Plantel 19 Ecatepec MATEMATICAS VI ESTADISTICA y PPROBABILIDAD GUIA DE ESTUDIO PARA EXAMEN DE RECUPERACION

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BLOQUE TEMATICO 1:

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

 Conceptos básicos: población, muestra, datos cualitativos, cuantitativos, etc.  Presentación y análisis de datos

 Distribución de frecuencias  Presentación de datos en graficas  Medidas descriptivas

BLOQUE TEMATICO 2: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

 Fenómenos y experimentos aleatorios

 Leyes y teorías de probabilidad  Variable aleatoria.

BLOQUE TEMATICO 3: MODELOS ESTADISTICOS DE PROBABILIDAD

 Modelos de probabilidad para variables discretas

 Modelos de probabilidad para variables continuas  Modelos de regresión lineal

Competencias genéricas

a) Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

b) Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos

c) Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

Competencias disciplinares

a) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

b) Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

c) Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

d) Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia

e) Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Páginas web de referencia:

http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/CursoEstadistica.htm Contenidos que apoyan el desarrollo de habilidades para los bloques I y II.

http://www.bioestadistica.uma.es/baron/apuntes Videos, apuntes y prácticas de estadística.

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/estadistica_1_ciclo/esta10.htm Estadística; teoría y ejercicios interactivos.

http://www.geogebra.org/cms/ Sitio oficial para la descarga de GeoGebra

https://sites.google.com/site/estadisticaperu/megastat-para-excel Enlace para descargar MegaStat.https://www.youtube.com/watch?v=_uHT3AsCVno

Colegio de Bachilleres

JUNIO-2017

Plantel 19 Ecatepec

MATEMATICAS VI ESTADISTICA y PPROBABILIDAD

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TEMA 1 ESTADISTICA DESCRIPTIVA.

DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE CONCEPTOS PRELIMINARES

La estadística descriptiva es la rama de las Matemáticas que recolecta, presenta y caracteriza un conjunto de datos (por ejemplo, edad de una población, altura de los estudiantes de una escuela, temperatura en los meses de verano, etc.) con el fin de describir apropiadamente las diversas características de ese conjunto.

Al conjunto de los distintos valores numéricos que adopta un carácter cuantitativo se llama variable estadística.

Las variables pueden ser de dos tipos:

Variables cualitativas o categóricas: no se pueden medir numéricamente (por ejemplo: nacionalidad, color de la piel, sexo).

Variables cuantitativas: tienen valor numérico (edad, precio de un producto, ingresos anuales).

Las variables también se pueden clasificar en:

Variables unidimensionales: sólo recogen información sobre una característica (por ejemplo: edad de los alumnos de una clase).

Variables bidimensionales: recogen información sobre dos características de la población (por ejemplo: edad y altura de los alumnos de una clase).

Variables pluridimensionales: recogen información sobre tres o más características (por ejemplo: edad, altura y peso de los alumnos de una clase).

Por su parte, las variables cuantitativas se pueden clasificar en discretas y continuas:

Discretas: sólo pueden tomar valores enteros (1, 2, 8, -4, etc.). Por ejemplo: número de hermanos (puede ser 1, 2, 3…, etc., pero, por ejemplo, nunca podrá ser 3.45).

Continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. Por ejemplo, la velocidad de un vehículo puede ser 90.4 km/h, 94.57 km/h.…etc.

Cuando se estudia el comportamiento de una variable hay que distinguir los siguientes conceptos:

Individuo: cualquier elemento que porte información sobre el fenómeno que se estudia. Así, si estudiamos la altura de los niños de una clase, cada alumno es un individuo; si se estudia el precio

de la vivienda, cada vivienda es un individuo.

Población: conjunto de todos los individuos (personas, objetos, animales, etc.) que porten información sobre el fenómeno que se estudia. Por ejemplo, si se estudia el precio de la vivienda en una ciudad, la población será el total de las viviendas de dicha ciudad.

Muestra: subconjunto que es seleccionado de una población. Por ejemplo, si se estudia el precio de la vivienda de una ciudad, lo normal será no recoger información sobre todas las viviendas de la ciudad

Muestra sesgada: subconjunto que seleccionado de una población de forma tendenciosa para hacer trampa Por ejemplo, si se desea saber la preferencia popular de un equipo de futbol se presenta la muestra sesga da cuando se toman datos de la preferencia con información de un solo grupo de aficionados(del pumas por ejemplo en ciudad universitaria).

Los valores que se refieren a una población se llaman parámetros y los referidos a las muestras se llaman estadígrafos.

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Ejercicios.

1.Un estudiante de estadística desea tener una idea aproximada acerca del valor en pesos de un automóvil típico que poseen los profesores de matemáticas de la escuela. Para este caso indica: ¿Cuál es la población? y ¿cuál la muestra?

Respuestas: la población son todos los vehículos de la escuela y la muestra el número de automóviles de los profesores de matemáticas.

2. Instrucciones. Lee con atención cada uno de los reactivos y anota en el paréntesis de la izquierda la letra de la opción de la respuesta correcta.

2.1( ) El área de la estadística que estudia las características de un grupo de datos para conocer los valores que los describen se llama….

A) Estadística Descriptiva B) Probabilidad

C) Variable Bidimensional D) Calculo numérico

2.2 ( )¿Cuál es el nombre del área de la estadística que analízalos datos de una muestra, para conocer a partir de estos datos, las características de la población de la cual se tomaron ?

A) Estadística Descriptiva B) Probabilidad

C) Estadígrafo

D) Estadística Inferencial

2.3( ) ¿Cuál es el nombre del conjunto de elementos extraídos de un total para realizar un estudio ?

A) Estadígrafo B) Población C) Dato D) Muestra

2.4( ) ¿Cuál es el nombre del total de todos los elementos que tienen una característica común?

A) Estadística B) Muestra C) Estadígrafo D) Población

2.5 ( ) ¿Cuál es el nombre de la variable asociada a un elemento de la población o una muestra?

