11.- SOL:
(
)
(
)
(
)
23 2 2 2
1
x
r
x
r
x
r
)
x
(
D
=
−
+
−
+
−
(
)
(
)
(
)
ℜ
∈
∀
>
=
+
+
=
⇒
=
+
−
−
−
⇒
=
+
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
=
x
)
x
´´(
D
como
r
r
r
x
x
r
r
r
)
x
´(
D
x
r
r
r
x
r
x
r
x
r
)
x
´(
D
0
6
3
0
6
2
2
2
0
6
2
2
2
2
2
2
3 2 1 3
2 1
3 2 1 3
2 1
en
3
3 2 1
r
r
r
x
=
+
+
habrá un mínimo relativo12.- SOL:
a) Corte con OX: y=0
0
6
4
3 24
−
+
+
=
x
x
x
x
; x=0; x= -1; x= 2 y x=3Puntos de corte (0,0); (-1,0); (2,0) y (3,0) Corte con OY: x=0
f(0)=0 ; Punto de corte (0,0)
Monotonía:
4
12
2
6
2
3
−
+
+
=
x
x
x
)
x
´(
f
−
=
+
=
=
⇒
=
+
+
−
⇒
=
2
10
1
2
10
1
1
0
6
2
12
4
0
3 2x
x
x
x
x
x
)
x
´(
f
e
decrecient
)
x
´(
f
,
x
0
2
10
1
<
−
∞
−
∈
∀
x
,
1
f
´(
x
)
0
creciente
2
10
1
>
−
∈
∀
dcreciente
)
x
´(
f
,
x
0
2
10
1
1
<
+
∈
∀
x
,
f
´(
x
)
0
creciente
2
10
1
>
+∞
+
∈
∀
c)
∫
(
)
∫
(
)
−=
+
=
+
+
−
+
+
+
−
−
0 1 2 0 2 2 3 4 2 3 415
98
15
76
15
22
6
4
6
4
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
u
x
13.-SOL: a)
−
=
−
=
=
x xe
´
u
e
u
I
1
(
) (
)
[
(
)
]
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
=
−
−
−
=
−
− − − − − − −∫
∫
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
1
10 5 10 1 10 1 10 2 1 1 10e
e
e
e
e
e
e
dx
e
e
dx
e
e
x x xx x
b) Cambio de variable
=
=
⇒
=
=
=
t
dt
e
dt
dx
dx
e
dt
e
t
I
x x x 1iable
var
de
cambio
I
dx
e
x 11
1
∫
=
−
t
(
1
t
)
I
2dt
=
−
∫
Por lo tanto
Volvemos a la variable “x”:
dx
ln
e
ln
e
K
x
ln
e
k
e
I
x=
x−
−
x+
=
−
−
x+
−
=
∫
1
1
c)
2 2
4 3
4 2
4 3
4
2
4
2
16
2
8
4
2
4
2
4
2
2
2
2
u
)
(
x
x
x
cos
dx
senx
x
−
+
=
−
+
+
=
−
−
+
∫
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π π π π
π π π π π
π π π
π ππ π
15.-SOL:
a)
(
)
1
1
2
2 3
>
≤
−
=
x
x
si
si
x
x
)
x
(
f
dominio de f(x)=Rf(x) será continua en
ℜ
si lo es en x=1 dónde cambia de expresión algebraica. Estudiamos su continuidad en x=1si:
a)
f
(
1
)
=
(
2
−
1
)
3=
1
b)
(
)
( )
1
1
1
1
2
1
2
1 1
3
1 1
1
=
⇒
=
=
=
−
=
=
+ +
− −
→ →
→ →
→
lim
f
(
x
)
lim
x
x
lim
)
x
(
f
lim
)
x
(
f
lim
x x
x x
x
c)
1
1
1
1
=
⇒
=
→
f
(
x
)
lim
)
(
f
x
Es continua en x=1, luego es continua en todo
ℜ
.b) Para que f(x) continua en
ℜ
en sea derivable en todoℜ
, tiene que ser derivable en x=1(
)
1
1
2
2
3
2>
<
−
−
=
x
x
si
si
x
x
)
x
´(
f
1
1
1
2
1
3
1
3
1
=
≠
⇒
=
−
=
−
=
− ++ −
x
en
derivable
es
no
)
´(
f
)
´(
f
)
´(
f
.
