciales satisfacen las propiedades definidas para las potencias racionales.

7.1.3

La funci´

on exponencial de base

e

2

,

718281

...

Definici´on 2

La funci´on definida por:

Expe:R −→]0,+∞[, x −→ ex

Se llama funci´on exponencial de basee. Escribimos f(x) = ex o f(x) = Exp e(x)

Dado que e >1 esta funci´on posee las mismas propiedades de la funci´on exponencial de base “a >1”.

Ejercicios 1

Para cada una de las siguientes funciones exponenciales realice su gr´afica. 1. f(x) = Exp3(x)

2. h(x) =

µ

1 3

x

3. g(x) = Expe(x)

4. m(x) =ex+ 1

5. p(x) = Exp5(x) + 1

(6)

7.2

La funci´

on logar´ıtmica y sus propiedades

Como la funci´on exponencial es biyectiva, entonces existe su funci´on inversa, a esta funci´on la llamamos funci´on logar´ıtmica.

Definici´on 3

Sea a∈ R, a > 0 y a6= 1, sea f la funci´on definida por f(x) = Expa(x), la funci´on f−1, inversa def, se

llamafunci´on logar´ıtmica de basea y la denotamos “loga”. As´ı tenemos que:

Expe:R −→]0,+∞[, donde y=ax

x −→ y

entonces:

loga : ]0,+∞[−→ R, donde x= logay y −→ x

Por lo anterior podemos decir que:

Si a∈R, a >0, a6= 1, x∈R, y∈]0,+∞[

logay=x ⇐⇒ ax=y

La expresi´on logay se lee “logaritmo dey en basea

Observaciones

1. La funci´on logar´ıtmica est´a definida ´unicamente para n´umeros reales mayores que cero.

2. La base de la funci´on logar´ıtmica es un n´umero real positivo diferente de uno.

Ejemplo 2

a. 8 = 23=3 = log28

(7)

c. log 2

µ

1 2

=−1 =⇒21=1 2

d. log162 =

1

4 =(16)

1 4 = 2

Ejemplo 3

Para cada una de las siguientes expresiones, calcule el valor de la letra para que la igualdad sea verdadera.

1. log2N = 4

2. logc32 = 5

3. log3(1/9) =b

Soluci´on

1. Si log2N = 4 entonces 24=N, o sea 16 =N

2. Si logc32 = 5 entonces:

c5 = 32

(c5)15 = (32)15

c = (25)1 5

c = 2

3. Si log3(1/9) =b entonces:

3b = 1 9 3b = 32

b = −2

Ejercicios 2

(8)

1. logx1 = 0

2. logx(x2+x) = 2

3. log2(−x+ 1) = 3

4. log42 =x+ 1

5. logx+14 = 2

6. logx(2x2x) = 2

7. log2

1 4 =x 8. log8N =

−1 2 9. log8x=

1 3

10. log6x−17(x29) = 1

11. log2(x2+ 2x) =x

7.2.1

Representaci´

on del gr´

afico de la funci´

on logar´ıtmica

Ejemplo 4

Considere las funciones logar´ıtmicasf yg, definidas respectivamente por f(x) = log2x, g(x) = log1 2x

Realice el trazo de estas funciones.

Soluci´on

Para realizar el trazo de f yg debemos construir para cada una de ellas, una tabla de valores conveniente de la manera siguiente:

x 1

4 1

2 1 2 4

log2(x) −2 −1 0 1 2

x 4 2 1 1

2 1 4 log1

(9)

7.2.2

Algunas propiedades de la funci´

on logar´ıtmica

Si f(x) = logax; a >1

1. loga1 = 0, puesa0= 1

2. logaa= 1, puesa1=a

3. f es biyectiva.

4. f es creciente en todo su dominio.

5. Si xtiende a +∞entonces logaxtiende a +∞

6. Si x tiende a 0 tomando valores positivos entonces logaxtiende a−∞

Sig(x) = logax; 0< a <1

1. loga1 = 0, puesa0= 1

2. logaa= 1, puesa1=a

3. ges biyectiva.

4. ges decreciente en todo su dominio.

5. Sixtiende a +∞entonces logaxtiende a −∞

6. Si x tiende a 0 tomando valores positivos entonces logaxtiende a +∞

7.2.3

La funci´

on logar´ıtmica de base

e

(

e

2

,

718281

)

Definici´on 4

La funci´onf definida por:

f : ]0,+∞[−→ R, x −→ logex

se llama funci´on logar´ıtmica de base e, y escribimos ln(x) o sea ln(x) = logex.