A) Estadígrafo B) Dato C) Población D) Parámetro

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Ejercicio 3.

Debido al 40 aniversario de la creación del Colegio de Bachilleres, se tomó la decisión administrativa de otorgar 100 créditos económicos para la adquisición de automóviles híbridos (eléctricos y de gasolina al mismo tiempo).para los docentes del plantel. Esto después de preguntar a los docentes que desearían obtener como beneficio para celebrar el 40 aniversario.

Se sabe que la planta docente es de 258 maestros en ambos turnos, y se consideraron 50 maestros con 30 o más años de antigüedad, para otorgarles el crédito de forma directa, con la salvedad que solamente podrá adquirir autos compactos de color azul.

Por otra parte el resto de los maestros entran a un sorteo para ganar un crédito, que les permite en caso de ser beneficiados a tener auto nuevo. Asimismo, el día del sorteo la temperatura tuvo variación desde los 20° y hasta los 26° con la asistencia de personal interesado por el sorteo.

También para los mejores alumnos de excelencia hubo de regalo 30 mini laptop que fueron entregadas por prelación después de haber analizado el más alto promedio que fue de 9.7 y en orden descendente hasta 9.1.

Con esta información determine de forma precisa en donde encuentra:

 Una población

 Una muestra aleatoria

 Una muestra segada

 Una encuesta

 Datos cualitativos

 Datos cuantitativos

 Variables discretas

 Variables continuas

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PRESENTACION DE DATOS ESTADISTICOS EN TABLAS Y GRAFICAS

Los datos son medidas y/o números recopilados a partir de la observación. Los datos pueden concebirse como información numérica necesaria para ayudar a tomar una decisión con más bases en una situación particular.

Existen muchos métodos mediante los cuales se pueden obtener datos necesarios. Primero, se puede buscar datos ya publicados por otras fuentes. Segundo, se puede diseñar un experimento. En tercer lugar, se puede conducir un estudio. Cuarto, se pueden hacer observaciones del comportamiento, actitudes u opiniones de los individuos en los que se está interesado.

ORGANIZACIÓN DE DATOS

Muchas veces uno se pregunta, ¿para qué sirven las encuestas que a veces se hacen en la calle?, ¿Cómo saber si una estación de radio se escucha más que otra? , ¿Cuál candidato puede ganar? La respuesta se comienza con la recaudación de datos.

Los datos son información que se recoge, esto puede ser opinión de las personas sobre un tema, edad o sexo de encuestados, dónde viven, cuántas personas viven en una casa, qué tipo de sangre tiene un grupo de personas, etc.

Hay datos que pueden ser de mucha utilidad a diferentes profesionales en la toma de decisiones, para resolver problemas o para mostrar resultados de investigaciones. Una vez que se haya recogido toda la información, se procede a crear una base de datos, donde se registran todos los datos obtenidos. Algunas veces, si los datos son muy complicados, se codifican, esto quiere decir que se le coloca una palabra clave que identifica un título muy largo. Cuando ya está elaborada la base de datos se parece a una tabla.

Por ejemplo, supóngase que se ha preguntado a un conjunto de

n

personas: ¿qué opinión tienen acerca de la instalación de playas en la Ciudad de México en que el Gobierno del Distrito Federal ha hecho a partir de 2007? Las

n

respuestas se encuentran en una escala que va de 1 a 9, donde 1 representa un total desacuerdo con la medida mientras que 9 quiere significar un acuerdo total.

El resultado de la medición es el siguiente:

Tabla 1: Conjunto original de datos

Si se plantean las siguientes preguntas:

¿Cuántas personas fueron encuestadas? ¿Cuál fue la respuesta más frecuente?

¿Cuántas personas tienen, como máximo, una actitud de cuatro puntos en la escala? (es decir, ¿cuántas personas se encuentran en desacuerdo con la medida?)

Es difícil responder a las tres cuestiones. ¿Cuál es el problema?

Las personas tienen dificultades para procesar o tener en cuenta mucha información de forma

simultanea. La tabla 1 muestra demasiados datos y es preciso contar con mucha paciencia y una buena vista para responder a las preguntas anteriores con seguridad.

Así pues, ¿qué se puede hacer? Una solución alternativa al repaso repetitivo de la tabla 1 es organizar los datos de tal forma que tengan una disposición que facilite la lectura. En este sentido, la primera acción a realizar es ordenar los datos desde el que posee el valor más pequeño hasta el que cuenta con el valor mayor.

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Tabla 2: Conjunto ordenado de datos

Se logra una ganancia al pasar de la tabla 1 a la tabla 2. Parece que ésta es más fácil de interpretar. No ha desaparecido ninguna información, el único cambio está en su ordenación. No obstante, la solución es parcial, puesto que aún debe ser mejorada (sigue siendo difícil responder a las preguntas).

Si se observa la tabla 2, contiene una sucesión de datos con valores repetidos. Por ejemplo, el valor 1 se encuentra presente en seis ocasiones. Una buena estrategia es mostrar una sola vez cada valor y hacerlo seguir por su frecuencia, es decir, por la cantidad de ocasiones en que aparece, tal como lo muestra la tabla 3:

Tabla 3: Conjunto ordenado de valores y frecuencias

Aún se puede disponer la información de tal forma que resulte fácil responder a preguntas que se han planteado. En la tabla 3 se ha mantenido la misma disposición que en la tabla 2. Esto es innecesario. Para disponer la información de manera óptima, se genera una tabla que tenga dos columnas. En la columna primera se presentarán los valores, que se representa con la letra

x

mientras que en la segunda columna se dispondrán las frecuencias, que se representa con la letra

f.

