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Universidad de El Salvador
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Unidad de Ciencias Básicas
Probabilidad y Estadística
Unidad III: Variables Aleatorias Discretas.
Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad.
n la mayoría de experimentos aleatorios, el investigador enfoca su atención en una o más características que varían de individuo en individuo. Por ejemplo, considere el experimento aleatorio que consiste en seleccionar aleatoriamente un cliente que sale de un almacén en particular. Una variable numérica de interés para el gerente del almacén podría ser el número de productos comprados por el cliente. La letra X puede ser usada para denotar esta variable. Los posibles valores de X son 0, 1, 2, 3, … y así sucesivamente. En este caso los valores de X son puntos aislados de la recta real. Hasta que un cliente no haya sido seleccionado y el número de productos no haya sido contado, el valor de X es incierto. Otra variable de interés para el gerente podría ser Ynúmero de minutos que el cliente espera en la cola para pagar. Un posible valor de yes 3.0 minutos y otro podría ser 4.0 minutos, pero cualquier otro valor entre 3.0 y 4.0 es posible. Los posibles valores de Y forman un intervalo de valores en la recta real.
Usaremos letras mayúsculas, del final del alfabeto, para representar variables aleatorias, y su respectiva letra minúscula para representar sus posibles valores. En la práctica, las variables aleatorias discretas generalmente están asociadas a experimentos aleatorios que involucran el conteo de alguna característica (por ejemplo, el nú-mero de ítems defectuosos, el núnú-mero de veces que un servidor falla), mientras que las continuas están asociadas a experimentos aleatorios que involucran la medida de alguna característica (por ejemplo, la altura y el peso de un individuo, la temperatura).
Debido a que hay un límite en la precisión de los instrumentos de medición, como un reloj o una balanza, pareciera que cualquier variable debiera considerarse como discreta. Por ejemplo, si la resolución del instrumento (el cam-bio más pequeño en el valor medido al cual responde el instrumento) solo permite lecturas a la libra más cercana, éstas parecerán puntos aislados en la recta real, como 2, 3, 6, 100 libras. Pero esto sólo se debe a la resolución del instrumento y no porque un peso entre 2 y 3 libras no sea posible. En este caso la variable es continua.
En la siguiente figura se muestra un conjunto de posibles valores para cada uno de los tipos de variables aleatorias.
E
DEFINICIÓN
Variable aleatoria: una variable numérica cuyos valores dependen del resultado de un experimento alea-torio.
Una variable aleatoria es discreta, si sus posibles valores son puntos aislados en la recta real y continua si sus posibles valores son todos los puntos en algún intervalo.
2 X
Ejemplo 1: Una variable aleatoria discreta
Considere el experimento aleatorio en el cual se considera el tipo de libro, impreso (P) o digital (D), comprado por cada uno de tres clientes sucesivos en una tienda de libros online. Se define la variable aleatoria X por
número de clientes que compran en formato digital
X
El resultado en el cual el primer y el tercer cliente compra en formato digital y el segundo en formato impreso puede ser abreviado como DPD. El valor asociado de la variable aleatoria es 2, ya que dos de los tres clientes optaron por comprar en formato digital.
En la siguiente tabla se resume el comportamiento de la variable aleatoria X
Resultado PPP DPP PDP PPD DDP DPD PDD DDD
x 0 1 1 1 2 2 2 3
De inmediato notamos que los posibles valores de Xson 0, 1, 2 y 3. A este conjunto de valores se le conoce como el rangode la variable aleatoria. Además, como los posibles valores son puntos aislados en la recta real, se trata de una variable discreta.
Distribuciones de Probabilidad.
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta, es un modelo que describe el comportamiento a largo plazo de dicha variable. Por ejemplo, el gerente de la tienda podría estar interesado, además de los posibles valores de la variable aleatoria, de cómo ésta se comportaría si fuera observada para muchos clientes, es decir, ¿cuál sería su valor más común? ¿qué proporción de las veces los clientes comprarán en formato digital? Una distribución de probabilidad proporciona respuestas a éstas y otras preguntas.
Ejemplo 2:Refrigeradoras de energía eficiente.