Los logaritmos de base ese llaman logaritmos neperianos o logaritmos naturales.

La funci´on logar´ıtmica de base e posee las mismas propiedades de la funci´on logar´ıtmica de basea, cona >1. La expresi´on ln x se lee “logaritmo natural dex”.

7.2.4

La funci´

on logar´ıtmica de base

10

Definici´on 5

(10)

f : ]0,+∞[−→ R, x −→ log10x

se llama funci´on logar´ıtmica de base 10 y escribimos log(x) o sea log(x) = log10x. Los logaritmos de base 10 se laman logaritmos decimales.

Ejercicios 3

Considere las funciones definidas por: 1. f(x) = ln(x)

2. h(x) = log2(x+ 2)

3. p(x) = ln(−x+ 3)

4. g(x) =e−x

5. m(x) = 3x+ 1

6. q(x) = log10(13x)

Para cada una de las funciones anteriores determine:

a. Determine su m´aximo dominio real. b. Realice su trazo.

7.2.5

Propiedades de los logaritmos

Propiedad I

Sea a∈ R, a > 0 y a 6= 1, como Expa y loga son funciones mutuamente inversas entonces al calcular la composici´on de estas dos funciones se obtiene :

a. [Expaloga](x) =x, conx∈R yx >0

b. [loga◦Expa](x) =x, conx∈R

Por (a) se tiene:

x = [Expaloga](x)

= Expa[loga(x)] por definici´on Expa(x) =ax = aloga(x)

(11)

Por (b) se tiene:

x = [loga◦Expa](x)

= loga[Expa(x)] por definici´on Expa(x) =ax = logaax

Por lo tanto: logaax=x (I-b)

Ejemplo 5

a. log332= 2 (porpropiedad Ib)

b. 5log57= 7 (por propiedad I-a)

Ejemplo 6

Resuelva las siguientes ecuaciones, aplicando las propiedades I-a y I-b.

a. 32x+5= 1

b. ln[(x+ 3)(x+ 5)] = ln 15

Soluci´on

a. 32x+5= 1

Si 32x+5= 1 entonces aplicando log

3x a ambos t´erminos de la igualdad se obtiene que:

log332x+5= log 31

Como log332x+5=−2x+ 5 (por I-b) y log31 = 0, entonces:

−2x+ 5 = 0 −2x = −5

x = −5

−2

x = 5

2

As´ı el conjunto soluci´on de 32x+5= 1 es

½

5 2

(12)

b. ln[(x+ 3)(x+ 5)] = ln 15

Si ln[(x+ 3)(x+ 5)] = ln 15, entonces aplicando Expex a ambos t´erminos de la igualdad se tiene que:

eln [(x+3)(x+5)]=eln 15

Comoeln [(x+3)(x+5)] = (x+ 3)(x+ 5) yeln 15= 15 (por I-a)

Entonces: (x+ 3)(x+ 5) = 15

Por lo que:

x2+ 8x+ 15 = 15

x2+ 8x+ 1515 = 0

x2+ 8x = 0

x(x+ 8) = 0

x= 0 o x=−8

As´ı obtenemos dos posibles soluciones para la ecuaci´on propuesta; para averiguar si efectivamente son soluciones de la ecuaci´on se debe realizar la prueba en ln[(x+ 3)(x+ 5)] = ln 15 y descartar aquellos valores para lax, que no proporcionen una igualdad verdadera.

Prueba:

(i) Parax= 0, Sustituyendo:

ln [(0 + 3)(0 + 5)] = ln 15 ln (3·5) = ln 15 ln 15 = ln 15 Por lo que 0 es una soluci´on de la ecuaci´on original.

(ii) Parax=−8, Sustituyendo:

(13)

Por lo que−8 es una soluci´on de la ecuaci´on original. Por lo tanto S={0,−8}.

Observaci´on

En el proceso de resoluci´on de ecuaciones que involucren logaritmos, los valores de la inc´ognita, que se obtienen, no siempre son soluciones de la ecuaci´on original, por lo tanto para determinar el conjunto soluci´on es necesario verificar cuales de los valores obtenidos son soluciones de la ecuaci´on original.