Obsérvese el resultado en la tabla 4:

Tabla 4 de distribución de frecuencias

Ahora sí, la tabla de frecuencias permite responder a las preguntas planteadas con facilidad: ¿Cuántas personas fueron encuestadas? Solución: 150

¿Cuál fue la respuesta más frecuente? Solución: 5 (40 datos)

¿Cuántas personas tienen, como máximo, una actitud de cuatro puntos en la escala? Solución: 59 (6+11+12+30)

De hecho, las tablas de distribución de frecuencias se pueden construir con diversos tipos de frecuencias entre ellas:

Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa Frecuencia porcentual % Frecuencia acumulada

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Ejercicio. Complete la tabla, Considerando la siguiente serie de datos para determinar los valores numéricos de los diferentes tipos de frecuencias.

85,86,89,87,90,87,92,93,94,93,92,90,95,95,96,96,97,97,99,99,98,98,104,104,103,103,102,102,100,100,101, 101,101,102,108,108,108,108,105,105,105,105,106,106,106,107,107,107,108,110,110,111,111,112,112, 113,113,114,114,113,113,112,118,118,119,119,115,115,115,117,117,117,120,120,120,121,121,122,122,

124,129,128,127,126,126.

Tabla de distribución de frecuencias (Coeficiente de Inteligencia) Intervalo

Límites de clase CI

Frec. Absoluta

Frec. Relativa

Frec. % Frec. Relativa Acumulada

Frec. Relativa Acumulada %

85-89 5

90-94 7

95-99 10

100-104 12

105-109 15

110-114 13

115-119 10

120-124 8

125-129 5

N =85

Como se puede observar la frecuencia absoluta de cada intervalo se encuentra buscando en la serie de datos cuantos valores hay entre los valores de cada intervalo.

El número total de datos es 85.

Para la frecuencia relativa se divide el valor de la frecuencia absoluta por intervalo entre en número total de datos.

Para la frecuencia porcentual, la relativa de cada intervalo se multiplica por 100.

La frecuencia relativa acumulada se suma el primer valor de la relativa con el siguiente casillero inferior tal y como se efectuó en la tabla anterior.

Veamos ahora la tabla llena:

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Intervalo Límites de clase CI Frec. Absoluta Frec. Relativa

Frec. % Frec. Relativa Acumulada

Frec. Relativa Acumulada En %

085-89 5 0.058 5.8% 0.058 5.8

90-94 7 0.082 8.2% 0.140 14

95-99 10 0.117 11.7% 0.257 25.7

100-104 12 0.141 14.1% 0.398 39.8

105-109 15 0.176 17.6% 0.754 57.4

110-114 13 0.152 15.2% 0.726 72.6

115-119 10 0.117 11.7% 0.843 84.3

120-124 8 0.094 9.4% 0.937 93.7

125-129 5 0.058 5.8% 0.999 99.5

N= 85

Ejercicio 4. Para la siguiente serie de datos obtenga las frecuencias correspondientes

El gerente de una compañía de ventas al mayoreo de diferentes tipos de mercancías desea conocer el comportamiento de las llamadas telefónicas durante los meses de marzo y abril del año en curso; por lo que le encomienda a su secretaria que realice esa investigación. La secretaria obtuvo los siguientes datos, en número de llamadas por día:

30, 38, 36, 35, 29, 28, 30, 35, 40, 48, 50, 20, 25, 56, 30 27, 29, 46, 41, 31, 31, 31, 39, 28, 36, 37, 52, 44, 49, 52 56, 58, 40, 39, 38, 40, 27, 24, 30, 32, 35, 38, 26, 25, 24 60, 55, 48, 37, 31, 30, 22, 20, 24, 26, 23, 22, 28, 27, 48

Intervalo Límites de clase Frec. Absoluta Frec. Relativa

Frec. % Frec. Relativa Acumulada Frec. Relativa Acumulada %

20-25 10

26-31 17

32-37 8

38-43 10

44-49 6

50-55 4

56-61 5

N=60

GRAFICAS ESTADISTICAS

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Polígono de frecuencias

el polígono de frecuencias considera sobre el eje x el punto medio de cada intervalo de una tabla de distribución de frecuencias y el eje y considera las frecuencias absolutas por intervalo.

Ejemplo.

El siguiente polígono de frecuencias muestra los goles anotados por un delantero en un equipo de fútbol en las temporadas de 200 a 2007:

Grafica de barras

En el eje horizontal (o de las abscisas) se representan los intervalos de los datos, marcándose de manera continua las fronteras entre cada uno de éstos. De esta manera, el histograma está compuesto por

rectángulos, cuyo número coincide con la cantidad de intervalos considerados, el ancho de la base de cada uno de esos rectángulos es la misma siempre y coincide con las fronteras de los intervalos, y la altura corresponde a la frecuencia de cada intervalo. En este tipo de gráficas es recomendable:

• El empleo de sombreado o colores facilita la diferenciación de las barras.

• El punto cero se indica en el eje de ordenadas y se deben establecer las unidades en los ejes.

• La longitud de los ejes debe ser suficiente para acomodar la extensión de la barra. Ejemplo.

La gráfica siguiente representa el número de campeonatos de fútbol que han ganado los países en las 18 ediciones desde 1930 hasta 2006:

Graficas circulares

Denominadas también gráfica de pastel, se utilizan para mostrar porcentajes y proporciones. El número de elementos comparados dentro de un gráfico circular, no deben ser más de 7, ordenando los segmentos de mayor a menor, iniciando con el más amplio a partir de las 12 como en un reloj. Una manera sencilla de diferenciar los segmentos es sombreándolos con colores contrastantes.

Este tipo de gráficas es muy útil cuando lo que se desea es resaltar las proporciones que representan algunos subconjuntos con respecto al total, es decir, cuando se está usando una escala categórica.

Ejemplo.

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Grafico histograma

Muy similar al grafico de barras en donde las barras van unidas intervalo con intervalo y la altura de las barras se obtiene con la frecuencia absoluta.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central son valores numéricos que tiende a localizar en algún sentido la parte central de un conjunto de datos. Se conocen como media moda y mediana para datos no agrupados y para datos agrupados.

Datos no agrupados:

 La media se obtiene sumando todos los datos de una serie y se divide entre el número de datos  La moda es aquel valor que se repite más veces

 La mediana el valor central de una serie de datos cuando han sido ordenados los datos.