Suponga que cada uno de cuatro clientes seleccionados al azar que compran en un almacén de electrodomésticos escoge cualquiera de dos modelos de refrigeradoras: el modelo de energía eficiente (E) o un modelo más barato que no posee la característica de eficiencia de energía (G). Asuma que los clientes hacen su elección de manera independiente uno del otro y que el 40% de todos los clientes seleccionan refrigeradoras del tipo energía eficiente.
DEFINICIÓN
La Distribución de Probabilidad de una variable aleatoria discreta X proporciona la probabilidad asociada con cada uno de los posibles valores de la variable aleatoria. Cada probabilidad es la proporción a largo plazo en la que el valor correspondiente de X ocurrirá.
Posibles valores de una variable aleatoria discreta
Posibles valores de una variable aleatoria continua
Los posibles valo-res son puntos
aislados en la recta real.
Los posibles valo-res son todos los puntos de un
3 Construya la distribución de probabilidad de la variable aleatoria
X= Número de refrigeradoras del tipo energía eficiente compradas por los cuatro clientes.
Solución:
Con P G( )0.6 y P E( )0.4, un posible resultado del experimento aleatorio es GGEE (en este caso X 2). Como las elecciones de los clientes son independientes, la regla del producto implica que:
( ) (el primero escoge G y el segundo escoge G y el tercero escoge E y el cuarto escoge E) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0.6)(0.6)(0.4)(0.4) 0.0576
P GGEE P
P GGEE P G P G P E P E
De manera similar P GGGG( )P G P G P G P G( ) ( ) ( ) ( )(0.6)(0.6)(0.6)(0.6)0.1296
En la siguiente tabla se muestran los 16 resultados posibles, la probabilidad de cada uno de ellos y el valor de la variable aleatoria asociado a cada resultado.
Resultado Probabilidad x Resultado Probabilidad x
GGGG 0.1296 0 GEEG 0.0576 2
EGGG 0.0864 1 GEGE 0.0576 2
GEGG 0.0864 1 GGEE 0.0576 2
GGEG 0.0864 1 GEEE 0.0384 3
GGGE 0.0864 1 EGEE 0.0384 3
EEGG 0.0576 2 EEGE 0.0384 3
EGEG 0.0576 2 EEEG 0.0384 3
EGGE 0.0576 2 EEEE 0.0256 4
La distribución de probabilidad de X puede ser obtenida fácilmente a partir de esta información. Por ejemplo
(0) ( 0) ( ) 0.1296 p P X P GGGG
(1) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.3456 p P X P EGGG P GEGG P GGEG P GGGE Y así sucesivamente.
La distribución de probabilidad se resume en forma tabular de la siguiente manera:
x 0 1 2 3 4
( )
p x 0.1296 0.3456 0.3456 0.1536 0.0256
¿Cómo se interpreta esta distribución de probabilidad? Por ejemplo, para interpretar p(3)0.1536piense que el experimento se realiza repetidamente, cada vez con un nuevo grupo de clientes. A la larga, 15.36% de estos grupos tendrán exactamente 3 clientes que compran refrigeradoras del tipo energía eficiente.
La distribución de probabilidad puede ser usada para determinar la probabilidad de varios eventos que involucren a la variable aleatoria X . Por ejemplo, la probabilidad que al menos dos de los cuatro clientes compren el modelo con energía eficiente es
( 2) ( 0 o 3 o 4) (2) (3) (4) 0.5248
4 Este resultado significa que, a largo plazo, un grupo de 4 refrigeradoras compradas incluirá al menos dos del tipo energía eficiente en aproximadamente el 52.48% de las veces.
Una distribución de probabilidad muestra todos los posibles valores x de la variable aleatoria y los valores p x( )
para cada uno de ellos. Como éste último valor es una probabilidad, y como se incluyen a todos los posibles valores toda distribución de probabilidad debe de satisfacer las dos siguientes propiedades:
1. Para cada uno de los posibles valores de X , 0 p x( )1
2.
p x( )1Otras formas de representar una Distribución de Probabilidad: Histogramas de
probabilidad.