)
´(
f
Luego es derivable en
ℜ
−
{ }
1
c)
(
)
(
)
22
1 3 1
0 2 3 4 1
0
2 1
2 3
12
119
3
17
4
17
3
8
6
2
4
8
2
8
(
x
)
dx
x
dx
x
x
x
x
x
=
+
=
u
−
+
+
−
=
+
−
+
−
−
16.-SOL: a)
2
0
4
2
4
2
2
4
2
−
+
⇒
=
−
⇒
−
=
⇒
=
=
x
x
f
´(
x
)
x
x
x
)
x
(
f
relativo
mínimo
un
hay
x
en
)
´´(
f
)
x
´´(
b) recta tangente y=mx+b, pasa por el punto (3,-5) por lo que:
m
b
b
m
5
3
3
5
=
+
⇒
=
−
−
−
de dónde nos queda quey
=
mx
−
5
−
3
m
esta recta tiene un punto en común con la función, luego el sistema siguiente tendrá una solución:(
3
7
)
0
4
2
4
3
5
2
4
3
5
2 22
⇒
−
−
=
−
+
⇒
+
−
−
+
+
=
+
−
=
−
−
=
m
x
)
m
(
x
x
x
m
mx
x
x
y
m
mx
y
está ecuación de segundo grado tendrá una única solución si su discriminante es cero:)
,
(
en
gentes
tan
rectas
x
y
b
x
y
b
m
m
m
m
m
m
m
)
m
.(
.
)
m
(
5
3
1
2
1
6
5
23
6
23
18
5
2
6
0
12
4
0
28
12
8
16
0
7
3
1
4
4
2 2 2−
+
−
=
⇒
=
+
−
=
⇒
−
=
⇒
−
=
−
−
=
⇒
−
=
=
=
−
−
⇒
=
−
−
+
+
⇒
=
+
−
−
−
17.-SOL: a)0
0
2
=
≠
+
=
x
x
si
si
k
x
x
sen
)
x
(
f
Continuidad en x=0 1º
f
(
0
)
=
k
2º
=
=
=
+
=
+
=
→ → → →1
1
3
1
2
2
0 0 0 0 0 0x
cos
lim
x
senx
lim
x
senx
lim
)
x
(
f
lim
x hopital ´ l x x x3º
0
3
0
=
⇒
=
→
f
(
x
)
k
lim
)
(
f
x para que sea continua en x=0 b) Siendo k=3 pues ha de ser continua en x=0
0
0
0
2=
≠
−
=
x
x
si
si
x
x
sen
x
cos
x
)
x
´(
f
Derivable en x=0
Si −
( )
+=
0
0
)
f
´
´(
f
=
−
=
−
+
−
=
−
=
=
−
=
−
+
−
=
−
=
+ → → → + → → → − + + − − −0
2
2
0
0
2
2
0
0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0senx
lim
x
x
cos
x
cos
senx
x
lim
x
x
sen
x
cos
x
lim
)
´(
f
senx
lim
x
x
cos
x
cos
senx
x
lim
x
x
sen
x
cos
x
lim
)
´(
f
x x hopital ´ l x x x hopital ´ l xSería derivable si k=3
c) Asíntota Vertical: f(x) no tiende nunca a +∞ o a -∞. Luego no hay
Asíntota Horizontal:
=
+
=
∞
−
≤
≤
−
+
=
+
=
=
+
=
∞
+
≤
≤
−
+
=
+
=
−∞ → −∞ → +∞ → +∞ →2
0
2
1
1
2
2
2
0
2
1
1
2
2
....
x
senx
lim
)
x
(
f
lim
....