Ejemplo. Los ingresos mensuales de diez trabajadores son : 4500 pesos ,3900 pesos, 3750 pesos ,3675 pesos, 3225 pesos , 3150 pesos ,3150 pesos , 3150 pesos ,3150 pesos , 2250 pesos.

Con esta información determine media moda y mediana

Solución:

La media

ẋ = 3390

La moda Mo= 3150 La mediana Me= 3187.50

Ejercicio 5. Las autoridades vehiculares del D.F. han observado que en los cruces de las calles del centro, los automovilistas conducen violando los límites de velocidad permitidos por lo que realizan una supervisión, midiendo con radar las velocidades de 10 automóviles obteniéndose los siguientes resultados:

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Los valores centrales de la media, mediana y moda que determinan de manera confiable las velocidades a las que conducen los automovilistas son:

Solución: x25 Me23.5 Mo23

Ejercicio 6. Un grupo de 11 alumnos de 2do semestre obtuvieron las calificaciones siguientes en una prueba de destreza: 70, 83, 74,75,81, 75, 92, 75,90, 94 y 75. Con esta información indique ¿Cuál es la moda?, ¿Cuál es la media? Y ¿cuál es la mediana?

Solución: moda = 75, media = 80.36 , mediana= 75

Ejercicio 7. Los siguientes datos muestran las temperaturas de 10 días de intenso calor en la Ciudad de Monterrey.

Temperaturas en °C 33 35 37 34 38 35 38 35 33 35

¿Cuál es el valor de la moda?

Solución: Mo =35

Datos agrupados en tablas

En el caso de la media, la moda y la mediana para datos agrupados en tablas se aplican las formulas:

Formulas: Media = 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝐹(𝑀𝑐) 𝑁

Moda = Lri +

(

𝑑1

𝑑1+𝑑2

)𝐴

;

Mediana = Lri +

(

𝑁

2 −𝐹𝑎

𝑓𝑚

)

𝐴

Ejercicio 8. Observa la información y completa la tabla para contestar las ∑preguntas referentes a las medidas de tendencia central.

Tabla de distribución de frecuencias Intervalo

Límites de clase CI

Frec. Absoluta

Marca de clase

(FREC)(MC) Limite real inferior

Limite real Superior

1-4 5

6-9 25

11-14 70

16-19 50

21-24 40

26-29 30

31-34 20

36-39 10

N= ∑ =

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¿Cuál es la amplitud de los intervalos de la tabla? 𝑨=

¿A cuántas personas se les aplico prueba de CI? Número =

¿Cuál es el intervalo de la clase mediana y de la clase modal? Intervalo =

¿Cuál es el valor del Límite real inferior de la clase mediana y modal? Lri =

¿Cuál es el promedio o media de la tabla?

ẋ =

¿Cuál es el valor de la moda para la tabla? Mo =

¿Cuál es el valor de la mediana para la tabla? Me =

Ejercicio 9. La profesora Fernanda decidió elaborar una estadística con las calificaciones obtenidas en el segundo examen parcial de matemáticas del grupo 209, mismas que se presentan en la siguiente tabla, la cual mostró a sus alumnos y les hizo la siguiente pregunta: ¿Cuál es la mediana, la moda y la calificación promedio de matemáticas en el grupo?

calificación No. Alumnos 3 - 4 2 5 - 6 14 7 - 8 13 9 - 10 19 Total 48

Solución: media=7.54 mediana=7.8 moda=9.5

Ejercicio 10. Se selecciona aleatoriamente a un grupo de vendedores de una compañía de seguros, registrándose el número de pólizas vendidas durante una semana.

El valor correspondiente a la mediana es:

Solución : Me = 9.83 Pólizas

vendidas I

Número de vendedores

f

9 – 10 12

7 – 8 20

5 – 6 15

3 – 4 10

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MEDIDAS DE DISPERSION

La dispersión mide que tan alejados están un conjunto de valores respecto a su media aritmética. Así, cuanto menos disperso sea el conjunto, más cerca del valor medio se encontrarán sus valores. Este aspecto es de vital importancia para el estudio de investigaciones.

Se llaman medidas de dispersión aquellas que permiten retratar la distancia de los valores de la variable a un cierto valor central, o que permiten identificar la concentración de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable. Se trata de coeficientes para variables cuantitativas.

RANGO

El rango de una distribución es la diferencia entre el valor máximo (M) y el valor mínimo (m) de la variable estadística. Para su cálculo, basta con ordenar los valores de menor a mayor m de M.

Ejemplo.

Si se conoce que el valor promedio de días de espera para obtener una licencia de manejo, es de 5 días en la oficina A, y de 7 días en la oficina B, con esta única información no es posible hacer una elección adecuada. Sin embargo, si se sabe que en la oficina A, el número mínimo de días de espera es de 3 y el máximo de 15, mientras que en la oficina B, los valores son 3 y 8 días respectivamente, se podrá tomar una decisión más adecuada para acudir a obtener la licencia, gracias a esta información adicional.

DESVIACIÓN MEDIA

La desviación media es la división de la sumatoria del valor absoluto de las distancias existentes entre cada dato y su media aritmética y el número total de datos:

Este indicador muestra que tan disperso se encuentran un conjunto de datos a un punto de concentración.

Ejemplo.

Sean los siguientes datos: 4, 5, 3, 5, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 5, 1, 4, 1, 4. Obtener su desviación media:

Solución.

Se calcula la media aritmética

DESVIACION ESTÁNDAR

La desviación estándar o desviación típica se define como la raíz cuadrada de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable respecto a su media. Esto es:

medida estadística de la dispersión de un grupo o población. Una gran

desviación estándar indica que la población está muy dispersa respecto de la media. Una desviación estándar pequeña indica que la población está muy compacta alrededor de la media.