Propiedad II

Sea a∈R, a >0, a6= 1, x∈R, y∈R

ax=ay=x=y

Demostraci´on

Si ax=ay entonces aplicando log

a a ambos miembros de la igualdad: logaax = logaay por (I-b)

x = y

Ejemplo 7

Resolver log2

µ

1 32

=x

Soluci´on

log2

µ

1 32

= x

2x = 1 32 2x = 1

25

2x = 25 Por propiedad II

x = −5

Por lo tanto S={−5}

(14)

Resolver la ecuaci´on 2 x

4 = 32

Soluci´on

2x

4 = 32

2x

22 = 25

2x−2 = 25 Por propiedad II

x−2 = 5

x = 7

Por lo tanto S={7} Propiedad III

Seana∈R, a >0, a6= 1, x∈]0,+∞[, y∈]0,+∞[

logax= logay=⇒x=y

Demostraci´on

Si logax= logay entonces aplicando Expa a ambos miembros de la igualdad:

alogax = alogay por (I-a)

x = y

Ejemplo 9

Resolver ln (x23x+ 2) = ln (x25x+ 5)

Soluci´on

ln (x23x+ 2) = ln (x25x+ 5) Por propiedad III

x23x+ 2 = x25x+ 5

2x−3 = 0 2x = 3

x = 3

(15)

ln (x23x+ 2) = ln (x25x+ 5)

Si x=3 2; ln "µ 3 2 ¶2

3·

µ 3 2 ¶ + 2 # = ln "µ 3 2 ¶2

5·

µ 3 2 ¶ + 5 # ln µ −1 4 ¶ = ln µ −1 4 ¶ Como ln µ −1 4 ¶

no est´a definido enR, entonces 3

2 no es soluci´on de la ecuaci´on. Por lo tanto S=∅

Ejercicios 4

Resuelva para x cada una de las siguientes ecuaciones. 1. 3 = 2ex

2. 7 =e−6x

3. 11 = 2 x

3 4. 5 = √rx

5 5. ex= 81

6. 3−x= 27

7. 92x= 3· 27x

8. 3x+1= 729

9. 4· 16x= 64x−1

10. 54x24x3

= 1

11. 8x−1· 2x· 1 4x−2 =

1 16 12. 125x· 1

25x−1 =

5x

Propiedad IV

Seana∈R, a >0, a6= 1, x∈]0,+∞[, y∈]0,+∞[ entonces:

loga(x·y) = logax+ logay

Demostraci´on

SeanM = logax; N= logay (i)

De M = logax se tiene queaM =x; deN= log

ay se tiene queaN =y As´ı:

x·y = aM·aN

(16)

Aplicando loga a ambos miembros de la igualdad se tiene que:

loga(x·y) = logaaM+N P or(Ib) loga(x·y) = M +N

PeroM = logax y N = logay por lo que:

loga(x·y) = logax+ logay

Ejemplo 10

Sabiendo que log 2'0,30103 y log 3'0,47712. Determine el valor de log 12

Soluci´on Como:

log 12 = log (4·3) por propiedad III = log 4 + log 3

= log(2·2) + log 3 por propiedad III = log 2 + log 2 + log 3

= 2 log 2 + log 3 = 2· 0,30103 + 0,47712 = 1,07918

Por lo tanto log 12'1,07918

Ejemplo 11

Resolver log (x−3) + log (x+ 2) = log (5x−14)

Soluci´on

log (x−3) + log (x+ 2) = log (5x−14) por propiedad IV log [(x−3)·(x+ 2)] = log (5x−14) por propiedad III

(x−3)·(x+ 2) = 5x−14

x2x65x+ 14 = 0

x26x+ 8 = 0

(17)

Prueba:log (x−3) + log (x+ 2) = log (5x−14)

a. Six= 4

log (43) + log (4 + 2) = log (5·414) log (1) + log (6) = log (6)

0 + log (6) = log (6) log (6) = log (6) Por lo tanto 4 es soluci´on

b. Six= 2

log (23) + log (2 + 2) = log (5·214) log (−1) + log (4) = log (−4)

Como log (−1) y log (−4) no est´an definidos enR, tenemos que 2 no es soluci´on.

...S={4}

Propiedad V

Seana∈R, a >0, a6= 1, x∈]0,+∞[, n∈R entonces:

loga xn=n·log ax

Demostraci´on

Sea x=ay conyR entonces log ax=y as´ı logaxn= log

a(ay)n= logaay·n=y·n o sea logaxn =y·n

pero comoy= logax, tenemos que logaxn=logax

Ejemplo 12

Resolver 2 log(12x) = log(−x+ 1)

(18)

2 log(12x) = log(−x+ 1) por propiedad V log(12x)2 = log(−x+ 1) por propiedad III

(12x)2 = (−x+ 1)