Un histograma de probabilidad es una representación gráfica de una distribución de probabilidad discreta. El grá-fico consiste de varios rectángulos centrados sobre cada posible valor de X, y el área de cada rectángulo es proporcional a la probabilidad del correspondiente valor. En la siguiente figura se muestra el histograma para el ejemplo 2.
Media y Desviación Estándar para una variable
aleatoria discreta.
Estudiamos una variable aleatoria para aprender algo de cómo sus valores se distribuyen a lo largo de la escala de medición. En la unidad I aprendi-mos que la media y desviación estándar resumen el centro y la variabili-dad de una serie de datos. De manera similar, la media y desviación es-tándar de una variable aleatoria describen dónde se centra la distribución de probabilidad y cuánto se dispersa con respecto al centro.
La media de una variable aleatoria discreta X , denotada por X, describe dónde se centra la distribución de probabilidad de X. Para su cálculo usaremos la siguiente expresión
Para toda
( )
X
x x p x
El término valor esperado, E X( ), se usa más a menudo en lugar de media
La desviación estándar de una variable aleatoria X, denotada por X, describe la variabilidad en la distri-bución de probabilidad. Cuando su valor es pequeño, los posibles valores de X tenderán a estar cercanos al valor de la media. Un valor grande indicará una mayor variabilidad en los valores observados de X. Para su cálculo nos auxiliaremos de la varianza
2 2 2 2
Para toda Para toda
( ) ( ) ( ) ( )
X X X
x x
x p x x p x
entonces2
X X
5 Ejemplo 3:Paneles para televisores.
Los televisores pantalla plana requieren pantallas de vidrio de alta calidad con muy pocas imperfecciones. Un fabricante de televisores recibe paneles de vidrio de dos fabricantes diferentes. Sean
X= Número de imperfecciones en un panel de vidrio seleccionado aleatoriamente del fabricante 1
Y= Número de imperfecciones en un panel de vidrio seleccionado aleatoriamente del fabricante 2
Suponga que las distribuciones de probabilidad para X y Yson las siguientes:
x 0 1 2 3 y 0 1 2 3
( )
p x 0.4 0.3 0.2 0.1 p y( ) 0.2 0.6 0.2 0.0
En la siguiente figura se muestran los histogramas para ambas variables aleatorias
Como el valor esperado de ambas distribuciones resultó ser 1, a la larga, para cualquiera de los proveedores el número de imperfecciones es uno. Sin embargo, los histogramas muestran que la distribución de probabilidad para el primer fabricante 1 es más dispersa que la del 2 (recuerde que las desviaciones eran 1 y 0.632 respectiva-mente). La mayor dispersión del primer fabricante significa que habrá más variabilidad en los valores observados de X que en los de Y. Por ejemplo, ninguno de los valores observados de Y será 3, pero cerca del 10% de los valores observados de X serán 3. Parece ser que los paneles del fabricante 2 son de mejor calidad.
( ) 0(0.4) 1(0.3) 2(0.2) 3(0.1) 1
X x p x
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( )
0 (0.4) 1 (0.3) 2 (0.2) 3 (0.1) 1 1
X X
X
x p x
2
1
X X
( ) 0(0.2) 1(0.6) 2(0.2) 3(0.0) 1
Y y p y
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( )
0 (0.2) 1 (0.6) 2 (0.2) 3 (0.0) 1 0.4
Y Y
Y
y p y
2
0.4 0.632
Y Y
6
Distribución Acumulada para una Variable Aleatoria Discreta.
Una distribución de probabilidad especifica la probabilidad de que la variable aleatoria sea igual a algún valor en particular. Una función llamada función de distribución acumulada, denotada por F x( ), especifica la probabili-dad de que una variable aleatoria sea menor o igual que un valor probabili-dado.