VARIANZA

La varianza mide la mayor o menor dispersión de los valores de la variable respecto a la media

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pero elevadas al cuadrado. La varianza de un conjunto de datos se define como el cuadrado de la desviación estándar

Ejemplo: Hallar la desviación estándar y la varianza de la siguiente serie de datos: 10, 18, 15, 12, 3, 6, 5, 7 Solución:

Ejercicio 11. Un Actuario por sus conocimientos avanzados en Estadística, es contratado por una empresa de aviación para analizar los exámenes de los Pilotos. De acuerdo a los resultados de los exámenes los pilotos son contratados.

Al revisar los resultados de dos pilotos, se dio cuenta que ambos tenían el mismo promedio en los exámenes, y tenía que decidir a quién se iba a contratar. Los resultadosse muestran a continuación.

Puntos por Habilidad para:

Exámenes Daniel Rodrigo

Psicométrico 5 6

Visual 10 7

Conocimientos 3 6

Físico 10 6

Habilidades Mentales 2 5

30 30

6 X 6

XD  R 

Dónde:

Daniel de aritmética media

La XD 

Rodrigo de

aritmética media

La XR 

¿Cuál es el valor de la desviación estándar para Daniel?

Solución Des. Estandar = 3.41

Ejercicio12. El encargado de una fábrica realiza un reporte respecto al número de artículos producidos, indicando que en una semana la producción promedio fue de143 artículos, la información se muestra en la siguiente tabla:

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

142 163 112 157 160 124

¿Cuál es la desviación media, varianza y desviación estándar?

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Ejercicio 13. Josefina termino de estudiar la preparatoria y consigue empleo en una estancia infantil, donde su jefa inmediata le pide pesar a un grupo de 42 niños, registrando dicha información en la siguiente tabla:

Pesos (kg)

Número de niños(as)

8-10 17

11-13 8

14-16 8

17-19 6

20-22 3

Si sabe que el promedio de los datos es 12.85 kg. ¿Cuál es la desviación media?

Solución: DM=3.44

Ejercicio 14. En una prueba de caminata, los Km. recorridos por cada uno de los atletas fueron los siguientes:

.

Si el promedio de km recorridos por los atletas fue 11.18 km, el valor de la varianza es:

Solución: Varianza S2 = 21.6942

Ejercicio 15. Completa la información de la tabla y determina las medidas de dispersión (rango, desviación media, varianza y desviación estándar).

Tabla de distribución de frecuencias

Recorrido km I No. de personas f

1 – 5 3

6 – 10 6 11 – 15 9 16 – 20 4

Intervalo Límites de clase CI Frec. Absoluta Marca

de clase (FREC)(Mc)

Media

|

Mc –

|

F

|

Mc –

ẋ|

|

Mc –

|

2

F

|

Mc –

ẋ|

2

1-4 5

6-9 25

11-14 70

16-19 50

21-24 40

26-29 30

31-34 20

36-39 10

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Contesta el siguiente cuestionario

¿Qué es el valor absoluto de una cantidad?

¿Qué importancia tiene el valor de la media aritmética?

¿Cómo se obtiene el Rango y cuál es su valor?

¿Cuál es el valor de la desviación media?

¿Cuál es el valor de la varianza?

¿Cuál es el valor de la desviación estándar?

Formulas: 𝐷. 𝑀. = ∑𝐹|𝑀𝑐−𝑋|𝑁

Desviación media

2

S

2

=

∑𝐹|𝑀𝑐−𝑋|

𝑁

Varianza

La desviación estándar se obtiene extrayendo la raíz cuadrada de la varianza

TEMA 2 TEORIA DE LA PROBABILIDAD.

Los jugadores a lo largo de la historia siempre han recurrido a las probabilidades para realizar sus apuestas. Aproximadamente por el año 3500 A.C., juegos de azar practicados con objetos de hueso, que podrían ser consideradas como los precursores de los dados, fueron ampliamente desarrollados en Egipto y otros lugares. Dados cúbicos con marcas virtualmente idénticas a los dados modernos se han encontrado en tumbas egipcias que datan del año 2000 A.C. Sabemos que el juego con dados ha sido popular desde esa época y que fue parte importante en el primer desarrollo de la Teoría de la Probabilidad.

Se considera que por el siglo XVII de nuestra era un noble francés, llamado Antonie Gombaulod (1607-1684) puso en tela de juicio el fundamento matemático del éxito y del fracaso en las mesas de juego. Gombaulod formuló esta pregunta al matemático francés Blaise Pascal (1623-1662): ¿Cuál es la probabilidad de que salgan dos

seises por lo menos una vez en veinticuatro lanzamientos de un par de dados? Pascal resolvió el problema, pues la Teoría de la Probabilidad empezaba a interesarle tanto como a Gombauld. Ambos compartieron sus ideas con el famoso matemático Pierre de Fermat (1601-1665). Las cartas escritas por los tres constituyen la primera revista académica dedicada a la Teoría de la Probabilidad. Sin embargo, probabilidades numéricas para ciertas combinaciones de dados ya habían sido calculadas por Girolamo Cardano N(1501-1576) y por Galileo Galilei (1564-1642). La Teoría de la Probabilidad toma importancia cuando Jacob Bernoulli (1645-1705), Abraham de Moiure (1667-1754), el reverendo Thomas Bayes (1702-1761)y Joseph Lagrage (1736-1813) inventaron fórmulas y técnicas probabilísticas. En el siglo XIX Pierre Simón, Marquis de Laplace (1749-1827), unificó esas ideas y formuló la

primera teoría general de la probabilidad. La Teoría de la Probabilidad se ha desarrollado

(17)

La Teoría de la Probabilidad tiene que ver con los diversos resultados posibles que pueden

obtenerse y los posibles sucesos que podrían ocurrir cuando se realiza un experimento. El término experimento se utiliza en la teoría de la probabilidad para describir virtualmente cualquier proceso cuyos resultados no se conocen de antemano con certeza. Entonces, un experimento es el proceso mediante el cual se obtiene una observación (o una medición) de un fenómeno. Si se realiza un experimento, éste puede tener uno de varios posibles resultados; si no puede

predecirse con seguridad cual ocurrirá, se dice que el experimento es aleatorio. Si un experimento tiene un único resultado posible, que al realizarlo sabemos que ocurrirá, el experimento se llamará determinístico.