14x+ 4x2 = x+ 1

4x23x = 0

x(4x−3) = 0

x = 0 y x=3 4 Prueba: 2 log(12x) = log(−x+ 1)

a. Si x= 0

2 log(12·0) = log(−0 + 1) 2 log(1) = log(1)

2·0 = 0 0 = 0 Por lo tanto 0 es soluci´on

b. Six= 3 4

2 log

µ

12·3 4

= log

µ

3 4 + 1

2 log

µ

13 2 ¶ = log µ 1 4 ¶ 2 log µ 1 2 ¶ = log µ 1 4 ¶ como log µ −1 2 ¶

no est´a definido en R, en-tonces 3

4 no es soluci´on. Propiedad VI

Seana∈R, a >0, a6= 1, x∈]0,+∞[, y∈]0,+∞[ entonces:

loga x

y = logax−logay

Demostraci´on

loga

x

y = loga(x·y

1) por propiedad IV

= logax+ logay−1 por propiedad V = logax+ −1·logay

= logax−logay

O sea loga

x

(19)

Ejemplo 13

Resolver ln (x−10)ln (x−7) = ln 2

Soluci´on

ln (x−10)ln (x−7) = ln 2 por propiedad VI

ln x−10

x−7 = ln 2 por propiedad III

x−10

x−7 = 2

x−10 = 2(x−7)

x−10 = 2x−14 −x+ 4 = 0

x = 4

Prueba: ln (x−10)ln (x−7) = ln 2

ln (410)ln (47) = ln 2 ln (−6)ln (−3) = ln 2

Como ln (−6) y ln (−3) no est´an definidos enR entonces 4 no es soluci´on, por lo tantoS=∅

Ejemplo 14

Verifique que log2

·

23x·x2·5

8·2x5

¸

= 3x+ 2·log25

3 2−x

5

Soluci´on

log2

·

23x·x2·5

8·2x5

¸

= log2(23x·x2·5)log2(

8·2x5

)

= log223x+ log2x2+ log25(log2

8 + log22x

5

) = log223x+ log2x2+ log25log2

8log22x

5

= 3log22 + 2·log2x+ log25log2812 −x5·log

22

= 31 + 2·log2x+ log251

2 ·log28−x

5·1

= 3x+ 2·log2x+ log251 2·3−x

5

= 3x+ 2·log2x+ log253 2−x

(20)

Ejercicios 5

1. Verifique cada una de las siguientes identidades:

a. log

·

x3·102x 10x2

¸

= 3·log x+ 2x−x2

b. log3

3

q

23 = log3

3

2log3 6

x

Ejemplo 15

1. Resuelva 9·32x15·3x6 = 0

Soluci´on

9·32x15·3x6 = 0 9·(3x)215·3x6 = 0

Seay= 3x (*)

9·y215·y6 = 0

y = −1

3 , y = 2

De (*) tenemos que:

a. 3x= −1

3 S1=∅ ¿Por qu´e?. b. 3x= 2 =x= log

32 =⇒S2={log32}

Por lo tantoS={log32}

2. Resuelvaplog2x= log2

x

(21)

p

log2x = log2

x

p

log2x =

1

2 ·log2x

¡p

log2x

¢2

=

µ

1

2 ·log2x

¶2

log2x =

1

4 ·(log2x)

2

log2x−

1

4·(log2x)

2 = 0

log2(11

4 ·log2x) = 0

As´ı log2x= 0 ´o 1

1

4 ·log2x= 0

Caso I

log2x= 0⇐⇒x= 20⇐⇒x= 1

Caso II

11

4 ·log2x= 0⇐⇒1 = 1

4·log2x⇐⇒4 = log2x⇐⇒x= 16

Por lo tantoS={1,16}

Ejercicios 6

(22)

1. 32x+25·3x+16 = 0

2. 9x−2+ 3x−12 = 0

3. 27x+3= (

3)x 9x−2

4. 312x= 2x+5

5. 1072x= 353x

6. 5x+2= 4x−1

7. log(x−1) = 2

8. log2(x−2) = 1

9. log √x=ln x

10. 2 log(1 +x) log(x+ 2) = 0

11. −1 + log x= −1−log x log x+ 1

12. log (x8) = (ln x)4

13. log x3= (log x)3

14. log x4= log4x

15. 2 log5(x−2)log5(x+ 4) = log53

16. log(2x+ 7)log(x−1) = log 5

17. log2 1

x−2 = 2 + log2(x−2)

18. y= ln(x+√x21)

19. y= ln(x−√x22)

20. y= ln

r

x+ 3

x−3 21. eln 4=e(x+√x24)

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