( ) ( ) F x P X x
Ejemplo 4: Distribución acumulada.
para el proveedor 1 del ejemplo 3 la distribución de probabilidad del número de paneles con imperfecciones es
x 0 1 2 3
( )
p x 0.4 0.3 0.2 0.1
La distribución acumulada se construye de la siguiente manera:
Primero calculamos F x( )para cada posible valor
(0) ( 0) 0.4 F P X
(1) ( 1) (0) (1) 0.4 0.3 0.7
F P X p p
(2) ( 2) (0) (1) (2) 0.4 0.3 0.2 0.9
F P X p p p
(3) ( 3) (0) (1) (2) (3) 0.4 0.3 0.2 0.1 1
F P X p p p p
Finalmente resumimos estos resultados de la siguiente manera
0 0
0.4 0 1 ( ) 0.7 1 2
0.9 2 3
1 3
x x
F x x
x x
O en forma gráfica Usando la distribución acumulada podemos
calcu-lar, por ejemplo:
P X( 2)F(2)0.9
P X( 2) 1 P X( 2) 1 F(2) 1 0.9 0.1
( 2) 1 ( 2) 1 ( 1)
1 (1) 1 0.7 0.3
P X P X P X
F
7
Algunas Distribuciones Discretas Especiales.
Distribución Binomial
Muchos tipos de problemas de probabilidad tienen so-lamente dos resultados o pueden ser reducidos a dos resultados posibles.
Un experimento binomial satisface los siguientes su-puestos: (a) El experimento consiste en un número fijo de ensayos. (b) Cada ensayo puede ser clasificado como Éxito o Fracaso. (c) Los ensayos son independientes y (d) La probabilidad de éxito se mantiene constante de ensayo en ensayo.
La variable aleatoria X, que es igual al número de éxi-tos en una secuencia de n ensayos tiene una distribu-ción de probabilidad dada por
( ) ( ; , ) (1 ) para 0,1, , n
x n x
x
f x b x n p p p x n
Además
( )
E x np y 2
( ) (1 )
X V X np p
Ejemplo 5: Distribución Binomial. Basados en la expe-riencia, la probabilidad que cierto componente eléc-trico funcione adecuadamente es 0.98. Los componen-tes se muestrean uno a uno de la línea de producción. En una muestra de 5 componentes ¿Cuál es la probabi-lidad de encontrar (a) cero, (b) exactamente uno, (c) exactamente dos, (d) dos o más defectuosos?
Solución: todos los requerimientos de la distribución bi-nomial se cumplen, por lo que, con n5, p0.02 y X = Número de defectuosos encontrados en la muestra de 5
(a) 5 0 5
( 0) (0;5,0.98) (0.02) (0.98) 0.9039 0
P X b
(b) 5 1 4
( 1) (1;5,0.98) (0.02) (0.98) 0.0922 1
P X b
(c) 5 2 3
( 2) (2;5,0.98) (0.02) (0.98) 0.0030 2
P X b
(d) P X( 2) 1 P X( 2) 1 [ ( P X 0) P X( 1)] P X( 2) 1 [0.9039 0.0922] 0.0038
La distribución de probabilidad binomial también se puede representar por un gráfico como el siguiente
Como E x( )np(5)(0.02)0.1, a la larga, si repeti-mos una y otra vez el experimento, tendrerepeti-mos 0.1 com-ponentes defectuosos.
Distribución Binomial Negativa.
En un experimento binomial, si Xdenota el número de ensayos hasta que ocurran réxitos, entonces X tiene una distribución binomial negativa con distribución de probabilidad
1
1
( ) ( ; , ) (1 ) para , r 1, x
r x r
r
f x nb x r p p p x r
Además E x( ) r p
y 2
2 (1 ) ( ) X r p V X p
Ejemplo 6 Distribución Binomial Negativa: Se toman muestras repetidas de una línea de producción de cierta empresa. Los resultados de este experimento se consi-deran independientes, y se sabe que la probabilidad de encontrar un producto defectuoso es de aproximada-mente 0.15
a) ¿Cuál es la probabilidad de se requieran no más de 7 intentos para obtener tres productos defectuosos? b) ¿Cuál es el número promedio de productos
8 Solución: Sea X el número de productos muestreados
hasta que se obtienen tres defectuosos. Entonces
(3;0.15) X nb
a) Una secuencia típica de esta situación es la si-guiente, donde S = se obtiene un defectuoso.