Por ejemplo; un experimento aleatorio es el siguiente:

Si lanzas una moneda, cuyo resultado puede ser, caer águila o caer sol. En este experimento no podemos predecir con seguridad cuál resultado aparecerá con certeza. Otro experimento aleatorio es el siguiente: al lanzar un dado, los resultados que se obtienen pueden ser cualquier número del 1 al 6. Un experimento determinístico sería por ejemplo, extraer una bola de una que contiene bolas con un sólo color, digamos negras. Si nos fijamos en el color de la bola extraída sabemos de antemano que es negra. Para reafirmar lo anterior, de los siguientes ejemplos señala cuales son experimentos aleatorios y cuales determinísticos, si tienes alguna duda, acude con tu profesor para que lo aclares.

Enunciados:

1) Es un experimento en el cual una moneda se lanza 10 veces, el experimentador está interesado en determinar la probabilidad de obtener al menos cuatro caras (soles).

2) En un experimento para el cual se va a seleccionar una muestra de 1000 transistores de un cargamento de artículos similares y en el que se va inspeccionar cada artículo seleccionado, una persona está interesada en determinar la probabilidad de que no más de uno de los transistores seleccionados sea defectuoso.

Espacio Muestral

La colección de todos los posibles resultados de un experimento se llama “Espacio muestral” del experimento. El espacio muestral de un experimento puede considerarse como un conjunto de diferentes resultados posibles, en el que cada resultado puede ser un punto, un elemento o un evento del espacio muestral. Por ejemplo, al realizar el experimento de lanzar un dado y observar la cara que aparece, vemos una serie de resultados posibles: uno, dos, tres, cuatro, cinco o seis; por lo que el espacio muestral es:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Ejercicio.16 si lanzamos dos monedas al aire, observamos que los posibles resultados pueden ser: aparecen dos soles; aparece un sol una águila, aparece una águila y un sol o aparecen dos águilas; por lo que el

espacio muestral es:

Solución : { (sol, sol) (sol, águila) (águila, sol) (águila, águila) }

Ejercicio 17. Al lanzar dos dados, ¿Cuáles son los posibles resultados al observar el número de puntos en ambas caras de los dados?

Solución del espacio muestral:

(18)

Eventos probabilísticos

Con base a los experimentos anteriores (lanzar un dado, lanzar dos monedas y lanzar dos dados), observamos que éstos pueden tener uno o más resultados, a los cuales se les llama “Eventos” y que se representan mediante letras mayúsculas. Por ejemplo, si un experimento consiste en registrar el número de los nuevos pedidos que recibe un fabricante, algunos eventos son los siguientes:

A: no llegan pedidos nuevos.

B: el número de pedidos nuevos es mayor que 50. C: el número de pedidos nuevos es de 25.

D: el número de pedidos nuevos es menor que 15.

Los subconjuntos constituidos por un único elemento se llaman eventos simples o eventos elementales. El evento constituido por todos los eventos simples o elementales del espacio muestral se llama evento seguro. En el ejemplo de la tirada del dado el evento seguro S es el evento S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, y es un evento seguro porque siempre ocurre. El evento que nunca ocurre [ Ø ] se llama evento imposible. Por ejemplo, se lanza un dado, el evento de que caiga un siete, es imposible. Los conceptos de espacio muestral y evento que tú ya conoces, están relacionados con el concepto de Frecuencia relativa. La frecuencia relativa con la que puede esperarse que ocurra un evento es, la posibilidad del evento. Es decir, la probabilidad de un evento A es una medida de la creencia en que el experimento resultará de un evento A. Para darle sentido a este concepto, concluimos que se generan poblaciones de observaciones al repetir un experimento de un gran número de veces. Si el evento A se observa f veces en este gran número

N de repeticiones del experimento, entonces se considera que la probabilidad del evento A es: P(A) = f /n

Esta interpretación práctica del significado de la probabilidad se llama “Concepto de Frecuencia Relativa de la Probabilidad”.

Ejercicio 18.¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 al lanzar un dado?

Solución: P(E) = 1/6

Ejercicio 19. Una urna tiene 3 bolas rojas, 5 blancas y 4 azules. ¿ Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola esta sea:

a) roja

(19)

Permutaciones

Con frecuencia deseamos saber el número de arreglos de objetos, de los cuales son iguales. Por ejemplo:

¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar, con los números {6,9}?

Solución: Para formar cantidades de cuatro cifras con los números 6, 9 tenemos que tomarlos en forma repetida, de la siguiente forma; Para el primer número de la cantidad de cuatro cifras, habrá dos números, (2), para el segundo número de la cifra, habrá dos números (2), para el tercer número de la cifra, habrá dos números (2)

y para el cuarto número de la cifra, habrá dos números (2), entonces:

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 24= 16

Con este resultado (24 = 16), observamos que el número de elementos (n) es dos, que se van a

formar cantidades de cuatro en cuatro (r) y para ese ejemplo, se pueden formar 16 números de cuatro cifras cada uno.

Ejercicio 20.¿Cuántas placas de auto existen que consta de dos letras y tres cifras en ese orden, si la primera letra es A y la segunda letra puede ser de la A a la F?

Solución:

En ocasiones es necesario aplicar la fórmula de permutaciones para n objetos diferentes tomados

a la vez :

Ejercicio 21.Un vendedor de autos tiene siete modelos para exhibir en un aparador, pero éste sólo tiene espacios para cinco autos. ¿Cuántas muestras puede exhibir?