x
senx
lim
)
x
(
f
lim
x x x x y=2 A.H.18.- SOL:
a) Sí
1
1
1
2
>
≤
−
=
x
x
si
si
x
x
)
x
´(
f
para calcular f(x) tendremos en cuenta que tiene que sercontinua en x=1, integramos :
1
1
2
2
2
>
≤
+
+
−
=
x
x
si
si
K
x
ln
C
x
x
)
x
(
f
y se verificará que:2
3
1
2
1
2
1
1
−)
=
f
(
+)
⇒
−
+
C
=
ln
+
K
⇒
C
=
K
−
(
f
por lo tanto1
1
2
3
2
2
2
>
≤
+
−
+
−
=
x
x
si
si
K
x
ln
K
x
x
)
x
(
f
como pasa por (-1,4) entonces:8
2
3
2
1
2
4
=
−
−
+
K
−
⇒
k
=
La función será1
1
8
2
13
2
2
2
>
≤
+
+
−
=
x
x
si
si
x
ln
x
x
)
x
(
f
b) En x=2
f
(
2
)
=
8
+
ln
2
punto(
2
,
8
+
ln
2
)
Su pendiente2
1
2
=
=
f
´(
)
m
Recta tangente:
(
2
)
2
1
2
8
−
=
−
−
ln
x
y
19.- SOL:
Puntos de corte entre
⇒
=
=
=
−
⇒
=
⇒
=
=
)
,
(
)
,
(
x
x
)
x
(
x
x
x
x
y
x
y
1
1
0
0
1
0
0
1
2 3 2 3
2
El área será:
(
)
(
)
∫
−
+
∫
−
=
1 0
2 1
2 3 3
2
dx
x
x
dx
x
x
2 2
1 3 4 1
0 4 3
2
3
3
1
4
1
3
8
4
4
1
3
1
3
4
4
3
u
x
x
x
x
=
+
−
−
+
−
=
−
+
19.- SOL:
a) 2
4
1
x
y
−
=
1º Dominio de f(x): D[f(x)]=ℜ−{−2,2}
La función no existe si
−
=
=
=
−
2
2
0
4
2x
x
x
2º Asíntotas:
*A.Vertical. : D[f(x)]=ℜ−{−2,2}
Luego tiene como posible asíntota vertical: ¿x=2? o ¿x=-2? A) ¿ A.V. en x=-2. ?
existe
No
x
lim
x
lim
x
lim
laterales
límites
hacer
que
hay
x
lim
x
x x
x 2 2
2 2
2 2
2
2
4
1
0
8
4
1
0
8
4
1
0
8
4
1
−
+∞
=
+
=
−∞
=
−
=
−
=
−
→−− →
− → −
→
+ −
Este límite nos sirve para determinar que x=-2 ASÍNTOTA VERTICAL B) ¿ A.V. en x=2. ?
existe No x lim x
lim x lim laterales límites
hacer que hay x
lim
x
x x
x 2
2 2
2 2 2
2 4
1
0 8
4 1
0 8 4
1
0 8 4
1
−
−∞ = − = −
+∞ = + = − =
− →
→ → →
+ −
Este límite nos sirve para determinar que x=2 ASÍNTOTA VERTICAL *A.Horizontal. :
Se calcula el f
( )
xxlim→+∞ y el x
lim
→−∞f
( )
x
0
1
4
1
2
=
−
∞
=
−
−
+∞
→
x
lim
x
0
1
4
1
2
=
+
∞
=
+
−
∞
−
x
lim
x
Luego “y=0” será una asíntota horizontal.
A. Oblicua No tiene porque tiene asíntota horizontal
b)
Monotonía, Máximos y mínimos relativos:
Calculamos y´=0 para estudiar el cambio de monotonía
(
)
(
2) (
2 2)
24
2
4
2
x
x
x
x
´
y
−
=
−
−
−
=
0
0
2
0
⇒
=
⇒
=
=
x
x
´
y
(
−
∞
−
2
)
⇒
−
4
<
0
∈
∀
x
,
y
´(
)
decreciente(
−
2
0
)
⇒
−
1
<
0
∈
∀
x
,
y
´(
)
decreciente(
0
2
)
⇒
1
>
0
∈
∀
x
,
y
´(
)
creciente(
2
+∞
)
⇒
4
>
0
∈
∀
x
,
y
´(
)
creciente En (0,1/4) existe un mínimo relativo.Curvatura, puntos de inflexión.
(
)
( ) (
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2)
32 4
2 2 2 2
4 2
2 2
2
4
8
6
4
8
2
8
4
4
4
2
2
2
2
4
x
x
x
)
x
x
(
x
x
x
x
.
.
x
.
x
´´
y
factorizar
−
+
=
−
+
−
−
=
−
−
−
−
−
−
solución
hay
no
x
x
´´
y
3
4
0
8
6
0
⇒
2+
=
⇒
2=
−
=
No tiene puntos de inflexión
(
−
∞
−
2
)
⇒
−
8
<
0
∈
∀
x
,
y
´´(
)
convexa(
−
2
2
)
⇒
0
>
0
∈
∀
x
,
y
´´(
)
cóncava(
2
+∞
)
⇒
8
<
0
∈
∀
x
,
y
´´(
)
convexac)
Máximos y mínimos absolutos en [-1,1] :
Como en ese intervalo existe un mínimo relativo en x=0 calculamos:
4
1
0
)
=
(
f
Y los valores en los extremos del intervalo
3
1
1
=
−
)
(
f
y3
1
1
)
=
(
f
Luego y=
3
1
será su máximo absoluto e y=
