INSTITUTO TECNICO MARIA INMACULADA

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INSTITUTO TECNICO MARIA INMACULADA

Formando líderes estudiantiles para un futuro mejor

Coordinación Vo.Bo.

Eje temático: INTRODUCCION A LOS NÚMEROS ENTEROS

Área: MATEMÁTICAS

Asignatura: Matemáticas

Profesor:

Periodo:1

Grado:6

Guía: 1

Tiempo:4 h

Estudiante:

Estándar(es): *

Reconoce los elementos que conforman al conjunto de los números enteros. *Justifica y realiza escritura de números enteros.

Competencia(as):

(* ) Interpretativa. ( - ) Argumentativa. (&) Propositiva.

- Identifico y resuelvo situaciones que involucren los números enteros y sus propiedades. * & Representa enunciados de desplazamientos con números enteros.

Indicador(es) de Desempeño: *

Identificar y utilizar números enteros en la solución de diversas situaciones. * Efectuar operaciones con números enteros aplicando correctamente sus propiedades.

* Aplicar los números enteros para ubicaciones y desplazamientos.

* Escribe y compara el conjunto de los números enteros con el conjunto de los números naturales.

INTRUDUCCIÓN: Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).

CONCEPTUALIZACION

Los números enteros (Z)

El hombre siempre tuvo la necesidad de contar. Para hacerlo, creó lo que se conoce como números naturales. Sin embargo, estos números no le fueron suficientes para representar algunas cantidades, ni distinguir ciertas situaciones de otras. Por ejemplo, las temperaturas sobre cero y bajo cero, las pérdidas o los años transcurridos antes y después de Cristo.

El conjunto de los números enteros (Z) está formado por los números positivos y los números negativos junto con el 0.

Este conjunto suele representarse como sigue:

Z 

..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...



En la recta numérica



COMPRENSIÓN:

𝑵 ∁ 𝒁

(

El conjunto de los números naturales esta contenidos en el conjunto de los números enteros)

ANÁLISIS

:

Responde individualmente y luego participa en la plenaria. 1. ¿Conque letra se representan simbólicamente los números enteros? 2. ¿Qué signos utilizan los números enteros?

3. ¿Qué significan los (

) puntos suspensivos en la representación del conjunto de los números enteros 4. Entre el conjunto de los números enteros y el conjunto de los números naturales ¿cuál es mayor? 5. ¿Qué diferencia al conjunto de los números enteros del conjunto de los números naturales?

TALLER 1

1. Encuentra el número entero que describe cada una de las siguientes situaciones: a. Tú fecha de nacimiento_______________

b. El nacimiento de Jesucristo_________

c. La acción de la empresa multivalores se cotiza a 500 a la baja___________ d. La acción de Ecopetrol cotiza a 600 a la alza_________________

e. La temperatura en la sabana de Bogotá en época de invierno puede llegar a los 8°C bajo 0__________

f. Un submarino de la armada Nacional de Colombia puede navegar a distancia de 200 m bajo el nivel del mar___________

g. Vila del Rosario se encuentra a una altitud de 320 m sobre el nivel del mar___________________ h. La tienda la última lagrima tuvo un total de ventas por día de 2 000 000 ______________

i. Arquímedes fue un gran geómetra que nació en el año 640 antes de Cristo

________

2. Escribe un número entero que describa la situación propuesta.

a. El monte Everest se encuentra a una altitud de 8 840 m sobre el nivel del mar __________ b. Villa del Rosario presenta una temperatura promedio de 20 grados centígrados________

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3. Completa según la imagen:

La gaviota está volando a _________ m _________ el nivel del mar.

El niño está buceando a _________ m _________ el nivel del mar.

El pez está nadando a _________ m

El cangrejo se encuentra a _________ m  El pelícano vuela a _________ m.  El Flotador se encuentra a ________m Aplica operaciones básicas

a. La distancia que hay desde la gaviota a el cangrejo es: ________m b. La distancia que hay desde el pelicano al pez es: _________ m c. La distancia que hay del niño al pez es: __________m

d. La distancia que hay del pez al cangrejo es: __________ m

Plante 5 operaciones diferentes con la información de imagen

4. Dibuja una recta numérica y ubica en ella, los siguientes números enteros: a) –4 b) 7 c) +2 d) 0 e) –5

SÍNTESIS: Los números enteros abarcan a los números naturales (los que se utilizan para contar los elementos de un conjunto), incluyendo al cero y a los números negativos (que son el resultado de restar a un número natural otro mayor). Por lo tanto, los números enteros son aquellos que no tienen parte decimal (es decir que 3,28, por ejemplo, no es un número entero). Además de todo lo expuesto tampoco podemos obviar el hecho de que los números enteros nos sirven igualmente para establecer la altura de un monumento o de un elemento natural. Así, por ejemplo, podemos hablar de que el Mulhacén es el pico más alto que

existe en la Península Ibérica pues está situado a 3.478 metros sobre el nivel del mar mientras que el Teide es el más alto de España al conseguir alcanzar los 3.718 metros.