F S F F S F S
Entonces se pide
7 4
6
( 7) (0.15) (1 0.15) 0.000013378 2
P X
b) Se pide ( ) 3 224241.2
0.000013378 r E x p
Distribución Hipergeométrica.
Cuando hacemos un muestreo sin reemplazo, la distri-bución binomial no proporciona probabilidades exac-tas, debido a que los ensayos no son independientes. Mientras más pequeña sea la población, menos exactas serán las probabilidades binomiales.
Si un lote de N objetos contiene K objetos clasificados como éxitos y N-K objetos clasificados como fracasos, y si se toma una muestra aleatoria de tamaño n de éstos objetos al azar y sin reemplazo, entonces la variable aleatoria X= número de éxitos en la muestra, tiene una distribución binomial cuya función de distribución
es ( ) ( ; , , )
K N K
x n x
f x h x n K N
N n Además
( ) M
E x n
N
2 ( ) 1
1 X
N n M M
V X n
N N N
Ejemplo 7 Distribución Hipergeométrica: Diez ingenie-ros aplican para un puesto de ingeniero residente. Cinco de ellos poseen una maestría en energías renovables, dos poseen un doctorado y tres sólo el grado de inge-nieros.
Si el encargado de recursos humanos selecciona tres aplicaciones al azar, calcular la probabilidad de que:
a) Los tres posean maestría
Solución: sea X=número de ingenieros con maes-tría en la muestra de tres. Entonces
5 5
3 0 10 1 (X 3)
10 120 12 3 P
b) Uno posea doctorado
Solución: Sea Y= número ingenieros con doctorado en la muestra de tres. Entonces
2 8
1 2 (2)(28) 56 7 ( 1)
10 120 120 15
3 P Y
c) Ninguno tenga maestría o doctorado.
Solución: Sea Z= número de ingenieros que no poseen maestría o doctorado. Entonces
3 7
3 0 1
( 3) 10 120 3 P Z
En la siguiente gráfica se muestra el histograma de pro-babilidad de X
Primer defectuoso Segundo defectuoso
9
Distribución de Poisson.
Esta distribución es una de las más importantes distri-buciones de variable discreta. Sus principales aplicacio-nes hacen referencia a la modelización de situacioaplicacio-nes en las que nos interesa determinar el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o de espacio, bajo presupuestos de aleato-riedad y ciertas circunstancias restrictivas como las si-guientes: Las ocurrencias deben de ser aleatorias y la probabilidad de ocurrencia no debe de ser afectada por la ocurrencia o no de un resultado previo, es decir que los resultados son independientes.
La probabilidad de que ocurran exactamente reventos en un determinado intervalo de tiempo o espacio bajo ciertas condiciones está dada por
( ) ( ; )!
r t
t e f x P x
r
Además
( )
E x t y 2 ( )
X V X t
Donde t(en unidades de tiempo, longitud, área, volu-men) es un intervalo de tiempo o espacio en el cual los eventos ocurren, y es el promedio de ocurrencia por unidad de tiempo o espacio (por lo que el producto t es adimensional)
Ejemplo 8: Distribución de Poisson. El número prome-dio de accidentes automovilísticos ocurridos en una se-mana en un cruce en particular es de 2. Asuma que se cumplen todos los requerimientos para la distribución de Poisson.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún acci-dente en cualquier semana en particular?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente un accidente en una semana cualquiera?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que hayan no más de 2 accidentes en una semana?
d) ¿Cuál es la probabilidad que haya 3 accidentes en un mes?
Solución:
Con 2accidentes semana
, t1semana y t2. Y sea X=
número de accidentes en una semana cualquiera.
a)
0 2 2
( 0) 0.1353
0! e P X
b)
1 2 2
( 1) 0.2707
1! e P X
c) P X( 2)P X( 0) P X( 1) P X( 2) 2 2 2
( 2) ( 0) ( 1)
2! e
P X P X P X
( 2) 0.1353 0.2707 0.2707 0.6767
P X
d) Con t(2)(4)8 y Y= número de accidentes en un mes
3 8 8( 3) 0.0286
3! e P Y
