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Instrucciones: 15 minutos de tolerancia. Duración 120 min. Presenta tu identificación. Apaga tu celular. NO Se permite uso de calculadora graficadora. Formulario de la academia sin ejercicios resueltos. Indica claramente tus resultados. Regresa esta hoja con tu cuadernillo. Resuelva solo para 10 puntos.

1.- Para la siguiente función

 

2

4

4

1

x

x

f x

x

 

determina:

a) Dominio, b) Rango, c) Simetría, d) Intersecciones con los ejes coordenados, e) Asíntotas, f) puntos críticos y de existir clasifícalos (máx. o mín.), g) Intervalos de monotonía, h) Puntos de inflexión, de existir, i) Intervalos de concavidad positiva o negativa, j) Bosquejo de la gráfica de la función.

Valor 4 puntos

Solución

 

 

2 2

2

3 2

2 1 2 1

df x x

dx x

d f

dx x

  

  

 

a)  1

f

Dom  

b) Rangof

 , 4

 

 0,

c)

 

 

 

sec

2, 0 0, 4

f x x

Inter ciones

I I

 

d) Simetría Es asimétrica:

e)

 

1

:

. . 1

. .

. . 3

Asíntotas

AV x

A H No tiene

A O f x x

 

  

f)

 

 

cos 0, 4

2, 0

Puntos críti

Máximo

Mínimo

 

g)

Profesor: Boleta

(2)

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2, 1 1, 0 0,

Creciente

Creciente Decreciente

  

h) Puntosde inflexión NO TIENE

i)

 

 

, 1 1,

Sentido de las concavidades

Positiva Negativa

   

j) Grafica

2.- Un barco B se halla a 50 millas al Este de otro barco A. Si B navega hacia el Oeste a una

velocidad de 6mi

hr y A hacia el sur a una velocidad de 3 mi

hr ¿A qué velocidad se estarán alejando o

acercando al cabo de 2 horas?

4 3 2 1 1 2 x

10

5 5 fx

N

S

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Valor 2 puntos

Solución

El espacio que separa a los barcos estará dada por:

 2  2

6 50 3

et   t

La velocidad de alejamiento o acercamiento está dada por la derivada del espacio respecto del tiempo. Es decir:

        2 2 2 2

72 6 50 3 36 3 50 3

2 36 50 3 36 50 3

de t t t t

v

dt t t t t

   

  

   

Para t2 la velocidad es: 60 1.3 2080 mi v hr    

El signo menos nos indica que los barcos se acercan.

3.- Resuelva la siguiente integral por partes

Valor 2 puntos

c e xe e x x e dx x e dx e xe e x x e dx x e e v dx e v dx u x u dx x e x e x e dx x e e v dx e v xdx u x u dx x e x e dx x e e v dx e v dx x u x u x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                          

6 6 3 6 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 ´ ´ 2 3 3 ´ ´ 2 2 3 3 ´ 2 ´ 3 3 x

(4)

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4.- Resuelva la siguiente integral por sustitución trigonométrica

Valor 2 puntos 5.- Resuelva la siguiente integral por fracciones parciales

Solución

 

 

2

3 2

2

2

3 2

2

2

3 2

2 3

2

2 3

2 1 1

2

2 0

3 3

1 5

2 3 5

3 5 3ln ln 1

2 1 1 1

x

dx

x x x

x A B C

x x x x x x

A B

A B C

A

A

B

C

x dx dx dx

dx x x C

x x x x x x x

  

  

   

     

   

 

       

    

2

49

x

dx

x

2

3 2

2

3

2

x

dx

x

x

x

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Valor 2 puntos

1.- Para la siguiente función  

2

4 4 1

x x

f x

x

 

 determina:

a) Dominio, b) Rango, c) Simetría, d) Intersecciones con los ejes coordenados, e) Asíntotas, f) puntos críticos y de existir clasifícalos (máx. o mín.), g) Intervalos de monotonía, h) Puntos de inflexión, de existir, i) Intervalos de concavidad positiva o negativa, j) Bosquejo de la gráfica de la función.

Valor 4 puntos

Solución

 

 

2 2

2

3 2

2 1

2 1

df x x

dx x

d f

dx x

 

 

a)  1

f

Dom 

b) Rangof

 , 4

 

 0,

c)

 

 

 

sec

2, 0 0, 4

f x x

Inter ciones

I I

d) Simetría Es asimétrica:

e)

 

1

: . . 1 . .

. . 3

Asíntotas

AV x

A H No tiene

A O f x x

 

f)

 

 

cos 0, 4

2,0

Puntos críti

Máximo

Mínimo

g)

(6)

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0,1 1, 2 2,

Decreciente

Decreciente Creciente

h) Puntosde inflexión NO TIENE

i)

 

 

,1 1,

Sentido de las concavidades

Negativa Positiva

 

j) Grafica

2.- Una empresa determina que el costo C(x) por producir “x” unidades de cierto artículo de consumo importante de la canasta básica es aproximadamente:

¿Cuántas unidades deben producirse para que el costo se mínimo?

2 1 1 2 3 4 x

10

5 5 fx

2

10 ( ) 100

200

x C x

x

(7)

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´( ) 0

100 1000 0 100 10 10 1 ´´ 100 10 x c x x x x x c x

x es un MINIMO

          

Valor 2 puntos

3.- Resuelva la siguiente integral por partes

Valor 2 puntos

Solución c x sen e x e dx x sen e x sen e x e dx x sen e dx x sen e dx x sen e x sen e x e dx x sen e dx x sen e x sen e x e dx x sen e x sen v dx x v dx e u e u dx x e x e dx x sen e x v dx x sen v dx e u e u x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                        

2 2 3 2 cos 2 1 13 4 2 2 2 3 2 cos 2 1 2 4 9 2 2 4 9 2 2 3 2 cos 2 1 2 2 2 3 2 2 1 2 3 2 cos 2 1 2 2 2 1 2 cos 3 2 cos 2 3 2 cos 2 1 2 2 cos 2 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ´ 3 ´ 3 3 3 3 ´ 3 ´ 3 3

(2 )

x

e sen

x dx

(8)

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4.- Resuelva la siguiente integral por sustitución trigonométrica

Valor 2 puntos

5.- Resuelva la siguiente integral por fracciones parciales

Valor 2 puntos

 

 

3 2

2

3 2

2

3 2

2

1

2 1 1

0

2 0

1 1

1 1

1 ln ln 1

2 1 1 1

dx

x x x

A B C

x x x x x x

A B

A B C

A

A

B C

dx dx dx dx

x x C

x x x x x x x

 

  

   

     

    

      

  

2

25

x

dx

x

3 2

2

dx

x

x

x

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