Los números enteros negativos tienen diversas aplicaciones prácticas. Con ellos se puede señalar una temperatura bajo cero (“En estos momentos, la temperatura en Bariloche (Argentina) es de -10º”) o una profundidad bajo el nivel del mar (“El barco hundido fue hallado a -135 metros”).

PLENARIA: Debate. Cada estudiante debe elaborar 5 preguntas para participar

EVALUACIÓN: Participativa, oral y escrita. 1. ¿Qué representa en la imagen 0m (donde está el flotador)? 2. ¿Con que signo se deben representar las medidas del buceador, el pez y el cangrejo? ¿Por qué?

TRABAJO EXTRACLASE:

OBSERVE Y ANALICE EL VIDEO 1 https://www.youtube.com/watch?v=vu0jlqzNjUw

Entre a la siguiente página y mecanice el tema anterior.

1ra. INTERACCIÓN: Actividad 1 a la actividad 4

http://ntic.educacion.es/w3//eos/MaterialesEducativos/primaria/matematicas/conmates/unid-3/actividades.htm

2ra. INTERACCIÓN: Observación La página se demora cargando. Espera y no desesperes

http://www2.gobiernodecanarias.org/educacion/17webc/eltanque/todo_mate/numenteros/ascensor/ascensor_

p.html

Entre a las subpáginas y realice las actividades propuestas en las mismas:

 El ascensor y los números enteros  Las altitudes y los números enteros  El termómetro y los números enteros

La recta real.

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OPUESTO DE UN NÚMERO

El opuesto de un número es el número que al ser sumado con él da de resultado el número 0. Cada número entero tiene su opuesto.

El opuesto del número 0 es 0.

el opuesto de -3 es +3 y lo escribiremos así: Op (-3) = +3 el opuesto de +6 es -6 y lo escribiremos así: Op (+6) = -6

REFUERZA SUS CONOCIMIENTOS OBSERVANDO EL SIGUIENTE VIDEO:

https://www.youtube.com/watch?v=SejQMsGp3SI

VALOR ABSOLUTO

Ubica el 3 y el -3, el 2 y el -2, el 1 y el -1, en la recta numérica

Se ve que cada número está a igual distancia del 0 que su opuesto. La distancia de un número al cero se llama valor absoluto o módulo, y para indicarlo se encierra al número entre barras.

Ejemplo:

3

3

,

3

3

,

2

2

10

10

REFUERZA SUS CONOCIMIENTOS OBSERVANDO EL SIGUIENTE VIDEO:

https://www.youtube.com/watch?v=_5B957_O31s

ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS Se presentan tres situaciones al ordenar números enteros:

 Si ambos enteros son positivos siempre será mayor el de mayor cantidad, en la recta se puede ver como el más alejado del 0.

 Si ambos enteros son negativos siempre será mayor el de menor cantidad, en la recta se puede ver como el más cercano a cero, más a la derecha, ejemplo -10< -5

 Si un números es positivo y el otro negativo siempre será mayor el positivo, más a la derecha, por ejemplo: -4 < 2

OBSERVE los videos VIDEOS TALLER 2

1. Ubica cada entero y su opuesto en la recta numérica: 7; -13; 3; -(-4); 0; -5 2. ¿Cuál es el valor absoluto de 5; -6; -(-4); 0; 12?

3. ¿Cuál de estas opciones es imposible? a)

a

0

b)

a

0

4. Complete con < o > según corresponda:

a) -5 …….. 3 b) 3 ……. – 2 c) d) 0 ….. – 4 e) -20 ….. -

3

5. Escribe los números enteros que cumplan las condiciones en cada caso.

a) Mayores que – 8 y menores que 6_____________________________________________ b) Mayores que 10 y menores que 15_____________________________________________ c) Menores que – 4 y mayores que – 12___________________________________________ d) Mayores que – 7 y menores que 0_____________________________________________ 6. Ordena de mayor a menor los siguientes números: - 2, - 9, 10, 4, - 4 , 8, 7, - 2, - 3

7. Determina el valor absoluto de cada número:

a)

4

b)

8

c)

400

d)

900

e)

100

f)

0

PLANO CARTESIANO

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:

(4)

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente

procedimiento

:

1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o

hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.

2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia

abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.