Solución:

Se puede expresar el cálculo anterior de la siguiente manera: El aparador sólo tiene lugar para cinco autos de los siete que existen, es decir únicamente puede utilizar muestras de cinco en cinco. Entonces debe de buscar el número de permutaciones de siete objetos, tomados de cinco en cinco. Recuerda que el primer espacio se ocupar de siete distintas maneras, el segundo espacio de seis maneras distintas y así sucesivamente, hasta el quinto espacio que se puede ocupar de tres maneras distintas, entonces; las muestras posibles son:

(20)

Ejercicio 22. Un conferencista dispone de ocho temas sobre los que puede disertar durante 30 minutos. Se le pide que presente una serie de cinco conferencias de 30 minutos a un grupo de personas ¿Entre cuántas secuencias de conferencias puede elegir?

Solución: Si aplicamos la fórmula de las permutaciones o arreglos de n objetos, la respuesta es 6720 secuencias

Combinaciones

Una característica de las permutaciones es que el orden en que se disponen losnobjetos es importante. Por ejemplo, si tenemos cuatro libros: uno de historia (H), uno de matemáticas (M), uno de inglés (I) y uno de ciencias (C) y los colocamos en un lugar donde caben solo dos libros, entonces el número de permutaciones o arreglos

en que se pueden ocupar los dos espacios, indica para nosotros que es importante el orden en que quedan los dos libros en los espacios.

En estos casos la formula aplicable es:

Ejercicio 23¿Cuántas juntas directivas de 5 personas se pueden formar con doce miembros de una organización?

Solución: 729 combinaciones

Ejercicio 24.Un estudiante tiene que contestar de 10 a 12 preguntas de un examen de Estadística:

a) ¿De cuántas maneras puede elegir estas preguntas?

b) ¿Cuántas maneras hay, si tiene que contestar 7 de las 9 primeras preguntas? c) ¿Cuántas maneras hay, si las 4 primeras son obligatorias?

(21)

Variable aleatoria

En tus cursos de Física, Química y Biología estudiaste fenómenos naturales diferentes, algunos de los cuales tienen en común que siempre ocurren de la misma manera, como el movimiento de los planetas, encender una vela, tomar el tiempo que un lápiz tarda en caer, etcétera.

Estos fenómenos que ocurren siempre de la misma forma se llaman determinísticos, porque están determinados; pero existen otros que no pueden determinarse con seguridad, por estar sujetos al “azar” como es, en Ecología, la extinción de especies por depredación humana; en administración pública, el número de niños y las escuelas necesarias; en medicina, la reproducción de células del sida; en biogenética, el mejoramiento de especies; en la industria, la calidad de la producción, etcétera. Los fenómenos que nunca ocurren de la misma manera, sino que están sujetos al azar, se llaman aleatorios.

Valor esperado o Esperanza matemática

¿Cuál es la probabilidad de que ganes en un juego de azar y cuánto esperas ganar o perder?, ¿cuál es la probabilidad de que un alumno, al ingresar al Colegio de Bachilleres, no repruebe ninguna materia en los seis semestres?, ¿ cuál era la esperanza de pasar todas tus materias cuando ingresaste al Colegio de Bachilleres?

Ejemplo: Hiciste un ejercicio sobre reprobación, pero si en un grupo hay 50 alumnos, ¿cuál sería la esperanza de que todos pasaran todas las materias?

De acuerdo con el ejercicio anterior, un alumno tiene una probabilidad de 5% de pasar todas sus materias, es decir, una oportunidad en 20, porque: p(x = 0 reprobadas) = 5%/100% = 1/20. En un grupo de 50 alumnos se puede esperar que (50) (1/20) = 2.5 alumnos pasen sin reprobar materias. Esta se llama esperanza matemática o valor esperado. Se simboliza: E(x)

Ejercicio 25. En el siguiente ejemplo, si lanzamos dos dados al aire y la variable aleatoria es la suma de las caras de los dados, determina:

La esperanza de ganar si la apuesta consiste en: suma 7 pierdes $ 10.00, suma par ganas $3.00 y si suma impar (excepto 7) pierdes $ 2.00

Solución:

Ejercicio 26. En una rifa de un reloj cuyo costo es de 800 pesos se venden 50 boletos a 20 pesos. Si una persona compra 5 boletos ¿Cuál es la esperanza matemática de ganar el premio?

(22)

TEMA 3 MODELOS ESTADISTICOS DE PROBABILIDAD

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Una probabilidad discreta es aquella probabilidad que sólo puede tomar un número limitado de valores; por ejemplo, al lanzar una moneda, ésta puede caer águila o sol, locual sucederá si la moneda es legal.

Consideremos un éxito que la moneda muestre sol; el número de éxitos lo representamos con la variable aleatoria discreta x (que sólo puede tomar un número limitado de valores de los

resultados de los experimentos aleatorios), la probabilidad de que muestre sol con p (éxito) y de que muestre águila con q (fracaso). Lo anterior deberá ajustarse a las características del

experimento de Bernoulli:

a) La repetición del experimento n veces, también llamados ensayos. b) Cada ensayo es independiente de los demás.

c) En cada ensayo existe el éxito o el fracaso como dos únicos resultados. d) En cada caso la probabilidad no cambia, es constante.

El siguiente es un ejemplo resuelto que explica estas características:

Una caja contiene tres pelotas azules y cuatro blancas. Al elegir una pelota al azar se toma nota de su color y se regresa a la caja, repitiendo el experimento en esas condiciones seis veces, así sabremos cuántas ocasiones sale una pelota azul.

Ejercicio27. En el paréntesis de la derecha escribe una B si el experimento es de Bernoulli y una X si no lo es.

a) Entrevistar a 30 personas para determinar por qué partido político votarán en las próximas elecciones. ( )

b) Aplicar un examen con 18 preguntas de verdadero o falso. ( )

c) Realizar 20 llamadas telefónicas para investigar si el programa televisivo “la voz mexico” les agrada mucho, poco o nada. ( )

d) Hacer una encuesta en tu colonia a 10 familias para ver cuántos hijos son hombres y cuántas mujeres. ( )

La resolución de problemas con la fórmula de Bernoulli es aplicable a variables discretas con un tamaño de muestra menor de 50

Ejercicio28. Supóngase que la probabilidad de que un estudiante no repruebe ninguna materia en el bachillerato es de 1/3. Si se toma una muestra aleatoria de cinco estudiantes, encuentra la probabilidad de que en ella no hayan reprobado ninguna materia.