Refuerza tus conocimientos observando el siguiente video:

https://www.youtube.com/watch?v=aD_4l_d_c9s

INTERACCIÓN: Accede a la thatquiz (

https://www.thatquiz.org/es-7/matematicas/puntos/

) y

haz 10 ejercicios de cada uno ítem que se te indica: Identificar, marcar y ambos.

TALLER 3 RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.

1. Localiza los siguientes puntos en el plano cartesiano y únelos para determinar qué figura se forma: A(5,7), B(9,7), C(5,13), D(5,5), E(1,5), F(9,5), G(8,3) y H(2,3).

2. Resuelve la situación

a. Trazar un sistema de coordenadas rectangulares y señalar los puntos siguientes: A(5, 7), B(9,7), C(5 , 13), D(5,5), E(1,5), F(9,5), G(8,3), H(2,3), I(-3,2), J(-3,-2), K(12,2) y L(12,-2).

b. Une los puntos con segmentos en la secuencia ABC. ¿Qué figura se forma?

c. Ahora une los puntos con segmentos en la secuencia EFGH. ¿Qué figura se forma? d. Después une los puntos A y D. ¿Qué figura se forma?

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OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS (Z)

ADICION O SUMA

LEY DE SIGNOS

1 Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

Ejemplo 3 + 5 = 8 (−3) + (−5) = −8

2 Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado

se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

Ejemplo: −3 + 5 = 2 3 + (−5) =

OBSERVE :

https://www.youtube.com/watch?v=pZMupnEa8GQ

Propiedades de la suma de números enteros

1 Interna: El resultado de sumar dos números enteros es otro número entero

Ejemplo:

2 Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)

Ejemplo: (2 + 3) + (−5) = 2 + [3 + (−5)]

5 − 5 = 2 + (−2)

0 = 0

3 Conmutativa: El orden de los sumandos no varía la suma. a + b = b + a

Ejemplo: 2 + (−5) = (−5) + 2

−3 = −3

4 Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a

Ejemplo: (−5) + 0 = −5

5 Elemento opuesto: Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado cero.

a + (−a) = 0

Ejemplo5 + (−5) = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número. Ejemplo:−(−5) = 5

Sustracción o resta

La resta de números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

a − b = a + (−b)

Ejemplo:

7 − 5 = 7 + (−5) = 7 − 5 = 2

7 − (−5) = 7 + [−(−5)] = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de números enteros

1 Interna: La resta dos números enteros es otro número entero.

Ejemplo:

2 No conmutativa: a - b ≠ b - aEjemplo:5 − 2 ≠ 2 – 5

AMPLIE Y REFUERCE SUS CONOCIMIENTOS OBSERVANDO EL SIGUIENTE VIDEO:

https://www.youtube.com/watch?v=FA6TJ3pgfFw

RECUERDA: El signo + delante de paréntesis, corchetes o llaves, deja igual su contenido y el signo – delante, cambia

de signo lo que está dentro.

Cando se presentan operaciones con signos de agrupación primero se desarrollan las operaciones de los ( ), luego [ ]

y por ultimo { } es importante tener cuidado con los signos

EJEMPLOS:

 

4

12

10

)

6

15

(

36

=

 

2

9

36

2

9

36

25

6

(

2

15

)

)

31

20

(

=

6

(

13

)

)

51

(

6

13

51

 

7

51

7

51

58

ECUACIONES ADITIVAS

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 En toda ecuación debemos identificar dos lados: lado izquierdo = lado derecho

 observe que lo separa el signo igual. Siempre en la ecuación debemos mantener por línea de trabajo un solo signo igual y se trabaja o se desarrolla la ecuación hacia abajo.

Para la ecuación : 7x + 4 = -12 tenemos a 7x + 4 en el lado izquierdo y a -12 en el lado derecho, donde la letra x es la incógnita o variable que debemos encontrar.

 Siempre la incógnita es una letra minúscula que no conocemos y vamos a hallar, es un número determinado;  toda ecuación tiene una sola solución, la incógnita no puede tener dos valores diferentes.

Empecemos el tema trabajando por partes: 1° ECUACIONES ADITIVAS:

Son ecuaciones de la forma: x + a = b , donde a y b son números enteros, es decir pueden ser positivos ó negativos.

Se trata de dejar la x al lado izquierdo sola sin ninguna cantidad que la acompañe, esto se llama: despejar la incógnita, teniendo encuenta que la incógnita debe quedar positiva.

Observamos la cantidad a que acompaña a la incógnita , teniendo encuenta la operación que realiza : suma ó resta.

Movemos la cantidad a hacia el lado derecho, CAMBIÁNDOLA DE OPERACION : tenga encuenta que la operación en los enteros la determina el signo de las cantidades.

Ejemplo 1 : Hallemos el valor de x en la ecuación:

x + 8 = - 15 Pasamos el 8 del lado izquierdo al derecho junto al -15 y como está sumando pasa a restar x = -15 - 8 sumamos porque tienen igual signo

x = - 23 este es el valor de la incógnita que nos piden hallar.

Ahora verifiquemos :

la ecuación inicial es : x + 8 = -15

-23 + 8 = -15 reemplazamos el valor de x encontrado - 15 = -15 correcto se verifica la igualdad. Observa y analiza el video: https://www.youtube.com/watch?v=4_aOEAsbXoo

TALLER N° 1. Efectúa las siguientes adiciones:

a. 5+ (-7) + 2 + (-7) b. (-64) + 64 + (- 1) + 8 + (-1) c. (-104)+( -4) + 8 d. 1 + 2 + 4 + 6 +( -5) + (-4) e. 2 +4+6+8+ (-7) f. -43-18 g. 3+ (-5) + 8 (-2) h. 11+ (- 3) + 17 + (- 11)+24

i. ( - 6) + 9 + (- 11) + 7 + ( - 9 )+ 9 j. (- 24)+ 19+ 25+(- 25) k. (- 6)+8+ (- 9)+6+(- 2. Resuelva los siguientes ejercicios:

a) 9-28= b) 12-50= c) 39-47= d) 0-27= e) 92-120= f) -45-6=

g) -5 -17= h) 4-(+11) i) -10 - (-2)= j) -6-(+13)= k) 9- (-5)= l) -3+(-4)=

ll) 28-30+2-7+1= m) –(-1)+(-4)-(-2)+7= n) 11+(-3)-(+2)-8= o) 9-(-15)+2-8=

3. Resuelva eliminando signos de agrupación en el orden indicado a) –7 – { -3 [ -5 (1 – 9) + 4] – 6} + 8

b) ( 26 - 54 )+ (-9+2) – [ (-8) + (-15)] c) – [13+ (-53) ] + [ (-8) +2 ]

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4. Resuelve las siguientes ecuaciones y verifique su igualdad

a. x + 17 = 36 b. x + ( - 23 ) = 81 c. x - 26 = 63 d. x + (-19 )= -63 e. x + (-15 )= -21 f. x - (-32) = -43 g. x - (-54) = 39 h. - 21 = 43-x i. 7 - x = 12 j. 4 + (-x) = -15 k. x - (-17) = -19 l. -13 = 7 + (-x)

5. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

1. Tatiana desea ahorrar para comprar un labrador color chocolate, el perro cuesta $300.000. Después de analizar la situación decide que si ahorra diariamente igual cantidad de dinero por cinco meses podrá comprar el perro que tanto anhela. Si cada mes tiene 30 días, la cantidad de dinero que debe ahorrar Tatiana cada día es

A. $1.800 B. $2.000 C. $4.300 D. $5.000

2. Valentina está calculando el dinero que debe pagar a fin de mes y realiza una lista de sus gastos:

Vivienda $ 500.000 Transporte $ 250.000

Servicios $ 130.000 Alimentación $ 700.000 Otros gastos $ 70.000 Si Valentina recibirá $ 1.682.000 este mes, ¿alcanzará a cubrir sus gastos?

3. Halla un número tal que su triplo menos 5 sea igual a su doble más 3. 4. Tres números enteros consecutivos suman 69. Calcula la mitad del mayor. 5. El triple de un número menos 11 es igual a 43. Averigua de qué número se trata.

6. La edad de Pedro es el triplo de la edad de Juan y ambas edades suman 40 años. Hallar las edades.

7. Se ha comprado un caballo y sus arreos por $ 600. Si el caballo costó 4 veces los arreos, ¿cuánto costó el caballo y cuánto sus arreos?

8. Dos ángulos son suplementarios y uno de ellos mide 400 más que el otro. ¿Cuál es la medida de cada ángulo.? 9. Hallar el complemento de un ángulo cuya medida es 43o47´32

10. Hallar el suplemento de un ángulo cuya medida es 46o 12´28 11. Hallar los ángulos de las siguientes figuras.

6. Calcula tres números consecutivos cuya suma

7.

Calcular el número que sumado con su anterior y con su siguiente dé 114

8.

Calcular el número que se triplica al sumarle 26

9.

Que edad tiene Petrona sabiendo que dentro de 56 años tendrá el quíntuplo de su edad actual

10.

Tres hermanos se reparten $1.300.000. El mayor recibe el doble que el mediano y este el cuádruplo del pequeño.

¿Cuánto recibe cada uno?

Figure

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