(23)

Ejercicio 29. Un alumno resuelve un examen de 10 preguntas de falso o verdadero y contesta al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que responda correctamente 8 preguntas?

Solución: Probabilidad = 0.0439 o 4.39%

Ejercicio 30. Supóngase que el 71% de los estudiantes de un grupo escolar tienen calificación de 6, ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de diez estudiantes haya 3 estudiantes con esa calificación?

Solución: Probabilidad = 0.0074 o 0.74%

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Las variables discretas con un tamaño de la muestra mayor o igual a 50 pueden resolverse para cálculos de probabilidad con la fórmula de POISSON:

Ejemplo de distribución de Poisson mediante su modelo matemático

Supón que la probabilidad de que cierta tienda de aparatos electrónicos venda un radio defectuoso es de 3%. Si vende 100 radios en un mes, ¿cuál es la probabilidad de que haya vendido: Dos radios defectuosos?

Solución:

La probabilidad P(X=2) es de 0.224041 o 22.4%

Ejercicio 31. Una escuela tiene 2000 estudiantes y se sabe que 3 de cada 1000 estudiantes tienen auto nuevo. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar en esta escuela 4 estudiantes con auto nuevo?.

Solución: P(x=4) es 0.1338 o 13.38%

Ejercicio 32.Se considera que entre las personas que manejan tarjeta de crédito el 1% realiza cuando menos tres pagos retrasados de sus deudas .si se elige una muestra de 500 personas. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona realice cuando menos 3 pagos retrasados ?

Solución: P(x=1) es 0.3365 o 33.65%

Ejercicio 33. El 3% de la producción de lámparas de halógeno en cierta fabrica es defectuosa. Si en un día producen 140 lámparas. Encontrar la probabilidad de que sean defectuosas 8 lámparas.

(24)

DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución normal constituye el modelo probabilístico más importante, ya que constituye la base de la estadística inferencial; muchas técnicas estadísticas para la estimación y el pronóstico descansan en ella y aún en técnicas específicas, donde se estudian otros modelos probabilísticos, Es utilizada para variables continuas en el cálculo de probabilidades para variables medibles como la temperatura, la presión, etc.

Para la resolución y cálculo de probabilidades se utiliza una tabla de estandarización Z para áreas de probabilidad, la cual se encuentra al final de este tema (pagina 26).

Ejemplo:

Si suponemos un ingreso medio de 10 mil pesos al mes en la normalidad de las personas con una desviación estándar de 3 mil, ¿cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga en ingreso entre los 7 mil y los 15 mil pesos? Esta probabilidad se expresa en forma simbólica de la siguiente manera:

)

15

7

(

x

P

Se ubican los valores bajo la curva y se sombrean el área que se pide

Se estandariza el valor de cada variable

1

3

10

7

1

x

z

67

.

1

3

10

15

2

x

z

Se dibuja la curva con los valores estandarizados.

Se busca en la tabla de distribución normal (anexo 5) cada uno de estos valores

Como las áreas se encuentran al centro de la curva, se suman, por lo que el área es:

7938

.

0

4525

.

0

3413

.

0

A

Interpretación: Existe un 79.38% de probabilidad de que el ingreso de la persona seleccionada al azar, se encuentre entre $7 000 y $15 000.

(25)

𝑧 =

𝑥 − 𝜇

𝜎

=

195 − 180

11

= 1.36

Como z > 1.24 para calcular el área bajo la curva es 1, cuando (z > 1,24) = 1 – p (z ≤ 1,24) = 1 – 0.9131 = 0.0869

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

Ver anexo 5

Es decir, hay una probabilidad del 8.69% de que al siguiente alumno le toque una manzana que pese más de 195 gramos.

Ejercicio34.La media de los pesos de un grupo de estudiantes de bachillerato se distribuye en forma normal con una media de 65 kg y una desviación estándar de 5 kg. Hallar la probabilidad de que al seleccionar a un estudiante al azar su peso sea mayor a 70 kg.

Solución: La probabilidad P(X mayor a 70 Kg) es igual a 0.1587 0 15.87%

Ejercicio35.se supone que los resultados de un examen de ingreso a preparatoria sigue una distribución normal con una media de 78 puntos y una desviación estándar de 6 puntos, ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta a un examen obtenga una calificación superior a 72 puntos ? .

Solución: La probabilidad P(X mayor a 72 puntos ) es igual a 0.8413 u 84.13%

Ejercicio 36. Un fabricante de sobres de correo sabe por experiencia que el peso de los sobres está distribuido normalmente con una media de 1.95grs y una desviación estándar de 0.3 grs. ¿Cuál es la probabilidad de que un sobre elegido al azar pese menos de 1.5grs?

(26)

Anexo 5 Tabla de Distribución Normal Estándar

Z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

Figure

Tabla 3: Conjunto ordenado de valores y frecuencias

Tabla 3:

Conjunto ordenado de valores y frecuencias p.6
Tabla de distribución de frecuencias   Intervalo  Límites de  clase CI  Frec.  Absoluta  Marca de clase  (FREC)(MC)  Limite real  inferior  Limite real  Superior  1-4  5  6-9  25  11-14  70  16-19  50  21-24  40  26-29  30  31-34  20  36-39  10  N=  ∑ =

Tabla de

distribución de frecuencias Intervalo Límites de clase CI Frec. Absoluta Marca de clase (FREC)(MC) Limite real inferior Limite real Superior 1-4 5 6-9 25 11-14 70 16-19 50 21-24 40 26-29 30 31-34 20 36-39 10 N= ∑ = p.11
Tabla de distribución de frecuencias

Tabla de

distribución de frecuencias p.15